4-Cisalhamento

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Resistência dos 
Materiais I
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo: 
Prof. Me. Lincoln Ribeiro Nascimento
Revisão Técnica:
Prof. José Carlos de Lucena
Revisão Textual:
Prof.ª Me. Luciene Santos
Cisalhamento
• Cisalhamento Puro;
• Tensão de Cisalhamento na Zona Elástica do Material;
• Tensão de Escoamento ao Cisalhamento;
• Tensão de Cisalhamento Admissível;
• Exemplos de Aplicação. 
· Apresentar ao aluno as situações de engenharia nas quais a tensão
atuante é a tensão de cisalhamento, e como dimensionar estruturas
submetidas a esforços de cisalhamento puro.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Cisalhamento
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você 
também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão 
sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e 
de aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Cisalhamento
Cisalhamento Puro
Existem diversas estruturas de engenharia que estão sujeitas a esforços de 
cisalhamento. Entre essas estruturas, é possível citar, como exemplo, parafusos, 
rebites, vigas, eixos, entre outros.
Na figura 1, é possível visualizar um exemplo de utilização de rebites para a 
fixação das chapas em uma ponte. Nesse caso, os rebites estão sofrendo um 
esforço de cisalhamento.
Figura 1 – Exemplo de cabo de aço submetido a esforço de tração durante o levantamento de uma carga
Fonte:pixabay.com
Um outro exemplo muito comum de situação em que estão presentes as tensões 
de cisalhamento é o pavimento de estradas. Na figura 2, é possível visualizar um 
exemplo de estrada na qual ocorreu o cisalhamento do pavimento.
Figura 2 – Exemplo de estrada onde ocorreu falha devido ao cisalhamento do pavimento
Fonte: Wikimedia Commons
8
9
Sendo assim, torna-se muito relevante o estudo da tensão de cisalhamento 
em resistência dos materiais, de forma a considerar-se também o seu efeito no 
dimensionamento de estruturas de engenharia.
Tensão de Cisalhamento na 
Zona Elástica do Material
Uma característica muito importante no esforço de cisalhamento é que ele 
ocorre em uma direção paralela à área resistente do corpo. Na figura 3, é possível 
visualizar a ação da força F paralelamente à área A, causando uma deformação no 
corpo, ainda na zona elástica do material.
F
A
γ
Figura 3 – Efeito do cisalhamento em um corpo, na zona elástica do material
O ângulo γ é chamado angulo de distorção. Na zona elástica do material, quanto 
maior for a tensão de cisalhamento atuante, maior será esse ângulo de distorção. 
Essa relação é dada que equação 4.1:
	 τ = γ	⋅ G (Equação 4.1)
Onde:
•	 τ: Tensão de Cisalhamento Atuante
• G: Módulo de Elasticidade Transversal do Material 
•	 γ: Angulo de distorção
Unidades de medida:
� ��
N
m
��Pa[ ]
²
τ = =
G ��
N
m
��Pa[ ]= =
²
γ[ ] = ( )�rad �radianos, ou seja, adimensional
9
UNIDADE Cisalhamento
Como se determinar a tensão de escoamento em um corpo que está sofrendo 
cisalhamento?Ex
pl
or
Tensão de Escoamento ao Cisalhamento
Para obter-se a tensão de cisalhamento que um material suporta, deve-se reali-
zar o ensaio de cisalhamento.
Porém, para os materiais dúcteis como o aço, por exemplo, a tensão de 
escoamento do material submetido ao cisalhamento é aproximadamente 60% do 
valor da tensão normal de escoamento que tenha sido obtido em um ensaio de 
tração. Sendo assim, a tensão de cisalhamento ao escoamento, para materiais 
dúcteis, pode ser obtida por meio da equação 4.2.
 τe ≅ 0,6 ⋅ σe (Equação 4.2)
Onde:
•	 τe: Tensão de Escoamento ao Cisalhamento
•	 σe: Tensão de Escoamento Normal
Também se aplica o coeficiente de segurança no dimensionamento de estruturas sujeitas a 
esforços de cisalhamento?Ex
pl
or
Tensão de Cisalhamento Admissível
Na unidade 1, foi visto que o valor da intensidade da Tensão de Cisalhamento 
atuante em um corpo pode ser determinado através da equação 1.4.
