Lista derivadas

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Quarta Lista Exerćıcios de Cálculo I - Derivadas
Prof.: Jeferson L. G. Araújo
Cálculo de Uma Variável I - Licenciatura em Matemática
1. Considere o gráfico abaixo da função y = f(x).
(a) Se f ′(x1) = a, quanto vale f
′(x2)?
(b) Existe f ′(x3)? Justifique geometricamente.
(c) f ′(x4) e f
′(x5) possuem o mesmo sinal? Justifique geometricamente.
x1 x2 x3 x4 x5
y = f(x)
bbb b b
2. Encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto (x1, y1).
Indique os pontos onde o gráfico tem uma tangente horizontal. Escreva a equação da
reta tangente ao gráfico no ponto (x1, y1).
(a) f(x) = 9− x2;
(b) f(x) = 1
4
x2;
(c) f(x) =
√
x+ 1.
3. Verifique que os gráficos das equações y = 3x2 e y = 2x3 + 1 têm em comum a reta
tangente no ponto (1, 3).
4. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (3,−2) e é tangente à curva y =
x2 − 7.
5. Encontre os valores de α e β para que exista f ′(1), onde:
1
(a) f(x) =
{
x2 , x < 1
αx+ β , x ≥ 1
;
(b) f(x) =



αx2 + β , x ≤ 1
1
|x| , x > 1
.
6. Se a função g é cont́ınua em x = a e f(x) = (x− a)g(x), encontre f ′(a).
Sugestão: Lembre-se de que f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a .
7. Nos ı́tens abaixo:
(a) Determine se f é cont́ınua em x1;
(b) Encontre f ′
−
(x1) e f
′
+(x1), se existirem;
(c) Decida se f é diferenciável em x1.
(i) f(x) =
{ √
1− x , x < 1
(1− x)2 , x ≥ 1
, x1 = 1;
(ii) f(x) = 1 + |x+ 2|, x1 = 2;
(iii) f(x) =



1
(x+ 1)2
, x 6= −1
1 , x = −1
, x1 = −1;
(iv) f(x) =



x2 − 1
|1− x| , x 6= 1
2 , x = 1
, x1 = 1;
(v) f(x) =







√
x , x ≤ 25
x2
500
+
75
20
, 25 < x ≤ 50
10x+ 75 , x > 50
, x1 = 25, 50;
8. Calcule as derivadas das funções abaixo:
(a) f(x) = (2x2 + 1)(
1
x2
+ 4x+ 8)
(b) f(x) = (x3/2 + x2)(x4 − 99)
(c) f(x) =
1
7x+ 27
(d) f(x) =
2x1/2 + x3/4
(x+ 1)x3
(e) f(x) =
1 + 6x+ x3/4
7x− 2
2
(f) f(x) =
x1/2 − x−1/2
x3/4
(g) f(x) = (sen x)(cos x)
(h) f(x) = x5/2 + x−5/2
(i) f(x) = x3(x2 + 1)(x+ 1)
(j) f(x) = (x5 +
1
x
)(x5 + 1)
(k) f(x) =
1
(sen x)(cos x)
(l) f(x) = (cosx)2 − (sen x)2
(m) f(x) = sec x+ tg x sen x− cossec x
(n) f(s) =
√
3(s3 − s2)
(o) f(x) =
(
x3 + 1
x3 + 3
)
(x2 − 2x−1 + 1)
(p) f(x) =
√
1 +
√
1 + x
(q) f(x) =
4x− x4
sen(x3 + 2)
9. Em cada um dos ı́tens abaixo, explicite a função h = f ◦g, dê seu domı́nio e determine
h′ = (f ◦ g)′:
(a) f(x) = x3, g(x) =
√
x+ 1;
(b) f(x) =
x2 + 1
x2 − 1 , g(x) = sen x;
(c) f(x) =
√
x, g(x) =
√
cosx+ 1;
(d) f(x) =
1
x
, g(x) = sec x tg x;
(e) f(x) = sec x tg x, g(x) =
1
x
.
10. Ache funções f e g tais que h(x) = (f ◦ g)(x) e calcule h′(x):
(a) h(x) = sen (cotg x);
(b) h(x) = (
√
x)3 +
√
x− 3.
11. Calcule a derivada das funções abaixo:
(a) f(t) =
(
2t2 + 1
3t2 + 1
)2
;
(b) F (x) = sen 4x;
(c) h(t) = cos(3t2 + t+ 5);
3
(d) g(x) =
√
x− 1√
x2 + 1
;
(e) g(X) =
cos 7x
sen 8x
;
(f) h(x) =
√
9
√
9− x;
(g) i(x) =
√
9−
√
9− x;
(h) f(s) =
√
2− 3s2;
(i) g(s) = (2s− 5)−1(4s+ 3)−2;
(j) g(x) = 3
√
(3x2 + 5x− 1)2;
(k) f(x) =
tg3(x3) + 2x
x
;
(l) g(x) = 5
√
sen3(5x2 + x;
(m) h(x) =
√
sen x
x
;
(n) f(y) =
300
5
√
sen(3y2)
.
12. Uma bola de bilhar é atingida e movimenta-se em linha reta. Se s(t) cm for a
distância da bola de sua posição inicial após t segundos, então s(t) = 100t2 − 100t.
Com qual velocidade a bola atingirá a tabela que está a 39 cm da posição inicial.
13. Se a água de uma piscina está sendo escoada e V litros é o volume de água na piscina
t min após o escoamento ter começado, onde V = 250(40 − t)2, encontre com que
rapidez a água flui da piscina após 5 min do escoamento ter começado.
14. Se um cilindro reto de base circular tem altura constante de 10 cm, encontre a taxa
de variação instantânea do volume com relação ao raio de sua base, quando o raio é
5 cm.
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