Curso de Cálculo e Equações Diferenciais

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Um Curso de Cálculo e Equações
Diferenciais com Aplicações1
Lúıs Gustavo Doninelli Mendes
23
1Continuarei acrescentando material, além de corrigir posśıveis erros ou imperfeições. Por isso
sugiro que o improvável leitor não imprima o texto. Quando for estudá-lo dê uma olhada no
meu site se já há uma versão mais atualizada. Sugestões ou correções, por favor as envie para
mendes.lg@gmail.com
2Professor Adjunto do Departamento de Matemática da UFRGS
3Última atualização: 09/05/2012
Índice
Parte 1. Cálculo Diferencial e Integral e primeiras Aplicações 13
Caṕıtulo 1. Introdução 15
1. O que é o Cálculo 15
2. Sobre o Curso 16
3. Sobre os Gráficos e Figuras 16
4. Alerta aos estudantes 16
5. Livros-texto e Referências 17
6. Programas úteis 18
Caṕıtulo 2. Alguns dos objetivos do Cálculo 21
1. Funções e seus domı́nios 21
2. Função 23
3. Funções definidas a partir de outras funções 23
4. Diferentes domı́nios de funções 24
5. Gráfico descont́ınuo, mas que mesmo assim é gráfico 25
6. Função positiva, negativa e zeros ou ráızes 25
7. Função crescente ou decrescente 26
8. Máximos e mı́nimos 28
9. Exerćıcios 29
Caṕıtulo 3. Propriedade básicas dos números Reais 31
1. Os Reais como sistema de números: não dividirás por zero ! 31
2. Ordem nos Reais: não tirarás a ráız quadrada de números negativos ! 32
3. Propriedades gerais das desigualdades 33
4. Intervalos e suas utilidades 36
5. Metamorfoses de cúbicas 39
6. Exerćıcios 46
Caṕıtulo 4. Sequências e seus limites 47
1. Sequências 47
2. Limites de sequências 48
3. Definição e Propriedades fundamentais 49
4. Exerćıcios 53
Caṕıtulo 5. Limites de funções definidas em intervalos 57
1. Operações elementares com limites de funções 58
2. A definição usual com ǫ e δ 59
3. Limites quando x tende ao infinito 61
3
4 ÍNDICE
4. Quando a parte é do mesmo tamanho do todo 66
5. Exerćıcios 68
Caṕıtulo 6. A noção de Continuidade 71
1. Operações com funções cont́ınuas 72
2. Polinômios, funções racionais e trigonométricas 74
3. Continuidade da função inversa 78
4. Dois teoremas fundamentais sobre funções cont́ınuas 79
5. Primeiras aplicações do T.V.I 79
6. Ráızes de polinômios cujo grau é ı́mpar 79
7. Ráızes simples e fatoração de polinômios 81
8. Posśıveis ráızes Racionais de polinômios a coeficientes inteiros 83
9. Exerćıcios 84
Caṕıtulo 7. Geometria Anaĺıtica Plana 87
1. Equações de retas, coeficientes angular e linear 87
2. Ortogonalidade 89
3. Teorema de Tales no ćırculo 90
4. A equação da reta de Euler 91
5. A inversa como reflexão de gráfico na diagonal 99
6. O método de Descartes para as tangentes a um gráfico 100
7. Um problema da Putnam Competition, n. 2, 1939 104
8. Exerćıcios 104
Caṕıtulo 8. A Tangente ao gráfico, segundo o Cálculo 107
1. Retas secantes a um gráfico 107
2. A reta tangente a um gráfico 107
3. A reta tangente ao seno em (0, 0) é a diagonal 109
4. Interpretação F́ısica da reta tangente 113
5. Exerćıcios 113
Caṕıtulo 9. A derivada 115
1. Definição, primeiras propriedades e exemplos simples 115
2. Um Árbitro que só avalia as inclinações 117
3. Derivadas da soma e da diferença 119
4. Problema da Putnam Competition, n. 68, 1993 120
5. A segunda derivada 123
6. Exerćıcios 124
Caṕıtulo 10. Sinal da derivada e crescimento 127
1. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy 127
2. O Teorema 0 das Equações Diferenciais 131
3. Critérios de crescimento e de decrescimento 133
4. Uma confusão frequente sobre o significado do sinal da derivada 134
5. Descontinuidade da função derivada 135
6. Exerćıcios 136
ÍNDICE 5
Caṕıtulo 11. Aplicações da primeira e segunda derivadas 139
1. Primeiro critério de máximos e mı́nimos 139
2. Critério da segunda derivada 139
3. Um problema t́ıpico para os engenheiros 140
4. Mı́nimos de distâncias e ortogonalidade 142
5. Concavidades dos gráficos 146
6. Mı́nimos quadrados e a média aritmética 149
7. Pontos de inflexões dos gráficos 151
8. Critério da derivada de ordem n 152
9. Confecção de gráficos de polinômios 154
10. Exerćıcios 155
Caṕıtulo 12. Derivadas de seno e cosseno e as leis de Hooke 161
1. O cosseno como derivada do seno 161
2. Leis de Hooke com e sem atrito 163
3. Exerćıcios 166
Caṕıtulo 13. Derivada do produto, indução e a derivada de xn, n ∈ Z. 167
1. Prinćıpio de indução matemática 167
2. Derivada do Produto 169
3. Derivadas de x−n, ∀n ∈ N 170
4. Ráızes múltiplas e fatoração de polinômios 171
5. A Regra de Sinais de Descartes para as ráızes de um polinômio 173
6. Exerćıcios 177
Caṕıtulo 14. Derivada da composição de funções 179
1. Regra da composta ou da cadeia 179
2. A derivada do quociente 183
3. Uma função que tende a zero oscilando 185
4. Confecção de gráficos de funções racionais 186
5. Involuções fracionais lineares 189
6. Um problema da Putnam Competition, n. 1, 1938 190
7. Uma função com derivada, mas sem a segunda derivada 192
8. Máximos e mı́nimos: o problema do freteiro 193
9. Exerćıcios 205
Caṕıtulo 15. Derivadas de funções Impĺıcitas 207
1. Curvas versus gráficos 207
2. Teorema da função impĺıcita 209
3. Reta tangente de curva e plano tangente de superf́ıcie 212
4. Tangentes, pontos racionais de cúbicas e códigos secretos 213
5. Derivação impĺıcita de segunda ordem 218
6. Exerćıcios 220
Caṕıtulo 16. Funções inversas e suas derivadas 221
1. Derivada de y =
√
x 222
2. Distância versus quadrado da distância 223
6 ÍNDICE
3. Derivada da “função”x
1
n , de x
m
n e de x
−m
n 223
4. Derivadas do arcoseno e do arcocosseno 225
5. Derivada do arcotangente 228
6. Exerćıcios 231
Caṕıtulo 17. Taxas relacionadas 235
1. Como varia um ângulo 235
2. Como varia uma distância 236
3. Lei dos cossenos e produto escalar de vetores 238
4. Exerćıcios 241
Caṕıtulo 18. O Método de aproximação de Newton 243
Caṕıtulo 19. O Prinćıpio de Fermat e a refração da luz 247
1. Prinćıpio de Fermat 247
2. Refração, distâncias ponderadas e Lei de Snell 249
3. Exerćıcios 253
Caṕıtulo 20. As Cônicas e suas propriedades refletivas 255
1. Distância até uma parábola 255
2. Definição unificada das cônicas 257
3. A Parábola e sua propriedade refletiva 265
4. Prova anaĺıtica da propriedade do foco 269
5. A Elipse e sua propriedade refletiva 271
6. A Hipérbole e o análogo da propriedade refletiva 275
7. Famı́lia de cônicas co-focais ortogonais 281
8. Exerćıcios 284
Caṕıtulo 21. Integração e o Primeiro Teorema Fundamental 285
1. Área sob um gráfico positivo 285
2. Qual função descreve as Áreas sob gráficos? 286
3. Primeira Versão do Primeiro Teorema fundamental do Cálculo 289
4. A Integral e suas propriedades 291
5. Teorema do valor médio de integrais 294
6. A integral indefinida e o Primeiro Teorema fundamental 295
7. Existem funções com primeira derivada, mas sem segunda derivada 297
8. Exerćıcios 298
Caṕıtulo 22. Logaritmo natural e sua inversa, a exponencial 301
1. Existe uma função f 6≡ 0 que seja imune à derivação ? 301
2. Propriedades fundamentais do logaritmo e da exponencial 304
3. loga x , ∀a > 0 e ln | x | 306
4. As funções ex e ax, para a > 0 308
5. xa e sua derivada, a ∈ R. 309
6. Crescimento lento do logaritmo e rápido da exponencial 310
7. Uma observação sobre o termo geral de uma série infinita 313
8. Um problema da Putnam Competiton, n. 11, 1951 314
ÍNDICE 7
9. A regra de L’Hôpital 315
10. A função xx 319
11. Um problema da Putnam Competition, n. 22, 1961 321
12. Um modo de aproximar e por números Racionais 322
13. Funções f(x)g(x) em geral e suas indeterminações 323
14. Derivada logaŕıtmica 324
15. Uma função extremamente achatada 326
16. Exerćıcios 329
Caṕıtulo 23. Segundo Teorema Fundamental e Áreas 335
1. A descoberta de Gregory e Sarasa sobre área 335
2. Segundo Teorema Fundamental do Cálculo 336
3. Regiões entre dois gráficos 337
4. Um problema da Putnam Competition, n. 54, 1993. 340
5. Integrale centro de gravidade 343
6. Arquimedes e a parábola: prova versus heuŕıstica 345
7. Exerćıcios 348
Caṕıtulo 24. Integração por partes 353
1. Exerćıcios 356
Caṕıtulo 25. Integração por substituição 359
1. A substituição trigonométrica x = sin(θ) 362
2. Áreas do Ćırculo e Elipse 363
3.
∫ √
r2 − x2 dx 365
4. Mais exemplos da substituição x = sin(θ) 365
5. Substituição trigonométrica x = tan(θ) 367
6. Mais exemplos da substituição x = tan(θ) 367
7.
∫ √
r2 + x2 dx 369
8. Substituição trigonométrica x = sec(θ) 369
9. Mais exemplos para a substituição x = sec(θ). 370
10.
∫ √
x2 − r2 dx 371
11. E as da forma
∫
1√
Ax3+Bx2+Cx+D
dx ? 371
12. Exerćıcios 371
Caṕıtulo 26. Integração de funções racionais 373
1.
∫
(ax2 + bx+ c)−1 dx 373
2.
∫
αx+β
ax2+bx+c
dx 375
3.
∫
1
Ax3+Bx2+Cx+D
dx 377
4. Frações parciais em geral 380
5.
