máximo e mínimo

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Problemas de Máximos e Mı́nimos
Prof.: Jeferson L. G. Araújo
Cálculo I
1. De todos os retângulos inscritos numa dada circun-
ferência, mostre que o quadrado tem maior área.
2. Mostre que, entre todos os retângulos de mesma área,
o que tem menor peŕımetro é o quadrado.
3. Determine a área do retângulo máximo, com base
no eixo x e vértices superiores sobre a parábola
y = 12− x2.
Resp.: 32.
4. Determine os pontos da curva xy = 1 mais próximos
da origem.
Resp.: (1, 1) e (−1,−1).
5. Uma reta passando por (1, 2) corta o eixo x em
A = (a, 0) e o eixo y em B = (0, b). Determine a
área do triângulo 4AOB de área mı́nima (a e b posi-
tivos).
Resp.: 4.
6. Considere a curva y = 1 − x2, 0 ≤ x ≤ 1. Trace uma
reta tangente à curva tal que a área do triângulo que
ela forma com os eixos coordenados seja mı́nima.
Resp.: Tangente no ponto de abscissa
√
3/3.
7. Ache a menor distância do ponto P = (2, 0) a um ponto
sobre a curva y2 − x2 = 1.
Resp.:
√
3.
8. A agência do correio de uma certa cidade não aceita
pacote se a some da altura com o peŕımetro da base da
caixa esceder 60 cm
a) Encontre a caixa retangular de base quadrada de
maior volume que satisfaz a esta exigência.
b) Ache a caixa ciĺındrica de maior volume que satisfaz
a esta exigência.
Resp.: a) 10×10×20 cm3; b) r = 20/π cm, h = 20 cm.
9. Deseja-se construir uma caixa de forma ciĺındrica, de
1m3 de volume. Nas laterais e no fundo será utilizado
material que custa R$ 10, 00 o metro quadrado e na
tampa material de R$ 20, 00 o metro quadrado. Deter-
mine as dimensões da caixa que minimiza o custo do
material empregado.
Resp.: r = 3
√
1
3π cm, h =
3
√
9
π cm.
10. Um cartaz deve conter 50 cm2 de matéria impressa com
duas margens de 4 cm em cima e embaixo e duas mar-
gens laterais de 2 cm cada. Determine as dimensões
externas do cartaz de modo que sua área total seja
mı́nima.
Resp.: 9 cm, 18 cm.
11. Deve-se construir um campo de esportes com a forma
de um retângulo mais uma área semi-circular em cada
extremidade. O peŕımetro do campo deve ser uma
pista de 440m. Determine as dimensões do campo
de modo que a área da parte retangular seja a maior
posśıvel.
Resp.: Lados: 110m, raio semi-circular: 110π m.
12. Um sólido será constrúıdo, acoplando-se a um cilindro
circular reto de altura h e raio r, uma semi-esfera de
raio r. Deseja-se que a área da superf́ıcie do sólido seja
5π. Determine r e h para que o volume seja máximo.
Resp.: r = 1, h = 1.
13. Um editor tem R$ 60.000, 00 para gastar na produção
e divulgação de um livro novo. Estima-se que se x
mil reais forem gastos na produção e y mil reais em
divulgação, serão vendidas aproximadamente 20x3/2y
cópias do livro. Quanto o editor deve gastar em
produção e divulgação para maximizar as vendas?
Resp.: x = 36 mil reais, y = 24 mil reais.
14. As laranjeiras da região de Bebedouro, interior de São
Paulo, produzem 600 laranjas por ano, se forem plan-
tadas no máximo 20 árvores por acre. Cada árvore
plantada a mais causa um decréscimo de 15 laranjas
por pé. Quantas árvores devem ser plantadas por acre
para se obter a maior quantidade de laranjas?
Resp.: 30.
15. A taxa de crescimento R de um tumor está rela-
cionada com seu tamanho x pela seguinte equação:
R = rx ln(K/x), onde r e K são constantes positivas.
