Teoria Cinetica dos gases - Distribuicao de Maxwell

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Teoria Cinética dos Gases 
 
Distribuição de velocidades de Maxwell: 
Como vimos a função densidade de probabilidade das velocidades na ausência de campos 
externos é dada por: 
 
 
     
2 2 2v v v3
2 21
, , , v , v , v
2
x y z
Bk T
m
x y z x y z
B
m
f x y z e H x L x H y L y H z L z
V k T
 

 
             
 
 
Chamando 
2
vB T
k T
m
 reescrevemos essa função na forma: 
 
2 2 2
2
3
v v v
2
v
2
1 1
, , , v , v , v
v
x y z
T
x y z
T
f x y z e
V 
 
 
  
 
 
Daqui podemos encontrar a função densidade de probabilidade para o módulo da velocidade 
dada por: 
 
2
2 v
v4 v v
v
v vv
T
T TT
f e H

 
  
 
   
    
   
 [Eq1] 
Mudando para a variável adimensional 
v
vT
x  essa distribuição é dada por: 
   
224 xf x x e H x

 
A qual possui as propriedades necessárias para uma função densidade de probabilidade, ou seja: 
  0f x x  e  
0
1f x dx

 [Demo1]. 
Notamos que a função cresce com 
2x para 0x  e cai com 
22 xx e para x  . Ela tem apenas 
um ponto de máximo, por isso é chamada de uma distribuição unimodal. O gráfico da figura 
Figura xxx mostra a curva dessa distribuição, juntos com os pontos marcando a moda, a 
velocidade média e a velocidade quadrática média. 
 
Figura xxx: gráfico da função densidade de probabilidade de Maxwell    
224 xf x x e H x

 
 
MODA: O ponto de máximo de uma distribuição unimodal é chamado de MODA, a qual, no 
nosso caso, ocorre em moda 1x  ou moda
2
v v BT
k T
m
  [Demo2]. Nesse ponto a função vale: 
 
4
1f
e 
 . 
 
Distribuição Gama generalizada: a distribuição de Maxwell é um caso partícula da distribuição 
gama generalizada definida por: 
   
1
1
; , ,
p
d x
ap xf x a d p e H x
a ad
p
  
 
    
   
 
 
 
A qual possui as propriedades exigidas para uma distribuição de probabilidade, ou seja, 
 ; , , 0f x a d p  e  
0
; , , 1f x a d p dx

 . [Demo1a]. Note que os parâmetros 1a  ; 1p  nos 
remetem de volta à distribuição gamma:  
 
 1
1
;1, ,1 d xf x d x e H x
d
 

. Usando os parâmetros 
1a  ; 2p  e 3d  e sabendo que 
3
2 2
 
  
 
 temos    
224;1,3,2 xf x x e H x

 . Assim a 
distribuição de Maxwell pode ser classificada como uma distribuição Gamma Generalizada. 
 
Momentos da distribuição Gama Generalizada. Os momentos da distribuição Gama 
generalizada são dados por: [Demo1b] 
1 !
1 !
k
k
k d
p p
M a
d
p
 
  
 
 
 
 
 
Para o caso da distribuição de Maxwell, 1a  ; 2p  e 3d  , teremos [Demo1c] 
2 1
!
2
k
k
M

 
  
 
 
Notamos que se k for ímpar, aparece um fatorial de um número inteiro e o  permanecerá no 
denominador, enquanto se k for par, o fatorial de um número semi-inteiro conterá um  que 
cancela o  do denominador. Os momentos ímpares são dados imediatamente por: 
 2 1
2
1 !jM j

   
Os 3 primeiros momentos ímpares valem: 1
2
M

 ; 3
4
M

 ; 5
12
M

 
Já para os momentos pares devemos usar o fato de que 
   
1 2
2 1 !! 2 1 !1
!
2 2 2 ! 2j j
j j
j
j



  
   
 
 
para obter: 
   
2 2
2 1 !! 2 1 !
2 2 !
j j j
j j
M
j
 
  [Demo3]. 
Os 4 primeiros momentos pares são dados por: 0 1M  ; 2
3
2
M  ; 4
15
4
M  e 6
105
8
M  . 
Juntando esses resultados temos: 
Velocidade média: A esperança de x é dada por   1
2
E x M

  , logo a velocidade média é 
dada por: 
2 8
v v BT
k T
m
  
Note que 
2
1.128 1

  e que o x médio está acima do px de pico, que é uma consequência 
da assimetria da distribuição com skewness positivo, assimétrica à direita. 
 