∫
1
(1+x2)n
dx, n ≥ 2 383
6. Exemplos 384
7. Exerćıcios 387
Caṕıtulo 27. Integrais impróprias 389
1. Um problema da Putnam Competition, n. 2, 1939 391
8 ÍNDICE
2. As primeiras Transformadas de Laplace, a função Gama e o fatorial 392
3. Fórmula de Euler para o fatorial 396
4. Exerćıcios 396
Caṕıtulo 28. A curvatura dos gráficos 397
1. O comprimento de um gráfico 397
2. Um problema da Putnam Competition, n.2, 1939 399
3. Curvas parametrizadas e seu vetor velocidade 399
4. Integrais que ninguém pode integrar 401
5. Velocidade de um gráfico ou de uma curva 402
6. Definição de curvatura e sua fórmula 403
7. Qual a curvatura de uma quina ? 405
Caṕıtulo 29. Séries convergentes 409
1. Séries k-harmônicas, k > 1. 409
2. A série geométrica 411
3. O teste da razão (quociente) 412
4. Um argumento geométrico para a série geométrica 414
Caṕıtulo 30. Aproximação de Números e Funções importantes 415
1. Aproximações de ráızes quadradas por números racionais 415
2. Ráızes quadradas que são irracionais 415
3. Como tirar ráız quadrada só com +,−,×, / 416
4. Os Reais através de sequências de números Racionais 418
5. Aproximações de e por números Racionais 419
6. Arcotangente e cartografia 421
7. A aproximação de π dada por Leibniz 423
8. Aproximações de logaritmos 425
9. Aproximação de logaritmos de números quaisquer 426
10. Aproximação de ln(2) 428
11. Exerćıcios 428
Caṕıtulo 31. Séries numéricas e de funções 429
1. Séries numéricas 429
2. Séries de potências 431
3. Séries de Taylor e os Restos de Lagrange, Cauchy e Integral 434
4. A série binomial e sua série de Taylor 439
5. Um devaneio sobre os números Complexos 442
6. Exerćıcios 443
Caṕıtulo 32. O discriminante de polinômios de grau 3 445
1. Preparação para a fórmula de Cardano 445
2. A fórmula de Cardano para as três ráızes Reais: viagem nos Complexos 449
3. O discriminante como curva 452
4. A curva discriminante entre as cúbicas singulares 454
5. Parametrização dos pontos racionais de cúbicas singulares 458
6. Cúbicas singulares aparecem como seções com o plano tangente 459
ÍNDICE 9
Caṕıtulo 33. Discriminante dos polinômios de grau 4 463
1. A andorinha: o discriminante como superf́ıcie 463
2. Discriminante como envelope de famı́lias de retas ou planos 465
Caṕıtulo 34. Apêndice: O expoente 3
4
comanda a vida ! 467
1. Metabolismo versus massa corporal 467
2. Escalas log/log para um experimento 468
3. Reta de ajuste - método de mı́nimos quadrados 468
4. A Lei experimental de Kleiber 470
5. Justificação racional da Lei de Kleiber 471
6. O argumento 472
Parte 2. Equações diferenciais ordinárias e Aplicações 479
Caṕıtulo 35. As primeiras equações diferenciais 481
1. A exponencial e as equações diferenciais 481
2. A definição original de Napier para o logaritmo 482
3. Decaimento radioativo e datação 484
4. Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes 486
5. Objetos em queda-livre vertical 489
6. Queda ao longo de um gráfico 493
7. A curva que minimiza o tempo 496
8. Baĺıstica e o Super Mário 500
9. Equações diferenciais lineares em geral 504
10. Um problema da Putnam Competition, n.14, 1954 504
11. Soluções das equações lineares gerais 506
12. Um problema da Putnam Competition, n. 49, 1958. 510
13. As equações de Bernoulli e sua redução a equações lineares 511
14. Exerćıcios 512
Caṕıtulo 36. Aspectos gerais das equações de primeira ordem 515
1. Equações diferenciais e metamorfoses de curvas 515
2. Equações diferenciais em forma normal e as curvas Isóclinas 517
3. Existência e unicidade para y′(x) = F (x, y) - Método de Picard 520
4. Equações separáveis 525
5. A clepsidra 527
6. Equações homogêneas 528
7. Equações exatas 530
8. Integral ao longo de um caminho 534
9. Derivada da integral em relação ao parâmetro - Fórmulas de Leibniz 536
10. Fatores integrantes 539
11. Equações impĺıcitas, discriminantes e envelopes 542
12. Um problema da Putnam Competition, n. 5, 1942 548
13. Equações de Clairaut e de Lagrange: isóclinas retas 550
14. Transformação de Legendre, dualidade e resolução de equações diferenciais553
15. Apêndice: Funções cont́ınuas de duas variáveis e continuidade uniforme 556
10 ÍNDICE
16. Exerćıcios 558
Caṕıtulo 37. Curvas de Perseguição 559
1. O problema 559
2. As elipses isócronas, segundo A. Lotka 566
3. Um envelope que é uma curva de perseguição 568
4. Exerćıcios 570
Caṕıtulo 38. Cinética qúımica e crescimento bacteriano 571
1. Cinética qúımica 571
2. Equação diferencial de uma reação de primeira ordem 573
3. Equação diferencial de uma reação de segunda ordem 574
4. Crescimento bacteriano 576
5. Ponto de inflexão da função loǵıstica 580
6. Equação de Bernoulli e reações qúımicas de ordem fracionária 581
Caṕıtulo 39. Newton e a gravitação 583
1. Atração segundo o inverso do quadrado da distância 583
2. Tempo de colisão e velocidade de escape 584
3. Ńıveis de energia 587
4. Órbitas planetárias 589
5. Velocidade e aceleração expressas em coordenadas polares 589
6. Grandezas constantes ao longo das trajetórias 592
7. As órbitas como cônicas em coordenadas polares 597
8. Oscilador harmônico 599
9. Área em coordenadas polares e a lei de Kepler sobre as áreas 601
10. Em torno da proposição XXX do Principia 602
11. A Equação de Kepler para o movimento planetário eĺıptico 606
Caṕıtulo 40. Equações diferenciais de segunda ordem 609
1. Redução de ordem 609
2. Homogêneas, a coeficientes constantes 610
3. Não-Homogêneas, lineares de segunda ordem 614
4. Não homogênas: Método de Lagrange de variação de parâmetros 616
5. Um problema da Putnam Competition, n.58, 1987 617
6. Equação diferencial de um circuito elétrico simples 619
7. Não-homogêneas: Método de coeficientes a determinar 620
8. Sistemas de equações diferenciais 624
9. Um problema da Putnam Competition, n.2, 1939 626
10. Homogêneas, não-singulares, coeficientes variáveis: redução a constantes 627
11. Homogêneas, não-singulares, coeficientes variáveis: Método de D’Alembert629
12. Existência de soluções de equações homogêneas e não-singulares 630
13. Propriedades das soluções de equações lineares de segunda ordem 632
14. Um problema da Putnam Competition, n. 15, 1955 635
15. O Teorema de Comparação de Sturm 638
16. Um problema da Putnam Competition, n. 22, 1961 639
17. Exerćıcios 641
ÍNDICE 11
Caṕıtulo 41. Equações com pontos não-singulares: Airy, Hermite e Legendre 643
1. Solução expĺıcita da Airy 643
2. Solução expĺıcita da Hermite 645
3. Solução expĺıcita da Legendre em torno de x = 0 647
4. Polinômios de Legendre e expansão em série do potencial gravitacional 649
5. Ortogonalidade dos polinômios de Legendre 650
Caṕıtulo 42. Equação com ponto singular: Hipergeométrica de Gauss 653
1. Integral eĺıptica como série hipergeométrica 656
Caṕıtulo 43. Equação com ponto singular: a Equação de Bessel 659
1. A definição original de Bessel 659
2. Zeros de funções de Bessel 661
3. Ortogonalidade das funções deBessel 664
Caṕıtulo 44. Equações com pontos singulares do tipo regular 667
1. A Equação de Euler e sua redução a coeficientes constantes 667
2. Solução direta da equação de Euler 670
3. Definições gerais e exemplos de pontos singulares regulares 672
4. Ińıcio do Método de Frobenius 673
5. Soluções expĺıcitas de algumas equações Bessel 676
6. A Equação de Bessel com ν = 1
3
e a solução da equação de Airy 679
7. Equação hipergeométrica com c 6∈ Z 680
Caṕıtulo 45. Equações de Riccati 681
1. Soluções de Riccati segundo Daniel Bernoulli 682
2. Asśıntotas verticais de soluções de equações de Riccati 687
3. Soluções das Riccati segundo Euler 688
4. A Equação de Bessel com ν = 1
4
e a solução da Riccati y′ = x2 + y2 691
5. Exerćıcios 691
Parte 3. Séries de Fourier e Equações diferenciais parciais 693
Caṕıtulo 46. Séries de Fourier 695
1. Séries de Fourier e seus coeficientes 696
2. Séries de Fourier só de senos ou só de cossenos 699
3. Convergência pontual da Série de Fourier 699
4. Séries de Fourier de cos(r · sin(x)) e de sin(r · sin(x)), r ∈ R 706
5. Convergência absoluta da Série de Fourier 707
6. A solução da equação de Kepler via série de Fourier e funções de Bessel 710
7. Exerćıcios 713
Caṕıtulo 47. Equações Diferenciais Parciais 715
1. Observações gerais, tipos, separação de variáveis, soluções clássicas 715
2. Equações parciais de primeira ordem e o método das caracteŕısticas 717
3. A Equação da difusão do Calor 717
4. Problemas de esfriamento unidimensionais 720
12 ÍNDICE
Caṕıtulo 48. O operador de Laplace e as equações do calor e da onda 725
1. Laplaciano em coordenadas polares e esféricas 725
2. Estado estacionário do calor num disco e expansão em séries de Fourier 727
3. A fórmula integral de Poisson 729
4. Estado estacionário do calor na esfera e série de polinômios de Legendre 731
5. Exerćıcios 736
Caṕıtulo 49. Equação da onda e as vibrações de cordas e membranas 737
1. Vibração de uma corda com extremos fixos, sem atrito 737
2. Vibração de uma corda infinita: Fórmula de D’Alembert 739
3. Modos normais de vibração de um tambor circular e as funções de Bessel 741
Parte 4. Cálculo diferencial e integral sobre os números Complexos 747
Caṕıtulo 50. Um portal para o Cálculo Complexo 749
1. O Teorema de Green e as Relações de Cauchy-Riemann 759
2. A integral complexa e a idéia da primitiva Complexa 761
3. Curvas integrais como parte imaginária das primitivas Complexas 764
4. A exponencial Complexa e os ramos do logaritmo Complexo 766
5. O Teorema fundamental do Cálculo sobre os Complexos 768
6. Exerćıcios 769
Caṕıtulo 51. Os Teoremas Fundamentais 771
1. A primitiva Complexa 771
Caṕıtulo 52. Soluções detalhadas de alguns Exerćıcios 773
Parte 1
Cálculo Diferencial e Integral e primeiras
Aplicações
CAṔıTULO 1
Introdução
1. O que é o Cálculo
O Cálculo Diferencial e Integral ou, simplesmente o Cálculo, é a matemática que
está na base da ciência de hoje.
As ciências mais desenvolvidas como F́ısica e Qúımica não podem expressar seus
conceitos sem fazerem uso do Cálculo. Também a Economia e a Biologia cada vez
mais são matematizadas através do Cálculo.
O Cálculo foi fundamental na revolução cient́ıfica dos séculos XVII e XVIII e de
lá para cá não cessou de produzir resultados e aplicações.
O Cálculo é uma teoria matemática, ou seja, um modo unificado de se ver uma
série de fatos matemáticos.
Na matemática, quando surge uma nova teoria, ao invés de se eliminar os resul-
tados das teorias anteriores, o que a nova teoria faz é:
• reobter os teoremas até então conhecidos,
• dar generalizações deles,
• produzir resultados completamente novos.
Isso só ocorre em matemática: em outras ciências uma nova teoria pode tornar
obsoleta e errada a teoria anterior.
Por exemplo, a determinação exata da Área de certas regiões, que com métodos
elementares exigiu o gênio de Arquimedes, com o Cálculo vira uma continha de rotina.
Mas através do Cálculo aparecem fatos novos e intrigantes sobre Áreas, como o fato
de regiões ilimitadas poderem ter Área finita.
Além de nos permitir provar tudo que já ouvimos falar de matemática no colégio,
o Cálculo vai nos transformar em verdadeiros McGivers, ou seja, aquele personagem
que com quase nada de recursos faz horrores de coisas, como aparelhos, armas, etc, e
suas missões. Através do Cálculo , só com as quatro operações +,−, x vamos poder
no Caṕıtulo 30 aproximar com a precisão que quisermos :
• funções fundamentais como arctan(x), ln(x), etc
• números como √p (p primo), π, e = exp(1).
Uma das inspirações fundamentais para o Cálculo foi a F́ısica, ou F́ısica-matemática
com a qual Isaac Newton revolucionou a ciência da época. Vários fenômenos f́ısicos
tiveram então uma explicação completa e unificada, através das técnicas do Cálculo.
Essas técnicas só ficarão aparentes à medida que o leitor entre na Segunda Parte
do Curso, que é a parte de Equações Diferenciais.
