Apostila Algebra EJA

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PROJETO FAMÍLIA ESCOLA
	EJA: IV Segmento
	Aluno(A): ______________________________________________________________
	Escola Municipal Angelina Medrado
Disciplina: MATEMÁTICA
	
	Número de aulas por semana : 04
	Total de semanas: 05
SEMANA 01 
A pergunta é: Porque usamos letras em uma operação matemática?
É comum vermos as letras presentes nas operações matemáticas. Mas para que usamos letras e como podemos resolver essas operações? 
É comum acharmos que esse conteúdo é difícil, mas vou te mostrar que é muito fácil e legal trabalhar com as letras.
O que é álgebra?
Esse desafio parece difícil, não é? Mas ao longo da apostila você irá aprender como resolvê-lo de maneira fácil e rápida. Tenho certeza que ao terminar essa apostila você conseguirá voltar neste desafio e resolvê-lo facilmente. Vamos lá?
Você sempre ouviu falar de álgebra sem realmente saber o significado desse termo? Estamos aqui para explicar o que este ramo da matemática significa!
A álgebra pode ser como chinês para uma pessoa que ainda não a dominou. No entanto, as soluções costumam ser muito mais simples do que imaginamos!
Tomando emprestada sua etimologia da língua árabe, a álgebra tem sido usada há séculos pelos maiores pensadores do mundo, como o matemático e astrônomo do século IX Al-Khwarizmi. Desde a antiguidade, e particularmente no Egito e no Oriente Médio, as pessoas começaram a resolver problemas mais ou menos complexos para lidar com certas situações cotidianas.
A álgebra é agora considerada como o ramo matemático da resolução de um problema por meio de símbolos precisos, a fim de generalizar os resultados matemáticos. 
Nos estudos de álgebra, letras são utilizadas para representar números. Essas letras tanto podem representar números desconhecidos quanto um número qualquer pertencente a um conjunto numérico. Se x é um número par, por exemplo, então x pode ser 2, 4, 6, 8, 10, .... Dessa maneira, x é um número qualquer pertencente ao conjunto dos números pares e fica evidente o tipo de número que x é: um múltiplo de 2.
Então respondendo a primeira pergunta, usa-se letras nas operações matemáticas quando queremos representar valores que ainda não conhecemos, a mais usada é a letra x, mas qualquer letra do alfabeto pode ser usada também. Observe o exemplo para entender melhor:
Somando-se o número 10 com outro número o resultado é 21. Que número é esse?
Podemos representar assim: 
	10+(Número que não sabemos) = 21	
10+x = 21
Essa é uma questão muito comum no uso da álgebra, vamos pensar que você foi as compras e comprou um anel de 10 reais e um óculos que você esqueceu o preço, mas você sabe que gastou um total que 21 reais. Quanto custou o óculos? 
Agora é fácil, só precisamos pegar o número 21 e subtrair 10, a resposta é 11. Ou seja, o óculos custou 11 reais. 
Fácil, não é?
Agora que você já sabe o que é álgebra e para que usamos, vamos aprofundar um pouco mais.
O que é expressão algébrica?
É uma expressão formada por operações matemáticas que envolvem números conhecidos e desconhecidos.
As expressões algébricas são formadas por três itens básicos: números conhecidos, números desconhecidos e operações matemáticas. Os números desconhecidos são chamados de incógnitas e normalmente são representados por letras. Alguns livros e materiais também os denominam de variáveis. Os números que acompanham essas incógnitas são chamados de coeficientes. Assim sendo, são exemplos de expressões algébricas:
1) 4x + 2y
2) 16z
3) 22xa + y – 164x2y2
(Sempre que você ver o termo variável ou incógnita estará se referindo a LETRAS, podendo ser usadas qualquer uma do nosso alfabeto).
No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.
Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.
As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.
Agora vamos aprender a escrever uma expressão algébrica de acordo com as informações apresentadas.
Exemplo: Se a letra y representa um número natural, escreva a expressão algébrica que representa cada um dos seguintes fatos:
1. O dobro desse número.
Lembrando que quando falamos (esse número) estamos nos referindo a letra y, então sempre que falar (esse número) colocaremos a letra y. Voltando a questão acima:
O dobro é 2 vezes e esse número, como não sabemos qual é, vamos representar pela letra y.
Então o dobro de y é representado por 2. Y.
(Agora para representarmos a operação vezes ao invés de usarmos a letra x usaremos um ponto).
2. O sucessor desse número.
O sucessor de um número é esse número mais 1 unidade.
Y+1
3. O antecessor desse número (se existir).
O antecessor de um número é esse número menos 1 unidade.
Y-1
4. O triplo desse número mais 2 unidades.
O triplo é 3 vezes esse número e iremos somar com 2.
