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MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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AULA 06: JUROS E MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 01 
2. Questões comentadas 34 
3. Lista de Questões 67 
4. Gabarito 84 
 
Olá! 
 
Neste encontro trataremos sobre Juros, cobrindo assim mais um 
tópico do edital do TJ/PR. 
 
Tenha uma boa aula, e não deixe de acompanhar vídeos gratuitos 
para complementar os seus estudos no meu canal do Youtube 
(Professor Arthur Lima): www.youtube.com/arthurrrl. 
 
1. TEORIA 
INTRODUÇÃO AOS JUROS SIMPLES E COMPOSTOS 
 Afinal de contas, o que significa “juros”? Costumo dizer que juros é 
o termo utilizado para designar o “preço do dinheiro no tempo”, ou 
melhor, é o “preço” que alguém paga por ficar com a posse do dinheiro de 
outra pessoa por algum tempo. Quando você pega certa quantia 
emprestada no banco, ele cobrará uma remuneração em cima do valor 
que ele te emprestou, pelo fato de deixar você ficar na posse desse 
dinheiro (que era dele) por um certo tempo. Esta remuneração é expressa 
pela taxa de juros. Existem duas formas principais, ou regimes, de 
cobrança de juros: juros simples e juros compostos. 
O regime de juros simples tem um caráter mais teórico, sendo 
utilizado mais para fins didáticos do que para fins práticos. No dia-a-dia, a 
maioria das operações realizadas pelas instituições financeiras ocorrem 
segundo o regime de juros compostos (ex.: poupança, aplicação em CDB, 
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 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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compra de títulos públicos, empréstimos e financiamentos para casa 
própria etc.). São poucas as aplicações práticas de juros simples, sendo 
elas mais restritas a operações de curto prazo (como o cálculo da multa 
por atraso no pagamento da conta de luz, que geralmente é um valor fixo 
por dia de atraso). 
 
JUROS SIMPLES – INTRODUÇÃO 
Vamos retomar o exemplo em que você contratou um empréstimo 
junto ao banco. Pode ser que fique combinado que será cobrada uma taxa 
de juros mensal apenas sobre o valor emprestado inicialmente. Não serão 
cobrados “juros sobre juros”, isto é, sobre o valor que vai sendo acrescido 
à dívida a cada mês. Neste caso, estamos diante da cobrança de juros 
simples. Para ilustrar, imagine que você pegou um capital de R$1000 
emprestados com o banco a uma taxa de juros simples de 10% ao mês, 
para pagar após 4 meses. Quanto você deverá pagar ao banco ao final 
dos 4 meses? 
Como foi contratado um empréstimo a juros simples, ao final do 
primeiro mês você deve aplicar a taxa de juros (10%) sobre o capital 
inicial (R$1000). Como 10% de 1000 é igual a 100, podemos dizer que ao 
final do primeiro mês a dívida subiu para R$1100, onde R$1000 
correspondem ao montante inicial e R$100 correspondem aos juros 
incorridos no período. Ao final do segundo mês, serão devidos mais 10% 
de 1000, ou seja, mais 100 reais. Note que os juros foram calculados 
novamente sobre o capital inicial. Ao final do terceiro e quarto meses, 
serão devidos mais 100 reais por mês. Portanto, ao final de 4 meses você 
deverá devolver ao banco o capital inicial acrescido de 4 parcelas de 100 
reais, totalizando R$1400. Deste valor, 400 reais referem-se aos juros 
(“preço” que você paga por ter ficado com 1000 reais do banco durante 4 
meses) e 1000 reais referem-se ao Principal da dívida, que é outra forma 
muito comum de designar o capital inicialmente obtido. Podemos usar 
simplesmente a fórmula abaixo: 
   (1 )M C j t 
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(leia: o montante final é igual ao capital inicial multiplicado por 1 mais o produto entre a taxa e o 
prazo) 
 
 Nessa fórmula, C é o capital inicial (R$1000), j é a taxa de juros 
(10% ao mês), t é o período analisado (4 meses), e M é o montante 
(valor total) devido ao final dos “t” períodos. Observe que a taxa de juros 
e o período analisado devem referir-se à mesma unidade temporal (neste 
caso, ambos se referem a meses). Se elas não estiverem na mesma 
unidade temporal, o primeiro passo da resolução deve ser a 
uniformização destas unidades, como veremos mais adiante neste curso. 
Usando a fórmula, temos: 
   (1 )M C j t 
M = 1000 x (1 + 10% x 4) 
M = 1000 x (1 + 40%) 
M = 1000 x (1 + 0,40) 
M = 1000 x (1,40) 
M = 1400 reais 
 
A fórmula    (1 )M C j t pode ser dividida em duas partes, tirando 
os parênteses: 
   M C C j t 
 
 Nesta fórmula, C j é o valor dos juros pagos a cada período 
(R$100), que é sempre igual. Já  C j t é o total pago na forma de juros 
(neste caso, R$400). Portanto, o valor dos juros totais devidos é 
simplesmente: 
  J C j t 
J = 1000 x 10% x 4 
J = 1000 x 40% 
J = 1000 x 0,40 
J = 400 reais 
 
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 Veja ainda que o valor dos juros totais é igual à diferença entre o 
Montante e o Capital inicial: 
J = M – C 
ou seja, 
400 = 1400 – 1000 
 
 Veja que as fórmulas apresentadas possuem 4 variáveis (C, M, j e 
t). A maioria dos exercícios envolvendo juros simples fornecerão 3 dessas 
variáveis e perguntarão a quarta. No exemplo que resolvemos acima, o 
enunciado poderia ter dito que João pegou R$1000 emprestados à taxa 
de juros simples de 10% ao mês, e perguntar quanto tempo levaria para 
que o valor devido chegasse a R$1400. Assim, você teria C = 1000, j = 
10% e M = 1400, faltando encontrar t: 
M = C x (1 + j.t) 
1400 = 1000 x (1 + 10%.t) 
1400 / 1000 = 1 + 0,10.t 
1,4 = 1 + 0,10t 
1,4 – 1 = 0,10t 
0,4 / 0,10 = t 
4 meses = t 
 
 Como a taxa de juros refere-se a meses, então t = 4 meses. 
Exercite esta fórmula resolvendo o exercício introdutório abaixo. 
 
1. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2006) Um indivíduo devia R$ 1.200,00 
três meses atrás. Calcule o valor da dívida hoje considerando juros 
simples a uma taxa de 5% ao mês, desprezando os centavos. 
a) R$ 1.380,00 
b) R$ 1.371,00 
c) R$ 1.360,00 
d) R$ 1.349,00 
e) R$ 1.344,00 
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RESOLUÇÃO: 
 Sempre comece a resolução de questões de juros identificando os 
dados fornecidos pelo enunciado. No caso, temos uma dívida inicial C = 
1200 reais, que rendeu juros simples à taxa j = 5% ao mês, durante o 
prazo t = 3 meses. O enunciado solicita o valor da dívida hoje, isto é, o 
montante final desta aplicação. A fórmula básica de juros simples é: 
M = C x (1 + j x t) 
 
 Substituindo os valores fornecidos pelo enunciado: 
M = 1200 x (1 + 5% x 3) 
M = 1200 x (1 + 0,05 x 3) 
M = 1200 x (1,15) 
M = 1380 reais 
 Assim, a dívida hoje totaliza 1380 reais. 
Resposta: A 
 
JUROS COMPOSTOS – INTRODUÇÃO 
 Vamos retornar à situação na qual você contratou um empréstimo 
junto ao banco. Ao invés de combinar que será cobrada uma taxa de 
juros mensal apenas sobre o valor emprestado inicialmente, pode ficar 
decidido que os juros calculados a cada mês incidirão sempre sobre o 
total da dívida no mês anterior. Neste caso, estamos diante da cobrança 
de juros compostos. Vamos ilustrar melhor usando os mesmos números 
anteriores: você pegou um capital de R$1000 emprestado com o banco a 
uma taxa de juros compostos de 10% ao mês, para pagar após 4 meses. 
Quanto você deverá pagar aobanco ao final dos 4 meses? 
Repare que agora você precisa calcular os juros sobre o total da 
dívida no mês anterior. Portanto, ao final do primeiro mês, você deve 
aplicar a taxa de juros (10%) sobre a dívida que você possuía um mês 
antes, ou seja, o capital inicial (R$1000). Como 10% de 1000 é igual a 
100, podemos dizer que ao final do primeiro mês a dívida subiu para 
R$1100, onde R$1000 corresponde ao capital inicial e R$100 
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correspondem aos juros incorridos no período. Até aqui temos os mesmos 
valores do regime de juros simples. Na hora de calcular os juros do 2º 
mês, aí sim temos uma diferença, pois agora você deve calcular 10% 
sobre o total da dívida no mês anterior, que agora soma R$1100, e não 
apenas R$1000. Calculando 10% de 1100, você tem R$110, que são os 
juros do segundo mês. Portanto, neste momento a dívida chega a 1100 + 
110 = R$1210. Ao final do terceiro mês devemos calcular 10% de 1210 
(dívida no mês anterior), que é 121 reais, de modo que a dívida chega a 
1210 + 121 = 1331 reais. No final do 4º mês devemos obter 10% de 
1331, que é R$133,10, de modo que a dívida chega a 1331 + 133,1 = 
R$1464,10. Portanto, ao final de 4 meses você deverá devolver ao banco 
R$1464,10, que é a soma da dívida inicial (R$1000) e de juros de 
R$464,10. Repare que este valor é superior aos R$400 reais de juros 
devidos no regime simples. 
Para calcular diretamente o valor do montante final (M) devido em 
uma aplicação do capital inicial (C) por um determinado prazo (t) a uma 
determinada taxa de juros (j), basta usar a fórmula: 
M = C x (1 + j)t 
 
 Neste caso, teríamos C = 1000 reais, t = 4 meses, e j = 10% ao 
mês. Novamente, observe que a unidade temporal do prazo (“meses”) é 
igual à unidade temporal da taxa de juros (“ao mês”), o que nos permite 
aplicar diretamente a fórmula: 
M = 1000 x (1 + 10%)4 
M = 1000 x (1 + 0,10)4 
M = 1000 x (1,10)4 
M = 1000 x 1,4641 
M = 1464,10 reais 
 Repare que a etapa mais complicada do cálculo é elevar 1,10 à 4ª 
potência. Falaremos sobre isso logo adiante. Por agora, note ainda que: 
Juros = Montante final – Capital inicial 
J = M – C 
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J = 1464,1 – 1000 
J = 464,10 reais 
 