15
4. ALERTA AOS ESTUDANTES 16
2. Sobre o Curso
Um alerta: este curso trata de matemática superior. Em várias universidades,
inclusive a nossa, há uma a tentativa de se ensinar o Cálculo como se fosse uma
continuação do Ensino Médio, seu ensino sendo feito através de tabelas, regrinhas,
macetes.
Se refletimos um pouco, vemos que em alguns cursos como Farmácia, Economia,
Biologia, o Cálculo é uma das poucas disciplinas de matemática que terão na univer-
sidade. Desse modo, imitando o Ensino Médio, se cursaria um Curso Superior sem
ter contato com a Matemática Superior. A formação cient́ıfica desses cursos ficaria
prejudicada e de fato não poderiam chamar-se cursos universitários.
Por isso neste Curso sempre que for posśıvel (exceto quando a explicação for
técnica demais) vamos tentar dar justificações matemáticas corretas, sem apelar para
a credulidade do estudante e argumentos de autoridade, do tipo acreditem em mim.
Os argumentos que damos são concatenações de idéias simples, mas às vezes ex-
igem um certo fôlego do leitor para acompanhá-lo do começo ao fim. Esse treino de
concentração certamente irá colaborar na formação técnico-cient́ıfica do estudante.
3. Sobre os Gráficos e Figuras
Tentei fazer o máximo posśıvel de gráficos para ilustrar o conteúdo, usando o pro-
grama Maple 9 para fazê-lo numericamente, ou seja, realisticamente. Este programa é
pago, mas o estudante pode usar o XMaxima ou o Gnuplot que são programas livres,
do Linux, como auxiliar no estudo. Sempre que posśıvel usei a mesma escala nos dois
eixos, pois isso determina inclinações das retas e essas inclinações são importantes no
Cálculo1.
Mas nem sempre isso foi posśıvel, por exemplo quando as funções crescem muito
rápido, onde não dá para manter as mesmas escalas nos eixos x e y.
A teoria tem que ser sempre nossa guia na confecção de gráficos, pois os computa-
dores erram ao representar funções descont́ınuas ou funções que estão muito próximas
de um certo valor sem alcançar esse valor.
Também fiz figuras qualitativas e diagramas usando o programa Winfig, que é
pago, e o Xfig, do Linux, que é grátis.
4. Alerta aos estudantes
Por ser matemática superior, o Curso exige do aluno um empenho e atenção muito
diferente daquele exigido nos seus contatos anteriores com a matemática.
Principalmente o aluno deve usar de modo preciso os conceitos que vão sendo
apresentados (por ex. limites, continuidade, derivada). Se não os entender, per-
gunte ao professor até ter esclarecido o conceito. Pois embora às vezes pareçam ape-
nas conceitos qualitativos, são de fato bastante precisos e mais tarde dão resultados
quantitativos de absoluta precisão.
1Veja, por exemplo, que o gráfico do seno está errado em várias edições do livro do Anton,
pois ele não usou as mesmas escalas nos eixos x e y, portanto a inclinaçãona origem não fica bem
representada
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 17
Numa primeira leitura, o estudante pode ler o enunciado dos Teoremas e Afirmações,
sem ler todas as demonstrações. Mas de fato, só se entende completamente um fato
matemático quando se entende a sua demonstração.
Por último, é muito importante que o estudante pense nos exerćıcios propostos em
cada Caṕıtulo. Mesmo que não responda todos, ao tentar fazer exerćıcios o conteúdo
vai sendo assimilado concretamente. E se o aluno não consegue fazer quase que
nenhum exerćıcio, então precisa voltar a refletir no conteúdo dado.
Alguns têm solução bastante detalhada, apresentada no Caṕıtulo 52. Mas que só
devem ser lidas após muito trabalho pessoal do aluno.
Ao longo do livro aparecem problemas da prestigiada W. L. Putnam Mathematical
Competition, que ocorre anualmente desde sua Primeira Edição em 1938. Vão apare-
cendo à medida que desenvolvemos material suficiente para poder resolvê-los. Nessa
competição aparecem problemas dif́ıceis, mas tratei de selecionar alguns simples e
acesśıveis.
Minhas fontes foram o site:
http://amc.maa.org/a-activities/a7-problems/putnamindex.shtml
(onde estão as Competições de 1985-2009) e o livro The W. L. Putnam Mathemat-
ical Competition, Problems and solutions, 1938-1964., Math. Association of America.
Esses problemas devem ser pensados pelo leitor e só depois do leitor apresentar a
sua resposta, do seu jeito de ver o problema, é que pode ler as respostas. Foi assim
que eu fiz: eu resolvi sozinho cada um dos que apresento, e minhas respostas não têm
a pretensão de serem as mais elegantes posśıveis.
Lembro o que um professor muito bom me disse: Só se aprende matemática re-
solvendo problemas !
5. Livros-texto e Referências
Livros ruins de Cálculo há vários, de cuyos nombres no quiero acordarme.
Bastante razoável o livro do G. Thomas, dispońıvel na biblioteca em várias edições.
Curto, direto e bom preço: R. Silverman, Essential Calculus with applications,
Dover.
Para mim um dos melhores livros de Cálculo é o de Michael Spivak, Calculus
(edições em espanhol e ingles na biblioteca da UFRGS). Aprende-se muito nesse livro
e me foi úil em alguns momentos na hora em que se fez necessário a precisão que falta
em outros livros. Claro que é bastante dif́ıcil como primeiro livro de Cálculo, mas o
esforço de ler qualquer seção dele é sempre recompensado.
Na Primeira Parte usei coisas que aprendi:
• no enciclopédico livro de R. Courant e F. John, Introduction to Calculus and
Analysis, Interscience, 1965.
• no curso de Elon Lima Curso de Análise, Projeto Euclides, SBM.
• no clássico E. T. Whittaker e G. Watson, A course of modern Analysis,
Cambridge, reimpressão de 1996.
• no belo livro de C.H. Edwards, The historical development of the Calculus,
Springer, 1979.
• no livro de S. Chandrasekhar, Newton’s Principia for the common reader,
Oxford University Press , 1995.
6. PROGRAMAS ÚTEIS 18
As referências usadas no Apêndice sobre a Lei de Kleiber, Caṕıtulo 34, estão dadas
lá.
Na Parte 2, sobre Equações diferenciais, usei material do Courant-John, bem como
• o excepcional livro de M. Hirsch e S. Smale Differential equations, dynamical
systems and linear algebra, Academic Press, 1974,
• o muito bem escrito e motivante livro de G. Simmons Differential equations
with applications and historical notes, McGraw-Hill, 1972. Alguns Exerćıcios
propostos neste livro me serviram de guia para diversas Seções. Usei bastante
esse livro.
• o livro de H. S. Bear, Differential Equations, a Concise Course, Dover, 1962
é pequeno mas muito informativo. Nele se encontra uma prova perfeitamente
leǵıvel do Teorema de existência de soluções de Picard, por exemplo.
• o de J. W. Bruce e P. j. Giblin, Curves and singularities, Cambrige U. Press,
1984.
• o clássico G. N. Watson A treatise on the theory of Bessel functions , Cam-
brige, 1958.
• o livro de A. Gray e G. B. Mathews, A treatise on Bessel functions and their
applications to Physics, McMillan and co, 1895.
• ademais usei no Caṕıtulo 37 artigos de A. Bernhardt e de A. Lotka, bem
como
• o clássico livro de F. Gomes Teixeira, Traité des courbes speciales remar-
quables, planes et gauches, reimpressão de 1971, Chelsea Publishing Com-
pany.
• last but not least, E. Kamke, Differentialgleichungen- Losungsmethoden und
losungen, T. I, Chelsea Publisinhg Company, 1948.
6. Programas úteis
Programas como o Maple podem ser um grande auxiliar para o estudo: para
conferir contas, plotar curvas, etc, mas só serão úteis se o estudante tentar fazer
sozinho e depois usar os programas para checar seus resultados.
Para usuários do Windows existe o programa grátis WXMaxima, que você baixa
em instantes no site:
http://sourceforge.net/projects/maxima/files/Maxima-Windows/
5.21.1-Windows/maxima-5.21.1.exe/download
Esse programa faz tudo: resolve equações algébricas e diferenciais, deriva, integra,
faz gráficos, etc.
O Maple é programa análogo pago.
Também existe um site, http://www.wolframalpha.com, onde se pode fazer online
gráficos, integrais, limites e derivadas, o que é útil quando se está estudando fora de
casa.
Agradecimentos:
Agradeço ao Professor Mark Thompson, da Matemática da UFRGS, por ter
me disponibilizado Notas que serviram para a elaboração da Seção sobre Cinética
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 19
qúımica. E também pelo livro de G. Gibson, An elementary treatise on the Calculus,
with illustrations from Geometry, Mechanics and Physics, reimpressão de 1956 da
edição de 1901, que me foi útil.
Agradeço ao Professor Vı́tor Pereira, da Geologia da UFRGS, que me explicou o
belo fenômeno da meia-vida da luz das super-novas.
As notas de Aula do Professor Eduardo Brietzke, da Matemática da UFRGS, para
a disciplina de Equações Diferenciais II, me serviram de fio-condutor entre os diversos
temas posśıveis. Abordei alguns dos exemplos que lá aparecem de um ponto vista um
pouco diferente. Lhe sou grato.
Agradeço às estudantes que fizeram Cálculo comigo em 2008: Pâmela Lukasewicz
Ferreira, por ter tomado notas do curso que dei e que me serviram de roteiro para
este texto e Mônica Hoeveler, por participações em aula e por sugestões de temas.
Agradeço aos estudantes Luciano Bracht Barros e Magno V. F. Teixeira da
Silva por conversas no fim da aula que me motivaram a escrever a Seção 6 do Caṕıtulo
32.
O estudante Walter Ferreira Diniz Júnior resolveu vários problemas de modo
original, produziu exemplos, e até me indicou como escrever melhor a Seção 5 do
Caṕıtulo 26 !
CAṔıTULO 2
Alguns dos objetivos do Cálculo
A descrição matemática dos fenômenos se faz principalmente a partir da noção de
função y = f(x) e de seu gráfico.
Se pudermos entender:
• se f(x) assume somente valores Reais, onde f(x) se anula, onde é positiva
ou negativa,
• se e onde f(x) cresce ou decresce à medida que x cresce,
• se f(x) se aproxima de um certo valor quando x cresce muito,
• se e onde f(x) tem valor máximo ou mı́nimo,
• no caso de y = f(x) ≥ 0, qual a área sob seu gráfico e acima do eixo dos x,
• se dado y pudermos descobrir qual x gerou y = f(x),
então podemos dizer que entendemos o comportamento da f(x).
Estaremos capacitados a fazer previsões sobre o fenômeno modelado por essa
função.
Esses são alguns dos objetivos do Cálculo.
Nas próximas Seções passamos lembrar / definir essas noções.
1. Funções e seus domı́nios
Os filósofos sempre se espantaram com o fato de que as coisas mudam, e se ques-
tionaram tanto sobre o que muda como sobre o que permanece nessas mudanças.
Os matemáticos também compartilham desse espanto e sempre se perguntaram,
ao ver que há mudanças, como as coisas mudam.
A resposta a essa pergunta pode ser tanto qualitativa como quantitativa, as duas
são interessantes. Por exemplo é qualitativa quando um astrônomo afirma que certo
cometa voltará a passar algum dia. É quantitativa nocaso de Halley, que previu o
ano em que certo cometa voltaria, usando as ferramentas do Cálculo.
Se um fenômeno (a temperatura de um sistema, por exemplo) depende de um só
parâmetro (o tempo, por exemplo) é natural descrever sua evolução num gráfico da
função que associa a cada momento x a temperatura T (x). Esse gráfico formará uma
21
1. FUNÇÕES E SEUS DOMÍNIOS 22
curva no plano.
0,8
1
0,4
0
0,6
0,2
x
210-1-2
Figura: O gráfico de y = T (x) forma uma curva no plano.
Mas é claro que conhecemos fenômenos z = F (x, y) que dependem de dois fatores
e para descrever esse fenômeno precisariamos de gráficos que formam superf́ıcies no
espaço, ao invés de curvas no plano. E em geral os fenômenos dependem de vários
parâmetros (em qúımica, por exemplo, quantidades de reagentes, pressão, ph, etc).