Velocidade RMS [Root Mean Square]: A esperança do quadrado da velocidade pode ser 
extraída ou diretamente do teorema da equipartição da energia pois 
21 3v
2 2
BE m k T
 
  
, logo 
2 23 3v v
2
B
T
k T
E
m
     ou através do momento de ordem 2, dado por 2
3
2
M  , o qual, 
consistentemente, fornece os mesmos resultados. A velocidade quadrática média é definida por 
2
RMSv vE     , logo 2
3
2
RMSx M  e, portanto, 
3 3
v v
2
B
RMS T
k T
m
  . 
Variância: A variância de x é dada por   2 22 1xV x M M   e vale 
2 3 4 0.227
2
x

   . 
Nesse caso o desvio padrão vale 
3 4
2
x

  ou seja 0.476x  . Em termos da velocidade 
então: 
2 83 0.453B B
k T k T
m m


 
   
 
 e o desvio padrão será 0.476v 0.673 BT
k T
m
   . 
O gráfico da figura xxx mostra a distribuição de Maxwell junto com a velocidade média e o 
intervalo de um desvio padrão para cima e para baixo do valor médio. 
 
Figura xxx. Distribuição de velocidades de Maxwell com esperança e o intervalo de um desvio 
padrão para cima e para baixo 
 
Mediana e quartis. Distribuição de probabilidade acumulada: 
Podemos mostrar que distribuição cumulativa de probabilidade da distribuição de Maxwell é 
dada por: [Demo4] 
   
22
2 2 1 xF x x xe

    
Onde  x é a distribuição cumulativa da distribuição normal padrão, ou seja: 
 
2
2
1
2
x u
x e du



   
Mediana: A mediana é obtida quando  
1
2
medF x  , ou seja, na solução da equação 
transcendental: 
 
23 1
2
4
medx
med medx x e


   
Colocando no Excel e usando o SOLVER temos que: 1.087652medx  . Assim a velocidade 
mediana é dada por 
v 1.088vmed T 
Primeiro e terceiro quartis: O primeiro quartil é dado pela solução de 
1
1
4
o quartil
F x  
 
 e o 
terceiro pela solução de 
3
3
4
o quartil
F x  
 
. Usando o solver encontramos: 
   1 3, 0.779,1.433o oquartil quartilx x  . 
Figura xxx mostra a distribuição de probabilidade de Maxwell cumulativa marcando a mediana, 
o primeiro e o terceiro quartis. 
 
Figura xxx: Distribuição de Maxwell cumulativa. A curva vermelha foi obtida integrando 
numericamente a função densidade de probabilidade e a curva preta superposta através da 
expressão xxx obtida acima. 
 
Distribuição da Energia Cinética: 
Fazendo uma mudança de variável para 
21 v
2
c m  e usando a regra para a transformação de 
 y g x da forma  
 
 
1
1
k
f g y
f y
g g y


  
  
 na distribuição das velocidades de Maxwell 
obtemos a função densidade de probabilidade para a energia cinética dada por [Demo5]: 
  k T
2 1
c
Bc
c
B B
f e
k T k T





 
Novamente, mudando para a variável adimensional cin
B
x
k T

 caímos na distribuição: 
   
1
2
2 xf x x e H x

 
A qual é uma distribuição Gama com 1  e 
3
2
  da forma: 
 
1
2
3 2
; ,1
2
x
gamaf x x e H x

   
 
 
Então vemos que a distribuição de probabilidade de cin
Bk T

 segue a distribuição gama com 
3
2
  
e 1  . Sabendo que se trata da própria distribuição Gama é vantajoso por conta de todos os 
resultados já conhecidos e tabelados dessa distribuição. Neste caso sabemos que a função 
característica é dada por    
3
21t it

  e a função geradora dos cumulantes é dada por 
   
3
ln 1
2
C t it   . Com esse resultado temos de volta o teorema da equipartição da energia 
 
3
0
2
cin
B
E M
k T


 
   
 
, e a variância 
2
3
2
cin
B
c V
k T
 
  
 