 No regime de Juros simples vimos que a fórmula J = C x j x t nos 
dava diretamente o valor dos Juros obtidos no período. Note que, no caso 
do regime composto, você não vai usar uma fórmula direta assim. Você 
precisará calcular o montante M, como fizemos acima, e em seguida 
calcular J = M – C para obter o valor dos juros (J). 
 Retornemos agora ao fator 1,104 que foi preciso calcular no último 
exemplo. Este fator se originou do cálculo de (1 + j)t, ou melhor, (1 + 
10%)4. Chamamos o termo (1 + j)t de fator de acumulação de capital. 
Trata-se de um fator que costuma ser fornecido em tabelas para facilitar 
os seus cálculos. Veja, por exemplo, a tabela a seguir: 
 
 Com auxílio desta tabela, podemos obter rapidamente o valor de (1 
+ 10%)4. Basta buscarmos a coluna da taxa 10% (que é última coluna da 
direita) e a linha de 4 períodos (que é a quarta linha). Com isso, 
encontramos o valor 1,4641: 
 
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- ao final do prazo total, veja que juros compostos são mais onerosos, ou 
seja, levam a um montante superior ao do regime simples. Isto vale 
desde t = 2, onde tínhamos uma dívida de 1200 no regime simples e 
1210 no regime composto. Ou seja, para t > 1, juros compostos são mais 
onerosos que juros simples. 
- não demonstraremos aqui, por simplicidade, mas grave que para t<1 
(prazos fracionários, como por exemplo 0,5 mês), juros simples são mais 
onerosos que juros compostos. 
- você reparou que na coluna de juros simples eu deixei o principal da 
dívida (1000) separado dos juros (100, 200, 300)? Isto ocorre porque no 
regime simples os juros são capitalizados (integrados ao capital) somente 
no fim do prazo. 
- na coluna do regime composto, veja que os juros são capitalizados 
(somados ao capital) no fim de cada período, e passam a render juros já 
no período seguinte. Ou seja, aqui temos o fenômeno dos juros sobre 
juros. 
- para prazos relativamente curtos (como t = 2 períodos), veja que a 
diferença entre juros simples e compostos é bem pequena. É possível até 
fazer um cálculo aproximado de juros compostos usando o regime 
simples. 
- à medida que o prazo aumenta, a diferença vai ficando cada vez maior. 
Por exemplo, se tivéssemos t = 20 meses, a dívida no regime simples 
chegaria a R$3.000, e no regime composto chegaria a R$6.727 (mais que 
o dobro!!!); 
 
 Para darmos prosseguimento em nossa comparação entre juros 
simples e juros compostos, analise por alguns momentos o gráfico abaixo. 
Nele eu reproduzi os dois investimentos que estamos trabalhando (1000 
reais, taxa de 10%, juros simples ou compostos) por um prazo de 30 
meses. Observe como o montante em cada regime evolui: 
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 Com base na figura acima, repare que: 
- o montante no regime de juros simples cresce de forma linear (isto é, 
seguindo uma linha reta). Isto ocorre porque, a cada mês, você recebe o 
mesmo valor a título de juros. Trata-se de um crescimento constante ao 
longo do tempo, pois o cálculo dos juros é feito somente com base no 
capital inicial, que não muda nunca; 
- o montante no regime de juros compostos cresce de forma exponencial. 
Repare que se trata de um crescimento que vai acelerando com o tempo. 
Ele começa de forma similar ao regime de juros simples, mas com o 
tempo vai crescendo cada vez mais rápido e se afastando da curva dos 
juros simples. O crescimento vai acelerando porque temos o efeito dos 
“juros sobre juros”, isto é, a cada mês você vai recebendo mais e mais 
juros, pois o cálculo é feito com base no valor atualizado no mês anterior, 
e não somente no capital inicial; 
 
 A título de curiosidade, após 30 meses o montante no regime 
composto é mais de 4 vezes superior ao do regime simples (R$17.449,40 
contra R$4.000,00)! Ainda como curiosidade, taxas da ordem de 10% ao 
mês são comuns nos cartões de crédito. Como a cobrança de juros é no 
regime composto, você consegue visualizar bem com este exemplo o 
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quanto é importante pagar em dia a sua fatura! Uma dívida de R$1.000 
pode chegar a R$17.449,40 em dois anos e meio... 
 Você deve estar se perguntando: por quê eu preciso saber fazer 
essas comparações? A resposta é simples: porque as provas costumam 
cobrar questões teóricas sobre matemática financeira, e não apenas 
questões de cálculo. E nas questões teóricas, assuntos como o desta 
comparação são bastante explorados! Resolva comigo este próximo 
exercício, que é muito ilustrativo: 
 
3. IDECAN – BANESTES – 2012) Em relação aos conceitos de juros 
simples e juros compostos, assinale a alternativa INCORRETA. 
 a) A formação do montante em juros simples é linear. 
 b) A formação do montante em juros compostos é exponencial. 
 c) Para um mesmo capital, uma mesma taxa e um mesmo prazo, o 
montanteobtido a juros compostos sempre será maior que o montante 
obtido a juros simples. 
 d) Determinado capital aplicado por 10 meses, à taxa mensal de juros 
simples de i%, apresentará o mesmo valor de juros para cada um dos 10 
meses. 
 e) Determinado capital aplicado por 10 meses, à taxa mensal de juros 
compostos de i%, apresentará valor diferente para os juros de cada um 
dos 10 meses. 
RESOLUÇÃO: 
 Vejamos cada afirmação separadamente: 
a) A formação do montante em juros simples é linear. 
 CORRETO. Dizer que a formação do montante é linear significa dizer 
que o montante cresce de forma constante, como uma reta crescente. É 
isso que acontece no regime de juros simples, como vimos em nosso 
gráfico. 
 
 
 
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b) A formação do montante em juros compostos é exponencial. 
 CORRETO. No regime composto o montante é gerado pela 
multiplicação do capital inicial C por um fator que cresce de forma 
exponencial com o tempo: (1 + j)t 
 
c) Para um mesmo capital, uma mesma taxa e um mesmo prazo, o 
montante obtido a juros compostos sempre será maior que o montante 
obtido a juros simples. 
 ERRADO. Para t < 1, o montante gerado por juros simples é maior, 
e para t = 1 os montantes são iguais nos dois regimes. 
 
d) Determinado capital aplicado por 10 meses, à taxa mensal de juros 
simples de i%, apresentará o mesmo valor de juros para cada um dos 10 
meses. 
 CORRETO, no regime de juros simples os juros de cada período são 
calculados sobre o capital inicial, de modo que em cada período esses 
juros são iguais à multiplicação entre o capital C e a taxa de juros i%. 
 
e) Determinado capital aplicado por 10 meses, à taxa mensal de juros 
compostos de i%, apresentará valor diferente para os juros de cada um 
dos 10 meses. 
 CORRETO, pois no regime composto os juros de cada período são 
calculados sobre o montante do período anterior, que vai crescendo com 
o tempo, gerando juros cada vez maiores nos períodos seguintes. Este é 
o efeito dos “juros sobre juros”. 
Resposta: C 
 
TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES 
 Para aplicar corretamente uma taxa de juros, é importante saber a 
unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é definida. Isto é, não 
adianta saber apenas que a taxa de juros é de “10%”. É preciso saber se 
essa taxa é mensal, bimestral, anual etc. 
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 Vamos discorrer sobre dois conceitos importantíssimos na resolução 
dos exercícios: as taxas de juros equivalentes e as taxas proporcionais. 
 Dizemos que duas taxas de juros são proporcionais quando 
guardam a mesma proporção em relação ao prazo. Por exemplo, 
12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre, e também é proporcional a 
1% ao mês. Para obter taxas proporcionais com segurança, basta efetuar 
uma regra de três simples. Vamos obter a taxa de juros bimestral que é 
proporcional à taxa de 12% ao ano: 
12% ao ano ----------------------------------- 1 ano 
Taxa bimestral ---------------------------------- 2 meses 
 
 Substituindo 1 ano por 12 meses, para deixar os valores da coluna 
da direita na mesma unidade temporal, temos: 
 
12% ao ano ----------------------------------- 12 meses 
Taxa bimestral ---------------------------------- 2 meses 
 
 Efetuando a multiplicação cruzada, temos: 
12% x 2 = Taxa bimestral x 12 
Taxa bimestral = 2% ao bimestre 
 
Dizemos que duas taxas de juros são equivalentes quando são 
capazes de levar o mesmo capital inicial C ao montante final M, 
após o mesmo intervalo de tempo. Por exemplo, sabemos que a taxa 
de 12% ao ano leva o capital 100 ao montante final 112 após o período 
de 1 ano. Existe uma taxa de juros mensal que é capaz de levar o mesmo 
capital inicial 100 ao montante final 112 após transcorrido o mesmo 
período (1 ano, ou 12 meses). Esta é a taxa mensal que é equivalente à 
taxa anual de 12%, motivo pelo qual vamos chamá-la de jeq. Podemos 
obtê-la substituindo t = 12 meses, C = 100 e M = 112 na fórmula de 
juros simples: 
M = C x (1 + j x t) 
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112 = 100 x (1 + jeq x 12) 
112 / 100 = (1 + jeq x 12) 
1,12 = 1 + jeq x 12 
1,12 – 1 = jeq x 12 
0,12 = jeq x 12 
0,12 / 12 = jeq 
0,01 = jeq 
1% ao mês = jeq 
 
 Portanto, a taxa de 1% ao mês leva o mesmo capital C ao mesmo 
montante final M que a taxa de 12% ao ano, desde que considerado o 
mesmo intervalo de tempo (ex.: 1 ano ou 12 meses, 2 anos ou 24 meses 
etc). Assim, 1%am é equivalente a 12%aa no regime de juros simples. 
 Note que já havíamos calculado que essas mesmas taxas (1%am e 
12%aa) eram proporcionais entre si. Quando trabalhamos com juros 
simples, taxas de juros proporcionais são também taxas de juros 
equivalentes. Essa informação é importantíssima, pois em muito 
simplifica o cálculo de taxas equivalentes quando estamos no regime de 
juros simples. Isto é, neste regime de juros, 1% ao mês, 6% ao semestre 
ou 12% ao ano são proporcionais, e levarão o mesmo capital inicial C ao 
mesmo montante M após o mesmo período de tempo. 
 
