Matemática Financeira - IBMEC

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CURSO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Z56m Zentgraf, Roberto
Matemática Financeira / Roberto Zentgraf. – Rio de 
Janeiro: Grupo Ibmec Educacional, 2012.
139p.; 20x26 cm
Inclui bibliografi a
1. Regimes de capitalização 2. Regimes de juros 3. Utilização 
da HP-12C 4. Juros compostos 5. Equivalência de taxas 6. Séries 
uniformes de pagamentos 7. Fluxos de caixa 8. Sistemas de 
amortização e taxas de juros I. Zentgraf, Roberto II. Ibmec Online 
III. Título.
CDD: 513.93
Grupo Ibmec Educacional
1ª Edição - 2012
Copyright Ibmec
Sumário
ABERTURA DO CURSO ............................................................................
Carta ao aluno ..............................................................................................
Currículo resumido do professor-autor .........................................................
Introdução ....................................................................................................
Objetivos.......................................................................................................
Diretrizes Pedagógicas ................................................................................
MÓDULO 1: Os Primeiros Passos
Unidade 1 - Conceitos Iniciais ......................................................................
Unidade 2 - Regimes de Capitalização e Regimes de Juros .......................
Unidade 3 - Utilização da HP-12C ................................................................
Resumo ........................................................................................................
MÓDULO 2: Resolução a Juros Compostos
Unidade 1 - Resolução do Diagrama a Juros Compostos ...........................
Unidade 2 - Equivalência de Taxas ..............................................................
Unidade 3 - Exemplos Aplicados .................................................................
Resumo ........................................................................................................
MÓDULO 3: Séries Uniformes de Pagamento 
Unidade 1 - Objetivos e Características das Séries de Pagamentos ..........
Unidade 2 - Resolução dos Diagramas ........................................................
 
