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Aula 06
Raciocínio Lógico p/ PC-PA - Pós-Edital
Autor:
Guilherme Neves
Aula 06
21 de Novembro de 2020
00697812227 - CINTHYA ELEN PEREIRA DE LIMA
 
 
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Sumário 
1.	 Probabilidade ............................................................................................................. 2	
1.1.	 Espaço Amostral .................................................................................................................... 3	
1.2.	 Evento .................................................................................................................................... 3	
2.	 Definição Clássica de Probabilidade (Laplace) ............................................................. 4	
3.	 Probabilidade como Frequência Relativa .................................................................... 5	
4.	 Combinações de Eventos ............................................................................................ 6	
5.	 Propriedades sobre Probabilidades ............................................................................ 7	
6.	 Probabilidade Condicional ......................................................................................... 10	
6.1.	 Teorema da Multiplicação .................................................................................................. 15	
6.2.	 Teorema da Probabilidade Total ........................................................................................ 16	
6.3.	 Teorema de Bayes .............................................................................................................. 22	
7.	 Lista de Questões de Concursos Anteriores ................................................................ 25	
8.	 Gabaritos ................................................................................................................... 60	
9.	 Lista de Questões de Concursos Anteriores com Comentários ................................... 63	
10.	 Considerações Finais ................................................................................................ 147	
 
 
Guilherme Neves
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Oi, pessoal. 
Aqui quem vos fala é o professor Guilherme Neves outra vez!! 
Vamos começar a nossa aula sobre probabilidade? 
Não se esqueçam que vocês podem acompanhar dicas diárias comigo pelo instagram 
@profguilhermeneves. 
Sem mais delongas, vamos iniciar nossa aula!! 
1. PROBABILIDADE 
A Teoria das Probabilidades é o ramo da Matemática que cria modelos que são utilizados para 
estudar experimentos aleatórios. 
Um experimento é dito aleatório quando ele pode ser repetido sob as mesmas condições 
inúmeras vezes e os resultados não podem ser previstos com absoluta certeza. 
Embora não possamos afirmar qual é o resultado do experimento aleatório, em geral podemos 
descrever o conjunto que “abriga” todos os resultados possíveis. 
Quando é possível fazer uma “previsão” do resultado de um experimento, ele é chamado de 
determinístico. 
Experimentos ou fenômenos aleatórios acontecem com bastante frequência em nossas vidas. 
Diariamente ouvimos perguntas do tipo: Choverá próxima semana? Qual a minha chance de 
ganhar na Mega Sena? 
Vejamos alguns exemplos de experimentos aleatórios: 
i) Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. 
ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima. 
O que os experimentos acima têm em comum? As seguintes características definem um 
experimento aleatório. 
è Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente 
inalteradas. 
è Embora não possamos afirmar qual é o resultado do experimento, somos capazes de 
descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. 
Guilherme Neves
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1.1. Espaço Amostral 
 
Para cada experimento do tipo que estamos considerando (aleatório), definiremos o espaço 
amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Denotaremos este 
conjunto pela letra U. 
Vamos considerar os experimentos acima e descrever um espaço amostral para cada um deles. 
i) Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. 
Quando jogamos um dado, o resultado pode ser 1,2,3,4,5 ou 6. Portanto: 
𝑈! = {1,2,3,4,5,6} 
Este conjunto é chamado de Espaço Amostral. 
1.2. Evento 
 
Chamaremos de evento todo subconjunto do espaço amostral. Voltemos ao lançamento do 
dado. 
Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. 
𝑈! = {1,2,3,4,5,6} 
Por exemplo, o subconjunto 
𝐴 = {2,3,5} 
é o evento que acontece se o número mostrado na face de cima é um número primo. 
Vejamos outros eventos relativos a este espaço amostral. 
B: ocorrência de número menor que 5. 𝐵 = {1,2,3,4}. 
C: ocorrência de número menor que 8. 𝐶 = {1,2,3,4,5,6} = 𝑈! 
D: ocorrência de número maior que 8. 𝐷 = ∅ (conjunto vazio). 
Guilherme Neves
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• Quando o evento é igual ao espaço amostral, dizemos que o evento é certo. 
• Quando o evento é igual ao conjunto vazio, dizemos que o evento é impossível. 
 
2. DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE (LAPLACE) 
Passemos agora à segunda etapa: calcular a probabilidade de um evento. Consideremos o caso 
do evento 𝐴 = {2,3,5} que vimos anteriormente. Como são 6 resultados possíveis no lançamento 
de um dado e são 3 números primos nas faces, intuitivamente percebemos que se repetimos o 
experimento um grande número de vezes obteremos um número primo em aproximadamente a 
metade das vezes. 
O que está por trás do nosso raciocínio intuitivo é o seguinte: 
i) Os elementos que compõem o espaço amostral são igualmente “prováveis”. 
ii) O número de elementos do evento (𝑛(𝐴) = 3) é justamente a metade dos elementos do 
espaço amostral (𝑛(𝑈!) = 6). 
Estas considerações motivam a definição de probabilidade de um evento A da seguinte forma: 
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈) =
3
6 =
1
2 
Como vimos o texto no início deste capítulo, Laplace referia-se aos elementos do evento como 
os casos favoráveis (ou desejados). Os elementos do espaço amostral são chamados de casos 
possíveis. Desta forma: 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑑𝑒	𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑑𝑒	𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 
Esta é a definição clássica de probabilidade. Esta definição não é válida do ponto de vista lógico 
porque ao se exigir que os elementos do espaço amostral sejam “igualmente prováveis”, utiliza-
se o próprio conceito que se pretende definir. 
Ademais, um dos defeitos dessa definição é o de não abordar casos em que os eventos não são 
equiprováveis. 
 
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3. PROBABILIDADE COMO FREQUÊNCIA RELATIVA 
 
Considere um experimento aleatório. Na prática, não podemos obter infinitas realizações. 
Entretanto, imagine que o experimento será realizado N vezes. 
Definimos frequência relativa de um evento como sendo o número 𝑓 tal que 
𝑓 =
𝑛
𝑁 
em que n é o número de ocorrências do evento. 
Assim, por exemplo, se lançamos um determinado dado de 6 faces 200 vezes e observamos o 
número 3 em 54 vezes, então a frequência relativa deste evento será: 
𝑓 =
54
200 = 0,27 = 27% 
Experimentalmente, verificamos que a frequência relativa se estabiliza em torno de um valor 
definido, quando o número N de realizações tende a infinito. 
Assim, como o dado tem 6 faces, o esperado é que se N for suficientemente grande, cada face 
sairá em !
"
≅ 16,67% das vezes. 
Se o número de realizações N aumentar significativamente, as frequências relativas tendem a se 
estabilizar em tornode 1/6. 
Assim, considerando N realizações de um experimento aleatório, definimos a probabilidade de 
um evento E como 
𝑃(𝐸) = lim
#→%
𝑛(𝐸)
𝑁 
Assim, a probabilidade pode ser definida como a frequência relativa quando o número de 
realizações do experimento tende a infinito. 
Esta também não é uma definição rigorosa do ponto de vista lógico, porque utiliza-se o próprio 
conceito de probabilidade para uma interpretação rigorosa da definição apresentada. 
Ademais, esta definição se limita aos casos em que o número de eventos observados pode 
crescer indefinidamente. 
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4. COMBINAÇÕES DE EVENTOS 
 
Podemos empregar as várias técnicas de combinar conjuntos (eventos) para formar novos 
conjuntos (eventos). 
è União de dois eventos 
Considere dois eventos A e B. O evento união é denotado por 𝐴 ∪ 𝐵 e ocorre se e somente se ao 
menos um dos eventos ocorrerem. Podemos dizer que 𝐴 ∪ 𝐵 ocorre se e somente se A ou B (ou 
ambos) ocorrerem. 
è Interseção de dois eventos 
Considere dois eventos A e B. O evento interseção é denotado por 𝐴 ∩ 𝐵 e ocorre se e somente 
se os dois eventos ocorrerem (A e B ocorrerem). 
è Complementar de um evento 
Considere um evento A. O evento complementar de A é denotado por �̅� e ocorre se e somente 
se não ocorre A. 
Vejamos alguns exemplos: 
Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. 
𝑈 = {1,2,3,4,5,6} 
Considere os seguintes eventos. 
 
A: ocorrência de um número ímpar. 𝐴 = {1,3,5}. 
B: ocorrência de um número par: 𝐵 = {2,4,6}. 
C: ocorrência de um número menor ou igual a 3. 𝐶 = {1,2,3} 
Desta forma, temos os seguintes eventos. 
𝐴 ∪ 𝐵: ocorrência de um número ímpar ou número par. 
𝐴 ∪ 𝐵 = {1,2,3,4,5,6} 
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𝐵 ∪ 𝐶: ocorrência de um número par ou de um número menor ou igual a 3. 
𝐵 ∪ 𝐶 = {1,2,3,4,6} 
 
𝐴 ∩ 𝐵: ocorrência de um número ímpar e par. 
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 
O resultado foi o conjunto vazio porque não existe número que seja simultaneamente par e 
ímpar. Neste caso dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos (ou mutuamente 
excludentes). 
 
Se 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑈, dizemos que A e B são eventos exaustivos. 
Se 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, dizemos que A e B são eventos mutuamente exclusivos (ou excludentes). 
𝐴 ∩ 𝐶: ocorrência de um número ímpar e menor ou igual a 3. 
𝐴 ∩ 𝐶 = {1,3} 
 
�̅�: não ocorrer um número ímpar. 
�̅� = {2,4,6} 
 
5. PROPRIEDADES SOBRE PROBABILIDADES 
 
è A probabilidade do evento impossível é 0 e a probabilidade do evento certo é igual a 1. 
Vamos lembrar: 
Quando o evento é igual ao espaço amostral, dizemos que o evento é certo. 
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Quando o evento é igual ao conjunto vazio, dizemos que o evento é impossível. 
Para ilustrar esta propriedade, vamos voltar ao exemplo do dado. 
Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. 
𝑈 = {1,2,3,4,5,6} 
Considere os eventos. 
A: ocorrência de número menor que 8. 𝐴 = {1,2,3,4,5,6} = 𝑈 
B: ocorrência de número maior que 8. 𝐵 = ∅ (conjunto vazio). 
Já sabemos que: 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑑𝑒	𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠	𝑑𝑜	𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜	𝑑𝑒	𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠	𝑑𝑜	𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜	𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 
Desta forma, 
𝑃(𝐴) =
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈) =
6
6 = 1 
𝑃(𝐵) =
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑈) =
0
6 = 0 
 
Observe ainda que se A e B são eventos exaustivos, ou seja, 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑈, então 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1. 
è Se A é um evento qualquer, então 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1. 
 