 Sobre este tema, tente resolver as questões abaixo. 
 
4. CESPE – PREFEITURA DE SÃO PAULO – 2016) A prefeitura de 
determinada cidade celebrou convênio com o governo federal no valor de 
R$ 240.000,00 destinados à implementação de políticas públicas voltadas 
para o acompanhamento da saúde de crianças na primeira infância. 
Enquanto não eram empregados na finalidade a que se destinava e desde 
que foram disponibilizados pelo governo federal, os recursos foram 
investidos, pela prefeitura, em uma aplicação financeira de curto prazo 
que remunera à taxa de juros de 1,5% ao mês, no regime de 
capitalização simples. 
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De acordo com as informações do texto, a taxa de juros anual equivalente 
à taxa de remuneração da aplicação financeira escolhida pela prefeitura é 
A) inferior a 5%. 
B) superior a 5% e inferior a 10%. 
C) superior a 10% e inferior a 15%. 
D) superior a 15% e inferior a 20%. 
E) superior a 20% 
RESOLUÇÃO: 
 Se estamos falando do regime de capitalização simples, é preciso 
lembrar que taxas proporcionais são também equivalentes. A taxa anual 
que é proporcional a 1,5% ao mês é simplesmente 12 x 1,5% = 18% ao 
ano (afinal um ano tem 12 meses). Esta é também a taxa equivalente, o 
que permite marcar a letra D. 
 Você poderia também montar a seguinte regra de três: 
1,5% ------------------- 1 mês 
j ---------------------- 12 
 
1,5% x 12 = j x 1 
18% ao ano = j 
Resposta: D 
 
5. FGV – ISS/CUIABÁ – 2014) O número de meses necessários para 
que um investimento feito na poupança triplique de valor (assumindo que 
esta remunere à taxa de 6% ao ano, no regime de juros simples) é de 
(A) 34. 
(B) 200. 
(C) 333. 
(D) 400. 
(E) 500. 
RESOLUÇÃO 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΑ 
Lembrando que 6% ao ano corresponde a 6% / 12 = 0,5% ao mês 
no regime de juros simples, e que para um capital C triplicar ele deve 
atingir o montante M = 3C, temos: 
M = C x (1 + j x t) 
3C = C x (1 + 0,5% x t) 
3 = 1 x (1 + 0,005 x t) 
3 = 1 + 0,005 xt 
2 = 0,005 x t 
t = 2 / 0,005 
t = 2000 / 5 
t = 400 meses 
Resposta: D 
 
TAXA MÉDIA E PRAZO MÉDIO 
 Imagine que você resolva aplicar o seu dinheiro disponível não em 1 
investimento apenas, mas sim em vários investimentos diferentes, com 
taxas de juros simples distintas, porém todos com o mesmo prazo. 
Exemplificando, vamos imaginar que você tenha 1000 reais e resolva 
fazer os 3 investimentos abaixo: 
- 500 reais à taxa de 10% ao mês, por 3 meses; 
- 300 reais à taxa de 5% ao mês, por 3 meses; 
- 200 reais à taxa de 20% ao mês, por 3 meses. 
 
 Seria possível aplicar todo o dinheiro (1000 reais) em um único 
investimento, pelos mesmos 3 meses, de modo a obter o mesmo valor a 
título de juros. A taxa de juros desse investimento único é chamada de 
taxa de juros média (jm). 
Os juros simples gerados por cada investimento podem ser 
calculados através da fórmula J C j t   . Nesse caso, teríamos: 
1
2
3
500 0,10 3 150
300 0,05 3 45
200 0,20 3 120
J
J
J
   
   
   
 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΒ 
 Portanto, o total de juros produzidos pelos 3 investimentos foi de J 
= 315 reais. A taxa de juros média jm que, aplicada ao capital total (1000 
reais) geraria os mesmos 315 reais após t = 3 meses é: 
315 1000 3
0,105 10,50%
m
m
m
J C j t
j
j
  
  
 
 
 
 Esse cálculo pode ser resumido pela seguinte fórmula: 
1 1 2 2 3 3
1 2 3
m
C j t C j t C j tj
C t C t C t
       

     
 
 Generalizando essa fórmula para casos onde houver não apenas 3, 
mas sim “n” investimentos diferentes, temos: 
1
1
n
i i
i
m n
i
i
C j t
j
C t


 




 
 
 Veja como isso pode ser cobrado em um exercício: 
 
6. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2003) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 
3.500,00, R$4.000,00 e R$ 3.000,00 são aplicados a juros simples 
durante o mesmo prazo às taxas mensais de 6%, 4%, 3% e 1,5%, 
respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação destes 
capitais. 
a) 2,9% 
b) 3% 
c) 3,138% 
d) 3,25% 
e) 3,5% 
RESOLUÇÃO: 
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 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΓ 
 Chamando de “t” o prazo de aplicação de cada um dos capitais, 
podemos obter a taxa média diretamente através da fórmula: 


 




1
1
n
i i
i
m n
i
i
C j t
j
C t
 
          

   
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4( )
m
C j t C j t C j t C j t
j
C C C C t
 
      

  
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4( )
m
C j C j C j C j
j
C C C C
 
      

  
2500 0,06 3500 0,04 4000 0,03 3000 0,015
2500 3500 4000 3000m
j 

455
13000m
j 
 0,035mj 
 3,5%mj 
 Ou seja, poderíamos simplesmente aplicar todo o capital à taxa de 
3,5%, e obteríamos o mesmo rendimento conseguido nos quatro 
investimentos descritos no enunciado. 
Resposta: E 
 
 Agora imagine que você tem os mesmos 1000 reais e pretenda 
colocá-los em 3 investimentos distintos, todos com a mesma taxa de 
juros simples de 10% ao mês, porém cada um com um prazo diferente: 
- 500 reais à taxa de 10% ao mês, por 3 meses; 
- 300 reais à taxa de 10% ao mês, por 2 meses; 
- 200 reais à taxa de 10% ao mês, por 5 meses. 
 Seria possível investir todo o dinheiro (1000 reais) em uma única 
aplicação, com a taxa de juros de 10% ao mês, por um tempo tm , de 
modo a obter o mesmo valor a título de juros. Esse prazo é denominado 
de prazo médio. Para obtê-lo, novamente vamos calcular os juros de cada 
aplicação com a fórmula J C j t   : 
 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヰ 
1
2
3
500 0,10 3 150
300 0,10 2 60
200 0,10 5 100
J
J
J
   
   
   
 
 
 Assim, o total de juros produzidos pelos três investimentos foi de J 
= 310 reais. Podemos obter o prazo médio tm que todo o capital (1000 
reais) precisaria ficar investido, à taxa j = 10% ao mês: 
310 1000 0,10
3,1 meses
m
m
m
J C j t
t
t
  
  

 
 
Esse cálculo pode ser resumido pela seguinte fórmula: 
1 1 2 2 3 3
1 2 3
m
C j t C j t C j tt
C j C j C j
       

     
 
 Generalizando essa fórmula para casos onde houver “n” 
investimentos diferentes, temos: 
1
1
n
i i
i
m n
i
i
C j t
t
C j


 



 
 Vejamos uma questão sobre o assunto: 
 
7. ESAF – RECEITA FEDERAL – 2002) Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 
3.000,00, R$ 1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, 
juros simples, durante dois, três, quatro e seis meses, respectivamente. 
Obtenha o prazo médio de aplicação destes capitais. 
a) quatro meses 
b) quatro meses e cinco dias 
c) três meses e vinte e dois dias 
d) dois meses e vinte dias 
e) oito meses 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヱ 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos calcular o valor dos juros ganhos em cada investimento, 
utilizando a fórmula J C j t   : 
1
2
3
4
2000 0,04 2 160
3000 0,04 3 360
1500 0,04 4 240
3500 0,04 6 840
J
J
J
J
   
   
   
   
 
 
 Assim, os juros totais somaram 1600 reais. O prazo médio “tm” é 
aquele após o qual, aplicando todo o capital (10000) à taxa de 4% dada 
no enunciado, leva aos mesmos juros totais. Isto é, 
 
1600 10000 0,04 mt   
4mt  meses 
Resposta: A 
 Obs.: se preferir usar a fórmula: 
 
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4( )
m
C j t C j t C j t C j tt
C C C C j
          

   
 
 
2000 0,04 2 3000 0,04 3 1500 0,04 4 3500 0,04 6
(2000 3000 1500 3500) 0,04m
t           
   
 
 
4mt  
 
JUROS EXATOS, COMERCIAIS E BANCÁRIOS 
 Em alguns exercícios temos que trabalhar com prazos expressos em 
dias. Neste caso, precisamos saber como converter uma taxa de juros 
expressa em outra unidade temporal (ex.: 10% ao ano) para uma taxa 
diária. Temos três formas básicas de fazer isso: 
 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヲ 
1- considerando que o mês tem a quantidade exata de dias (de 28 a 31 
dias, conforme o caso) e o ano tem 365 dias (ou 366, se bissexto). Neste 
caso, estamos trabalhando com juros exatos. Ex.: a taxa diária que é 
proporcional a 10% ao ano, em juros exatos, é igual a 10% 0,02739%
365
 ao 
dia. 
 
2- considerando que o mês tem 30 dias, e o ano tem 360 dias. Neste 
caso, estamos trabalhando com juros comerciais (ou ordinários). Ex.: a 
taxa diária que é proporcional a 10% ao ano é igual a 10% 0,0277%
360
 ao 
dia. 
 
3- considerar a taxa de juros com base no ano comercial (360 dias) e o 
prazo de aplicação com base no tempo exato (número de dias): trata-se 
dos juros bancários. 
 
 Vejamos como isso pode ser cobrado. 
 
