teorico (8)

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Resistências 
dos Materiais
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Me. Leonardo Macarrão Junior
Revisão Textual:
Mateus Gonçalves Santos
Deformações em Barras por Carga Axial e por Temperatura
Deformações em Barras por 
Carga Axial e por Temperatura
 
• Identificar e conhecer as características e propriedades mecânicas dos principais materiais 
de fabricação;
• Analisar as condições das estruturas quando submetidas a solicitações externas;
• Identificar a interferência das diferentes temperaturas nos ambientes onde estas estruturas 
estiverem inseridas.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO 
• Introdução;
• Características Mecânicas dos Materiais;
• Deformação por Carga Axial;
• Deformação por Temperatura.
UNIDADE Deformações em Barras por 
Carga Axial e por Temperatura
Contextualização
No dimensionamento estrutural é muito importante a determinação das deformações 
dos elementos estruturais. Essas características irão determinar a rigidez necessária dos 
elementos estruturais.
Assim, a determinação das deformações das barras é importante para saber como 
será o funcionamento dos mecanismos estruturais. Para cada tipo de solicitação es-
trutural ou variação de temperatura, existem parâmetros associados que conduzem à 
deformação, bem como parâmetros a ela resistentes. 
Aspectos do dia a dia de nossa vida pessoal ocorrem também nas atividades profissio-
nais. Exemplo disso é o nosso trabalho diário. Nele, realizamos a escolha de elementos 
simples, como no caso da escolha de um suporte metálico para sustentação de um grande 
lustre de cristal, a ser instalado em um amplo salão de eventos. É possível perceber que, 
para uma determinada seção transversal do suporte, ele poderá se deformar com o peso 
do lustre, podendo até atingir a deformação plástica, que é a deformação permanente. 
Neste caso, o alongamento do suporte, o que seria indesejado. Isso ocorre também nas 
peças estruturais de grandes dimensões. Em nossa vida pessoal e nas grandes estrutu-
ras, é necessário prever as deformações das peças estruturais. 
Exemplificando com fatos do cotidiano, como podemos avaliar as dimensões da se-
ção transversal do suporte do lustre para que sua deformação esteja dentro de limites 
toleráveis? Tendo essa informação, é possível determinar previamente as deformações 
atuantes no suporte e fazer as adequações necessárias em sua forma original. 
O cálculo de sistemas estruturais mais complexos tem muita similaridade com o cál-
culo do suporte do lustre, sendo que a grande diferença entre eles é a magnitude da 
ordem de grandeza das cargas atuantes.
Da mesma maneira, seria a aplicação de peças metálicas em ambientes que sofram 
variações de temperatura. Com o calor, os materiais sofrem dilatação, aumentando de ta-
manho e de maneira inversa, se contraem com o resfriamento, diminuindo de tamanho. 
Para cada tipo de estrutura, existem questões estabelecidas e eventualidades que 
devem ser consideradas no cálculo estrutural.
As normas técnicas indicam as boas práticas para o cálculo estrutural. Assim, com 
esse exemplo simples de nosso cotidiano, como a determinação das características 
geométricas de um suporte de lustre, é possível ver a semelhança existente no cálculo 
de estruturas mais complexas presentes em seu dia a dia. 
Bons estudos!
8
9
Introdução
Os carregamentos que atuam nas estruturas geram esforços internos solicitantes nos 
elementos estruturais. Esses esforços internos geram tensões e deformações nos com-
ponentes das estruturas. A resistência de um elemento estrutural é adequada quando 
as tensões que nele atuam são iguais ou menores que as tensões máximas admissíveis. 
A rigidez de um elemento estrutural é adequada quando as deformações que nele existi-
rem forem iguais ou menores que as deformações máximas permitidas. As deformações 
nos elementos estruturais, dentre outras solicitações, também podem ser causadas por 
forças axiais e por variação de temperatura.
Características Mecânicas dos Materiais
Forças axiais são as forças normais que são aplicadas no eixo longitudinal das barras, 
isto é, são forças normais que são aplicadas no centro de gravidade das seções transver-
sais das barras.
