Geometria e Desenho Geométrico

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GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO
CAPÍTULO 1 – CONCEITOS INICIAIS DA 
GEOMETRIA: COMO DIALOGAR COM ELES 
EM ESPAÇOS GEOMÉTRICOS?
Eric Zettermann Dias de Azevedo
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Introdução
Neste capítulo, vamos acompanhar a construção de muitos conceitos da Geometria que você já está
familiarizado. A Geometria que aprendemos na fase escolar leva em consideração várias verdades que nunca
paramos para pensar. Por exemplo, é bem natural acharmos que por dois pontos passa apenas uma reta. Você,
no entanto, já refletiu o porquê de isso ser assim? É o que faremos neste texto, vamos tentar construir um início
da teoria que embasa toda a Geometria Plana.
Você sabe o que são axiomas? Sabe como começar uma teoria? Essas perguntas nortearão a nossa caminhada. E,
como vamos ver, para se começar alguma teoria, precisamos de algumas peças iniciais. Aqui, aparecerão os
famosos entes primitivos da Geometria: o ponto, a reta e o plano. Como definir esses termos? Quais as primeiras
relações entre eles? Com isso, será dado o empurrão inicial para começarmos a construir nossa teoria, e a partir
daí, vamos acrescentando mais e mais peças (teoremas) que a deixarão cada vez mais complexa.
Toda essa construção é baseada em deduções lógicas. Vamos demonstrar vários teoremas com informações
anteriores e utilizar o raciocínio para construir novos caminhos. É importante reparar em como as
demonstrações são construídas e estruturadas. Vai ajudar você a criar suas próprias demonstrações no futuro.
Vamos começar?
1.1 O plano, retas e pontos - I
O que são pontos? O que são retas? E o que é plano? São os chamados termos primitivos, eles não são definidos
de fato, por que ainda não se tem teoria para falar sobre eles. À medida que a teoria vai ganhando forma, vamos
conseguir saber melhor o que esses termos podem ou não ser. Aqui, vamos pensar no ponto como algo
indivisível, a menor parte do todo. A reta pode ser entendida como uma linha que tem apenas comprimento: sem
largura e sem espessura. O plano é o todo: tem comprimento e largura (EUCLIDES, 2009).
Outro termo primitivo é a relação de incidência. Um ponto é incidente a uma reta quando ele pertence a ela.
Também dizemos que a reta passa pelo ponto ou que o ponto está na reta. Perceba que estamos tentando definir
termos indefiníveis, mas é apenas para você se orientar. A rigor, os termos não precisam de definição. E agora
que já temos as peças, vamos montar nossa teoria?
VOCÊ SABIA?
O jogo “The Vish Game” se baseia na incapacidade da nossa língua de explicar as palavras
utilizando as próprias palavras. Funciona assim: você procura uma palavra qualquer no
dicionário e na definição você escolhe outra palavra para procurar o significado. Você repete
esse procedimento até conseguir um ciclo. Por exemplo: “cadeira: objeto usado para sentar”,
“objeto: algo com finalidade”, “algo: alguma coisa” e “coisa: objeto”. Aqui você chegou em um
ciclo.
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1.1.1 Axiomas de incidência
Você já ouviu falar em axiomas? Axiomas podem ser vistos como verdades aceitas. Eles funcionam como leis que
não precisam ser demonstradas. Essas afirmações são o ponto de partida de uma teoria, em que começam a se
deduzir novas afirmações, passíveis de demonstração, as quais chamamos de Teoremas. Com a exceção dos
termos primitivos, às vezes precisamos dar nomes às coisas, ou “batizar” certas relações entre os conceitos que
já temos, para isso fazemos uma definição. As definições também não têm necessidade de serem demonstradas,
pois são apenas afirmações de criação de novos entes. Por exemplo, nós sabemos que pontos e retas existem,
mas podemos definir um outro termo em relação a eles:
Definição 1.1.1 (Pontos colineares): três pontos, ou mais, são ditos colineares se a reta que passa por
dois deles também passa pelos demais.
Agora sempre que vermos essa característica descrita pela definição, vamos poder dizer que os pontos são
colineares. Caso contrário, dizemos que os pontos são não colineares (MACHADO, 2012). Estamos prestes a
conhecer nossos três primeiros axiomas. Chamamos eles de axiomas de incidência e utilizaremos a letra “I” para
numerá-los. Nos próximos tópicos, veremos também axiomas de ordem (“O”) axiomas de ângulos (“A”) e de
congruência (“C”). Os demais teoremas e definições serão indexados a partir do subitem a que eles estão.
Axioma I.1: Para cada ponto e para cada ponto , distinto de , existe uma única reta que passa por 
e .
Sim, vamos utilizar letras maiúsculas para representar pontos e minúsculas para representar as retas. Também
podemos utilizar os pontos da reta para representá-la. Por exemplo, é a única reta (segundo o axioma I.1) que
passa por e por .
Axioma I.2: para cada reta existem dois pontos distintos e incidentes à .
Esses dois axiomas se referem ao fato de que, se existem dois pontos, então existe uma reta. E se existe uma reta,
então existem dois pontos, mas ainda ficam as perguntas: existe uma reta? Existe algum ponto? As questões são
filosóficas, mas o terceiro axioma de incidência elucida:
Axioma I.3: existe uma reta e existe um ponto não incidente à .
Agora, a partir desses axiomas, vamos construir novos termos (definições) e deduzir resultados (teoremas).
Definição 1.1.2 (retas distintas): duas retas e são ditas distintas se existir um ponto em que não está
em , ou vice-versa.
Definição 1.1.3 (retas concorrentes): duas, ou mais, retas distintas são concorrentes se existir um ponto
comum incidente a todas elas.
Definição 1.1.4 (retas paralelas): duas retas são paralelas se elas não possuem ponto comum.
É normal, no início, que tenhamos que recorrer a diversas definições. Afinal, precisamos de vocabulário para
VOCÊ QUER LER?