8. FCC – SEFAZ/PB – 2006) Certas operações podem ocorrer por um 
período de apenas alguns dias, tornando conveniente utilizar a taxa diária 
e obtendo os juros segundo a convenção do ano civil ou do ano comercial. 
Então, se um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 5 dias à taxa de 
juros simples de 9,3% ao mês, em um mês de 31 dias, o módulo da 
diferença entre os valores dos juros comerciais e dos juros exatos é 
(A) R$ 37,50 
(B) R$ 30,00 
(C) R$ 22,50 
(D) R$ 15,00 
(E) R$ 7,50 
RESOLUÇÃO: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ;┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲン 
 Ao trabalhar com juros comerciais, consideramos que cada mês 
possui 30 dias. Assim, 5 dias correspondem a 5/30 mês, isto é, 1/6 mês. 
Deste modo, os juros da aplicação seriam: 
 
J = C x j x t = 15000 x 9,3% x (1/6) = 232,5 reais 
 
 Já ao trabalhar com juros exatos, devemos considerar o número de 
dias de cada mês, que neste caso é igual a 31. Deste modo, os 5 dias 
correspondem a 5/31 mês. Os juros da aplicação seriam: 
 
J = C x j x t = 15000 x 9,3% x (5/31) = 225 reais 
 
 A diferença entre as duas formas de cálculo é de 232,5 – 225 = 7,5 
reais. 
Resposta: E 
 
JUROS COMPOSTOS – CÁLCULO DO PRAZO DE APLICAÇÃO 
As questões que versam a respeito de juros compostos costumam 
seguir a mesma linha: apresentam 3 das 4 variáveis e pedem para você 
calcular a restante. Como o prazo (“t”) está no expoente, será preciso 
trabalhar com potências e raízes, e em alguns casos com o logaritmo. 
Sobre logaritmos, a propriedade mais importante a ser lembrada é 
que, sendo dois números A e B, então: 
log AB = B x log A 
(o logaritmo de A elevado ao expoente B é igual a multiplicação de B pelo 
logaritmo de A) 
 
 Esta propriedade é útil quando nosso objetivo é encontrar o valor 
do prazo “t”, que se encontra no expoente da fórmula   (1 )tM C j . 
Imagine que vamos investir C = 2000 reais a uma taxa composta j = 2% 
ao mês, e pretendemos obter o triplo do valor inicial, ou seja, M = 6000 
reais. Veja como obter o prazo deste investimento: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヴ 
M = C x (1 + j)t 
6000 = 2000 x (1 + 0,02)t 
6000 / 2000 = 1,02t 
3 = 1,02t 
 
 Aplicando o logaritmo aos dois lados dessa igualdade, temos: 
log 3 = log 1,02t 
 
 O enunciado normalmente fornecerá o valor de alguns logaritmos. 
Digamos que seja informado que log 3 = 0,477, e que log 1,02 = 0,0086. 
Antes de utilizar esses valores, devemos lembrar que log AB = B x log A, 
ou seja, log 1,02t = t x log 1,02. Assim: 
log 3 = t x log 1,02 
0,477 = t x 0,0086 
t = 0,477 / 0,0086 
t = 55,46 meses 
 
Portanto, é preciso investir os 2000 reais por mais de 55 meses para 
obter o valor pretendido. 
 
TAXAS NOMINAIS, EFETIVAS E EQUIVALENTES 
 Para aplicar corretamente uma taxa de juros compostos, é 
importante saber: 
- a unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é definida. Isto é, não 
adianta saber apenas que a taxa de juros é de “10%”. É preciso saber se 
essa taxa é mensal, bimestral, anual etc. 
- de quanto em quanto tempo os juros devem ser calculados e seu valor 
incorporado no total devido. Este é o período de capitalização. Por 
exemplo, se tivermos juros com capitalização semestral, isso quer dizer 
que a cada semestre os juros devem ser calculados, e o valor calculado 
deve ser acrescido à dívida. 
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 Em regra, a unidade de tempo sobre a qual a taxa de juros é 
definida é a mesma do período de capitalização. Ex.: 10% ao mês com 
capitalização mensal (isto é, calculados a cada mês), 12% ao ano com 
capitalização anual etc. Quando isso acontece, temos uma taxa de juros 
efetiva, isto é, uma taxa de juros que efetivamente corresponde à 
realidade da operação. Nestes casos normalmente omite-se a informação 
sobre o período de capitalização, dizendo-se apenas “10% ao mês” ou 
“12% ao ano”. 
 Porém podemos ter uma taxa de juros de 10% ao ano com 
capitalização semestral. Neste caso, a unidade de tempo sobre a qual a 
taxa de juros é definida (ao ano) é diferente do período de capitalização 
(a cada semestre). Assim, essa é chamada taxa de juros de nominal, pois 
ela precisará ser “adaptada” para então ser utilizada nos cálculos. 
 Quando temos uma taxa de juros nominal, é preciso obter a taxa 
efetiva para só então efetuar os cálculos devidos. Isto é muito simples, 
pois basta uma simples divisão, de modo a levar a taxa de juros para a 
mesma unidade de tempo da capitalização. Veja alguns exemplos: 
- Taxa nominal de 10% ao ano com capitalização semestral: como a taxa 
é anual, devemos dividi-la por 2 (pois 1 ano possui 2 semestres) para 
chegar à taxa efetiva de 5% ao semestre. 
- Taxa nominal de 6% ao semestre com capitalização mensal: basta 
dividir a taxa por 6 (afinal temos 6 meses em 1 semestre) para obter a 
taxa efetiva de 1% ao mês. 
 
 Resumidamente, temos até aqui os seguintes conceitos: 
a) Taxa de juros efetiva: é aquela onde o período de capitalização é 
igual da unidade temporal da taxa (10% ao ano, com capitalização 
anual). 
b) Taxa de juros nominal: é aquela onde o período de capitalização é 
diferente da unidade temporal da taxa (10% ao ano, com capitalização 
bimestral). 
 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヶ 
 Vamos relembrar ainda dois conceitos vistos anteriormente, que são 
importantíssimos na resolução dos exercícios, e que geralmente são 
cobrados juntos dos que acabamos de ver: as taxas de juros equivalentes 
e as taxas proporcionais. 
Dizemos que duas taxas de juros são equivalentes quando são 
capazes de levar o mesmo capital inicial C ao montante final M, 
após o mesmo intervalo de tempo. Por exemplo, sabemos que a taxa 
de 12% ao ano leva o capital C ao montante final 1,12C após o período 
de 1 ano. Existe uma taxa de juros mensal que é capaz de levar o mesmo 
capital inicial C ao montante final 1,12C após transcorrido o mesmo 
período (1 ano, ou 12 meses). Esta é a taxa mensal que é equivalente à 
taxa anual de 12%, motivo pelo qual vamos chamá-la de jeq. Podemos 
obtê-la substituindo t = 12 meses e M = 1,12C na fórmula de juros 
compostos: 
 
  
  
 
 
   
12
12
1
12
1
12
(1 )
1,12 (1 )
1,12 (1 )
1 1,12
1,12 1 0,0095 0,95%
t
eq
eq
eq
eq
eq
M C j
C C j
j
j
j
 
 
 Portanto, uma taxa de juros de 0,95% ao mês é equivalente a uma 
taxa de juros anual de 12% ao ano, pois ambas levam o mesmo capital 
inicial C ao mesmo montante final M após o mesmo período transcorrido. 
 Tendo uma taxa de juros compostos “j”, é possível obter uma 
equivalente “jeq” através da fórmula: 
(1 ) (1 )eqt teqj j   
 
 Em nosso exemplo, teríamos teq = 12 meses, j = 12% ao ano, e t = 
1 ano. Portanto: 
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12 1
1
12
1
12
(1 ) (1 12%)
1 (1,12)
(1,12) 1 0,0095 0,95%
eq
eq
eq
j
j
j am
  
 
   
 
 
 Obs.: fique tranquilo, pois em sua prova você nunca precisará 
calcular algo como à mão. 
 Veja a seguir dois exercícios sobre o assunto: 
 
9. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) 
 
A taxa efetiva anual de juros correspondente à taxa nominal de 12% ao 
ano, capitalizada mensalmente, monta a: 
(A) 12,68% 
(B) 12,75% 
(C) 12,78% 
(D) 12,96% 
(E) 13,03% 
RESOLUÇÃO: 
 Essa questão é sobre juros simples ou compostos? Esta é uma 
dúvida que pode surgir em muitas questões, e você deve estar atento às 
dicas que eu vou passar ao longo da aula para facilitar essa identificação. 
Nesta questão, saiba que a palavra “capitalizada” já nos remete ao 
regime de juros compostos. Isto porque “capitalizar” juros significa 
“incluir os juros no capital”, que é exatamente o que acontece no regime 
de juros compostos. 
Uma vez identificado o regime de juros, veja que temos uma taxa 
anual com capitalizaçãomensal. Basta dividi-la por 12 para obter a taxa 
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efetiva, uma vez que temos 12 meses em 1 ano. Assim, 12% ao ano, 
capitalizada mensalmente, corresponde à taxa efetiva de 1% ao mês. 
 Para obter o valor da taxa anual equivalente a esta, basta 
lembrarmos que, após o mesmo período (1 ano, ou 12 meses) as duas 
taxas devem levar o mesmo capital inicial C ao mesmo montante final M: 
(1 ) (1 ) eqtt eqM C j C j      
12 1(1 1%) (1 )eqC C j     
 
 Observe que na fórmula da esquerda temos a taxa mensal (1%) e o 
tempo em meses (12), já na da direita temos a taxa anual equivalente 
(jeq) e o tempo em anos (1). Cortando a variável C, temos: 
12
12
(1 1%) (1 )
(1,01) 1
eq
eq
j
j
  
 
 
 
 Para auxiliar as nossas contas, o exercício disse que (1,01)11 = 
1,1157. Basta multiplicarmos este valor por 1,01 e teremos (1,01)12: 
12(1,01) 1,01 1,1157 1,1268   
 Assim, 
12(1,01) 1 1,1268 1 0,1268 12,68% . .eqj a a      
Resposta: A 
 
10. FCC – Banco do Brasil – 2006) A taxa efetiva trimestral referente 
a uma aplicação foi igual a 12%. A correspondente taxa de juros nominal 
(i) ao ano, com capitalização mensal, poderá ser encontrada calculando: 
 
RESOLUÇÃO: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲΓ 
 Lembrando que 1 trimestre é equivalente a 3 meses, então a taxa 
mensal equivalente à taxa de 12% ao trimestre é dada por: 
1 3(1 12%) (1 )eqj   
1/3(1,12) 1eqj   
 
 Para obtermos a taxa anual nominal que é correspondente a esta 
taxa efetiva mensal, basta multiplicá-la por 12. Assim, temos: 
1/3
min 12 [(1,12) 1]no alj    
Resposta: C 
 
 Dizemos ainda que duas taxas de juros são proporcionais 
quando guardam a mesma proporção em relação ao prazo. Por 
exemplo, 12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre, e também é 
proporcional a 1% ao mês. Para obter taxas proporcionais com 
segurança, basta efetuar uma regra de três simples. Vamos obter a taxa 
de juros bimestral que é proporcional à taxa de 12% ao ano: 
 
12% ao ano ----------------------------------- 1 ano 
Taxa bimestral ---------------------------------- 2 meses 
 
 Substituindo 1 ano por 12 meses, para deixar os valores da coluna 
da direita na mesma unidade temporal, temos: 
 
12% ao ano ----------------------------------- 12 meses 
Taxa bimestral ---------------------------------- 2 meses 
 
 Efetuando a multiplicação cruzada, temos: 
 
12% x 2 = Taxa bimestral x 12 
Taxa bimestral = 2% ao bimestre 
 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヰ 
 Quando trabalhamos com juros simples, taxas de juros 
proporcionais são também taxas de juros equivalentes. Entretanto, isto 
não é verdade no regime de juros compostos, ou seja, taxas 
proporcionais não necessariamente são também equivalentes (em regra 
elas não são equivalentes). 
 