As deformações em barras causadas por força axial são as alterações causadas em 
seus comprimentos originais e são denominadas deformações unitárias (∆L). 
As deformações causadas por força axial aplicada em barras podem ser de dois tipos:
• Deformação de alongamento: que ocorre quando a barra aumenta de tamanho 
pela ação de uma força axial de tração;
• Deformação de retração: que ocorre quando a barra diminui de tamanho pela 
ação de uma força axial de compressão.
 Propriedade Mecânica – são as respostas características dos materiais componentes 
das peças estruturais para as condições mecânicas externas.
As propriedades mecânicas dos materiais são as respostas características de cada 
material para determinadas solicitações mecânicas. 
Essas características são obtidas por meio de ensaios laboratoriais, realizados atra-
vés de procedimentos de testes padronizados que são indicados em normas técnicas. 
O objetivo da normalização de procedimentos laboratoriais é garantir que os resultados 
obtidos em quaisquer ensaios sejam comparáveis.
Classificação dos Ensaios Mecânicos:
Quadro 1 – Quanto à Integridade do Material Ensaiado
Ensaios Destrutivos
São os ensaios mecânicos que provocam a inutilização parcial, ou 
total, da peça ensaiada. São exemplos: os ensaios de dureza, fadiga, 
flexão, fluência, tenacidade à fratura, torção e tração.
Ensaios Não Destrutivos
São os ensaios mecânicos que não comprometem a integridade da 
peça ensaiada. São exemplos: os ensaios de líquidos penetrantes, 
microdureza, partículas magnéticas, raios-x, raios-γ, tomografia 
e ultrassom.
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UNIDADE Deformações em Barras por 
Carga Axial e por Temperatura
Quadro 2 – Quanto à Velocidade de Ensaio
Ensaios Estáticos São os ensaios em que a carga é aplicada lentamente. São exem-plos: os ensaios de compressão, tração, dureza, flexão e torção.
Ensaios Dinâmicos
São os ensaios em que a carga á aplicada rapidamente ou ci-
clicamente. São exemplos: os ensaios dinâmicos: ensaios de 
fadiga e impacto.
Ensaios de Carga 
Constante
São os ensaios em que a carga é aplicada durante um longo 
período. São exemplos: os ensaios de carga constante, como 
o ensaio de fluência.
Reologia é o campo da Mecânica que estuda como os materiais se deformam quando 
submetidos a tensões.
Os materiais, por sua constituição intrínseca, podem ser classificados em homogêne-
os ou heterogêneos. Os materiais homogêneos são os materiais de aspecto uniforme, 
compostos da mesma matéria (aço, madeira, alumínio, cobre etc.). Os materiais hetero-
gêneos são os materiais de aspecto variado, compostos de matérias diferentes (concreto 
armado, compósitos etc.).
Os materiais, por suas características de resistência mecânica, podem ser classifi-
cados em isotrópicos ou anisotrópicos. Os materiais isotrópicos são os materiais que 
possuem as mesmas características mecânicas em todas as direções (aço, alumínio, 
cobre etc.). Os materiais anisotrópicos são os materiais que possuem diferentes carac-
terísticas mecânicas em diferentes direções (concreto armado, madeira etc.).
Os materiais, por suas características de deformação e ruptura, podem ser dúcteis ou 
frágeis. Os materiais dúcteis são os materiais que sofrem grandes deformações perma-
nentes antes da ruptura. Neles, a tensão máxima suportada (tensão última) é maior que 
sua tensão de ruptura (aço estrutural, alumínio, bronze, chumbo, cobre, latão, magnésio, 
molibdênio, náilon, níquel, teflon etc.). Os materiais frágeis são os materiais que rom-
pem com valores muito baixos de deformação. Nesses materiais, a redução da área da 
seção transversal durante o ensaio de tração é insignificante e a tensão máxima suportada 
coincide com a tensão de ruptura (cerâmica, concreto, vidro, ferro fundido, pedra etc.).
A deformação específica (ε) é a relação entre a deformação unitária(∆L) e o compri-
mento original da barra (L). Ela é uma propriedade mecânica adimensional (Expressão 1).
