Matemática Financeira - IBMEC

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CURSO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Z56m Zentgraf, Roberto
Matemática Financeira / Roberto Zentgraf. – Rio de 
Janeiro: Grupo Ibmec Educacional, 2012.
139p.; 20x26 cm
Inclui bibliografi a
1. Regimes de capitalização 2. Regimes de juros 3. Utilização 
da HP-12C 4. Juros compostos 5. Equivalência de taxas 6. Séries 
uniformes de pagamentos 7. Fluxos de caixa 8. Sistemas de 
amortização e taxas de juros I. Zentgraf, Roberto II. Ibmec Online 
III. Título.
CDD: 513.93
Grupo Ibmec Educacional
1ª Edição - 2012
Copyright Ibmec
Sumário
ABERTURA DO CURSO ............................................................................
Carta ao aluno ..............................................................................................
Currículo resumido do professor-autor .........................................................
Introdução ....................................................................................................
Objetivos.......................................................................................................
Diretrizes Pedagógicas ................................................................................
MÓDULO 1: Os Primeiros Passos
Unidade 1 - Conceitos Iniciais ......................................................................
Unidade 2 - Regimes de Capitalização e Regimes de Juros .......................
Unidade 3 - Utilização da HP-12C ................................................................
Resumo ........................................................................................................
MÓDULO 2: Resolução a Juros Compostos
Unidade 1 - Resolução do Diagrama a Juros Compostos ...........................
Unidade 2 - Equivalência de Taxas ..............................................................
Unidade 3 - Exemplos Aplicados .................................................................
Resumo ........................................................................................................
MÓDULO 3: Séries Uniformes de Pagamento 
Unidade 1 - Objetivos e Características das Séries de Pagamentos ..........
Unidade 2 - Resolução dos Diagramas ........................................................
 