TAXAS DE INFLAÇÃO. TAXA REAL E APARENTE. 
Quando aplicamos certa quantia em um investimento, ela renderá 
juros ao longo do tempo. Isto é, o nosso capital irá crescer. Entretanto, 
uma parte deste crescimento é “corroída” pela inflação. Isto é, apesar do 
nosso investimento ter certo rendimento nominal, ou aparente, é preciso 
tirar deste valor o que foi corroído pela inflação, restando o rendimento 
real. 
A fórmula abaixo relaciona o rendimento nominal, ou aparente (ou 
taxa de juros nominal/aparente) jn com a taxa de juros real jreal, de 
acordo com a taxa de inflação “i”: 
(1 ) (1 )
(1 )
n
real
j j
i

 

 
 Exemplificando, se a inflação é de 5% ao ano, e o nosso rendimento 
foi remunerado à taxa de juros jn = 8% ao ano, então o rendimento real 
do investimento foi de: 
(1 8%) (1 )
(1 5%)
1,08 (1 )
1,05
1,028 1
0,028 2,8%
real
real
real
real
j
j
j
j

 

 
 
 
 
Portanto, a taxa de juros real do investimento foi de apenas 2,8%, 
pois boa parte do rendimento nominal serviu apenas para repor a inflação 
do período. 
Veja a questão abaixo: 
 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヱ 
11. FCC – SEFAZ/SP – 2010) Um investidor aplicou o capital de R$ 
24.000,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a taxa 
real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período 
correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O 
montante resgatado pelo investidor foi de 
(A) R$ 27.060,00 
(B) R$ 27.000,00 
(C) R$ 26.460,00 
(D) R$ 26.400,00 
(E) R$ 25.800,00 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que a taxa real de juros foi jreal = 10% e a taxa de inflação foi i 
= 2,5%. Utilizando a fórmula que vimos, podemos obter a taxa de juros 
aparente jn: 
(1 ) (1 )
(1 )
n
real
j j
i

 

 
(1 ) (1 10%)
(1 2,5%)
nj  

 
1 1,025 1,10 1,1275nj    
0,1275 12,75%nj   
 Portanto, o capital de 24000 reais rendeu 12,75% no período, 
chegando ao montante de: 
M = 24000 x (1 + 12,75%) = 27060 reais 
Resposta: A 
 
 
 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンン 
- Taxas equivalentes: levam o mesmo capital inicial C ao mesmo 
montante final M após o mesmo período de tempo: 
- para juros simples, basta calcular a taxa proporcional 
- para juros compostos, temos: (1 ) (1 )eqt teqj j   
 
- taxa de juros média de diversas aplicações com mesmo prazo t: 


 




1
1
n
i i
i
m n
i
i
C j t
j
C t
 
 
- prazo médio de diversas aplicações à mesma taxa j: 


 




1
1
n
i i
i
m n
i
i
C j t
t
C j
 
 
- juros exatos: são calculados usando meses com 28 a 31 dias, ano com 
365 ou 366 dias (conforme o calendário); 
 
- juros comerciais (ordinários): meses com 30 dias, ano com 360 dias; 
 
- relação entre as taxas de juros real, nominal/aparente e inflação: 
nominal(1 )(1 )
(1 )real
jj
i

 

 
- para usar logaritmos, lembre-se que: 
- logAb = b x logA; 
- log(A / B) = logA – logB; 
- “sinais” que indicam o regime de juros a ser utilizado: 
- taxas médias ou prazos médios  juros simples; 
- logaritmos  normalmente juros compostos. 
 
 
 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヴ 
 
12. FEPESE – ISS/FLORIANÓPOLIS – 2014) A quantia de R$ 750,00 
é aplicada em um investimento que rende juros simples mensais. Se ao 
final de 5 meses o montante total investido (capital inicial + juros) é igual 
a R$800,00, então a taxa de juros simples mensais que a aplicação rende 
é: 
a. ( ) Menor do que 1%. 
b. ( ) Maior do que 1% e menor do que 1,25%. 
c. ( ) Maior do que 1,25% e menor do que 1,5%. 
d. ( ) Maior do que 1,5% e menor do que 1,75%. 
e. ( ) Maior do que 1,75%. 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui temos: 
M = C x (1 + j x t) 
800 = 750 x (1 + j x 5) 
j = 1,33% ao mês 
Resposta: C 
 
13. FEPESE – ISS/FLORIANÓPOLIS – 2014) A taxa de juros simples 
mensais de 4,25% é equivalente à taxa de: 
a. ( ) 12,5% trimestral. 
b. ( ) 16% quadrimestral. 
c. ( ) 25,5% semestral. 
d. ( ) 36,0% anual. 
e. ( ) 52% anual. 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ;┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヵ 
RESOLUÇÃO: 
 Em juros simples, taxas proporcionais são também equivalentes. 
Assim, 4,25% ao mês equivale a: 
4,25% x 3 = 12,75% ao trimestre 
4,25% x 4 = 17% ao quadrimestre 
4,25% x 6 = 25,5% ao semestre 
4,25% x 12 = 51% ao ano 
Resposta: C 
 
14. FUNCAB – ISS/SALVADOR – 2014) Calcule os juros obtidos em 
um empréstimo de R$ 30.000,00, a uma taxa de juros de 8% ao mês, ao 
final de cinco trimestres, no regime de juros simples. 
a) R$ 12.000,00 
b) R$ 24.000,00 
c) R$ 36.000,00 
d) R$ 30.000,00 
e) R$ 18.000,00 
RESOLUÇÃO: 
J = C x j x t 
J = 30000 x 8% x 15 
J = 36.000 reais 
Resposta: C 
 
15. FCC – SEFAZ/RJ – 2014) A aplicação de um capital sob o regime 
de capitalização simples, durante 10 meses, apresentou, no final deste 
prazo, um montante igual a R$ 15.660,00. A aplicação de um outro 
capital de valor igual ao dobro do valor do capital anterior sob o regime 
de capitalização simples, durante 15 meses, apresentou, no final deste 
prazo, um montante igual a R$ 32.480,00. Considerando que as duas 
aplicações foram feitas com a mesma taxa de juros, então a soma dos 
respectivos juros é igual a 
(A) R$ 6.660,00 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヶ 
(B) R$ 3.480,00 
(C) R$ 4.640,00 
(D) R$ 5.600,00 
(E) R$ 6.040,00 
RESOLUÇÃO: 
 Seja P o valor do primeiro capital. Logo, o segundo capital é igual a 
2P (pois é o dobro do primeiro). Na fórmula de juros simples, temos: 
M = C x (1 + j x t) 
 
 Para a primeira aplicação, temos montante M = 15.660,00 e prazo t 
= 10 meses, portanto: 
15.660 = P x (1 + j x 10) 
 
 Na segunda aplicação temos M = 32.480,00 e t = 15 meses. A taxa 
de juros é a mesma (j), e o capital inicial é o dobro do primeiro (2P). 
Assim, 
32.480 = 2P x (1 + j x 15) 
 
 Na primeira equação obtida, podemos isolar a variável P, ficando 
com: 
15660
1 10
P
j


 
 
 Substituindo P pela expressão acima, na segunda equação, temos: 
1566032480 2 (1 15 )
1 10
j
j
   

 
 
32480 (1 10 ) 2 15660 (1 15 )j j      
 
32480 + 324800j = 31320 + 469800j 
32480 – 31320 = 469800j – 324800j 
1160 = 145000j 
j = 0,008 
j = 0,8% 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΑ 
 
 Com isso podemos obter o valor do capital P: 
15660
1 10
P
j


 
15660
1 10 0,008
P
 
 
P = 14500 reais 
 O capital da segunda aplicação é o dobro (2P), ou seja, 29000 reais. 
Podemos agora calcular os juros obtidos em cada uma das aplicações, 
lembrando que a fórmula J = C x j x t relaciona os juros obtidos com o 
capital aplicado (C), a taxa de juros (j) e o prazo da aplicação (t): 
Jprimeira aplicação = 14500 x 0,008 x 10 = 1160 reais 
Jsegunda aplicação = 29000 x 0,008 x 15 = 3480 reais 
 
 Portanto, a soma dos juros é igual a 1160 + 3480 = 4640 reais. 
Resposta: C 
 
16. FCC – SEFAZ/SP – 2013) Em 17/01/2012, uma pessoa tomou R$ 
20.000,00 emprestados do Banco A, por um ano, a juro simples, à taxa 
de 4% ao mês. Após certo tempo, soube que o Banco B emprestava, a 
juros simples, à taxa de 3% ao mês. Tomou, então, R$ 20.000,00 
emprestados do Banco B até 17/01/2013 e no mesmo dia liquidou sua 
dívida com o Banco A. Em 17/01/2013, os juros pagos aos Bancos A e B 
totalizaram R$ 8.200,00. O número de meses correspondente ao prazo de 
segundo empréstimo é 
(A) 4 
(B) 5 
(C) 6 
(D) 7 
(E) 8 
RESOLUÇÃO: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΒ 
Entre 17/01/2012 e 17/01/2013 temos 12 meses. Chamando de “t” 
meses o período de empréstimo no banco A, o período de empréstimo no 
banco B será “12 – t” meses, pois juntos esses dois períodos 
compreendem 1 ano, ou 12 meses: 
 