A criação da Geometria axiomática é atribuída a Euclides (séc. III a.C.) em seu famoso livro
“Elementos” (EUCLIDES, 2009). No entanto, os axiomas e teoremas que estudaremos neste
capítulo são baseados na organização feita por David Hilbert (1862-1943) em “Fundamentos
da Geometria” (HILBERT, 2003), de 1899. Essa obra remonta à Geometria descrita
inicialmente por Euclides, porém de uma maneira mais contemporânea. Sugerimos uma
leitura superficial e curiosa do livro para uma boa noção da Geometria como ciência em
constante evolução.
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É normal, no início, que tenhamos que recorrer a diversas definições. Afinal, precisamos de vocabulário para
construir nossos resultados. Esses resultados aparecem em forma de teoremas, que, por sua vez, são afirmações
acerca dos entes e relações presentes na teoria que devem ser demonstrados. Uma demonstração consiste em
construir uma cadeia lógica dedutiva a partir de premissas verdadeiras (axiomas ou teoremas já demonstrados)
para concluir algo inédito para a teoria. A seguir, vamos enunciar nosso primeiro teorema.
Teorema 1.1.1: sejam e duas retas distintas e não paralelas, então e possuem um único ponto em
comum.
Para a demonstração, sejam e duas retas distintas e não paralelas. Primeiro: será que podemos garantir a
existência de um ponto comum entre e ? A resposta é sim. Pois se não existisse , as retas seriam paralelas e
sabemos por hipótese que elas não são.
Agora uma outra pergunta: será que além de pode existir outro ponto , distinto de , que também é comum a 
e ? Bem, se isso acontecer então teríamos que pelos pontos e passariam duas retas distintas e . Isso é uma
contradição ao axioma I.1. Logo, não é possível que exista outro ponto, além de , que seja comum às retas e .
Assim só pode existir um ponto em comum entre e , como queríamos demonstrar.
É um resultado simples que sempre entendemos como verdade. Estamos começando a ver de onde as relações
surgem dentro da Geometria.
Teorema 1.1.2: existem três pontos não colineares.
Devemos mostrar que existem três pontos não colineares. Lembre-se de que a definição 1.1.1 diz que os pontos
são colineares se a reta que passa por deles passa por todos eles. Então, para mostrar que os pontos são não
colineares, basta encontrarmos um ponto que esteja fora da reta e que passe por dois desses pontos (BRAITT;
WHITLEY, 2011).
O axiomaI.3 garante a existência de um ponto e uma reta que não passa por . O axioma I.2 garante que em 
tem dois pontos distintos e . Veja que , e são não colineares, pois não está na reta que passa por e 
(a reta ). Portanto, existem três pontos não colineares.
Teorema 1.1.3: existem três retas distintas e não concorrentes em um mesmo ponto.
Sejam , e três pontos não colineares (teorema 1.1.2). Pelo axioma I.1, temos três retas: a reta , a reta e
a reta . Será que elas são distintas? A definição 1.1.2 nos diz que para elas serem distintas é preciso que exista
um ponto de uma reta que esteja fora da outra. Observe que:
 é distinta de , pois está em , mas não está em . Se tivesse, , e seriam colineares.
 é distinta de , pois está em , mas não está em . Se tivesse, , e seriam colineares.
 é distinta de , pois está em , mas não está em . Se tivesse, , e seriam colineares.
Agora vamos provar que elas não concorrem em um único ponto. Note que é um ponto comum entre e .
Pelo Teorema 1.1.1, é o único ponto em comum entre e . Então, se as três retas concorrem em um único
ponto, esse ponto deve ser o ponto , mas não está em , então as retas não concorrem em um único ponto.
Portanto, existem três retas distintas que não concorrem em um único ponto, como queríamos demonstrar.
Figura 1 - Representação dos últimos teoremas: (a) teorema 1.1.2 e (b) teorema 1.1.3.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
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Figura 1 - Representação dos últimos teoremas: (a) teorema 1.1.2 e (b) teorema 1.1.3.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Aos poucos vamos conseguindo provar novos resultados a partir dos axiomas, definições e teoremas que já
demonstramos. Nessa logística, continuaremos a construir a Geometria.
Teorema 1.1.4: dado um ponto , existe uma reta que não passa por .
Seja um ponto qualquer, uma reta e um ponto fora dela (axioma I.3), temos dois casos: 
 está fora da reta : se estivermos nesse caso, o teorema já está demonstrado, pois não passa por ;
 está em : se estivermos nesse caso, seja um ponto dentro de e distinto de (axioma I.2). Considere a reta 
. Veja que é diferente de , pois não está em e, obviamente, está em .
Veja que não está em , pois se estivesse, teríamos duas retas distintas e determinadas pelos pontos e 
 , o que contradiz o axioma I.1. Portanto, existe uma reta que não passa por , como queríamos demonstrar.
Teorema 1.1.5: para todo ponto existem duas retas distintas passando por .
Considere como sendo qualquer ponto. Pelo teorema anterior (teorema 1.1.4), existe uma reta que não passa
por . Sejam e pontos dessa reta (axioma I.2). Veja que as retas e (axioma I.1) são distintas, pois caso
contrário os pontos seriam colineares e aí estaria em . Portanto, existem duas retas distintas passando por 
. Em uma construção axiomática é normal que a teoria fique meio abstrata. No entanto, para testarmos como
andam nossos conceitos, podemos avaliá-los utilizando modelos. Vamos propor um exemplo determinando
quem são nossos pontos e retas e explicitando como funciona a incidência de um ao outro. Se esse exemplo
satisfaz aos nossos axiomas (por enquanto temos apenas três), então estamos diante de um modelo para nossa
Geometria. Dito isso, verifique o exemplo a seguir.
Exemplo 1 – Conjuntos
Pontos: os pontos são os elementos do conjunto ;
Retas: as retas serão subconjuntos de que tem dois elementos, isto é, os conjuntos , e ;
Incidência: dizemos que um ponto é incidente a uma reta se o ponto for elemento do conjunto reta (MACHADO,
2012).
Agora vamos testar os três axiomas já enunciados.