Figura: O gráfico de z = F (x, y) forma uma superf́ıcie no espaço
Os conceitos que aprenderemos neste curso se adaptam facilmente para superf́ıcies,
mas vamos nos restringir a gráficos que são curvas. Ou como se diz, faremos o Cálculo
de 1 variável.
A seguir vamos começar a estabelecer conceitos qualitativos sobre gráficos que
são importantes no Curso. O manejo correto desses conceitos é fundamental para a
compreensão do resto do curso.
CAPÍTULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO CÁLCULO 23
2. Função
Uma função é uma regra que associa a cada ponto1 de um conjunto (o domı́nio
da função) um ponto de um outro conjunto fixado (o contra-domı́nio). Dito de outro
modo, uma reta vertical traçada passando por um ponto do domı́nio de uma função
y = f(x) corta seu gráfico exatamente em 1 ponto. Por isso, por exemplo, um ćırculo
não é gráfico de uma função y = f(x).
O subconjunto do contradomı́nio formado por pontos que são efetivamente valores
da função formam a imagem da função. Por exemplo,
f : R → R, f(x) = x2
tem como domı́nio e contradomı́nio os números Reais, mas sua imagem são apenas
os Reais não-negativos2.
Quando dizemos que f : I → J é sobrejetiva isto quer dizer que não somente
a imagem f(I) verifica f(I) ⊂ J , mas que de fato verifica f(I) = J . Ou seja, que
efetivamente todo ponto de J foi atingido pela f . Por exemplo, f(x) = x2 só é
sobrejetiva vista como função f : R → R≥0.
É importante notar na definição de função que só há um valor associado a cada
ponto do domı́nio. Se houver ambiguidade na atribuição do valor então dizemos que a
função não está bem-definida naquele ponto. Por exemplo, quando perguntamos qual
é a ráız quadrada de 9 há uma ambiguidade: pode ser que tomemos a ráız positiva 3
ou a ráız negativa −3.
Não confunda a definição de função com outra, a de função injetiva: uma função
é injetiva quando não associa o mesmo valor a dois pontos distintos de seu domı́nio.
Por exemplo, f : [0, 3] → R, f(x) = x2 é injetiva mas f : [−3, 3] → R, f(x) = x2 não
é injetiva.
3. Funções definidas a partir de outras funções
3.1. Função inversa. Imagine uma função que desfaz o efeito de outra função.
Por exemplo, uma dá a a velocidade de um carro em função do tempo trascorrido
v = v(t). Sua inversa diria para cada velocidade v qual o tempo necessário para
atingir essa velocidade t = t(v) (o que dá uma medida da potência do motor do carro,
por ex.)
Ou por exemplo, a temperatura de um objeto vai caindo com o tempo. Sabendo
quanto caiu a temperatura T (t) como determinar o tempo t transcorrido ?
Para se ter uma função inversa f−1, a função f necessariamente tem que ser
injetiva !
Se não, vejamos: se y = f(x1) = f(x2) com x1 6= x2, o que deve fazer f−1 com y
? Enviá-lo em x1 = f
−1(y) ou em x2 = f
−1(y) ? Isso é uma ambiguidade inaceitável
para f−1.
Vamos mais tarde falar do sentido geométrico da função inversa.
1Para mim os números Reais formam um reta, portanto uso número ou ponto indistintamente.
2Várias vezes no curso usaremos isso: o quadrado de um número Real nunca é negativo
4. DIFERENTES DOMÍNIOS DE FUNÇÕES 24
3.2. Composição de funções. Dentre os modos mais úteis de se produzir um
função interessante a partir de funções simples está a composição de funções.
A idéia é simples e fundamental: o resultado de uma função g(x) vira entrada de
uma segunda função f .
A notação usual é: se f : I → J e g : J → K então (f ◦ g) : I → K faz
(f ◦ g)(x) := f( g(x) ).
É claro que se pode compor um número qualquer de funções.
Pense em quantos exemplos encontramos disso na natureza, nas reações qúımicas,
nas indústrias, em que um processo complicado é dividido em várias etapas simples
concatenadas.
Neste Curso procedermos assim também: vamos primeiro entender os casos mais
simples e depois, via composição de funções, entender os mais complicados.
3.3. O que é a Área sob um gráfico ? Podemos usar o gráfico de uma função
para definir outra. Por exemplo, tomo a diagonal y = x como gráfico e me pergunto
pela Área do triângulo determinado pela origem, o eixo horizontal e um segmento
vertical de (x, 0) até (x, x). À medida que x avança no eixo dos x, a Área do triângulo
obtido aumenta e podeŕıamos tentar descrever como essa Área depende de x isso num
outro gráfico.
Na definição do Logaritmo Natural, faremos exatamente isso, mas a área em
questão será delimitada sob o gráfico de 1/x e não sob y = x.
x=1 x
Figura: Área sob um o gráfico, de x = 1 até x.
Precisaremos saber primeiro, o que é a Área sob um gráfico curvado como 1/x.
Isso que foge do que sabemos do Ensino Médio, que são áreas de regiões elementares
como triângulos, quadrados, trapézios, setores circulares, etc. Só entenderemos isso
plenamente na Parte 2 do curso, com o conceito de Integral.
4. Diferentes domı́nios de funções
A prinćıpio o domı́nio de uma função pode ser qualquer conjunto, mas neste Curso
usaremos como domı́nios quase sempre:
• todos os Reais R, ou
• intervalos de números reais, incluindo semi-retas ou
• apenas os Naturais N ⊂ R.
CAPÍTULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO CÁLCULO 25
Mas é claro que em certas situações os domı́nios também podem ser a união de
vários intervalos (como se verá por exemplo na Seção 2.3 do Caṕıtulo 6), somente os
números Racionais Q ⊂ R, etc.
5. Gráfico descont́ınuo, mas que mesmo assim é gráfico
Há gráficos que sofrem um salto abrupto, mas que mesmo assim são gráficos.
Por exemplo, o gráfico da função f : R → R, definida condicionalmente por
f(x) = x− 2, se x < 2 e f(x) = x2 se x ≥ 2.
O ponto 2 de seu domı́nio é um ponto catastrófico: se estamos em pontos que são um
pouquinho menores que 2 a função tem valores próxima do zero. Mas se mexemos
um pouco a coordenada x, chegando em x = 2 ou acrescentando algo positivo muito
pequeno ao 2, o valor da função já pula para ≥ 22 = 4.
x=2
y=4
Figura: O gráfico de função descont́ınua no ponto x = 2
Outro modo de ver o que acontece é que, enquanto seu domı́nio R é feito de um
só pedaço, sua imagem f(R) = R≤0∪R≥4 é feito de dois pedaços: a função rasga seu
domı́nio em dois pedaços.
Esses gráficos são úteis para modelar matematicamente comportamentos explo-
sivos : uma explosão qúımica, o comportamento de um animal à medida que aumenta
o stress, etc. Mas em cursos de Cálculo veremos gráficos que não tem essas variações
dramáticas de valores.
6. Função positiva, negativa e zeros ou ráızes
Uma função f : I → R é positiva (negativa)3 se sua imagem está contida nos
Reais positivos (negativos).
Muito importante para um técnico ou cientista é determinar os pontos do domı́nio
onde a função se anula (ou, como se diz, onde corta o eixo dos x, que é dado por
y = 0). Ou seja, é importante resolver uma equação f(x) = 0.
No caso de polinômios esses pontos são as chamadas ráızes. Aconselho o leitor a ler
o Teorema 7.1 no Caṕıtulo 6, que prova a relação entre ráızes e fatores de polinômios.
3Para evitar escrever duas frases onde só trocaria uma palavra, ponhoem parênteses a modi-
ficação a ser feita na frase
7. FUNÇÃO CRESCENTE OU DECRESCENTE 26
Mais adiante, no Teorema 4.1 do Caṕıtulo 6.1 explicaremos em termos do Cálculo
qual o significado das ráızes múltiplas.
4
6
0
-4
2
-2
-6
x
21-1 0-2
Figura: Um gráfico de polinômio com 3 ráızes
7. Função crescente ou decrescente
Definição 7.1. Uma função f : I → R é estritamente crescente exatamente quando
∀ x1, x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
E dizemos que é apenas crescente exatamente quando
∀ x1, x2 ∈ I, x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2).
Analogamente se define estritamente decrescente, trocando f(x1) < f(x2) por
f(x1) > f(x2).
0,6
1
0,2
0,8
0,4
0
x
32,521 1,5
CAPÍTULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO CÁLCULO 27
Figura: Exemplo de gráfico de y = f(x) crescente.
1
0,8
0,6
0,4
0,2
x
32,5210,50 1,5
Figura: Exemplo de gráfico de y = f(x) decrescente.
Claro que há funções que não são nem crescentes nem decrescentes, ou sejam, que
oscilam.
1
0,6
0,8
0,4
0
0,2
x
0,4-0,4-0,6 0,2 0,6-0,2 0
Figura: Exemplo de gráfico de y = f(x) que oscila.
Uma observação simples mas útil:
Se uma função f é estritamente crescente (ou estritamente decrescente) então f
é injetiva.
De fato, se tomo quaisquer x1, x2 diferentes de seu domı́nio, posso sempre me
perguntar qual deles é menor, por exemplo, x1 < x2. Como a f é estritamente
crescente (ou estritamente decrescente), temos f(x1) < f(x2) (ou f(x1) > f(x2)),
mas de qualquer forma f(x1) 6= f(x2). Logo é injetiva.
Um exemplo importante é o que já demos de uma função f que mede a Área
sob um gráfico de uma outra função positiva. É natural que f seja uma função
estritamente crescente, pois à medida que vamos para a direita no eixo x há mais
área sob o gráfico. Logo é natural que seja injetiva e tenha então uma inversa f−1.
Volto nesse ponto, com f o Logaritmo Natural e f−1 a Exponencial.
8. MÁXIMOS E MÍNIMOS 28
Saber que uma função é crescente pode ser um fato extremamente relevante do
ponto de vista cient́ıfico: por exemplo, um dos prinćıpios f́ısicos mais fundamentais
é que a função Entropia é uma função crescente, ou seja, que as coisas têm uma
tendência a se desorganizar. É essa Entropia crecente que está na base da nossa
distinção entre passado, presente e futuro.
Por outro lado um exemplo marcante de função decrescente é a função y = f(x)
que dáa quantidade de uma substância radioativa no tempo x. Uma descoberta
cient́ıfica fundamental foi a de descrever de modo quantitativamente preciso como é
essa função para cada substância radioativa.
É fundamental neste curso estabelecermos um critério para determinar se uma
função é crescente (ou é decrescente).
De preferência um critério que consista em entender uma função que seja mais
simples que a função f ela mesma ! Se não não adiantaria muito. Isso veremos no
Caṕıtulo 10, que é muito importante.
8. Máximos e mı́nimos
Uma das grandes utilidades do Cálculo é encontrar pontos onde uma função atinge
seu máximo ou mı́nimo. Ou seja, o Cálculo serve para minimar ou maximizar: rendi-
mento de um processo, custos, gastos, etc, desde que o problema seja formulado
matematicamente.
Vamos definir um máximo local (analogamente um mı́nimo local).
Definição 8.1. Seja f : I → R e x ∈ I. Dizemos que x é máximo local se existe
algum intervalo
(−ǫ+ x, x+ ǫ)
centrado em x, tal que
∀x ∈ I ∩ (−ǫ+ x, x+ ǫ), f(x) ≤ f(x).
Já x é dito ser um máximo global de f : I → R se
∀x ∈ I, f(x) ≤ f(x).
É a mesma diferença que há entre ser o cara que corre mais rápido no clube do
bairro e ser o cara que corre mais rápido no mundo !
x
0,60,4
4
0,20
3,6
-0,4
4,2
3,8
3,4
3
3,2
-0,2-0,6
CAPÍTULO 2. ALGUNS DOS OBJETIVOS DO CÁLCULO 29
Figura: Função com um mı́nimo global, um máximo local e um mı́nimo local.