ε = ∆L / L
A elasticidade dos corpos deformáveis é descrita pela “Lei de Hooke”, que foi postu-
lada por Robert Hooke (físico inglês, 1635-1703). Ela afirma que a tensão (σ) é propor-
cional à deformação dos materiais (ε) (Expressão 2).
σ ~ ε
A lei de Hooke é comprovada através de ensaios laboratoriais de tração em corpos 
de prova. A Figura 1 apresenta o diagrama de ensaio de tração em um corpo de prova 
de aço estrutural, que é um material dúctil, homogêneo e isotrópico. O gráfico mostra 
no eixo Y a tensão (força) aplicada e no eixo X a deformação do material (alongamento).
(1)
(2)
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11
σ = N / A
ε = ΔL / L
Zona de RupturaZona de Deformação Plástica
Zona de
Deformação
Elástica
Patamar de Escoamento
En
cru
am
en
to
Es
tri
cç
ão
α
σY
σu
σr
σP
Figura 1 – Diagrama de ensaio tensão versus deformação do aço estrutural
No diagrama da Figura 1, existem três zonas distintas: Elástica, Plástica e de Ruptura.
• Zona Elástica: é a região na qual é válida a Lei de Hooke. Nela, as tensões são 
proporcionais às deformações. Quando é retirada a força que gerou a deformação, 
o material volta a ter o comprimento inicial;
• Zona Plástica: é a região na qual o corpo de prova é deformado plasticamente. 
Nela, quando é retirada a força axial que gerou a deformação, o material não volta 
ao seu comprimento original. Ele fica com tamanho maior que seu tamanho original. 
Essa deformação resultante é permanente e é chamada de deformação residual;
• Zona de Ruptura: é a região na qual o material sofre uma importante redução em 
sua seção transversal que conduz o material à sua ruptura.
Importante!
Cada material tem o seu diagrama tensão versus deformação, com sua curva específica. 
Ou seja, cada material deforma à sua própria maneira em relação à tensão recebida. 
No diagrama tensão versus deformação (Figura 1), existem pontos significativos. 
São eles: 
• Tensão de proporcionalidade (σP): é a tensão abaixo da qual os materiais se 
comportam elasticamente, seguindo a Lei de Hooke. Esse valor de tensão marca 
a fronteira entre a zona elástica e a zona plástica. Para os aços com baixo teor de 
carbono, por exemplo, ela varia entre 210 MPa ≤ σP ≤ 350 MPa e, para os aços 
de alta resistência, a tensão de proporcionalidade poderá ser maior que 550 MPa;
• Tensão de escoamento (σY): é a tensão a partir da qual as deformações ocorrem 
sem haver um aumento da força aplicada. Para os aços com baixo teor de carbono, 
por exemplo, ela varia entre 210 MPa ≤ σY ≤ 420 MPa;
• Tensão última (σu): é a máxima tensão normal suportada por um material. Para 
os aços com baixo teor de carbono, por exemplo, ela varia entre 350 MPa ≤ σY ≤ 
700 MPa ;
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UNIDADE Deformações em Barras por 
Carga Axial e por Temperatura
• Tensão de ruptura (σr): é a tensão com a qual o material irá romper. Para os aços 
com baixo teor de carbono, por exemplo, ela ocorre em torno de 380 MPa;
• Patamar de escoamento: é uma região na zona plástica em que o material se 
deforma continuamente sob a ação da mesma tensão de tração.
Alguns materiais dúcteis, como o alumínio, não apresentam patamar de escoamento 
no diagrama tensão versus deformação. Nesse caso, é utilizado o Método da Equivalên-
cia, em que é adotada a deformação específica 0,2 % para determinar o valor da tensão 
de escoamento (Figura 2).
σ = N / A
σy
σu
0,2% ε = ΔL / L
σr
Figura 2 – Diagrama tensão versus deformação do alumínio
• Estricção: é o fenômeno da redução percentual da área da seção transversal do 
corpo sob força axial de tração, sendo essa a região em que irá ocorrer a ruptura 
(Figura 3).