05
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06
07
07
07
12
20
27
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45
51
59
64
70
Copyright Ibmec
Unidade 3 - Exemplos Aplicados ...........................................................
Resumo .................................................................................................
MÓDULO 4: Outros Fluxos de Caixa 
Unidade 1 - Fluxos de Caixa Quaisquer .................................................
Unidade 2 - Resolução do DFC=Genérico .............................................
Unidade 3 - Uso do VP, VPL e da TIR na Avaliação dos Ativos ............
Resumo .................................................................................................
MÓDULO 5: Sistemas de Amortização e Taxas de Juros
Unidade 1 - Sistemas de Amortização ...................................................
Unidade 2 - Resolução dos Sitemas de Amortização ............................
Unidade 3 - Uso de Taxas Não Efetivas .................................................
Resumo .................................................................................................
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................
79
88
92
98
105
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116
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138
139
5Copyright Ibmec
Abertura da Disciplina
Carta ao Aluno
Caro aluno(a),
O presente estudo apresentará, de forma gradual e objetiva, os principais fundamentos da 
Matemática Financeira com exemplos práticos e atuais, resolvidos por meio de fórmulas, da 
calculadora fi nanceira HP-12C e por planilha Excel.
É o resultado de minha experiência de mais de 18 anos em sala de aula, em cursos de 
graduação e pós-graduação, e também de exercício semanal, que é escrever uma coluna 
para um jornal de grande circulação nacional.
Um grande abraço, 
Roberto Zentgraf
(Professor-autor)
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Currículo resumido da professor-autor
Roberto Zentgraf é engenheiro civil (UFRJ), com pós-graduações em Análise de Sistemas 
(PUC) e em Finanças (Ibmec), além de mestre em Engenharia de Produção (UFF). Após 
trabalhar na Esso, ingressou na área acadêmica, sendo, atualmente, professor do Ibmec/RJ, 
após mais de 10 anos na coordenação dos programas de MBA da instituição. É, também, 
autor dos livros Matemática Financeira Objetiva, Estatística Objetiva, O Guia Prático de 
Finanças do Roberto Zentgraf e O Futuro é Hoje. Foi colunista do jornal O Dia e, hoje, é 
articulista semanal do jornal O Globo, um dos maiores veículos de comunicação do país. Além 
disso, Roberto Zentgraf mantém o blog Você Investe, hospedado no site www.oglobo.com.br, 
e participa como consultor do programa Mais Você, da Rede Globo de Televisão.
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Introdução
O estudo apresentará, de forma gradual e objetiva, os principais fundamentos da Matemática 
Financeira e suas principais funções existentes, com exemplos práticos e atuais resolvidos 
por meio de fórmulas, pela calculadora fi nanceira HP-12C e por planilha Excel. Serão 
mostradas, também, as transações realizadas no mercado fi nanceiro brasileiro. 
Bem vindo ao curso de Matemática Financeira!
Objetivos
Após completar o estudo da disciplina Matemática Financeira, você poderá:
• Compreender os principais fundamentos da Matemática Financeira.
• Resolver problemas que envolvam cálculos e funções fi nanceiras por meio de planilhas 
Excel, fórmulas e calculadora HP-12C. 
• Ter uma visão sobre as transações realizadas no mercado fi nanceiro brasileiro. 
Diretrizes Pedagógicas
Tenha sempre em mente que você é o principal agente de sua aprendizagem. Para um estudo 
efi caz, siga estas dicas:
• Organize o seu tempo e escolha o melhor horário do dia para estudar.
• Consulte a bibliografi a e o material de apoio, caso tenha alguma dúvida.
• Tenha em mãos a sua calculadora fi nanceira HP-12C para a resolução dos problemas 
propostos.
• Releia o conteúdo sempre que achar necessário. 
Bom estudo!
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MÓDULO 1 
OS PRIMEIROS PASSOS
11Copyright Ibmec
Introdução
Sob um enfoque teórico, poderemos defi nir a Matemática Financeira como o estudo da 
evolução do dinheiro ao longo do tempo, visando estabelecer relações formais entre quantias 
expressas em datas distintas. Sob uma visão mais aplicada, iremos apresentá-la como o 
conjunto de técnicas e formulações extraídas da Matemática, com o objetivo específi co de 
avaliar as operações de investimento e de empréstimo. 
Conclui-se, portanto, que ela se constitui em uma das mais importantes – e básicas – 
ferramentas para a resolução adequada dos problemas relacionados às fi nanças: conhecer 
seus fundamentos é estar mais apto a tomar decisões seguras, dentro de níveis de risco 
pré-assumidos.
Objetivos
Ao completar este módulo de estudo, você estará apto a:
• Identifi car o valor do dinheiro no tempo.
• Mostrar o papel do mercado fi nanceiro.
• Conceituar juros, taxa de juros e fl uxo de caixa.
• Conceituar regimes de capitalização e de juros.
• Apresentar modalidades de prazos de aplicações.
• Utilizar calculadora fi nanceira HP-12C.
• Resolver problemas por meio dos Juros Simples.
Estrutura do módulo
Para melhor compreensão das questões que envolvem a Matemática Financeira, este módulo 
está dividido em:
Unidade 1: Conceitos Iniciais
Unidade 2: Regimes de Capitalização e Regimes de Juros
Unidade 3: Utilização da HP-12C
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Unidade 1: Conceitos Iniciais
Para aplicar as técnicas mencionadas neste 
módulo, é necessário compreender alguns 
conceitos iniciais, que serão úteis em todo 
estudo deste curso. São eles: o valor do dinheiro 
no tempo; juros; taxas de juros; fl uxo de caixa; 
metodologia para a resolução de problemas; 
além de outros conceitos, como valor presente 
e valor futuro, e considerações quanto ao prazo 
das aplicações.
O valor do dinheiro no tempo
Relaciona-seà ideia de que, ao longo do tempo, o valor do dinheiro muda, quer em função 
de sua desvalorização, devido à infl ação, quer em função da existência de alternativas 
de investimento que possibilitarão o recebimento de alguma remuneração sobre a 
quantia envolvida.
Consequência 1: somente será possível a comparação de quantias expressas em uma 
mesma data.
Consequência 2: somente será possível a realização de operações algébricas (adições, 
subtrações e outras) com quantias expressas em uma mesma data.
Juros
Defi niremos juros como o rendimento obtido (ou pago) por um indivíduo que tenha aplicado 
(ou tomado emprestado) uma quantia sob determinadas condições.
Fugindo da defi nição tradicional, podemos entendê-los também como o aluguel que o 
aplicador receberá por tornar disponíveis os recursos que serão utilizados por terceiros (ou 
que o tomador pagará por usufruir destes recursos).
Será através do mercado fi nanceiro que tais transações irão comumente se efetivar, conforme 
ilustra a fi gura a seguir:
13Copyright Ibmec
Poupador
$ $
$+J2$+J2
Tomador
Mercado
Financeiro
Figura 1.1 – O papel do mercado fi nanceiro
Conclui-se, portanto, que o mercado fi nanceiro negocia um produto (no caso, o dinheiro) e, 
como em todo e qualquer mercado, possui uma cotação para este produto, a taxa de juros (ou 
preço do dinheiro).
Taxa de juros
Expressa a razão entre os juros recebidos/pagos ao fi nal do período da operação e o valor 
originalmente aplicado (ou tomado emprestado), sendo usualmente representada por i (do 