è Se A é um evento qualquer, então 𝑃(𝐴) + 𝑃(�̅�) = 1. 
É muito fácil ilustrar esta propriedade. Imagine que alguém te informa que a probabilidade de 
chover amanhã seja de 30%. Você rapidamente conclui que a probabilidade de não chover é de 
70%. Isto porque a soma das probabilidades de eventos complementares é igual a 1. 
Lembre-se que o símbolo % significa dividir por 100. Desta forma, podemos dizer que a soma 
das probabilidades de eventos complementares é igual a 1 ou 100%. Já que: 
100% =
100
100 = 1 
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Esta propriedade é importantíssima na resolução de muitas questões. Lembre-se que se a 
probabilidade de um evento A ocorrer é P(A), então a probabilidade de não ocorrer o evento A 
será igual a 1 – P(A). 
 
è Probabilidade do evento união 
Se A e B forem dois eventos quaisquer, então 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 
O evento união é o representado abaixo. 
 
Quando somamos 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) as probabilidades dos eventos contidos em 𝐴 ∩ 𝐵 são 
computadas duas vezes (uma por estarem em A e outra vez por estarem em B). Para eliminar esta 
“dupla contagem”, subtraímos 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) para que nenhum elemento seja contado mais de uma 
vez. O raciocínio é o mesmo do princípio da inclusão-exclusão (conjuntos). 
Vimos anteriormente que quando a interseção de dois conjuntos é o conjunto vazio eles são 
chamados de mutuamente excludentes. 
 
 
Neste caso, quando 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, tem-se que 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵). 
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Para três conjuntos quaisquer, a probabilidade da união fica: 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) 
 
6. PROBABILIDADE CONDICIONAL 
 
Imagine a seguinte situação: você está sentado em um teatro assistindo a uma peça. Há 400 
homens e 600 mulheres no teatro. De repente, é anunciado que será sorteado um carro entre os 
espectadores. Desta forma, como há 1.000 pessoas na plateia, então a probabilidade de um 
homem ser sorteado é igual a 
400
1.000 = 0,4 = 40% 
e a probabilidade de uma mulher ser sorteada é igual a 
600
1.000 = 0,6 = 60% 
Se eu, Guilherme, estivesse sentado neste teatro, a minha chance de ganhar este carro seria de 
1
1.000 = 0,001 = 0,1% 
 
Estas são as probabilidades a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize. Suponhamos 
que o apresentador do sorteio realize o experimento e resolve fazer um tipo de suspense. Ele 
então informa que a pessoa sorteada é um homem. Ocorre uma frustração geral entre as 
mulheres. Por quê? Porque a chance de alguma mulher vencer agora é igual a 0. Esta é uma 
probabilidade a posteriori, isto é, depois de realizado o experimento. 
Por outro lado, os ânimos dos homens se exaltam. Suas chances aumentaram. 
Ora, não temos mais 1.000 concorrentes, e sim 400. Os casos possíveis agora totalizam 400 
pessoas. A minha chance que antes era de 0,1%, agora será de: 
 
1
400 = 0,0025 = 0,25% 
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A minha chance de ganhar o carro aumentou! Observe que o espaço amostral foi “reduzido”. 
 
Vejamos outro exemplo para entendermos bem este conceito. Considere a seguinte tabela que 
reúne alguns alunos do Estratégia. 
 
Usam óculos Não usam óculos Total 
Mulheres 80 220 300 
Homens 20 180 200 
Total 100 400 500 
 
Imagine que colocamos em uma caixa 500 papéis, cada um com o nome de um destes 500 
alunos. Vou retirar um papel desta caixa. 
A probabilidade de a pessoa sorteada usar óculos é igual a 100/500, pois há 100 pessoas que 
usam óculos em um total de 500 pessoas. 
A probabilidade de a pessoa sorteada ser uma mulher é igual a 300/500, pois há 300 mulheres 
em um total de 500 pessoas. 
Estas são probabilidades "a priori", pois foramcalculadas antes da realização do sorteio. 
Imagine agora que eu realizo o sorteio e aviso: a pessoa sorteada é uma mulher. 
Qual é a probabilidade de ela usar óculos? 
Percebeu a diferença? 
Não temos mais 500 pessoas, pois sabemos que a pessoa sorteada é uma mulher! O total de 
possibilidades agora é 300. Queremos saber quantas pessoas, dentre as 300 mulheres, usam 
óculos. Ora, como há 80 mulheres que usam óculos, a probabilidade pedida (probabilidade a 
posteriori ou probabilidade condicional) é igual a 80/300. 
Imagine agora que eu realizo o sorteio e aviso: a pessoa sorteada usa óculos. 
Qual é a probabilidade de ela ser uma mulher? 
Ora, não temos mais 500 pessoas, pois sabemos que a pessoa sorteada usa óculos. O total de 
casos possíveis agora é 100. 
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Como queremos calcular a probabilidade de esta pessoa ser mulher, devemos olhar na tabela 
quantas são as mulheres que usam óculos: 80. 
Portanto, a probabilidade pedida é 80/100. 
Vamos treinar mais um pouco. Sabendo que a pessoa sorteada não usa óculos, qual é a 
probabilidade de ser um homem? 
Ora, se a pessoa sorteada não usa óculos, estamos restritos a 400 pessoas. Destas 400 pessoas 
que não usam óculos, 180 são homens. Portanto, a probabilidade pedida é 180/400 
Vejamos outro exemplo. 
Consideremos o experimento que consiste em jogar um dado não-viciado. Sejam o espaço 
amostral 𝑈 = {1,2,3,4,5,6} e os eventos 𝐴 = {2,4,6} e 𝐵 = {1,2,5}. 
Temos que a probabilidade de ocorrer o evento B é igual a: 
𝑃(𝐵) =
𝑛(𝐵)
𝑛(𝑈) =
3
6 =
1
2 
Esta é a probabilidade de B a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize. 
Suponhamos que, uma vez realizado o experimento, alguém nos informe que o resultado do 
mesmo é um número par, isto é, que o evento A ocorreu. A nossa opinião sobre a ocorrência do 
evento B se modifica com esta informação, já que, então, somente poderá ter ocorrido B se o 
resultado do experimento tiver sido o número 2. 
Esta opinião é quantificada com a introdução de uma “probabilidade a posteriori” ou, como 
vamos chamá-la doravante, probabilidade condicional de B dado A, definida por. 
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐴) =
1
3 
Vamos ilustrar esta situação com um diagrama. 
 
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Sabemos que ocorreu um número par. O nosso espaço amostral (casos possíveis) deixa de ser U 
e passa a ser A. 
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 = 𝐴 
Vamos representar o espaço amostral com a cor vermelha. 
 
O número de casos possíveis agora é igual a 3. 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟	𝐵	𝑠𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜	𝑞𝑢𝑒	𝐴	𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 =
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟	𝐵	𝑠𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜	𝑞𝑢𝑒	𝐴	𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 =
𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠	𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑛(𝐴) 
 
Para calcular a probabilidade de ocorrer o evento B, devemos nos restringir aos elementos 
comuns de A e B. Portanto, os casos desejados são os elementos da interseção entre A e B. 
𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒	𝑑𝑒	𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟	𝐵	𝑠𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜	𝑞𝑢𝑒	𝐴	𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐴) 
Finalmente, a expressão “probabilidade de ocorrer B sabendo que A ocorreu” é expressa assim: 
𝑃(𝐵|𝐴) 
Chegamos à fórmula: 
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐴) 
Vamos dividir numerador e denominador por 𝑛(𝑈). 
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𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝑈)
𝑛(𝐴)
𝑛(𝑈)
 
Assim, ficamos com: 
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴) 
Veja como é fácil memorizar esta expressão. 
𝑃(𝐵|𝐴) significa que queremos saber a probabilidade de B, sabendo que A ocorreu. 
No numerador, sempre ficará a interseção dos eventos: 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵). 
No denominador, sempre ficará a probabilidade do evento ocorrido: 𝑃(𝐴). 
Imagine, por exemplo, que queremos calcular 𝑃(𝐶|𝐷). 
No numerador, sempre ficará a interseção dos eventos: 𝑃(𝐶 ∩ 𝐷). 
No denominador, sempre ficará a probabilidade do evento ocorrido: 𝑃(𝐷). 
Portanto, 
𝑃(𝐶|𝐷) =
𝑃(𝐶 ∩ 𝐷)
𝑃(𝐷) 
Imagine que você está resolvendo uma questão de probabilidade e o enunciado pede para 
calcular a probabilidade de que o time A tenha vencido a partida, sabendo que choveu no dia do 
jogo. 
𝑃(𝑣𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟|𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢) = 
No numerador fica a interseção dos eventos. No denominador fica o evento que ocorreu. 
𝑃(𝑣𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟|𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢) =
𝑃(𝑣𝑒𝑛𝑐𝑒𝑟	𝑒	𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑟)
𝑃(𝑐ℎ𝑜𝑣𝑒𝑟) 
 
 
 
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6.1. Teorema da Multiplicação 
 
A probabilidade condicional mostra que: 
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴) 
Que pode ser expressa da seguinte forma: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴) 
Esta fórmula é chamada de Teorema da Multiplicação e pode ser lida assim: 
A probabilidade de ocorrerem os eventos A e B é igual a probabilidade de A vezes a 
probabilidade de B depois que A ocorreu. 
 