, que nos fornece a flutuação da energia 
cinética dada por    
23
2
cin BV k T  logo: 
3
2
cin Bk T  
Velocidade relativa: 
Para o cálculo do tempo de colisão e do livre caminho médio vamos precisar da velocidade 
média relativa, 1 2v v vrel E    entre duas partículas, dada por: 
 2 21 2
3
v v
2 3 3
1 2 1 2 1 2v v v v v v v
2
B
m
k T
rel
B
m
E e d d
k T
       
     
 
       
 
      
A forma mais simples de calcular essa velocidade média é mudar o sistema de coordenadas para 
o centro de massa da partícula no qual:1 2
11 2
1 2
v v
v v v
CM
rel
m m
V
M M
 
 
 
Ou, invertendo o sistema: 
2
1
1
2
v v
v v
CM rel
CM rel
m
V
M
m
V
M

 

 
Nesse sistema de coordenadas a energia cinética é dada por: [Demo6] 
2 21 1 v
2 2
cin CM relMV   
Onde 1 2M m m  e 
1 2
1 2
m m
m m
 

, é a massa reduzida do sistema. No caso das duas massas 
serem iguais temos: 2M m e 
2
m
  logo 2 2
1
v
4
cin CM relmV m   . A grande vantagem dessa 
troca de sistemas de coordenadas é o fato de que o elemento de volume não muda, ou seja, 
3 3 3 3
1 2v v vreld d d V d [Demo7] que nos permite decompor a integral em duas na forma: 
2 23 v
4 3 3v v v V
2
rel
B B
m mV
k T k T
rel rel rel
B
m
e d e d
k T
      
     
    
     
       
      
Podemos agora usar coordenadas esféricas obtendo: 
2 23 v
43 2v 4 v v 4 V
2
rel
B B
m mV
k T k T
rel rel rel
B
m
e d V e d
k T
 

  
 
    
     
       
  
Calculando essas integrais, agora facilmente, obtemos a velocidade relativa média: [Demo8] 
4 16
v v
2
B
rel T
k T
m
  
Note que a velocidade relativa média é maior do que a velocidade média, 
8
v B
k T
m
 , por um 
fator de 2 , ou seja: 
v 2 vrel  
 
Resumo dos parâmetros da distribuição de Maxwell: 
Velocidades características Resultados 
Velocidade de pico [Moda] 2
v Bp
k T
m
 
Velocidade média 8
v B
k T
m
 
Velocidade Mediana 2
v 1.088 Bmed
k T
m
 
Velocidade quadrática Média 6
v BRMS
k T
m
 
Desvio Padrão da Velocidade 3 4 2
2
Bk T
m


 
  
 
 
Velocidade relativa Média 16
v Brel
k T
m
 
 
Tempo de colisão: 
Como mostra a figura xx a área de colisão entre duas partículas rígidas, ambas com diâmetro d , 
vale 
2A d . No tempo  todas as moléculas que estiverem dentro do volume de colisão 
 2 vcol relV d  sofrerão colisão. 
 
Dessa forma, no tempo  existirão  2 vcolcol rel
V N
N N d
V V
   colisões. Então o tempo médio 
de uma única colisão é dado por 1colN  , ou seja: 
2
1 1
v
col
rel
V
d N


 
Checando a dimensão:  
3
2col
L t
t
L L
   . Chamando a área da seção de choque de 2d  ,
N
n
V
 e usando a velocidade relativa média obtemos: 
1
4
col
B
m
n k T



 
O Livre Caminho Médio é definido como: v col . Sabendo que v 2 vrel  então: 
1 v
v
v
col
reln


  ou seja 
1
2n
 
Notamos que o tempo de colisão depende da densidade de moléculas e da temperatura enquanto 
o livre caminho médio depende apenas da densidade de moléculas. Se a densidade aumenta o 
tempo de colisão e o livre caminho médio caem inversamente proporcional, o que faz sentido 
pois existem mais moléculas aumentando a chance de colisão. Já o tempo de colisão também cai 
com a temperatura pois a velocidade relativa entre as moléculas aumenta. A densidade de 
moléculas é mais difícil de medir do que a pressão, assim o melhor é escrever as equações em 
termos da pressão usando 
B
P
n
k T
 : 
1
4
B
col
mk T
P



 e 
2
Bk T
P
 
Lei dos Gases Ideais através da Teoria Cinética dos Gases: 
Vamos calcular o número de moléculas que atravessam uma superfície de área A com a normal 
na direção i . Todas as moléculas que estiverem no volume vidV A dt mostrado na figura xxx 
com velocidade positiva atingirão a superfície no intervalo de tempo dt . 
 