inglês interest, que signifi ca juros). Seu valor, em uma primeira abordagem, poderá ser obtido 
pela fórmula seguinte. As taxas de juros deverão vir acompanhadas de uma referência ao 
tempo em que os valores serão aplicados.
100=i(%) =
CAPITAL
JUROS
CAPITAL
JUROSi
Fórmula 1.1 – Taxa de juros em um período
Exemplo 1.1: Para cada linha da tabela abaixo, os valores expressos para as taxas de juros 
se equivalem.
Percentual Percentual Fração Decimal
9,0% ao mês 9,0% ao mês 9,0/100 ao mês 0,09 ao mês
0,3% ao dia 0,3% ao dia 0,3/100 ao dia 0,003 ao dia
250,0% ao ano 250,0% ao ano 250,0/100 ao ano 2,50 ao ano
Tabela 1.1 – Exemplos de taxas de juros
14 Copyright Ibmec
Exemplo 1.2: Se, após aplicar $200,00, um investidor obteve $50,00 a título de juros, a taxa 
de juros ao período (% a.p.) será de 25,00%, encontrada mediante o emprego da Fórmula 1.1 
citada anteriormente:
Fluxo de caixa
Denominamos fl uxo de caixa o conjunto de entradas e 
saídas de dinheiro ou equivalente a dinheiro, ao longo do 
tempo, para um indivíduo ou empresa.
As entradas de um fl uxo de caixa corresponderão aos 
recebimentos. As saídas corresponderão aos pagamentos 
ou desembolsos.
Grafi camente, o fl uxo de caixa será representado por meio do Diagrama de Fluxo de Caixa 
(DFC), conforme as seguintes convenções:
• No eixo horizontal, será marcada a escala de tempo, subdividida em subperíodos: 
meses, anos, dias etc.
• O ponto 0 será a data inicial ou DATA-ZERO, a partir da qual todas as demais se 
encontrarão relacionadas.
• As quantias serão representadas por segmentos verticais, que, na medida do 
possível, deverão ser proporcionais aos respectivos valores.
• Entradas de caixa corresponderão a segmentos traçados acima do eixo horizontal; 
saídas de caixa corresponderão a segmentos traçados abaixo.
Exemplo 1.3: Na Figura 1.2 a seguir, os fl uxos FC1, FC3 e FCn correspondem a entradas de 
caixa; FC0 e FC2 correspondem a saídas de caixa.
Figura 1.2 – O diagrama de fl uxo de caixa
100=i(%)
CAPITAL
JUROS
0 1
FC1
FC3 FCn
FC2
FC0
2 3 4 n
tempo
15Copyright Ibmec
Observe:
• O período é o intervalo existente entre duas marcações quaisquer da escala. Por 
exemplo: o primeiro período está compreendido entre 0 e 1, o segundo, entre 1 e 2. Por 
conseguinte, o início do primeiro período estará na data-zero, e o fi nal, na data 1; o início 
do segundo período, está na data 1, o fi nal, na data 2, e assim sucessivamente.
• A escala utilizada é apenas relativa, ou seja, pode ser modifi cada. Exemplo: se, no 
diagrama anterior, a unidade de tempo fosse o mês, marcaríamos 0, 30, 60, 90, ..., n, 
caso desejássemos transformá-la em uma escala diária.
• A grande maioria dos problemas de matemática fi nanceira recairá na resolução de 
alguns poucos diagramas predefi nidos. Caberá, portanto, ao analista, a decomposição do 
diagrama original do problema em diagramas para os quais a solução esteja padronizada.
Exemplo 1.4: Uma empresa tomou emprestados $20.000,06 a serem devolvidos mediante o 
pagamento de 8 prestações mensais de $4.000,00, a primeira vencendo ao fi nal do sexto mês.
Figura 1.3 – Exemplo de um diagrama de fl uxo de caixa
Em algumas questões, após a decomposição a que nos referimos, os diagramas resultantes 
irão iniciar em datas distintas da data zero. Dado que a escala de tempo é apenas relativa, 
o analista poderá remarcá-la fazendo com que o início do novo diagrama coincida com a 
data zero. Tal procedimento não afetará os cálculos, desde que o intervalo de tempo entre 
as entradas e saídas de caixa mantenha-se inalterado.
Em um curso de matemática fi nanceira, como o foco é a 
resolução dos fl uxos de caixa, é razoável supor que as 
entradas e saídas de caixa, em suas respectivas datas, 
sejam previamente conhecidas, o que torna a elaboração 
dos diagramas uma tarefa trivial. Na prática, entretanto, 
nem sempre os dados do problema virão de forma tão 
explícita, principalmente quando envolverem estimativas 
de receitas e despesas futuras, o que, entretanto, foge ao 
escopo do presente curso.
0 6
8 x $4.000
13
$20.000,06
16 Copyright Ibmec
Metodologia para a resolução de problemas
A fi m de sistematizarmos as soluções, observe o roteiro indicado na tabela a seguir. Note que 
as chances de cometermos erros reduzem-se consideravelmente.
Etapa 1 Identifi que as entradas e saídas de caixa relevantes ao problema.
Etapa 2 Trace o DFC correspondente, decompondo-o, se possível.
Etapa 3
Verifi que em qual modelo de DFC o diagrama traçado na Etapa 2 
se enquadra.
Etapa 4
Utilize uma das soluções padronizadas, de acordo com sua 
calculadora, software etc.
Tabela 1.2 – Roteiro para a resolução de problemas
Os principais modelos de DFC encontram-se na tabela seguinte:
Modelo DFC-Padrão Descrição Resolução
A
Fluxos envolvendo 
uma entrada e uma 
saída de caixa.
Módulo 2
B
Séries uniformes de 
pagamentos.
Módulo 3
C
Fluxos quaisquer 
(não enquadrados 
nos modelos 
anteriores).
Módulo 4
Tabela 1.3 – Modelos de DFC e suas respectivas resoluções
17Copyright Ibmec
Exemplo 1.5: Voltando à situação ilustrada no exemplo 4, um possível enunciado seria: 
“Dada a taxa de juros de 5,1448%, qual o valor das 8 prestações necessárias para liquidar 
a dívida de $20.000,06, sabendo-se que a primeira prestação será paga ao fi nal do sexto 
mês?” Neste caso, seguindo a metodologia proposta, o DFC do problema poderia ser 
decomposto conforme a fi gura seguinte:
Figura 1.4 – Exemplo da decomposição de um diagrama de fl uxo de caixa
O DFC da esquerda corresponde ao Padrão A, e o da direita, ao Padrão B. Para o da 
esquerda, precisaríamos calcular o valor devido no momento 5 (você saberá como chegar 
aos $ 25.702,20 em breve), que passaria a funcionar como o valor a diluir nas 8 parcelas 
mensais do DFC da direita (você também saberá muito em breve como chegar às prestações 
mensais de $ 4.000).
Outros conceitos importantes
Além das noções de fl uxo de caixa (cash fl ow), juros (interest) e taxa de juros (interest rate) 
já citadas, os seguintes conceitos serão relevantes para o desenvolvimento das fórmulas 
constantes nos próximos capítulos:
• Valor presente (present value) ou principal: 
também chamado de valor atual ou capital inicial, 
corresponderá ao valor do dinheiro hoje, ou seja, 
na data-zero do diagrama de fl uxo de caixa. No 
texto, será representado por P.
• Valor futuro (future value) ou montante: 
também chamado de capital acumulado, 
corresponderáao valor do dinheiro em uma data 
futura, posterior à data zero do diagrama de fl uxo 
de caixa. No texto, será representado por F.
$20.000,06
$25.702,20
5,1448%
8 x $4.000
5,1448%
5
0 1
5 6 13
8
$25.702,20
0
18 Copyright Ibmec
• Número de períodos de capitalização: corresponderá ao número de períodos em que 
um determinado valor P fi cará aplicado à taxa de juros i. No texto, será representado 
por n.
• Fator da taxa de juros: corresponderá ao valor da taxa i dada, transformado em 
fator através da expressão (1 + i). Por exemplo: 10,00%, 100,00% e 0,02% irão gerar, 
respectivamente, os fatores 1,10, 2,00 e 1,0002.
Vale citar que o montante (valor futuro) será sempre igual ao principal (valor presente) 
acrescido dos juros, o que poderá ser enunciado como:
F = P + J
Fórmula 1.2 – Relação entre principal, montante e juros
Podemos, ainda, relacionar P, F e i, onde i está expressa em sua forma decimal.
( ) ( ) iP
PFi
P
F
i
FP =+=
+
= ; 1 ;
1
Fórmula 1.3 – Relações entre principal, montante e taxa de juros ao período
Atenção: estas fórmulas poderão ser utilizadas, independente do regime de capitalização 