Chamo a atenção de que há funções que simplesmente não tem máximo, como já
vimos no caso de f : (0, 5] → R, f(x) = 1
x
.
E existem as que não tem mı́nimo: por ex. f : R≥1 → R, f(x) = 1
x
.
De fato, se tomo n ∈ R≥1, temos f(n) = 1
n
, que já sabemos fica tão próximo
quanto quisermos de 0, sem nunca atingir zero. Isso diz que f vai sempre diminuindo
um valor, não tendo portanto um ponto de seu domı́nio onde um valor mı́nimo fosse
atingido.
Dá vontade de dizer algo sobre o papel do 0 neste exemplo f : R≥1 → R, f(x) = 1
x
.
O 0 realmente nunca é atingido pela função mas de certo modo demarca, delimita o
conjunto imagem
f(R≥1) = (0, 1].
0 é o que se costuma chamar uma cota inferior do conjunto imagem f(R≥1), isto é,
∀y ∈ f(R≥1), 0 ≤ y.
E mais ainda, qualquer número maior que zero não é cota inferior de f(R≥1), pois
1
n
∈ f(R≥1) se aproxima o que quisermos de zero. Portanto 0 é a maior cota inferior
de f(R≥1), que se chama o Ínfimo desse conjunto.
9. Exerćıcios
Exerćıcio 9.1. Determine em que intervalos as funções a seguir são negativas ou
positivas e onde estão seus zeros:
vi) x2 − x
vii) x2 − 5x+ 6
viii) x3 − x2
Exerćıcio 9.2. Dê exemplos de frases do dia a dia que são verdade, mas cujas
rećıprocas não são verdade.
Exerćıcio 9.3. Negue as seguintes frases:
i) dado qualquer poĺıtico, existe um valor de suborno tal que por esse valor ele se
corrompe.
ii) dada uma distância qualquer, existe um tempo tal que a partir daquele tempo
o asteróide dista da terra menos que a distância dada.
Exerćıcio 9.4. Imagine alguns exemplos, qualitativamente, sem precisar dar explici-
tamente a regra f(x), de funções:
i) positivas e crescentes,
ii) negativas e crescentes,
iii) negativas e decrescentes,
iv) negativas e decrescentes,
v) com mı́nimo local, mas sem mı́nimo global
vi) com máximo local e máximo global diferentes.
9. EXERCÍCIOS 30
Exerćıcio 9.5. Faça as composições f ◦ g ◦ h e h ◦ g ◦ f , onde:
i) f = 1
x3
, g = sin(x) h = x+ 5
ii) f = x2, g = 1
x
, h = sin(x).
iv) Imagine algum exemplo onde aconteça f ◦ g ◦ h = h ◦ g ◦ f (o que é raro !).
Exerćıcio 9.6. (resolvido)
Determine explicitamente as funções inversas f−1 das funções f(x) a seguir. Teste
sua resposta verificando que x = f−1(f(x)).
i) f : R → R, f(x) = x3
ii) f : R → R, f(x) = x3 + 1
iii) f : R → R, f(x) = (x− 1)3
iv): f : R → R, f(x) = −5 · x3 + 10.
v): f : (0, 1) → R, f(x) = x
1−x2 . Dica: o mais dif́ıcil neste item é não se equivocar
com os sinais.
CAṔıTULO 3
Propriedade básicas dos números Reais
As funções definidas nos Reais e tomando valores Reais são importantes pelas
aplicações ao mundo f́ısico. Por exemplo, se um Engenheiro me diz que a laje da peça
onde estou vai cair em 5 minutos eu certamente saio correndo da sala. Mas se um
Matemático me disser que a laje vai cair no tempo 5 · I := 5
√
−1, que fazer ?
Essa utilidade dos Reais, por corresponder à linha do tempo (passado = número
negativo, presente = 0, futuro = número positvo), tem como ônus o fato que as
funções Reais nem sempre estão definidas.
Veremos duas restrições, uma sobre quocientes e outra sobre a ráız quadrada.
A primeira afeta não só os Reais, mas qualquer sistema de números. A segunda,
da Ráız, é t́ıpica dos números que podem ser ordenados.
1. Os Reais como sistema de números: não dividirás por zero !
Todo professor passa aulas e aulas repetindo que não se pode dividir por zero.
E infelizmente muitos alunos de Cálculo dividem por zero, pois confundem o fato
de um número ser pequeno com um número ser zero !
Mas a final, por quê não se pode dividir por zero ? No que podemos nos apoiar
para provar que não existe o número 1
0
?
Nos bastará algumas das propriedades mais gerais dos R (por sinal compartilhadas
com outros sistemas de númros, como Q ou C), que são:
• existe um elemento neutro aditivo, 0, tal que 0 + x = x, ∀x ∈ R.
• ∀x ∈ R existe o inverso aditivo −x tal que x+ (−x) = 0.
• existe um elemento neutro multiplicativo, 1, tal que 1 · x = x, ∀x ∈ R.
• ∀x ∈ R, x 6= 0, existe o inverso multiplicativo 1
x
tal que x · 1x
= 1.
• 1 6= 0
• as operações de soma e produto são distributivas, associativas e comutativas.
De posse dessas propriedades, que são assumidas como verdades, posso provar :
Afirmação 1.1.
i) −x = −1 · x, ∀x ∈ R,
ii) 0 · x = 0, ∀x ∈ R.
iii) não existe 1
0
.
Demonstração.
De i):
0 = (1− 1) · x ⇔ x− x = (1− 1) · x⇔
31
2. ORDEM NOS REAIS: NÃO TIRARÁS A RAÍZ QUADRADA DE NÚMEROS
NEGATIVOS ! 32
⇔ x− x = 1 · x− 1 · x⇔ x− x = x− 1 · x⇔ −x = −1 · x.
De ii):
0 · x = 0 ⇔ (1− 1) · x = 0 ⇔
⇔ x− 1 · x = 0 ⇔ x− x = 0,
e este último fato é verdade: x = x.
De iii):
Suponhamos por absurdo que exista o número 1
0
.
Então 0 · 1
0
= 1, pois o sentido de 1
x
é ser o inverso multiplicativo de x.
Mas o item ii) dá que:
0 · 1
0
= 0.
Logo 0 = 1: contradição.
�
2. Ordem nos Reais: não tirarás a ráız quadrada de números negativos !
Um aspecto bonito da matemática é que, após assumir a verdade de certos fatos
simples, podemos deduzir fatos novos, às vezes não tão simples.
Vamos assumir a validade dos seguinte Prinćıpios (Axiomas):
• Prinćıpio 0: Existe um subconjunto P dos Reais chamado de conjunto dos
números positivos. Vale para todo x ∈ R apenas uma das 3 possibilidades:
ou x ∈ P ou x = 0 ou −x ∈ P . O elemento neutro multiplicativo 1 é positivo.
• Prinćıpio 1: A soma de quaisquer dois números positivos é um número
positivo.
• Prinćıpio 2: o produto de um número positivo por um número positivo é
positivo.
Um número é chamado não-negativo se x ∈ P ∪ {0}. Denotamos os positivos
usualmente com x > 0 e os não-negativos com x ≥ 0. Os negativos, por x < 0.
Podemos agora provar :
Afirmação 2.1.
i) (Regra de multiplicação de sinais) (−x) · (−x) = x · x, ∀x ∈ R.
ii) x2 := x · x ≥ 0 ∀x ∈ R.
iii)
√
x não é um número Real, se x < 0.
Demonstração.
De i):
De fato, pelo item i) da Afirmação 1.1 (−1) · x = −x.
Pela comutatividade e associatividade do produto:
(−x) · (−x) = (−1) · x · (−1) · x = (−1) · (−1) · x · x.
CAPÍTULO 3. PROPRIEDADE BÁSICAS DOS NÚMEROS REAIS 33
Só resta provar que
−1 · (−1) = 1,
ou seja, nos reduzimos a provar apenas a Regra dos Sinais para o −1. Ora,
−1 · (−1 + 1) = 0 ⇔ −1 · (−1)− 1 · 1 = 0 ⇔
⇔ −1 · (−1)− 1 = 0 ⇔ −1 · (−1) = 1,
como queŕıamos.
De ii):
Se x = 0 então x · x = 0, pelo item ii) da Afirmação 1.1.
Se x > 0 então x · x > 0 (Pr. 2).
Se, por outro lado, x < 0 então −x > 0 (Pr. 0).
E então x · x = (−x) · (−x) > 0 (Pr. 3 e 2).
De iii):
Suponha agora por absurdo que y :=
√
x ∈ R para x < 0.
Então y2 ≥ 0 pelo item ii).
Mas então chegamos em
0 ≤ y2 = (
√
x)2 = x < 0,
em contradição com o Prinćıpio 0.
�
3. Propriedades gerais das desigualdades
Usando os Prinćıpios 0 , 1, 2 e a Regra de Multiplicação de Sinais podemos provar
as propriedades a seguir, que são fundamentais.
Alerta: se o estudante não manejar bem essas propriedades terá problemas no
Curso.
Afirmação 3.1.
i) Se x ≥ y e z ≥ w então x+ z ≥ y + w, ∀x, y, z, w ∈ R.
ii) Se x > 0 e y ≥ z então x · y ≥ x · z.
iii) Se x < 0 e y ≥ z então x · y ≤ x · z.
iv) se x > 0 então 1
x
> 0
v) se x > 1 então 1
x
< 1.
vi) 0 < x1 < x2 ⇒ 0 < 1x2 <
1
x1
.
vii) 0 < x < 1 ⇒ 0 < x2 < x < 1.
viii) 1 < x ⇒ 1 < x < x2
ix) 0 < x1 < x2 < 1 ⇒ 1 < 1x2 <
1
x1
.
x) 1 < x1 < x2 ⇒ 1x2 <
1
x1
< 1.
xi): 0 < x < 1 ⇒ 1 < 1
x
< 1
x2
.
xii): 1 < x ⇒ 1
x2
< 1
x
< 1.
xiii): 0 ≤ x ≤ y e 0 ≤ z ≤ w então 0 ≤ x · z ≤ y · w.
3. PROPRIEDADES GERAIS DAS DESIGUALDADES 34
Demonstração.
i) Dados x, y, z, w ∈ R com
x ≥ y e z ≥ w,
podemos traduzir isso em:
(x− y) ≥ 0 e (z − w) ≥ 0.
Queremos provar que
x+ z ≥ y + w,
que se traduz em
(x+ z)− (y + w) ≥ 0,
ou, o que diz o mesmo:
(x− y) + (z − w) ≥ 0.
Isso é o que queremos. Para termos isso, podemos usar o Prinćıpio 1, pois então com
esse prinćıpio:
(x− y) ≥ 0 e (z − w) ≥ 0 ⇒ (x− y) + (z − w) ≥ 0.
ii) Temos que x > 0. Caso y = z então x · y = x · z. Por isso supomos que y > z,
ou seja, y − z > 0.
Queremos provar que x · y > x · z, ou seja, que
x · y − x · z > 0,
o que é o mesmo que dizer que
x · (y − z) > 0.
Isso é o que queremos. Então podemos usar o Prinćıpio 2, que dá:
x > 0 e y − z > 0 ⇒ x · (y − z) > 0.
iii) Temos agora −x > 0 pelo Prinćıpio 0. Caso y = z então x · y = x · z.
Por isso supomos y > z, ou seja, y − z > 0. Então o Prinćıpio 2 dá:
(−x) · (y − z) > 0,
ou seja
−x · y + x · z > 0,
ou seja,
x · y − x · z < 0,
que é o que buscávamos provar:
x · y < x · z.
iv) Temos x > 0 e suponhamos por absurdo que 1
x
< 0.
Então − 1
x
> 0 e pelo Prinćıpio 2:
x · (−1
x
) > 0.
Mas x · (− 1
x
) = −1. Logo obtemos −1 > 0 ou seja 1 < 0, que contradiz o Prinćıpio 0.
v) Seja x > 1. Suponhamos por absurdo que 1
x
≥ 1.
Se 1
x
= 1 então chegamos na contradição: 1 = x.