 
O fluxo de moléculas passando de baixo para cima nessa superfície é dado por: 
2 2 2
2 2 2
v v v
v v v
2 2 2
0
1 1 1 1
v v v v
v v v
j k i
T T T
i j k i i
T T T
NAdt
J e d e d e d
Adt V   
    

 
      
        
           
   
As integrais nas dimensões perpendiculares à i valem 1 e só sobra a integral: 
2
2 2
v
v
0 0
v v v v
2
v v 2
i
T uT z z T
i
T T
n n
J e d e udu
 
 
    então 
v
2
T
i
n
J

  
Conferindo a dimensão: 
3
1 1
i
L
J
L t At
     , ou se seja, partículas por unidade de área por 
unidade de tempo, como deveria ser. Em termos da temperatura vemos que: 
2
B
i
k T
J n
m
  
No equilíbrio o número de moléculas atravessando a superfície na direção oposta é o mesmo e 
dado por 
2
B
i
k T
J n
m
  . 
Teoria cinética dos gases no cálculo da pressão: 
Cada molécula que atravessa a superfície de baixo para cima transporta o momento vp m . 
Então o momento total transportado de baixo para cima será dado por: 
    3
v 0
v v v v
z
i
NAdt
p f m d
V


   
Já o momento transportado de cima para baixo será dado por: 
    3
v 0
v v v v
z
i
NAdt
p f m d
V


   
A força nessa superfície é dada pelo balanço entre os dois momentos: 
       3 3
v 0 v 0
v v v v v v v v
z z
i i
p p NA
F f m d f m d
dt V
 
 
   
   
  
  
Como para v 0i  v vi i  então: 
       3 3
v 0 v 0
v v v v v v v v
z z
i i
NA
F f m d f m d
V
 
 
  
  
  
Ou ainda: 
    3v v v vi
NA
F f m d
V
  
Agora sem qualquer restrição na integral. Dessa forma temos que v vij i j
NA
F m
V
 . Agora 
notamos que, no equilíbrio, por simetria v v 0i j i  logo 
2vij i ij
NA
F m
V
 , ou seja, só existem 
forças normais. Por outro lado: 
21 1v
2 2
i Bm k T 
Logo: 
ii
B
F N
k T
A V
 
Ou ainda 
B
N
P k T
V
 logo BPV Nk T 
Percebemos que no equilíbrio a igualdade 
2
B
i i
k T
J J n
m
   garantiu o cancelamento do 
número de partículas que atravessa de um lado ao outro, ou do momento transverso. Entretanto, 
em situações de não equilíbrio isso deixa de ser verdade. Por exemplo, suponha uma variação de 
temperatura. O número de partículas que atravessa a superfície de um lado agora será diferente 
do número que atravessa do lado oposto. O mesmo ocorre se houver um gradiente de 
concentração. Por fim pode ocorrer um gradiente de velocidades quando o fluido é forçado em 
um campo de velocidades, usualmente muito menores do que as velocidades térmicas. Podemos 
usar o livre caminho médio para calcular propriedades de transporte dentro de um modelo 
simples no qual a situação é de quase equilíbrio, com valores diferentes de um lado e de outro e 
supondo que as partículas não sofrem colisão no livre caminho médio. 
Suponha uma grandeza intensiva  r transportada por cada molécula em um gradiente de uma 
das variáveis da teoria cinética dos gases, ou  T r , ou  n r , ou ainda  v r . Podemos escolher, 
sem perda de generalidade, a direção z na direção do gradiente. 
       3 3
v 0 v 0
v v cos v v v cos v
z z
z z zJ ne f z d f z d    
 
 
    
  
  
Note que o modelo considera que as partículas que possuíam a propriedade  cosz  nos 
planos cosz  não sofrem mais colisão até atingir o plano z . Agora consideramos o livre 
caminho médio muito pequeno e expandimos a função  z em série de Taylor: 
   cos cosz z
z

   



 
Dessa forma podemos mostrar que: [Demo9] 
1
v
3
zJ n e
z


 

