lista séries numéricas

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Departamento de Métodos Matemáticos
Lista de Séries Numéricas de Cálculo II
1. Verifique se as séries convergem e, caso convirjam, encontre para qual valor:
(a) 3 + 2 + 4
3
+ 8
9
+ ... (b) −2 + 5
2
− 25
8
+ 125
32
+ ... (c)
∞∑
n=1
2
3n
(d)
∞∑
n=1
ln
(
1 +
1
n
)
(e)
∞∑
n=1
(
en + 4n−1
3n−1
)
) (f)
∞∑
n=1
1
n(n+ 2)
(g)
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)(n+ 2)
(h)
∞∑
n=1
1
(4n+ 1)(4n− 3)
(i)
∞∑
n=1
n2 + 3n+ 1
(n2 + n)2
2. Determine o valor de c ∈ IR para que a série
∞∑
n=2
1
(1 + c)n
convirja para o valor 4. Porque
c tem um único valor posśıvel?
3. Uma certa bola tem a propriedade de, a cada vez que ela cai, direto na vertical a partir
de uma altura h, em uma superf́ıcie dura e nivelada, ela volta, também direto na vertical,
até uma altura h/2. Suponha que a bola seja derrubada de uma altura inicial 5 metros.
Assumindo que a bola continua a pular indefinidamente, determine a distância total que
a bola percorre, isto é, o comprimento da trajetória da bola.
4. Um triângulo ABC0 retângulo tem o ângulo reto no vértice C0, um ângulo de θ graus no
vértice A, com 0 < θ < 90, e o lado AC0 medindo b metros. Suponha que o cateto BC0
fique na horizontal e o cateto AC0 fique na vertical. Seja C1 o ponto onde a reta que
passa pelo vértice C0 e é perpendicular à hipotenusa AB intercepta o lado AB. Seja C2 o
ponto onde a reta que passa por C1 e é perpendicualr ao lado BC0 intercepta o lado BC0.
Seja C3 o ponto onde a reta que passa por C2 e é perpendicular ao lado AB intercepta o
lado AB, e assim sucessivamente, indo de um lado para o outro sem parar. Determine o
comprimento da união de segmentos de reta C0C1 + C1C2 + C2C3 + ..., em funçào de b e
de θ.
5. (a) Considere uma série
∞∑
n=1
an com sua sequência das somas parciais dada por {sk}.
Mostre que, se a série for convergente, então lim
k→∞
(sk − sjk+l), com j, l ∈ IN fixos, é igual a
zero.
(b) Mostre que n
2n
= 1
2n
+ 1
2
(n−1)
2(n−1)
, para cada n = 2, 3, ....
(c) A série de Swineshead,
∞∑
n=1
n
2n
é convergente. Mostre que o valor para o qual ela
converge é igual a 2.
6. Utilizando os critérios convenientes, determine se as séries são absolutamente convergentes,
condicionalmente convergentes ou divergentes.
(a) 1− 2 + 3− 4 + 5− 6 + ... (b) 1
2
+ 2
3
+ 3
4
+ 4
5
+ ... (c)
∞∑
n=1
n+ 1
n3 + n+ 4
(d)
∞∑
n=2
ln(n)
n
(e)
∞∑
n=1
1
3
√
n2
(f)
∞∑
n=1
(−1)n−1
n1/3
(g)
∞∑
n=1
2n + 3n
4n + 5n
(h)
∞∑
n=1
n3
n1+
1
n
(i)
∞∑
n=1
n3
3n
(j)
∞∑
n=1
3n
n3
(k)
∞∑
n=1
n4
n!
(l)
∞∑
n=1
n
n3 + 1
(m)
∞∑
n=1
3n
n!
(n)
∞∑
n=1
senn
n2
(o)
∞∑
n=1
2 + (−1)n
3n
(p)
∞∑
n=2
2
n
√
n
(q)
∞∑
n=1
n e−n
2
(r)
∞∑
n=1
(n!)2
(2n)!
(s)
∞∑
n=1
(−1)n
(arctg n)n
(t)
∞∑
n=1
ln
(
n
3n+ 1
)
(u) 1− 1
2
+ 1
3
− 1
4
+ ...
(v) 1− 1
22
+ 1
32
− 1
42
+ ... (w)
∞∑
n=1
(−1)n
√
n
1 + 2
√
n
(x)
∞∑
n=1
(−10)n
n!
(y)
∞∑
n=1
(−1)n
3n+ 1
(z)
∞∑
n=1
(−1)n
n4 + 1
(aa)
∞∑
n=1
(−1)n
(
2n2 + 1
n2 + 1
)n
(bb)
∞∑
n=1
ne−n (cc)
∞∑
n=1
n!
nn
(dd)
∞∑
n=1
arcsen
(
1
n
)
(ee)
∞∑
n=2
1
n ln(n)
(ff)
∞∑
n=1
1 + sen (n)
10n
(gg)
∞∑
n=1
sen
(
1
n2
)
(hh)
∞∑
n=1
(−1)n√
n+ 1
(ii)
∞∑
n=1
(π
2
− arctg(n)
)
(jj)
∞∑
n=1
(−5)2n
n29n
(kk)
∞∑
n=1
√
n+ 1−
√
n− 1
n
(ll)
∞∑
n=1
(
√
n+ 1−
√
n) (mm)
∞∑
n=1
(−1)n(n+ 1)3n
22n+1
(nn)
∞∑
n=2
(−1)n
√
n
ln(n)
(oo)
∞∑
n=1
xn
n!
7. Encontre os valores de x ∈ IR para os quais a série converge e calcule o valor da série, para
cada um destes valores de x:
(a)
∞∑
n=1
(x+ 3)n
2n
(b)
∞∑
n=0
(cosx)n
2n
8. O Teorema de Leibniz para séries alternadas pode ser aplicado à série
1√
2−1 −
1√
2+1
+ 1√
3−1 − ...+
1√
n−1 −
1√
n+1
+ ... ?
A série é convergente ou divergente? Justifique.
9. Considere a série
∞∑
n=2
an, com soma parcial sk =
k−1
k+1
, para k ≥ 2. Encontre
∞∑
n=2
an e
encontre an. O que ocorrerá com a série
∞∑
n=3
an?
10. Seja an =
2n
3n+1
. Determine se {an} é uma sequência convergente e determine se
∞∑
n=1
an é
uma série convergente.
11. Seja
∞∑
n=1
an uma série convergente, com an ̸= 0, para cada n ∈ IN. Mostre que a série
∞∑
n=1
1
an
é uma série divergente.
12. Suponha que
∞∑
n=1
an é a.c. . Mostre que
∞∑
n=1
(
n+ 1
n
)
an é a.c..
13. Determine se cada afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, justifique
porque, usando a teoria estudada. Se for falsa, justifique porque ou apresente contra-
exemplo.
(a) Se lim
n→∞
an = 0, então
∞∑
n=1
an converge.
(b) Se lim
n→∞
an = L, então lim
n→∞
a2n+1 = L.
(c) Se
∞∑
n=1
cn 6
n converge então
∞∑
n=1
cn (−6)n converge.
(d) O teste da razão pode ser usado para determinar que
∞∑
n=1
1
n3
(e) Se 0 ≤ an ≤ bn, para cada n ∈ IN, e
∞∑
n=1
bn diverge, então
∞∑
n=1
an diverge.
(f) Se as sequências {an} e {bn} divergem então a sequência {an + bn} diverge.
(g) Se as sequências {an} e {bn} divergem então a sequência {an.bn} diverge.