N
N
LF L
Estricção
Corpo de prova
depois do ensaio
de tração
Corpo de prova
antes do ensaio
de tração
Figura 3 – Estricção
A estricção mede a ductilidade do material. Os materiais dúcteis sofrem grande redu-
ção da área da seção transversal antes de sua ruptura. A estricção pode ser avaliada pela 
redução percentual da área da seção transversal (Expressão 3) ou pelo seu alongamento 
percentual no comprimento da peça (Expressão 4).
12
13
 
 % *100f
A A
Estricção
A
− 
=  
 
Onde: 
• A = área original seção transversal da barra
• Af = área final da seção transversal da barra
 % *100f
L L
Estricção
L
− 
=  
 
Onde:
• L = comprimento inicial da barra
• Lf = comprimento final da barra
O diagrama tensões versus deformações para os materiais frágeis é apresentado na 
Figura 4. 
σ = N / A
σu = σr
ε = ΔL / L
Figura 4 – Diagrama tensão versus deformação de materiais frágeis
Robert Thomas Young (físico inglês, 1773 -1829) estudou a relação de proporciona-
lidade nos materiais, que Robert Hooke havia proposto inicialmente. Ele observou que, 
para cada material, existe uma relação única de proporcionalidade entre tensão e defor-
mação. Essa relação foi denominada de Módulo de Elasticidade (E), também chamada 
de Módulo de Young.
Os valores de referência do Módulo de Elasticidade de alguns dos materiais mais utili-
zados são apresentados na Tabela 1. Vale lembrar que os materiais citados são encontra-
dos na forma de ligas compostas com outros materiais, portanto, na prática, pequenas 
variações podem ser percebidas.
(3)
(4)
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UNIDADE Deformações em Barras por 
Carga Axial e por Temperatura
Tabela 1 – Valores de Módulo de Elasticidade
Material E (GPa)
Aço 205
Alumínio 70
Cobre 110
Concreto (compressão) 14 a 28
Latão 97
Madeira (compressão) 7 a 14
Magnésio 45
Níquel 204
Titânio 107
Tungstênio 407
Utilizando o conceito de Young, a Lei de Hooke (expressão 2) fica escrita desta forma:
σ = E * ε
Assim, com (5), o módulo de elasticidade é:
E = σ / ε = tg α
Obs.: O ângulo (α) é mostrado no diagrama tensão versus deformação (Figura 1).
As principais propriedades mecânicas dos materiais são:
• Ductilidade: é a capacidade mecânica do material de se deformar plasticamente 
antes de se romper;
• Fragilidade: é a capacidade mecânica do material de, rapidamente, perder seu 
estado original. É o oposto da capacidade mecânica de ductilidade;
• Resiliência: é a capacidade mecânica do material de absorver energia mecânica 
em regime elástico. Assim, é a habilidade de um material em absorver energia sem 
danos permanentes ao material;
• Tenacidade: é a capacidade mecânica do material de absorver energia mecânica 
até a sua ruptura;
• Fadiga: é o fenômeno de ruptura progressiva de materiais sujeitos a ciclos repetidos 
de tensão ou deformação;
• Elasticidade: é a capacidade mecânica de um material de retornar ao estado inicial 
após a retirada da tensão;
• Plasticidade: é a capacidade mecânica de um material em se deformar por tensão 
igual ou superior ao limite de escoamento. 
(5)
(6)
14
15
Deformação por Carga Axial
Em uma barra com comprimento (L) e área (A), quando é aplicada uma força axial de 
tração (N), surge uma deformação unitária (∆L) conforme a figura 5.
 
L L
N
N
ΔL
Figura 5 – Alongamento (∆L) em barra causado por força axial
• Como: σ = N / A (7)
• e: σ = E * ε (5) 
• e: ε = ∆L / L (1) 
Com (1) em (5) e igualando com (7): E * ∆L / L = N / A :
 * 
 * 
N LL
E A
∆ =
O produto no denominador (E*A) é denominado Rigidez Axial.
A rigidez axial é o fator que restringe o alongamento de uma barra sujeita a uma força 
axial. Portanto, quanto maior for a rigidez axial, menor será a deformação de uma barra 
sujeita à carga axial.