 
Pelo regime simples, os juros de uma operação são dados pela 
fórmula J = C x j x t, onde C é o capital inicial, j é a taxa de juros e 
t é o prazo de aplicação. Assim, os juros pagos a cada banco foram de: 
JA = 20000 x 4% x t = 800t 
JA = 20000 x 0,04 x t = 800t 
 
JB = 20000 x 3% x (12 – t) 
JB = 20000 x 0,03 x (12 – t) 
JB = 600 x (12 – t) 
JB = 7200 – 600t 
 
 A soma dos juros foi de 8200 reais, ou seja: 
JA + JB = 8200 
800t + (7200 – 600t) = 8200 
200t = 1000 
t = 5 meses 
 
Assim, o número de meses correspondente ao prazo de segundo 
empréstimo é de: 
12 – t = 
12 – 5 = 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΓ 
7 meses 
Resposta: D 
 
17. FUNDATEC – CAGE/SEFAZ/RS – 2014) Um investidor do mercado 
financeiro pretende duplicar o seu capital inicial. Sabendo que a taxa de 
juros ofertada no mercado é de 9% ao ano calcule o número de meses 
necessários para atingir esse objetivo admitindo que a aplicação foi feita 
sob o regime de capitalização mensal simples? 
a) 11,11 meses 
b) 24 meses 
c) 129,66 meses 
d) 133,33 meses 
e) 135,82 meses 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo C o capital inicial, o montante deve ser o dobro, ou seja, M = 
2C. Como estamos no regime de juros simples, podemos transformar a 
taxa j = 9% ao ano para j = 9% / 12 = 0,75% ao mês, afinal taxas 
proporcionais são também equivalentes no regime simples. Assim, 
M = C x (1 + j x t) 
2C = C x (1 + 0,75% x t) 
2 = 1 + 0,0075 x t 
1 = 0,0075t 
t = 1/0,0075 
t = 10000 / 75 
t = 400 / 3 
t = 133,33 meses 
Resposta: D 
 
18. FUNDATEC – CAGE/SEFAZ/RS – 2014) Quando um empréstimo é 
contratado a juros simples e é pago em uma única parcela, pode-se 
afirmar com relação aos juros que: 
a) Serão maiores que a parcela. 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヰ 
b) Serão proporcionais ao prazo. 
c) Serão maiores que o capital do empréstimo. 
d) Serão menores que o capital do empréstimo. 
e) São variáveis e decrescentes com relação ao prazo. 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que os juros são dados por J = C x j x t no regime 
simples. Repare nesta fórmula que os juros totais (J) são diretamente 
proporcionais ao prazo (t) do empréstimo. Temos isso na alternativa B. 
 A alternativa A está errada, afinal os juros podem ser maiores ou 
menores que o capital inicial, a depender do prazo e da taxa. Isso 
também torna as alternativas C e D erradas. E a alternativa E está errada 
porque os juros são CRESCEM com o prazo. 
Resposta: B 
 
19. FUNDATEC – CAGE/SEFAZ/RS – 2014) O valor futuro de uma 
aplicação de R$15.000,00, cuja capitalização é simples, com taxa de juro 
de 15% ao ano, ao final de dois anos é de 
a) R$ 17.250,00. 
b) R$ 17.500,00. 
c) R$ 18.000,00. 
d) R$ 19.250,00. 
e) R$ 19.500,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui temos: 
M = C x (1 + j x t) 
M = 15000 x (1 + 15% x 2) 
M = 19500 reais 
Resposta: E 
 
20. FCC – SEFAZ/PI – 2015) Se Ricardo aplicar 75% de seu capital, 
durante 6 meses, poderá resgatar no final de 6 meses o montante 
correspondente a R$ 16.302,00. Se ele aplicar o restante do capital, 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヱ 
durante 8 meses, poderá resgatar no final de 8 meses o montante 
correspondente a R$ 5.512,00. Ricardo, então, decide aplicar todo o 
capital, durante 10 meses, resgatandotodo o montante no final de 10 
meses. Considerando que as aplicações são realizadas sob o regime de 
capitalização simples e com a mesma taxa de juros, o montante que ele 
resgatará no final de 10 meses será de 
(A) R$ 21.500,00 
(B) R$ 22.037,50 
(C) R$ 22.198,75 
(D) R$ 22.360,00 
(E) R$ 23.650,00 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo R o capital de Ricardo, podemos chamar de 0,75xR a parte 
correspondente a 75% do capital, e de 0,25xR os outros 25% do capital. 
Assim, temos as aplicações: 
M = C x (1 + j x t) 
16.302 = 0,75xR x (1 + j x 6) 
5.512 = 0,25xR x (1 + j x 8) 
 
 Dividindo a primeira equação pela segunda, temos: 
16.302 0,75 (1 6)
5.512 0,25 (1 8)
R j
R j
   

   
 
 
 Podemos cortar o fator R no numerador e no denominador, do lado 
direito da igualdade acima, ficando com: 
16.302 0,75 (1 6)
5.512 0, 25 (1 8)
j
j
  

  
 
16.302 3 (1 6)
5.512 (1 8)
j
j
  

 
 
3 (1 6)2,95755
(1 8)
j
j
  

 
 
 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヲ 
2,95755 / 3 = (1 + j x 6) / (1 + j x 8) 
 
0,98585 = (1 + j x 6) / (1 + j x 8) 
 
0,98585 x (1 + j x 8) = (1 + j x 6) 
 
0,98585 + j x 8 x 0,98585 = (1 + j x 6) 
 
0,98585 + j x 7,88679 = 1 + j x 6 
 
j x 7,88679 - j x 6 = 1 - 0,98585 
 
j = (1 - 0,98585) / (7,88679 - 6) 
 
j = 0,0075 
 
j = 0,75%a.m. 
 
 Podemos descobrir o capital R usando a equação: 
5.512 = 0,25xR x (1 + j x 8) 
 
5.512 = 0,25xR x (1 + 0,0075 x 8) 
 
5.512 = 0,25xR x (1 + 0,06) 
 
5.512 = 0,25xR x (1,06) 
 
5.512 / (0,25 x 1,06) = R 
 
20.800 = R 
 
 Queremos aplicar todo o capital R pelo prazo de 10 meses. Assim: 
M = R x (1 + j x 10) 
 
M = 20.800 x (1 + 0,0075 x 10) 
 
M = 22.360 reais 
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Resposta: D 
 
 
21. FUNDATEC – SEFAZ/RS – 2014) Márcia de Lurdes aplicou R$ 
10.000,00 em um título de renda fixa que rende juros simples. Após 15 
meses, ela resgatou R$ 12.250,00. Qual a taxa de juros simples 
proporcionada por essa aplicação financeira? 
A) 1,23% ao mês. 
B) 1,36% ao mês. 
C) 1,50% ao mês. 
D) 21,36% ao ano. 
E) 22,50% ao ano. 
RESOLUÇÃO: 
M = C x (1 + j x t) 
12250 = 10000 x (1 + j x 15) 
j = 1,5% ao mês 
Resposta: C 
 
22. FUNCAB – SEPLAG/MG – 2014) O período necessário para que 
uma importância aplicada a juros simples de 12,5% ao ano quadruplique 
de valor é de: 
A) 24 anos. 
B) 12 anos. 
C) 32 anos. 
D) 28 anos. 
RESOLUÇÃO: 
 Para um capital inicial C quadruplicar, é preciso que o montante 
final seja M = 4xC. Assim, 
M = C x (1 + j x t) 
4C = C x (1 + 12,5% x t) 
4 = (1 + 12,5% x t) 
4 – 1 = 12,5% x t 
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3 = 0,125t 
t = 3 / 0,125 
t = 24 anos 
Resposta: A 
 
23. FGV – BANCO DO NORDESTE – 2014) Francisco estava devendo 
R$ 2.100,00 à operadora do cartão de crédito, que cobra taxa mensal de 
juros de 12%. No dia do vencimento pagou R$ 800,00 e prometeu não 
fazer nenhuma compra nova até liquidar com a dívida. No mês seguinte, 
no dia do vencimento da nova fatura pagou mais R$ 800,00 e, um mês 
depois, fez mais um pagamento terminando com a dívida. Sabendo que 
Francisco havia cumprido a promessa feita, o valor desse último 
pagamento, desprezando os centavos, foi de: 
(A) R$ 708,00 
(B) R$ 714,00 
(C) R$ 720,00 
(D) R$ 728,00 
(E) R$ 734,00 
RESOLUÇÃO 
 Inicialmente Francisco devia 2100 reais. Ele pagou 800 reais, 
ficando com uma dívida de 2100 – 800 = 1300 reais. Como disse o 
enunciado, ele não fez nenhuma compra nova até liquidar com a dívida. 
 No mês seguinte, no dia do vencimento da nova fatura pagou mais 
R$ 800,00. Ocorre que a dívida de 1300 reais havia crescido 12%, ou 
seja, ela estava em: 
1300 x (1 + 12%) = 
1300 x 1,12 = 
1456 reais 
 
 Assim, com este pagamento de 800 reais, a dívida caiu para: 
1456 – 800 = 656 reais 
 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
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 No decorrer do próximo período esta dívida cresceu 12%, chegando 
a: 
656 x (1 + 12%) = 
656 x 1,12 = 
734,72 reais 
 
 Neste momento foi feito mais um pagamento terminando com a 
dívida. Ou seja, fica claro que este último pagamento foi no valor de 
R$734,72. Desprezando os centavos, podemos marcar a alternativa E. 
Resposta: E 
 
24. VUNESP – MP/SP – 2016) Gabriel aplicou R$ 3.000,00 a juro 
simples, por um período de 10 meses, que resultou em um rendimento de 
R$ 219,00. Após esse período, Gabriel fez uma segunda aplicação a juro 
simples, com a mesma taxa mensal da anterior, que após 1 ano e 5 
meses resultou em um rendimento de R$ 496,40. O valor aplicado por 
Gabriel nessa segunda aplicação foi 
(A) R$ 5.500,00. 
(B) R$ 6.000,00. 
(C) R$ 4.500,00. 
(D) R$ 4.000,00. 
(E) R$ 5.000,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Na primeira aplicação temos: 
J = C x j x t 
219 = 3000 x j x 10 
219 / 30000 = j 
j = 0,0073 = 0,73% ao mês 
 