3Y+2
Valor numérico das expressões algébricas
Quando a incógnita deixa de ser um número desconhecido, basta substituir seu valor na expressão algébrica e resolvê-la do mesmo modo que as expressões numéricas. Para tanto, é preciso saber que o coeficiente sempre multiplica a incógnita que acompanha. Como exemplo, vamos calcular o valor numérico da expressão algébrica a seguir, sabendo que x = 2 e y = 3.
4x2 + 5y
 substituindo os valores numéricos de x e y na expressão, teremos:
4·22 + 5·3
Observe que o coeficiente multiplica a incógnita, mas, para facilitar a escrita, o sinal de multiplicação é omitido nas expressões algébricas. Para finalizar a resolução, basta calcular a expressão numérica resultante:
4·22 + 5·3 =
4·4 + 5·3 =
16 + 15 =
31
Vale dizer que duas incógnitas que aparecem juntas também estão sendo multiplicadas. Se a expressão algébrica acima fosse:
2xy + xx + yy = 2xy + x2 + y2
Seu valor numérico seria, lembrando que x = 2 e y = 3.:
2 x y + x2 + y2 =
2·2·3 + 22 + 33 =
12 + 4 + 9 =
25
Atividades
1) Observem a sequência que se segue:
…
 
a) Representem os próximos quatro elementos da sequência.
b) Qual o elemento que ocupa a posição 8 da sequência?
c) Sem desenhar, digam qual o elemento que ocupa a posição 21 da sequência? Expliquem como chegaram a essa conclusão.
d) Como podem descrever a regra de formação da sequência?
2) Represente usando x e y como variáveis:Lembrando que as operações são:
Soma= Sinal de mais +
Diferença= Sinal de menos –
Multiplicação= Sinal de vezes x
Divisão= sinal de dividir ÷
Quadrado= Número elevado a 2 potência. X²
Exemplo: A soma de dois números. 
Resposta: X+Y
a) A soma do dobro de um número com outro. _________
b) A soma dos quadrados de dois números. ___________
c) A soma de um número com o triplo de outro. ________
d) A diferença entre um número e outro. ______________
e) A multiplicação de um número e outro. _____________
3) Encontre o valor numérico das seguintes expressões para x=4 e y=2(Lembrando que é só substituir as letras por números:
a) x+y
b) 2x+y
c) x+3y
d) x÷y
e) x²+4y
Exemplo: Calcular o valor numérico de 2x + 3ª para x = 5 e a = - 4.
Solução:
Vamos trocar x por 5 e a por – 4.
2x + 3a = 2. 5 + 3. (- 4)
= 10 + (- 12)
= 10 – 12
= - 2SEMANA 02 
Equações
Equações são sentenças matemáticas que apresentam:
· Número;
· Letra (Também chamada de incógnita ou variável);
· Sinal de igualdade.
É imprescindível que uma equação tenha letra e sinal de igual, só será uma equação se tiver esses dois componentes.
Exemplos:
a) X – 3 =12
· A variável (ou letra) é x. E a expressão é uma equação porque tem letra e sinal de igual.
b) 3y + 7 -15
· A variável (ou letra) é y. E a expressão não é uma equação porque apesar de ter número e letra não tem sinal de igual.
Atenção: A expressão antes do sinal de igual chamamos de 1º membro.
 A expressão depois do sinal de igual chamamos de 2º membro.
Exemplo:
2x – 1 = x + 71º membro 2º membro
Cada membro é formado por uma soma de termos:
· Os termos do 1
º membro são: 2x e -1
· Os termos do 2º membro são: x e 7
Nesta apostila estudaremos apenas as equações de 1º grau, isto é, quando a variável (letra) apresenta expoente 1.
Exercícios:
4) Quais sentenças a seguir são equações:
a) 
b) 5x – 4 = 10
c) 2x + 1 ˂ 7
d) 4x -1 = 2/3
e) X – 1 + 8 = 6x
f) 5x² - x – 4 = 8
g) X + 4 - ½ ˃ 8
5) Dada a equação 7x - 3 + x = 5 - 2x, responda:
a) 
b) Qual é o primeiro membro? _______________________
c) Quais são os termos do 1º membro? ________________
d) Qual é o 2º membro? _________________________
e) Quais são os termos do 2º membro? _______________
Resolvendo uma equação de 1º grau
Resolver uma equação é determinar o seu conjunto verdade, ou seja, os valores possíveis para a incógnita (letra).
· Atenção: A solução de uma equação é chamada de raiz da equação.
Exemplos: 
 Qual número devo colocar no lugar de x para ter uma sentença verdadeira?
a) X + 1 = 8
 +1 = 8
Resposta= {7}
Ou seja, o valor de x é 7. 
Porque 7+1=8
b) 2 x – 1 = 15
 2. -1 = 15
 Resposta= {8}
Ou seja, o valor de x é 8. 