CAPÍTULO 3. PROPRIEDADE BÁSICAS DOS NÚMEROS REAIS 35
Se 1
x
> 1 então multiplicando esta desigualdade por x > 1 > 0, temos
x · 1
x
> x · 1
(pelo item ii) já provado).
Como x · 1
x
= 1 pela própria definição de 1
x
e como x · 1 pela definição do neutro
1, obtemos
1 > x,
que contradiz x > 1.
Deixo para o leitor a prova das propriedades vi-xii, onde pode usar as propriedades
i) - v) que já foram provadas.
Faço a prova de xiii):
Como 0 ≤ x ≤ y e 0 ≤ z ≤ w então sai primeiro que 0 ≤ x · z.
Agora, para ver que x · z ≤ y · w, note que
x · z ≤ y · z,
pois 0 ≤ (y − x) · z.
Do mesmo jeito sai que:
y · z ≤ y · w,
e portanto
x · z ≤ y · w.
�
Proponho agora ao leitor o seguinte Exerćıcio: explicar com itens da Afirmação
3.1 algumas propriedades dos Gráficos das funções a seguir, a saber:
• por quê em determinado intervalo um está acima ou abaixo do outro,
• por quê isso se inverte ao passar de x = 1,
2
1
1,5
0,5
0
x
1,210,4 0,6 0,80,20
4. INTERVALOS E SUAS UTILIDADES 36
y = x em vermelho, y = x2 em verde, y = x3 em amarelo
e y = x4 em azul, para x ∈ [0, 1.2]
2
1
1,5
0,8
0,5
x
1,61,41,21 1,8
y = 1
x
em vermelho, y = 1
x2
em verde, para x ∈ [2
3
, 2]
4. Intervalos e suas utilidades
Um intervalo I ⊂ R é definido como o conjunto de todos os números Reais maiores
(ou iguais) a um certo número a e menores (ou iguais) que um certo b.1
Se impomos que sejam estritamente maiores que a e estritamente menores que b
temos um intervalo aberto
I = {x ∈ R; a < x < b}
denotado I = (a, b). Caso contrário surgem os intervalos semi-abertos, fechados, etc.
Um t́ıpico intervalo que vamos usar no Curso será o intervalo aberto de raio ǫ > 0
centrado num ponto x:
(−ǫ+ x, x+ ǫ)
onde x é um ponto da reta dos Reais e ǫ > 0 é um número positivo fixado por nós.
O modo como vamos usar esses intervalos centrados é o seguinte: (−ǫ+ x, x+ ǫ)
será uma espécie de gaiola ou cercado em torno de x, delimitando pontos próximos
dele (à medida que ǫ > 0 é tomado pequeno).
Explico isso em mais detalhe:
Definição 4.1. A distância entre dois pontos x, x da reta dos Reais é definida pelo
módulo2 da diferença entre eles:
|x− x| = |x− x|.
1Podemos considerar a reta R toda ou uma semi-reta também como intervalos: veremos isso em
detalhe na Seção 4. Ao invés de usarmos o śımbolo (2,+∞) para denotar a semi-reta dos números
maiores que 2, prefiro usar o śımbolo R>2: o motivo é evitar o mal uso do śımbolo +∞.
2para um número Real △, |△| := △, se △ ≥ 0 ou |△| := −△, se △ < 0
CAPÍTULO 3. PROPRIEDADE BÁSICAS DOS NÚMEROS REAIS 37
Pela definição de módulo, |x− x| < ǫ significa que
x− x < ǫ, se x− x ≥ 0 ou − (x− x) < ǫ, se x− x < 0.
É importante entender que:
Afirmação 4.1. (−ǫ+ x, x+ ǫ) é exatamente3 o conjunto dos pontos que distam de
x menos que ǫ > 0.
Demonstração.
Vamos mostrar primeiro que
(−ǫ+ x, x+ ǫ) ⊂ {x ∈ R; |x− x| < ǫ}.
Tome
x ∈ (−ǫ+ x, x+ ǫ),
com x 6= x (caso x = x não há nada a provar, pois ǫ > 0).
Ou seja x verifica:
−ǫ+ x < x < x ou x < x < x+ ǫ.
Que equivale (subtraindo x) a:
−ǫ < x− x < 0 ou 0 < x− x < ǫ.
Que equivale4 a:
0 < −(x− x) < ǫ ou 0 < x− x < ǫ,
ou seja, 0 < |x− x| < ǫ, como queŕıamos.
Agora vamos mostrar que:
{x ∈ R; |x− x|< ǫ} ⊂ (−ǫ+ x, x+ ǫ).
.
Tome x ∈ {x ∈ R; |x− x| < ǫ}.
Se 0 ≤ x− x então temos
x− x < ǫ ⇔ x < x+ ǫ,
e portanto x ∈ [x , x+ ǫ).
Se x− x < 0 então
−(x− x) < ǫ ⇔ −x+ x < ǫ ⇔ −ǫ+ x < x,
ou seja, x ∈ (−ǫ+ x , x).5.
�
3Dois conjuntos X e Y são iguais se X ⊂ Y e Y ⊂ X
4Atenção: as desigualdade se invertem quando multiplicadas por um número negativo, por ex.,
1 < 2 < 3 mas −3 < −2 < −1
5O quadrado à direita significa que a demonstração terminou
4. INTERVALOS E SUAS UTILIDADES 38
4.1. O que é útil num intervalo aberto.
Os intervalos abertos são importante no Cálculo, e o ponto importante é que um
intervalo aberto tem uma certa tolerância com cada um de seus elementos. Podemos
mexer um pouquinho em cada um de seus elementos sem sair do intervalo aberto.
Mais especificamente:
Afirmação 4.2. Dado qualquer x ∈ (a, b) existe um pequeno intervalo aberto centrado
em x denotado Ix tal que Ix ⊆ (a, b).
Demonstração.
Considere as distâncias de x ∈ (a, b) até o extremo a e até o extremo b:
|x− a| := x− a > 0, |x− b| := b− x > 0
(são dois números positivos pois (a, b) é intervalo aberto).
Dentre os dois agora escolho o menor, chamando-o de δ0 > 0:
δ0 := mı́nimo{ x− a, b− x }.
Faça
Ix := (−δ0 + x, x+ δ0),
e vamos verificar que
(−δ0 + x, x+ δ0) ⊂ (a, b).
Para isso vamos supor que é o caso que δ0 = x − a, ou seja, que x está ou no centro
do intervalo (a, b) ou um pouco mais próximo de a que de b (analogamente no outro
caso). Então
(−δ0 + x, x+ δ0) = ( −(x− a) + x, x+ (x− a) ) =
= ( a, x+ (x− a) ).
Ora supusemos estar na situação em que x− a ≤ b− x, logo:
(a, x+ (x− a)) ⊆ (a, x+ (b− x)) = (a, b),
portanto:
(−δ0 + x, x+ δ0) ⊆ (a, b)
como queŕıamos.
�
Observe nessa Prova que à medida que x se aproxima de a ou de b a tolerância
(medida pelo δ0) fica menor, mas sempre existe.
Já no intervalo semi-aberto I = (0, 5] não há tolerância nenhuma com seu elemento
5: ou seja, qualquer número δ > 0 que for somada a 5, já faz que 5 + δ não pertença
a (0, 5].
CAPÍTULO 3. PROPRIEDADE BÁSICAS DOS NÚMEROS REAIS 39
4.2. O que é útil num intervalo fechado.
Num intervalo aberto acontece de seus elementos estarem se aproximando cada
vez mais de um ponto que ele mesmo não está no intervalo, por assim dizer de um
fantasma. Por exemplo, os pontos 1
2
, 1
3
, . . . , 1
n
de (0, 5) estão cada vez mais próximos
de 0, mas mesmo assim 0 6∈ (0, 5). Isso não acontece no intervalo fechado [0, 5].
Dito de outro modo, no Curso não estamos apenas interessados em saber se um
certo número z pertence ou não pertence a um conjunto X ⊂ R, como se fazia no
ensino Médio. Também vamos querer saber se desse ponto z podemos achar elementos
x ∈ X tão próximos quanto quisermos.
• Se I é um intervalo aberto, pode acontecer que z /∈ I e mesmo assim hajam
elementos de I tão próximos quanto quisermos.
• Se I é intervalo fechado, e há elementos de I tão próximos quanto quisermos
de z, então de fato z ∈ I.
Uma informação extremamente importante para um cientista é saber se uma
função que lhe interessa assume máximo ou mı́nimo em seu domı́nio e principal-
mente, saber onde o faz.
Somente os intervalos fechados I = [a, b] garantirão sempre máximos e mı́nimos
globais de funções, senão pode acontecer algo como segue.
Pense em f : (0, 5] → R, f(x) = 1
x
. À medida que vamos tomando os pontos
1/n ∈ (0, 5] a função vale
f(
1
n
) = n,
que fica tão grande quanto quisermos. Note que (0, 5] não é um intervalo fechado.
5. Metamorfoses de cúbicas
Nesta Seção resolvi descrever curvas interessantes usando apenas propriedades
básicas do Reais, como regra dos sinais, desigualdades, módulo, etc. que já justifi-
camos acima neste mesmo Caṕıtulo.
Tudo o que vem a seguir nesta Seção é baseado em que não há ráız quadrada Real
de um número Real negativo.
Começemos com o conhecido ćırculo y2 + x2 = r2 de raio r > 0. Observe que:
• podemos tomar o gráfico de y =
√
r2 − x2 para descrever o semićırculo su-
perior (ou tomar y = −
√
r2 − x2 para o inferior).
• se r2−x2 > 0 há duas escolhas de ráızes, positiva e negativa, e quando x = r
ou x = −r essas duas escolhas colapsam numa só, que é y = 0.
• Onde r2−x2 < 0 deixamos de trabalhar sobre os Reais, pois os valores asso-
ciados a y =
√
r2 − x2 passam para o terreno dos números Complexos.6Como
só tratamos neste Curso de funções a valores Reais, não existem pontos do
ćırculo cuja coordenada x verifique r2 − x2 < 0.
Por último, observe que mudando o valor de r muda o raio do ćırculo, portanto
podemos pensar em y2 + x2 = r2 como sendo uma famı́lia de ćırculos em que cada
elemento fica determinando pelo r. Veja a Figura:
6Há uma versão magńıfica do Cálculo sobre os números complexos !
5. METAMORFOSES DE CÚBICAS 40
y
0,5
1
x
10 0,5
-0,5
-1
0
-1
-0,5
Bom, mas tratar de ćırculos é covardia, pois temos sua imagem impressa na nossa
mente desde a infância.
Que tal tratarmos de alguma curva que não tenha sua imagem impressa na nossa
mente ? E ademaias, que tal tratarmos logo de uma famı́lia delas ?
Considere a familia de curvas dada por:
y2 − x3 − r · x = 0, r 6= 0.
Vamos analisar separadamente o que acontece quando r > 0 e quando r < 0.
Caso r > 0:
Temos
y2 = x3 + r x ⇔ y2 = x · (x2 + r).
Como x2 + r ≥ r > 0, o sinal de x · (x2 + r) só depende do de x. Logo
• se x > 0 temos duas opções
y =
√
x · (x2 + r) ou y = −
√
x · (x2 + r).
Ou seja, a curva não é um gráfico, ela tem uma parte no eixo y > 0 e uma
parte no eixo −y. Há uma simetria relativa ao eixo dos x.
• ainda se x > 0, |y| =
√
x3 + rx observo que fica tão grande quanto quisermos.
De fato, se dou o valor 7 K >> 1:
x ≥ 3
√
K2 ⇒ x3 ≥ K2 ⇒
⇒ x3 + rx ≥ K2 ⇒ |y| =
√
x3 + rx ≥ K.
• essas duas escolhas y =
√
x · (x2 + r) ou y = −
√
x · (x2 + r) colapsam numa
só se x = 0, pois então y = 0.
• se x < 0 a(s) coordenada(s) y deixa de ser um número Real, ou seja, para
nós deixa de existir.
