O método dos elementos finitos e o uso de softwares na engenharia civil

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O método dos elementos finitos e o uso de softwares na engenharia
civil
Professor(a): Bruno Henrique Oliveira Mulina (Doutorado)
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Em um problema de elasticidade plana, é importante saber calcular os elementos das
matrizes elementares D e de rigidez K de diferentes modos. Isso é válido uma vez que o
software a ser usado pode não conter função de operações matriciais. Então, para um
problema de elasticidade plana, cuja constante de elasticidade vale E = 3 MPa, a espessura
vale 2, e a constante de Poisson vale v = 0, a soma dos elementos da terceira linha da
matriz elementar D vale, aproximadamente:
Alternativas:
0,00
1,50  CORRETO
3,00
6,00
4,50
Código da questão: 49745
Os estudos relacionados ao comportamento dos elementos obtidos pela discretização
do domínio de interesse são realizados primeiramente com o uso de coordenadas naturais.
E, depois, conforme as funções de transformação entre as coordenadas naturais e gerais, as
expressões obtidas para um único elemento podem ser estendidas ao problema todo. 
I. Um elemento isoparamétrico é aquele que permite a transformação de um sistema de
coordenadas em outro por meio de uma função polinomial de primeira ordem. 
PORQUE 
II. A transformação entre sistemas de coordenadas isoparamétricas usando um polinômio
de primeira ordem aumenta o grau das funções interpoladoras devido ao produto das
funções interpoladora e de transformação. 
Assinale a alternativa acerca das asserções supracitadas, bem como a relação entre elas.
Alternativas:
A primeira asserção está correta, e a segunda está incorreta.  CORRETO
A primeira asserção está incorreta e a segunda está correta.
A primeira asserção está incorreta e a segunda está correta.
A primeira asserção está correta e a segunda justifica a primeira.
A primeira e a segunda asserção estão incorretas.
Resolução comentada:
A matriz elementar possui na última linha os elementos (3,1) e (3,2) nulos. Então,
resta-nos calcular apenas o elemento (3,3). Este elemento vale: 
Resolução comentada:
A primeira asserção está correta, já que, utilizar um polinômio de primeiro grau para
converter sistemas de coordenadas é o mesmo que multiplicar por um fator linear e
somar uma constante. Por esse motivo a ordem das funções interpoladoras não se
altera, definindo então um elemento isoparamétrico. A segunda asserção está
errada, uma vez que, conforme explicado na justificativa da primeira asserção, usar
um polinômio de primeira ordem não afeta o grau da função interpoladora ao
converter entre os sistemas de coordenadas.
3)
4)
Código da questão: 49759
O método dos elementos finitos popularizou-se a partir do desenvolvimento
computacional que permitiu que fosse aplicado a computadores. Com base em seus
conhecimentos sobre MEF, pede-se completar as lacunas do texto: 
A matriz de rigidez que é utilizada nos softwares de elementos finitos envolve
deslocamentos e deformações __________ consideradas dentro do trecho __________dos
materiais. No entanto, em algumas situações pode-se atingir valores __________ de
deformação, __________ da hipótese de linearidade física. Sendo assim, é preciso fazer uma
análise __________. 
Assinale a alternativa que completa adequadamente as lacunas acima:
Alternativas:
Normais; elástico; maiores; validando; linear.
Pequenas; elástico; maiores; invalidando; não linear.  CORRETO
Obtusos; elástico; menores; invalidando; não linear.
Grandes; elástico; maiores; validando; linear.
Pequenas; inelástico; menores; validando; não linear.
Código da questão: 49771
Ao estudar problemas reais tridimensionais envolvendo elementos estruturais, como
vigas e colunas, o desenvolvimento dos problemas de formas tridimensionais, envolvendo
todas as tensões e deformações, pode resultar em um modelo matemático complexo e de
difícil solução. Por esse motivo, algumas aproximações podem ser adotadas. Uma delas
permite que os problemas tridimensionais de elasticidade sejam estudados como
problemas bidimensionais.
Com base nessas aproximações e o desenvolvimento desses problemas por meio de
elementos finitos, é correto afirmar que:
Alternativas:
Quando estudado o estado plano de deformação, os polinômios 
interpoladores de cada elemento estão presentes nos três eixos de orientação 
(x, y e z).
A matriz de rigidez em problemas de estado plano de tensão não considera 
o coeficiente de Poisson no cálculo de seus elementos, já que a deformação em 
um dos eixos é desprezível.
A matriz de rigidez de um problema de estado plano de tensão é mais 
simples de ser resolvida quando comparada ao plano de deformação, já que não 
considera a deformação em um dos eixos.
O estado plano de tensão é aplicado em elementos com espessura muito 
fina, de modo que a aplicação de tensão sobre o eixo da espessura promova uma 
deformação desprezível.  CORRETO
O estado plano de deformação é uma aproximação que desconsidera a tensão 
sobre um dos eixos, normalmente o eixo z. Por esse motivo, não existe 
deformação nesse eixo.