05
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06
07
07
07
12
20
27
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45
51
59
64
70
Copyright Ibmec
Unidade 3 - Exemplos Aplicados ...........................................................
Resumo .................................................................................................
MÓDULO 4: Outros Fluxos de Caixa 
Unidade 1 - Fluxos de Caixa Quaisquer .................................................
Unidade 2 - Resolução do DFC=Genérico .............................................
Unidade 3 - Uso do VP, VPL e da TIR na Avaliação dos Ativos ............
Resumo .................................................................................................
MÓDULO 5: Sistemas de Amortização e Taxas de Juros
Unidade 1 - Sistemas de Amortização ...................................................
Unidade 2 - Resolução dos Sitemas de Amortização ............................
Unidade 3 - Uso de Taxas Não Efetivas .................................................
Resumo .................................................................................................
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................
79
88
92
98
105
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116
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138
139
5Copyright Ibmec
Abertura da Disciplina
Carta ao Aluno
Caro aluno(a),
O presente estudo apresentará, de forma gradual e objetiva, os principais fundamentos da 
Matemática Financeira com exemplos práticos e atuais, resolvidos por meio de fórmulas, da 
calculadora fi nanceira HP-12C e por planilha Excel.
É o resultado de minha experiência de mais de 18 anos em sala de aula, em cursos de 
graduação e pós-graduação, e também de exercício semanal, que é escrever uma coluna 
para um jornal de grande circulação nacional.
Um grande abraço, 
Roberto Zentgraf
(Professor-autor)
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Currículo resumido da professor-autor
Roberto Zentgraf é engenheiro civil (UFRJ), com pós-graduações em Análise de Sistemas 
(PUC) e em Finanças (Ibmec), além de mestre em Engenharia de Produção (UFF). Após 
trabalhar na Esso, ingressou na área acadêmica, sendo, atualmente, professor do Ibmec/RJ, 
após mais de 10 anos na coordenação dos programas de MBA da instituição. É, também, 
autor dos livros Matemática Financeira Objetiva, Estatística Objetiva, O Guia Prático de 
Finanças do Roberto Zentgraf e O Futuro é Hoje. Foi colunista do jornal O Dia e, hoje, é 
articulista semanal do jornal O Globo, um dos maiores veículos de comunicação do país. Além 
disso, Roberto Zentgraf mantém o blog Você Investe, hospedado no site www.oglobo.com.br, 
e participa como consultor do programa Mais Você, da Rede Globo de Televisão.
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Introdução
O estudo apresentará, de forma gradual e objetiva, os principais fundamentos da Matemática 
Financeira e suas principais funções existentes, com exemplos práticos e atuais resolvidos 
por meio de fórmulas, pela calculadora fi nanceira HP-12C e por planilha Excel. Serão 
mostradas, também, as transações realizadas no mercado fi nanceiro brasileiro. 
Bem vindo ao curso de Matemática Financeira!
Objetivos
Após completar o estudo da disciplina Matemática Financeira, você poderá:
• Compreender os principais fundamentos da Matemática Financeira.
• Resolver problemas que envolvam cálculos e funções fi nanceiras por meio de planilhas 
Excel, fórmulas e calculadora HP-12C. 
• Ter uma visão sobre as transações realizadas no mercado fi nanceiro brasileiro. 
Diretrizes Pedagógicas
Tenha sempre em mente que você é o principal agente de sua aprendizagem. Para um estudo 
efi caz, siga estas dicas:
• Organize o seu tempo e escolha o melhor horário do dia para estudar.
• Consulte a bibliografi a e o material de apoio, caso tenha alguma dúvida.
• Tenha em mãos a sua calculadora fi nanceira HP-12C para a resolução dos problemas 
propostos.
• Releia o conteúdo sempre que achar necessário. 
Bom estudo!
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MÓDULO 1 
OS PRIMEIROS PASSOS
11Copyright Ibmec
Introdução
Sob um enfoque teórico, poderemos defi nir a Matemática Financeira como o estudo da 
evolução do dinheiro ao longo do tempo, visando estabelecer relações formais entre quantias 
expressas em datas distintas. Sob uma visão mais aplicada, iremos apresentá-la como o 
conjunto de técnicas e formulações extraídas da Matemática, com o objetivo específi co de 
avaliar as operações de investimento e de empréstimo. 
Conclui-se, portanto, que ela se constitui em uma das mais importantes – e básicas – 
ferramentas para a resolução adequada dos problemas relacionados às fi nanças: conhecer 
seus fundamentos é estar mais apto a tomar decisões seguras, dentro de níveis de risco 
pré-assumidos.
Objetivos
Ao completar este módulo de estudo, você estará apto a:
• Identifi car o valor do dinheiro no tempo.
• Mostrar o papel do mercado fi nanceiro.
• Conceituar juros, taxa de juros e fl uxo de caixa.
• Conceituar regimes de capitalização e de juros.
• Apresentar modalidades de prazos de aplicações.
• Utilizar calculadora fi nanceira HP-12C.
• Resolver problemas por meio dos Juros Simples.
Estrutura do módulo
Para melhor compreensão das questões que envolvem a Matemática Financeira, este módulo 
está dividido em:
Unidade 1: Conceitos Iniciais
Unidade 2: Regimes de Capitalização e Regimes de Juros
Unidade 3: Utilização da HP-12C
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Unidade 1: Conceitos Iniciais
Para aplicar as técnicas mencionadas neste 
módulo, é necessário compreender alguns 
conceitos iniciais, que serão úteis em todo 
estudo deste curso. São eles: o valor do dinheiro 
no tempo; juros; taxas de juros; fl uxo de caixa; 
metodologia para a resolução de problemas; 
além de outros conceitos, como valor presente 
e valor futuro, e considerações quanto ao prazo 
das aplicações.
O valor do dinheiro no tempo
Relaciona-seà ideia de que, ao longo do tempo, o valor do dinheiro muda, quer em função 
de sua desvalorização, devido à infl ação, quer em função da existência de alternativas 
de investimento que possibilitarão o recebimento de alguma remuneração sobre a 
quantia envolvida.
Consequência 1: somente será possível a comparação de quantias expressas em uma 
mesma data.
Consequência 2: somente será possível a realização de operações algébricas (adições, 
subtrações e outras) com quantias expressas em uma mesma data.
Juros
Defi niremos juros como o rendimento obtido (ou pago) por um indivíduo que tenha aplicado 
(ou tomado emprestado) uma quantia sob determinadas condições.
Fugindo da defi nição tradicional, podemos entendê-los também como o aluguel que o 
aplicador receberá por tornar disponíveis os recursos que serão utilizados por terceiros (ou 
que o tomador pagará por usufruir destes recursos).
Será através do mercado fi nanceiro que tais transações irão comumente se efetivar, conforme 
ilustra a fi gura a seguir:
13Copyright Ibmec
Poupador
$ $
$+J2$+J2
Tomador
Mercado
Financeiro
Figura 1.1 – O papel do mercado fi nanceiro
Conclui-se, portanto, que o mercado fi nanceiro negocia um produto (no caso, o dinheiro) e, 
como em todo e qualquer mercado, possui uma cotação para este produto, a taxa de juros (ou 
preço do dinheiro).
Taxa de juros
Expressa a razão entre os juros recebidos/pagos ao fi nal do período da operação e o valor 
originalmente aplicado (ou tomado emprestado), sendo usualmente representada por i (do 
inglês interest, que signifi ca juros). Seu valor, em uma primeira abordagem, poderá ser obtido 
pela fórmula seguinte. As taxas de juros deverão vir acompanhadas de uma referência ao 
tempo em que os valores serão aplicados.
100=i(%) =
CAPITAL
JUROS
CAPITAL
JUROSi
Fórmula 1.1 – Taxa de juros em um período
Exemplo 1.1: Para cada linha da tabela abaixo, os valores expressos para as taxas de juros 
se equivalem.
Percentual Percentual Fração Decimal
9,0% ao mês 9,0% ao mês 9,0/100 ao mês 0,09 ao mês
0,3% ao dia 0,3% ao dia 0,3/100 ao dia 0,003 ao dia
250,0% ao ano 250,0% ao ano 250,0/100 ao ano 2,50 ao ano
Tabela 1.1 – Exemplos de taxas de juros
14 Copyright Ibmec
Exemplo 1.2: Se, após aplicar $200,00, um investidor obteve $50,00 a título de juros, a taxa 
de juros ao período (% a.p.) será de 25,00%, encontrada mediante o emprego da Fórmula 1.1 
citada anteriormente:
Fluxo de caixa
Denominamos fl uxo de caixa o conjunto de entradas e 
saídas de dinheiro ou equivalente a dinheiro, ao longo do 
tempo, para um indivíduo ou empresa.
As entradas de um fl uxo de caixa corresponderão aos 
recebimentos. As saídas corresponderão aos pagamentos 
ou desembolsos.
Grafi camente, o fl uxo de caixa será representado por meio do Diagrama de Fluxo de Caixa 
(DFC), conforme as seguintes convenções:
• No eixo horizontal, será marcada a escala de tempo, subdividida em subperíodos: 
meses, anos, dias etc.
• O ponto 0 será a data inicial ou DATA-ZERO, a partir da qual todas as demais se 
encontrarão relacionadas.
• As quantias serão representadas por segmentos verticais, que, na medida do 
possível, deverão ser proporcionais aos respectivos valores.
• Entradas de caixa corresponderão a segmentos traçados acima do eixo horizontal; 
saídas de caixa corresponderão a segmentos traçados abaixo.
Exemplo 1.3: Na Figura 1.2 a seguir, os fl uxos FC1, FC3 e FCn correspondem a entradas de 
caixa; FC0 e FC2 correspondem a saídas de caixa.
Figura 1.2 – O diagrama de fl uxo de caixa
100=i(%)
CAPITAL
JUROS
0 1
FC1
FC3 FCn
FC2
FC0
2 3 4 n
tempo
15Copyright Ibmec
Observe:
• O período é o intervalo existente entre duas marcações quaisquer da escala. Por 
exemplo: o primeiro período está compreendido entre 0 e 1, o segundo, entre 1 e 2. Por 
conseguinte, o início do primeiro período estará na data-zero, e o fi nal, na data 1; o início 
do segundo período, está na data 1, o fi nal, na data 2, e assim sucessivamente.
• A escala utilizada é apenas relativa, ou seja, pode ser modifi cada. Exemplo: se, no 
diagrama anterior, a unidade de tempo fosse o mês, marcaríamos 0, 30, 60, 90, ..., n, 
caso desejássemos transformá-la em uma escala diária.
• A grande maioria dos problemas de matemática fi nanceira recairá na resolução de 
alguns poucos diagramas predefi nidos. Caberá, portanto, ao analista, a decomposição do 
diagrama original do problema em diagramas para os quais a solução esteja padronizada.
Exemplo 1.4: Uma empresa tomou emprestados $20.000,06 a serem devolvidos mediante o 
pagamento de 8 prestações mensais de $4.000,00, a primeira vencendo ao fi nal do sexto mês.
Figura 1.3 – Exemplo de um diagrama de fl uxo de caixa
Em algumas questões, após a decomposição a que nos referimos, os diagramas resultantes 
irão iniciar em datas distintas da data zero. Dado que a escala de tempo é apenas relativa, 
o analista poderá remarcá-la fazendo com que o início do novo diagrama coincida com a 
data zero. Tal procedimento não afetará os cálculos, desde que o intervalo de tempo entre 
as entradas e saídas de caixa mantenha-se inalterado.
Em um curso de matemática fi nanceira, como o foco é a 
resolução dos fl uxos de caixa, é razoável supor que as 
entradas e saídas de caixa, em suas respectivas datas, 
sejam previamente conhecidas, o que torna a elaboração 
dos diagramas uma tarefa trivial. Na prática, entretanto, 
nem sempre os dados do problema virão de forma tão 
explícita, principalmente quando envolverem estimativas 
de receitas e despesas futuras, o que, entretanto, foge ao 
escopo do presente curso.
0 6
8 x $4.000
13
$20.000,06
16 Copyright Ibmec
Metodologia para a resolução de problemas
A fi m de sistematizarmos as soluções, observe o roteiro indicado na tabela a seguir. Note que 
as chances de cometermos erros reduzem-se consideravelmente.
Etapa 1 Identifi que as entradas e saídas de caixa relevantes ao problema.
Etapa 2 Trace o DFC correspondente, decompondo-o, se possível.
Etapa 3
Verifi que em qual modelo de DFC o diagrama traçado na Etapa 2 
se enquadra.
Etapa 4
Utilize uma das soluções padronizadas, de acordo com sua 
calculadora, software etc.
Tabela 1.2 – Roteiro para a resolução de problemas
Os principais modelos de DFC encontram-se na tabela seguinte:
Modelo DFC-Padrão Descrição Resolução
A
Fluxos envolvendo 
uma entrada e uma 
saída de caixa.
Módulo 2
B
Séries uniformes de 
pagamentos.
Módulo 3
C
Fluxos quaisquer 
(não enquadrados 
nos modelos 
anteriores).
Módulo 4
Tabela 1.3 – Modelos de DFC e suas respectivas resoluções
17Copyright Ibmec
Exemplo 1.5: Voltando à situação ilustrada no exemplo 4, um possível enunciado seria: 
“Dada a taxa de juros de 5,1448%, qual o valor das 8 prestações necessárias para liquidar 
a dívida de $20.000,06, sabendo-se que a primeira prestação será paga ao fi nal do sexto 
mês?” Neste caso, seguindo a metodologia proposta, o DFC do problema poderia ser 
decomposto conforme a fi gura seguinte:
Figura 1.4 – Exemplo da decomposição de um diagrama de fl uxo de caixa
O DFC da esquerda corresponde ao Padrão A, e o da direita, ao Padrão B. Para o da 
esquerda, precisaríamos calcular o valor devido no momento 5 (você saberá como chegar 
aos $ 25.702,20 em breve), que passaria a funcionar como o valor a diluir nas 8 parcelas 
mensais do DFC da direita (você também saberá muito em breve como chegar às prestações 
mensais de $ 4.000).
Outros conceitos importantes
Além das noções de fl uxo de caixa (cash fl ow), juros (interest) e taxa de juros (interest rate) 
já citadas, os seguintes conceitos serão relevantes para o desenvolvimento das fórmulas 
constantes nos próximos capítulos:
• Valor presente (present value) ou principal: 
também chamado de valor atual ou capital inicial, 
corresponderá ao valor do dinheiro hoje, ou seja, 
na data-zero do diagrama de fl uxo de caixa. No 
texto, será representado por P.
• Valor futuro (future value) ou montante: 
também chamado de capital acumulado, 
corresponderáao valor do dinheiro em uma data 
futura, posterior à data zero do diagrama de fl uxo 
de caixa. No texto, será representado por F.
$20.000,06
$25.702,20
5,1448%
8 x $4.000
5,1448%
5
0 1
5 6 13
8
$25.702,20
0
18 Copyright Ibmec
• Número de períodos de capitalização: corresponderá ao número de períodos em que 
um determinado valor P fi cará aplicado à taxa de juros i. No texto, será representado 
por n.
• Fator da taxa de juros: corresponderá ao valor da taxa i dada, transformado em 
fator através da expressão (1 + i). Por exemplo: 10,00%, 100,00% e 0,02% irão gerar, 
respectivamente, os fatores 1,10, 2,00 e 1,0002.
Vale citar que o montante (valor futuro) será sempre igual ao principal (valor presente) 
acrescido dos juros, o que poderá ser enunciado como:
F = P + J
Fórmula 1.2 – Relação entre principal, montante e juros
Podemos, ainda, relacionar P, F e i, onde i está expressa em sua forma decimal.
( ) ( ) iP
PFi
P
F
i
FP =+=
+
= ; 1 ;
1
Fórmula 1.3 – Relações entre principal, montante e taxa de juros ao período
Atenção: estas fórmulas poderão ser utilizadas, independente do regime de capitalização 
considerado, desde que se esteja trabalhando com a taxa i ao período.
Considerações quanto ao prazo das aplicações
Na resolução dos problemas, pode-se adotar duas convenções para a contagem do prazo 
das aplicações:
• Ano civil (ou ano-calendário): o ano terá 366 ou 365 dias (conforme seja ou não 
bissexto) e os meses 31, 30, 29 ou 28 dias (dependendo do mês considerado e do ano 
ser ou não bissexto).
• Ano comercial: o ano terá 360 dias, e os meses, 30 dias.
19Copyright Ibmec
Dependendo da convenção utilizada, há diferentes resultados para o cálculo dos juros:
• Juros exatos: tanto a contagem do prazo da aplicação quanto a conversão da taxa de 
juros são realizadas pelo critério do Ano Civil.
• Juros comerciais: ambas são realizadas pelo critério do ano comercial.
• Juros bancários: o prazo é contado pelo critério do ano civil, a taxa é convertida pelo 
critério do ano comercial.
Observação: No Brasil, o sistema utilizado é o dos juros bancários ou, no caso de muitas 
aplicações fi nanceiras, o prazo é contado em dias úteis, e a taxa anual é convertida, 
considerando o ano com 252 dias úteis.
20 Copyright Ibmec
Unidade 2: Regimes de Capitalização e 
Regimes de Juros
Nesta unidade, além de conhecer as defi nições de 
regimes de capitalização e regimes de juros, você 
poderá acompanhar como se aplicam esses conceitos 
na prática. Para isso, serão apresentados exemplos 
que indicam a necessidade de resolução de problemas 
específi cos e suas soluções correspondentes. 
Defi nições básicas
Regimes de capitalização
Relacionam-se à forma como os juros serão adicionados ao capital. Na capitalização contínua, 
os juros serão agregados ao principal à cada unidade infi nitesimal de tempo; na capitalização 
periódica (ou descontínua), correspondente às operações fi nanceiras de um modo geral, os 
juros serão agregados apenas ao fi nal do prazo estipulado pela taxa de juros.
Regimes de juros
Relacionam-se à forma como os juros serão calculados. No regime de juros simples, a taxa 
de juros incidirá apenas sobre o capital inicialmente aplicado; no regime de juros compostos, 
a taxa de juros incidirá sobre o montante acumulado ao fi nal do período anterior.
Exemplo 1.6: Admitindo uma aplicação de $100,00 à taxa de juros de 10,00% a.m., a tabela 
abaixo ilustrará o valor dos juros e do montante acumulados ao longo dos 3 primeiros meses 
para os dois regimes de juros na capitalização periódica.
21Copyright Ibmec
t Juros (Simples) F Juros (Compostos) F
0 - 100,00 - 100,00
1 100,00 × 10,00% = 10,00 110,00 100,00 × 10,00% = 10,00 110,00
2 100,00 × 10,00% = 10,00 120,00 110,00 × 10,00% = 11,00 121,00
3 100,00 × 10,00% = 10,00 130,00 121,00 × 10,00% = 12,10 133,10
Tabela 1.4 – Regimes de juros
Observação: Ao longo de todo este texto, assumiremos a capitalização periódica.
O regime de juros simples
Ainda que o regime de juros simples tenha lá a sua relevância no desenvolvimento teórico das 
fi nanças, no Brasil, sua aplicabilidade é restrita: cobrança dos juros pela utilização dos limites 
nos cheques especiais, desconto de duplicatas e promissórias, pró-rata na atualização de 
dívidas. Há também o caso de alguns concursos públicos que, por haver limitação quanto à 
utilização de calculadoras fi nanceiras, enfatiza questões que envolvem juros simples. 
Por este motivo, e dado que os cálculos feitos sob este regime não envolvem grandes 
difi culdades, o regime de juros simples será abordado brevemente nesta seção. Para 
aqueles que desejarem se aprofundar no tema, recomendamos a leitura complementar da 
bibliografi a indicada.
Assim, supondo o DFC ilustrado na fi gura seguinte, onde P refere-se ao valor aplicado em t=0; 
i, à taxa de juros; n, ao prazo; F, ao valor acumulado, temos:
Figura 1.5 – DFC-Padrão (A)
i% F
P
n
22 Copyright Ibmec
Apesar da extrema simplicidade do DFC anterior, não custa lembrar que boa parte das 
operações realizadas no mercado fi nanceiro comporta-se desta forma, como, por exemplo:
• Aplicações a prazo fi xo (n) onde o poupador aplica uma quantia P a uma taxa de juros i 
para resgatar o montante F ao fi nal da operação (um DFC simétrico ao da fi gura anterior 
ilustraria a transação sob a ótica da instituição fi nanceira).
• Operações de crédito onde o banco empresta a quantia P a uma taxa de juros i para, 
após o prazo n, receber de seu cliente o montante F (o DFC simétrico ilustraria a questão 
sob a ótica do cliente).
niPJ (a) 
ni1PF (b) 
ni
F
ni
FP
1
1
1
 (c) 
nP
Fi 11 (d) 
iP
Fn 11 (e) 
Fórmula 1.4 – Cálculos no regime de juros simples
Observações:
• Nas fórmulas anteriores, i refere-se à taxa de juros expressa em sua forma decimal. 
• Para a utilização correta da fórmula acima, o prazo n e a taxa de juros i deverão estar 
compatíveis quanto à unidade de tempo utilizada, ou seja, se a taxa for mensal, o prazo 
deverá estar em meses; se a taxa for anual, o prazo deve estar em anos, e assim 
sucessivamente. Torne o prazo compatível à taxa dividindo-o ou multiplicando-o, 
conforme os exemplos que se seguem.
• Alternativamente, use a sua intuição para a resolução dos problemas, conforme indicado 
a seguir.
23Copyright Ibmec
Exemplo 1.7: Se uma corretora oferece uma taxa de 12,00% ao mês no regime de juros 
simples, quais os juros e o capital formado em uma aplicação de $50.000,00 por 2 meses?
 Solução: Dados P=$50.000,00; i=12,00% a.m.; n=2 meses; J=?
 Ou pela intuição: Juros a cada mês = 50.000 x 12% = 6.000; a cada 2 meses = ...
Exemplo 1.8: E se o prazo do exemplo anterior fosse de 42 dias?
 Solução: Neste caso, n=42 dias e, como a taxa foi expressa em meses, será 
necessário transformarmos o prazo para meses, o que é facilmente obtido dividindo-se o 
número de dias por 30:
No último exemplo, poderíamos ter obtido as mesmas 
respostas se, ao invés de termos transformado o 
prazo para torná-lo compatível à taxa, tivéssemos 
transformado a taxa para torná-la compatível ao 
prazo. No caso específi co do regime de juros simples, 
isto também poderá ser feito através da divisão da 
taxa dada, pois, na fórmula 1.4.a, o valor dos juros é 
o produto dos diversos termos. Vejamos o exemplo 
1.8 refeito utilizando-se o novo critério.
Exemplo 1.9: Refaça o exemplo 1.8 transformando a taxa de juros mensal em uma taxa de 
juros diária.
 Solução: No regime de juros simples, uma taxa mensal é transformada em diária 
através da divisão por 30; 12,00% dividido por 30 será igual a 0,40% a.d.:
Exemplo 1.10: Qual a taxa de juros mensal que transformou uma aplicação de $200,00 em 
$250,00, após 45 dias de prazo?
 00,000.122100
1200,000.50J ; F = 50.000 + 12.000 = 62.000
 00,400.830
42
100
1200,000.50J
 00,400.842100
4,000,000.50J
24 Copyright Ibmec
 Solução 1: Se $200,00 transformaram-se em $250,00, é sinal de que o valor dos 
juros foi de $50,00, obtidos pela fórmula1.2. Logo, P=$200,00; J=$50,00; n=45/30 meses. 
Aplicando a fórmula 1.4.a, teremos:
 Solução 2: Através da determinação da taxa de juros da operação em conjunto com 
a aplicação de uma regra de três:
Exemplo 1.11: O capital de $100,00 foi aplicado à taxa de 18,00% a.a., produzindo juros de 
$33,00. Qual o prazo da aplicação?
 Solução 1: Através da fórmula 2.1: J=$33,00; P=$100,00; i=18,00% a.a.; n=?
Note, entretanto, que, como a taxa foi dada ao ano, o prazo encontrado acima estará expresso 
em anos; para transformá-lo em meses, bastará multiplicarmos por 12 e obteremos 22 meses 
ou 1 ano e 10 meses.
 Solução 2: Através da determinação da taxa de juros da operação (ou taxa ao 
período) em conjunto com a aplicação de uma regra de três:
 a.m. 16,67%30
45
100
i(%)00,20000,50
 