7O sinal >> 1 quer dizer bem maior que 1
CAPÍTULO 3. PROPRIEDADE BÁSICAS DOS NÚMEROS REAIS 41
Uma Figura compat́ıvel8 com essa descrição é:
y
2
-2
3
1
-1
0
-3
x
1,61,20,80,40
Caso r < 0
Agora
y2 = x · (x2 + r),
e (x2 + r) pode ser positivo, negativo ou positivo. Por isso o estudo do sinal de
x · (x2 + r)
é mais delicado.
Note que
x2 + r > 0 ⇔ x2 > −r > 0 ⇔
√
x2 >
√
−r.
Só que √
x2 = |x|
e portanto temos
x2 + r > 0 ⇔ |x| >
√
−r.
Se x > 0, |x| > √−r quer dizer x > √−r mas se x < 0 isso quer dizer −x > √−r,
ou seja x < −√−r.
Em suma:
x2 + r > 0 ⇔ x < −
√
−r ou x >
√
−r.
Então
• se x > 0
x · (x2 + r) ≥ 0 ⇔ x ≥
√
−r,
e teremos duas opções de ráızes para determinar y. Que colapsam para y = 0
se x =
√−r.
• se x ≤ 0, só teremos x · (x2 + r) ≥ 0 se (x2 + r) ≤ 0. Ou seja,
−
√
−r ≤ x ≤ 0.
Nessa faixa de valores de x teremos duas opções de y, que colapsam em y = 0
se x = 0 ou x = −√−r.
8Na Figura traçada há mais informação do que a que justificamos. Somente na Seção 5 do
Caṕıtulo 15 é que teremos esses dados.
5. METAMORFOSES DE CÚBICAS 42
Uma Figura compat́ıvel com essa descrição é (r = −1).
y
1
2
0
-2
-1
x
21,50,50 1-1 -0,5
Por último, note que se |r| vai ficando pequeno, então os pontos
(−
√
−r, 0), (0, 0) e (
√
−r, 0)
vão se aproximando. Note que as ovais da parte negativa vão diminuindo de tamanho
quando |r| vai diminuindo.
Imagine r vindo de valores positivos, que vão ficando bem próximos de zero, pulam
o valor zero, e passam a assumir então valores negativos.
É como se de um continente fosse expelida uma ilhota, que vai ficando maior e
mais distante do continente: as quatro figuras a seguir tentam mostrar isso.
y
2
-2
3
1
-1
0
-3
x
1,61,20,80,40
CAPÍTULO 3. PROPRIEDADE BÁSICAS DOS NÚMEROS REAIS 43
Figura: A curva y2 − x3 − x = 0.
y
2
-2
3
1
-1
0
-3
x
21,510,50
Figura: A curva y2 − x3 − 0.4 x = 0.
y
1
2
0
-2
-1
x
21,50,50-0,5 1
Figura: A curva y2 − x3 + 0.3 x = 0.
y
1
2
0
-2
-1
x
21,50,50 1-1-0,5
Figura: A curva y2 − x3 + x = 0.
5. METAMORFOSES DE CÚBICAS 44
5.1. Suavização do caso r = 0.
Há uma pergunta natural: o que acontece na curva y2 − x3 − 0 x = y2 − x3 = 0 ?
Já aviso: os programas gráficos ficam bem perdidos para traçar essa curva, se a
coordenada x fica próxima de 0.
Por isso vou proceder como em muitos ramos da ciência, vou tentar inferir qual
o formato dessa curva tomando curvas que entendamos e que estejam cada vez mais
próximas dela.
Num sentido que ficará claro mais tarde, essas curvas próximas são suaves ou
não-singulares (ver Definição 4.1 na Seção 4 do Caṕıtulo 32).
Na Figura a seguir traço a curva y2 − x3 = 0 só que estabeleço x ≥ 0.4, deixando
a região em torno de x = 0 como um mistério.
y
2
-2
3
1
-1
0
-3
x
1,61,20,80,40
A curva y2 − x3 = 0, só que x ≥ 0.4.
Como quero ter mais luz sobre esse objeto y2−x3 = 0 não vou deformá-lo de novo
na famı́lia y2 − x3 − r x = 0, mas sim noutra famı́lia:
y2 − x3 + s = 0, s ∈ R>0.
Observo que a relação
y2 = x3 − s
permite tirar ráızes quadradas desde que x3 − s ≥ 0. Portanto há duas opções de
x > 3
√
s ou apenas y = 0 se x = 3
√
s.
Ou seja:
• a curva y2 = x3 − s só tem traço no plano Real se x ≥ 3√s e
• a partir de x > 3√s a curva é simétrica em relação ao eixo x, já que temos
duas opções diferentes: y =
√
x3 − s e y = −
√
x3 − s.
Ademais note que se x > 3
√
s, então
y =
√
x3 − s <
√
x3
e
y = −
√
x3 − s >
√
x3.
ou seja:
CAPÍTULO 3. PROPRIEDADE BÁSICAS DOS NÚMEROS REAIS 45
• dado x > 0, o traço da curva y2 = x3 + s que tem y > 0 fica sempre abaixo
do de y =
√
x3.
• dado x > 0, o traço da curva y2 = x3 + s que tem y < 0 fica sempre acima
do de y = −
√
x3.
A Figura a seguir ilustra isso para y2 − x3 + 8 = 0:
y
2
4
x
0
2,51,5 21
-4
-2
0,5
A curva y2 − x3 = 0, só que x ≥ 0.4, e a curva y2 − x3 − 8 = 0.
As Figuras a seguir ilustram curvas cada vez mais próximas:
y
2
4
x
0
2,51,5 2
-4
-2
0,5 1
A curvas y2 − x3 = 0, y2 − x3 + 8 = 0 e y2 − x3 + 1 = 0.
6. EXERCÍCIOS 46
y
2
4
x
0
2,51,5 2
-4
-2
0,5 1
A curvas y2 − x3 = 0, y2 − x3 + 8 = 0, y2 − x3 + 1 = 0 e y2 − x3 + 0.5 = 0.
Será que agora o leitor consegue inferir a forma de y2 − x3 = 0 ?
6. Exerćıcios
Exerćıcio 6.1. (resolvido)
Prove, ao invés de apenas assumir, que vale:
x · x = (−x) · (−x), ∀x ∈ R.
Exerćıcio 6.2. (resolvido)
Para quais valores de x:
i) −3x+ 2 > 0 ?
ii) x2 − x > 0 ?
iii) 3x2 − 2x− 1 > 0 ?
iii) 3x+ 2 > 2x− 8 ?
iv) |x− 6| < 2 ?
v) |x+ 7| < 1 ?
Exerćıcio 6.3. (resolvido)
Prove que para quaisquer números Reais � e △:
|�+△| ≤ |�|+ |△|.
Exerćıcio 6.4. Como são os gráfico das funções (com domı́nio ∀x ∈ R):
i) y = |x|,
ii) y = −| x|,
iii) y = |x− 5|,
iv) y = |x|+ |x− 1|+ |x− 2| ?
CAṔıTULO 4
Sequências e seus limites
1. Sequências
Neste Curso será importante a situação em que o domı́nio de uma função será o
conjunto dos números Naturais N = {1, 2, 3, ...}. Nesse caso
f : N → R
é chamada de sequência.
A imagem de uma tal f é uma lista de números Reais. Como cada ponto de sua
imagem é do tipo f(n) é comum denotá-lo por xn e a sequência toda por (xn)n.
Exemplo 0: f : N → R dada por f(n) = K é a sequência mais boba de todas,
pois sua imagem é somente o conjunto {K} - chama-se sequência constante.
Exemplo 1: Uma sequência não tão boba é f : N → R dada por f(n) = 2n, cuja
imagem são os números Pares.
Exemplo 2:
Uma sequência fundamental para todo o Curso é
f : N → R, f(n) = 1
n
.
No que segue, dizer que N é um conjunto ilimitado em R é dizer que sempre há
um número Natural maior que qualquer número Real que for dado.
Afirmação 1.1. O fato de que os números naturais N formam um conjunto ilimitado
nos R é equivalente ao fato de que os valores de f : N → R, f(n) = 1/n ficam tão
próximos quanto quisermos de 0, desde que n seja suficientemente grande.
Demonstração.
Uma equivalência é uma implicação em dois sentidos: ⇔.
Prova do sentido ⇒: Obviamente 1/n nunca é igual a 0: caso pensássemos o
contrário para algum n0, obteŕıamos de
1
n0
= 0 e multiplicando por n0 obtemos que
0 = 1: absurdo.
A distância entre f(n) = 1/n e 0 é dada por |1/n− 0| = 1/n. Suponha que nos
foi dado um número positivo muito pequeno ǫ0 > 0. Queremos confirmar que
1/n < ǫ0
47
2. LIMITES DE SEQUÊNCIAS 48
a partir de um certo n, ou seja se n ≥ nǫ (onde uso a notação nǫ para destacar que
esse n depende do ǫ, quanto menor o ǫ maior o nǫ). Mas negar o anterior seria dizer:
∀n ∈ N, ǫ0 ≤
1
n
.
Mas isso equivale (multiplicando por n
ǫ0
> 0):
∀n ∈ N, n ≤ 1
ǫ0
Concluiŕıamos então que o número 1
ǫ0
é maior que todos os números naturais, con-
tradizendo a hipótese.
Prova do sentido ⇐:
Se existe um número K ∈ R tal que ∀n ∈ N tenhamos n ≤ K então ∀n ∈ N
teŕıamos 1
K
≤ 1
n
. Logo a sequência 1
n
não se aproxima de 0 mais que 1
K
. Contradição.
�
Observação: É posśıvel se colocar um Axioma sobre os números Reais - chamado
Axioma de Completamento - que implica a propriedade de N ser ilimitado em R.
Para nós, neste Curso, o fato dos Naturais serem ilimitados é tomado como um
Axioma.
Podemos também dizer o conteúdo da Afirmação anterior de outro modo: dada
uma cerca (−ǫ + 0, 0 + ǫ), se tomamos um nǫ suficientemente grande, então ∀n ≥ nǫ
teremos 1/n ∈ (−ǫ+ 0, 0+ ǫ). Ou seja, esperando o tempo suficiente nǫ, a partir dali
a sequência 1/n não sai mais da gaiola (−ǫ+ 0, 0 + ǫ). Simbolicamente escreveremos
lim
n→+∞
1
n
= 0,
que lê-se assim: zero é o limite da sequência 1/n ou a sequência tende a zero
Veremos adiante que há sequências que tendem de diversas maneiras diferentes
a pontos, algumas vão decrescendo em valores como a (xn)n = 1/n, outras vão
crescendo como−1/n, outras vão oscilando e assim por diante, mas o que é importante
é que:
• elas entram em qualquer cerca estabelecida em torno de seu limite, desde
que se espere o tempo nǫ suficiente e
• depois de lá entrarem não mais saem.
Veremos também que podemos combinar sequências simples (cujo limite podemos
intuir facilmente) para criar sequências complicadas, das quais não é posśıvel ter uma
intuição de seu limite (exceto alguém com poderes para-normais ...). Mesmo assim
poderemos matematicamente determinar esses limites.
2. Limites de sequências
O conceito de limite é o conceito fundamental do Cálculo, de onde surgem out-
ras noções importantes como continuidade, derivada e integral. Por isso este é um
Caṕıtulo um pouco mais extenso.
CAPÍTULO 4. SEQUÊNCIAS E SEUS LIMITES 49
Imagine uma máquina, um sistema ou um processo tal que para um certo input
x dá um certo output f(x). Agora imagine que para um input parecido x + h (com
h pequeno) dá um output parecido: f(x+ h) = f(x) + δ, com δ pequeno.
Apesar de ser uma situação plauśıvel, da qual temos muitos exemplos no dia a dia,
também sabemos que há exemplos da situação oposta, em que, apesar de x + h ∼ x
temos f(x + h) muito diferente de f(x). Essas duas possibilidades são t́ıpicas de
processos cont́ınuos e descont́ınuos, respectivamente.
O objetivo deste caṕıtulo é definir essas noções precisamente, pois nelas se apoiam
os dois conceitos centrais do Curso: Derivada e Integral.