 τ = F
A
t (1.4)
Onde:
•	 τ: Tensão de Cisalhamento Atuante ou Tensão Tangencial Atuante
• Ft: Força Tangencial ou Força Cortante
• A: Área Resistente
10
11
Unidades de medida:
[Ft] = N
[A]= m2
τ[ ] = =N
m
Pa2
Ao realizarmos os cálculos de dimensionamento de um elemento submetido 
a esforços de cisalhamento, o primeiro passo, na maioria das vezes, consiste em 
determinar-se a tensão de cisalhamento atuante no elemento da estrutura que 
está sendo dimensionado.
Com essa informação em mãos, o próximo passo é obter-se o valor da tensão 
de cisalhamento suportada pelo material que se deseja aplicar no projeto.
Para tensões de cisalhamento, no caso de materiais dúcteis, esse valor é a 
Tensão de Escoamento ao Cisalhamento do material (τe) e para materiais 
frágeis, esse valor de referência é a Tensão de Ruptura ao Cisalhamento do 
material (τr).
Sendo assim, a princípio, é possível deduzir-se que, se a tensão de cisalhamento 
atuante na estrutura for menor ou igual ao valor da tensão de escoamento ao 
cisalhamento do material (materiais dúcteis), ou da tensão de ruptura ao cisalhamento 
do material (materiais frágeis), a estrutura será capaz de suportar o esforço, ou seja:
• Para materiais dúcteis: τatuante ≤ τe
• Para materiais frágeis: τatuante ≤ τr
Porém, conforme já visto no capítulo 3, existem diversos fatores que podem 
influenciar no valor da intensidade da tensão que o material suporta. Esses fatores 
estão relacionados ao controle de variáveis durante o processo de fabricação do 
material (composição química do material, processo etc.).
Sendo assim, se houver, durante o processo de fabricação do material, a alteração 
em algum desses fatores, poderão ocorrer variações na tensão que o material irá 
suportar na prática.
Além desses fatores, o profissional responsável pelo projeto deve considerar 
ainda que, apesar de todos os cuidados tomados durante o projeto, podem ainda 
surgir, durante a aplicação do projeto na prática, alguns esforços adicionais que 
não haviam sido previstos no projeto inicial.
Sendo assim, para evitarem-se problemas futuros, deve-se “corrigir” também o 
valor da tensão de cisalhamento que o material suporta, dividindo-se o valor dessa 
tensão por um Coeficiente de Segurança (Cs). O valor dessa tensão obtida após a 
correção será chamado de Tensão de Cisalhamento Admissível do Projeto (τ)
11
UNIDADE Cisalhamento
Sendo assim, para materiais dúcteis, o valor da Tensão de Cisalhamento Admis-
sível será obtido através da equação 4.3:
 τ
τ
= e
sC
 (Equação 4.3)
Onde:•	 τ: Tensão de Cisalhamento Admissível 
•	 τe: Tensão de Escoamento ao Cisalhamento
• Cs: Coeficiente de Segurança
Unidades de medida:
τ[ ]= =��
²
��
N
m
Pa
τe
N
m
Pa[ ]= =��
²
��
C Adimensionals[ ] = 
Por outro lado, para materiais frágeis, o valor da Tensão de Cisalhamento 
Admissível será obtido através da equação 4.4:
 τ
τ
= r
sC
 (Equação 4.4)
Onde:
•	 τ: Tensão de Cisalhamento Admissível 
•	 τe: Tensão de Ruptura ao Cisalhamento
• Cs: Coeficiente de Segurança
Unidades de medida:
� ��
²
��τ[ ]= =N
m
Pa
τr
N
m
Pa[ ]= =��
²
��
C Adimensionals[ ] = 
12
13
Exemplos de Aplicação
Exemplo 4.1
A junta rebitada da figura deve suportar uma carga de 2000N aplicada conforme 
ilustrado na figura. A junta deverá ter 1 rebite. Considerar que o material utilizado 
para a fabricação dos rebites é o Aço ABNT 1050 (σe = 400MPa , E = 210GPa, 
ν	= 0,3) e um coeficiente de segurança igual a 4. Para o projeto, determinar:
Figura 4
1. Tensão de Escoamento ao Cisalhamento
2. Tensão de Cisalhamento Admissível no Projeto
3. A área mínima da seção transversal do rebite
4. O diâmetro mínimo do rebite
Item (a): Tensão de Escoamento ao Cisalhamento
O aço é um material dúctil. Logo:
τe ≅ 0,6 ∙ σe
τe ≅ 0,6 ∙ 400MPa
τe ≅ 240MPa
Item (b): Tensão de Cisalhamento Admissível no Projeto
τ
τ
= e
sC
τ =
240
4
MPa
τ = =60 60MPa
N
mm2
13
UNIDADE Cisalhamento
Item (c): A área mínima da seção transversal do rebite
τ = 
F
A
t
Isolando-se a área A na equação, têm-se:
A
Ft= 
τ
A
N
N
mm
=�
2000
60 2
A mm=� , �33 333 2
Item (d): O diâmetro mínimo do rebite
Como a seção transversal do rebite é circular, a sua área será dada por:
A
D
=
⋅π 2
4
Isolando-se o diâmetro D, têm-se:
4 2⋅ =
A
D
π
4 4⋅
= → =
⋅A
D D
A
π π
��� �� �
D
A mm
=
⋅
=
⋅
� �
, �
,
4 4 33 333
3 14
2
π
D = 6,516mm
Como determinar-se o diâmetro mínimo dos rebites aplicado em uma junta rebitada com 
mais de um rebite?Ex
pl
or
Exemplo 4.2
A junta rebitada da figura deve suportar uma carga de 3000N aplicada conforme 
ilustrado na figura. A junta deverá ter 2 rebites. Considerar que o material utilizado 
para a fabricação dos rebites é o Aço ABNT 1020 (σe = 280MPa , E = 210GPa, 
ν	= 0,3) e um coeficiente de segurança igual a 3. Para o projeto, determinar:
14
15
Figura 5
1. Tensão de Escoamento ao Cisalhamento
2. Tensão de Cisalhamento Admissível no Projeto
3. A área mínima da seção transversal do rebite
4. O diâmetro mínimo do rebite
Item (a): Tensão de Escoamento ao Cisalhamento
O aço é um material dúctil. Logo:
τe ≅ 0,6 ∙ σe
τe ≅ 0,6 ∙ 280MPa
τe ≅ 168MPa
Item (b): Tensão de Cisalhamento Admissível no Projeto
τ
τ
= e
sC
τ =
168
3
MPa
τ = =56 56 2MPa
N
mm
Item (c): A área mínima da seção transversal do rebite
A principal diferença desse exemplo em relação ao anterior é a quantidade 
de rebits que será utilizada para suportar a força tangencial. Dessa forma, serão 
apresentadas 2 formas para se determinar o valor da área da seção transversal de 
cada rebite:
c.1) Primeira forma proposta para se calcular a área mínima da seção 
transversal do rebite
Sabe-se que:
τ = 
F
A
t
15
UNIDADE Cisalhamento
Isolando-se a área A na equação, têm-se:
A
Ft= 
τ
A
N
N
mm
=�
3000
56 2
A � mm=53,571 2
Porém, esse valor encontrado corresponde à área total que deve resistir ao es-
forço de cisalhamento. Para obter-se a área para cada rebite, deve-se dividir a área 
total A pela quantidade de rebites (nesse exemplo, são 2 rebites), da seguinte forma:
A
mm
cada rebite� �
, �
=
53 571
2
2
A � �mmcada�rebite = 26,786
2
c.2) Segunda forma proposta para se calcular a área mínima da seção 
transversal do rebite
Para obter-se a Força tangencial atuante em cada rebite, deve-se dividir a força 
tangencial total Ft pela quantidade de rebites (nesse exemplo, são 2 rebites), da 
seguinte forma:
Ft
N
cada rebite� �=
3000
2
Ft � Ncada�rebite =1500
Sabe-se que:
τ = 
F
A
t
Isolando-se a área A na equação, têm-se:
A
Ft= 
τ
A
N
N
mm
=�
1500
56 2
A � �mmcada�rebite =26,786
2
Item (d): O diâmetro mínimo do rebite
16
17
Como a seção transversal do rebite é circular, a sua área será dada por:
A
D
=
⋅π 2
4
Isolando-se o diâmetro D, têm-se:
4 2⋅ =
A
D
π
4 4⋅
= → =
⋅A
D D
A
π π
��� �� �
D
A mm
=
⋅
=
⋅
� �
, �
,
4 4 26 786
3 14
2
π
D � mm=5,841
Exemplo 4.3
A junta rebitada da figura deve suportar uma carga de 4000N aplicada conforme 
ilustrado na figura. A junta deverá ter 4 rebites. Considerar que o material utilizado 