%00,25100
00,200
00,50=i(%ap)
 
a.m. 16,67%
45
2530i
30x%
4525,00%
PrazoTaxa
 8333,118
00,33n00,33n18n100
1800,10000,33
 
%00,33100
100
33i(%ap)
 
meses 22
18
3312n
n33,00%
1218,00%
PrazoTaxa
25Copyright Ibmec
Exemplo aplicado: juros nos cheques especiais
Para a determinação dos juros decorrentes da 
utilização dos limites dos cheques especiais, a 
grande maioria dos bancos aplica uma taxa mensal 
de juros simples sobre o saldo devedor existente em 
cada dia corrido (ou seja, incluindo-se na contagem 
os fi ns de semana e feriados), sendo os juros 
efetivamente debitados na conta-corrente do cliente 
no último dia útil do mês.
Exemplo 1.12: A taxa de juros cobrada pelo Banco XYZ para utilização do cheque especial 
é de 12,00% a.m. Determine o total de juros a serem debitados na conta de um cliente que 
tenha apresentado o extrato ilustrado a seguir:
Data Descrição Valor Saldo
28/02 Saldo Anterior 250,00
12/03 Cheque 121 450,00 DB -200,00
15/03 Cheque 123 400,00 DB -600,00
20/03 Cheque 124 300,00 DB -900,00
22/03 Depósito 400,00 CR -500,00
24/03 Depósito 800,00 CR 300,00
26/03 Cheque 125 100,00 DB 200,00
31/03 Saldo Final 200,00
 Solução: Como estamos operando no regime de juros simples, poderemos transformar 
a taxa mensal em diária através de sua divisão por 30; com os dados do enunciado, chegaremos 
a 0,40% a.d.:
 O saldo de $200,00 permaneceu devedor desde 12/03 até 15/03 (exclusive), ou 
seja, por 3 dias; logo, os juros J1 a serem cobrados por estes 3 dias poderão ser obtidos se 
aplicarmos a fórmula 2.1.a, fazendo P=$200,00; i=0,40% a.d. e n=3 dias; J1=?
 J1 = 200,00 × 0,40/100 × 3 dias = 2,40
 O mesmo raciocínio será empregado para os demais saldos devedores, com o que 
chegaremos a:
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 J2 = 600,00 × 0,40/100 × 5 dias = 12,00
 J3 = 900,00 × 0,40/100 × 2 dias = 7,20
 J4 = 500,00 × 0,40/100 × 2 dias = 4,00
 O total a ser debitado será a soma das quatro parcelas anteriores, ou seja: $25,60.
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Unidade 3: Utilização da HP-12C
Ainda que as fórmulas utilizadas na matemática 
fi nanceira não sejam complexas, simplifi caremos 
em muito os cálculos fi nanceiros ao trabalhamos 
com equipamentos adaptados a esta tarefa, com 
a vantagem de eliminarmos parte da “burocracia 
algébrica” necessária à resposta. Com isso, temos 
mais tempo para o raciocínio fi nanceiro, que nos 
levará às escolhas adequadas.
Líder de mercado, a HP-12C realiza cálculos com incrível facilidade, sendo a preferida pelos que 
trabalham em bancos e demais empresas do setor fi nanceiro.
Todos os exemplos aqui apresentados pressupõem que você esteja operando no modo de 
cálculo RPN (Reverse Polish Notation = Notação Polonesa Reversa). Nas versões antigas 
do equipamento, somente este modo estava disponível; nas versões mais modernas, como 
a HP-12C Platinum, entretanto, é possível realizar cálculos no formato RPN e no formato 
algébrico. Caso seu modelo permita os dois modos, recomendamos que o altere para o modo 
RPN através das teclas <f> <RPN>, de forma a acompanhar o passo a passo das soluções.
Consulte o manual ou a bibliografi a recomendada para maiores detalhes quanto às operações 
mais comuns.
Cálculos envolvendo taxas ao período
Os roteiros apresentados a seguir pressupõem a utilização (ou o cálculo) de taxas vigentes 
durante todo o prazo da operação analisada. Deve fi car claro que, para questões desta 
natureza, sempre haverá o recurso de utilizarmos calculadoras comuns para efetuarmos as 
operações aritméticas estabelecidas nas fórmulas apresentadas na unidade 1 deste módulo. 
Entretanto, o objetivo desta seção é abordar as funções adicionais existentes na linha HP.
1. Digite o principal e tecle <ENTER>, digite o montante e tecle <∆%> para obter a taxa 
de juros para o período da operação (expressa em percentual).
2. Digite o principal e tecle <ENTER>, digite o valor dos juros e tecle <%T> para obter a 
taxa de juros para o período da operação (expressa em percentual).
3. Digite o principal e tecle <ENTER>, digite a taxa de juros para o período da operação 
(na sua forma percentual) e tecle <%> para obter o valor dos juros; tecle <+> logo a 
seguir para obter o valor do montante.
Roteiro HP-12C 1.1 – cálculos percentuais
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Observações:
• Caso os valores encontrados nos itens 1 e 2 do roteiro anterior sejam negativos, é sinal 
de que houve perda no investimento.
• Para obter o valor do montante a partir de uma taxa negativa, no item 3 do roteiro 
anterior, tecle <−> ao invés de <+>.
• Todos os itens do roteiro anterior poderão ser utilizados nas operações comercias de 
acréscimos e/ou descontos nos preços.
Exemplo 1.13: Um investidor aplicou $1.500,00 em um fundo de ações, resgatando $2.200,00 
após 3 meses. Qual a taxa de juros da operação? E se o resgate fosse de apenas $1.200,00?
 Solução: Por meio da sequência:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
1500 <ENTER> 1,500.00 principal (=aplicação)
2200 <∆%> 46.67 taxa ao período (=ganho)
1500 <ENTER> 1,500.00 principal (=aplicação)
1200 <∆%> -20.00 taxa ao período (=perda)
Exemplo 1.14: Se, após ter aplicado $1.500,00, um investidor recebeu $700,00 de juros, qual 
a taxa que remunerou a operação?
 Solução: Por meio da sequência:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
1500 <ENTER> 1,500.00 principal (=aplicação)
700 <%T> 46.67 taxa ao período (=ganho)
Exemplo 1.15: Há dois meses, você possuía $3.000,00 aplicados em um fundo de ações. Ao 
ligar para o gerente de sua conta, você foi informado de que, nos dois últimos meses, o fundo 
rendeu 7,5% em termos acumulados. Quanto você possui atualmente? E se a rentabilidade 
acumulada fosse de 17,5% negativos?
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 Solução: Por meio da sequência:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
3000 <ENTER> 3,000.00 principal (=aplicação)
7.5 <%> 225.00 juros (=ganho)
<+> 3,225.00 montante acumulado
3000 <ENTER> 3,000.00 principal (=aplicação)
17.5 <%> 525.00 juros (=perda)
<−> 2,475.00 montante acumulado
Exemplo 1.16: Uma calculadora está anunciada por $120,00, mas, se paga à vista, poderá 
ser adquirida por $100,00. Qual o desconto da operação em termos percentuais?
 Solução: Por meio da sequência:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
120 <ENTER> 120.00 preço a prazo
100 <∆%> -16.67 desconto % (pois o valor foi negativo)
Cálculos envolvendo juros simples
Usando a intuição, fi ca simples adaptarmos o roteiro anterior para incluirmos os cálculos a 
juros simples.
Exemplo 1.17: Se um banco oferece uma taxa de 12,00% ao mês no regime de juros simples, 
quais os juros e o capital formado em uma aplicação de $50.000,00 por 2 meses?
 Solução: Dados P=$50.000,00; i=12,00% a.m.; n=2 meses; J=?; F=?
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TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
50000 <ENTER> 50,000.00 principal
12 <%> 6,000.00 taxa × principal, juros de 1 mês
2 <×> 12,000.00 juros acumulados em 2 meses
<+> 62,000.00 montante
Exemplo 1.18: Qual a taxa de juros mensal que transformou uma aplicação de $200,00 em 
$250,00 após 45 dias de prazo?
 Solução: Dados P=$200,00; F=$250,00; n=45 dias; i=?
TECLEVISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
200 <ENTER> 200.00 principal
250 <∆%> 25.00 taxa ao período (p/ 45 dias)
45 <÷> 0.56 taxa ao dia
30 <×> 16.67 taxa ao mês
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Resumo
Neste módulo, foi feita uma primeira abordagem sobre o que signifi ca matemática fi nanceira e 
como atua o mercado fi nanceiro. Os juros foram descritos como sendo o rendimento obtido por 
um investimento ou pago por um fi nanciamento em um período e sob uma taxa previamente 
determinados.
Também foram apresentadas defi nições de juros simples, em que a taxa de juros incidirá 
sempre sobre o valor principal aplicado, e de juros compostos, em que a taxa de juros incidirá 
sobre o saldo do último período da aplicação. 
Taxa de juros foi defi nida como a razão entre os juros obtidos ao fi nal de um período e o valor 
originalmente aplicado. O fl uxo de caixa e seu diagrama correspondente foram apresentandos 
como importantes ferramentas para a resolução de problemas. Os diferentes critérios na 
contagem de prazos, que determinam as modalidades de juros existentes (comerciais, 
bancários e exatos) fi nalizaram a parte teórica da matéria.
Além disso, foram apresentadas importantes características e algumas funções básicas da 
HP-12C que irão ajudar no desenvolvimento de exercícios.
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MÓDULO 2 
RESOLUÇÃO A 
JUROS COMPOSTOS
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Introdução
Neste módulo, iremos resolver problemas representados pelo diagrama de fl uxo de caixa 
(DFC), expresso na fi gura seguinte, analisando o relacionamento existente entre suas 
variáveis sob o regime de juros compostos, defi nido por muitos autores como regime de 
capitalização composta.
Figura 2.1 – DFC-Padrão (A)
Objetivos
Após completar o estudo do módulo, você estará apto a:
• Apresentar as expressões para cálculo de juros compostos.
• Resolver os problemas propostos na HP-12C.
• Resolver os problemas propostos no Excel.
• Conceituar a equivalência de taxas.
• Comparar os regimes de juros.
• Estabelecer a relação entre taxa de juros e preços dos títulos.
• Avaliar operações comerciais.
• Exemplifi car o uso de taxas variáveis ao longo do tempo.
Estrutura do módulo
Para melhor compreensão das questões que envolvem a matemática fi nanceira, este módulo 
está dividido em:
Unidade 1: Resolução do Diagrama a Juros Compostos 
Unidade 2: Equivalência de Taxas
Unidade 3: Exemplos Aplicados
i% F
P
n
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Unidade 1: Resolução do Diagrama a Juros Compostos
Nesta Unidade, você conhecerá três formas de realizar 
resoluções do diagrama a juros compostos: pelas fórmulas, 
pela HP-12C e pelo Excel. A especifi cidade de cada método 
será apresentada a partir de exemplos e soluções analisadas. 
Pelas fórmulas
 Figura 2.1 – DFC Padrão (A)
Conforme ilustrado na fi gura acima, suponha que um indivíduo tenha aplicado o valor P 
[=valor presente] a uma taxa de juros i. Após um prazo n, ele terá acumulando o valor F 
[=valor futuro]. Poderemos, então, relacionar as variáveis citadas conforme quadro abaixo.
Fórmula 2.1 – Cálculos no regime de juros compostos
Observações:
• No presente módulo, estaremos trabalhando com a taxa de juros i expressa em sua 
forma efetiva. Grosso modo, uma taxa efetiva é: (i) aquela que paga – ou cobra – o que 
anuncia; (ii) aquela que incide sobre o valor presente P.
• Nas expressões anteriores, a taxa i deverá estar expressa na mesma unidade de tempo 
que o prazo n.
• Para tornar prazo e taxa compatíveis, divida ou multiplique o prazo adequadamente. 
i% F
P
n
ni1PF (a) 
 nn i1
1F
i1
FP (b) 
 1001P
F(%)i1P
Fi n
1
n
1
 (c) 
 