O axioma I.1 é satisfeito, pois, dado dois pontos eles determinam uma única reta. Não existem duas retas
distintas que passam pelos mesmos dois pontos.
O axioma I.2 também é satisfeito, pois cada reta tem dois pontos distintos.
O axioma I.3 também é satisfeito, pois o ponto , por exemplo, está fora da reta .
Como os três axiomas foram satisfeitos, estamos diante de um modelo axiomático para construção ou para base
da Geometria. Assim não precisamos mostrar que todos os teoremas funcionam para o modelo, porque eles já
foram demonstrados a partir dos axiomas. Porém, se desejar, você pode testar os teoremas também, é um
exercício interessante.
A seguir, mais axiomas sobre pontos e retas. Nosso interesse é criar uma noção de ordem.
VOCÊ SABIA?
Um modelo de Geometria que não existem retas paralelas é chamado de modelo elíptico.
Aqueles modelos em que por um ponto fora de uma reta passam mais de uma paralela à reta
são os modelos hiperbólicos. E os modelos em que por um ponto fora de uma reta dada passa
apenas uma única paralela, são chamados de modelos euclidianos, devido ao axioma das
paralelas proposto por Euclides (BRAITT; WHITLEY, 2011). Pesquise por outras geometrias
para perceber o quão diferente essas construções diferem da nossa Geometria convencional.
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A seguir, mais axiomas sobre pontos e retas. Nosso interesse é criar uma noção de ordem.
1.2 O plano, reta e pontos – II
No nosso tópico anterior, vimos como os axiomas de incidência nos permitem mostrar teoremas que começam a
regular as relações entre os pontos e as retas. Todos aqueles resultados dizem respeito à incidência. Neste
tópico, vamos introduzir uma nova noção a ser percebida entre os pontos e as retas: a noção de ordem.
Como será que podemos organizar a noção de distância entre pontos? Quando que um ponto vai estar entre
outros pontos dentro de uma reta? Também veremos como utilizar a principal função do compasso: a
transferência de medidas.
1.2.1 Axiomas de métrica e ordem
Antes de mostrar mais teoremas para deixar nossa teoria mais complexa, vamos instaurar uma noção de
distância. Faremos isso com o primeiro axioma.
Axioma O.1: sejam e dois pontos do plano. Então, existe um número real associado a esse par
de pontos, tal que:
 somente quando .
É possível perceber que por trás desse axioma está a medida de um segmento, mas como não sabemos ainda o
que é um segmento, vamos definir da seguinte forma:
Definição 2.1.1 (Distância entre dois pontos): sejam e dois pontos. A distância entre e é o número
real .
Pense na situação: temos uma reta com três pontos nela, o ponto , o ponto e o ponto . Se você as desenhar
em um papel, inevitavelmente um dos pontos ficará no meio. Podemos dizer que um dos pontos ficará entre os
outros dois (definiremos isso melhor em breve). Para trabalhar com a ordem na reta de maneira rigorosa, vamos
usar a distância entre os pontos.
Figura 2 - Se três pontos estão em uma reta sabemos que, inevitavelmente, um deles estará entre os outros dois.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Definição 2.1.2: diremos que um ponto está entre os pontos e se:
 está na reta ;
.
Repare que quando estiver entre e , para ir de um até o outro, em algum momento, passaremos por 
(MACHADO, 2012). Veja também que, pela definição, só faz sentido se referir a “estar entre” se o ponto estiver
na reta . Note como o próximo axioma começa a impor uma relação de ordem dentro da reta.
Axioma O.2: se , e são pontos em uma mesma reta, então um deles, obrigatoriamente, está entre os
outros dois.
Para facilitar, vamos usar a notação para denotar que está entre e . Vamos estrear nossa notação
em um primeiro teorema.
Teorema 2.1.1: sejam , e três pontos distintos em uma mesma reta. Então:
 é o mesmo que ;
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 é o mesmo que ;
somente um dos pontos pode estar entre os outros dois.
A primeira afirmação é mais simples de demonstrar, pois temos que se , então .
Como a distância de um ponto até o outro é igual a distância do outro até o um (axioma O.1) e as distâncias são
números reais, podemos escrever:
Assim, .
A afirmação ii diz que o fato de que um ponto estar entre os outros dois exclui a possibilidade de qualquer outra
opção. Para mostrar isso, vamos supor que . Agora, suponha, por absurdo, que também ocorra 
. Então, pela definição 2.1.2, temos que:
 e que é o mesmo que .
Como aparece nos dois termos, vamos igualar. Pode parecer estranho fazer essas operações, mas não
podemosnos esquecer de que as distâncias são números reais, logo, tudo que sabemos sobre eles pode ser
utilizado por aqui.
Eliminando e sabendo que (axioma O.1), temos que:
Trata-se, porém, de uma contradição, pois estamos supondo diferente de . Logo, não pode ocorrer.
Da mesma forma, podemos mostrar que não pode ocorrer (que tal você tentar essa?). Portanto,
somente um dos pontos pode estar entre os outros dois.
O teorema 2.1.1, junto com o axioma O.2, pode nos dar o seguinte resultado (MACHADO, 2012).
Teorema 2.1.2: se três pontos estão em uma reta, então um e somente um deles está entre os outros dois.
O axioma O.2 garante que um dos pontos se encontra entre os outros dois. Ao mesmo tempo, o teorema 2.1.1
garante que esse ponto é a única possibilidade.
Com essa noção que temos até aqui, já estamos prontos para definir duas grandes ferramentas dentro da
Geometria. São elementos que provavelmente lhe são familiares.
Definição 2.1.3 (Segmentos de reta): sejam e dois pontos em uma reta. Definiremos o segmento de reta 
como sendo os pontos , e todos os pontos de , tais que .
Definição 2.1.4 (Semirreta): sejam A e B dois pontos de uma reta. Definiremos a semirreta como
sendo os pontos de e mais todos os pontos da reta, tais que .
Figura 3 - Segmento e semirreta . O que você lembra sobre eles?