 
Condutividade Térmica: 
Nesse caso queremos o fluxo de energia  que depende de um gradiente térmico mas em 
equilíbrio mecânico, ou seja, à pressão constante. Nesse caso: 
P
P
T c T
z T
   
    
  
 assim 
1
vc
3
Q PJ n T   
Definimos a condutividade térmica como: QJ K T   logo: 
1
vc
3
PK n ou 
21
c
3
P
col
K n

 
Aqui usamos a expressão do livre caminho médio 
1
2n
 e extraímos que 
2
c
3
B
P
k T
K
m 
 
 
 
Viscosidade: 
Agora vamos supor um gradiente de velocidades porque o gás se encontra entre duas paredes que 
se movem com velocidade entre si. Nesse caso pode ocorrer um stress tangencial no fluido 
porque agora não é mais verdade que v v 0i jm j i   . Vamos fazer a função vxm  
sabendo que  vx z é uma função de z . 
v1
v
3x
x
p zJ nm e
z

 
Suponha duas placas com uma velocidade entre si como mostra a figura xxx. A força entre as 
placas é dada por: 
v
F A
z
  
Definimos o stress como 
vxF
A z
 

  

 com  sendo a viscosidade. Note que força é 
p
F
t


 
e que o fluxo de momento é o stress 
F p
A A t


 . Nesse caso: 
1
v
3
nm  
Substituindo a velocidade média e o livre caminho médio: 
2
3
Bmk T
 
 
Coeficiente de Difusão: 
Suponha que é a concentração que muda com a posição 
       3 3
v 0 v 0
v v cos v v v cos v
z z
n z z zJ e f n z d f n z d 
 
 
    
  
  
       
   
3 3
v 0 v 0
3 3
v 0 v 0
v v v v v v
v v cos v v v cos v
z z
z z
z z
n z
z z
f n z d f n z d
J e
n n
f d f d
z z
 
 
 
 
 
 
   
  
 
 
 
 
  2 3v v cos vn z
n
J f d e
z


  
  
 
Agora: 
  2 3
1 8 v
v v cos v
3 3
Bk Tf d
m


  
Então 
v
3
n z
n
J e
z

 

 e como n z
n
J D e
z

 

 tiramos que o coeficiente de difusão é dado por: 
1
v
3
D  
Esse resultado pode ser escrito de uma forma mais elegante como: 
2
21 v 1 3
3 3
col
col col col
D

  
 
 
    
Conexão com o Movimento Browniano: 
Note que no problema do bêbado se movendo em uma dimensão esse seria o resultado obtido se 
o tamanho do passo for: 
3
passo  . 
Difusividade Térmica: 
Na equação da continuidade J F S
t

   

 
Vamos fazer J K T   e Q Pnc T  , [note que o Pc é dado em termos da energia por 
molécula por temperatura, então a densidade deve ser de moléculas por volume] substituindo de 
volta: 
2
P
T
K T nc F S
t

    

 
Logo 
 2
1Pnc TT F S
K t K

    

 ou ainda  2
1 1T
T F S
t K

    

 
onde 
P
K
nc
  é a difusividade térmica. Usando 
21
c
3
P
col
K n

 temos: 
2 21
c
3 3
P
col
P P col
n
K
nc nc



 
 
    
2
1
3col


 
  
 
 
Trata-se então do tamanho do passo ao quadrado dividido pelo tempo de colisão. 
 
 
 
 
Apêndice 1. Coordenadas esféricas polares: 
sin cos
sin sin
cos
x r
y r
z r
 
 




 
sin cos sin sin cos
det det cos cos cos sin sin
sin sin sin cos 0
x y z
r r r
x y z
J r r r
r r
x y z
    
    
  
   
  
   
 
  
   
       
            
    
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
sin sin sin sin cos cos
sin cos sin sin sin cos
sin sin sin cos
J r r
r r
r r
     
     
   
  
  
 
 
2 sinJ r  
Então 2 sindxdydz r drd d   
[volta] 
Equação (1): 
 
 
2 2 2
2
22 2 2 2
3
v v v
2
v
2
0 0 0v v v v v+dv
1 1
v v v v v
v
x y zyx z
T
x y z
LL L
x y z
T
f d d d d dx dy dz e
V 
 

   
 
 
   
  
 
      
 
 
2 2 2
2
22 2 2 2
3
v v v
2
v
2
v v v v v+dv
1 1
v v v v v
v
x y z
T
x y z
x y z x y z
T
f d L L L e d d d
V 
 