considerado, desde que se esteja trabalhando com a taxa i ao período.
Considerações quanto ao prazo das aplicações
Na resolução dos problemas, pode-se adotar duas convenções para a contagem do prazo 
das aplicações:
• Ano civil (ou ano-calendário): o ano terá 366 ou 365 dias (conforme seja ou não 
bissexto) e os meses 31, 30, 29 ou 28 dias (dependendo do mês considerado e do ano 
ser ou não bissexto).
• Ano comercial: o ano terá 360 dias, e os meses, 30 dias.
19Copyright Ibmec
Dependendo da convenção utilizada, há diferentes resultados para o cálculo dos juros:
• Juros exatos: tanto a contagem do prazo da aplicação quanto a conversão da taxa de 
juros são realizadas pelo critério do Ano Civil.
• Juros comerciais: ambas são realizadas pelo critério do ano comercial.
• Juros bancários: o prazo é contado pelo critério do ano civil, a taxa é convertida pelo 
critério do ano comercial.
Observação: No Brasil, o sistema utilizado é o dos juros bancários ou, no caso de muitas 
aplicações fi nanceiras, o prazo é contado em dias úteis, e a taxa anual é convertida, 
considerando o ano com 252 dias úteis.
20 Copyright Ibmec
Unidade 2: Regimes de Capitalização e 
Regimes de Juros
Nesta unidade, além de conhecer as defi nições de 
regimes de capitalização e regimes de juros, você 
poderá acompanhar como se aplicam esses conceitos 
na prática. Para isso, serão apresentados exemplos 
que indicam a necessidade de resolução de problemas 
específi cos e suas soluções correspondentes. 
Defi nições básicas
Regimes de capitalização
Relacionam-se à forma como os juros serão adicionados ao capital. Na capitalização contínua, 
os juros serão agregados ao principal à cada unidade infi nitesimal de tempo; na capitalização 
periódica (ou descontínua), correspondente às operações fi nanceiras de um modo geral, os 
juros serão agregados apenas ao fi nal do prazo estipulado pela taxa de juros.
Regimes de juros
Relacionam-se à forma como os juros serão calculados. No regime de juros simples, a taxa 
de juros incidirá apenas sobre o capital inicialmente aplicado; no regime de juros compostos, 
a taxa de juros incidirá sobre o montante acumulado ao fi nal do período anterior.
Exemplo 1.6: Admitindo uma aplicação de $100,00 à taxa de juros de 10,00% a.m., a tabela 
abaixo ilustrará o valor dos juros e do montante acumulados ao longo dos 3 primeiros meses 
para os dois regimes de juros na capitalização periódica.
21Copyright Ibmec
t Juros (Simples) F Juros (Compostos) F
0 - 100,00 - 100,00
1 100,00 × 10,00% = 10,00 110,00 100,00 × 10,00% = 10,00 110,00
2 100,00 × 10,00% = 10,00 120,00 110,00 × 10,00% = 11,00 121,00
3 100,00 × 10,00% = 10,00 130,00 121,00 × 10,00% = 12,10 133,10
Tabela 1.4 – Regimes de juros
Observação: Ao longo de todo este texto, assumiremos a capitalização periódica.
O regime de juros simples
Ainda que o regime de juros simples tenha lá a sua relevância no desenvolvimento teórico das 
fi nanças, no Brasil, sua aplicabilidade é restrita: cobrança dos juros pela utilização dos limites 
nos cheques especiais, desconto de duplicatas e promissórias, pró-rata na atualização de 
dívidas. Há também o caso de alguns concursos públicos que, por haver limitação quanto à 
utilização de calculadoras fi nanceiras, enfatiza questões que envolvem juros simples. 
Por este motivo, e dado que os cálculos feitos sob este regime não envolvem grandes 
difi culdades, o regime de juros simples será abordado brevemente nesta seção. Para 
aqueles que desejarem se aprofundar no tema, recomendamos a leitura complementar da 
bibliografi a indicada.
Assim, supondo o DFC ilustrado na fi gura seguinte, onde P refere-se ao valor aplicado em t=0; 
i, à taxa de juros; n, ao prazo; F, ao valor acumulado, temos:
Figura 1.5 – DFC-Padrão (A)
i% F
P
n
22 Copyright Ibmec
Apesar da extrema simplicidade do DFC anterior, não custa lembrar que boa parte das 
operações realizadas no mercado fi nanceiro comporta-se desta forma, como, por exemplo:
• Aplicações a prazo fi xo (n) onde o poupador aplica uma quantia P a uma taxa de juros i 
para resgatar o montante F ao fi nal da operação (um DFC simétrico ao da fi gura anterior 
ilustraria a transação sob a ótica da instituição fi nanceira).
• Operações de crédito onde o banco empresta a quantia P a uma taxa de juros i para, 
após o prazo n, receber de seu cliente o montante F (o DFC simétrico ilustraria a questão 
sob a ótica do cliente).
niPJ (a) 
ni1PF (b) 
ni
F
ni
FP
1
1
1
 (c) 
nP
Fi 11 (d) 
iP
Fn 11 (e) 
Fórmula 1.4 – Cálculos no regime de juros simples
Observações:
• Nas fórmulas anteriores, i refere-se à taxa de juros expressa em sua forma decimal. 
• Para a utilização correta da fórmula acima, o prazo n e a taxa de juros i deverão estar 
compatíveis quanto à unidade de tempo utilizada, ou seja, se a taxa for mensal, o prazo 
deverá estar em meses; se a taxa for anual, o prazo deve estar em anos, e assim 
sucessivamente. Torne o prazo compatível à taxa dividindo-o ou multiplicando-o, 
conforme os exemplos que se seguem.
• Alternativamente, use a sua intuição para a resolução dos problemas, conforme indicado 
a seguir.
23Copyright Ibmec
Exemplo 1.7: Se uma corretora oferece uma taxa de 12,00% ao mês no regime de juros 
simples, quais os juros e o capital formado em uma aplicação de $50.000,00 por 2 meses?
 Solução: Dados P=$50.000,00; i=12,00% a.m.; n=2 meses; J=?
 Ou pela intuição: Juros a cada mês = 50.000 x 12% = 6.000; a cada 2 meses = ...
Exemplo 1.8: E se o prazo do exemplo anterior fosse de 42 dias?
 Solução: Neste caso, n=42 dias e, como a taxa foi expressa em meses, será 
necessário transformarmos o prazo para meses, o que é facilmente obtido dividindo-se o 
número de dias por 30:
No último exemplo, poderíamos ter obtido as mesmas 
respostas se, ao invés de termos transformado o 
prazo para torná-lo compatível à taxa, tivéssemos 
transformado a taxa para torná-la compatível ao 
prazo. No caso específi co do regime de juros simples, 
isto também poderá ser feito através da divisão da 
taxa dada, pois, na fórmula 1.4.a, o valor dos juros é 
o produto dos diversos termos. Vejamos o exemplo 
1.8 refeito utilizando-se o novo critério.
Exemplo 1.9: Refaça o exemplo 1.8 transformando a taxa de juros mensal em uma taxa de 
juros diária.
 Solução: No regime de juros simples, uma taxa mensal é transformada em diária 
através da divisão por 30; 12,00% dividido por 30 será igual a 0,40% a.d.:
Exemplo 1.10: Qual a taxa de juros mensal que transformou uma aplicação de $200,00 em 
$250,00, após 45 dias de prazo?
 00,000.122100
1200,000.50J ; F = 50.000 + 12.000 = 62.000
 00,400.830
42
100
1200,000.50J
 00,400.842100
4,000,000.50J
24 Copyright Ibmec
 Solução 1: Se $200,00 transformaram-se em $250,00, é sinal de que o valor dos 
juros foi de $50,00, obtidos pela fórmula1.2. Logo, P=$200,00; J=$50,00; n=45/30 meses. 
Aplicando a fórmula 1.4.a, teremos:
 Solução 2: Através da determinação da taxa de juros da operação em conjunto com 
a aplicação de uma regra de três:
Exemplo 1.11: O capital de $100,00 foi aplicado à taxa de 18,00% a.a., produzindo juros de 
$33,00. Qual o prazo da aplicação?
 Solução 1: Através da fórmula 2.1: J=$33,00; P=$100,00; i=18,00% a.a.; n=?
Note, entretanto, que, como a taxa foi dada ao ano, o prazo encontrado acima estará expresso 
em anos; para transformá-lo em meses, bastará multiplicarmos por 12 e obteremos 22 meses 
ou 1 ano e 10 meses.
 Solução 2: Através da determinação da taxa de juros da operação (ou taxa ao 
período) em conjunto com a aplicação de uma regra de três:
 a.m. 16,67%30
45
100
i(%)00,20000,50
 