Exemplo 1
O conjunto da Figura 6 é composto por uma barra de aço de secção circular (1) com 
área de seção transversal de 100 cm2 e por uma barra de aço de secção circular (2) com 
área de seção transversal de 250 cm2. O peso próprio das duas barras é desprezado, 
sendo aplicadas as cargas concentradas de 20 kN e 50 kN. Determinar o deslocamento 
do ponto A localizado na extremidade superior da barra 1. Dado: Eaço = 200 GPa.
(8)
15
UNIDADE Deformações em Barras por 
Carga Axial e por Temperatura
 
P1 = 20 kN
P2 = 50 kN
a = 0,4 m
b = 0,6 m
A
1
2B
C
Figura 6 – Representação gráfica conceitual do exemplo 1
Solução
O conjunto estrutural apresentado na Figura 6 está apoiado no ponto (C). Ele está 
sujeito a duas cargas concentradas em dois pontos em seu comprimento (A) e (B). 
Inicialmente será feito o diagrama de corpo livre e inserido um eixo referencial (Y) 
(Figura 7).
P1 = 20 kN
Y
P2 = 50 kN
a = 0,4 m
b = 0,6 m
RVC
A
B
C
1
2
Figura 7 – Diagrama de Corpo Livre da Estrutura do exemplo 1
Reações de Apoio
∑ V = 0 ↑
(+)
+RVC – 20 – 50 = 0 
RVC = 70 kN ↑ (1) – resultado da reação vertical do apoio c. 
16
17
Força Normal (Axial)
O deslocamento vertical do ponto (A) está relacionado com a deformação de cada 
trecho da barra. Assim, será feito o cálculo e diagramas da força normal em cada trecho 
da barra.
0 < Y < 0,4 m (Figura 8)
P1 = 20 kN
Y
A
1
Figura 8 – Trecho 0 < Y < 0,40 m – Estrutura do exemplo 1
N = – 20 kN (compressão) (2) – força normal constante (valor constante de força 
normal no trecho 0 < Y < 0,4 m) .
0,4 m < Y < 1,0 m (Figura 9)
P1 = 20 kN
P2 = 50 kN
a = 0,4 m
Y
A
B
C
1
2
Figura 9 – Trecho 0,4 m < Y < 1,0 m – Estrutura do exemplo 1
N = – 20 – 50 = – 70 kN (compressão) (3) – força normal constante (valor constante 
de força normal no trecho 0,4 m < Y < 1,0 m) .
O diagrama de forças normais é apresentado na Figura 10 .
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UNIDADE Deformações em Barras por 
Carga Axial e por Temperatura
P1 = 20 kN
20 kN
70 kN
N (kN)
(–)
(–)
(–) (+)
P2 = 50 kN
RVC = 70 kN
a = 0,4 m
y
b = 0,6 m
A
B
C
N
1
2
Figura 10 – Gráfico de Forças Normais do exemplo 1
Deformações por Força Axial
Trecho AB 
∆LAB = (–NAB * LAB) / (Eaço * AAB) = (–20*10
3 * 0,4) / (200*109 * 100*10–4)
∆LAB = – 8.000 / 2,0*10
9
∆LAB = – 4*10
–6 m = – 0,004 mm (encurtamento).
Trecho BC
∆LBC = (–NBC * LBC) / (Eaço * ABC) = (–70 *10
3 * 0,6) / (200*109 * 250*10–4)
∆LBC = – 42.000 / 5,0*10
9
∆LBC = – 8,4*10
–6 m = – 0,0084 mm (encurtamento).
∆LAC = ∆LAB + ∆LBC = (–0,004) + (–0,0084) = – 0,0124 mm (encurtamento)
Assim, ∆A = │∆LAC │ = 0,0124 mm ↓
Exemplo 2
A barra rígida (indeformável) AB da Figura 11 tem peso próprio desprezível. Ela é 
articulada no ponto (A) e suspensa por dois cabos em (B) e (D). Na aplicação da força 
P = 80 kN na posição (F), calcular:
• A tensão normal nos cabos (1) e (2);
• A reação vertical no apoio (A).