Se a ocorrência do evento A não influir no cálculo da probabilidade do evento B, os 
eventos são ditos independentes e neste caso, tem-se 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵) 
 
Isto quer dizer que se A e B são independentes, então: 
𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴) 
A primeira expressão afirma que a probabilidade de B ocorrer sabendo que A ocorreu é a própria 
probabilidade de B ocorrer. 
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A segunda expressão afirma que a probabilidade de A ocorrer sabendo que B ocorreu é a 
própria probabilidade de A ocorrer. 
 
6.2. Teorema da Probabilidade Total 
 
Imagine 3 urnas. Na primeira urna, há 2 bolas azuis e 3 bolas vermelhas; na segunda urna, há 1 
bola azul e 2 bolas vermelhas; na terceira urna, há 1 bola azul e 1 bola vermelha. 
 
Vamos selecionar uma dessas urnas ao acaso e retirar uma bola. Queremos calcular a 
probabilidade de a bola retirada ser vermelha. 
Observe que não podemos simplesmente dizer que são 10 bolas no total das quais 6 são 
vermelhas e que a probabilidade é igual a 6/10. Isso não pode ser feito porque as probabilidades 
de cada bola ser retirada não são iguais. 
Observe que: 
- Se a primeira urna for escolhida, a probabilidade de sair uma bola vermelha é 3/5. 
- Se a segunda urna for escolhida, a probabilidade de sair uma bola vermelha é 2/3. 
- Se a terceira urna for escolhida, a probabilidade de sair uma bola vermelha é 1/2. 
O nosso objetivo é calcular a probabilidade total de sair uma bola vermelha independentemente 
de qual urna foi selecionada. 
Um erro grave normalmente cometido é dizer que probabilidade de sair uma bola vermelha ao 
escolher aleatoriamente uma urna é igual à soma das probabilidades acima calculadas. Observe: 
3
5 +
2
3 +
1
2 = 0,6 + 0,6666…+ 0,5 = 1,7666… > 1 
Ora, sabemos que a probabilidade não pode ser maior que 1 e, obviamente, o raciocínio acima 
está errado. 
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17 
 
O raciocínio está errado porque o experimento é realizado em duas etapas a, saber: 
i) escolher uma urna aleatoriamente 
ii) escolher uma bola aleatoriamente 
O evento “bola vermelha” pode ocorrer se escolhermos a urna 1, urna 2 ou urna 3. 
A probabilidade de escolhermos a urna 1 é 1/3. Escolhida a urna 1, a probabilidade de sair uma 
bola vermelha é 3/5. Assim, a probabilidade de escolhermos uma bola vermelha da urna 1 é igual 
a 
1
3 ∙
3
5 =
3
15 
 
A probabilidadede escolhermos a urna 2 é 1/3. Escolhida a urna 2, a probabilidade de sair uma 
bola vermelha é 2/3. Assim, a probabilidade de escolhermos uma bola vermelha da urna 2 é igual 
a 
1
3 ∙
2
3 =
2
9 
 
A probabilidade de escolhermos a urna 3 é 1/3. Escolhida a urna 3, a probabilidade de sair uma 
bola vermelha é 1/2. Assim, a probabilidade de escolhermos uma bola vermelha da urna 3 é igual 
a 
1
3 ∙
1
2 =
1
6 
A probabilidade total é a soma das probabilidades calculadas. 
𝑃(𝑉𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎) =
3
15 +
2
9 +
1
6 =
18 + 20 + 15
90 =
53
90 
 
Este raciocínio pode ser facilitado com um diagrama de árvore. A primeira etapa é escolher a 
urna. Escolhida a urna, vamos selecionar uma bola ao acaso. 
 
A probabilidade de cada urna ser selecionada ao acaso é 1/3. 
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18 
 
A probabilidade de escolhermos a urna 1 é 1/3. Escolhida a urna 1, a probabilidade de sair uma 
bola vermelha é 3/5. A probabilidade de sair uma bola azul é 2/5. 
A probabilidade de escolhermos a urna 2 é 1/3. Escolhida a urna 2, a probabilidade de sair uma 
bola vermelha é 2/3. A probabilidade de sair uma bola azul é 1/3. 
A probabilidade de escolhermos a urna 3 é 1/3. Escolhida a urna 3, a probabilidade de sair uma 
bola vermelha é 1/2. A probabilidade de sair uma bola azul é 1/2. 
Vamos escrever estas probabilidades no diagrama a seguir. 
 
Agora, basta multiplicar as respectivas probabilidades em cada “caminho” das setas. 
 
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19 
 
 
A probabilidade total de sair uma bola vermelha é igual a 
3
15 +
2
9 +
1
6 =
18 + 20 + 15
90 =
53
90 
 
 
Durante o mês de março, a probabilidade de chover em um determinado dia é de 7/10. Os voos 
da companhia aérea Rosa são cancelados em um dia de chuva com probabilidade 4/5 e em um 
dia sem chuva com probabilidade 1/20. Qual a probabilidade de, em um dia qualquer do mês 
de março, um determinado voo da companhia Rosa não ser cancelado? 
Comentário 
A probabilidade de chover em um determinado dia é 7/10. Portanto, a probabilidade de não 
chover é 3/10. 
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20 
 
 
A probabilidade de o voo ser cancelado em um dia de chuva é 4/5. Assim, a probabilidade de o 
voo não ser cancelado é 1/5. 
A probabilidade de o voo ser cancelado em um dia sem chuva é 1/20. Assim, a probabilidade de 
o voo não ser cancelado é 19/20. 
 
Queremos calcular a probabilidade de em um dia qualquer do mês de março o voo não ser 
cancelado. Vamos multiplicar as probabilidades nos caminhos que chegam nos voos não 
cancelados. 
 
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21 
 
Agora basta somar as probabilidades. 
𝑃(𝑁ã𝑜	𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
7
50 +
57
200 =
28 + 57
200 =
85
200 = 42,5% 
 
 
De uma forma mais geral, assim fica o Teorema da Probabilidade Total. 
 
Observe que o evento B ocorre depois do evento A. Assim, para calcular a probabilidade de B 
em cada ramo do diagrama, devemos levar em consideração a ocorrência do evento A. Ficamos 
com: 
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴!) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴!) + 𝑃(𝐴&) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴&) 
Não se preocupe em decorar a fórmula acima. Aprenda a construir o diagrama de árvores e você 
será capaz de resolver todas as questões. 
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22 
 
 
6.3. Teorema de Bayes 
 
Durante o mês de março, a probabilidade de chover em um determinado dia é de 7/10. Os voos 
da companhia aérea Rosa são cancelados em um dia de chuva com probabilidade 4/5 e em um 
dia sem chuva com probabilidade 1/20. Um determinado voo da companhia Rosa foi cancelado 
em um dia do mês de março. Calcule a probabilidade de ter chovido nesse dia. 
Comentário 
Queremos calcular a probabilidade de ter chovido sabendo que o voo foi cancelado. 
𝑃(𝐶ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢|𝑉𝑜𝑜	𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) 
Esta é uma probabilidade condicional. 
No numerador, devemos colocar a probabilidade interseção dos eventos. No denominador, a 
probabilidade do que sabemos que ocorreu. 
𝑃(𝐶ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢|𝑉𝑜𝑜	𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
𝑃(𝐶ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢 ∩ 𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜)
𝑃(𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) 
Observe o diagrama. 
 
Pelo diagrama, temos: 
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23 
 
𝑃(𝐶ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢 ∩ 𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
7
10 ∙
4
5 =
28
50 =
14
25 
Vamos agora calcular a probabilidade de o voo ter sido cancelado. Para tanto, vamos utilizar o 
Teorema da Probabilidade total: o voo pode ter sido cancelado se choveu ou se não choveu. 
𝑃(𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
7
10 ∙
4
5efg
'()*+,	+	.)/	0120+314)
+
3
10 ∙
1
20ehfhg
#ã)	0()*+,	+	.)/	0120+314)
 
 
𝑃(𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
28
50 +
3
200 =
112 + 3
200 =
115
200 =
23
40 
Assim, ficamos com: 
 
𝑃(𝐶ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢|𝑉𝑜𝑜	𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
𝑃(𝐶ℎ𝑜𝑣𝑒𝑢 ∩ 𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜)
𝑃(𝑉𝑜𝑜	𝐶𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜) =
14/25
23/40 =
14
25 ∙
40
23 =
560
575 =
112
115 
 
A probabilidade de ter chovido sabendo que o voo foi cancelado é de 112/115. 
 
O teorema de Bayes é um corolário do Teorema da Probabilidade Total. Observe o diagrama 
que construímos no tópico anterior. 
 
Estamos interessados em calcular a probabilidade de ocorrer A1 sabendo que B ocorreu. 
𝑃(𝐴!|𝐵) =? 
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24 
 
Do teorema da probabilidade condicional, temos: 
𝑃(𝐴!|𝐵) =
𝑃(𝐴! ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵) 
𝑃(𝐴!|𝐵) =
𝑃(𝐴!) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴!)
𝑃(𝐵) 
 
Do Teorema da Probabilidade Total temos que 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴!) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴!) + 𝑃(𝐴&) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴&). 
Portanto, 
𝑃(𝐴!|𝐵) =
𝑃(𝐴!) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴!)
𝑃(𝐴!) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴!) + 𝑃(𝐴&) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴&)
 
 
Novamente, não se preocupe em memorizar a fórmula acima. Você pode ficar em mente 
somente com a fórmula da probabilidade condicional: 
𝑃(𝐴!|𝐵) =
𝑃(𝐴! ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵) 
Podemos ainda utilizar o diagrama de árvores ou a probabilidade como frequência relativa para 
resolver problemas envolvendo o Teorema de Bayes. 
 
 
 
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25 
 
 
7. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES 
 
1. (FGV 2018/ALE-RO) 
Várias pessoas, entre as quais Artur e Mário, estão sentadas em volta de uma mesa redonda. 
Entre Artur e Mário há 3 pessoas por um lado e 5 pessoas pelo outro. 
Uma das pessoas da mesa é sorteada ao acaso. A probabilidade de que essa pessoa sorteada 
não seja nem Artur, nem Mário, nem nenhum dos seus vizinhos, é de 
a) 20%. 
b) 30%. 
c) 40%. 
d) 50%. 
e) 60%. 
 