Resolução comentada:
A matriz de rigidez que usamos nos softwares envolvem deslocamentos e
deformações pequenas consideradas no trecho elástico dos materiais. No entanto,
em algumas situações as deformações podem atingir valores maiores, invalidando a
hipótese de linearidade. Sendo necessário proceder com uma análise não linear.
Resolução comentada:
O estado plano de deformação é uma condição na qual não existe deformação em
um dos eixos, mesmo existindo tensão. Nesse caso, a deformação acaba sendo
refletida nos outros eixos.
5)
6)
Código da questão: 59350
Ao estudar a flexão em elementos de barras, é possível aplicar dois modelos de flexão: o
modelo de Euler-Bernoulli e de Timoshenko. Dentro as condições aplicadas para a escolha
do modelo a ser usado, avalie as sentenças: 
( ) O modelo de Euler-Bernoulli é aplicado quando a barra a ser estudada tem um
comprimento reduzido. 
( ) o modelo de Euler-Bernoulli é chamado flexão pura pois não considera o cisalhamento
da barra.
( ) A espessura da barra deve ser considerada somente no modelo de Timoshenko, já que
impacta no cisalhamento da barra. 
( ) Por não ser um modelo de flexão pura, o modelo de flexão de Timoshenko considera a
deformação axial da barra. 
( ) Uma barra longa se comporta de modo semelhante ao modelo de Euler-Bernoulli.
Avalie as afirmações anteriores em verdadeiro (V) ou falso (F).
Alternativas:
F - V - F - F - V.  CORRETO
V - V - F - F - F.
V - F - V - F - F.
F - F - V - V - V.
V - F - V - V - F.
Código da questão: 49758
No desenvolvimento de problemas envolvendo elementos de barra por meio de
elementos finitos, existem alguns modelos que permitem o cálculo dos efeitos da tensão
sobre a barra com níveis diferentes de aproximação. Essa aproximação é dependente de
algumas características, como o comprimento da barra. Os dois modelos existentes para
cálculo do efeito da flexão na barra são os modelos de Euler-Bernoulli e de Timoshenko. 
A principal diferença entre os modelos de flexão é:
Alternativas:
O modelo de Euler-Bernoulli avalia, juntamente com a flexão da barra, o deslocamento
axial dos vértices da barra.
No plano de tensão a tensão pode ocorrer nos três eixos, porém a deformação
causada em um dos eixos é desprezível por conta da espessura do elemento, por
isso é um plano relacionado a chapas.
No plano de deformação a tensão em um dos eixos pode ser descrita como função
das tensões nos outros eixos. Por esse motivo o problema acaba sendo
bidimensional, o que resulta na necessidade de polinômios apenas em dois eixos.
Nos dois problemas de deformação as dimensões das matrizes são as mesmas, já
que nos dois casos os problemassão 2D. Nesse caso, as matrizes somente seriam
menores caso fossem utilizados elementos triangulares ao invés de retangulares.
O coeficiente de 
Poisson está relacionado ao cisalhamento do elemento, existente 
independentemente do tipo de estado plano considerado.
Resolução comentada:
A primeira afirmação está incorreta porque a aproximação de Euler-Bernoulli se
aplica a barras longas, já que para esse tipo de barra a seção transversal se mantém
quase constante ao longo da barra. A segunda afirmação é verdadeira justamente
porque este modelo considera apenas a deformação longitudinal da barra, sem a
deformação na área transversal. A terceira afirmação está incorreta, já que os dois
modelos são dependentes da dimensão da área transversal em seus cálculos. A
quarta afirmação está errada, pois nenhum dos modelos de flexão assumem a
mudança no comprimento da barra. A quinta afirmação está correta, sendo
exatamente a condição física que se aproxima do modelo de Euler-Bernoulli.
7)
O método de Timoshenko considera que a barra não possui massa, sendo aplicado o
conceito de que a barra é uma linha infinita.
O modelo de Timoshenko considera que a seção transversal varia conforme a barra sofre
flexão.  CORRETO
O modelo de Euler-Bernoulli sofre a influência do coeficiente de Poisson no cálculo de
suas matrizes de rigidez.
O modelo de Euler-Bernoulli é válido apenas para barras com uma das seções fixas
(engastadas).
Código da questão: 49756
Usando a quadratura de Gauss de um ponto, calcule:
Assinale a alternativa que corresponde ao valor correto de I.
Alternativas:
CORRETO
2  INCORRETO
1
0
Código da questão: 49762
Resolução comentada:
A principal diferença entre os modelos de flexão de um elemento de barra se refere
à deformação da seção transversal por conta do cisalhamento provocado pela flexão
da barra. Dito isso, o modelo de Euler-Bernoulli desconsidera o cisalhamento e, por
isso, a seção transversal da barra se mantém constante. Já o modelo de Timoshenko
leva em consideração o cisalhamento, por isso a seção transversal varia conforme
ocorre a flexão da barra.