%00,25100
00,200
00,50=i(%ap)
 
a.m. 16,67%
45
2530i
30x%
4525,00%
PrazoTaxa
 8333,118
00,33n00,33n18n100
1800,10000,33
 
%00,33100
100
33i(%ap)
 
meses 22
18
3312n
n33,00%
1218,00%
PrazoTaxa
25Copyright Ibmec
Exemplo aplicado: juros nos cheques especiais
Para a determinação dos juros decorrentes da 
utilização dos limites dos cheques especiais, a 
grande maioria dos bancos aplica uma taxa mensal 
de juros simples sobre o saldo devedor existente em 
cada dia corrido (ou seja, incluindo-se na contagem 
os fi ns de semana e feriados), sendo os juros 
efetivamente debitados na conta-corrente do cliente 
no último dia útil do mês.
Exemplo 1.12: A taxa de juros cobrada pelo Banco XYZ para utilização do cheque especial 
é de 12,00% a.m. Determine o total de juros a serem debitados na conta de um cliente que 
tenha apresentado o extrato ilustrado a seguir:
Data Descrição Valor Saldo
28/02 Saldo Anterior 250,00
12/03 Cheque 121 450,00 DB -200,00
15/03 Cheque 123 400,00 DB -600,00
20/03 Cheque 124 300,00 DB -900,00
22/03 Depósito 400,00 CR -500,00
24/03 Depósito 800,00 CR 300,00
26/03 Cheque 125 100,00 DB 200,00
31/03 Saldo Final 200,00
 Solução: Como estamos operando no regime de juros simples, poderemos transformar 
a taxa mensal em diária através de sua divisão por 30; com os dados do enunciado, chegaremos 
a 0,40% a.d.:
 O saldo de $200,00 permaneceu devedor desde 12/03 até 15/03 (exclusive), ou 
seja, por 3 dias; logo, os juros J1 a serem cobrados por estes 3 dias poderão ser obtidos se 
aplicarmos a fórmula 2.1.a, fazendo P=$200,00; i=0,40% a.d. e n=3 dias; J1=?
 J1 = 200,00 × 0,40/100 × 3 dias = 2,40
 O mesmo raciocínio será empregado para os demais saldos devedores, com o que 
chegaremos a:
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 J2 = 600,00 × 0,40/100 × 5 dias = 12,00
 J3 = 900,00 × 0,40/100 × 2 dias = 7,20
 J4 = 500,00 × 0,40/100 × 2 dias = 4,00
 O total a ser debitado será a soma das quatro parcelas anteriores, ou seja: $25,60.
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Unidade 3: Utilização da HP-12C
Ainda que as fórmulas utilizadas na matemática 
fi nanceira não sejam complexas, simplifi caremos 
em muito os cálculos fi nanceiros ao trabalhamos 
com equipamentos adaptados a esta tarefa, com 
a vantagem de eliminarmos parte da “burocracia 
algébrica” necessária à resposta. Com isso, temos 
mais tempo para o raciocínio fi nanceiro, que nos 
levará às escolhas adequadas.
Líder de mercado, a HP-12C realiza cálculos com incrível facilidade, sendo a preferida pelos que 
trabalham em bancos e demais empresas do setor fi nanceiro.
Todos os exemplos aqui apresentados pressupõem que você esteja operando no modo de 
cálculo RPN (Reverse Polish Notation = Notação Polonesa Reversa). Nas versões antigas 
do equipamento, somente este modo estava disponível; nas versões mais modernas, como 
a HP-12C Platinum, entretanto, é possível realizar cálculos no formato RPN e no formato 
algébrico. Caso seu modelo permita os dois modos, recomendamos que o altere para o modo 
RPN através das teclas <f> <RPN>, de forma a acompanhar o passo a passo das soluções.
Consulte o manual ou a bibliografi a recomendada para maiores detalhes quanto às operações 
mais comuns.
Cálculos envolvendo taxas ao período
Os roteiros apresentados a seguir pressupõem a utilização (ou o cálculo) de taxas vigentes 
durante todo o prazo da operação analisada. Deve fi car claro que, para questões desta 
natureza, sempre haverá o recurso de utilizarmos calculadoras comuns para efetuarmos as 
operações aritméticas estabelecidas nas fórmulas apresentadas na unidade 1 deste módulo. 
Entretanto, o objetivo desta seção é abordar as funções adicionais existentes na linha HP.
1. Digite o principal e tecle <ENTER>, digite o montante e tecle <∆%> para obter a taxa 
de juros para o período da operação (expressa em percentual).
2. Digite o principal e tecle <ENTER>, digite o valor dos juros e tecle <%T> para obter a 
taxa de juros para o período da operação (expressa em percentual).
3. Digite o principal e tecle <ENTER>, digite a taxa de juros para o período da operação 
(na sua forma percentual) e tecle <%> para obter o valor dos juros; tecle <+> logo a 
seguir para obter o valor do montante.
Roteiro HP-12C 1.1 – cálculos percentuais
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Observações:
• Caso os valores encontrados nos itens 1 e 2 do roteiro anterior sejam negativos, é sinal 
de que houve perda no investimento.
• Para obter o valor do montante a partir de uma taxa negativa, no item 3 do roteiro 
anterior, tecle <−> ao invés de <+>.
• Todos os itens do roteiro anterior poderão ser utilizados nas operações comercias de 
acréscimos e/ou descontos nos preços.
Exemplo 1.13: Um investidor aplicou $1.500,00 em um fundo de ações, resgatando $2.200,00 
após 3 meses. Qual a taxa de juros da operação? E se o resgate fosse de apenas $1.200,00?
 Solução: Por meio da sequência:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
1500 <ENTER> 1,500.00 principal (=aplicação)
2200 <∆%> 46.67 taxa ao período (=ganho)
1500 <ENTER> 1,500.00 principal (=aplicação)
1200 <∆%> -20.00 taxa ao período (=perda)
Exemplo 1.14: Se, após ter aplicado $1.500,00, um investidor recebeu $700,00 de juros, qual 
a taxa que remunerou a operação?
 Solução: Por meio da sequência:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
1500 <ENTER> 1,500.00 principal (=aplicação)
700 <%T> 46.67 taxa ao período (=ganho)
Exemplo 1.15: Há dois meses, você possuía $3.000,00 aplicados em um fundo de ações. Ao 
ligar para o gerente de sua conta, você foi informado de que, nos dois últimos meses, o fundo 
rendeu 7,5% em termos acumulados. Quanto você possui atualmente? E se a rentabilidade 
acumulada fosse de 17,5% negativos?
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 Solução: Por meio da sequência:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
3000 <ENTER> 3,000.00 principal (=aplicação)
7.5 <%> 225.00 juros (=ganho)
<+> 3,225.00 montante acumulado
3000 <ENTER> 3,000.00 principal (=aplicação)
17.5 <%> 525.00 juros (=perda)
<−> 2,475.00 montante acumulado
Exemplo 1.16: Uma calculadora está anunciada por $120,00, mas, se paga à vista, poderá 
ser adquirida por $100,00. Qual o desconto da operação em termos percentuais?
 Solução: Por meio da sequência:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
120 <ENTER> 120.00 preço a prazo
100 <∆%> -16.67 desconto % (pois o valor foi negativo)
Cálculos envolvendo juros simples
Usando a intuição, fi ca simples adaptarmos o roteiro anterior para incluirmos os cálculos a 
juros simples.
Exemplo 1.17: Se um banco oferece uma taxa de 12,00% ao mês no regime de juros simples, 
quais os juros e o capital formado em uma aplicação de $50.000,00 por 2 meses?
 Solução: Dados P=$50.000,00; i=12,00% a.m.; n=2 meses; J=?; F=?
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TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
50000 <ENTER> 50,000.00 principal
12 <%> 6,000.00 taxa × principal, juros de 1 mês
2 <×> 12,000.00 juros acumulados em 2 meses
<+> 62,000.00 montante
Exemplo 1.18: Qual a taxa de juros mensal que transformou uma aplicação de $200,00 em 
$250,00 após 45 dias de prazo?
 Solução: Dados P=$200,00; F=$250,00; n=45 dias; i=?
TECLEVISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
200 <ENTER> 200.00 principal
250 <∆%> 25.00 taxa ao período (p/ 45 dias)
45 <÷> 0.56 taxa ao dia
30 <×> 16.67 taxa ao mês
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Resumo
Neste módulo, foi feita uma primeira abordagem sobre o que signifi ca matemática fi nanceira e 
como atua o mercado fi nanceiro. Os juros foram descritos como sendo o rendimento obtido por 
um investimento ou pago por um fi nanciamento em um período e sob uma taxa previamente 
determinados.
Também foram apresentadas defi nições de juros simples, em que a taxa de juros incidirá 
sempre sobre o valor principal aplicado, e de juros compostos, em que a taxa de juros incidirá 
sobre o saldo do último período da aplicação. 
Taxa de juros foi defi nida como a razão entre os juros obtidos ao fi nal de um período e o valor 
originalmente aplicado. O fl uxo de caixa e seu diagrama correspondente foram apresentandos 
como importantes ferramentas para a resolução de problemas. Os diferentes critérios na 
contagem de prazos, que determinam as modalidades de juros existentes (comerciais, 
bancários e exatos) fi nalizaram a parte teórica da matéria.
Além disso, foram apresentadas importantes características e algumas funções básicas da 
HP-12C que irão ajudar no desenvolvimento de exercícios.
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MÓDULO 2 
RESOLUÇÃO A 
JUROS COMPOSTOS
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Introdução
Neste módulo, iremos resolver problemas representados pelo diagrama de fl uxo de caixa 
(DFC), expresso na fi gura seguinte, analisando o relacionamento existente entre suas 
variáveis sob o regime de juros compostos, defi nido por muitos autores como regime de 
capitalização composta.
Figura 2.1 – DFC-Padrão (A)
Objetivos
Após completar o estudo do módulo, você estará apto a:
• Apresentar as expressões para cálculo de juros compostos.
• Resolver os problemas propostos na HP-12C.
• Resolver os problemas propostos no Excel.
• Conceituar a equivalência de taxas.
• Comparar os regimes de juros.
• Estabelecer a relação entre taxa de juros e preços dos títulos.
• Avaliar operações comerciais.
• Exemplifi car o uso de taxas variáveis ao longo do tempo.
Estrutura do módulo
Para melhor compreensão das questões que envolvem a matemática fi nanceira, este módulo 
está dividido em:
Unidade 1: Resolução do Diagrama a Juros Compostos 
Unidade 2: Equivalência de Taxas
Unidade 3: Exemplos Aplicados
i% F
P
n
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Unidade 1: Resolução do Diagrama a Juros Compostos
Nesta Unidade, você conhecerá três formas de realizar 
resoluções do diagrama a juros compostos: pelas fórmulas, 
pela HP-12C e pelo Excel. A especifi cidade de cada método 
será apresentada a partir de exemplos e soluções analisadas. 
Pelas fórmulas
 Figura 2.1 – DFC Padrão (A)
Conforme ilustrado na fi gura acima, suponha que um indivíduo tenha aplicado o valor P 
[=valor presente] a uma taxa de juros i. Após um prazo n, ele terá acumulando o valor F 
[=valor futuro]. Poderemos, então, relacionar as variáveis citadas conforme quadro abaixo.
Fórmula 2.1 – Cálculos no regime de juros compostos
Observações:
• No presente módulo, estaremos trabalhando com a taxa de juros i expressa em sua 
forma efetiva. Grosso modo, uma taxa efetiva é: (i) aquela que paga – ou cobra – o que 
anuncia; (ii) aquela que incide sobre o valor presente P.
• Nas expressões anteriores, a taxa i deverá estar expressa na mesma unidade de tempo 
que o prazo n.
• Para tornar prazo e taxa compatíveis, divida ou multiplique o prazo adequadamente. 
i% F
P
n
ni1PF (a) 
 nn i1
1F
i1
FP (b) 
 1001P
F(%)i1P
Fi n
1
n
1
 (c) 
 
i1log
P
Flog
n (d) 
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Atenção: Nunca divida ou multiplique a taxa. Caso você queira compatibilizá-los mediante a 
conversão da taxa, use o conceito de equivalência de taxas a juros compostos, que será 
apresentado na próxima unidade.
Exemplo 2.1: Se uma corretora oferece uma taxa de 12,00% ao mês no regime de juros 
compostos, qual o valor resgatado a partir da aplicação de $1.000,00 por 2 meses?
 Solução: Dados P=$1.000,00; i=12,00% a.m.; n=2 meses; F=?
Exemplo 2.2: E se o prazo fosse de 15 dias?
 Solução: Dados P=$1.000,00; i=12,00% a.m.; n=(15/30) meses; F=?
Observação: Note que o resultado precedente difere do que obteríamos se dividíssemos a 
taxa (=6% para a quinzena), quando, então, chegaríamos a 1.060,00. Isso confi rma, portanto, 
nossa obervação anterior.
Exemplo 2.3: Se, após 2 meses de aplicação a 12,00% a.m., um investimento permitiu o 
resgate de $1.254,40, qual o valor originalmente aplicado?
 Solução: Dados F=$1.254,40; i=12,00% a.m.; n=2 meses; P=? Aplicaremos a fórmula 
2.1.b para obter:
Pela HP-12C
A resolução dos problemas através da HP-12C é bastante 
simples: para o DFC-Padrão (A), serão fornecidas três variáveis, 
e ela encontrará o valor da quarta. Anote as seguintes dicas:
• No DFC-Padrão (A), P corresponderá à tecla ou à 
função <PV> (=Present Value); F corresponderá a <FV> 
(=Future Value); i e n corresponderão, respectivamente, 
às teclas ou funções <i> e <n>.
 40,254.112,100,000.1100
12100,000.1F 2
2
 