2. (FGV 2018/SASDH – Niterói) 
Um dado é lançado duas vezes consecutivas. Considere os seguintes eventos relativos a esses 
lançamentos: 
A: a soma dos números obtidos é 8 
B: a soma dos números obtidos é 10 
C: a soma dos números obtidos é 12 
Colocando-se esses três eventos em ordem crescente da probabilidade de ocorrência, obtém-
se: 
a) A, B, C; 
b) A, C, B; 
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26 
 
c) B, C, A; 
d) C, A, B; 
e) C, B, A. 
 
3. (FGV 2017/SEPOG-RO) 
Para uma premiação, dois funcionários de uma empresa serão sorteados aleatoriamente entrequatro candidatos: dois do departamento A e dois do departamento B. A probabilidade de os 
dois funcionários sorteados pertencerem ao mesmo departamento é 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 1/6 
e) ¾ 
 
4. (FGV 2015/TJ-SC) 
Cada uma das 13 letras do nome “SANTA CATARINA” é escrita em um cartão e todos os 
cartões são colocados em uma urna. Aleatoriamente, são então retirados, sucessivamente e sem 
reposição, dois cartões. 
A probabilidade de um dos cartões retirados conter a letra S e o outro cartão retirado conter a 
letra C é de: 
a) 2/13 
b) 3/39 
c) 1/78 
d) 1/156 
e) 25/156 
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27 
 
5. (FGV 2015/Câmara Municipal de Caruaru) 
Dois dados são jogados. A probabilidade de que o produto dos dois números sorteados seja 
maior do que 12 é 
a) 13/36. 
b) 5/12. 
c) 2/3. 
d) 1/3. 
e) 1/2. 
 
6. (FGV 2015/TJ-RO) 
Um tabuleiro de damas tem 32 quadradinhos pretos e 32 quadradinhos brancos. 
 
Um desses 64 quadradinhos é sorteado ao acaso. 
A probabilidade de que o quadradinho sorteado seja um quadradinho preto da borda do 
tabuleiro é: 
a) 1/2. 
b) 1/4. 
c) 1/8. 
d) 9/16. 
e) 7/32. 
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28 
 
7. (FGV 2015/Prefeitura de Paulínia) 
Um ciclo completo de um determinado semáforo é de um minuto e meio. A cada ciclo o 
semáforo fica vermelho 30 segundos, em seguida fica laranja 10 segundos e, por fim, fica verde 
50 segundos. 
Escolhido um instante de tempo ao acaso, a probabilidade de que neste instante de tempo o 
semáforo NÃO esteja fechado, isto é, NÃO esteja vermelho, é: 
a) 1/9. 
b) 2/9. 
c) 1/3. 
d) 4/9. 
e) 2/3. 
 
8. (FGV 2014/Prefeitura de Osasco) 
Um semáforo funciona continuamente de tal modo que a cada minuto ele fica verde por 30 
segundos, fica amarelo por 10 segundos e vermelho por 20 segundos. 
Em um instante de tempo escolhido aleatoriamente, a probabilidade de o semáforo estar 
vermelho é: 
a) 1/5. 
b) 1/4. 
c) 1/3. 
d) 1/2. 
e) 2/3. 
 
9. (FGV 2018/ALE-RO) 
Em uma caixa há 4 cartões amarelos e 6 cartões vermelhos. Foram retirados, aleatoriamente, 2 
cartões da caixa. 
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29 
 
 A probabilidade de os dois cartões retirados serem vermelhos é de 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 1/5 
e) 1/6 
 
10. (FGV 2018/ALE-RO) 
Em um grupo de 10 deputados, 6 são do Partido A e 4 são do Partido B. Serão sorteados 2 
desses 10 deputados, aleatoriamente. 
A probabilidade de os 2 deputados sorteados serem do Partido B é 
a) 1/5 
b) 2/5 
c) 2/3 
d) 2/9 
e) 2/15 
 
11. (FGV 2018/ALE-RO) 
Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Três dessas bolas são sorteados 
aleatoriamente. A probabilidade de o produto dos três números sorteados ser ímpar é 
a) 1/12 
b) 1/10 
c) 1/8 
d) 1/4 
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30 
 
e) ½ 
 
12. (FGV 2017/IBGE) 
A probabilidade de um determinado aluno acertar cada uma das duas últimas questões de uma 
determinada prova é 70%. 
Acertar ou errar cada uma das questões são eventos independentes. 
A probabilidade desse aluno errar as duas referidas questões: 
a) é menor que 10%; 
b) está entre 10% e 20%; 
c) está entre 20% e 30%; 
d) está entre 30% e 50%; 
e) é maior que 50%. 
 
13. (FGV 2017/Prefeitura de Salvador) 
Abel tem uma moeda que dá “cara” com probabilidade 1/2 e Breno tem uma moeda que dá 
“cara” com probabilidade 1/3. Abel e Breno lançam suas respectivas moedas, alternadamente. 
O primeiro que obtiver “cara”, ganha. Abel é o primeiro a lançar, e os lançamentos são todos 
independentes. A probabilidade de Abel ganhar no seu terceiro lançamento é de 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 1/8 
e) 1/18 
 
 
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31 
 
14. (FGV 2015/TJ-RO) 
A probabilidade de chover em determinado dia, dado que choveu no dia anterior, é de 0,6. Se a 
probabilidade de chover em um dia qualquer é de 0,3, a probabilidade de dois dias de chuva 
seguidos é de: 
a) 0,15; 
b) 0,18; 
c) 0,30; 
d) 0,40; 
e) 0,50. 
 
15. (FGV 2018/ALE-RO) 
Dois eventos A e B ocorrem, respectivamente, com 40% e 30% de probabilidade. A 
probabilidade de que A ocorra ou B ocorra é 50%. Assim, a probabilidade de que A e B ocorram 
é igual a 
a) 10%. 
b) 20%. 
c) 30%. 
d) 40%. 
e) 50%. 
 
16. (CESPE 2018/EBSERH) 
Uma pesquisa revelou características da população de uma pequena comunidade composta 
apenas por casais e seus filhos. 
Todos os casais dessa comunidade são elementos do conjunto A∪B∪C, em que 
A = {casais com pelo menos um filho com mais de 20 anos de idade}; 
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32 
 
B = {casais com pelo menos um filho com menos de 10 anos de idade}; 
C = {casais com pelo menos 4 filhos}. 
Considerando que n(P) indique a quantidade de elementos de um conjunto P, suponha 
que n(A)=18; n(B)=20; n(C)=25; n(A∩B)=13; n(A∩C)=11; n(B∩C)=12e n(A∩B∩C)=8. O diagrama 
a seguir mostra essas quantidades de elementos. 
 
Com base nas informações e no diagrama precedentes, julgue o item a seguir. 
Se um casal dessa comunidade for escolhido ao acaso, então a probabilidade de ele ter menos 
de 4 filhos será superior a 0,3. 
 
17. (CESPE 2017/Pref. de São Luís) 
Em um jogo de azar, dois jogadores lançam uma moeda honesta, alternadamente, até que um 
deles obtenha o resultado cara. O jogador que detiver esse resultado será o vencedor. a 
probabilidade de o segundo jogador vencer o jogo logo em seu primeiro arremesso é igual a 
a) 2/3 
b) 1/2 
c) 1/4 
d) 1/8 
e) ¾ 
 
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33 
 
18. (CESPE 2018/Polícia Federal) 
Em um aeroporto, 30 passageiros que desembarcaram de determinado voo e que estiveram nos 
países A, B ou C, nos quais ocorre uma epidemia infecciosa, foram selecionados para ser 
examinados. Constatou-se que exatamente 25 dos passageiros selecionados estiveram em A ou 
em B, nenhum desses 25 passageiros esteve em C e 6 desses 25 passageiros estiveram em A e 
em B. 
Com referência a essa situação hipotética, julgue o item que se segue. 
Se 2 dos 30 passageiros, selecionados forem escolhidos ao acaso, então a probabilidade de 
esses 2 passageiros terem estado em 2 desses países é inferior a 1/30. 
 
19. (CESPE 2018/ABIN) 
Como forma de melhorar a convivência, as famílias Turing, Russell e Gödel disputaram, no 
parque da cidade, em um domingo à tarde, partidas de futebol e de vôlei. O quadro a seguir 
mostra os quantitativos de membros de cada família presentes no parque, distribuídos por 
gênero. 
 
A partir dessa tabela, julgue os itens subsequentes. 
Considere que, em eventual sorteio de brindes, um nome tenha sido retirado, ao acaso, do 
interior de uma urna que continha os nomes de todos os familiares presentes no evento. Nessa 
situação, sabendo-se que o sorteado não é uma mulher da família Gödel, a probabilidade de ser 
uma mulher da família Russel será superior a 20%. 
 
20. (CESPE 2017/SEDF) 
Cinco mulheres e quatro homens trabalham em um escritório. De forma aleatória, uma dessas 
pessoas será escolhida para trabalhar no plantão de atendimento ao público no sábado. Em 
seguida, outra pessoa será escolhida, também aleatoriamente, para o plantãono domingo. 
Considerando que as duas pessoas para os plantões serão selecionadas sucessivamente, de 
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34 
 
forma aleatória e sem reposição, julgue o próximo item. 
Se uma mulher tiver sido escolhida para ser a plantonista de sábado, então a probabilidade de se 
escolher um homem para o plantão de domingo é igual a 0,5. 
 
21. (CESPE 2017/SEDF) 
Cinco mulheres e quatro homens trabalham em um escritório. De forma aleatória, uma dessas 
pessoas será escolhida para trabalhar no plantão de atendimento ao público no sábado. Em 
seguida, outra pessoa será escolhida, também aleatoriamente, para o plantão no domingo. 
Considerando que as duas pessoas para os plantões serão selecionadas sucessivamente, de 
forma aleatória e sem reposição, julgue o próximo item. 
A probabilidade de os dois plantonistas serem homens é igual ou superior a 4/9. 
 