i1log
P
Flog
n (d) 
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Atenção: Nunca divida ou multiplique a taxa. Caso você queira compatibilizá-los mediante a 
conversão da taxa, use o conceito de equivalência de taxas a juros compostos, que será 
apresentado na próxima unidade.
Exemplo 2.1: Se uma corretora oferece uma taxa de 12,00% ao mês no regime de juros 
compostos, qual o valor resgatado a partir da aplicação de $1.000,00 por 2 meses?
 Solução: Dados P=$1.000,00; i=12,00% a.m.; n=2 meses; F=?
Exemplo 2.2: E se o prazo fosse de 15 dias?
 Solução: Dados P=$1.000,00; i=12,00% a.m.; n=(15/30) meses; F=?
Observação: Note que o resultado precedente difere do que obteríamos se dividíssemos a 
taxa (=6% para a quinzena), quando, então, chegaríamos a 1.060,00. Isso confi rma, portanto, 
nossa obervação anterior.
Exemplo 2.3: Se, após 2 meses de aplicação a 12,00% a.m., um investimento permitiu o 
resgate de $1.254,40, qual o valor originalmente aplicado?
 Solução: Dados F=$1.254,40; i=12,00% a.m.; n=2 meses; P=? Aplicaremos a fórmula 
2.1.b para obter:
Pela HP-12C
A resolução dos problemas através da HP-12C é bastante 
simples: para o DFC-Padrão (A), serão fornecidas três variáveis, 
e ela encontrará o valor da quarta. Anote as seguintes dicas:
• No DFC-Padrão (A), P corresponderá à tecla ou à 
função <PV> (=Present Value); F corresponderá a <FV> 
(=Future Value); i e n corresponderão, respectivamente, 
às teclas ou funções <i> e <n>.
 40,254.112,100,000.1100
12100,000.1F 2
2
 
30,058.112,100,000.1100
12100,000.1F 2
130
15
 
00,000.1
2544,1
40,254.1
12,1
40,254.1P
2
38 Copyright Ibmec
• As calculadoras fi nanceiras sempre interpretarão o DFC-Padrão (A) como um 
investimento (saída de caixa em t=0, entrada em t=n) ou como um empréstimo (entrada 
de caixa em t=0, saída em t=n).
• É necessário, portanto, que se obedeça à convenção do sinal do fl uxo de caixa, a fi m 
de que não ocorram erros nos cálculos: entradas de caixa deverão ser inseridas com 
o sinal positivo; saídas de caixa, com o sinal negativo; para os cálculos envolvendo a 
determinação de F ou P, esta regra será irrelevante.
Atenção: para os cálculos envolvendo a determinação de i ou n, esta regra será obrigatória.
1. Tecle <f> <REG> ou <f> <FIN> para limpar todos os registradores ou apenas os 
registradores fi nanceiros. 
2. Certifi que-se que o visor da calculadora apresenta a letra C acesa; caso isto não 
ocorra, acenda-o através da sequência <STO> <EEX>.
3. Digite o valor de cada uma das três variáveis conhecidas e pressione a tecla a ela 
correspondente; tecle <CHS> (=Change Signal) para mudar o sinal do principal P ou do 
montante F, se aplicável ao problema.
 P  <PV>; F  <FV>; i  <i>; n  <n>
4. Repita o procedimento até ter inserido todas as variáveis. 
5. Pressione a tecla correspondente à incógnita do problema para obter a resposta.
Roteiro HP-12C - cálculo do DFC-Padrão (A) a juros compostos
Observações:
• Como os valores inseridos em <PV>, <FV>, <i> e <n> fi cam “guardados”, é recomendável 
seu apagamento antes do início de novos cálculos a fi m de se evitar erros.
• A taxa i e o prazo n deverão estar compatíveis quanto à unidade de tempo utilizada. 
Para tornar o prazo compatível à taxa, transforme o prazo n, que será inserido na forma 
fracionária nestes casos. Por exemplo: se a taxa é anual, e o prazo da aplicação de 
6 meses, n deverá conter 0,5 anos.
• Caso opte-se por tornar a taxa compatível ao prazo, o conceito de Taxas Equivalentes 
deverá ser adotado através da fórmula 2.3, a ser executada na calculadora por intermédio 
39Copyright Ibmec
das funções de potenciação (teclas <yx> e/ou <^>). Este conceito será aprofundado 
mais adiante.
• A taxa i estará sempre em sua forma percentual.
• O C aceso no visor indicará que, ao inserir prazos fracionários, a HP-12C irá fazer as 
contas a juros compostos; ligue-o com <STO> <EEX>.
• Importante: caso o C esteja apagado, ao inserir prazos fracionários, a HP-12C irá 
fazer as contas de modo híbrido, ou seja, calculará juros simples para a fração e juros 
compostos para a parte inteira do prazo.
• No cálculo do prazo n, a resposta fornecida pela HP-12C sempre estará arredondada 
ao inteiro imediatamente superior, o que poderá causar distorções. Por exemplo, se o 
resultado matematicamente correto for 7,001, haverá o arredondamento para 8,000. Note 
que não se tratade um arredondamento apenas no visor, mas sim no valor armazenado 
em <n>, o que, consequentemente, irá desequilibrar as equações.
Exemplo 2.4: Qual o valor que você terá, decorridos 3 meses, se aplicar $153.000,00 em um 
título que lhe renda 12,50% a.m., no regime de juros compostos?
 Solução: O DFC da fi gura seguinte ilustra o enunciado. Observe no sentido dado aos 
fl uxos de caixa:
Figura 2.2 – DFC para o exemplo 2.4
Estamos admitindo que o C esteja aceso no visor, sendo as respostas apresentadas com 
duas casas decimais. A sequência seguinte ilustrará o procedimento:
i = 12,50%am
n = 3m
F = ?
$153.000
0
40 Copyright Ibmec
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
153000 <CHS> <PV> -153,000.00 principal (saída de caixa, negativo)
12.5 <i> 12.50 taxa
3 <n> 3.00 prazo
<FV> 217,845.70 resposta (entrada de caixa, positivo)
Exemplo 2.5: E se a taxa anterior fosse de 22,00% a.m.?
 Solução: Admitindo que você não tenha limpado os registradores com <f> <REG> ou 
<f> <FIN>, os valores já inseridos fi carão guardados. Consequentemente, bastará alterarmos 
o valor de i.
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
22 <i> 22.00 nova taxa
<FV> 277,824.74 resposta
Exemplo 2.6: Utilizando os dados do exemplo anterior, quanto deveríamos depositar para 
resgatarmos $300.000,00?
 Solução: O DFC para o enunciado é idêntico ao traçado na fi gura que ilustra o exemplo 4,
 mas, neste caso, temos os seguintes dados: F=$300.000,00; i=22,00% a.m.; n=3 meses; e 
queremos achar P. Admitindo que não tenhamos limpado os registradores, a sequência seria:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
300000 <FV> 300,000.00 valor futuro
<PV> -165,212.07 nova resposta
Exemplo 2.7: Um investimento de $120.000,00 foi transformado em $200.000,00 após 
3 meses de aplicação. Calcule as taxas (a) anual; (b) semestral; (c) mensal e (d) diária para 
a operação.
41
 Solução: O DFC para o enunciado é idêntico ao traçado da fi gura que ilustra o 
exemplo 4, à exceção de que a incógnita será a taxa de juros. Temos, portanto: P=$120.000,00 e 
F=$200.000,00; fornecendo o prazo n em anos (=3/12), obteremos a taxa i ao ano; fornecendo 
o prazo n em semestres (=3/6), obteremos i ao semestre, e assim sucessivamente.
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
120000 <CHS> <PV> -120,000.00 principal (saída de caixa, negativo)
200000 <FV> 200,000.00 montante (entrada de caixa, positivo)
3<ENTER>12<÷><n> 0.25 prazo em anos
<i> 671.60 taxa anual
3<ENTER>6<÷><n> 0.50 prazo em semestres
<i> 177.78 taxa semestral
3 <n> 3.00 prazo em meses
<i> 18.56 taxa mensal
90 <n> 90.00 prazo em dias
<i> 0.57 taxa diária
Exemplo 2.8: Em quanto tempo $100,00 aplicados a 14,00% a.m. transformam-se em 
$150,00?
 Solução: O DFC a seguir ilustra o enunciado.
Figura 2.3 – DFC para o exemplo 2.8
Resolveremos a questão através das teclas fi nanceiras e através da fórmula 2.1d, onde o 
logaritmo poderá ser obtido através da função <g> <LN> (Logaritmo Neperiano). Pela fórmula, 
a sequência será:
i = 14%am
n = ?
$150
$100
0
42 Copyright Ibmec
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 Limpa registradores
1.50 <g> <LN> 0.41 Ln de F/P
1.14 <g> <LN> 0.13 Ln de (1+i)
<÷> 3.09 Prazo em meses.
... e pelas funções fi nanceiras:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 Limpa registradores
100 <CHS> <PV> -100.00 Principal
150 <FV> 150.00 Montante
14 <i> 14.00 Taxa mensal
<n> 4.00 Prazo em meses.
 Note que, por ter arredondado o valor de n, a equação original transformou-se em 
uma desigualdade, já que o valor correto seria de 3,09. Sendo assim, se após o cálculo acima 
pressionarmos <PV>, <FV> ou <i>, a HP-12C tratará de balancear a equação. Exemplifi cando: 
se estivéssemos com os últimos resultados ainda nos registradores, ao pressionarmos <FV>, 
obteríamos $168,90, que corresponderia ao valor acumulado dos $100,00 aplicados à taxa de 
14,00% a.m. durante 4 meses.
 
