Relatório algebra linear

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INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA-IFSC 
CAMPUS SÃO CARLOS 
 
 
 
Alunos: Daniel Potter, Guilherme Alex Pereira 
Disciplina: Álgebra Linear 
Curso; Engenharia Civil / 2 semestre 
 
 
 
 
 
MATRIZ CANÔNICA, AUTOVALORES, AUTOVETORES E 
DIAGONALIZAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Carlos, 30 de março de 2021. 
 
 
 
 
INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA - IFSC 
CAMPUS SÃO CARLOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATRIZ CANÔNICA, AUTOVALORES, AUTOVETORES E 
DIAGONALIZAÇÃO 
 
 
 
Este relatório acadêmico esta 
relacionado ao curso de álgebra 
linear, tendo como objetivo o 
aprendizado de matrizes canônicas, 
e os procedimentos de cálculo para 
autovalores e autovetores e 
diagonalização de uma matriz. 
 
 
 
 
 
 
 
São Carlos, 30 de Março de 2021.
 
1.0 INTRODUÇÃO 
 
Os autovalores e autovetores são aplicações muito utilizadas no dia a dia da engenharia 
civil, através de seu uso podemos realizar vários estudos e comportamentos como a análise de 
vibrações, o comportamento mecânico dos sólidos, também pode ser aplicado em questões 
envolvendo estatísticas, enfim, observar as variâncias ou desvios de padrões caso ocorram, em 
relação aos auto espaços associados aos autovetores. 
A solução para vários problemas práticos requer um conhecimento da relação tensão 
deformação geral, problemas de pressão e estabilidade que envolvem a compatibilidade de 
tensão e deformação, problemas de consolidação e assentamento, bem como resistência ao 
cisalhamento. 
Neste trabalho vai ser utilizado os conceitos da álgebra linear no estudo de 
comportamento de tensor tensão, calculo de invariantes e critério de tresca. 
 
2.0 METODOLOGIA DE PESQUISA 
 
Este trabalho foi elaborado com base em pesquisas bibliográficas sobre o sistema tensor 
tensão, e também através do estudo em sites e vídeos. Baseado em conhecimentos adquiridos 
em sala de aula sobre autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes, orientado pelo 
professor Ives Garnald Irilan. 
 
3.0 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
Definição 1. Considere A ∈ Rn×n, dizemos que u ∈ Rn não-nulo é autovetor de A se existe λ 
∈ R tal que: Au = λu. 
Neste caso, dizemos que u é autovetor de A associado ao autovalor λ. Observa-se que podemos 
escrever a igualdade Au = λu como: (A − λI)u = 0. 
 
 
Definição 2. Seja u autovetor de A associado ao autovalor λ. As seguintes afirmações são 
equivalentes: 
1. Au = λu 
2. N(A − λI) , {0} 
3. det(A − λI) = 0. 
 
 
Definição 3. O polinômio pA(λ) = det(A − λI) é dito Polinômio Característico de A. 
Denotaremos o conjunto Σ(A) = {λ; λ é autovalor de A} como Espectro da matriz A. 
 
 
Definição 4. Uma matriz A ∈ Rn×n é dita Diagonalizável se existir uma matriz inversível P e 
uma matriz diagonal D tal que: A = PDP−1. 
 
 
Definição 5. Sejam λ1, λ2, ..., autovalores distintos de A ∈ Rn×n com autovetores associados 
u1, u2, ...,. Os vetores u1, u2, ..., são linearmente independentes.
Definição 6. Uma matriz A ∈ Rn×n é diagonalizável se, e somente se, A possui n autovetores 
linearmente independentes. Sendo A diagonalizável, podemos escrever A = PDP−1 , que é 
equivalente à: AP = PD. 
 
 
Definição 7. Quando a matriz A não possui n autovalores distintos, ela pode ou não ser 
diagonalizável, dependendo se tem ou não n autovetores linearmente independentes. 
 
 
ATIVIDADES 
 
Quando a matriz há uma tensão estável na qual existem apenas tensões principais e 
perpendiculares as superfícies, o estado de tensão é chamado de estado de tensão principal. 
Essa matriz é claramente uma matriz diagonal: 
 
 
[𝜆𝜆] = �
𝛿𝛿1 0 0
0 𝛿𝛿2 0
0 0 𝛿𝛿3
� 
 
1- Explique como podem ser determinados os valores Sigma 1 (𝜆𝜆1), Sigma 2 (𝜆𝜆2) e Sigma 
3 (𝜆𝜆3) : 
 