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
O segmento nada mais é do que todos os pontos que estão entre e , incluindo o e o que são chamados
de extremos. Os pontos que fazem parte do segmento são chamados de interiores ao segmento e os que não
estão são ditos exteriores. A medida de um segmento é a distância entre os seus extremos e será
denotada por (MACHADO, 2012).
A semirreta é um objeto que dá uma noção de direção. Ela é o conjunto de todos os pontos da reta a partir de 
na direção de . Isso acaba dividindo a reta em duas partes (duas direções) (MACHADO, 2012). Como garantir
que existem as duas semirretas a partir de um ponto da reta? Vamos utilizar um axioma para que nossa
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que existem as duas semirretas a partir de um ponto da reta? Vamos utilizar um axioma para que nossa
Geometria tenha a garantia proposta por essa pergunta.
Axioma O.3: sejam e pontos de uma reta. Existe um ponto nessa reta, tal que .
Esse axioma garante que dados dois pontos, sempre existe mais um ponto naquela direção. Assim, já é possível
perceber que uma reta tem uma infinidade de pontos (MACHADO, 2012). Existem outras características
interessantes das semirretas que vamos garantir com o próximo axioma.
Axioma O.4: sejam e duas semirretas em uma reta em que . Então:
a união de e é a reta ;
o único ponto em comum entre e é o ponto ;
dois pontos e estão em uma mesma semirreta se não está em ;
dois pontos e estão em semirretas diferentes se está em .
Agora, uma pergunta para introduzir o último axioma de ordem na reta: se você pensar em um número real
qualquer, será que conseguiria construir um segmento que tenha exatamente essa medida? Seria uma
propriedade interessante para se incorporar à Geometria.
Axioma O.5: seja um número real. Seja uma semirreta. Existe um ponto em , tal que .
Aproveitamos este momento para analisar a ferramenta de construção geométrica denominada compasso.
Apesar da maioria das pessoas achar que ele só serve para fazer círculos, a maior utilidade de um compasso é a
transferência de medidas (PUTNOKI, 1996). Colocando a medida na abertura do compasso, podemos transferi-
la para qualquer reta do plano e isso é extremamente útil para se resolver problemas gráficos, como veremos no
decorrer deste capítulo.
Figura 4 - Com o uso do compasso, foi construído um segmento de medida na reta dada.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Já percorremos um longo caminho na construção axiomática da Geometria de Euclides. Agora que já
conseguimos medir os segmentos, vamos, a seguir, falar sobre ângulos. Você consegue imaginar quais axiomas
iremos precisar?
1.3 Ângulos
Ao final deste capítulo, vamos tratar da congruência de triângulos. Essas figuras, as mais simples da Geometria,
são formadas de segmentos (lados), mas também de ângulos.
Quais axiomas são necessários para embasar a definição dos ângulos? Como podemos fundamentar com axiomas
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Quais axiomas são necessários para embasar a definição dos ângulos? Como podemos fundamentar com axiomas
e teoremas toda a congruência?
Com os resultados sobre os ângulos, estaremos abrindo uma nova dimensão e tiraremos o foco da reta. É a nossa
construção ganhando cada vez mais atributos e consistência.
1.3.1 Axiomas de medição de ângulos
Antes mesmo de começar a tratar dos ângulos propriamente ditos, vamos enunciar um axioma que ampliará
nosso olhar para além da reta. Ainda é um axioma de ordem, mas agora relacionado ao plano (MACHADO, 2012).
Axioma O.6: seja uma reta no plano. A reta divide o plano em duas partes chamadas de semiplanos em
relação à e denotados por e . Os semiplanos em relação à satisfazem:
a união dos dois semiplanos e resulta no plano inteiro;
a única coisa em comum entre e é a reta ;
dois pontos e estão em um mesmo semiplano em relação à se e tiverem um ponto em comum;
dois pontos e estão em semiplanos distintos em relação à se e não tiverem pontos em comum.
Pensando no axioma O.3 e no teorema 1.1.4, é possível perceber que os semiplanos em relação a uma reta são
não vazios (MACHADO, 2012). Sabendo disso, podemos ficar seguros para definir os ângulos.
Figura 5 - Semiplanos em relação à . e estão em um mesmo semiplano e e estão em semiplanos opostos.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
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Definição 3.1.1 (Ângulos): um ângulo é definido como sendo o par de semirretas e com um vértice
em comum e denotado por . Diremos que é nulo se e forem coincidentes. Diremos
que é raso se e estiverem em uma mesma reta sem ser coincidentes. Se não for nulo
e nem raso, diremos que é não trivial.
Figura 6 - Exemplos de ângulos (a) não trivial, (b) nulo e (c) raso.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Quando não houver ambiguidade, o que acontece na Figura anterior, vamos usar simplesmente para denotar
o ângulo . Para definir termos como ângulos adjacentes ou pontos interiores a um ângulo, precisamos
definir a região angular de um ângulo. Para tanto, vamos usar os semiplanos relativos a uma reta.
Definição 3.1.2: seja um ângulo não trivial. Seja e A região angular de ,
denotada por , é definida pela interseção dos semiplanos e relativos às retas e ,
respectivamente. Aqui, contém o ponto e contém o ponto .
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Figura 7 - Região angular do ângulo .
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Um ponto que não está nos lados de um ângulo e muito menos na região angular dele é um ponto exterior ao
ângulo. Se estiver na região angular, mas não estiver em nenhum lado, então diremos que é interior ao
ângulo. Nesse último caso, podemos dizer que o ângulo é dividido pela semirreta que liga ao vértice do ângulo.
Dois ângulos são adjacentes se eles tiverem um lado em comum e regiões angulares disjuntas. E se forem
adjacentes, de modo que os lados não comuns estiverem na mesma reta, serão ditos suplementares.
Na notação da Figura anterior, temos que:
 é exterior ao ângulo ;
D é interior ao ângulo ;
 divide o ângulo ;
 e são adjacentes;
 e não são adjacentes, pois suas regiões angulares possuem interseção;
 e são suplementares, assim como e .