22. (CESPE 2017/SEDF) 
Cinco mulheres e quatro homens trabalham em um escritório. De forma aleatória, uma dessas 
pessoas será escolhida para trabalhar no plantão de atendimento ao público no sábado. Em 
seguida, outra pessoa será escolhida, também aleatoriamente, para o plantão no domingo. 
Considerando que as duas pessoas para os plantões serão selecionadas sucessivamente, de 
forma aleatória e sem reposição, julgue o próximo item. 
A probabilidade de os plantões serem feitos por um homem e uma mulher é igual a 5/9. 
 
 
 
 
 
 
 
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35 
 
23. (CESPE 2016/FUNPRESP) 
 
O gráfico ilustra cinco possibilidades de fundos de investimento com suas respectivas 
rentabilidades. Considerando que as probabilidades de investimento para os fundos A, B, C e D 
sejam, respectivamente, P(A)= 0,182; P(B) = 0,454; P(C)= 0,091; e P(D)= 0,182, julgue o item 
subsequente. 
A probabilidade do fundo de investimento E é maior que a probabilidade do fundo de 
investimento C. 
 
24. (CESPE 2016/INSS) 
Uma população de 1.000 pessoas acima de 60 anos de idade foi dividida nos seguintes dois 
grupos: 
A: aqueles que já sofreram infarto (totalizando 400 pessoas); e 
B: aqueles que nunca sofreram infarto (totalizando 600 pessoas). 
Cada uma das 400 pessoas do grupo A é ou diabética ou fumante ou ambos (diabética e 
fumante). 
A população do grupo B é constituída por três conjuntos de indivíduos: fumantes, ex-fumantes e 
pessoas que nunca fumaram (não-fumantes). 
Com base nessas informações, julgue o item subsecutivo. 
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Se, no grupo B, a quantidade de fumantes for igual a 20% do total de pessoas do grupo e a 
quantidade de ex-fumantes for igual a 30% da quantidade de pessoas fumantes desse grupo, 
então, escolhendo-se aleatoriamente um indivíduo desse grupo, a probabilidade de ele não 
pertencer ao conjunto de fumantes nem ao de ex-fumantes será inferior a 70%. 
 
25. (CESPE/TELEBRAS 2015) 
A equipe de atendentes de um serviço de telemarketing é constituída por 30 empregados, 
divididos em 3 grupos, que trabalham de acordo com a seguinte escala. 
- Grupo I: 7 homens e 3 mulheres, que trabalham das 6 h às 12 h. 
- Grupo II: 4 homens e 6 mulheres, que trabalham das 9 h às 15 h. 
- Grupo III: 1 homem e 9 mulheres, que trabalham das 12 h às 18 h. 
A respeito dessa equipe, julgue o item que se segue. 
A probabilidade de um cliente que liga para o telemarketing ser atendido por uma atendente é 
maior no período de 15 h a 18 h do que no período de 12 h a 15 h. 
 
26. (CESPE/TELEBRAS 2015) 
Nas chamadas de suporte de uma empresa de telecomunicações, o funcionário Pedro resolve o 
problema do cliente em duas de cada três vezes em que é solicitado, enquanto Marcos resolve 
em três de cada quatro chamadas. 
A partir dessa situação hipotética, julgue o item seguinte, considerando que os funcionários 
sejam suficientemente experientes para que a tentativa de resolução do problema de qualquer 
chamada não esteja subordinada a tentativas anteriores. 
Se Pedro não resolver o problema de um cliente, considerando-se que nenhuma informação a 
respeito da tentativa é repassada a Marcos, a probabilidade de que este também não resolva o 
referido problema será inferior a 20%. 
 
 
 
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27. (CESPE/TELEBRAS 2015) 
Nas chamadas de suporte de uma empresa de telecomunicações, o funcionário Pedro resolve o 
problema do cliente em duas de cada três vezes em que é solicitado, enquanto Marcos resolve 
em três de cada quatro chamadas. 
A partir dessa situação hipotética, julgue o item seguinte, considerando que os funcionários 
sejam suficientemente experientes para que a tentativa de resolução do problema de qualquer 
chamada não esteja subordinada a tentativas anteriores. 
Se Pedro e Marcos tentarem, independentemente, resolver o mesmo problema desse cliente, a 
chance de ambos resolverem o problema desse cliente será inferior a 45%. 
 
28. (CESPE/TELEBRAS 2015) 
 Nas chamadas de suporte de uma empresa de telecomunicações, o funcionário Pedro resolve o 
problema do cliente em duas de cada três vezes em que é solicitado, enquanto Marcos resolve 
em três de cada quatro chamadas. 
 A partir dessa situação hipotética, julgue o item seguinte, considerando que os funcionários 
sejam suficientemente experientes para que a tentativa de resolução do problema de qualquer 
chamada não esteja subordinada a tentativas anteriores. 
 Se ambos tentarem, independentemente, resolver o mesmo problema de um cliente, então a 
chance de o problema ser resolvido por Pedro ou por Marcos será superior a 90%. 
 
29. (CESPE/DEPEN 2015) 
Considerando que, entre a população carcerária de um presídio, a probabilidade de um detento 
contrair tuberculose seja igual a 0,01; que dois detentos sejam selecionados aleatoriamente 
dessa população carcerária; e que as ocorrências de tuberculose entre esses detentos sejam 
eventos independentes, julgue o item. 
 A probabilidade de os dois detentos na amostra contraírem tuberculose será igual a 0,02. 
 
 
 
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30. (CESPE/DEPEN 2015) 
Considerando que, entre a população carcerária de um presídio, a probabilidade de um detento 
contrair tuberculose seja igual a 0,01; que dois detentos sejam selecionados aleatoriamente 
dessa população carcerária; e que as ocorrências de tuberculose entre esses detentos sejam 
eventos independentes, julgue o item. 
A probabilidade de pelo menos um detento na amostra contrair tuberculose será superior a 0,01 
e inferior a 0,03. 
 
 (CESPE 2015/TCE-RN) 
Para fiscalizar determinada entidade, um órgão de controle escolherá 12 de seus servidores: 5 
da secretaria de controle interno, 3 da secretaria de prevenção da corrupção, 3 da corregedoria 
e 1 da ouvidoria. Os 12 servidores serão distribuídos, por sorteio, nas equipes A, B e C; e cada 
equipe será composta por 4 servidores. A equipe A será a primeira a ser formada, depois a 
equipe B e, por último, a C. 
A respeito dessa situação, julgue os itens subsequentes. 
31. A probabilidade de um servidor que não for sorteado para integrar a equipe A ser 
sorteado para integrar a equipe B é igual a 0,5. 
 
32. A probabilidade de a equipe A ser composta por quatro servidores da secretaria de 
controle interno é inferior a 0,01. 
 
33. A chance de a equipe A ser composta por um servidor de cada unidade é superior a 
10%. 
 
 
34. (CESPE 2015/Polícia Federal)Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 do sexo feminino. A região 
atendida pelo batalhão é composta por 10 quadras e, em cada dia da semana, uma dupla de 
policiais policia cada uma das quadras. 
Com referência a essa situação, julgue o item subsequente. 
Caso as duplas de policiais sejam formadas aleatoriamente, então a probabilidade de que em 
determinado dia os policiais que policiarão determinada quadra sejam do mesmo sexo será 
superior a 0,5. 
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35. (CESPE 2014/ANTAQ) 
Uma pesquisa sobre o objeto de atividade de 600 empresas apresentou o seguinte resultado: 
• 5/6 dessas empresas atuam no mercado de transporte fluvial de cargas; 
• 1/3 dessas empresas atuam no mercado de transporte fluvial de passageiros; 
• 50 dessas empresas não atuam com transporte fluvial, nem de cargas, nem de passageiros; 
Com base nessa situação hipotética e sabendo-se que as 600 empresas pesquisadas se 
enquadram em, pelo menos, uma das 3 opções acima, julgue o item a seguir. 
Selecionada, ao acaso, uma dessas empresas, a probabilidade de que ela não atue com 
transporte fluvial de cargas nem de passageiros é inferior a 10%. 
 
36. (CESPE 2014/SUFRAMA) 
Uma pesquisa na qual os 40 alunos de uma disciplina deveriam responder SIM ou NÃO às 
perguntas P1 e P2 apresentadas a eles, mostrou o seguinte resultado: 
• 28 responderam SIM à pergunta P1; 
• 22 responderam SIM à pergunta P2; 
• 5 responderam NÃO às 2 perguntas. 
Com base nessas informações, julgue os itens subsecutivos. 
Selecionando-se ao acaso um desses alunos, a probabilidade de ele ter respondido SIM a pelo 
menos uma das perguntas será superior a 0,9. 
 
 
37. (CESPE 2013/TRT 17ª Região) 
 Os alunos de uma turma cursam 4 disciplinas que são ministradas por 4 professores diferentes. 
As avaliações finais dessas disciplinas serão realizadas em uma mesma semana, de segunda a 
sexta-feira, podendo ou não ocorrerem em um mesmo dia. 
A respeito dessas avaliações, julgue os itens seguintes. 
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Se cada professor escolher o dia em que aplicará a avaliação final de sua disciplina de modo 
independente dos demais, a probabilidade de que todos escolham aplicar as avaliações em um 
mesmo dia será inferior a 1%. 
 
38. (CESPE 2013/SEGESP-AL) 
Nas investigações, pesquisadores e peritos devem evitar fazer afirmações e tirar conclusões 
errôneas. Erros de generalização, ocorridos ao se afirmar que certas características presentes em 
alguns casos deveriam estar presentes em toda a população, são comuns. É comum, ainda, o 
uso de argumentos inválidos como justificativa para certas conclusões. Acerca de possíveis erros 
em trabalhos investigativos, julgue o item a seguir. 
Se determinado evento for impossível, então a probabilidade de ocorrência desse evento será 
nula. 
 