)14,1log(
)50,1log(
100
141log
100
150
log
n
43Copyright Ibmec
Pelo Excel
A utilização do Excel na resolução do DFC-Padrão (A) a juros compostos permitirá a adoção 
de dois caminhos distintos:
• Inserção das fórmulas vistas no capítulo em suas células.
• Uso de suas funções fi nanceiras específi cas, conforme quadro seguinte.
1. Para o principal, a função VP(i,n,PMT,F,Tipo) deverá ser utilizada. 
2. Para o montante, a função adequada será VF(i,n,PMT,F,Tipo).
3. Para a taxa, utilizaremos TAXA(n,PMT,P,F,Tipo,Est).
4. Para o prazo, teremos NPER[i,PMT,P,F,Tipo].
5. Para o cálculo do montante acumulado a partir da aplicação sucessiva de diferentes 
taxas, utilizaremos VFPLANO(P,Conjunto-de-Taxas).
Roteiro Excel 2.1 - cálculo do DFC-Padrão (A) a juros compostos
Observações:
• As funções listadas no quadro anterior foram originalmente preparadas para operar 
com séries de pagamento (que trataremos em um outro módulo) e, consequentemente, 
pedirão argumentos adicionais aos normalmente usados para este modelo de DFC. A 
questão é simples de ser resolvida, bastando inserir zeros ou, eventualmente, eliminar 
os argumentos opcionais (Veja o exemplo 2.9 a seguir).
• Nas funções listadas, P corresponderá ao principal, F ao montante; o argumento PMT 
deverá conter zero; os argumentos Tipo e Est são opcionais, podendo ser omitidos na 
inserção da função.
• As taxas de juros i deverão ser fornecidas em sua forma decimal ou digitadas seguidas 
do símbolo %, quando então a conversão ao formato decimal será feita automaticamente 
pelo Excel; o valor para n poderá ser fracionário, o Excel considerará juros compostos.
• Os valores para a taxa i e o prazo n deverão estar compatíveis quanto à unidade de 
tempo utilizada.
44 Copyright Ibmec
• O Excel também adotará a convenção do sinal do fl uxo de caixa. 
• Na função TAXA, a resposta estará em termos decimais, formatada percentualmente.
• Na função VFPLANO, Conjunto-de-Taxas deverá ser uma faixa contendo as taxas de 
juros que serão acumuladas; se atribuirmos 1 ao valor de P, a função encontrará o fator 
da taxa acumulada.
Exemplo 2.9: Utilizando o Excel, determine o resultado das seguintes questões (baseadas 
nos exemplos 2.4, 2.6, 2.7 e 2.8):
• P=$153.000,00; i=12,50% a.m.; n=3 meses; F=? (exemplo 2.4)
• P=$120.000,00; F=$200.000,00; n=3 meses; i% a.a.=? (exemplo 2.7a)
• P=$120.000,00; F=$200.000,00; n=3 meses; i% a.s.=? (Exemplo 2.7b)
• P=$100,00; F=$150,00; i=14,00% a.m.; n=? (exemplo 2.8)
• F=$300.000,00; i=22,00% a.m.; n=3 meses; P=? (exemplo 2.6)
 Solução: Tornando o prazo compatível à taxa, por ocasião da digitação (por 
exemplo, na segunda questão, a taxa é anual e o prazo mensal; digitaremos “=3/12” para o 
prazo), obteremos os resultados conforme ilustra a fi gura seguinte, onde as respostas estão 
formatadas com fontes de maior tamanho e a fórmula utilizada listada na coluna F.
Figura 2.4 – Resolução do exemplo 2.9
45Copyright Ibmec
Unidade 2: Equivalência de Taxas
Tendo exposto as diferentes formas de resolução 
para o DFC-Padrão (A), continuaremos o capítulo 
apresentando os demais conceitos relevantes ao 
regime de juros compostos e também alguns exemplos 
aplicados ao mercado de capitais brasileiro que possam 
ser enquadrados no modelo de diagrama citado.
De forma a não sobrecarregarmos o texto, nos 
problemas que iremos resolver, alternaremos entre 
os diversos métodos apresentados, ora utilizando as 
fórmulas, ora as calculadoras e/ou o Excel.
Para otimizar o aprendizado, recomendamos que você refaça os exemplos listados de acordo 
com o método ou equipamento que normalmente utiliza para a resolução de questões da 
matemática fi nanceira. Ao fi nal, compare seus resultados com as respostas, corrigindo 
eventuais erros.
Defi nições
Defi nição 1
Duas taxas de juros, iA e iB, serão equivalentes se, e somente se, aplicadas sobre um 
mesmo valor e pelo mesmo período de tempo, gerarem quantias equivalentes. A fi gura 2.5 
ilustra esta defi nição.
Figura 2.5 – Taxas equivalentes
P
APLICA
iA
iB
PRAZO A = PRAZO B
RESGATAAPLICA
RESGATA
P
FA
FB
46 Copyright IbmecExemplo 2.10: Verifi car se 10,00% a.m. é equivalente a 120,00% a.a., no regime de 
juros simples.
 Solução: Arbitrando o valor PA=PB=$100,00 e o prazo de aplicação n=1 ano, 
utilizaremos a fórmula F = P × (1 + i × n) (1.4b do módulo anterior) para concluirmos que as duas 
taxas são equivalentes, pois, terminado o prazo da aplicação, obtivemos montantes iguais.
Defi nição 2
Diremos que duas taxas iA e iB são proporcionais quando a razão existente entre elas for 
igual à razão existente entre seus prazos nA e nB, expressos em uma mesma unidade de 
tempo, ou seja:
Fórmula 2.2 – Taxas proporcionais
Exemplo 2.11: As duas taxas citadas no exemplo anterior são também proporcionais, pois a 
razão entre elas é igual a 1/12, e a razão entre seus prazos também (=1 mês/12 meses). 
Os resultados dos dois últimos exemplos não foram mera coincidência: com efeito, no 
regime de juros simples, taxas equivalentes também serão taxas proporcionais, e vice-
versa, independente do valor e do prazo arbitrados nos cálculos. O exemplo a seguir 
comprova esta conclusão.
Exemplo 2.12: Suponha uma unidade de tempo t qualquer e uma 
aplicação de prazo n múltiplo desta unidade de tempo. Mostre que, 
no regime de juros simples, duas taxas de juros iA e iB, expressas nos 
prazos nA e nB (também múltiplos de t), somente serão equivalentes 
se também forem proporcionais.
 Solução: Para que sejam equivalentes, após o prazo n, os 
montantes FA e FB, gerados a partir do valor P, deverão ser iguais, 
ou seja:
 
00,2201
100
120100,100F12
100
10100,010F BA
 
B
A
BA
B
A
B
A
n
nii
n
n
i
i
 
.d.q.c;
n
i
n
i
n
ni1P
n
ni1P
B
B
A
A
B
B
A
A
47Copyright Ibmec
Exemplo 2.13: Verifi car se 10,00% a.m. é equivalente a 120,00% a.a., no regime de juros 
compostos.
 Solução: Arbitrando o valor PA=PB=$100,00 e o prazo de aplicação n=1 ano, 
utilizaremos a fórmula F = P × (1 + i)n (2.1a) para concluirmos que as duas taxas não são 
equivalentes, pois, fi ndo o prazo da aplicação, os montantes obtidos foram diferentes.
FA = 100,00 × 1,1012 = 313,84 ≠ FB = 100,00 × 2,201 = 220,00
Em uma HP-12C, FA poderia ser obtido pela sequência 100 <CHS> <PV> 10 <i> 12 <n> <FV>.
Exemplo 2.14: Utilizando a defi nição 1 e as condições do último exemplo, qual seria a taxa 
mensal equivalente a 120,00% a.a.?
 Solução: Pela defi nição, os valores de resgate das aplicações, para ambos os casos, 
deverão ser necessariamente equivalentes. Logo, se, ao aplicarmos $100,00 a 120,00% a.a. 
pelo prazo de 1 ano, resgatamos $220,00, o mesmo deverá ocorrer se a taxa for mensal; 
voltamos, portanto, à resolução do diagrama a seguir, onde P=$100,00; F=$220,00 e 
n=12 meses:
Figura 2.6 – Taxa mensal equivalente a 120,00% a.a. (juros compostos)
Utilizando a fórmula
 