Assim como fizemos com a distância entre dois pontos, vamos criar, por meio do axioma a seguir, uma noção de
medida para ângulos. Como anteriormente, não vamos associar a medida a nenhuma unidade, mas apenas a um
número real (MACHADO, 2012). Segue, então, nosso primeiro axioma sobre ângulos.
Axioma A.1 (medida de ângulos): seja um ângulo do plano. Existe um número real que
satisfaz todas as propriedades:
 é um número entre e ;
 só é 0 se for nulo;
 só é 180 se for raso;
.
Com essa noção, podemos excluir a condição de que ângulos suplementares precisam ser adjacentes. Podemos
simplesmente definir:
Definição 3.1.2 (ângulos suplementares):dois ângulos e são ditos suplementares se 
.
O próximo axioma instaura no plano a noção de “estar entre” que vimos para a reta.
Axioma A.2:
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seja um ângulo não trivial. Seja um ponto no interior de . Então, 
;
seja um ângulo raso. Seja um ponto fora de . Então, .
O último axioma deste item diz respeito à possibilidade de criar qualquer ângulo quando nos é dada apenas a
medida dele.
Axioma A.3: seja uma semirreta. Seja um número real entre 0 e 180. Seja um dos semiplanos em
relação a . Existe um único ponto em tal que seja igual a .
Figura 8 - Dado , para cada semiplano relativo a existe um único ângulo com medida .
Fonte: Elaborado pelo o autor, 2018.
Como você deve estar percebendo, os ângulos e , na Figura são congruentes. E é isto que vamos
abordar no próximo item.
1.3.2 Congruências de segmentos e ângulos
A noção de congruência é muito usada como sinônimo de igualdade. Isso não é, necessariamente, verdade. A
congruência tem a ver com a forma e as propriedades, enquanto que a igualdade tem a ver com o conjunto de
pontos. Pense em uma profissão, como um arquiteto, por exemplo. Todos eles sabem resolver as demandas da
área como fazer projetos ou elaborar edificações, mas nenhum deles é a mesma pessoa. Como veremos até o final
deste capítulo, existem vários triângulos congruentes (têm todos os ângulos com a mesma medida e todos os
lados com a mesma medida), mas não são necessariamente triângulos formados pelos mesmos pontos
(MACHADO, 2012).
Vamos começar a explorar a congruência através dos segmentos. Como eles têm apenas uma dimensão, para que
sejam congruentes basta terem o mesmo tamanho.
Definição 3.2.1 (congruência de segmentos): dizemos que dois segmentos e são congruentes se 
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Definição 3.2.1 (congruência de segmentos): dizemos que dois segmentos e são congruentes se 
 . Nesse caso, denotaremos a congruência por .
Como a medida de um segmento vem da distância entre dois pontos, podemos mostrar que , que 
 e que se e , tem-se . Essas respectivas propriedades, chamadas de
simetria, reflexividade e transitividade, caracterizam a congruência como uma relação de equivalência
(MACHADO, 2012).
Vamos agora exemplificar o conceito de congruência falando do ponto médio, um ponto bem interessante que
costuma aparecer bastante nas construções geométricas.
Definição 3.2.2 (Ponto Médio): um ponto no interior do segmento é dito ser o ponto médio de 
se 
A seguir, vamos provar a existência e a unicidade do ponto médio.
Figura 9 - é o ponto médio do segmento .
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Teorema 3.2.1 (existência e unicidade do ponto médio): seja um segmento qualquer. Existe um único
ponto tal que é ponto médio de .
Primeiro, vamos mostrar que dado existe um ponto médio de . Seja em , tal que 
(axioma O.5).
Vamos mostrar agora que . Pelo teorema 2.1.1, existem apenas três possibilidades:
. Essa possibilidade é falsa, pois sabemos que está na semirreta ;
. Nesse caso, pela definição, teríamos que , mas ,
então teríamos
.
Isso é uma contradição, pois um segmento não pode ter medida negativa;
 É a única possibilidade possível.
Então, como está entre e temos que:
Portanto, é, de fato, o ponto médio de . Agora vamos mostrar que ele é o único. Suponha que exista 
diferente de também ponto médio de . Primeiro, vamos mostrar que está dentro de . Para os pontos 
, e temos as seguintes, e únicas, possibilidades:
. Então, teríamos . Como é ponto médio de ,temos 
. Logo, teríamos, observando a primeira igualdade, que , o que é falso;
. Então, teríamos . Como é ponto médio de ,temos 
. Logo, teríamos, observando a primeira igualdade, que , o que é, também, falso;
. É a única possibilidade.
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Como está entre , temos que = . Como e são
pontos médios, temos . Agora, vamos mostrar que e não
podem ser diferentes. Para , e , temos mais três possibilidades:
. Falso. Pois está no interior de , assim com ;
. Aqui teríamos . Mas , então . Falso;
. Aqui teríamos . Mas , então . Falso.
Como nenhuma possibilidade anterior foi possível, concluímos que deve ser igual à , como queríamos
demonstrar.
Agora, vamos olhar para a congruência de ângulos.
Definição 3.2.3 (congruência de ângulos): dois ângulos e são congruentes se eles tiverem a
mesma medida, isto é, se . Essa congruência será denotada por 
Assim como para segmentos existe o ponto médio, para ângulos também existe uma semirreta que divide o
ângulo ao meio.
Definição 3.2.4 (bissetriz): a bissetriz de um ângulo é uma semirreta em que está no interior
de com .
Na Figura que mostramos o semiplano relativo a , a semirreta é bissetriz do ângulo . 
Da mesma forma que o ponto médio, a bissetriz existe e é única para cada ângulo dado (MACHADO, 2012). A
definição a seguir nomeia um dos ângulos mais estudados em Geometria.
Definição 3.2.5 (ângulo reto): um ângulo é reto se ele é congruente ao seu suplementar.
Essa definição não é aquela que estamos acostumados a ver. Geralmente, entendemos um ângulo como aquele
que mede 90, mas isso é uma consequência desta definição.
Teorema 3.2.2: a medida de um ângulo reto é 90. Existe um ângulo reto.