1° Passo → [𝛿𝛿 − 𝜆𝜆 ] = �
(𝑎𝑎11 − 𝜆𝜆) 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13
𝑎𝑎21 (𝑎𝑎22 − 𝜆𝜆) 𝑎𝑎23
𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 (𝑎𝑎33 − 𝜆𝜆)
� 
 
2° Passo → Ache o polinômio caracteristico: 
[𝛿𝛿 − 𝜆𝜆 ] = −𝜆𝜆3 + I1𝜆𝜆 2 − I2𝜆𝜆 + I3 = 0 
 
3° Passo → Achar os autovalores que compõe a matriz D diagonal: 
D = �
𝛿𝛿1 0 0
0 𝛿𝛿2 0
0 0 𝛿𝛿3
� 
A equação característica tem 3 raízes reais devido a Símetria do tensor tensão, isto 
acontece por que o corpo esta em equilibrio. Onde 𝛿𝛿1 = 𝑀𝑀á𝑥𝑥 𝑒𝑒 𝛿𝛿3 = 𝑀𝑀í𝑛𝑛. 
 
2- Explique como podem ser determinados as direções principais: 
 
Em todo ponto de um corpo deformado existem 3 planos. As 3 tensões normais a 
este plano principal são chamadas tensões principais. 
Neste sistema existem os invariantes que são os autovalores do tensor tensão. E 
assim sendo os seus vetores direção são as direções principais ou Autovetores. 
 
 
Direção principal 
determinada pelos 
Autovetores. 
 
3- Procure na internet ou algum livro sobre os invariantes do tensor tensão. Calcule os 
invariantes: 
 
𝛿𝛿𝑖𝑖∗𝑗𝑗 = �
𝛿𝛿1 0 0
0 𝛿𝛿2 0
0 0 𝛿𝛿3
� 
 
As tensões principais podem ser combinadas para formar os invariantes de tensão, 
I1, I2 e I3. O primeiro invariante é o Traço e o terceiro invariante o Determinante, do 
tensor tensão. Assim: 
 
I1 = δ1 + δ2 + δ3 
I2 = (δ1 ∗ δ2) + (δ2 ∗ δ3) + (δ3 ∗ δ1) 
I3 = δ1 ∗ δ2 ∗ δ3 
 
 
4- Procure também sobre o critério de Tresca. Aplique o critério de Tresca: 
 
Este critério se baseia no fato que para os materiais ducteis o principal mecanismo de 
deformação plástica é o de escorregamento nos planos de maior densidade átomica. 
Assim a tensão equivalente (𝛿𝛿𝐸𝐸𝐸𝐸) é igualmente perigosa a um estado de tensão quando 
ela apresentar a mesma tensão de cisalhamento máximo que o estado. 
Aplicando o critério temos que: 
 
δ1 − δ3
2
=
δEq
2
→ δEq = δ1 − δ3 
 
 
TMáx. Abs. =
δMáx.− δMín.
2
→ Tensões principais com sinais opostos 
 
EXEMPLOS NUMÉRICOS: 
 
Considere a tensão de Cauchy dada pela unidade (MPa). 
 
 
𝛿𝛿 = �
60 20 10
20 −40 −5
10 −5 30
� 
 
|𝛿𝛿 − 𝜆𝜆| = �
60 − 𝜆𝜆 20 10
20 −40 − 𝜆𝜆 −5
10 −5 30 − 𝜆𝜆
�
 60 − 𝜆𝜆 20
20 −40
10 −5
� � 
 
 
 
 
 
 
→ −𝜆𝜆3 + 50𝜆𝜆2 + 2325𝜆𝜆 − 83500 = 
 
→ −(27𝜆𝜆3 − 85275𝜆𝜆 + 958250) = −1 = 0 
 
𝑋𝑋 = 𝜆𝜆 −
50
3
 
 
Obs.: Utilizando do aplicativo Scilab apartir dos polinômios caracteristicos. 
 
Os autovalores encontrados são: 
 
𝜆𝜆1 ≅ −44,479 
𝜆𝜆2 ≅ 28,418 
𝜆𝜆3 ≅ 66,061 
 
 
Achados os autovalores podemos montar a matriz: 
 
 
(δ − λI) ∗ 𝑢𝑢 = 0 
 
(δ − λI) ∗ u = �
60 − 𝜆𝜆 20 10
20 −40 − 𝜆𝜆 −5
10 −5 30 − 𝜆𝜆
� 
 
Autovalores de 𝜆𝜆1 = −44,48 são: 
 
𝑋𝑋1 = −2,13𝑋𝑋3 
𝑋𝑋2 = 10,633𝑋𝑋3 
𝑋𝑋3 = 𝑋𝑋3 
 
 
Autovalores de 𝜆𝜆2 = 28,418 são: 
 