 Na segunda aplicação temos 17 meses (1 ano e 5 meses) e 
rendimento de 496,40 reais. 
J = C x j x t 
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496,40 = C x 0,0073 x 17 
C = 4000 reais 
Resposta: D 
25. FGV – TJ/PI – 2015) Teófilo pagou sua fatura do cartão de crédito 
com atraso. Por esse motivo, foram cobrados 12% de juros e Teófilo 
pagou o total de R$ 672,00. Se Teófilo tivesse pago sua fatura sem 
atraso, o valor seria: 
(A) R$ 591,36; 
(B) R$ 600,00; 
(C) R$ 602,54; 
(D) R$ 610,00; 
(E) R$ 612,64. 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui podemos equacionar: 
Valor pago = Valor original x (1 + 12%) 
672 = Valor original x 1,12 
Valor original = 672 / 1,12 = 67200 / 112 = 33600 / 56 
Valor original = 16800 / 28 = 8400 / 14 = 4200 / 7 
Valor original = 600 reais 
Resposta: B 
 
26. FGV – PREFEITURA DE NITERÓI – 2015) Para pagamento de 
boleto com atraso em período inferior a um mês, certa instituição 
financeira cobra, sobre o valor do boleto, multa de 2% mais 0,4% de 
juros de mora por dia de atraso no regime de juros simples. Um boleto 
com valor de R$ 500,00 foi pago com 18 dias de atraso. O valor total do 
pagamento foi: 
(A) R$ 542,00; 
(B) R$ 546,00; 
(C) R$ 548,00; 
(D) R$ 552,00; 
(E) R$ 554,00. 
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RESOLUÇÃO: 
 Veja que 2% de 500 reais são 0,02 x 500 = 2 x 5 = 10 reais, que é 
a multa. E 0,4% de 500 é igual a 0,004 x 500 = 0,4 x 5 = 2 reais. Como 
o atraso foi de 18 dias, temos uma cobrança de juros de mora de 2 x 18 
= 36 reais. 
 O valor pago é: 
Total = 500 + multa + juros = 500 + 10 + 36 = 546 reais 
Resposta: B 
 
27. VUNESP – TJ/SP – 2015) Aluísio e Berilo aplicaram, 
respectivamente, R$4.000,00 e R$ 5.000,00 a uma mesma taxa mensal 
de juros simples durante quatro meses. Se o valor dos juros recebidos 
por Berilo foi R$ 50,00 maior que o valor dos juros recebidos por Aluísio, 
então a taxa anual de juros simples dessas aplicações foi de 
(A) 10,8%. 
(B) 12%. 
(C) 12,6%. 
(D) 14,4%. 
(E) 15%. 
RESOLUÇÃO: 
 No regime de juros simples, a fórmula que relaciona o total de juros 
J recebido com o capital inicial C, a taxade juros j e o prazo de aplicação 
t é: 
J = C x j x t 
 
 Sabemos que o total recebido por Berilo é 50 reais maior que o total 
recebido por Aluísio, ou seja: 
JBerilo = JAluísio + 50 
5.000xjx4 = 4.000xjx4 + 50 
20.000j = 16.000j + 50 
20.000j - 16.000j = 50 
4.000j = 50 
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j = 50 / 4.000 
j = 5 / 400 
j = 1 / 80 
j = 0,0125 
j = 1,25% ao mês 
 
 Para obtermos a taxa anual basta multiplicar essa taxa mensal por 
12 meses: 
j = 1,25% x 12 = 15% ao ano 
Resposta: E 
 
28. FCB – CFC – 2015) Uma Sociedade Empresária não conseguiu 
liquidar uma duplicata dentro do prazo de vencimento, e o fornecedor 
enviou a duplicata para cobrança em cartório. Foram cobrados juros 
simples à taxa de 1% ao mês, além de uma taxa de cobrança no valor de 
R$150,00. A duplicata venceu há 14 meses. O valor da duplicata era de 
R$12.000,00 na data de vencimento. 
Considerando os dados acima, o valor atualizado da duplicata, a 
ser pago no cartório, é de: 
a) R$13.680,00. 
b) R$13.743,69. 
c) R$13.830,00. 
d) R$13.943,69. 
RESOLUÇÃO: 
 Considerando os juros incidentes, temos: 
M = C x (1 + jxt) 
M = 12.000 x (1 + 1%x14) 
M = 12.000 x (1 + 0,01x14) 
M = 12.000 x (1 + 0,14) 
M = 12.000 x (1,14) 
M = 13.680 reais 
 
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 Adicionando os 150 reais da taxa de cobrança, temos o valor total 
de 13.680 + 150 = 13.830 reais. 
Resposta: C 
29. FGV – DPE/MT – 2015) O cartão de crédito usado por João cobra 
10% de juros ao mês. Certa época, João recebeu a fatura do cartão no 
valor de R$ 520,00 e, na data do pagamento, depositou apenas 20% 
desse valor. Durante os 30 dias seguintes João fez apenas uma compra 
com esse cartão no valor de R$ 66,40 e pagou integralmente a próxima 
fatura, liquidando sua dívida com o cartão. O valor depositado por João 
para liquidar sua dívida com o cartão foi de 
(A) R$ 482,40. 
(B) R$ 489,04. 
(C) R$ 524,00. 
(D) R$ 534,40. 
(E) R$ 541,04. 
RESOLUÇÃO: 
 Como João pagou 20 por cento da fatura ele ficou com uma dívida 
correspondente a 80 por cento da fatura, ou seja, 80%x520 = 0,80x520 
= 416 reais. Ao longo do mês essa dívida foi acrescida em 10 por cento, 
chegando a 416x(1+10%) = 416x1,10 = 457,60 reais. Somando os 
66,40 reais gastos no mês, ficamos com uma dívida de 457,60 + 66,40 = 
524,00 reais. Este é o valor que deve ser pago para liquidar a dívida com 
o cartão. 
Resposta: C 
 
30. CESGRANRIO – PETROBRAS – 2015) As operadoras de cartões de 
crédito, em geral, cobram 12% ao mês por atrasos no pagamento. No 
caso de atrasos superiores a 1 mês, o sistema utilizado é o de juros 
compostos e, no caso de atrasos inferiores a 1 mês, utiliza-se o sistema 
de juros simples. O vencimento da fatura de um cliente é no dia 5, mas 
ele só receberá o pagamento de seu salário no dia 15 do mesmo mês, 
quando, então, fará o pagamento da fatura com atraso de 10 dias. 
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Se a fatura desse cliente é de R$ 900,00, quanto ele pagará, em reais, de 
juros? 
(A) 108 
(B) 72 
(C) 36 
(D) 18 
(E) 12 
RESOLUÇÃO: 
 Temos um atraso de 10 dias, ou 10/30 = 1/3 de mês comercial. 
Como esse prazo é inferior a um mês devemos usar o sistema de juros 
simples. Nesse período teremos capital C = 900 reais rendendo uma 
taxa de juros j = 12% ao mês. O total de juros devidos será igual a: 
J = C x j x t 
J = 900 x 12% x 1/3 
J = 300 x 0,12 
J = 3 x 12 
J = 36 reais 
Resposta: C 
 
31. FGV – ISS/Cuiabá – 2016) Nesta questão considere apenas a 
parte inteira da resposta. As taxas efetivas trimestrais equivalentes a 
uma taxa nominal de 3% ao trimestre, sob capitalizações mensal e 
bimestral, são iguais, respectivamente, a 
(A) 3% e 3%. 
(B) 3% e 2%. 
(C) 3% e 1%. 
(D) 1% e 2%. 
(E) 2% e 2%. 
RESOLUÇÃO: 
Uma taxa nominal de 3%at com capitalização mensal corresponde à 
taxa efetiva de 3% / 3 = 1%am. Para obter a taxa trimestral equivalente, 
temos: 
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(1 + j)t = (1 + jeq)teq 
 
Como t = 3 meses corresponde a teq = 1 trimestre: 
(1 + 1%)3 = (1 + jeq)1 
1,013 = 1 + jeq 
1,0303 = 1 + jeq 
jeq = 0,0303 = 3,03% ao trimestre (aproximadamente 3%). 
 
Podemos obter a taxa efetiva bimestral que corresponda a uma taxa 
nominal de 3%at com capitalização bimensal assim: 
3% ——— 3 meses 
j ———— 2 meses 
 
Resolvendo a proporção acima, temos j = 2% ao bimestre. 
 Para obter a taxa trimestral equivalente, temos: 
(1 + j)t = (1 + jeq)teq 
 
Como teq = 1 trimestre corresponde a t = 1,5 bimestre: 
(1 + 2%)1,5 = (1 + jeq)1 
1,021,5 = 1 + jeq 
1,02(1+0,5) = 1 + jeq 
1,02¹ x 1,020,5 = 1 + jeq 
 
Veja que 1,020,5 é a raiz quadrada de 1,02, que é aproximadamente 
1,01 (pois 1,01×1,01 = 1,0201). Assim, temos: 
1,02 x 1,01 = 1 + jeq 
1,0302 = 1 + jeq 
jeq = 3,02% ao trimestre (aproximadamente 3%). 
Resposta: A 
 
32. FGV – ISS/NITERÓI – 2015) Uma aplicação de R$ 10.000,00, 
após dois meses, resultou em um montante de R$ 14.210,00. 
Considerando a incidência de imposto sobre o rendimento de 30% e a 
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taxa mensal de inflação de 10%, a taxa de juros real durante o período 
de aplicação foi: 
(A) 7,0%; 
(B) 7,5%; 
(C) 8,0%; 
(D) 8,5%; 
(E) 9,0%. 
RESOLUÇÃO: 
Temos um ganho de R$4.210 reais. Como deve ser pago 30% de 
imposto, então o ganho líquido é de 70% x 4.210 = 0,70 x 4.210 = 7 x 
421 = 2.947 reais. Isso corresponde a um ganho percentual de 2.947 / 
10.000 = 0,2947 = 29,47%. Portanto, esta é a nossa taxa aparente ou 
nominal (jn). Sendo a inflação de 10% ao mês, ao longo de 2 meses esta 
inflação é de 21% (basta obter a taxa bimestral equivalente a 10% ao 
mês). 
Assim, podemos obter a taxa real do período lembrando que: 
(1 + taxa real) = (1 + taxa aparente) / (1 + inflação) 
(1 + taxa real) = (1 + 29,47%) / (1 + 21%) 
(1 + taxa real) = 1,2947 / 1,21 
(1 + taxa real) = 1,07 
taxa real = 0,07 = 7% 
Resposta: A 
 
