A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
226 pág.
Aula-05

Pré-visualização | Página 8 de 37

na esmagadora maioria de livros do Ensino 
Médio. 
 
A questão só é factível sem o estudo teórico deste tópico porque o número de funcionários é 
bem pequeno, ou seja, o candidato poderia descrever todas as possibilidades e marcar a 
resposta. 
Sejam (a, b, c, d) os funcionários em suas posições originais. Queremos realocar os funcionários 
de modo que nenhum ocupe a sua posição original. Dizemos que essa é uma permutação 
caótica (ou desarranjo). 
Guilherme Neves
Aula 05
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1442029
00697812227 - CINTHYA ELEN PEREIRA DE LIMA
 
 
 
44 
 
 
As permutações caóticas são: 
(b, a, d, c); (c, a, d, b); (d, a, b, c); (c, d, a, b); (d, c, a, b); (b, d, a, c); (b, c, d, a); (c, d, b, a) e 
(d, c, b, a). 
 
Logo, há 9 maneiras diferentes. 
 
Veja que com 4 pessoas já é bastante complicado descrever todas as permutações caóticas. 
 
E se fossem 5 pessoas ou 8 pessoas? 
 
Apresento-lhes agora a fórmula para calcular o número de permutações caóticas (desarranjos) de 
n objetos: 
 
𝐷K = 𝑛! ∙ �
1
0! −
1
1! +
1
2! −
1
3! + ⋯+
(−1)K
𝑛! � 
 
O termo (−1)K simplesmente indica que os sinais das frações vão sendo alternados. 
 
Por exemplo, para n = 4, temos: 
 
𝐷X = 4! ∙ �
1
0! −
1
1! +
1
2! −
1
3! +
1
4!� 
 
Guilherme Neves
Aula 05
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1442029
00697812227 - CINTHYA ELEN PEREIRA DE LIMA
 
 
 
45 
 
𝐷X = 24 ∙ �1 − 1 +
1
2 −
1
6 +
1
24� 
 
𝐷X = 24 ∙ �
1
2 −
1
6 +
1
24� 
 
𝐷X = 24 ∙
1
2 − 24 ∙
1
6 + 24 ∙
1
24 
 
𝐷X = 12 − 4 + 1 
 
𝐷X = 9 
Veja o resultado para n = 6. 
 
𝐷B = 6! ∙ �
1
0! −
1
1! +
1
2! −
1
3! +
1
4! −
1
5! +
1
6!� 
 
𝐷B = 6! ∙ �1 − 1 +
1
2 −
1
6 +
1
24 −
1
120 +
1
720� 
 
𝐷B = 720 ∙ �
1
2 −
1
6 +
1
24 −
1
120 +
1
720� 
 
𝐷B = 360 − 120 + 30 − 6 + 1 
 
𝐷B = 265 
 
Guilherme Neves
Aula 05
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1442029
00697812227 - CINTHYA ELEN PEREIRA DE LIMA
 
 
 
46 
 
É claro que seria impossível você escrever todas as possibilidades à mão. 
 
Mas, Guilherme, essa fórmula é muito complicada. Corro o risco de ficar nervoso e esquecê-la! 
 
Calma, amigo. Agora vem a salvação. Existe uma maneira bem mais fácil e rápida de calcular o 
número de permutações caóticas. 
 
É possível demonstrar que o número de permutações caóticas é o inteiro mais próximo de 
 
𝑛!
𝑒 
Na expressão acima, e é a constante de Euler: e = 2,718... 
Observe para o caso n = 6. 
 
6!
𝑒 ≅
720
2,718 ≅ 264,9 → 𝑜	𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜	𝑚𝑎𝑖𝑠	𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑜	é	265 
 
De fato, para n = 6, o número de permutações caóticas é 265. 
 
Vamos voltar à questão da FCC. 
(FCC 2019/Prefeitura do Recife – Assistente de Gestão Pública) 
Os quatro funcionários de uma repartição trabalham cada um em uma mesa, todos na mesma 
sala. O chefe da repartição determinou que os funcionários trocassem de mesa entre si. Os 
funcionários podem ser realocados na sala de modo que nenhum funcionário passe a ocupar a 
mesa que ocupava antes da realocação 
a) de 4 maneiras diferentes. 
Guilherme Neves
Aula 05
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1442029
00697812227 - CINTHYA ELEN PEREIRA DE LIMA
 
 
 
47 
 
b) de 24 maneiras diferentes. 
c) de 9 maneiras diferentes. 
d) de 6 maneiras diferentes. 
e) de 12 maneiras diferentes. 
Comentário 
A questão pede o número de permutações caóticas de 4 elementos. O número de permutações 
caóticas é o inteiro mais próximo de 
 
4!
𝑒 ≅
24
2,718 ≅ 8,8 
 
O inteiro mais próximo é 9. Logo, há 9 maneiras para realocar os funcionários de modo que 
nenhum ocupe a sua posição original. 
Gabarito: C 
 