para a fabricação dos rebites é o Aço CA-50 (σe = 500MPa , E = 210GPa, ν = 0,3) 
e um coeficiente de segurança igual a 3. Para o projeto, determinar:
Figura 6
1. Tensão de Escoamento ao Cisalhamento
2. Tensão de Cisalhamento Admissível no Projeto
3. A área mínima da seção transversal do rebite
4. O diâmetro mínimo do rebite
Item (a): Tensão de Escoamento ao Cisalhamento
O aço é um material dúctil. Logo:
τe	≅	0,6 ∙ σe
τe	≅	0,6 ∙ 500MPa
τe	≅	300MPa
17
UNIDADE Cisalhamento
Item (b): Tensão de Cisalhamento Admissível no Projeto
τ
τ
= e
sC
τ =
300
3
MPa
τ = =100 100 2MPa
N
mm
Item (c): A área mínima da seção transversal do rebite
Serão apresentadas novamente 2 formas para se determinar o valor da área da 
seção transversal de cada rebite:
c.1) Primeira forma proposta para se calcular a área mínima da seção 
transversal do rebite
Sabe-se que:
τ = 
F
A
t
Isolando-se a área A na equação, têm-se:
A
Ft= 
τ
A
N
N
mm
=�
4000
100 2
A � �mm=40 2
Porém, esse valor encontrado corresponde à área total que deve resistir ao 
esforço de cisalhamento. Para obter-se a área para cada rebite, deve-se dividir 
a área total A pela quantidade de rebites (nesse exemplo, são 2 rebites), da se-
guinte forma:
A
mm
cada rebite� �
�
=
40
4
2
A � �mmcada�rebite =10
2
c.2) Segunda forma proposta para se calcular a área mínima da seção 
transversal do rebite
Para obter-se a Força tangencial atuante em cada rebite, deve-se dividir a força 
tangencial total Ft pela quantidade de rebites (nesse exemplo, são 4 rebites), da 
seguinte forma:
Ft
N
cada rebite� �=
4000
4
Ft � Ncada�rebite =1000
18
19
Sabe-se que:
τ = 
F
A
t
Isolando-se a área A na equação, têm-se:
A
Ft= 
τ
A
N
N
mm
=�
1000
100 2
A �mmcada�rebite = �10
2
Item (d): O diâmetro mínimo do rebite
Como a seção transversal do rebite é circular, a sua área será dada por:
A
D
=
⋅π 2
4
Isolando-se o diâmetro D, têm-se:
4 2⋅ =
A
D
π
4 4⋅
= → =
⋅A
D D
A
π π
��� �� �
D
A mm
=
⋅
=
⋅
� �
�
,
4 4 10
3 14
2
π
D � �mm=3,569
Exemplo 4.4
Determinar a tensão de cisalhamento atuante na área A da figura, sabendo-se 
que o diâmetro do pino é igual a 20mm e a força cortante é de 4000N.
Figura 7
19
UNIDADE Cisalhamento
Resolução:
Como a seção transversal do rebite é circular, a sua área será dada por:
A
D
=
⋅π 2
4
A
mm
=
⋅ ( )3 14 20
4
2
,
A mm= 314 2
Dessa forma, a tensão atuante será obtida da seguinte forma:
τ = 
F
A
t
τ =�
4000
314 2
N
mm
τ = =� , , �12 7388 12 73882
N
mm
MPa
É possível determinar-se o coeficiente de segurança utilizado no projeto de um elemento 
sujeito a um esforço de cisalhamento?Ex
pl
or
Exemplo 4.5
O pino da figura está sujeito a uma força cortante de 20000N. Sabendo-se que 
o diâmetro do pino é igual a 10mm e que o material utilizado na sua fabricação é 
o Aço CA-50 (σe = 500MPa , E = 210GPa, ν	= 0,3), determinar:
Figura 8
1. Tensão de Escoamento ao Cisalhamento
2. Tensão de Cisalhamento Atuante no pino
3. O Coeficiente de Segurança adotado no projeto
20
21
Item (a): Tensão de Escoamento ao Cisalhamento
O aço é um material dúctil. Logo:
τe	≅	0,6 ∙ σe
τe	≅	0,6 ∙ 500MPa
τe	≅	300MPa
Item (a): Tensão atuante no pino
Como a seção transversal do pino é circular, a sua área será dada por:
A
D
=
⋅π 2
4
A
mm
=
⋅ ( )3 14 10
4
2
,
A mm= 78,5 2
Dessa forma, a tensão atuante será obtida da seguinte forma:
τ = 
F
A
t
τ =�
,
20000
78 5 2
N
mm
τ = =� , , �254 777 254 7772
N
mm
MPa
Item (c): O Coeficiente de Segurançaadotado no projeto
A tensão atuante será a tensão admissível no projeto.