Seja um ângulo reto e o seu suplementar. Como os ângulos são retos e suplementares, a definição 3.2.5
garante que e por isso . Por eles serem suplementares, temos que ,
mas , então . A existência desse ângulo é
direta do axioma A.3, sendo .
VOCÊ O CONHECE?
George Boole (1815 – 1864) é o responsável pelo fato de as demonstrações por contradição
funcionarem. A lógica booleana ou binária (verdadeiro ou falso) faz parte de suas obras “The
Mathematical Analysis of Logic” (BOOLE, 2016) e “The Laws of Thought” (BOOLE, 2007) e
ajuda a construir teorias, demonstrar teoremas e programar computadores até hoje. Boole
nasceu na Inglaterra e morreu de pneumonia na Irlanda onde foi professor da Universidade de
Queen. Além da contribuição na lógica, ele fez descobertas na área de cálculo de variações e de
equações diferenciais.
- -15
Vamos definir a seguir os ângulos opostos pelo vértice.
Definição 3.2.6 (ângulos opostos pelo vértice): dois ângulos são ditos opostos pelo vértice se possuem o
mesmo vértice e se seus lados estão sobre semirretas opostas de duas retas concorrentes.
Figura 10 - Ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Teorema 3.3.3: os ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Utilizando a notação da Figura anterior, vamos mostrar que e são congruentes. Pela definição de
ângulos opostos pelo vértice, temos que o par e , assim como o par e . Então:
Portanto, os ângulos e são congruentes, como queríamos demonstrar. Para terminar, vamos
VOCÊ QUER VER?
Um dos teoremas mais famosos que envolve o ângulo reto é o de Pitágoras que diz: em um
triângulo que tem um ângulo reto, o quadrado do maior lado é igual à soma dos quadrados dos
outros dois lados (FARIAS, 2009). Você pode aprender, ou relembrar, sobre esse teorema na
videoaula (VACCARO, 2015): < >.https://www.youtube.com/watch?v=5xnOPn2VM78
Aproveite o canal para assistir a outros vídeos sobre a Matemática em geral.
https://www.youtube.com/watch?v=5xnOPn2VM78
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Portanto, os ângulos e são congruentes, como queríamos demonstrar. Para terminar, vamos
mostrar uma construção geométrica capaz de transportar um mesmo ângulo para uma nova posição.
Figura 11 - A construção geométrica para a transferência de ângulos utiliza somente régua e compasso.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Seja um ângulo dado. Seja uma reta que não passa por nenhum lado de . Queremos construir um ângulo 
 com lado em tal que . Vamos à construção.
• Passo 1: determine em a posição de , o vértice do ângulo que queremos construir;
• Passo 2: usando o compasso com o mesmo raio faça duas circunferências iguais. Uma com centro em e 
outra com centro em . A primeira determina os pontos e nos lados de . A segunda determina o 
ponto em . (você pode escolher qualquer uma das duas interseções para ser o ponto );
• Passo 3: com centro em e raio, faça um arco. Aqui o ponto será determinado na interseção do arco 
com a circunferência;
• Passo 4: o ângulo procurado é o ângulo .
Ainda não falamos em congruência de triângulos, mas, antecipando, a construção acima funciona, pois, os
triângulos e são congruentes (todos os lados são iguais).
A exemplo da transferência de ângulos, a grande maioria das construções geométricas se baseia diretamente ou
indiretamente na congruência de triângulos. Vamos dedicar nosso próximo tópico para esse estudo.
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VOCÊ QUER LER?
Existem muitas construções geométricas que têm a ver com toda a teoria que vimos até aqui.
Como ainda não conseguimos demonstrá-las, preferimos não as apresentar. Um grande
manual de construções geométricas junto com Geometria pode ser encontrado na obra
“Elementos de Geometria & Desenho Geométrico” (PUTNOKI, 1996). Cada um dos quatro
volumes teóricos acompanha livro de atividades com exercícios para fazer usando régua e
compasso.
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1.4 Congruência de triângulos
A congruência de triângulos é a relação entre dois triângulos com as mesmas características das congruências
entre segmentos e ângulos. Ou seja, queremos ser capazes de comparar dois triângulos e dizer que, apesar de
não serem iguais, por não serem os mesmos pontos do plano, se comportam de maneira idêntica em relação aos
seus lados e seus ângulos.
É como se recortássemos um triângulo e colocássemos sobre o outro. Se, por acaso, não sobrar ou faltar nenhum
ponto, podemos dizer que eles são congruentes. Essa ideia, aqui empírica e informal, será construída ao longo
deste tópico. Vamos precisar de algum axioma para incorporar a congruência de triângulos em nossa Geometria?
Quais as consequências desse conceito? Quais construções geométricas podemos justificar pela congruência?
Além de trabalhar para responder às perguntas anteriores, vamos mostrar como podemos construir, com régua
e compasso, um triângulo de lados conhecidos. Antes de tudo, definiremos triângulo.
1.4.1 Axioma de congruência de triângulos.
A congruência de triângulos será explorada de maneira axiomática neste item. Primeiramente, precisamos
definir o que significa ser congruente para um triângulo.
Definição 4.1.1 (triângulo): damos o nome de triângulo para a figura formada pela união de três
segmentos , e em que , e são não colineares. Denotaremos o triângulo aqui definido por 
. , e serão chamados de lados do triângulo e , e serão chamados de vértices do
mesmo.
Figura 12 - Um triângulo é uma figura formada por três lados, três vértices e três ângulos.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Dizemos que um ponto está no interior do triângulo quando faz parte da região angular de cada um dos ângulos
do triângulo. Caso contrário, esse ponto pode fazer parte do triângulo ou ainda ser exterior a ele (MACHADO,
2012).
A congruência de triângulos pode ser então definida:
Definição 4.1.2 (congruência de triângulos): dois triângulos e são ditos congruentes se:
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, e e
, e .
A congruência será denotada por .