39. (CESPE 2013/BACEN) 
A numeração das notas de papel-moeda de determinado país é constituída por duas das 26 
letras do alfabeto da língua portuguesa, com ou sem repetição, seguidas de um numeral com 9 
algarismos arábicos, de 0 a 9, com ou sem repetição. Julgue os próximos itens, relativos a esse 
sistema de numeração. 
Considere o conjunto das notas numeradas da forma #A12345678&, em que # representa uma 
letra do alfabeto e &, um algarismo. Nessa situação, retirando-se, aleatoriamente, uma nota 
desse conjunto, a probabilidade de # ser uma vogal e de & ser um algarismo menor que 4 é 
inferior a 1/10. 
 
40. (CESPE 2013/MTE) 
Um auditor do trabalho deve analisar 20 processos: 5 a respeito de segurança no trabalho, 7 a 
respeito de FGTS e 8 a respeito de jornada de trabalho. Considerando que esses processos 
sejam colocados sobre a mesa de trabalho do auditor, de maneira aleatória, formando uma 
pilha, julgue os itens que se seguem. 
Considere que uma pilha com os 20 processos seja formada de maneira aleatória. Nesse caso, a 
probabilidade de o processo que está na parte superior tratar de assunto relativo a FGTS será 
superior a 0,3. 
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41. (CESPE 2008/SEAD-PA) 
A respeito de probabilidade e estatística, assinale a opção correta. 
A) Os eventos são coletivamente exaustivos se não têm elemento comum, ou se não podem 
ocorrer simultaneamente. 
B) Os eventos são mutuamente excludentes se nenhum outro resultado é possível para o 
experimento em questão. 
C) Espaço amostral é uma coleção bem definida de objetos ou itens. 
D) A probabilidade de qualquer evento é representada por um número entre 0 e 1. 
 
42. (FCC 2018/SEFAZ-GO) 
Em um campeonato de futebol, as equipes recebem 3 pontos a cada vitória, 1 ponto por 
empate e não recebem ponto quando são derrotadas. Faltando somente a última rodada para 
ser disputada, apenas a equipe X, com 74 pontos, e a equipe Y, com 73 pontos, ainda têm 
chance de vencer o campeonato. O campeão será aquele que somar mais pontos ao final da 
última rodada, sendo que, em caso de empate, os critérios estabelecidos no regulamento 
indicam que a equipe Y será a campeã. Considerando os adversários de cada equipe na última 
rodada, analistas esportivos estimaram, para as equipes X e Y, as seguintes probabilidades para 
os jogos que decidirão o torneio. 
Equipe Adversário na 
última 
rodada 
Probabilidade 
de vitória 
Probabilidade 
de empate 
Probabilidade 
de derrota 
X P 50% 30% 20% 
Y Q 80% 10% 10% 
Admitindo que os resultados dos jogos das equipes X e Y na última rodada sejam 
independentes, a probabilidade de que a equipe X seja campeã, de acordo com a estimativa 
dos analistas é igual a: 
a) 60% 
b) 63% 
c) 50% 
d) 55% 
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e) 58% 
 
43. (FUNRIO 2009/ Administrador FUNAI) 
O vírus X aparece nas formas X1 e X2. Se um indivíduo tem esse vírus, a probabilidade de ser na 
forma X1 é 3/5. Se o indivíduo tem o vírus na forma X1, a probabilidade desse indivíduo 
sobreviver é 2/3; mas, se o indivíduo tem o vírus na forma X2, a probabilidade dele sobreviver é 
5/6. Nessas condições, a probabilidade do indivíduo portador do vírus X sobreviver é 
a) 11/15 
b) 2/3 
c) 3/5 
d) 7/15 
e) 1/3 
 
44. (FGV 2015/ TJ-RO) 
Suponha que A e B são dois eventos quaisquer, tais que P(A) = 0,7 e 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝟎, 𝟗. Então, se 
eles são independentes, pode-se afirmar que P(B) é igual a: 
a) 0,6 
b) 3/4 
c) 2/3 
d) 0,2 
e) ½ 
 
 
 
 
 
 
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43 
 
45. (FCC 2016/ Pref. de Campinas) 
Em um sorteio de prêmios na festa de funcionários de uma empresa, serão sorteadas 10 
bicicletas. O número de participantes nesse sorteio é de 60 pessoas. Quando uma pessoa é 
sorteada seu nome é retirado da lista para os sorteios seguintes. Foram sorteadas 9 bicicletas e 
nenhuma pessoa do setor de informática havia sido sorteada. Sabendo que esse setor estava 
representado por 17 pessoas, a probabilidade de uma dessas pessoas ganhar a última bicicleta é 
igual a 
a) 17% 
b) 3/5 
c) 25% 
d) 1/4 
e) 1/3 
 
46. (FCC 2017/ ARTESP) 
Em um trecho de pedágio de uma rodovia no interior do Estado passam, pelas cabines, um total 
de 2.300 carretas de dois e três eixos, onde 1.725 são carretas de dois eixos. A probabilidade de 
passar uma carreta de três eixos pelas cabines é de 
(A) 30%. 
(B) 20%. 
(C) 33%. 
(D) 15%. 
(E) 25%. 
 
47. (FCC 2016/ TRT 20ª Região) 
A tabela a seguirapresenta a distribuição de frequências conjunta das variáveis salário e tempo 
de serviço, relativas a um grupo de 200 funcionários de um órgão público. A variável salário está 
representada por faixas de salário em número de salários mínimos (SM) e a variável tempo de 
serviço foi classificada por faixas de tempo em anos. 
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44 
 
 
Um funcionário desse grupo será selecionado ao acaso. A probabilidade dele ganhar, pelo 
menos, 11 salários mínimos, dado que ele trabalha há menos de 10 anos no órgão público, é 
igual a 
(A) 1/8 
(B) 5/24 
(C) 5/12 
(D) 3/5 
(E) 7/12 
48. (FCC 2016/ TRT 20ª Região) 
A tabela a seguir apresenta a distribuição de frequências conjunta das variáveis salário e tempo 
de serviço, relativas a um grupo de 200 funcionários de um órgão público. A variável salário está 
representada por faixas de salário em número de salários mínimos (SM) e a variável tempo de 
serviço foi classificada por faixas de tempo em anos. 
 
Cinco funcionários serão selecionados ao acaso e com reposição desse grupo. A probabilidade 
de que, nesse grupo de cinco, três funcionários tenham menos do que 5 anos de serviço e que 
dois funcionários tenham, pelo menos, 10 anos de serviço é igual a 
(A) 0,1080 
(B) 0,0864 
(C) 0,0536 
(D) 0,0432 
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(E) 0,1236 
 
49. (FCC 2016/ CREMESP) 
Em dezembro serão vistoriados 10 estabelecimentos de saúde, sendo 2 hospitais, 1 pronto-
socorro, 3 ambulatórios e 4 postos de saúde. Sorteando-se ao acaso a ordem de visita dos 10 
estabelecimentos, a probabilidade de que os dois primeiros sejam postos de saúde é igual a 
a) 2/15 
b) 4/25 
c) 2/25 
d) 3/20 
e) 3/25 
50. (FCC 2017/ SABESP) 
Ao alugar um apartamento de temporada, Alex recebeu um molho com 12 chaves. Todas as 
chaves eram muito parecidas, mas apenas uma abria a porta de entrada do apartamento. 
Considere que ao fazer uma tentativa frustrada de abrir a porta com uma chave, Alex retira essa 
chave do molho para evitar tentar novamente com ela. 
A probabilidade de Alex abrir a porta de entrada do apartamento exatamente na quarta 
tentativa é igual a 
a) 4/3 
b) 1/4 
c) 1/6 
d) 1/12 
e) ¾ 
 
51. (FGV 2016/ IBGE) 
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46 
 
Raíza e Diego resolvem disputar um jogo em que cada um deles lança uma moeda honesta de 
forma independente e simultânea. Ela será vencedora no caso de dois resultados iguais, e ele, 
de dois diferentes. As probabilidades de vitória dela e dele são, respectivamente, iguais a: 
(A) 2/3 e 1/3; 
(B) 1/4 e 3/4; 
(C) 1/3 e 2/3; 
(D) 1/2 e 1/2; 
(E) 3/4 e 1/4. 
 
52. (FGV 2016/ IBGE) 
Suponha que, de um baralho normal, contendo 52 cartas de quatro naipes, é extraído, sem 
reposição e aleatoriamente, um total de quatro cartas. Se a carta “Ás” é equivalente a uma 
figura (ou seja, são 4 figuras e 9 números de cada naipe), é correto afirmar que a probabilidade 
de que todas sejam: 
a) do mesmo naipe é igual a (13/52).(12/51).(11/50).(10/49). 
b) figuras é igual a (10/52).(9/51).(8/50).(7/49). 
c) do mesmo número é igual a (4/52).(3/51).(2/50).(1/49). 
d) números é igual a (36/52).(35/51).(34/50).(33/49). 
e) de naipes diferentes é igual a 4.(16/52).(12/51).(8/50).(4/49). 
 
53. (FGV 2017/ IBGE) 
Entre os cinco números 2, 3, 4, 5 e 6, dois deles são escolhidos ao acaso e o produto deles dois 
é calculado. A probabilidade desse produto ser um número par é: 
a) 60%; 
b) 75%; 
c) 80%; 
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47 
 
d) 85%; 
e) 90%. 
 
54. (FGV 2017/ IBGE) 
A probabilidade de um determinado aluno acertar cada uma das duas últimas questões de uma 
determinada prova é 70%. Acertar ou errar cada uma das questões são eventos independentes. 
A probabilidade desse aluno errar as duas referidas questões: 
a) é menor que 10%; 
b) está entre 10% e 20%; 
c) está entre 20% e 30%; 
d) está entre 30% e 50%; 
e) é maior que 50%. 
 
55. (FGV 2018/ AFTE-SEFIN-RO) 
Dois eventos A e B têm probabilidades iguais a 70% e 80%. Os valores mínimo e máximo da 
probabilidade da interseção de A e B são 
a) 20% e 50%. 
b) 20% e 70%. 
c) 50% e 70%. 
d) 0% e 70%. 
e) 30% e 50%. 
 