Porque 2.8-1=15
SEMANA 03 
Exercícios (Faça como os exemplos da semana anterior)
6) Qual o número que colocado no lugar de x, torna a equação x + 9 = 13 verdadeira?
a) 3
b) 4
c) 12
d) 21
7) Qual a raiz da equação x - 7 = 10?
a) 
b) 3
c) 4
d) -3
e) 17
8) 
9) Verifique se o número 2 é raiz da equação 5x – 1 = 9? (Para isso só substitua o x pelo número 2).
10) Verifique se o número 3 é raiz da equação 2x + 5 = 9? (Para isso só substitua o x pelo número 3).
Agora você irá aprender a resolver estas equações de uma forma prática, sem ter que passar muito tempo pensando. Vamos lá?
MÉTODO PRÁTICO PARA RESOLVER EQUAÇÕES
Que tal conhecer um método prático de resolver equações para facilitar o trabalho de encontrar o valor de uma incógnita? 
Antes de conhecer esse método, você precisa estar habituado com os lados de uma igualdade, isto é, seu primeiro e segundo membros. Tendo a igualdade como referência, chamaremos todos os números que estão à sua direita de primeiro membro e todos os números que estão à sua esquerda de segundo membro. Por exemplo, dada a equação:
6x + 1 = 2x + 9
O primeiro membro é 6x + 1, e o segundo membro é 2x + 9. Além disso, nessa equação, cada parcela que é somada é chamada de termo. Os termos da equação são: 6x, 1, 2x e 9.
Uma equação estará resolvida quando, após uma série de operações matemáticas, a incógnita x ficar isolada no primeiro membro.
O método prático para a solução de equações será desenvolvido nos quatro passos seguintes.
1 - Primeiro Passo: termos que possuem incógnita (x) sempre no primeiro membro.
No primeiro passo, os termos que possuem incógnita deverão ser reescritos no primeiro membro da equação, isto é, do lado esquerdo da igualdade. Para trocá-los de membro, as seguintes regras devem ser respeitadas:
1 – Se o termo estava somando, ao trocar de membro, ele vai subtrair, lembrar que sempre quando o sinal não aparecer é porque está somando;
2 – Se o termo estava subtraindo, ao trocar de membro, ele vai somar;
3 – Se o termo estava multiplicando, ao trocar de membro, ele vai dividir;
4 – Se o termo estava dividindo, ao trocar de membro, ele vai multiplicar.
Exemplo: Na equação abaixo, realizaremos o primeiro passo.
6x + 1 = 2x + 9 (Não apareceu o sinal, mas sabemos que quando isso acontece é soma)
6x – 2x +1 = 9
Repare que o termo 2x passou do lado direito da igualdade para o lado esquerdo. Como ele estava somando, ao trocar de lado, teve sua operação trocada. Por isso, apareceu do lado esquerdo como – 2x.
Na realidade, sempre que um termo for trocado de membro, a operação que ele realiza deverá ser invertida. O inverso da soma é a subtração, e o inverso da multiplicação é a divisão.
Se um termo já estiver no membro correto, não é necessário trocá-lo de lado nem inverter sua operação.
2 - Segundo passo: Termos que não possuem incógnita (x) sempre no segundo membro.
Nessa etapa deve ser feito o mesmo que foi feito na etapa anterior, mas com os termos que não possuem incógnita. Esses devem ser reescritos no segundo membro da equação, isto é, do lado direito da igualdade. Portanto, números que não estiverem acompanhados de incógnita deverão ser reescritos do lado direito da igualdade e, para isso, deve-se observar as regras 1 a 4 do primeiro passo.
Exemplo: Realizaremos o segundo passo no exemplo anterior.
6x + 1 = 2x + 9
6x – 2x +1 = 9
6x – 2x = 9 – 1
Note que o número 1 era positivo do lado esquerdo. Como teve que trocar de lado, inverteu sua operação. Portanto, foi reescrito do lado direito como – 1.
3 - Terceiro passo: Realizar as operações resultantes.
Quando todos os termos estiverem nos membros corretos da equação, ela poderá ser simplificada, ou seja, todas as operações resultantes deverão ser realizadas.
Antes de iniciar esse passo, é possível perceber que todos os números estarão do lado direito da igualdade e todas as incógnitas estarão do lado esquerdo da igualdade.
Exemplo. Continuando no exemplo anterior, teremos:
6x + 1 = 2x + 9
6x – 2x +1 = 9
6x – 2x = 9 – 1
4x = 8
4 - Quarto passo: Isolar a incógnita.