Resolução comentada:
8)
9)
Avalie as afirmações sobre os softwares presentes no mercado, baseados em MEF: 
I. O software PLAXIS é usado para projeto de reforço estrutural, podendo ser utilizado para
prever modos de ruptura. 
II. O TQS é um software usado para projeto de estruturas de concreto, capaz de fazer a
análise e dimensionamento conforme a ABNT NBR 6118. 
III. O ANSYS é um software usado para projeto de estruturas metálicas, sendo capaz de
fazer o dimensionamento da estrutura conforme ABNT NBR 8800. 
IV. O ADINA é um software de elementos finitos usado para avaliação e análise de
problemas específicos dentro da engenharia de estrutura. 
Assinale a alternativa que apresenta todas afirmações verdadeiras:
Alternativas:
Afirmações II e III.
Afirmações II e IV.  CORRETO
Apenas afirmação II.
Apenas a afirmação I.
Afirmações I, III e IV.
Código da questão: 49772
I. Os métodos de elementos finitos (MEF) e das diferenças finitas (MDF) são amplamente
utilizados para resolver problemas físicos. A escolha destes métodos, com relação aos
métodos analíticos, se deve à facilidade de sua aplicação em sistemas digitais, já que são
fortemente embasadas em técnicas numéricas. 
PORQUE 
II. Ao estudar os problemas reais, é possível aplicar os métodos analíticos e numéricos. Uma
grande dificuldade nos métodos analíticos é a obtenção da expressão que descreva o
domínio todo. Como os métodos numéricos aplicam o processo de discretização, é
necessário calcular apenas as características daquele elemento de interesse. 
Assinale a alternativa acerca das asserções supracitadas, bem como a relação entre elas:
Alternativas:
A primeira e a segunda asserções estão corretas, mas não possuem relação
A primeira asserção está correta e a segunda asserção está incorreta.  CORRETO
A primeira e a segunda asserções estão corretas e a segunda justifica a primeira.
A primeira e a segunda asserções estão incorretas.
A primeira asserção está incorreta e a segunda está correta.
Código da questão: 49744
Resolução comentada:
A afirmação I é falsa, pois o PLAXIS é um software usado para projetos na área de
geotecnia, não para reforço estrutural. 
A afirmação II é considerada verdadeira uma vez que o TQS é um software
amplamente integrado à rotina de cálculo e projeto de estruturas de concreto
conforme a ABNT NBR 6118. 
A afirmação III é falsa, uma vez que o ANNSYS é um software usado para simulações
numéricas, seja de elementos metálicos ou não. O software não faz o
dimensionamento de estrutura. 
A afirmação IV é verdadeira, pois o ADINA é um software de MEF usado para
simulação de problemas mais complexos dentro da engenharia de estruturas.
Resolução comentada:
A primeira asserção está correta, já que os métodos numéricos MDF e MEF são
amplamente usados na solução de problemas reais, principalmente pela facilidade
em desenvolver os problemas por meio de softwares. A segunda asserção está
errada, já que, por conta do processo de discretização, todos os dados relativos a
todos os elementos pertencentes ao domínio devem ser obtidos, já que o do MEF
ou a MDF é o resultado dos efeitos de um elemento sobre o outro, sendo então
dependentes do comportamento de todos os elementos. Assim, é necessário
calcular todos os elementos.
10) No estudo das treliças é possível considerar que:
I. Em uma treliça os elementos não sofrem flexão. Por esse motivo o efeito a ser estudado é
a variação do comprimento dos elementos de barra utilizados.
II. As deformações ocorridas nas barras devem ser estudadas pelo modelo de Euler-
Bernoulli. 
III. O coeficiente de cisalhamento é desconsiderado no estudo da deformação dos
elementos de barra aplicados na treliça.
IV. As tensões analisadas são aplicadas de forma axial em cada elemento de barra.
V. As tensões 
aplicadas nos elementos da treliça são de compostos em tensão axial e fletora. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
Alternativas:
III - IV 
 CORRETO
V
I - III
I - II
II - IV
Código da questão: 59310
Resolução comentada:
Avaliando cada uma das afirmações, temos:
A afirmação I está correta, já que os elementos de treliça sofrem esforços apenas nas
extremidades das barras e de forma axial. Por esse motivo, a análise da deformação
é feita apenas no sentido axial, sem flexão das barras.
A afirmação II está incorreta, já que, como não são analisados os efeitos de flexão,
não é aplicado nenhum modelo de flexão que inclui o modelo de Euler-Bernoulli.
A afirmação III está correta, uma vez que, já que não é avaliado o comportamento
longitudinal, não existe cisalhamento. Por isso, o coeficiente de Poisson (de
cisalhamento) não é considerado.
A afirmação IV está correta, já que os elementos sofrem apenas tensões nas
extremidades no sentido axial.
A afirmação V está incorreta, 
já que a decomposição das forças é feita para estimar a propagação das forças 
ao longo da treliça, e não porque a força aplicada de forma diagonal é 
representativa de uma força axial e longitudinal.
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