56. (FGV 2018/ AFTE-SEFIN-RO) 
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48 
 
Um dado é lançado quatro vezes. A probabilidade de que o número ‘6’ seja obtido ao menos 
duas vezes é, aproximadamente, igual a 
a) 0,05 
b) 0,13 
c) 0,25 
d) 0,40 
e) 0,50 
 
57. (FGV 2016/ IBGE) 
Existem duas medidas de probabilidade, frequentemente empregadas, que apropriam dois 
conceitos bem distintos, o conceito clássico e o conceito frequencial. Entre as principais 
diferenças está o fato de que: 
(A) o clássico se aplica no caso de experimentos com espaço amostral não enumerável e o 
conceito frequencial não; 
(B) o segundo pode ser empregado observando-se apenas as condições iniciais do experimento 
aleatório; 
(C) para espaços amostrais finitos, a medida pelo conceito frequencial é determinada de forma 
única, com valor fixo; 
(D) mesmo que o experimento seja não aleatório, o conceito frequencial é aplicável, sendo mais 
preciso quanto maior for a amostra; 
(E) o conceito clássico utiliza, em muitos casos, técnicas de contagem para o cálculo das 
probabilidades. 
 
58. (FGV 2016/ IBGE) 
Considere os eventos A e B quaisquer de um mesmo espaço amostral S de um experimento 
aleatório ɛ. Caso P(A) = 0,40 então é possível supor que: 
a) P(B) = 0,7 e P(A U B) = 0.8, se A e B forem independentes; 
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49 
 
b) P(B) = 0,8, se A e B forem mutuamente exclusivos; 
c) P(B) = 0,6 e P(A U B) = 0.76, se A e B forem independentes; 
d) P(A U B) = 0,3, se A e B forem mutuamente exclusivos; 
e) P(B) = 0,7 e P(A∩B) = 0.30, se A e B forem independentes. 
 
59. (FGV 2017/ SEPOG-RO) 
Para uma premiação, dois funcionários de uma empresa serão sorteados aleatoriamente entre 
quatro candidatos: dois do departamento A e dois do departamento B. A probabilidade de os 
dois funcionários sorteados pertencerem ao mesmo departamento é 
a) ½ 
b) 1/3 
c) ¼ 
d) 1/6 
e) 3/4 
 
60. (FGV 2016/ MPE-RJ) 
A figura abaixo mostra uma mesa retangular com 5 cadeiras representadas pelos quadradinhos 
pretos. 
 
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50 
 
Um casal com seus três filhos ocuparão esses cinco lugares e o lugar de cada um será decidido 
por sorteio. A probabilidade de que o casal fique junto, ou seja, um ao lado do outro em uma 
das laterais da mesa é: 
a) 10%; 
b) 20%; 
c) 30%; 
d) 40%; 
e) 50%. 
 
61. (FGV 2016/ IBGE) 
Sobre os eventos mutuamente exclusivos e/ou independentes de um mesmo espaço amostral S, 
a partir de um experimento aleatório ɛ é correto afirmar que: 
(A) se dois eventos são mutuamente exclusivos, então também serão independentes; 
(B) se dois eventos são independentes, então também serão mutuamente exclusivos; 
(C) um evento qualquer não pode ser independente de si mesmo; 
(D) se dois eventos são mutuamente exclusivos, então certamente não poderão ser 
independentes; 
(E) se dois eventossão independentes, então é possível que sejam mutuamente exclusivos. 
 
62. (FGV 2016/ IBGE) 
A presente prova de estatística está sendo aplicada a uma população de candidatos composta 
por 70% de indivíduos bem preparados, 20% de medianos e 10% de insuficientes. Os mais aptos 
têm probabilidade de 80% de acertar qualquer questão, sendo essa probabilidade 25% menor 
no caso dos medianos e outros 50% menor no caso dos insuficientes, com relação aos medianos. 
Um candidato é escolhido ao acaso. A probabilidade de que ele acerte determinada questão é 
de: 
a) 0,34 
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51 
 
b) 0,54; 
c) 0,66; 
d) 0,71; 
e) 0,83. 
 
63. (FGV 2016/ IBGE) 
Suponha que, por coincidência, as 12 pessoas que estão numa sala de espera, aguardando por 
uma chamada, nasceram todas no mês de agosto. Então a probabilidade de que não haja 
sequer uma coincidência entre os dias do mês de nascimento é de: 
𝑎)
31!
19! (31)!& 
𝑏)
31!
(31)!& 
𝑐)
31!
12! (31)!& 
𝑑)
31!
19! 12! 
𝑒)
30!
12! (30)!& 
 
64. (FGV 2016/ IBGE) 
Um experimento é realizado a partir de três urnas, contendo bolas brancas e pretas com a 
seguinte composição: 
Urna I = 3 Brancas e 4 Pretas 
Urna II = 5 Brancas e 3 Pretas 
Urna III = 2 Brancas e 3 Pretas 
A realização consiste em, a partir da Urna III, sortear uma bola e colocar na Urna I, caso seja 
branca, ou na Urna II caso seja preta. Em seguida é escolhida, aleatoriamente, uma bola da urna 
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52 
 
que foi abastecida. Se ao final do experimento a bola sorteada foi branca, a probabilidade de 
que a primeira bola sorteada tenha sido preta é igual a: 
a) 3/5; 
b) 3/8; 
c) 5/8; 
d) 7/15; 
e) 8/15. 
 
65. (FGV 2016/ IBGE) 
A microcefalia tem, em síntese, duas causas, a contaminação pelo zika vírus, transmitido pelo 
aedes aegypti, além de um conjunto de outras origens. Entre a população feminina de grávidas, 
sabe-se que 5% foi picada pelo mosquito, enquanto 10% está sujeita as outras origens, não 
havendo interseção entre esses dois grupos. O desenvolvimento da doença não é certo, 
acontecendo em 80% das picadas do mosquito e em 30% na eventualidade das outras origens. 
Se uma mulher, sorteada aleatoriamente entre as grávidas, carrega um feto que apresenta o 
problema, a probabilidade de que ela NÃO tenha sido picada pelo mosquito é de: 
a) 3%; 
b) 7%; 
c) 3/4; 
d) 3/7; 
e) 4/7. 
 
66. (FGV 2016/ Pref. de Paulínia-SP) 
Em um Departamento de Matemática trabalham seis professores, cada um com uma 
especialidade. Dois são especialistas em Álgebra, dois são especialistas em Geometria e os 
outros dois em Trigonometria. 
Sorteando três professores, a probabilidade de que sejam todos de especialidades diferentes é 
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53 
 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 2/5 
d) 3/8 
e) 3/10 
 
67. (FGV 2016/ Pref. de Paulínia) 
Os times A e B vão disputar as finais de um campeonato de basquete. Os jogos de basquete 
não podem terminar empatados, tem que haver um vencedor. Admita que as probabilidades 
dos times A e B vencerem cada jogo são iguais, isto é, 1/2 cada um. As finais serão disputadas 
em até dois jogos. De acordo com o regulamento do campeonato, devido ao melhor 
desempenho até o momento, ao time A basta vencer um jogo das finais para ser campeão. Já o 
time B para ser campeão tem que vencer os dois jogos das finais. 
A probabilidade do time A ser campeão é 
a) 1/2 
b) 2/3 
c) 3/4 
d) 3/5 
e) 4/5 
 
68. (FGV 2016/ Oficial de Chancelaria – MRE ) 
Em uma urna há quinze bolas iguais numeradas de 1 a 15. Retiram-se aleatoriamente, em 
sequência e sem reposição, duas bolas da urna. A probabilidade de que o número da segunda 
bola retirada da urna seja par é: 
a) 1/2 
b) 3/7 
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c) 4/7 
d) 7/15 
e) 8/15 
69. (FGV 2016/ IBGE) 
Cinco pessoas estão sentadas em cinco cadeiras em linha, cada uma com uma moeda na mão. 
As moedas são todas bem equilibradas, de modo que a probabilidade de sair cara ou coroa em 
cada uma delas é 1/2. Em um determinado momento, as cinco pessoas jogam suas respectivas 
moedas. Aquelas que obtiverem cara continuam sentadas, e as que obtiverem coroa levantam-
se. Após esse procedimento, a probabilidade de que NÃO haja duas pessoas adjacentes, ambas 
sentadas ou ambas de pé, é de: 
a) ½ 
b) 1/8 
c) 1/16 
d) 3/32 
e) 5/32 
 
70. (FCC 2017/ TRT 11ª Região) 
Um determinado órgão público recebe mensalmente processos que devem ser analisados por 2 
analistas: A e B. Sabe-se que esses dois analistas recebem a mesma proporção de processos 
para a análise. Sabe-se que 20% de todos os processos encaminhados para A são analisados no 
mês de recebimento e que 10% são indeferidos. Sabe-se também que 40% dos processos 
encaminhados para B são analisados no mês de recebimento e que 20% são indeferidos. 
Um processo recebido em determinado mês é selecionado ao acaso. A probabilidade de ele ser 
deferido naquele mesmo mês é igual a 
(A) 0,245 
(B) 0,350 
(C) 0,500 
(D) 0,420 
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55 
 
(E) 0,250 
 
 
71. (FCC 2017/ TRT 11ª Região) 
Um determinado órgão público recebe mensalmente processos que devem ser analisados por 2 
analistas: A e B. Sabe-se que esses dois analistas recebem a mesma proporção de processos 
para a análise. Sabe-se que 20% de todos os processos encaminhados para A são analisados no 
mês de recebimento e que 10% são indeferidos. Sabe-se também que 40% dos processos 
encaminhados para B são analisados no mês de recebimento e que 20% são indeferidos. 
Cinco processos são selecionados ao acaso e com reposição em um determinado mês. A 
probabilidade de exatamente 2 não serem analisados no mês de recebimento é igual a 
(A) 0,1323 
(B) 0,2312 
(C) 0,3087 
(D) 0,2554 
(E) 0,1215 
 