30,058.112,100,000.1100
12100,000.1F 2
130
15
 
00,000.1
2544,1
40,254.1
12,1
40,254.1P
2
38 Copyright Ibmec
• As calculadoras fi nanceiras sempre interpretarão o DFC-Padrão (A) como um 
investimento (saída de caixa em t=0, entrada em t=n) ou como um empréstimo (entrada 
de caixa em t=0, saída em t=n).
• É necessário, portanto, que se obedeça à convenção do sinal do fl uxo de caixa, a fi m 
de que não ocorram erros nos cálculos: entradas de caixa deverão ser inseridas com 
o sinal positivo; saídas de caixa, com o sinal negativo; para os cálculos envolvendo a 
determinação de F ou P, esta regra será irrelevante.
Atenção: para os cálculos envolvendo a determinação de i ou n, esta regra será obrigatória.
1. Tecle <f> <REG> ou <f> <FIN> para limpar todos os registradores ou apenas os 
registradores fi nanceiros. 
2. Certifi que-se que o visor da calculadora apresenta a letra C acesa; caso isto não 
ocorra, acenda-o através da sequência <STO> <EEX>.
3. Digite o valor de cada uma das três variáveis conhecidas e pressione a tecla a ela 
correspondente; tecle <CHS> (=Change Signal) para mudar o sinal do principal P ou do 
montante F, se aplicável ao problema.
 P  <PV>; F  <FV>; i  <i>; n  <n>
4. Repita o procedimento até ter inserido todas as variáveis. 
5. Pressione a tecla correspondente à incógnita do problema para obter a resposta.
Roteiro HP-12C - cálculo do DFC-Padrão (A) a juros compostos
Observações:
• Como os valores inseridos em <PV>, <FV>, <i> e <n> fi cam “guardados”, é recomendável 
seu apagamento antes do início de novos cálculos a fi m de se evitar erros.
• A taxa i e o prazo n deverão estar compatíveis quanto à unidade de tempo utilizada. 
Para tornar o prazo compatível à taxa, transforme o prazo n, que será inserido na forma 
fracionária nestes casos. Por exemplo: se a taxa é anual, e o prazo da aplicação de 
6 meses, n deverá conter 0,5 anos.
• Caso opte-se por tornar a taxa compatível ao prazo, o conceito de Taxas Equivalentes 
deverá ser adotado através da fórmula 2.3, a ser executada na calculadora por intermédio 
39Copyright Ibmec
das funções de potenciação (teclas <yx> e/ou <^>). Este conceito será aprofundado 
mais adiante.
• A taxa i estará sempre em sua forma percentual.
• O C aceso no visor indicará que, ao inserir prazos fracionários, a HP-12C irá fazer as 
contas a juros compostos; ligue-o com <STO> <EEX>.
• Importante: caso o C esteja apagado, ao inserir prazos fracionários, a HP-12C irá 
fazer as contas de modo híbrido, ou seja, calculará juros simples para a fração e juros 
compostos para a parte inteira do prazo.
• No cálculo do prazo n, a resposta fornecida pela HP-12C sempre estará arredondada 
ao inteiro imediatamente superior, o que poderá causar distorções. Por exemplo, se o 
resultado matematicamente correto for 7,001, haverá o arredondamento para 8,000. Note 
que não se tratade um arredondamento apenas no visor, mas sim no valor armazenado 
em <n>, o que, consequentemente, irá desequilibrar as equações.
Exemplo 2.4: Qual o valor que você terá, decorridos 3 meses, se aplicar $153.000,00 em um 
título que lhe renda 12,50% a.m., no regime de juros compostos?
 Solução: O DFC da fi gura seguinte ilustra o enunciado. Observe no sentido dado aos 
fl uxos de caixa:
Figura 2.2 – DFC para o exemplo 2.4
Estamos admitindo que o C esteja aceso no visor, sendo as respostas apresentadas com 
duas casas decimais. A sequência seguinte ilustrará o procedimento:
i = 12,50%am
n = 3m
F = ?
$153.000
0
40 Copyright Ibmec
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
153000 <CHS> <PV> -153,000.00 principal (saída de caixa, negativo)
12.5 <i> 12.50 taxa
3 <n> 3.00 prazo
<FV> 217,845.70 resposta (entrada de caixa, positivo)
Exemplo 2.5: E se a taxa anterior fosse de 22,00% a.m.?
 Solução: Admitindo que você não tenha limpado os registradores com <f> <REG> ou 
<f> <FIN>, os valores já inseridos fi carão guardados. Consequentemente, bastará alterarmos 
o valor de i.
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
22 <i> 22.00 nova taxa
<FV> 277,824.74 resposta
Exemplo 2.6: Utilizando os dados do exemplo anterior, quanto deveríamos depositar para 
resgatarmos $300.000,00?
 Solução: O DFC para o enunciado é idêntico ao traçado na fi gura que ilustra o exemplo 4,
 mas, neste caso, temos os seguintes dados: F=$300.000,00; i=22,00% a.m.; n=3 meses; e 
queremos achar P. Admitindo que não tenhamos limpado os registradores, a sequência seria:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
300000 <FV> 300,000.00 valor futuro
<PV> -165,212.07 nova resposta
Exemplo 2.7: Um investimento de $120.000,00 foi transformado em $200.000,00 após 
3 meses de aplicação. Calcule as taxas (a) anual; (b) semestral; (c) mensal e (d) diária para 
a operação.
41
 Solução: O DFC para o enunciado é idêntico ao traçado da fi gura que ilustra o 
exemplo 4, à exceção de que a incógnita será a taxa de juros. Temos, portanto: P=$120.000,00 e 
F=$200.000,00; fornecendo o prazo n em anos (=3/12), obteremos a taxa i ao ano; fornecendo 
o prazo n em semestres (=3/6), obteremos i ao semestre, e assim sucessivamente.
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
120000 <CHS> <PV> -120,000.00 principal (saída de caixa, negativo)
200000 <FV> 200,000.00 montante (entrada de caixa, positivo)
3<ENTER>12<÷><n> 0.25 prazo em anos
<i> 671.60 taxa anual
3<ENTER>6<÷><n> 0.50 prazo em semestres
<i> 177.78 taxa semestral
3 <n> 3.00 prazo em meses
<i> 18.56 taxa mensal
90 <n> 90.00 prazo em dias
<i> 0.57 taxa diária
Exemplo 2.8: Em quanto tempo $100,00 aplicados a 14,00% a.m. transformam-se em 
$150,00?
 Solução: O DFC a seguir ilustra o enunciado.
Figura 2.3 – DFC para o exemplo 2.8
Resolveremos a questão através das teclas fi nanceiras e através da fórmula 2.1d, onde o 
logaritmo poderá ser obtido através da função <g> <LN> (Logaritmo Neperiano). Pela fórmula, 
a sequência será:
i = 14%am
n = ?
$150
$100
0
42 Copyright Ibmec
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 Limpa registradores
1.50 <g> <LN> 0.41 Ln de F/P
1.14 <g> <LN> 0.13 Ln de (1+i)
<÷> 3.09 Prazo em meses.
... e pelas funções fi nanceiras:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 Limpa registradores
100 <CHS> <PV> -100.00 Principal
150 <FV> 150.00 Montante
14 <i> 14.00 Taxa mensal
<n> 4.00 Prazo em meses.
 Note que, por ter arredondado o valor de n, a equação original transformou-se em 
uma desigualdade, já que o valor correto seria de 3,09. Sendo assim, se após o cálculo acima 
pressionarmos <PV>, <FV> ou <i>, a HP-12C tratará de balancear a equação. Exemplifi cando: 
se estivéssemos com os últimos resultados ainda nos registradores, ao pressionarmos <FV>, 
obteríamos $168,90, que corresponderia ao valor acumulado dos $100,00 aplicados à taxa de 
14,00% a.m. durante 4 meses.
 