   
 
 
   
  
 
   
Mudando para coordenadas esféricas polares [Apêndice1]: 
2v v v v sin vx y zd d d d d d   
 
 
2 2 2
2
22 2 2 2
3
v v v
2
v
2
v v v v v+dv
1
v v v v v
v
x y z
T
x y z
x y z
T
f d e d d d

 

   
 
 
   
  
 
   
 
2 2
2 2
3 3
v vv v 2 v v 22 2
v v2 2
2 2
v 0 0 v 0 0
1 1
v v v sin v v v sin
v v
T T
d d
T T
f d e d d d e d d d
   
     
 
        
        
        
      
 
2 2 2
2 2 2
3
v v vv v v v v v2
v v v2 2 2
2 3 3
v v v
1 4 4
v v 4 v v v v v v
v v v
T T T
d d d
T T T
f d e d e d e d


   
          
        
            
   
 
   
 
x dx
x
F x dx F x
f u du dx f x dx
dx
  
  
 
2
2
v
v2
3
4
v v v v
v
T
T
f d e d


 
 
2
2 v
v4 v
v
vv
T
TT
f e

 
  
 
 
  
 
[volta1] 
Demonstração 1: 
2 2
1
2 2
0 0 0
4 2 2 2 1
2 !
2
x x tx e dx xe xdx t e dt
   
  
        
 
   
22
0
4 2 1 1 2 1
! 1
2 2 2
xx e dx 
  

            
    
 OK! [volta2] 
Demonstração 2: Moda, encontrando o pico da distribuição. 
       
2 2 2 22 3 24 4 82 2 1x x x x
d d
f x x e xe x e xe x
dx dx  
        
Logo o pico em   0
d
f x
dx
 ocorre para  21 0x  , ou seja, 1x  . 
Nesse caso 
2
v Bp
k T
m
 . [volta3] 
 
Demonstração 1a: Distribuições Gama Generalizadas 
 
1
0 0
1
; , ,
p
d x
ax xf x a d p dx p e d
a ad
p
   
 
        
     
 
 
  
1 1
1
pp
p px x xt t d t dt
a a a p

 
     
 
 
 
1
1
1 1 1 1
1
0 0 0 0
1 1 1 1
; , ,
p
pd dp d pt
pt tp p pf x a d p dx p t e t dt t e dt t e dt
pd d d
p p p
 
              
    
 
   
              
     
    
 
0
; , , 1
d
p
f x a d p dx
d
p

 
 
  
 
 
 
 C.Q.D. 
[volta1a] 
Demonstração 1b: Momentos da distribuição Gamma generalizada. 
1
0
1
p
d x
k a
k
x x
M p x e d
a ad
p
  
 
        
     
 
 
 
1 1
0 0
p p
k d k dx xk k
a a
k
a x x x a x x
M p e d p e d
a a a a ad d
p p
      
    
                      
            
    
   
  
Mudando a variável para 
1 1
1
pp
p px x xt t d t dt
a a a p

 
     
 
 então: 
1
1
1 1 1 1
1
0 0 0
1
p
pk d p k d p k dtk k k
t tp p p p
k
a a a
M p t e t dt t e dt t e dt
pd d d
p p p
 
           
 
  
 
   
              
     
   
1 !
1 !
k k
k
k d k d
p p p
M a a
d d
p p
   
     
    
   
    
   
 
Daqui podemos extrair os primeiros momentos: 
1
1 1
1 !
1 ! !
d d
p p p
M a a
d d
p p

   
     
     
   
    
   
 e 2 2
2
2 2
1 !
1 !
d d
p p p
M a a
d d
p p
   
     
    
   
    
   
 e 
2
2 2 2
2 2
2
2 1 1 2 1
1 ! 1 ! 1 !
1 ! 1 ! 1 !
d d d d d
p p p p p p p p
m M a a a
d d d d d
p p p p p

           
                 
               
          
              
          
 
2
2
1 1 2
1 ! 1 ! 1 !
1
2
1 ! 1 ! 1 !
d d d
p p p p p p
m a
d d d
p p p p
      
           
       
      
         
      
 
[volta1b] 
No caso da distribuição de Maxwell 2p  e 3d  temos: 
3 1 1
1 ! ! !
2 12 2 2 2
!
3 1 1 1 2
1 ! ! !
2 2 2 2
k
k k k
k
M