1001P
F(%)i1P
Fi n
1
n
1
 
, (2,1c) chegaremos a:
Ou, em uma HP-12C, faremos: 100 <CHS> <PV> 220 <FV> 12 <n> <i>.
i = ?
n = 12
$220
$100
0
 
6,79%a.m1001
100,00
220,00i(%)
12
1
48 Copyright Ibmec
Generalizando o conceito para outros casos, diremos que, a juros compostos, duas taxas 
de juros, iA e iB, expressas percentualmente para os prazos nA e nB, serão equivalentes se 
guardarem a seguinte relação:
Fórmula 2.3 – Taxas equivalentes a juros compostos
Conclusões:
O princípio da Equivalência de Taxas irá permitir tornarmos a taxa i compatível ao prazo n, 
nos problemas onde estas duas variáveis estejam incompatíveis.
O conceito exposto para duas taxas poderá ser generalizado para n taxas, permitindo-nos 
enunciar que, se iA é equivalente a iB, e iB é equivalente a iC, então iA é equivalente a iC (ou 
iA, iB e iC são equivalentes).
Exemplo 2.15: Encontre a taxa mensal equivalente a 120,00% a.a. por meio da fórmula 2.3.
 Solução: Adotando a unidade de tempo t como o mês, teremos: iB=120,00% a.a.; 
nB=12 meses e nA=1 mês.
Exemplo 2.16: Determine as taxas semestrais, trimestrais, mensais e diárias equivalentes a 
70,00% a.a.
 Solução: Adotando o dia como unidade de tempo, teremos: iB=70,00% a.a.; nB=360 
dias; nA=180, 90, 30 ou 1 dia, conforme a taxa solicitada.
 ..%38,30100170,1100170,1 2
1
360
180
sais
 ..%19,14100170,1100170,1 4
1
360
90
tait
 ..%52,4100170,1100170,1 12
1
360
30
maim
 ..%1475,0100170,1 360
1
daid
1001
100
(%)i1(%)i 1i1i
Bn
An
B
A
Bn
An
BA
 
6,79%a.m.1001
100
120,001(%)i
12
1
A
49Copyright Ibmec
Note que, para cada um dos cálculos feitos anteriormente, foi possível a simplifi cação da fração 
que elevou o fator da taxa dada (=1,70). Por exemplo: na conversão semestral, transformamos 
180/360 em 1/2. Isto apenas signifi ca que poderíamos ter escolhido outros prazos que não o 
dia para aplicarmos a fórmula 3.3. No caso em análise (conversão de uma taxa anual em taxa 
semestral), a escolha do semestre como unidade de tempo levaria-nos a elevar o fator 1,70 à 
fração 1/2; a escolha do trimestre levaria-nos à fração 1/4; e assim sucessivamente.
Exemplo 2.17 – Pela HP-12C: Um investimento garante 66,6667% de rentabilidade em 3 
meses. Calcule as taxas equivalentes: (a) anual; (b) semestral; (c) mensal; (d) diária.
 Solução: Temos iB=66,6667; nB=90 dias; nA=360; 180; 30 ou 1 dia, dependendo da 
taxa solicitada. A fórmula 2.3 deverá ser utilizada:
E a sequência na HP-12C será:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
66.6667<ENTER> 66.67 taxa
100 <÷> 1 <+> 1.67 fator da taxa
<STO> 0 1.67 guarda na memória
360<ENTER>90<÷><yx> 7.72 fator anual
1 <−> 100 <×> 671.60 taxa anual
<RCL> 0 1.67 fator da taxa
180<ENTER>90<÷><yx> 2.78 fator semestral
1 <−> 100 <×> 177.78 taxa semestral
<RCL> 0 1.67 fator da taxa
30<ENTER>90<÷><yx> 1.19 fator mensal
1 <−> 100 <×> 18.56 taxa mensal
<RCL> 0 1.67 fator da taxa
90 <1/x> <yx> 1.00 fator diário
1 <−> 100 <×> 0.57 taxa diária
 