Mostre que o tumor cresce mais rapidamente quando
x = e−1K.
16. Ao meio-dia, um barco A está a 50 mmilhas ao norte
de um barco B, dirigindo-se para o sul a 16 milhas
por hora. O barco B está indo para oeste a 12 milhas
1
por hora. Em que instante eles ficarão o mais próximo
posśıvel e qual é a distância mı́nima entre eles?
Resp.: 2h, 30 milhas.
17. Determine a altura h e o raio r do cilindro circular reto
de maior volume que pode ser inscrito numa esfera de
raio a.
Resp.: h = 2a√
3
, r =
√
2a√
3
.
18. Um pedaço de arame de 36 cm de comprimento deve
ser cortado em duas partes. Com uma delas faz-se
um triângulo equilátero, e com a outra um retângulo
cujo comprimento é o dobro da largura. Onde se deve
cortar o arame de modo que a área total do triângulo
e do retângulo seja mı́nima? Seja máxima?
Resp.: Use 36
√
3
2+
√
3
para o retângulo; use todo o arame
para o retângulo.
19. Um letreiro com 3m de altura está colocado em uma
parede, sendo que sua base está 2m acima do ńıvel dos
olhos de uma mulher que tenta lê-lo. A que distância
da parede ela deve ficar para ter a melhor visão do
letreiro, isto é, para que o ângulo sob o qual ela vê o
letreiro seja máximo?
Resp.:
√
10m.
20. A resistência de uma viga de madeira retangular é di-
retamente proporcional ao produto de sua largura pelo
quadrado da altura da seção transversal. Determine as
dimensões da viga mais resistente que pode ser cortada
de uma tora ciĺındrica de raio a.
Resp.: Largura: 2√
3
a, altura: 2
√
2√
3
a.
21. É meio-dia. O agente secreto está dirigindo um jipe
num deserto em um ponto a 32 km do ponto mais
próximo de uma estrada reta pavimentada. E 16 km
estrada abaixo se localiza uma usina onde sabotadores
colocaram uma bomba relógio que explodirá às 12 ho-
ras e 50 minutos. O jipe pode andar a 48 km/h no de-
serto e 80 km/h na estrada pavimentada. Se o agente
chegar à usina no menor tempo posśıvel, de quanto
tempo ele disporá para desmontar a bomba?
Resp.: 5 minutos e 15 segundos.
22. Uma companhia de ônibus com capacidade para 50
passageiros aluga ônibus para grupos de 35 ou mais
pessoas. Se o grupo contém exatamente 35 pessoas,
cada uma pagará R$ 60, 00. Para grupos maiores, a
companhia reduz R$ 1, 00 de cada passageiro que ex-
cede os 35. Determine o tamanho do grupo com o qual
a companhia de ônibus ganhará mais.
Resp.: 47 ou 48 pessoas.
23. (Lei de Refração de Snell) A luz se propaga de um
ponto a outro segundo uma trajetória que requer
tempo mı́nimo. Suponha que a luz tenha velocidade
v1 no ar e v2 na água, onde v1 > v2. Se a luz vai de
um ponto P no ar a um ponto Q na água, mostre que
a trajetória exigirá tempo mı́nimo se
sinα
sinβ
=
v1
v2
.
24. Do ponto A situado numa das margens de um rio, de
100m de largura, deve-se levar óleo ao ponto C situ-
ado na outra margem do rio, a 1.000m rio abaixo. O
oleoduto a ser utilizado na água custa R$50, 00 o me-
tro e o que será utilizado fora R$30, 00. Como deverá
ser feita a ligação para que os gastos com os oleodutos
sejam o menor posśıvel? (Suponha margens retiĺıneas
e paralelas).
Resp.: OB = 75m.
25. Um corredor de largura a forma um ângulo reto com
um corredor de largura b. Uma barra longa, fina e pe-
sada deve ser empurrada do piso do primeiro corredor
para o segundo. Qual o comprimento da maior barra
que pode passar a esquina?
Resp.: (a2/3 + b2/3)3/2.
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