3. Definição e Propriedades fundamentais
Vamos começar com a Definição 3.1, que é mais precisa e importante do que
parece.
Nela destaco que há:
• uma enorme exigência: onde dizemos ∀ǫ >, e
• uma imposição: a de que a partir de um certo nǫ a sequência não mais saia
de uma região onde entrou.
Definição 3.1. Um sequência (xn)n tende a um ponto L se ∀ǫ existe nǫ ∈ N tal que
se n ≥ nǫ então xn ∈ (−ǫ+ L, L+ ǫ).
Há diferentes formas pelas quais uma sequência pode tender a um limite; em
particular, com diferentes velocidades.
Por exemplo, Afirmo que xn =
1
n2
tende a 0 mais rapidamente do que zn =
1
n
o
faz. Ou seja, Afirmo que o tempo nǫ(zn) de espera para ter zn < ǫ é menor que o
tempo nǫ(xn) que tenho de esperar parater xn < ǫ. De fato,
1:
nǫ(zn) = ⌈
√
1
ǫ
⌉, nǫ(xn) = ⌈
1
ǫ
⌉,
e é claro que
√
1
ǫ
≤ 1
ǫ
para ǫ pequeno.
Nos argumentos discutidos abaixo teremos às vezes que esperar o tempo n su-
ficiente para que duas ou mais sequências se aproximem de onde queremos. Como
podem ser diferentes, por precaução tomamos o maior dentre eles, para que as duas
ou mais sequências estejam onde queremos.
Teorema 3.1. (Propriedades fundamentais de sequências)
Sejam (xn)n e (zn)n duas sequências, com
lim
n→+∞
xn = L1 e lim
n→+∞
zn = L2.
Então:
1) A sequência soma (xn + zn)n tem
lim
n→+∞
(xn + zn) = L1 + L2.
1onde ⌈△⌉ significa o primeiro número Natural maior ou igual que △ ∈ R.
3. DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 50
2) A sequência diferença (xn − zn)n tem
lim
n→+∞
(xn − zn) = L1 − L2.
3) Se C ∈ R é uma constante, então a sequência (C · xn) tem
lim
n→+∞
(C · xn) = C · L1.
4) Seja (qn)n uma sequência qualquer tal que
∀n, |qn| ≤ K,
para algum K. Se L1 = 0 então limn→+∞(qn · xn) = 0
5) A sequência produto (xn · zn)n tem
lim
n→+∞
(xn · zn) = L1 · L2.
6) Se L2 6= 0, então:
• i) a partir de um certo n, zn 6= 0 e
• ii) limn→+∞ xnzn =
L1
L2
.
7) Suponha adicionalmente que a partir de um certo n, xn ≤ L1 e que, para uma
sequência qualquer qn, a partir de um certo n temos
xn ≤ qn ≤ L1.
Então
lim
n→+∞
qn = lim
n→+∞
xn = L1.
Demonstração. (de alguns itens do Teorema 3.1)
Prova de 1) Nesse primeiro item, o ponto a lembrar é que xn e zn se aproximam
cada uma de um número a prinćıpio distinto e que cada uma delas o faz possivelmente
com velocidade diferente.
O que queremos provar? Queremos saber se, esperando um tempo nǫ suficiente,
conseguimos que:
xn + zn ∈ (−ǫ+ L1 + L2, L1 + L2 + ǫ),
ou seja, como já explicamos, se |xn+ yn− (L1+L2)| < ǫ. Vamos traduzir esta última
condição de outro modo, que leva em conta as duas hipóteses sobre xn e zn
2:
|xn + yn − (L1 + L2)| = |xn − L1 + yn − L2| ≤
≤ |xn − L1|+ |yn − L2|.
Agora fazemos o seguinte: esperamos tempo suficiente nǫ para que tenhamos
∀n ≥ nǫ, |xn − L1| <
ǫ
2
e |zn − L2| <
ǫ
2
.
2No último passo uso uma desigualdade (chamada desigualdade triangular, ver Exerćıcio 6.3)
que vale para quaisquer números Reais � e △:
|�+△| ≤ |�|+ |△|
, no nosso caso aplicadoa para � = xn − L1 e △ = yn − L2
CAPÍTULO 4. SEQUÊNCIAS E SEUS LIMITES 51
Então obtemos de acima:
|xn + yn − (L1 + L2)| ≤ |xn − L1|+ |yn − L2| <
ǫ
2
+
ǫ
2
= ǫ,
exatamente o que queŕıamos provar.
Prova de 2): Análoga à do 1), apenas fazendo agora:
|(xn − yn)− (L1 − L2)| = |xn − L1 + L2 − zn| ≤ |xn − L1|+ |L2 − zn|.
Prova de 3): agora queremos que a partir de um certo nǫ:
|C · xn − C · L1 | < ǫ.
É claro que posso supor C 6= 0, senão tudo é óbvio.
Ora então o que queremos é provar que:
|C · (xn − L1) | < ǫ,
ou seja3 queremos que
|C| · |xn − L1| < ǫ.
Noto agora que, se espero tempo nǫ suficiente, tenho:
|xn − L1| <
ǫ
C
, onde C 6= 0
pois xn se aproxima tanto quanto quisermos de L1. Então juntando as informações:
|C · xn − C · L1| = |C| · |xn − L1| < C ·
ǫ
C
= ǫ,
exatamente o que queŕıamos.
Prova de 4): Aqui o que fazemos é esperar o tempo nǫ suficiente para que |xn| < ǫK
(estou supondo que K 6= 0, pois se K = 0, então a h́ıpótese |qn| ≤ 0 diz que qn = 0
∀n e tudo é óbvio, pois a sequência 0 · xn é a sequência constante, igual a 0). Então
para n ≥ nǫ :
|qn · xn| = |qn| · |xn| < K ·
ǫ
K
= ǫ,
como queŕıamos.
Prova de 5): Queremos fazer
| xn · zn − L1 · L2 | < ǫ.
dese que n cresça o suficiente.
Mas posso escrever:
| xn · zn − L1 · L2 | =
= | xn · zn−xn · L2 + xn · L2
︸ ︷︷ ︸
0
−L1 · L2 | =
= | xn · (zn − L2) + L2 · (xn − L1) | ≤
≤ | xn · (zn − L2) |+ |L2 · (xn − L1) | =
= | xn| · | (zn − L2) |+ |L2 | · | (xn − L1) |
3Para quaiquer números Reais � e △ sempre vale:
|� · △| = |�| · |△|;
no nosso caso, uso para � = C e △ = xn − L1
3. DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 52
E agora noto que |xn| ≤ K para alguma K , pois xn tende ao L1 ∈ R. E tanto
| (xn−L1) | quanto | (zn−L2) | se faz tão pequeno quanto quisermos, pois zn tende a
L2 e xn tende a L1.
Logo | xn · zn − L1 · L2 | fica tão pequeno quanto quisermos.
Prova de 6): Primeiro afirmo que a partir de um certo n temos
|L2
2
| < |zn|.
Se L2 > 0, a partir de um certo n temos
0 <
L2
2
< zn
pois L2
2
< L2 = lim zn. E se L2 < 0, a partir de um certo n
zn <
L2
2
< 0
pois lim zn = L2 <
L2
2
.
Ou seja, a partir de um certo n:
|L2
2
| < |zn|
e em particular a partir desse n, temos zn 6= 0.
No que segue já suponho que tomei esse n para que a partir dele:
|L2
2
| < |zn|.
Então além de podermos dividir pelos zn, podemos afirmar que
|L2|2
2
< |zn| · |L2|
e portanto
1
|zn · L2|
<
2
|L2|2
.
Portanto
| 1
zn
− 1
L2
| = |L2 − zn
zn · L2
| =
= | 1
zn · L2
| · |L2 − zn| ≤
≤ 2|L2|2
· |L2 − zn|.
Mas |L2−zn| se faz tão pequeno quanto quisermos, desde que esperemos possivelmente
um tempo n ainda maior, já que lim zn = L2.
Por exemplo, podemos esperar um n a partir do qual valha |L2
2
| < |zn| e também
|L2 − zn| <
ǫ · L22
2
,
CAPÍTULO 4. SEQUÊNCIAS E SEUS LIMITES 53
o que dá
| 1
zn
− 1
L2
| < 2|L2|2
· ǫ · L
2
2
2
= ǫ.
Sobre 7): de fato, após esquecermos um certo número de termos das sequências,
temos
| qn − L1| ≤ |xn − L1|
e |xn − L1| se faz tão pequeno quanto quisermos.
�
Chamo a atenção para uma propriedade, que provamos como parte do item 6), e
que será bastante útil:
Afirmação 3.1. Se limn→+∞ xn = L e L 6= 0 então a partir de um certo tempo n,
xn 6= 0. Em particular, se L > 0 (ou L < 0) então a partir de um certo tempo n,
xn > 0 (ou xn < 0).
Por último, será útil mais tarde se introduzimos dois śımbolos:
Definição 3.2. Dizemos que
lim
n→+∞
xn = +∞
se ∀K > 0 existe um tempo nK tal que se n ≥ nK temos xn > K. Dizemos que
lim
n→+∞
xn = −∞
se ∀K < 0 existe um tempo nK tal que se n ≥ nK temos xn < K.
Ou seja, sequências que ficam tão positivas quanto quisermos, ou sequências que
ficam tão negativas quanto quisermos, esperando o tempo n suficiente. Exemplos:
xn = n
2 e xn = −n2, respectivamente.
4. Exerćıcios
Exerćıcio 4.1. Exemplifique com sequências (xn)n bem simples a diferença entre as
seguintes frases:
i) a partir de um certo tempo n a sequência xn dista de L menos que um ǫ > 0 e
ii) existem tempos n arbitrariamente grandes tais que xn dista de L menos que
um ǫ > 0.
Exerćıcio 4.2. Para as sequências (xn)n abaixo e para a função y = f(x) =
1
x2
, diga
o formato da sequência ( f(xn) )n:
i) xn =
1√
n
,
ii) xn =
1
n
,
iii) xn = n
2.
4. EXERCÍCIOS 54
Exerćıcio 4.3.
Explique se existem ou não os limites das seguintes sequências:
i) xn := 5n,
ii) xn := (−1)n 5,
iii) xn := (−1)n (5 + 1n),
iv) xn := (−1)n 5n
v) xn := (−1)n 1n .
vi) xn =
1
n
+ 2
n
+ 3
n
,
vii) xn =
1
n
· 2
n
· 3
n
.
Exerćıcio 4.4.
No dia-a-dia sabemos que todo gremista gosta de azul, mas nem todos que gostam
de azul são gremistas.
Tratando-se agora de sequências xn e zn, dê exemplos onde não existem
lim
n→+∞
xn ou lim
n→+∞
zn
mas que no entanto existam:
lim
n→+∞
(xn + zn) ou lim
n→+∞
(xn · zn).
Exerćıcio 4.5. (resolvido)
Prove duas propriedades fundamentais de limites:
i) se xn < 0 ∀n e se limxn = L então L ≤ 0. Dê exemplo onde todo xn < 0 mas
onde L = 0.
ii) se limxn = L e se ∀n xn ≤ zn ≤ L, então limzn = L.
Exerćıcio 4.6. Usando algumas sequências já estudadas em aula e propriedades de
+,−, ·, / de sequências, calcule:
lim
n→+∞
3 · (2− 1
n
+
1
n2
), lim
n→+∞
300n2 + 35n+ 1000
n3 + n
,
lim
n→+∞
300n2 + 35n+ 1000
150n2 + n+ 10000
, lim
n→+∞
10123456789
n
,
lim
n→+∞
30000000n+ 1200000
n2
, lim
n→+∞
2n7 + 35n+ 1000
3n7 + n + 10000
.
Dica: fatore n à força no numerador e no denominador as potências mais altas e
simplifique, antes de passar ao limite.
Exerćıcio 4.7. As sequências a seguir tendem a zero. Dado ǫ > 0 determine qual
n (em função de ǫ) é suficiente para termos |xn| < ǫ nas seguintes sequências: a):
xn =
1
n4
, b): xn =
1√
n
, c): xn