33. FGV – ISS/NITERÓI – 2015) Um empréstimo por dois meses 
utilizando o regime de juros compostos de 10% ao mês equivale a um 
empréstimo utilizando o regime de juros simples, pelo mesmo período, 
de: 
(A) 9,0% ao mês; 
(B) 9,5% ao mês; 
(C) 10,0% ao mês; 
(D) 10,5% ao mês; 
(E) 11,0% ao mês. 
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RESOLUÇÃO: 
 No regime composto sabemos que em 2 meses com taxa de 10%am 
temos o total de 21% de juros. Basta usar um exemplo simples, partindo 
de um capital de 100 reais: 
M = 100 x (1 + 10%)2 = 100 x 1,102 = 100 x 1,21 = 121 reais 
 
Para obter esses mesmos 21% no regime simples basta usar a taxa de 
21% / 2 = 10,5% ao mês. 
Resposta: D 
 
34. FGV – ISS/NITERÓI – 2015) Um capital está aplicado à taxa 
nominal de 20% ao ano com capitalização trimestral. A taxa efetiva 
semestral dessa aplicação é: 
(A) 10,00%; 
(B) 10,25%; 
(C) 11,43%; 
(D) 13,78%; 
(E) 15,82%. 
RESOLUÇÃO: 
 Uma taxa nominal de 20%aacom capitalização trimestral corresponde a 
uma taxa efetiva de 20% / 4 = 5% ao trimestre (afinal temos quatro 
trimestres em um ano). Para irmos dessa taxa efetiva para outra taxa 
efetiva, porém semestral, basta calcular a taxa semestral equivalente a 
5% ao trimestre: 
(1 + j)t = (1 + jeq)teq 
 
Lembrando que teq = 1 semestre corresponde a t = 2 trimestres, temos: 
(1 + 5%)2 = (1 + jeq)1 
(1,05)2 = 1 + jeq 
1,1025 = 1 + jeq 
jeq = 1,1025 – 1 = 0,1025 = 10,25% ao semestre 
Resposta: B 
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35. FGV – ISS/NITERÓI – 2015) Os juros sobre uma dívida são 
cobrados utilizando a convenção linear. A dívida será paga após um ano e 
meio, e a taxa de juros compostos anunciada pela instituição financeira é 
de 20% ao ano. A porcentagem de juros cobrados em relação ao principal 
é: 
(A) 20%; 
(B) 21%; 
(C) 30%; 
(D) 31%; 
(E) 32%. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja C a dívida inicial. Temos um prazo de t = 1,5 ano e taxa composta 
de j = 20% ao ano. Na convenção linear, começamos usando a fórmula 
de juros compostos, considerando apenas a parte inteira do prazo (t = 1 
ano): 
M = C x (1 + j)t 
M = C x (1 + 20%)1 
M = 1,20C 
 
Em seguida, aplicamos juros simples pela parte fracionária do prazo (t = 
0,5 ano). Agora nosso capital inicial é 1,20C, que é o montante da 
primeira etapa: 
M = (1,20C) x (1 + j x t) 
M = (1,20C) x (1 + 20% x 0,5) 
M = (1,20C) x (1 + 10%) 
M = (1,20C) x 1,10 
M = 1,32 C 
 
Portanto, veja que temos um ganho de 0,32C, ou 32% do capital inicial 
(ou principal). 
Resposta: E 
 
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36. FGV – ISS/NITERÓI – 2015) Foi realizado um investimento com 
um principal de R$ 10.000,00, gerando um montante de R$ 14.400,00, 
em dois anos. Considerando o regime de juros compostos, esse 
investimento rendeu no ano a taxa de: 
(A) 19,5%; 
(B) 20,0%; 
(C) 21,5%; 
(D) 22,0%; 
(E) 22,5%. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos: 
M = C x (1 + j)t 
14.400 = 10.000 x (1 + j)2 
1,44 = (1 + j)2 
1,22 = (1 + j)2 
1,2 = 1 + j 
j = 1,2 – 1 
j = 0,2 
j = 20% ao ano 
Resposta: B 
 
37. FGV – ISS/NITERÓI – 2015) Um capital será aplicado por um ano. 
O regime de capitalização será composto, sendo que incidirão duas taxas 
de juros semestrais, pagas ao final de cada semestre. Sabendo-se que as 
duas taxas de juros praticadas precisam somar 12%, a melhor escolha 
para a taxa do primeiro semestre, do ponto de vista do investidor, é: 
(A) 0% ao semestre; 
(B) 1% ao semestre; 
(C) 6% ao semestre; 
(D) 9% ao semestre; 
(E) 12% ao semestre. 
RESOLUÇÃO: 
MATEMÁTICA Pっ TJどPR 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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Sabemos que a soma das taxas do primeiro e segundo semestres 
deve ser 12%. Assim, para cada alternativa de resposta podemos calcular 
o fator de acumulação de capital. 
A) 0% ao semestre –> neste caso, a taxa do segundo semestre deve ser 
de 12%, para que a soma das duas taxas seja 12%. Assim, ao longo dos 
dois semestres temos uma rentabilidade total expressa por 
(1 + 0%) x (1 + 12%) – 1 = 1,00×1,12 – 1 = 0,12 = 12% 
 
B) 1% ao semestre –> no segundo semestre a taxa será de 11%, 
ficando: 
(1 + 1%) x (1 + 11%) – 1 = 1,01 x 1,11 – 1 = 1,1211 – 1 = 12,11% 
 
C) 6% ao semestre –> aqui ficamos com: 
(1 + 6%) x (1 + 6%) – 1 = 1,06 x 1,06 – 1 = 1,1236 – 1 = 12,36% 
 
D) 9% ao semestre –> aqui temos: 
(1 + 9%) x (1 + 3%) – 1 = 1,09 x 1,03 – 1 = 1,1227 – 1 = 12,27% 
 
E) 12% ao semestre –> ficamos com: 
(1 + 12%) x (1 + 0%) – 1 = 1,12 x 1,00 – 1 = 0,12 = 12% 
 
Claramente a maior taxa é a da letra C, que é a melhor opção para 
o investidor. 
Resposta: C 
 
38. FGV – ISS/NITERÓI – 2015) Um empréstimo por dois anos 
utilizando o regime de juros simples de 150% ao ano equivale a um 
empréstimo utilizando o regime de juros compostos, pelo mesmo período, 
de: 
(A) 100% ao ano; 
(B) 125% ao ano; 
(C) 150% ao ano; 
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(D) 175% ao ano; 
(E) 200% ao ano. 
RESOLUÇÃO: 
Um empréstimo de 2 anos a juros simples de 150% ao ano renderá ao 
todo 300%. Para obter essa mesma rentabilidade a juros compostos, a 
taxa anual deve ser tal que: 
(1 + 300%) = (1 + jeq)2 
4 = (1 + jeq)2 
2 = 1 + jeq 
1 = jeq 
100% ao ano = jeq 
Resposta: A 
 
39. FGV – ISS/NITERÓI – 2015) Uma aplicação de R$ 10.000,00 foi 
resgatada ao final de um ano gerando um montante de R$ 12.000,00. 
Nas datas de aplicação e resgate, os números índices de preços - base 
fixa eram 200 e 210, respectivamente. A taxa real de juros recebida 
nessa aplicação durante o ano foi, aproximadamente: 
(A) 5%; 
(B) 7%; 
(C) 10%; 
(D) 14%; 
(E) 20%. 
RESOLUÇÃO: 
Veja que houve um ganho de 2.000 reais, que corresponde ao 
ganho percentual de 2.000 / 10.000 = 20%. Este é o ganho aparente, ou 
taxa aparente. 
 
O índice de inflação aumentou 10 pontos no período (de 200 para 
210), o que corresponde a um aumento percentual de 10 / 200 = 5 / 100 
= 5%. Esta é a taxa de inflação. 
 
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Podemos rapidamente encontrar a taxa real: 
(1 + taxa real) = (1 + taxa aparente) / (1 + inflação) 
1 + taxa real = (1 + 20%) / (1 + 5%) = 
1,20 / 1,05 = 120 / 105 = 
24 / 21 = 8 / 7 = 1,143 
taxa real = 0,143 
taxa real = 14,3% 
Resposta: D 
 
40. FGV – ISS/NITERÓI – 2015) Um empréstimo é oferecido de tal 
forma que os juros são cobrados antecipadamente, ou seja, no ato do 
empréstimo. Se forem cobrados juros de taxa de j% ao período e, se a 
cobrança dos juros for antecipada, a taxa de juros cobrada é: 
(A) j * (1-j); 
(B) j / (1+j); 
(C) j * (1+j); 
(D) j / (1-j); 
(E) (1-j) * (1+j) 
RESOLUÇÃO: 
Temos a cobrança antecipada de uma taxa de j% ao período. Isto 
significa que, se queremos pegar um empréstimo de valor inicial C por um 
período, os juros de valor J = C.j serão cobrados no momento inicial do 
empréstimo. Assim, eu vou sair do banco não com o valor C em mãos, 
mas com C – C.j, pois já pagarei os juros neste momento. Ao final do 
prazo, o montante M que eu precisarei pagar será simplesmente igual ao 
capital C, pois os juros já foram pagos antecipadamente. Em síntese, 
tenho uma operação onde o capital inicial é C – C.j, ou C.(1 – j) e o 
montante final é C. Na fórmula de juros, para 1 período, 
Montante = Capital x (1 + taxa) 
C = [C.(1 – j)] x (1 + taxa) 
1 = (1 – j) x (1 + taxa) 
1 / (1 – j) = 1 + taxa 
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1 / (1 – j) – 1 = taxa 
taxa = 1 / (1 – j) – (1 – j) / (1 – j) 
taxa = (1 – 1 + j) / (1 – j) 
taxa = j / (1 – j) 
 
Essa é a taxa efetivamente cobrada. Para ilustrar melhor, suponha 
que eu pegue 100 reais de empréstimo com taxa de j = 20% ao período. 
Eu deveria pagar 20 reais de juros neste caso. Como os juros são pagos 
antecipadamente, na verdade eu saio do banco com 100 – 20 = 80 reais 
inicialmente, e pago ao final os 100 reais (pois os juros já foram pagos no 
início). Assim, podemos calcular a taxa efetivamente praticada nesta