)14,1log(
)50,1log(
100
141log
100
150
log
n
43Copyright Ibmec
Pelo Excel
A utilização do Excel na resolução do DFC-Padrão (A) a juros compostos permitirá a adoção 
de dois caminhos distintos:
• Inserção das fórmulas vistas no capítulo em suas células.
• Uso de suas funções fi nanceiras específi cas, conforme quadro seguinte.
1. Para o principal, a função VP(i,n,PMT,F,Tipo) deverá ser utilizada. 
2. Para o montante, a função adequada será VF(i,n,PMT,F,Tipo).
3. Para a taxa, utilizaremos TAXA(n,PMT,P,F,Tipo,Est).
4. Para o prazo, teremos NPER[i,PMT,P,F,Tipo].
5. Para o cálculo do montante acumulado a partir da aplicação sucessiva de diferentes 
taxas, utilizaremos VFPLANO(P,Conjunto-de-Taxas).
Roteiro Excel 2.1 - cálculo do DFC-Padrão (A) a juros compostos
Observações:
• As funções listadas no quadro anterior foram originalmente preparadas para operar 
com séries de pagamento (que trataremos em um outro módulo) e, consequentemente, 
pedirão argumentos adicionais aos normalmente usados para este modelo de DFC. A 
questão é simples de ser resolvida, bastando inserir zeros ou, eventualmente, eliminar 
os argumentos opcionais (Veja o exemplo 2.9 a seguir).
• Nas funções listadas, P corresponderá ao principal, F ao montante; o argumento PMT 
deverá conter zero; os argumentos Tipo e Est são opcionais, podendo ser omitidos na 
inserção da função.
• As taxas de juros i deverão ser fornecidas em sua forma decimal ou digitadas seguidas 
do símbolo %, quando então a conversão ao formato decimal será feita automaticamente 
pelo Excel; o valor para n poderá ser fracionário, o Excel considerará juros compostos.
• Os valores para a taxa i e o prazo n deverão estar compatíveis quanto à unidade de 
tempo utilizada.
44 Copyright Ibmec
• O Excel também adotará a convenção do sinal do fl uxo de caixa. 
• Na função TAXA, a resposta estará em termos decimais, formatada percentualmente.
• Na função VFPLANO, Conjunto-de-Taxas deverá ser uma faixa contendo as taxas de 
juros que serão acumuladas; se atribuirmos 1 ao valor de P, a função encontrará o fator 
da taxa acumulada.
Exemplo 2.9: Utilizando o Excel, determine o resultado das seguintes questões (baseadas 
nos exemplos 2.4, 2.6, 2.7 e 2.8):
• P=$153.000,00; i=12,50% a.m.; n=3 meses; F=? (exemplo 2.4)
• P=$120.000,00; F=$200.000,00; n=3 meses; i% a.a.=? (exemplo 2.7a)
• P=$120.000,00; F=$200.000,00; n=3 meses; i% a.s.=? (Exemplo 2.7b)
• P=$100,00; F=$150,00; i=14,00% a.m.; n=? (exemplo 2.8)
• F=$300.000,00; i=22,00% a.m.; n=3 meses; P=? (exemplo 2.6)
 Solução: Tornando o prazo compatível à taxa, por ocasião da digitação (por 
exemplo, na segunda questão, a taxa é anual e o prazo mensal; digitaremos “=3/12” para o 
prazo), obteremos os resultados conforme ilustra a fi gura seguinte, onde as respostas estão 
formatadas com fontes de maior tamanho e a fórmula utilizada listada na coluna F.
Figura 2.4 – Resolução do exemplo 2.9
45Copyright Ibmec
Unidade 2: Equivalência de Taxas
Tendo exposto as diferentes formas de resolução 
para o DFC-Padrão (A), continuaremos o capítulo 
apresentando os demais conceitos relevantes ao 
regime de juros compostos e também alguns exemplos 
aplicados ao mercado de capitais brasileiro que possam 
ser enquadrados no modelo de diagrama citado.
De forma a não sobrecarregarmos o texto, nos 
problemas que iremos resolver, alternaremos entre 
os diversos métodos apresentados, ora utilizando as 
fórmulas, ora as calculadoras e/ou o Excel.
Para otimizar o aprendizado, recomendamos que você refaça os exemplos listados de acordo 
com o método ou equipamento que normalmente utiliza para a resolução de questões da 
matemática fi nanceira. Ao fi nal, compare seus resultados com as respostas, corrigindo 
eventuais erros.
Defi nições
Defi nição 1
Duas taxas de juros, iA e iB, serão equivalentes se, e somente se, aplicadas sobre um 
mesmo valor e pelo mesmo período de tempo, gerarem quantias equivalentes. A fi gura 2.5 
ilustra esta defi nição.
Figura 2.5 – Taxas equivalentes
P
APLICA
iA
iB
PRAZO A = PRAZO B
RESGATAAPLICA
RESGATA
P
FA
FB
46 Copyright IbmecExemplo 2.10: Verifi car se 10,00% a.m. é equivalente a 120,00% a.a., no regime de 
juros simples.
 Solução: Arbitrando o valor PA=PB=$100,00 e o prazo de aplicação n=1 ano, 
utilizaremos a fórmula F = P × (1 + i × n) (1.4b do módulo anterior) para concluirmos que as duas 
taxas são equivalentes, pois, terminado o prazo da aplicação, obtivemos montantes iguais.
Defi nição 2
Diremos que duas taxas iA e iB são proporcionais quando a razão existente entre elas for 
igual à razão existente entre seus prazos nA e nB, expressos em uma mesma unidade de 
tempo, ou seja:
Fórmula 2.2 – Taxas proporcionais
Exemplo 2.11: As duas taxas citadas no exemplo anterior são também proporcionais, pois a 
razão entre elas é igual a 1/12, e a razão entre seus prazos também (=1 mês/12 meses). 
Os resultados dos dois últimos exemplos não foram mera coincidência: com efeito, no 
regime de juros simples, taxas equivalentes também serão taxas proporcionais, e vice-
versa, independente do valor e do prazo arbitrados nos cálculos. O exemplo a seguir 
comprova esta conclusão.
Exemplo 2.12: Suponha uma unidade de tempo t qualquer e uma 
aplicação de prazo n múltiplo desta unidade de tempo. Mostre que, 
no regime de juros simples, duas taxas de juros iA e iB, expressas nos 
prazos nA e nB (também múltiplos de t), somente serão equivalentes 
se também forem proporcionais.
 Solução: Para que sejam equivalentes, após o prazo n, os 
montantes FA e FB, gerados a partir do valor P, deverão ser iguais, 
ou seja:
 
00,2201
100
120100,100F12
100
10100,010F BA
 
B
A
BA
B
A
B
A
n
nii
n
n
i
i
 
.d.q.c;
n
i
n
i
n
ni1P
n
ni1P
B
B
A
A
B
B
A
A
47Copyright Ibmec
Exemplo 2.13: Verifi car se 10,00% a.m. é equivalente a 120,00% a.a., no regime de juros 
compostos.
 Solução: Arbitrando o valor PA=PB=$100,00 e o prazo de aplicação n=1 ano, 
utilizaremos a fórmula F = P × (1 + i)n (2.1a) para concluirmos que as duas taxas não são 
equivalentes, pois, fi ndo o prazo da aplicação, os montantes obtidos foram diferentes.
FA = 100,00 × 1,1012 = 313,84 ≠ FB = 100,00 × 2,201 = 220,00
Em uma HP-12C, FA poderia ser obtido pela sequência 100 <CHS> <PV> 10 <i> 12 <n> <FV>.
Exemplo 2.14: Utilizando a defi nição 1 e as condições do último exemplo, qual seria a taxa 
mensal equivalente a 120,00% a.a.?
 Solução: Pela defi nição, os valores de resgate das aplicações, para ambos os casos, 
deverão ser necessariamente equivalentes. Logo, se, ao aplicarmos $100,00 a 120,00% a.a. 
pelo prazo de 1 ano, resgatamos $220,00, o mesmo deverá ocorrer se a taxa for mensal; 
voltamos, portanto, à resolução do diagrama a seguir, onde P=$100,00; F=$220,00 e 
n=12 meses:
Figura 2.6 – Taxa mensal equivalente a 120,00% a.a. (juros compostos)
Utilizando a fórmula
 