1001
100
6667,661i
90
An
A
50 Copyright Ibmec
Observações:
Para não termos que digitar o fator a cada novo cálculo, seu valor foi guardado na memória 0 
por meio de <STO> 0; <RCL> 0 recuperou-o quando necessário.
No último cálculo, utilizamos <1/x>, que inverte o valor do número no visor; poderíamos, 
obviamente, ter utilizado 1 <ENTER> 90 <÷>.
No regime de juros simples, taxas equivalentes também serão taxas proporcionais, e 
vice-versa, independente do valor e do prazo arbitrados nos cálculos.
51Copyright Ibmec
Unidade 3: Exemplos Aplicados
Nas seções que se seguem, apresentaremos algumas 
aplicações que não envolvam temas ainda não 
estudados. Por este motivo, todos os exemplos trarão 
as taxas de juros expressas em seu formato efetivo. 
Adiante, em outro módulo, aprofundaremos a análise 
utilizando outras modalidades de taxas de juros.
O impacto das taxas de juros nos preços dos títulos
Alguns títulos operados pelo mercado fi nanceiro caracterizam-se por ter um valor de face 
previamente defi nido, expresso em alguma data futura. É o caso, por exemplo, das duplicatas, 
das notas promissórias de muitos tipos de títulos públicos, como as LTN – Letra do Tesouro 
Nacional – e dos contratos futuros de taxas de juros, apenas para citar alguns. 
Como aqueles que investem nestes produtos fi nanceiros visam obter alguma rentabilidade 
positiva em suas operações, o preço pelo qual irão adquiri-los hoje deverá ser necessariamente 
inferior ao valor de face pré-fi xado no futuro. Em consequência do exposto, a relação entre a 
taxa de juros embutida no título e seu preço atual será inversa, ou seja: quanto maior a taxa, 
menor o preço, e vice-versa.
Exemplo 2.18: Um título público federal, com vencimento para daqui a dois meses, está 
sendo negociado hoje no mercado, garantindo a seus investidores uma taxa de 10,00% a.m. 
de rentabilidade. A que preço deverá ser negociado?
 Solução: O DFC a seguir ilustra a questão. Fazendo F=$1.000,00; i=10,00% a.m. e 
n=2 meses, obteremos o preço P atual por meio da sequência HP-12C: 1000 <FV> 10 <i> 2 
<n> <PV>, chegando a 826,45.
Figura 2.7 – Preço atual do título do exemplo 2.18
i = 10%am
n = 2m
$1.000
P = ?
0
52 Copyright Ibmec
Exemplo 2.19: Utilizando os dadosdo exemplo anterior, suponha que o governo não tenha 
conseguido atrair investidores praticando esta taxa e, portanto, eleve-a para 15,00% a.m. 
Qual o novo preço de negociação?
 Solução: O DFC para o enunciado será idêntico ao traçado na fi gura 2.7, mas, neste 
caso, F=$1.000,00; i=15,00% a.m. e n=2. Admitindo que você não tenha limpado o resultado 
anterior, faça 15 <i> <PV> para chegar a -756,14.
Comparando os resultados encontrados neste e no último exemplo, concluímos que o aumento 
na taxa praticada pelo emissor do título (o governo) reduziu o preço de negociação (ou o valor 
presente do título). A situação inversa ocorreria quando o governo, seguindo suas diretrizes 
de política monetária, reduzisse as taxas de juros, fazendo com que os preços dos títulos 
se valorizassem. 
O grande problema ocorre quando, após termos adquirido um título (ou fundo) desta 
natureza, a uma determinada taxa, as taxas futuras vierem a subir. Neste caso, para que 
possamos vender o título, precisaremos oferecer a mesma taxa vigente no mercado, o 
que, porventura, poderá acarretar perda. Entretanto, deixaremos esta análise para uma das 
atividades propostas.
Avaliação dos fi nanciamentos em operações comerciais
Ao adquirirmos um bem ou serviço, é quase certo que o vendedor nos ofereça propostas para 
fi nanciar a compra. Torna-se essencial, portanto, que saibamos como avaliar corretamente 
estas propostas de forma a:
• Detectar o preço real do bem ou serviço ou a taxa de juros 
efetivamente cobrada.
• Verifi car se não valerá a pena esperarmos e comprarmos à 
vista em momento futuro.
• Verifi car se não vale a pena resgatarmos alguma aplicação 
fi nanceira e adquirir o bem à vista.
• Verifi car se não há alternativa melhor para o fi nanciamento.
Nos exemplos que se seguem, ilustraremos alguns casos onde o fl uxo de caixa fi nal poderá 
ser convertido ao modelo defi nido como DFC-Padrão (A). No próximo módulo, abordaremos 
outras modalidades de fi nanciamento, envolvendo prestações.
53Copyright Ibmec
Exemplo 2.20: Um indivíduo dispõe de uma aplicação fi nanceira que lhe rende 1,60% a.m. Ao 
tentar adquirir um conjunto de som, anunciado por $1.000,00, o vendedor lhe oferece a possibilidade 
de pagar com um cheque pré-datado para 90 dias ou pagar à vista (neste caso, com um desconto 
de 5,00% sobre o preço anunciado). Vale ou não a pena fi nanciar a compra? Utilize, na análise, os 
critérios da taxa de juros, do valor futuro e do valor presente.
 Solução – Critério da taxa de juros: Com o desconto de 5%, é possível adquirir o 
conjunto à vista por $950,00. O DFC do fi nanciamento será:
Figura 2.8 – DFC do fi nanciamento do exemplo 2.20
Por este critério, somente será compensador comprarmos a prazo se a taxa de juros embutida 
no fi nanciamento for inferior à taxa da aplicação fi nanceira, pois, desta forma, estaríamos 
recebendo mais juros (na aplicação) do que pagando (no fi nanciamento).
Para o exemplo, o valor fi nanciado será P=$950,00, o valor a ser pago F=$1.000,00, e o 
período do fi nanciamento n=3. Em uma HP-12C, faremos 1000 <CHS> <FV> 950 <PV> 3 <n> 
<i> para chegarmos a 1,72 de taxa mensal.
Como iaplic (=1,60%) é menor que ifi nan (=1,72%), a melhor opção será o pagamento à vista.
 Solução – Critério da comparação entre os valores futuros: 
Por este critério de análise, admitiremos que o valor à vista estará investido em uma aplicação 
fi nanceira. A compra a prazo será vantajosa se, após o prazo da operação, o valor futuro do 
preço à vista for superior ao valor a ser quitado no fi nanciamento, já que, assim, com os recursos 
aplicados, conseguiríamos adquirir o bem, e ainda teria sobrado algum saldo. O DFC seguinte 
ilustra o raciocínio:
$950
$1.000
desc=5%
i=?
0 3
54 Copyright Ibmec
0
F= ?
i = 1,60%
R$ 950
3
Figura 2.9 – DFC da aplicação do preço à vista - exemplo 2.20
No exemplo, o valor da aplicação P=$950,00, o prazo n=3 e a taxa i=1,60% a.m.. Admitindo 
que continuamos a operar com a HP-12C, faremos: 950 <CHS> <PV> 3 <n> 1.6 <i> <FV> para 
chegarmos a 996.33 de montante.
Como o Faplic (=$996,33) é menor que Ffi nan 
(=$1.000,00), a melhor opção será a compra à vista 
(note que, caso tivéssemos optado pelo fi nanciamento, 
teríamos desperdiçado, hoje, a oportunidade da troca 
do bem pela aplicação para, dentro de três meses, 
trocarmos o bem pelo saldo da aplicação acrescido de 
desembolso adicional de $3,67).
 Solução – Critério do valor atual do fi nanciamento:
É um critério semelhante ao anterior, à exceção de que, ao invés de compararmos os valores 
futuros, iremos compará-los na data atual. Sendo assim, o valor a ser pago pelo fi nanciamento 
é trazido à data-zero, utilizando-se na avaliação o custo de oportunidade do cliente (que poderá 
ser medido pela taxa que ele recebe em sua aplicação fi nanceira). Observe que o valor obtido 
no cálculo equivalerá ao capital que deveria ser investido hoje pelo cliente, de forma que ele 
obtivesse os recursos necessários para a liquidação do fi nanciamento. Sob este enfoque, a 
compra a prazo somente será vantajosa se o valor atual do fi nanciamento for inferior ao preço 
à vista. O DFC seguinte ilustra o raciocínio.
55Copyright Ibmec
0
$1.000
i = 1,60%
P= ?
3
Figura 2.10 – DFC do valor presente do fi nanciamento - exemplo 2.20
Para o exemplo em análise, o valor a ser pago pelo fi nanciamento F=$1.000,00, o prazo 
n=3, e o custo de oportunidade para o cliente é de i=1,60% ao período. O valor presente P 
do fi nanciamento será obtido através da sequência HP-12C: 1000 <FV> 1.6 <i> 3 <n> <PV>. 
Chegaremos a 953.50 de valor presente.
O resultado acima corresponde ao valor que deveria ser aplicado hoje pelo cliente para obter 
os $1.000,00 necessários à quitação do fi nanciamento. Como o preço do som hoje (=$950,00) 
é menor que o valor presente do fi nanciamento Pfi nac (=$953,50), será preferível adquiri-lo 
à vista. 
A tabela a seguir resume as conclusões e os dados do exemplo:
taxa de juros da aplicação
1,60% a.m.
<
<
taxa de juros do fi nanciamento
1,72% a.m.
valor futuro do preço à vista
$996,33
<
<
preço a prazo
$1.000,00
preço à vista
$950,00
<
<
valor presente do fi nanciamento
$953,50
Tabela 3.1 – Critérios para a compra à vista – ótica do comprador
56 Copyright Ibmec
Importante:
• Para o caso de um único fi nanciamento, todos os resultados irão sempre conduzir à 
mesma resposta. Mas verifi que de que lado você está (comprando ou vendendo).
• Para várias propostas, o método da taxa apresentará problemas caso prazos e valores 
fi nanciados sejam distintos. Opte sempre pelo critério do valor presente.
• O exemplo anterior supôs que o comprador possuía uma aplicação fi nanceira; análise 
idêntica poderá ser feita para o caso do comprador não possuir uma aplicação. Neste 
caso, a taxa a adotar na análise deverá ser a menor taxa com que ele conseguiria um 
empréstimo. Por exemplo, se ele conseguisse um consignado a 1,60% a.m., deveria 
fi car devendo ao banco e pagar à vista na loja.
Taxas variáveis ao longo do tempo
As formulações que apresentamos assumiram a hipótese de que, durante uma operação 
envolvendo prazos superiores ao prazo unitário, a taxa de juros permaneceria estável, caso 
particular de uma situação genérica onde as taxas variam ao longo do tempo. Neste caso, use:
.... ) )i i1 1( ()i1(PF n21
Fórmula 2.4 – Cálculo do montante para taxas variáveis
Exemplo 2.21: Um investidor aplicou $2.500,00 em um fundo de ações que rendeu, nos últimos 
três meses, respectivamente, 5,00%, 10,00% e -2,00%. Qual o valor resgatado? Qual rentabilidade 
média mensal teria proporcionado o mesmo valor de resgate?
 Solução: A primeira pergunta poderá ser respondida aplicando-se a fórmula de cálculo 
do montante para taxas variáveis, que acabou de ser apresentada. Note que o fator para o terceiro 
mês será igual a 0,98 (=1-0,02), pois a taxa de rentabilidade foi negativa.
F = 2.500,00 × 1,05 × 1,10 × 0,98 = R$ 2.829,75 ou, em uma HP: 2500 <ENTER> 5<%> <+> 
10<%> <+> 2 <%> <−>.57Copyright Ibmec
A segunda parte do problema envolverá o cálculo da taxa para o DFC abaixo:
Figura 2.11 – DFC para o exemplo 2.21
Em uma HP-12C, o DFC anterior é resolvido a partir de 2500 <CHS> <PV> 2829.75 <FV> 3 
<n> <i>, chegando-se a 4,2164% a.m de taxa média:
Exemplo 2.22: Ao fi nal de 2004, você aplicou $1.250,00 em 
um fundo de ações que, nos dez primeiros meses de 2005, 
rendeu, respectivamente: 12,10%; -6,56%; 15,40%; 38,82%; 
-34,25%; -7,00%; 4,22%; 11,11%; 2,03%; 5,55%. Utilizando o 
Excel, responda:
a) Qual o valor acumulado ao fi nal de Outubro?
b) Qual a taxa média mensal recebida?
c) Se, em novembro, a rentabilidade for igual a 17,13%, 
quais seriam estes valores?
d) E se, em dezembro, a rentabilidade fosse de 2,02%?
 Solução – item a: Reservaremos uma coluna da planilha para preenchermos as 
rentabilidades, deixando os dois últimos meses em branco (na realidade, as células deverão 
estar vazias). As taxas deverão ser digitadas ou em decimal ou em percentual, seguidas do 
símbolo %. Utilizaremos a função VFPLANO para o cálculo do valor acumulado.
0
$2.829,75
i = ?
$2.500,00
3m
58 Copyright Ibmec
 Solução – item b: Para o cálculo da taxa média, utilizaremos a função TAXA, já 
apresentada em exemplo anterior. Esta função exige, dentre outros argumentos, o número de 
períodos. Note, entretanto, que será conveniente não fi xarmos este número em 10 (janeiro a 
outubro), pois os itens (c) e (d) solicitam o cálculo da taxa média, considerando a rentabilidade 
obtida nos dois meses subsequentes. Resolve-se a questão utilizando a função CONT.NUM, 
aplicada por toda a faixa reservada à digitação das rentabilidades. Quando a faixa contiver 
apenas os 10 primeiros meses, CONT.NUM responderá 10; quando contiver os 11 primeiros 
meses, responderá 11; e assim sucessivamente.
Figura 2.12 – Taxas variáveis no Excel
 Solução – item c: Ao preencher a célula B12 com a rentabilidade de novembro, 
automaticamente terá as respostas: resgate = $1.873,46; taxa média = 3,75%.
 Solução – item d: O mesmo ocorrerá ao preenchermos a célula B13 com a 
rentabilidade de dezembro: resgate = $1.911,30; taxa média = 3,60%.
Pelo critério da taxa de juros, somente será compensador comprar a prazo se a taxa de 
juro embutida no fi nanciamento for inferior à taxa da aplicação fi nanceira.
Pelo critério da comparação entre os valores futuros, a compra a prazo será vantajosa 
se, após o prazo da operação, o valor futuro do preço à vista for superior ao valor a ser 
quitado no fi nanciamento.
Pelo critério do valor atual do fi nanciamento, a compra a prazo somente será vantajosa se 
o valor atual do fi nanciamento for inferior ao preço à vista.
59Copyright Ibmec
Resumo
Neste módulo, abordamos a resolução do DFC-Padrão (A) através do regime de juros 
compostos. As fórmulas utilizadas neste regime já não envolvem relações lineares entre as 
respectivas variáveis, razão pela qual a utilização das calculadoras fi nanceiras e/ou do Excel 