      
                  
               
      
 
[volta1c] 
 
Demonstração 3: 
Para k par, 2k j então: 
2
2 1
!
2
jM j

 
  
 
. Agora: 
1 1 1 1 1 1 1
! 0 1 2 1 1 !
2 2 2 2 2 2 2
j j j j j j j j j j
         
                        
         
 
Notamos que temos  1j  termos do primeiro ao penúltimo pois começa em 0j  e termina em 
j j e que o último termo será 
1
!
2

 
  
 
. Assim podemos desenvolver: 
1 2 1 2 1 2 3 3 1
!
2 2 2 2 2 2
j j j
j 
          
         
        
 
 
1
2 1 !!1
!
2 2 j
j
j 

 
  
 
 
Podemos modificar ainda essa expressão usando o fato que 
     2 1 ! 2 1 !! 2 !!j j j   
             2 !! 2 2 2 2 4 2 2 1 2 1 2 !j jj j j j j j j j               
Logo: 
   2 1 ! 2 1 !!2 !jj j j   então  
 2 1 !
2 1 !!
2 !j
j
j
j

  e 
   
1 2
2 1 !! 2 1 !1
!
2 2 2 ! 2j j
jj
j
j



  
   
 
 
Logo: 
   
2 1
2 1 !! 2 1 !!2
2 2
j j j
j j
M 


 
  
0 1M  ; 2
3
2
M  ; 4
15
4
M  e 6
105
8
M  
1
2
M

 ; 3
4
M

 ; 5
12
M

 
[volta4] 
Demonstração 4: 
 
2 22
1 1
0 0
4 4
lim lim
x x
t tF x t e dt e dt 
   
 
 

  
 
 
 
2 222
2 2
1 1
0 0
4 1 4 1
lim 2 lim
2 2
x xt u
F x e d t e du

 

    
 
 
   
      
       
  
 
2 22 2
2 2
1
0 0
1 1 1 1
4lim
2 2
x xu u
F x e du e du
 
     
 

    
            
  
2 2 22 0 2
2 2 2
0
1 1 1
2 2 2
x xu u u
e du e du e du
 
  
  
 
    
Então: 
2 22 2
2 2
0
1 1 1
22 2
x xu u
e du e du
 
 
 

   
 
22
2
0
1 1
2
22
x u
e du x




   
     
1
1 1 1
4lim 2 2
22
F x x x

 
  
  
          
 
     
1
2
2 1 4 2
lim 2
2 u x
x
F x x u
u 


   
   
      
   
 
     
1
2 1 4 2
lim 2 2
2
x
F x x x


  
  
  
     
  
 
     
1
2 1 2 2
lim 2 2
2
F x x x x

  
 
  
     
  
 
     2 2 1 2 2 2F x x x x    
   
2
2 2 1 2 2
2
xe
F x x x


    
   
22
2 2 1 xF x x xe

    
Checando: 
   
1
0 2 0 1 2 1 0
2
F       
   2 1 2 1 1F         
[volta5] 
 
Demonstração 5: a função densidade de probabilidade de Maxwell é dada por 
   
21 v
2
24 1v v v
22
B
m
k T
B B
m
f m e H
k T k T
 
  
 
 
Para 2
1
v
2
c m  obtemos: 
v
v
cd m
d

 ; 2
2
vc
m

 e 
2
v c
m

 
   
4 1
2 2
c
Bk T
c c c
B B c
m
f e H
k T k T
m
m

  
 

 
   
2 1
c
Bk Tc
c c
B B
f e H
k T k T


 


 
volta6 
Demonstração 6: A energia cinética é dada por: 
2 2
1 1 2 2
1 1
v v
2 2
cin m m   
2 2
2 1
1 2
2 2
2 2 2 21 2 2 1 2 1
1 1 2 22 2
2 2 2 21 2 1 2
1 2 2 12 2
1 1
v v
2 2
1 2 1 1 2 1
v v v v
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
v v
2 2 2 2
cin CM r CM r
CM r CM r CM r CM r
CM CM r r
m m
m V m V
M M
m m m m m m
mV V m m V V m
M M M M
m m m m
mV m V m m
M M
 
   
      
   
        
   
 