𝑋𝑋1 = −0,228𝑋𝑋3 
𝑋𝑋2 = −0,140𝑋𝑋3 
𝑋𝑋3 = 𝑋𝑋3 
 
 
Autovalores de 𝜆𝜆3 = 66,061 são: 
 
𝑋𝑋1 = 3,95𝑋𝑋3 
𝑋𝑋2 = 0,699𝑋𝑋3 
𝑋𝑋3 = 𝑋𝑋3 
 
 
 
 
 
 
A matriz diagonal é formada pelos autovalores: 
 
𝐷𝐷 = �
−44,48 0 0
0 28,42 0
0 0 66,061
� 
 
A matriz composta de Vetores Própios: 
 
𝑃𝑃 ≈ �
−0,018 0,090 0,008
−0,213 −0,130 0,933
0,231 0,041 0,058
� 
 
 
𝐀𝐀 = 𝐏𝐏 ∗ 𝐃𝐃 ∗ 𝐏𝐏(−𝟏𝟏) 
 
𝐴𝐴 = 
⎝
⎜⎜
⎛
−209750 1045750
11665019 11665019
−2483500 −1521500
98582
11665019
10885771
11655019 11665019
2693250 475750
11665019 11665019
11665019
680666
11665019⎠
⎟⎟
⎞
 
 
 
Calculo dos invariantes (𝐈𝐈𝟏𝟏, 𝐈𝐈𝟐𝟐 𝐞𝐞 𝐈𝐈𝟑𝟑): 
 
𝐷𝐷 = �
−44,48 0 0
0 28,42 0
0 0 66,061
� 
 
I1 = (δ1 + δ2 + δ3) → I1 = −44,45 + 28,42 + 66,06 → I1 ≅ 50 
 
 
I2 = (δ1 ∗ δ2 + δ2 ∗ δ3 + δ1 ∗ δ3) → I2 = (−1264,1 + 1877,4 + (−2,933) 
 
I2 = −2324,7 
 
 
I3 = (δ1 ∗ δ2 ∗ δ3) → I3 = 83507,87 
 
 
Aplicação de Tresta 
 
𝛿𝛿𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝛿𝛿1 − 𝛿𝛿3 → 𝑂𝑂𝑛𝑛𝑂𝑂𝑒𝑒: �
𝛿𝛿1 = −44,48
𝛿𝛿3 = 66,061
 
 
 
𝛿𝛿𝐸𝐸𝐸𝐸 = −44,48 − 66,061 → 𝛿𝛿𝐸𝐸𝐸𝐸 = −110,54 
 
 
𝑇𝑇𝑀𝑀á𝑥𝑥. 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. =
−110,54
2
→ 𝑇𝑇𝑀𝑀á𝑥𝑥. 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴. = −55,27
4.0 DISCUSSÕES 
 
Realizados os estudos da parte teórica de autovalores, autovetores e 
diagonalização conseguimos compreender um pouco mais sobre a maneira como 
uma força de tensão age sobre um corpo, e verificou-se a importância desses 
métodos pra simplificar os cálculos e atingir resultados de exatidão. 
A aplicação dos métodos de álgebralinear foi muito positivo neste trabalho, 
trazendo informações ligadas diretamente ao setor de engenharia civil. 
 
5.0 CONCLUSÕES 
 
Mediante os conteúdos resolvidos baseados em fundamentação teórica, 
podemos concluir que o estudo de autovalores e autovetores trouxe uma nova visão 
sobre como os vetores se comportam num plano cartesiano, quando submetidos a 
alguma força e dessa maneira gerar praticidade em achar os pontos sobre todo o 
plano. 
O conhecimento adquirido durante a resolução das atividades foi muito 
satisfatório, e possibilitou encontrar soluções práticas pra questões cotidianas que 
vão surgir em meio a área da engenhara civil. 
 
6.0 REFERÊNCIAS 
 
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Autovalores_e_autovetores 
https://www.ime.unicamp.br/~cnaber/Autovalore 
https://www.youtube.com/watch?v=2udd1pCNrrg 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matriz_diagonalizável 
https://www.ufrgs.br/reamat/AlgebraLinear/livro/s11-diagonalizax00e7x. 
http://www.ime.unicamp.br/%7Ecnaber/Autovalore
http://www.youtube.com/watch?v=2udd1pCNrrg
http://www.ufrgs.br/reamat/AlgebraLinear/livro/s11-diagonalizax00e7x
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	MATRIZ CANÔNICA, AUTOVALORES, AUTOVETORES E DIAGONALIZAÇÃO
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	5.0 CONCLUSÕES
	6.0 REFERÊNCIAS