Geralmente esse passo é realizado porque, após as operações do passo anterior, os resultados são equações como a do exemplo seguinte:
4x = 8
O resultado de uma equação é dado quando a incógnita x é isolada no primeiro membro, isto é, quando ela fica sozinha após a realização de todas as operações matemáticas possíveis. O que é possível fazer nesse caso é passar o número 4, que acompanha a incógnita x, para o segundo membro da equação. Contudo, lembre-se da regra presente no primeiro passo: o número 4 está multiplicando a incógnita x, ao mudar de membro, deve mudar para a operação inversa, isto é, ao passar para o lado direito, 4 deve dividir e não multiplicar. Observe o passo a passo:
4x = 8
x = 8
      4
x = 2
Exemplo: Calcule o valor de x na equação abaixo:
25x – 19 = – 15x + 21
Seguindo os passos acima, teremos:
1º passo: 25x – 19 + 15x = 21
2º passo: 25x + 15x = 21 + 19
3º passo: 40x = 40
4º passo: x = 40
                    40
x = 1
Solução: x = 1. 
Atividades:
11) Resolva as equações usando o método prático:
a) 3x=15
b) 2x=14
c) 4x=12
d) 7x=28
e) 9x=9
f) 11x=33
12) 
13) Encontre o valor de x nas equações a seguir:
a) 6x = 2x + 16
b) 2x – 5 = x + 1
c) 2x + 3 = x + 4
d) 5x + 7 = 4x + 1
SEMANA 04 
Aprendendo equação por meio de problemas
Chamamos de problemas do 1º grau aqueles que são resolvidos por meio de uma equação do 1º grau.
Na resolução de problemas, você deve:
a) Representar a incógnita do problema por uma letra;
b) Armar a equação do problema.
c) Resolver a equação.
d) Verificar se a solução satisfaz as condições do problema
Exemplo
O triplo de um número, diminuído de 12, é igual a 33. Que número é esse?
Solução:
Equação:
· Triplo de um número 3x
· Diminuído de 12 3x -12
· É igual a 33 3x -12 = 33
Resolução: 3x -12 = 33
 3x = 33 + 12
 3x = 45
 x= 45/3
 x=15
Resposta: O número procurado é 15. 
Exercícios:
14) O dobro de um número, aumentado de 15, é igual a 49. Qual é esse número?
15) A soma deum número com seu triplo é igual a 48. Qual é esse número?
16) A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades sabendo que a soma das idades do pai com a do filho é 60 anos.
17) Somando 5 anos ao dobro da idade de Sônia, obtemos 35 anos. Qual a idade de Sônia?
18) O dobro de um número, diminuído de 4, é igual a esse número aumentado de 1. Qual é esse número?
19) O triplo de um número mais dois, é igual ao próprio número mais 4. Qual é esse número?
SEMANA 05 
 Ainda usando problemas, vamos imaginar o conceito equação como uma balança.
Para resolver uma equaçãode 1º grau, uma técnica útil é imaginar uma balança. Entenda o conceito e aprenda a resolver esse tipo de equação. Em uma balança de pratos, como a que você vê abaixo, há equilíbrio apenas se os dois pratos possuírem a mesma massa. 
Imagine que alguém colocou quatro objetos iguais em um dos pratos da balança e dois pesinhos (que você sabe quanto pesam!). Se os pratos ficarem equilibrados, quer dizer que os objetos de um lado têm a mesma massa das do outro. Como você não sabe quanto pesam os cubinhos, você vai dizer que eles pesam "x": 
Se for colocado um objeto x de cada lado, a balança continua em equilíbrio, já que é a mesma massa que foi adicionada a cada lado.
Agora podemos montar a equação:
x+x+x+x+x = x+100+100
Agora podemos juntar os semelhantes
5x = x+200
Agora vamos separar, no primeiro membro apenas as letras e no segundo membro os números, mas não se esqueça, sempre que mudamos um termo de membro devemos mudar o sinal dele.
5x-x= 200
4x=200
Como o x está multiplicando o 4 vamos passar ele para o outro lado da igualdade com a operação contrária que é a divisão.
X=200/4
X=50 gramas
Ou seja, o bloco x tem 50 gramas
Vamos pôr em prática!
20) Sabendo que as balança a seguir estão em equilíbrio, calcule o valor de x em cada uma delas:
a) 
b) 
c) 
d) 
21) Seu José tem uma mercearia e sua balança ainda é das antigas, Carlos foi até a loja comprar 5 laranjas, como seu José já é idoso não consegue usar essa balança sozinho, por isso ele precisa da sua ajuda, quanto pesa cada laranja? Sabendo que cada 50g de laranja custa R$0,50, quantos reais Carlos pagará pelas 5 laranjas?
22) 
23) Resolva o desafio abaixo e descubra quanto vale cada figura:
24) Desafio algébrico:
Batman e Robin juntos 185 kg. Se Batman tem 13 kg a mais que o Robin, quantos quilos tem o Batman​?
a) 
b) 96
c) 97
d) 98
e) 99
Sucesso é um acúmulo de pequenos esforços, repetidos dia a dia!
Boa sorte!