Geometria Analítica e Álgebra Vetorial AV3

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No estudo da equação reduzida da circunferência, vimos uma expressão em que os 
pontos do centro da circunferência estão explicitados. Desta forma, podemos destacar 
seu centro e raio de maneira imediata. Assim, assinale a alternativa CORRETA que 
apresenta as coordenadas do centro e do raio da circunferência x² + (y + 7)² = 1: 
C (0,-7) e R = 1. 
C (0,7) e R = 1. 
C (1,-7) e R = 1/7. 
C (1, 7) e R = -1/7. 
 
As rotas de dois aviões A e B são lineares e dadas, respectivamente, pelas retas r1 e r2, 
descritas a seguir. Com base no exposto, analise as seguintes opções: 
 
I- As retas r1 e r2 são concorrentes, e os aviões podem se chocar. 
II- As retas r1 e r2 são coincidentes, e os aviões podem se chocar. 
III- As retas r1 e r2 são paralelas, e os aviões não se chocam. 
IV- O ponto P(3, 1, 4) pertence às r1 e r2, e é o ponto em que os aviões se chocarão. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção II está correta. 
Somente a opção III está correta. 
 
Uma das possíveis associações entre a geometria analítica e a geometria clássica é o 
fato de conseguirmos em ambas a resolução de problemas de cálculo de áreas. Seja 
utilizando distâncias e/ou ângulos, ou também com a utilização de fórmulas prontas para 
tal. Sendo assim, em um plano cartesiano, há um triângulo de vértices (-3, 7); (-8, 1); (5, 
3). Calcule a área desse triângulo e assinale a alternativa CORRETA: 
62. 
136. 
34. 
68. 
 
No estudo das transformações lineares, o conceito de imagem da transformação linear é 
o conjunto de todos os vetores do contradomínio, que são imagens de pelo menos um 
vetor: o espaço vetorial de saída. Sobre uma base para a imagem da transformação 
T(x,y) = (x+y,y), analise as opções a seguir: 
 
I- [(1,1),(1,0)] 
II- [(1,1),(0,1)] 
III- [(0,1),(0,1)] 
IV- [(1,1)] 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção II está correta. 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção III está correta. 
 
Arthur Cayley (1821-1895) foi um dos pioneiros no estudo das matrizes e, por volta de 
1850, divulgou esse nome e passou a demonstrar sua aplicação. As matrizes, 
inicialmente, eram aplicadas quase que exclusivamente na resolução de sistemas 
lineares e apenas há pouco mais de 150 anos tiveram sua importância detectada. Com 
base no exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Se A é uma matriz do tipo 3x5 então o sistema de equações A.X = B será 
indeterminado. 
( ) Se A é triangular do tipo nxn então det(A) = a11 . a22 . a33 . . . ann. 
( ) Se det(A) é diferente de 0 então existe a inversa de A. 
( ) Se A.B pode ser calculada então B.A sempre tem como resultado uma matriz 
diferente. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
V - F - V - F. 
F - V - V - F. 
V - V - V - F. 
V - F - F - V. 
 
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto 
fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência. Esta distância fixa é 
determinada raio da circunferência. Sobre a circunferência de equação x² + y² - 2x -6y - 6 
= 0, analise as opções a seguir: 
 
I- Possui centro em (1,3). 
II- Possui centro em (-1,-3). 
III- Possui raio igual a 16. 
IV- Possui raio igual a 4. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
As opções I e IV estão corretas. 
As opções I e III estão corretas. 
Somente a opção IV está correta. 
As opções II e III estão corretas. 
 
A função do 2º grau também é chamada de função quadrática, cuja expressão deriva da 
palavra latina quadratum, que significa quadrado, cuja área é x*x = x² que é exatamente a 
representação matemática da área de um quadrado de lado x. Geometricamente, esta 
função é descrita por uma parábola. Desta forma, nos remetemos aos conceitos de 
cônicas. Considere então, a parábola definida por y = x² - 4x +7 e a circunferência 
definida por (x-2)² + (y-3)² = 4. Sobre em quantos pontos estas duas curvas se 
interceptam, assinale a alternativa CORRETA: 
Nenhum ponto. 
Um ponto. 
Dois pontos. 
Três pontos. 
 
De acordo com o teorema da diagonalização, um operador linear é diagonalizável, se e 
somente se a matriz da transformação linear (n x n) possuir "n" autovetores linearmente 
independentes. Baseado nisto, calcule os autovalores da transformação a seguir e 
assinale a alternativa CORRETA: 
 
Somente a opção II está correta. 
Somente a opção IV está correta. 
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção III está correta. 
 
Sistemas lineares são úteis para todos os campos da matemática aplicada, em 
particular, quando se trata de modelar e resolver numericamente problemas de diversas 
áreas. Nas engenharias, na física, na biologia, na química e na economia, por exemplo, é 
muito comum a modelagem de situações por meio de sistemas lineares. Baseado nisso, 
assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução para o sistema a seguir: 
 
{-2, 1}. 
{2, 3}. 
{3, 2}. 
{1, 4}. 
 
Uma parábola é a curva plana definida como o conjunto dos pontos que são 
equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma reta dada (chamada de 
diretriz). Aplicações práticas são encontradas em diversas áreas da física e da 
engenharia, como no projeto de antenas parabólicas, radares, faróis de automóveis, 
entre outros. A partir desta curva, obtenha a equação da parábola, cujo o foco é F(2,4) e 
a equação de sua diretriz é y = 2 e assinale a alternativa CORRETA: 
(x - 2)² = 2(y - 3). 
(x - 3)² = 2(y - 2). 
(x - 3)² = 4(y - 2). 
(x - 2)² = 4(y - 3). 
 
Matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo 
nxn). A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de 
determinante. Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos a 
resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares ou ainda, o cálculo da área 
de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas 
dos seus vértices. Baseado nas propriedades dos determinantes, analise as sentenças a 
seguir: 
 
I- Se os elementos de uma linha de uma matriz quadrada forem todos iguais a zero, seu 
determinante será zero. 
II- Se os elementos de duas linhas de uma matriz forem iguais, seu determinante será 
nulo. 
III- Uma matriz que não é quadrada possui determinante igual ao da sua transposta. 
IV- Se trocarmos de posição, entre si, duas linhas de uma matriz quadrada, o 
determinante da nova matriz é o anterior com o sinal trocado. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
As sentenças I, II e IV estão corretas. 
As sentenças III e IV estão corretas. 
As sentenças II e III estão corretas. 
Somente a sentença I está correta. 
 
O gráficos das curvas x² + y² = 2 e y = x² se interceptam nos pontos A e B. Considerando 
os valores das abscissas de A e B, assinale a alternativa CORRETA: 
-1 e 1. 
1 e -2. 
-1 e 0. 
-1 e -2. 
 
Podemos construir uma matriz de acordo com uma lei de formação baseada em 
situações variadas. Cada uma destas situações poderá representar (ou modelar) alguma 
situação prática que necessite a utilização das matrizes para sua resolução. Baseado 
nisso, dada a matriz a seguir, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o termo 
a23: 
 
6. 
5. 
13. 
10. 
 
Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços 
vetoriais. Em especial, para poder afirmar que uma transformação é linear, temos que 
verificar se ela preserva as operações de soma e multiplicação por um escalar. Baseado 
nisso, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a imagem do vetor (1, -2, 4) 
quando aplicado na transformação a seguir: 
 
(3, -2). 
(-3, 2). 
(-3, -2). 
(-5, 2). 
 
Uma reta em seu estudo vetorial pode ser determinada por um vetor que chamamos de 
vetor diretor e um ponto de referência. Com estes elementos, podemos detectar a 
posição da reta no plano e no espaço. Sobre a equação do plano que tem a direção de v 
= (1,2) e passa por A (-1,3), classifique V paraas sentenças verdadeiras e F para as 
falsas: 
 
( ) Sua equação paramétrica é x = -1 + t e y = 3 + 2t. 
( ) Sua forma reduzida é y = 2x + 5. 
( ) Sua equação paramétrica é x = 1 - t e y = 2 + 3t. 
( ) Sua forma reduzida é y = -3x + 5. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
V - V - F - F. 
F - F - F - V. 
V - F - V - V. 
F - F - V - V. 
 
Além dos conceitos teóricos e processuais vistos a respeito da Álgebra Linear e Vetorial, 
temos que saber que transformações lineares são usadas para descrever vários tipos de 
mudanças geométricas, como rotação, homotetia, cisalhamento, reflexão, além de outras 
deformações no plano ou no espaço. Baseado nisso, classifique V para as sentenças 
verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) T(x,y) = (2x,2y) é uma transformação de expansão. 
( ) T(x,y) = (x/2,y/2) é uma transformação de expansão. 
( ) T(x,y) = (-x,y) é uma transformação de reflexão sobre X. 
( ) T(x,y) = (x,-y) é uma transformação de reflexão sobre X. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
V - F - F - V. 
V - F - V - F. 
F - V - V - F. 
F - F - F - V. 
 
Em matemática, elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cujas distâncias a 
dois pontos fixos desse plano têm soma constante. Ainda pode ser determinado 
geometricamente como a interseção de um cone circular reto e um plano que corta todas 
as suas geratrizes. Uma elipse com distância entre os focos mede 1 e a sua 
excentricidade vale 1/2. Determine a medida do eixo maior da elipse e assinale a 
alternativa CORRETA: 
2. 
4. 
1/2. 
1/4. 
 
Quando trabalhamos com vetores do espaço vetorial R³, pode-se combinar o produto 
escalar com o produto vetorial para definir uma nova operação entre três vetores. A esta 
operação damos o nome de produto misto, porque o resultado é uma quantidade 
escalar. Em particular, o módulo deste resultado calcula o volume do paralelepípedo 
formado pelos três vetores. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras 
e F para as falsas: 
 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 19. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 38. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 15. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 12. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
F - V - F - F. 
V - F - F - F. 
F - F - V - F. 
F - F - F - V. 
 
 
×Parabéns! Você acertou. 
Ao definir lugar geométrico em matemática, imaginamos que seja uma figura ligada a 
todos os seus pontos que possuem uma determinada propriedade. Conhecemos uma 
diversidade de figuras que podem ser relacionadas com lugares geométricos. Baseado 
nisso, o lugar geométrico dos pontos de coordenadas (x; y), tais que y² + (x - 1)² = 4, é: 
Um ponto que não é a origem. 
Duas retas concorrentes. 
Uma circunferência. 
Uma hipérbole. 
 
 
 
×Parabéns! Você acertou. 
As operações de adição, subtração e multiplicação também podem ser aplicadas às 
matrizes, desde que preenchidos certos requisitos. Para que duas ou mais matrizes 
possam ser somadas ou subtraídas, por exemplo, é necessário que elas sejam de 
mesma ordem. Cada elemento da matriz resultante corresponderá à soma ou à 
subtração, conforme o caso, dos elementos correspondentes das matrizes originárias. 
Dadas as matrizes a seguir, analise as respostas para a operação C = A - B, classifique V 
para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale alternativa que 
apresenta a sequência CORRETA: 
 
V - F - F - F. 
F - V - F - F. 
F - F - V - F. 
F - F - F - V.