Dados: L1 = L2; E1 = 70 Gpa; E2 = 210 Gpa; A1 = A2 = 8*10
−4 m2
18
19
A
E
P
B
C
1 2
F
L1 = L2
dd2d
D
Figura 11 – Estrutura do exemplo 2
Solução
A estrutura apresentada na Figura 2 é uma barra apoiada no ponto (A) e suportada por 
cabos no ponto (B) e no ponto (D). Ela está sujeita a uma carga concentrada no ponto (F). 
Inicialmente será feito o diagrama de corpo livre da barra AB (Figura 12).
A
P
B
F
F1 F2
RVA
RHA
dd2d
D
Figura 12 – Diagrama de Corpo Livre da Estrutura do exemplo 2
Equilíbrio Estático
∑ V = 0 ↑
(+)
+RVA + F1 + F2 – P = 0 (1) – equação
∑ M = 0 (+)
Efetuando a somatória dos momentos em relação ao apoio fixo (A): 
– F1 * 2d + P * 3d – F2 * 4d = 0
(–2F1 – 4F2) * d = – 3P * d
2F1 + 4F2 = 3P (2) – equação
19
UNIDADE Deformações em Barras por 
Carga Axial e por Temperatura
Este problema é hiperestático, porque existem duas equações e três incógnitas. Para ob-
ter mais uma equação, é necessário fazer a compatibilidade de deslocamentos (Figura 13).
ΔL1
ΔL2
A
1 2
P
E C
B
F
dd2d
D
 
Figura 13 – Deslocamentos da Estrutura do exemplo 2
Pelo Teorema de Tales de Mileto (Regra de Três):
∆L1 → 2d ∆L1 / 2d = ∆L2 / 4d → 4d*∆L1 = 2d*∆L2
∆L2 → 4d 2∆L1 = ∆L2 
Da equação (8):
2*(F1*L1 /E1*A1) = (F2*L2 / E2*A2); sendo: L1 = L2 e A1 = A2 (da Figura 11)
2*(F1 / E1) = (F2 / E2)
No problema:
2*(F1 / 70*10
9) = (F2 / 210*10
9)
2*F1 = F2 / 3
F1 = F2 / 6 → F2 = 6*F1 (3) – equação
Com (3) em (2):
2F1 + 4*(6 F1) = 3P → 26*F1 = 3P
F1 = 3*P / 26 ↑ (4) – resultado (tração no cabo 1)
Com (4) em (3):
F2 = 6*(3*P / 26)
F2 = 9*P/13 ↑ (5) – resultado (tração no cabo 2)
a) Tensão Normal nos Cabos (é dado que P = 80 kN)
Com (4): F1 = 3*(80 / 26) = 9,23 kN
Com (5): F2 = 9*(80 / 13) = 55,38 kN
σ1 = F1 / A1 = 9,23*10
3
 / 8*10
–4
 = + 11,54 MPa
σ2 = F2 / A2 = 55,38*10
3
 / 8*10
–4
 = + 69,23 MPa
}
20
21
b) Reação vertical no apoio (A)
Com (1):
+RVA + F1 + F2 – P = 0 
+RVA + 9,23*10
3 + 55,38*103 – 80*103 = 0
+RVA – 15,39*10
3 = 0
RVA = 15,39 kN ↑ (6) – resultado da reação vertical do apoio (A)
Deformação por Temperatura
Deformação em barras causada por variação de temperatura ocorre devido aos efeitos 
térmicos, isto é, devido à variação de temperatura.
As deformações em barras causadas por variação de temperatura podem ser:
• Deformação de expansão: que é causada por aumento de temperatura;
• Deformação de contração: que é causada por redução de temperatura;
• Coeficiente de Dilatação Térmica (α) ou Coeficiente de Expansão Térmica:
é uma propriedade relacionada à dilatação de cada material em função da variação 
de temperatura. Essa propriedade é inerente e única para cada material;
• Deformação Térmica Específica (εT): é um valor adimensional que relaciona o 
coeficiente de dilatação térmica com uma variação de temperatura;
• A Deformação Térmica Específica (εT): é dada pela expressão (9).
εT = α * (∆T) 
Onde: ∆T = variação de temperatura
Os valores do coeficiente de dilatação térmica de alguns dos materiais mais utilizados 
são apresentados na Tabela 2. Vale lembrar que os materiais citados são encontrados 
na forma de ligas compostas com outros materiais, portanto, na prática, pequenas va-
riações podem ser percebidas.