Isto é, se os lados de dois triângulos são iguais, assim como seus ângulos, dizemos que estes triângulos são
congruentes. Existem três casos bem conhecidos de congruência: lado-ângulo-lado, ângulo-lado-ângulo e lado-
ângulo-lado. Porém, um dos três precisa ser suposto verdadeiro para a demonstração dos outros dois (FARIAS,
2009).
Axioma C.1 (Caso LAL): sejam dois triângulos e , tais que , e .
Então, .
Figura 13 - O axioma C.1 supõe verdadeiro o caso lado-ângulo-lado de congruência de triângulos.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Esse axioma sugere que se nos foram dados dois lados de um triângulo e o ângulo entre esses lados, o triângulo
já está determinado. Vamos ilustrar isso utilizando régua e compasso (FARIAS, 2009). Construa o triângulo 
conhecendo , e .
• Passo 1: construa uma reta suporte e um ponto para ser o vértice . Em seguida, transfira, com o 
compasso centrado em , a medida de para a reta suporte. Aqui você vai determinar a posição do 
vértice ;
• Passo 2: usando os passos da transferência de ângulo que já vimos, transfira o ângulo para a reta 
suporte;
• Passo 3: na direção do ângulo transfira, com o compasso centrado em , a medida de . Aqui você 
vai determinar o vértice que faltava;
• Passo 4: desenhe o triângulo ligando seus vértices.
Veja que o axioma C.1 anterior garante que qualquer outra solução encontrada será congruente ao nosso
triângulo.
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Figura 14 - Construção de um triângulo quando se conhece dois lados e o ângulo entre eles.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Antes de mostrar os outros casos de congruência, vamos ao seguinte teorema.
Teorema 4.1.1: se um triângulo tem dois lados iguais, então os ângulos opostos a eles também são iguais.
Considere um triângulo , tal que seja igual a . Queremos mostrar que . Para tanto,
observe os triângulos e :
• o lado é igual ao lado por hipótese (lado);
• o ângulo o mesmo que (ângulo);
• o lado é igual ao lado por hipótese (lado).
Portanto, pelo caso LAL (axioma C.1). Dessa congruência, concluímos que , como
queríamos demonstrar. Esse triângulo que tem dois lados iguais recebe o nome de isósceles. Acabamos de
mostrar, então, que todo triângulo isósceles tem dois ângulos congruentes.
Figura 15 - A demonstração do triângulo isósceles usou a congruência dele com ele mesmo para mostrar que os 
ângulos de lado são congruentes.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
O próximo teorema será um caso de congruência.
Teorema 4.1.2 (Caso ALA): sejam dois triângulos e , tais que , e 
. Então, .
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•
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Figura 16 - Construção para mostrar o caso ALA de congruência.
Fonte: Elaborado pelo o autor, 2018.
Sejam e dois triângulos, tais que , e . Para mostrar a
congruência deles, sabemos que podemos usar o caso LAL. Bem, seja um ponto em tal que . Agora
olhe para os triângulos e :
 por hipótese (lado);
, pois e por hipótese (ângulo);
 por construção (lado).
Portanto, e pelo caso LAL. Dessa congruência, temos que . Por hipótese, tínhamos 
, então . Assim a semirreta é a mesma que a . E por isso temos que , isto
é, o triângulo é o mesmo que . Então, a congruência entre e é a mesma do que 
, como queríamos demonstrar.
Após esse outro caso de congruência, vamos fazer uma nova construção. Construa dados , e .
• Passo 1: em uma reta suporte qualquer marque e transfira a medida de com o compasso centrado 
em . Aqui você encontrará ;
• Passo 2: usando a transferência de ângulos que já vimos, transfira os ângulos dados para seus vértices 
correspondentes. Isso vai nos dar a direção dos lados e ;
• Passo 3: está na interseção das direções do passo anterior;
• Passo 4: construa .
Com esse caso de congruência, podemos demonstrar a recíproca do teorema 4.1.1 sobre triângulo isósceles
(BARBOSA, 2006).
•
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•
•
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Figura 17 - Um triângulo é unicamente determinado quando sabemos dois ângulos e o lado em comum entre 
eles.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Teorema 4.1.3: se um triângulo tem dois ângulos congruentes, então ele é isósceles.
Seja um triângulo, tal que . Agora, como fizemos no teorema 4.1.1, vamos olhar para os triângulos 
 e :
, por hipótese (ângulo);
, pois trata-se do mesmo segmento (lado);
, por hipótese (ângulo).
Portanto, e são congruentes pelo caso ALA (teorema 4.1.2). Dessa congruência, temos que ,
como queríamos demonstrar.
Figura 18 - Qualquer triângulo com dois ângulos congruentes é isósceles.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Para terminar nosso estudo sobre a congruência dos triângulos, falta apenas o caso LLL.
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Para terminar nosso estudo sobre a congruência dos triângulos, falta apenas o caso LLL.
Teorema 4.1.4 (caso LLL): sejam dois triângulos e , tais que , e .
Então, .
Sejam e dois triângulos, tais que , e . Construa de modo que o ângulo 
 (axioma A.3) e que (axioma O.5). Vamos olhar para os triângulos e :
, por hipótese (lado);
, por construção (ângulo);
, por construção (lado).
Portanto, e são congruentes pelo casoLAL. Dessa congruência, temos que . Então,
 e que . Veja que os triângulos e são isósceles. Então, pelo teorema
4.1.1, temos que e . Por consequência dessa última congruência, .
Agora, vamos olhar para os triângulos e :
, consequência da congruência de e (lado);
, consequência do teorema 4.1.1 sobre os triângulos isósceles (ângulo);
, consequência da congruência de e (lado).
Portanto, e são congruentes pelo caso LAL. Das duas congruências podemos concluir que 
, por transitividade.
Figura 19 - Os triângulos são congruentes pelo caso LLL. A parte laranja faz parte da construção utilizada na 
demonstração do teorema 4.1.4.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Para ilustrar essa congruência, vamos finalizar nosso capítulo com a seguinte construção. Construa dados 
, e .
- -23
Figura 20 - Construção de um triângulo dados os três lados. Veja que se fosse escolhido do outro lado de , o 
triângulo seria congruente a solução mostrada aqui.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.