(FGV 2018/COMPESA) 
Há quatro urnas numeradas de 1 a 4 e quatro bolas, também numeradas de 1 a 4. 
O número de maneiras de se colocar uma bola em cada urna, de modo que nenhuma urna fique 
com a bola de mesmo número, é 
a) 12. 
b) 11. 
c) 10. 
d) 9. 
e) 8. 
Comentário 
Guilherme Neves
Aula 05
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1442029
00697812227 - CINTHYA ELEN PEREIRA DE LIMA
 
 
 
48 
 
Questão idêntica à anterior, que também poderia ser resolvida com a força bruta, já que são 
poucas bolas. 
A questão pede o número de permutações caóticas de 4 elementos. O número de permutações 
caóticas é o inteiro mais próximo de 
 
4!
𝑒 ≅
24
2,718 ≅ 8,8 
 
O inteiro mais próximo é 9. 
A resposta da questão é a alternativa D, mas a questão foi anulada (não sei o motivo). 
Gabarito: D 
 
 
Guilherme Neves
Aula 05
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1442029
00697812227 - CINTHYA ELEN PEREIRA DE LIMA
 
 
 
49 
 
 
12. OS LEMAS DE KAPLANSKY 
 
12.1. Primeiro Lema de Kaplansky 
 
Vamos aprender através de um exemplo. 
(FGV 2015/SSP-AM – Assistente Operacional) 
Sete pessoas formam uma fila e duas delas serão escolhidas para receber um brinde. O número 
de maneiras diferentes de escolher duas pessoas da fila que não sejam vizinhas é: 
a) 15; 
b) 18; 
c) 20; 
d) 24; 
e) 30. 
Comentário 
Vamos numerar as pessoas e formar um conjunto: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. 
Para esse exemplo com poucas pessoas escolhidas (apenas duas), podemos resolver de uma 
maneira bem simples. 
Há 7 pessoas e queremos escolher duas. Sem restrições, podemos fazer isso de: 
𝐶oN =
7 ∙ 6
2 ∙ 1 = 21	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
Entretanto, não queremos duplas formadas por números consecutivos, ou seja, devemos excluir 
os seguintes subconjuntos: {1,2}, {2,3}, {3,4}, {4,5}, {5,6}, {6,7}. 
Assim, o total de subconjuntos que satisfazem a condição é: 
Guilherme Neves
Aula 05
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1442029
00697812227 - CINTHYA ELEN PEREIRA DE LIMA
 
 
 
50 
 
21 − 6 = 15 
Mas essa solução só serve para casos “pequenos”. Vamos pensar em uma solução geral. 
Queremos formar um subconjunto de dois elementos no qual não há elementos consecutivos. 
Essa é exatamente a situação-problema resolvida pelos lemas de Kaplansky. 
Falo no plural “lemas” porque o segundo lema de Kaplansky considera 1 e 7 como sendo 
consecutivos (basta pensar, por exemplo, que sábado e domingo são consecutivos). 
Na nossa questão da FGV, 1 e 7 não são consecutivos e, portanto, será a situação-problema do 
Primeiro Lema de Kaplansky. 
 
O raciocínio desenvolvido em 1943 por Kaplansky (Irving Kaplanky, matemático canadense) é o 
seguinte: marcaremos com uma letra S (sim) os elementos do conjunto que farão parte do 
subconjunto e marcaremos com a letra N (não) os elementos que não farão parte do 
subconjunto. 
 
Por exemplo, o subconjunto {1, 3} seria representado por SNSNNNN. 
 
O subconjunto {4, 5}, que não é um subconjunto válido para o nosso problema, seria 
representado por NNNSSNN. 
 
Para formar um subconjunto de 2 elementos não-consecutivos, devemos colocar 2 letras S e 5 
letras N em fila, sem que haja duas letras S juntas. 
 
Para tanto, vamos começar dispondo as cinco letras N com espaços vazios entre elas (os espaços 
vazios serão representados por chaves. 
 
					� 𝑁 					� 𝑁 					� 𝑁 					� 𝑁 					� 𝑁 					� 
 
Guilherme Neves
Aula 05
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
www.estrategiaconcursos.com.br
1442029
00697812227 - CINTHYA ELEN PEREIRA DE LIMA
 
 
 
51 
 
Observe que há 5 letras N e 6 espaços vazios onde podemos colocar as 2 letras S. 
 
Ora, há 6 espaços vazios e devemos escolher 2 para colocar as letras S. Como a ordem dos 
espaços vazios não importa, então isso pode ser feito de: 
𝐶BN =
6 ∙ 5
2 ∙ 1 = 15	𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠 
A resposta da questão é 15. 
Gabarito: A 
 
 
No caso geral, o conjunto original possui n elementos. Queremos formar subconjuntos de p 
elementos. Logo, teremos p letras S e n – p letras N. 
 
Ao dispor os n – p letras N, teremos n – p + 1 espaços vazios para distribuir

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.