Tabela 2 – Valores do Coefi ciente de Dilatação Térmica de alguns materiais
Material α (10–6 / 0C)
Aço 12
Alumínio 26
Bronze 18-21
Cobre 16,6-17,6
Concreto 7-14
Ferro Fundido 9,9-12
Latão 19,1-21,2
Tungstênio 4,3
(9)
21
UNIDADE Deformações em Barras por 
Carga Axial e por Temperatura
• Deformação Térmica Absoluta (∆LT): é o valor da deformação de uma barra sujeita 
a uma variação de temperatura. 
Para um corpo elástico, a deformação térmica absoluta (∆LT) é dada pela expres-
são (10).
∆ LT = α * (∆T) * L
Onde: L = comprimento original da barra
• Tensão Térmica (σ): são as tensões provenientes de variação de temperatura cau-
sadas em barras.
A tensão causada por variação de temperatura em barras fixas é dada pela expressão (11).
σ = E * α * (∆T) 
Exemplo 3
Um tubo de alumínio mede 72 m à temperatura de 24oC. Um tubo de aço, à mesma 
temperatura, é 20 mm mais longo. Calcular em qual temperatura esses tubos terão o 
mesmo comprimento.
Dados: αALUMÍNIO = 21,6*10
−6 / oC; αAÇO = 11,7*10
−6 / oC
Solução
A Figura 14 representa, para a temperatura de 24oC, no esquema (a), o tubo de alu-
mínio e, no esquema (b), o tubo de aço. Na Figura 14, os desenhos (c) e (d) representam 
os tubos alongados de alumínio e de aço, respectivamente. Os tubos são alongados 
diferentemente, devido à ação da variação de temperatura.
a)
Alumínio = 72.000 mm
Alumínio = 72.000 mm
Aço = 72.020 mm
Aço = 72.020 mm ΔLT (AÇO) 
ΔLT (ALUMÍNIO) 
b)
c)
d)
Figura 14 – Barras do exemplo 3
Sendo: 
Deformação térmica absoluta → ∆ LT = α * (∆T) * L (1) – equação
Para atender ao enunciado do exemplo:
(10)
(11)
22
23
LALUMÍNIO + ∆ LT(ALUMÍNIO) = LAÇO + ∆ LT(AÇO) (2) – equação
Com (1) em (2) e substituindo os dados do exemplo:
72.000 + (21,6*10–6 * 72.000 * ∆T) = 72.020 + (11,7*10−6 * 72.020 * ∆T)
(21,6*10–6 * 72.000 * ∆T) – (11,7*10−6 * 72.020 * ∆T) = 72.020 – 72.000
∆T * (21,6*10–6 * 72.000) – (11,7*10−6 * 72.020) = 20
∆T = 20 / (21,6*10−6 * 72.000 – 11,7*10−6 * 72.020)
∆T = 20 / (1,5552 – 0,8426)
∆T = 20 / 0,7126 = 28,07 oC ← Variação da temperatura
Portanto: T = 24 + 28,07 = 52,07 oC
Assim, à temperatura t = 52,07 oC, as barras teriam os seguintes comprimentos:
LALUMÍNIO = 72.000 + (21,6*10
−6 * 28,07 * 72.000) = 72.000 + 43,65 ≈ 72.043 mm
LAÇO = 72.020 + (11,7*10
−6 * 28,07 * 72.020) = 72.020 + 23,65 ≈ 72.043 mm
Exemplo 4
Uma barra de aço de 1.500 mm e área de 400mm2, foi ajustada em suas extremi-
dades a anteparos fixos à temperatura de 25oC. Determinar a tensão atuante na barra 
quando sua temperatura for 38oC.
Dados: α AÇO = 11,7*10−6 / oC; E AÇO = 200 GPa.