agilizará as soluções.
Também, neste regime, é importante que a taxa e o prazo da operação estejam compatíveis 
quanto à unidade de tempo, e será através da equivalência de taxas que conseguiremos 
transformá-las.
Os métodos de cálculo apresentados foram, em seguida, utilizados na resolução de exemplos 
aplicados: determinamos preços de títulos, avaliamos fi nanciamentos comerciais e taxas 
variáveis ao longo do tempo.
61Copyright Ibmec
MÓDULO 3:
SÉRIES UNIFORMES DE 
PAGAMENTOS
63Copyright Ibmec
Introdução
Neste módulo, estudaremos os diagramas de fl uxo de caixa (DFC), conhecidos como 
séries uniformes de pagamentos. Representam inúmeras situações do cotidiano como, 
por exemplo, os fi nanciamentos para compras a prazo, poupanças programadas e 
muitos outros.
Objetivos
Após completar o estudo do módulo, você estará apto a:
• Defi nir séries de pagamentos, sua utilização e características.
• Apresentar fórmulas e métodos para cálculo das séries periódicas uniformes.
• Resolver os problemas propostos na HP-12C.
• Resolver os problemas propostos no Excel.
• Avaliar crediários padronizados.
• Calcular resíduos nos fi nanciamentos.
• Resolver séries uniformes diferidas.
• Resolver séries com prestações intermediárias.
Estrutura do módulo
Para melhor compreensão das questões que envolvem a matemática fi nanceira, este módulo 
está dividido em:
Unidade 1: Objetivos e Características das Séries de Pagamentos
Unidade 2: Resolução dos Diagramas
Unidade 3: Exemplos Aplicados
64 Copyright Ibmec
Unidade 1: Objetivos e Características das Séries 
de Pagamentos
A partir da apresentação das séries uniformes 
fi nitas, esta unidade irá apresentar os objetivos 
e características das séries de pagamentos. As 
características serão classifi cadas da seguinte 
forma: quanto à periodicidade; quanto ao valor das 
prestações; ao número de prestações; às datas de 
pagamentos; às datas do primeiro pagamento.
Objetivos
Uma série de pagamentos será toda sequência fi nita ou infi nita de entradas ou saídas de 
caixa que corresponderão aos recebimentos ou pagamentos, e serão chamadas de “termos 
da série” ou, simplesmente, “prestações”, com um dos seguintes objetivos:
• Amortização de um empréstimo.
• Capitalização de um montante.
• Geração de uma renda perpétua.
Para o entendimento da aplicação desta série, convém conhecer os seguintes diagramas:
P
0 1
A A A A
2 3 4
F
0 1
A A A A
2 3 4
F
0 1
A A A A
2 3 4
P
0 1
A A A A
2 3 4
65Copyright Ibmec
P
i
0 1
A A A A A
2 3 4
P
i
0 1
AA A A A A
2 3 4
Figura 3.1 – DFC-Padrão (BC) - Séries uniformes fi nitas
Exemplo 3.1: Os fi nanciamentos imobiliários e o crédito direto ao consumidor são modelos 
típicos de séries com o objetivo de amortização; os dois primeiros DFC da Figura 3.1 ilustram 
séries com este objetivo. Em ambos os casos, um indivíduo tomou o valor P emprestado 
para pagar em quatro parcelas de idêntico valor, iguail a A. Na esquerda, o fi nanciamento 
foi feito sem entrada e, no caso da direita, com entrada. Haverá, obviamente, um diagrama 
simétrico ao anterior, representando a operação sob o ponto de vista do agente fi nanceiro que 
concedeu o empréstimo. Note que o fato de este agente não ser o devedor, mas sim o credor 
do valor P, não irá descaracterizar o objetivo de amortização da série; apenas as direções dos 
fl uxos de caixa é que estarão invertidas.
Exemplo 3.2: Os títulos de capitalização, as poupanças programadas e os consórcios são 
modelos típicos de séries com o objetivo de capitalização. Os dois DFC centrais da fi gura 3.1 
ilustram séries com esta fi nalidade. Nesses casos, um indivíduo pretende acumular o valor F 
ao término do quarto mês, depositando quatro parcelas de idêntico valor, igual a A. Na 
esquerda, a última parcela é depositada na data em que se deseja acumular o valor F, e, na 
direita, a última parcela é depositada um período antes. 
Observe na Figura 3.1 que, no caso da direita, a última prestação coincidirá com o montante F, 
o que permite concluir que a taxa de juros não incidirá sobre esta parcela fi nal. Devido a 
esta questão, é pouco provável que, na prática, encontremos uma operação fi nanceira em 
que o resgate seja efetivamente realizado logo após o depósito da última prestação, sendo a 
situação mais corriqueira aquela representada pelo DFC da esquerda. Toda esta discussão 
perderá sua importância se utilizarmos o diagrama anterior (da direita) na obtenção do saldo 
F da capitalização, imediatamente após o pagamento da última prestação.
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Exemplo 3.3: Os planos de previdência ou mesmo 
a compra de um imóvel para aluguel a terceiros são 
modelos típicos de séries com o objetivo de geração 
de renda perpétua. Ao adquirir um apartamento, o 
investidor poderá receber uma quantia periódica, 
como aluguel “até o fi m da vida”, da sua e de seus 
descendentes. Os dois últimos DFC da fi gura 
ilustram esta questão, sob a ótica de quem vendeu 
o apartamento. Por exemplo: recebeu o valor P pela 
venda eirá pagar aluguel até o fi m da vida.
Características
O conjunto dos DFC representativos das séries é bastante extenso, já que a forma como 
os pagamentos são efetuados varia de uma série para outra. As classifi cações que iremos 
apresentar não são mutuamente exclusivas, portanto, uma série poderá apresentar mais do 
que uma das características listadas.
• Quanto à periodicidade: Nas séries periódicas, os pagamentos ocorrerão a intervalos 
regulares (por exemplo, prestações mensais, prestações semestrais, e assim 
sucessivamente); nas séries não periódicas tal regularidade desaparecerá.
• Quanto ao valor das prestações: As séries uniformes apresentam todos os seus 
pagamentos iguais; já as séries não uniformes apresentam prestações variáveis. Um 
subgrupo pertencente a esta classifi cação será formado pelas séries uniformemente 
crescentes ou decrescentes: as prestações para este grupo não são constantes, mas 
haverá algum tipo de relacionamento entre elas (por exemplo, as prestações formando uma 
PG), o que permitirá apresentarmos métodos específi cos de resolução.
• Quanto ao número de prestações: Chamaremos de perpetuidades ou séries infi nitas às 
séries cujo número de pagamentos seja ilimitado. Usualmente, adota-se o modelo perpétuo 
nas avaliações de empresas (fl uxos de caixa futuros sem previsão de encerramento) no 
cálculo de planos de aposentadoria e muitos outros. Em contrapartida às perpetuidades, as 
séries fi nitas serão caracterizadas por apresentar um número fi xo de prestações.
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• Quanto às datas dos pagamentos: Admitindo que o primeiro pagamento ocorra logo 
no primeiro período, classifi caremos como séries postecipadas as séries em que os 
pagamentos ocorrerem ao fi nal de cada período, e como séries antecipadas as séries em 
que os pagamentos ocorrerem no início de cada período.
• Quanto às datas do primeiro pagamento: Quando o primeiro pagamento de uma série 
não ocorrer logo no primeiro período (antecipado ou postecipado), diremos tratar-se de uma 
série diferida ou série com período de carência.
Exemplo 3.4: A fi gura seguinte ilustra quatro DFC para séries 
de pagamentos compostas por quatro prestações cada. 
Dada a confusão que muitos fazem entre os dois formatos – 
antecipado e postecipado – recomenda-se que você estude 
o exemplo cuidadosamente e, somente após ter a completa 
compreensão dos conceitos aqui expostos, prossiga com 
a matéria. Admitindo que o tempo esteja expresso em 
meses, responda:
a) Como classifi cá-las quanto à periodicidade, valor e número das prestações?
b) Quais DFC representam amortizações? E capitalizações? 
c) Qual é o valor para n? O que esta variável representa nas séries? 
d) O que caracteriza o DFC para uma amortização? 
e) O que caracteriza o DFC para uma capitalização?
f) Nos DFC, onde fi ca o primeiro mês? E o segundo?
g) Onde está o início do primeiro mês? E o fi nal? E para o segundo mês?
h) Quais DFC representam séries antecipadas? 
i) Quais DFC representam séries postecipadas? 
j) Que regra prática você poderia ter para identifi car os modelos prontamente?
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Figura 3.2 – Exemplo 3.4 – Séries postecipadas e antecipadas
 Solução: Respondendo a cada um dos itens solicitados:
a) Tratam-se de séries periódicas, pois os intervalos entre as prestações são constantes, 
equivalentes a um mês, não uniformes, pois as prestações são variáveis, e fi nitas, pois 
há um número fi xo de parcelas: quatro.
b) Os dois de cima representam amortizações (empréstimos), os de baixo, capitalizações 
(investimentos), sob a ótica de quem tomou o empréstimo (para os de cima) ou de 
quem aplicou (para os de baixo). 
c) Para todos os DFC, n=4. Nas séries, n irá representar, simultaneamente, o número de 
prestações e o número de períodos (4 prestações, 4 meses).
d) O DFC de uma série para amortização apresenta um valor presente P, sempre 
posicionado na data t=0, e várias prestações, com direção oposta a P. No DFC da 
fi gura, como P é uma entrada de caixa, as prestações A serão saídas. Sob a ótica de 
quem emprestou o dinheiro, P seria uma saída de caixa, e as prestações A, entradas. 
Observe a inexistência do valor futuro F para estes dois DFC.
e) O DFC de uma série para capitalização apresenta um valor futuro F, sempre 
posicionado na data t=n, e várias prestações, com direção oposta a F. No DFC da 
fi gura, como F é uma entrada de caixa, as prestações A serão saídas. Sob a ótica de 
quem recebesse o dinheiro, F seria uma saída de caixa, e as prestações A, entradas. 
Observe a inexistência do valor presente P para estes dois DFC.
P
0 1
A1
A2 A3
A4
2 3 4
F
0 1
A1
A2 A3
A4
2 3 4
F
0 1
A1
A2 A3
A4
2 3 4
P
0 1
A1
A2 A3
A4
2 3 4
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f) Muitos pensam que o primeiro mês corresponde a t=1. Na realidade, o primeiro mês é 
o intervalo de tempo compreendido entre t=0 e t=1. Da mesma forma, o segundo mês 
corresponde ao intervalo de tempo entre t=1 e t=2, e assim sucessivamente.
g) O início do primeiro mês está em t=0, o fi nal, em t=1; o início do segundo mês está em 
t=1, o fi nal, em t=2, e assim sucessivamente.
h) Pela defi nição, a primeira prestação de uma série antecipada ocorrerá no início 
do primeiro mês; a segunda, no início do segundo mês; e assim sucessivamente. 
Logo, juntando a defi nição à resposta dada em (g), conclui-se que os DFC da direita 
correspondem às antecipadas.
i) Pela defi nição, a primeira prestação de uma série postecipada ocorrerá ao fi nal do 
primeiro mês, a segunda, ao fi nal do segundo mês, e assim sucessivamente. Logo, 
juntado a defi nição à resposta dada em (g), concluiremos que os DFC da esquerda 
correspondem às postecipadas.
j) Nas amortizações, se a primeira prestação estiver na data do valor presente 
P, a série será antecipada e, se a primeira prestação estiver um período à 
direita do valor presente P, a série será postecipada. Para as capitalizações, 
se a última prestação estiver na data do valor futuro F, a série será 
postecipada e, se a última prestação estiver à esquerda do valor futuro F, 
a série será antecipada.
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Unidade 2: Resolução dos Diagramas
Para resolver os diagramas, esta unidade aborda três 
métodos: a resolução pelas fórmulas, pela HP-12C e pelo 
Excel. Mas, de forma distinta da que ocorre para os DFC 
com apenas uma única entrada e uma única saída de caixa 
(P e F) – onde conseguimos calcular a taxa de juros por 
fórmula –, nas séries de pagamento fi nitas, a determinação 
da taxa de juros é feita por métodos iterativos, extraídos do 
cálculo numérico. Por esta razão, optamos por não incluí-las 
nesta apostila, já que, necessariamente, você precisará de 
uma calculadora fi nanceira ou do Excel para chegar aos 
resultados. Limitaremo-nos apenas às fórmulas relacionadas 
às perpetuidades.
Pelas fórmulas
Observe as fórmulas a seguir:
Fórmula 3.1 – Perpetuidades postecipadas
 
 
Fórmulas 3.2 – Relações entre as séries postecipadas e as séries antecipadas
Observações:
• Nas expressões anteriores, a taxa i estará expressa em sua forma decimal e (1+i) 
corresponderá ao seu fator.
• A taxa i deverá estar expressa na mesma unidade de tempo que o prazo n, o que, nas 
séries periódicas, equivalerá ao intervalo de tempo existente entre duas prestações 
sucessivas. 
i
AP (a) iPA (b) 
P
Ai (c) 
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• Caso a condição acima não se verifi que, transforme a taxa através da equivalência de 
taxas, conceito visto no módulo anterior.
• As fórmulas de perpetuidades postecipadas tratam do caso, como o próprio nome 
anuncia, postecipado. Trabalhando no caso antecipado, determine primeiro os valores 
postecipados e converta-os para antecipados pelas fórmulas de relações entre as séries 
postecipadas e as séries antecipadas.
Importante: No caso das perpetuidades, você deverá utilizar tanto as fórmulas das 
perpetuidades postecipadas quanto a das relações entre as séries, já que as calculadoras e o 
Excel somente trabalham com as séries