 
 1 22 21 2
1 2
1 1
v
2 2
cin CM r
m mm m
m m V
M M


   
2 21 1 v
2 2
cin CM rMV   
[volta7] 
Demonstração 7: O sistema de coordenadas para uma direção é dado por: 
1
2
1
v v
2
1
v v
2
i i ri
i i ri
V
V
 
 
 
Com o qual podemos calcular facilmente o Jacobiano que transforma os diferenciais da forma: 
1 1
1 2
2 2
v v
v
v v det v
v v
v
i i
i rel i
i i i rel i
i i
i rel i
V
d d dV d
V
  
  
 
  
 
  
 
Assim: 
1 2
1
1
1 12
v v det v v v
1 2 2
1
2
i i i rel i i rel i i rel id d dV d dV d dV d
 
 
     
  
 
 
Então 
3 3 3 3
1 2v v vrd d d V d 
[volta8] 
Demonstração 8: Queremos calcular: 
2 23 v
43 2
0 0
v 4 v v 4 V
2
rel
B B
m mV
k T k T
rel rel rel
B
m
e d V e d
k T
 

      
     
       
  
2 23 v2
43 2
3
0 0
16
v v v V
8
rel
B B
m mV
k T k T
rel rel rel
B
m
e d V e d
k T


      
     
       
  
2 23 v
43 2
0 0
2
v v v V
rel
B B
m mV
k T k T
rel rel rel
B
m
e d V e d
k T
      
     
       
  
Agora: 
2 2
2
3
v v 2
2
4 43 3 3
2
0 0 0
1 4
v v v v
4 4
4
rel r
B B
m m
k T k T uB
rel rel r r
B B
B
m m k T
e d e d u e du
k T k T mm
k T
   
       
    
 
 
   
2
2
v 2 2
43 2
0 0 0
1 4 1 4
v v 2
2 2
rel
B
m
k T u tB B
rel rel
k T k T
e d u e udu te dt
m m
  
        
   
   
2v 2
43
0
v v 8
rel
B
m
k T B
rel rel
k T
e d
m
   
  
 
 
Além disso: 
2 2
2
3
2
2 2 2
3
0 0 02
1
V VB B
mV mV
k T k T uB
B B
B
m m k T
V e d V e d u e du
k T k T m
m
k T
   

   
    
   
 
 
   
2
2
3 3
1
2 2
2 2
0 0 0
1 1
V 2
2 2
B
mV
k T u tB Bk T k TV e d ue udu t e dt
m m
  
        
   
   
2 3 3
2 2
2
0
1 1 1
V !
2 2 4
B
mV
k T B Bk T k TV e d
m m

       
      
     
 
Substituindo obtemos: 
33 2
22 1
v 8
4
B B
rel
B
m k T k T
k T m m


               
          
 
3 3
4
v B Brel
B
m k T k T
k T m m


   
    
  
 
16
v Brel
k T
m
 
[volta9] 
 
Demonstração 9: Fluxo de uma grandeza através de uma superfície. 
 
           3 3 3 3
v 0 v 0 v 0 v 0
v v v v v v v v cos v v v cos v
z z z z
z z z z zJ ne f z d f z d f d f d
z z

 
   
   
  
    
   
   
Ou seja: 
   3 3
v 0 v 0
v v cos v v v cos v
z z
z z zJ n e f d f d
z


 
 
 
   
   
  
   
2
3 2 3vv v v vcos v
v
z
z zJ n e f d n e f d
z z

 

 
   
  
 
 
2
2
3
v 22 2
v3 3 2
2
0 0 0
v 1
v v v v cos sin
v v
Tz
T
f d e d d d
 
   

       
      
       
    
 
2
2
v2 3
v3 2
3
0 0
v 2 v v v
v v cos sin
v v v
Tz T
T T
f d e d d


  
 
     
    
     
   
Chamando cos sin du du      , quando 0 1u     e quando 
1u     , portanto: 
1 1
2 2 2
0 1 0
2
cos sin 2
3
d u du u du

  


      
Já 
2
2 2 2
v 3
v 3 2
3
0 0 0 0
v v 1 1 1
2
v v 2 2 2
T u u t
T T
e d e u du u e udu te dt
   
         
Substituindo temos: 
 
2
3v v 82 1 vv v
v 3 3 3
z T Bk Tf d
m
   
Logo: 
1
v
3
zJ n e
z


 

 
[volta10]