72. (FCC 2017/ TRT 11ª Região) 
Um determinado órgão público recebe mensalmente processos que devem ser analisados por 2 
analistas: A e B. Sabe-se que esses dois analistas recebem a mesma proporção de processos 
para a análise. Sabe-se que 20% de todos os processos encaminhados para A são analisados no 
mês de recebimento e que 10% são indeferidos. Sabe-se também que 40% dos processos 
encaminhados para B são analisados no mês de recebimento e que 20% são indeferidos. 
Sabe-se que um processo analisado no mês de recebimento foi indeferido. A probabilidade de 
ele ter sido encaminhado para A é igual a 
(A) 0,15 
(B) 0,75 
(C) 0,25 
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56 
 
(D) 0,30 
(E) 0,20 
 
73. (FCC 2016/ SEFAZ-MA) 
Considere a descrição de sistemas de senhas abaixo. 
- Cada senha, do sistema de senhas J, é formada por duas letras dentre as 10 primeiras letras do 
alfabeto seguidas de três algarismos ímpares. 
- Cada senha, do sistema de senhas K, é formada por três letras vogais seguidas de dois 
algarismos diferentes. 
- Cada senha, do sistema de senhas L, é formada por uma letra dentre as dez primeiras 
consoantes, seguida por duas letras vogais diferentes e ainda seguidas por dois algarismos 
diferentes dentre os oito primeiros algarismos. 
A senha de um computador foi criada utilizando-se o sistema J. Alguém que tentar descobrir 
essa senha por meio de 250 tentativasdiferentes, tem uma probabilidade de acerto de 
(A) 0,02% 
(B) 20% 
(C) 2% 
(D) 0,2% 
(E) 2,5% 
 
74. (FCC 2015/ DPE-SP) 
A e B são eventos de um mesmo espaço amostral. Relativamente a A e B sabe-se que: 
I. a probabilidade de A ocorrer é igual a 1/4; 
II. a probabilidade de B ocorrer é igual a 3/5; 
III. a probabilidade de que A não ocorra e de que B não ocorra é igual a 1/5. 
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57 
 
Nessas condições, a probabilidade condicional de B dado A, denotada por P(B|A), é igual a (A) 
2/5. 
(B) 1/4. 
(C) 1/6. 
(D) 3/5. 
(E) 1/5. 
 
75. (FCC 2016/ CNMP) 
A probabilidade de uma criança no ano A e da faixa etária B, contrair coqueluche é 0,2% se ela 
for vacinada e 1% se ela não for vacinada. Sabe-se que 90% da população de crianças no ano A 
e da faixa etária B foram vacinadas. Se uma criança, da faixa etária e do ano citados contrair 
coqueluche, a probabilidade de ela ter sido vacinada é igual a 
a) 9/14 
b) 11/8 
c) 9/28 
d) 5/14 
e) 10/28 
 
76. (FCC 2016/ CNMP) 
Uma montadora fabrica veículos 1.0 nas cores prata, preta, vermelha e branca. Suponha que dos 
veículos 1.0 produzidos, 40%, 30%, 20% e 10%, respectivamente, sejam nas cores prata, preta, 
vermelha e branca. Seleciona-se, ao acaso e com reposição, 6 compradores de tais veículos. A 
probabilidade de, nessa amostra, respectivamente, 2, 2, 1 e 1, compradores terem escolhido as 
cores prata, preta, vermelha e branca, é, em %, dada por 
(A) 2,534. 
(B) 5,184. 
(C) 3,258. 
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58 
 
(D) 8,450. 
(E) 6,820. 
 
77. (FGV 2016/ IBGE) 
Em um jogo de azar disputado por dois indivíduos, através de uma sequência de rodadas, 
vencerá aquele que ganhar, antes do que o outro, uma das rodadas. A chance de que cada um 
vença qualquer rodada é de 2/9 e 1/3. Assim a probabilidade de que cada jogador vença o jogo, 
são respectivamente: 
a) 2/9 e 1/3 
b) 4/9 e 5/9 
c) 2/5 e 3/5 
d) 5/9 e 4/9 
e) 3/5 e 2/5 
 
78. (CESPE-UnB 2017/ Pref. de São Luís) 
Em um jogo de azar, dois jogadores lançam uma moeda honesta, alternadamente, até que um 
deles obtenha o resultado cara. O jogador que detiver esse resultado será o vencedor. A 
probabilidade de o primeiro jogador vencer o jogo em algum de seus arremessos é 
 a) igual a 50%. 
b) superior a 50% e inferior a 55%. 
c) superior a 55% e inferior a 60%. 
d) superior a 60% e inferior a 65%. 
e) superior a 65%. 
 
79. (CESGRANRIO 2009/ BNDES) 
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59 
 
Em um dado com seis faces numeradas de 1 a 6, a probabilidade de que cada um dos resultados 
ocorra é a mesma. Esse dado será lançado até que se obtenha o resultado 6. A probabilidade de 
que isso aconteça em, no máximo, 2 lançamentos é 
a) 1/36 
b) 5/36 
c) 6/36 
d) 7/36 
e) 11/36 
 
80. (VUNESP 2014/ DESENVOLVE-SP) 
Se P(A) e P(B) são as probabilidades dos eventos A e B, respectivamente, pode-se dizer que P(A 
ou B) = P(A) + P(B) 
(A) sempre. 
(B) quando A e B forem eventos independentes. 
(C) quando A e B forem eventos mutuamente exclusivos. 
(D) quando A e B forem eventos exaustivos. 
(E) nunca. 
81. (VUNESP 2014/ Pref. de SP – São Paulo Urbanismo) 
Dois eventos, A e B, cujas probabilidades são P(A) = a e P(B) = b, são exaustivos. Então a 
probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é dada por: 
a) zero 
b) um 
c) 1 – a – b 
d) a + b – ab 
e) ab 
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60 
 
 
 
 
8. GABARITOS 
 
 
01. C 
02. E 
03. B 
04. C 
05. A 
06. E 
07. E 
08. C 
09. B 
10. E 
11. A 
12. A 
13. E 
14. B 
15. B 
16. ERRADO 
17. C 
18. ERRADO 
19. ERRADO 
20. CERTO 
21. ERRADO 
22. CERTO 
23. ERRADO 
24. ERRADO 
25. CERTO 
26. ERRADO 
27. ERRADO 
28. CERTO 
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61 
 
29. ERRADO 
30. CERTO 
31. CERTO 
32. ERRADO 
33. ERRADO 
34. ERRADO 
35. CERTO 
36. ERRADO 
37. CERTO 
38. CERTO 
39. CERTO 
40. CERTO 
41. D 
42. E 
43. A 
44. C 
45. E 
46. E 
47. B 
48. D 
49. A 
50. D 
51. D 
52. D 
53. E 
54. A 
55. C 
56. B 
57. E 
58. C 
59. B 
60. B 
61. E 
62. D 
63. A 
64. C 
65. D 
66. C 
67. C 
68. D 
69. C 
70. E 
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62 
 
71. A 
72. E 
73. C 
74. E 
75. A 
76. B 
77. C 
78. E 
79. E 
80. C 
81. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS ANTERIORES COM COMENTÁRIOS 
 
1. (FGV 2018/ALE-RO) 
Várias pessoas, entre as quais Artur e Mário, estão sentadas em volta de uma mesa redonda. 
Entre Artur e Mário há 3 pessoas por um lado e 5 pessoas pelo outro. 
Uma das pessoas da mesa é sorteada ao acaso. A probabilidade de que essa pessoa sorteada 
não seja nem Artur, nem Mário, nem nenhum dos seus vizinhos, é de 
a) 20%. 
b) 30%. 
c) 40%. 
d) 50%. 
e) 60%. 
Comentário 
Há um total de 10 pessoas na mesa, a saber: Artur, Mário, 3 pessoas entre eles de um lado e 5 
pessoas entre eles do outro lado. 
 
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Artur tem dois vizinhos (C e D) e Mário tem dois vizinhos (A e H). Excluindo Artur, Mário e os 4 
vizinhos a eles, sobram 4 pessoas. 
 
Assim, a probabilidade pedida é 4/10 = 40%. 
Gabarito: C 
 
2. (FGV 2018/SASDH – Niterói) 
Um dado é lançado duas vezes consecutivas. Considere os seguintes eventos relativos a esses 
lançamentos: 
A: a soma dos números obtidos é 8 
B: a soma dos números obtidos é 10 
C: a soma dos números obtidos é 12 
Colocando-se esses três eventos em ordem crescente da probabilidade de ocorrência, obtém-
se: 
a) A, B, C; 
b) A, C, B; 
c) B, C, A; 
Mário
A
B
C
Artur
D
E
F
G
H
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d) C, A, B; 
e) C, B, A. 
Comentário 
A probabilidade em cada caso é o número de casos favoráveis dividido pelo número de casos 
possíveis. 
O número de casos possíveis é o mesmo nos três casos: 6 × 6 = 36. Isso porque há 6 
possibilidades para o resultado do primeiro dado e 6 possibilidades para o resultado do segundo 
dado. 
Assim, para estabelecer a ordem crescente das probabilidades, podemos simplesmente analisar 
os casos favoráveis em cada caso. 
Para trabalhar com a soma dos resultados de dois dados, podemos fazer uma tabela de dupla 
entrada. 
 
 
1 2 3 4 5 6 
1 2 3 4 5 6 7 
2 3 4 5 6 7 8 
3 4 5 6 7 8 9 
4 5 6 7 8 9 10 
5 6 7 8 9 10 11 
6 7 8 9 10 11 12 
 
Com a prática, você percebe que as possíveis somas se repetem nas diagonais. Estamos 
interessados apenas nas somas 8, 10 e 12. Assim, você não precisaria preencher toda a tabela. 
Observe: 
 
1 2 3 4 5 6 
1 
 
2 
 
8 
3 
 
8 
 
4 
 
8 
 
10 
5 
 
8 
 
10 
 
6 
 
8 
 
10 
 
12 
 
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Portanto, 𝑃(𝑆𝑜𝑚𝑎 = 8) > 𝑃(𝑆𝑜𝑚𝑎 = 10) > 𝑃(𝑆𝑜𝑚𝑎 = 12). Como o problema