Agora temos os três casos de congruência de triângulos construídos de maneira axiomática.
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Problemas que evolvem diretamente a congruência de triângulos são bem comuns tanto na parte teórica
(demonstrações de novos resultados) quanto na parte prática (resolução de problemas). Agora que temos essa
ferramenta, estamos prontos para esses novos desafios.
CASO
Um engenheiro deseja descobrir a distância entre dois pontos e dados, no entanto, existe
um rio de dimensões desconhecidas que impede que a medida seja tomada em linha reta,
como mostra a Figura. A única coisa que ele encontra por perto é uma árvore.
Você consegue pensar em uma forma para que o engenheiro determine a distância utilizando
apenas a árvore? Como a congruência de triângulos pode resolver um problema como esse?
Veja que as distâncias de até a árvore e a de até a árvore podem ser obtidas sem
impedimento. Então, a ideia é construir um triângulo congruente ao triângulo (árvore)
utilizando o caso LAL. Observe a Figura a seguir.
Fazendo a construção descrita na Figura, podemos montar um triângulo congruente ao
triângulo inicial e, então, achar a medida desejada.
- -25
Síntese
Chegamos ao final deste capítulo em que buscamos construir, axiomaticamente, um pouco da Geometria que
você já estava acostumado a trabalhar. Vimos, desde o começo, como desenvolver as relações entre os pontos, as
retas e o plano de maneira que, ao final, tenhamos uma teoria coerente e que seja capaz de explicar os resultados
que nossos olhos já tomam como verdadeiros. Demonstramos os teoremas que vão dar a base para que outros
resultados importantes sejam construídos dentro da Geometria.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
• Nesse capítulo conseguimos desenvolver algumas percepções importantes como:
• entender que construção da teoria axiomática requer termos primitivos, axiomas, definições e teoremas;
• compreender que primeiros axiomas da Geometria, axiomas de incidência, regulam como é a relação 
entre os pontos e as retas;
• conhecer uma noção de ordem e de métrica na reta e no plano, que nos permite construir a ideia de 
medida de segmentos e de ângulos;
• identificar que a congruência é uma relação entre figuras (segmentos, ângulos e triângulos) que, embora 
não sejam necessariamente iguais, tem exatamente a mesma forma e tamanho;
• perceber que existem construções com régua e compasso que nos permitem transferir medidas e 
ângulos para outros lugares;
• reconhecer os três casos de congruência entre triângulos: lado-ângulo-lado (LAL), ângulo-lado-ângulo 
(ALA) e lado-lado-lado (LLL).
Bibliografia
BARBOSA, J. L. M. . 10. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006.Geometria Euclidiana Plana
BRAITT, M. S.; WHITLEY, W. G. 2. ed. Florianópolis: UFSC/EAD/CED/CFM, 2011. Disponível em: Geometria III. <
Acesso em: 27/08/2018.>. http://mtm.grad.ufsc.br/files/2014/04/Geometria-III.pdf
BOOLE, G. being na essay towards a calculus of deductive reasoning.The Mathematical Analysis of Logic:
Forgotten Books, 2016.
_____. . Cosimo Classics, 2007.An Investigation of the Laws of thought
CARVALHO, B. A. . 3. ed. Rio de Janeiro: Ao livro técnico S/A, 1967.Desenho Geométrico
COUCEIRO, K. C. U. S. . Curitiba: InterSaberes, 2016.Geometria Euclidiana
EUCLIDES. . São Paulo: UNESP, 2009. 600p.Os Elementos
FARIA, M. C. . Belo Horizonte: Editora UFMG, 2009. Disponível em: Resolução de Problemas Geométricos
Acesso<http://www.mat.ufmg.br/ead/acervo/livros/Resolucao%20de%20Problemas%20Geometricos.pdf>. 
em: 27/08/2018.
GEOGEBRA. . 2018. Disponível em: <GeoGebra – Aplicativos Matemáticos https://www.geogebra.org/?lang=pt
>. Acesso em: 27/08/2018.
HILBERT, D. . Lisboa: Gradiva, 2003.Fundamentos da Geometria
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. . Curitiba: InterSaberes, 2014.Geometria plana e trigonometria
MACHADO, P. F. . Belo Horizonte: CAED-UFMG. 2012. Disponível em: Fundamentos de Geometria plana <
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REIS, J. H. B. CCSE-UEPA, 2010. Disponível em: Desenho Geométrico. <http://www.ceap.br/artigos
>. /ART24022010182855.pdf Acesso em: 27/08/2018.
REZENDE, E. Q. F.; QUEIROZ, M. L. B. 2. ed. Campinas:Geometria euclidiana plana e construções geométricas.
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http://www.ceap.br/artigos/ART24022010182855.pdf
http://www.ceap.br/artigos/ART24022010182855.pdf
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REZENDE, E. Q. F.; QUEIROZ, M. L. B. 2. ed. Campinas:Geometria euclidiana plana e construções geométricas.
UNICAMP, 2000.
TINOCO, L. . Rio de Janeiro: UFRJ. 1999.Geometria Euclidiana por meio da resolução de problemas
VACCARO, L. . Direção: IMPA - Instituto Nacional dePAPMEM - Julho de 2014 - Teorema de Pitágoras
Matemática Pura e Aplicada. Produção: IMPA - Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada. Brasil, 2015.
Disponível em: < >. Acesso em: 29/08/2018.https://www.youtube.com/watch?v=5xnOPn2VM78
https://www.youtube.com/watch?v=5xnOPn2VM78
	Introdução
	1.1 O plano, retas e pontos - I
	1.1.1 Axiomas de incidência
	1.2 O plano, reta e pontos – II
	1.2.1 Axiomas de métrica e ordem
	1.3 Ângulos
	1.3.1 Axiomas de medição de ângulos
	1.3.2 Congruências de segmentos e ângulos
	1.4 Congruência de triângulos
	1.4.1 Axioma de congruência de triângulos.
	Síntese
	Bibliografia