Solução
O aumento de temperatura irá gerar um aumento no comprimento da barra de aço 
(Figura 15). Como isso, devido à existência dos anteparos nas extremidades, esse au-
mento no comprimento da barra fará surgir uma tensão normal de compressão devido 
ao surgimento de uma força normal interna.
a)
Aço = 1.500 mm
Aço = 1.500 mm
A B
B1
ΔLT (AÇO) 
ΔLT (AÇO) 
B1
A
A
RHA RHB
b)
c)
Figura 15 – Situações do exemplo 4
Se a barra fosse livre na extremidade (B), a barra poderia alongar e atingir a posição 
(B1) (Figura 15-b):
∆T = TFINAL – TINICIAL = 38 – 25 = 13 
oC 
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UNIDADE Deformações em Barras por 
Carga Axial e por Temperatura
∆LT = α * (∆T) * L = 11,7*10–6 * 13 * 1.500*10–3 = 0,228*10–3 m (1) – resultado do 
alongamento da barra se fosse livre em (B).
Como a barra é fixa na extremidade (B), o alongamento devido à variação de tem-
peratura não existirá. Assim, o apoio em (B) apresenta uma reação (RHB) para manter a 
barra na posição inicial e a deformação resultante será (Figura 15-c):
∆LAB = – (NAB * LAB ) / (Eaço * AAB) 
∆LAB = – (RHB * 1.500*10
–3) / (200*109 * 400*10–6)
∆LAB = – RHB * 18,75*10
–9 (2) – resultado da retração necessária para voltar a extre-
midade (B) para a posição inicial.
A deformação devido à temperatura provocaria um alongamento (∆LT) e a deforma-
ção devido à carga normal provocaria uma retração (∆LAB). A deformação final da barra 
seria nula, porque ela está fixa e ajustada em suas extremidades (A) e (B). Assim:
∆ LT + ∆LAB = 0 (3) – expressão de equilíbrio de deformações.
Então, com (1) e (2) em (3):
0,228*10–3 – RHB * 18,75*10
–9 = 0
RHB = 12,16 kN ← (4) – resultado da reação horizontal na extremidade (B).
Para equilíbrio de corpo:
RHA = 12,16 kN → (5) – resultado da reação horizontal na extremidade (A).
A tensão atuante na barra devido à variação de temperatura será:
σ = N / A = 12,16*103 / 400*10–6 = 30,40 MPa (6) – tensão normal na barra.
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Mecânica básica
DUARTE, D. A. Mecânica básica. São Paulo: Pearson Education, 2015. 192 p. 
(e-book)
Elementos de Máquinas em projetos mecânicos
MOTT, R. L. Elementos de Máquinas em projetos mecânicos. 5ª ed. São Paulo: 
Pearson Education, 2015. 920 p. (e-book)
Mecânica dos materiais avançada
PEREIRA, C. P. M. Mecânica dos materiais avançada. Rio de Janeiro: Interciência, 
2014. 432 p. (e-book)
Fundamentos de resistência dos materiais
PINHEIRO, A.C.F.B.; CRIVELARO, M. Fundamentos de resistência dos materiais.
Rio de Janeiro: LTC, 2017. 195 p. (e-book)
Ciência dos materiais
SHACKELFORD, J. F. Ciência dos materiais. 6. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2008. 576 p. (e-book)
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UNIDADE Deformações em Barras por 
Carga Axial e por Temperatura
Referências
ASSAN, A. E. Resistência dos Materiais. Vol. 1. Campinas, SP: UNICAMP, 2010. 
BEER, F. P.; JOHNSTON JR. E. R.; EISENBERG, E. R.; CLAUSEN, W. E. Mecânica 
Vetorial para Engenheiros. Estática. 7. ed. Porto Alegre: Bookman, Artmed, 2006.
________; DEWOLFE, J. T. Resistência dos Materiais. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 
Artmed, 2006.
CRAIG JR., R. R. Mecânica dos Materiais. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.
HIBBELER, R. C. Estática. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
________. Resistência dos Materiais. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999. 
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia. 5. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2009.
RILEY, W. F.; STURGES, L. P.; MORRIS, D. H. Mecânica dos Materiais. 5. ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 2003.
SHEPPARD, S. D.; TONGUE, B. H. Análise e Projeto de sistemas em Equilíbrio. 
Estática. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
UGURAL, A. C. Mecânica dos Materiais. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
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