O aço é um material dúctil. Logo:
τ
τ
= e
sC
Isolando-se o Coeficiente de Segurança (Cs), têm-se:
Cs
e=
τ
τ
C
Mpa
MPas
=
300
254 777,
Cs =1,1775
21
UNIDADE Cisalhamento
Exemplo 4.6
Determinar a tensão de cisalhamento atuante na área A da figura, sabendo-se 
que X = 100 mm e Y = 50mm e a intensidade da força cortante é de 50000N.
Figura 9
Resolução:
Como o formato da seção do corpo sujeita à ação da força cortante é retangular, 
a sua área será dada por:
A = b ∙ h
Nesse exemplo, têm-se:
A = X ∙ Y
A = 100mm ∙ 50mm
A = 5000 mm2
Sendo assim, a tensão atuante será obtida da seguinte forma:
τ = 
F
A
t
τ =�
50000
5000 2
N
mm
τ = =� �10 102
N
mm
MPa
Exemplo 4.7
A área A da figura está sujeita a uma força cortante de 40000N. Sabendo-se 
que X = 20 mm e Y = 10 mm e que o material utilizado na sua fabricação é o Aço 
ABNT 1045 (σe = 400MPa, E = 210GPa, ν = 0,3), determinar:
Figura 10
22
23
1. Tensão de Escoamento ao Cisalhamento
2. Tensão de Cisalhamento Atuante na área A
3. O Coefi ciente de Segurança adotado no projeto
Item (a): Tensão de Escoamento ao Cisalhamento
O aço é um material dúctil. Logo:
τe	≅	0,6 ∙ σe
τe	≅	0,6 ∙ 400MPa
τe	≅	240MPa
Item (a): Tensão atuante na área A
Como o formato da seção do corpo sujeita à ação da força cortante é retangular, 
a sua área será dada por:
A = b ∙ h
Nesse exemplo, têm-se:
A = X ∙ Y
A = 20mm ∙ 10mm
A = 200mm2
Dessa forma, a tensão atuante será obtida da seguinte forma:
τ = 
F
A
t
τ =�
40000
200 2
N
mm
τ = =� �200 2002
N
mm
MPa
Item (c): O Coeficiente de Segurança adotado no projeto
A tensão atuante será a tensão admissível no projeto.
O aço é um material dúctil. Logo:
τ
τ
= e
sC
Isolando-se o Coeficiente de Segurança (Cs), têm-se:
Cs
e=
τ
τ
C
Mpa
MPas
=
240
200
Cs =1,2
23
UNIDADE Cisalhamento
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais
Como material complementar, leia o capítulo 8 (p 144-146) da obra de Sarkis 
Melconiam, disponível na Biblioteca Virtual da Universidade, no item “E-books – 
Minha Biblioteca”. Nesse texto, é apresentado um texto sobre o cisalhamento puro.
Resistência dos Materiais
Ainda como material complementar, leia também o capítulo 3 (p 82-84) da obra de 
R. C. Hibbeler, disponível na Biblioteca Virtual da Universidade, no item “E-books – 
Bib. Virtual Universitária”. Nesse texto, será apresentado um o diagrama de tensãoX 
deformação para o cisalhamento.
Para acessar essas obras, percorra o seguinte caminho:
Após entrar em sua “área do aluno”, no menu à esquerda da tela, clique em “Servi-
ços”, depois em “Biblioteca” e, no centro da tela, clique em “E-books - Bib. Virtual 
Universitária”. No topo da tela que abrirá, haverá um campo de busca para autor, 
título, assunto etc. Nesse espaço, digite “Resistência dos Materiais” e clique na capa 
abaixo, que aparecerá como resultado. 
 Vídeos
Resistência dos Materiais - Aula 04 - Cisalhamento puro
Nesse endereço eletrônico, está disponível um vídeo bem interessante que trata do 
Cisalhamento Puro.
https://youtu.be/R4byLQ2E9FI
Aula 03 - Tensão de Cisalhamento
Nesse endereço eletrônico, também está disponível um vídeo que apresenta a solução 
de um problema de resistência dos materiais que envolve o cisalhamento puro.
https://youtu.be/rowHl3gSkkk
24
25
Referências
HIBBELER, Russell C. Resistência dos materiais. 5. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2006.
MELCONIAN, Sarkis. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 19. ed. 
São Paulo: Érica, 2013.
PEREIRA, Celso P. M. Mecânica dos materiais avançada. Rio de Janeiro: 
Interciência, 2014.
25