1001P
F(%)i1P
Fi n
1
n
1
 
, (2,1c) chegaremos a:
Ou, em uma HP-12C, faremos: 100 <CHS> <PV> 220 <FV> 12 <n> <i>.
i = ?
n = 12
$220
$100
0
 
6,79%a.m1001
100,00
220,00i(%)
12
1
48 Copyright Ibmec
Generalizando o conceito para outros casos, diremos que, a juros compostos, duas taxas 
de juros, iA e iB, expressas percentualmente para os prazos nA e nB, serão equivalentes se 
guardarem a seguinte relação:
Fórmula 2.3 – Taxas equivalentes a juros compostos
Conclusões:
O princípio da Equivalência de Taxas irá permitir tornarmos a taxa i compatível ao prazo n, 
nos problemas onde estas duas variáveis estejam incompatíveis.
O conceito exposto para duas taxas poderá ser generalizado para n taxas, permitindo-nos 
enunciar que, se iA é equivalente a iB, e iB é equivalente a iC, então iA é equivalente a iC (ou 
iA, iB e iC são equivalentes).
Exemplo 2.15: Encontre a taxa mensal equivalente a 120,00% a.a. por meio da fórmula 2.3.
 Solução: Adotando a unidade de tempo t como o mês, teremos: iB=120,00% a.a.; 
nB=12 meses e nA=1 mês.
Exemplo 2.16: Determine as taxas semestrais, trimestrais, mensais e diárias equivalentes a 
70,00% a.a.
 Solução: Adotando o dia como unidade de tempo, teremos: iB=70,00% a.a.; nB=360 
dias; nA=180, 90, 30 ou 1 dia, conforme a taxa solicitada.
 ..%38,30100170,1100170,1 2
1
360
180
sais
 ..%19,14100170,1100170,1 4
1
360
90
tait
 ..%52,4100170,1100170,1 12
1
360
30
maim
 ..%1475,0100170,1 360
1
daid
1001
100
(%)i1(%)i 1i1i
Bn
An
B
A
Bn
An
BA
 
6,79%a.m.1001
100
120,001(%)i
12
1
A
49Copyright Ibmec
Note que, para cada um dos cálculos feitos anteriormente, foi possível a simplifi cação da fração 
que elevou o fator da taxa dada (=1,70). Por exemplo: na conversão semestral, transformamos 
180/360 em 1/2. Isto apenas signifi ca que poderíamos ter escolhido outros prazos que não o 
dia para aplicarmos a fórmula 3.3. No caso em análise (conversão de uma taxa anual em taxa 
semestral), a escolha do semestre como unidade de tempo levaria-nos a elevar o fator 1,70 à 
fração 1/2; a escolha do trimestre levaria-nos à fração 1/4; e assim sucessivamente.
Exemplo 2.17 – Pela HP-12C: Um investimento garante 66,6667% de rentabilidade em 3 
meses. Calcule as taxas equivalentes: (a) anual; (b) semestral; (c) mensal; (d) diária.
 Solução: Temos iB=66,6667; nB=90 dias; nA=360; 180; 30 ou 1 dia, dependendo da 
taxa solicitada. A fórmula 2.3 deverá ser utilizada:
E a sequência na HP-12C será:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
66.6667<ENTER> 66.67 taxa
100 <÷> 1 <+> 1.67 fator da taxa
<STO> 0 1.67 guarda na memória
360<ENTER>90<÷><yx> 7.72 fator anual
1 <−> 100 <×> 671.60 taxa anual
<RCL> 0 1.67 fator da taxa
180<ENTER>90<÷><yx> 2.78 fator semestral
1 <−> 100 <×> 177.78 taxa semestral
<RCL> 0 1.67 fator da taxa
30<ENTER>90<÷><yx> 1.19 fator mensal
1 <−> 100 <×> 18.56 taxa mensal
<RCL> 0 1.67 fator da taxa
90 <1/x> <yx> 1.00 fator diário
1 <−> 100 <×> 0.57 taxa diária
 
1001
100
6667,661i
90
An
A
50 Copyright Ibmec
Observações:
Para não termos que digitar o fator a cada novo cálculo, seu valor foi guardado na memória 0 
por meio de <STO> 0; <RCL> 0 recuperou-o quando necessário.
No último cálculo, utilizamos <1/x>, que inverte o valor do número no visor; poderíamos, 
obviamente, ter utilizado 1 <ENTER> 90 <÷>.
No regime de juros simples, taxas equivalentes também serão taxas proporcionais, e 
vice-versa, independente do valor e do prazo arbitrados nos cálculos.
51Copyright Ibmec
Unidade 3: Exemplos Aplicados
Nas seções que se seguem, apresentaremos algumas 
aplicações que não envolvam temas ainda não 
estudados. Por este motivo, todos os exemplos trarão 
as taxas de juros expressas em seu formato efetivo. 
Adiante, em outro módulo, aprofundaremos a análise 
utilizando outras modalidades de taxas de juros.
O impacto das taxas de juros nos preços dos títulos
Alguns títulos operados pelo mercado fi nanceiro caracterizam-se por ter um valor de face 
previamente defi nido, expresso em alguma data futura. É o caso, por exemplo, das duplicatas, 
das notas promissórias de muitos tipos de títulos públicos, como as LTN – Letra do Tesouro 
Nacional – e dos contratos futuros de taxas de juros, apenas para citar alguns. 
Como aqueles que investem nestes produtos fi nanceiros visam obter alguma rentabilidade 
positiva em suas operações, o preço pelo qual irão adquiri-los hoje deverá ser necessariamente 
inferior ao valor de face pré-fi xado no futuro. Em consequência do exposto, a relação entre a 
taxa de juros embutida no título e seu preço atual será inversa, ou seja: quanto maior a taxa, 
menor o preço, e vice-versa.
Exemplo 2.18: Um título público federal, com vencimento para daqui a dois meses, está 
sendo negociado hoje no mercado, garantindo a seus investidores uma taxa de 10,00% a.m. 
de rentabilidade. A que preço deverá ser negociado?
 Solução: O DFC a seguir ilustra a questão. Fazendo F=$1.000,00; i=10,00% a.m. e 
n=2 meses, obteremos o preço P atual por meio da sequência HP-12C: 1000 <FV> 10 <i> 2 
<n> <PV>, chegando a 826,45.
Figura 2.7 – Preço atual do título do exemplo 2.18
i = 10%am
n = 2m
$1.000
P = ?
0
52 Copyright Ibmec
Exemplo 2.19: Utilizando os dadosdo exemplo anterior, suponha que o governo não tenha 
conseguido atrair investidores praticando esta taxa e, portanto, eleve-a para 15,00% a.m. 
Qual o novo preço de negociação?
 Solução: O DFC para o enunciado será idêntico ao traçado na fi gura 2.7, mas, neste 
caso, F=$1.000,00; i=15,00% a.m. e n=2. Admitindo que você não tenha limpado o resultado 
anterior, faça 15 <i> <PV> para chegar a -756,14.
Comparando os resultados encontrados neste e no último exemplo, concluímos que o aumento 
na taxa praticada pelo emissor do título (o governo) reduziu o preço de negociação (ou o valor 
presente do título). A situação inversa ocorreria quando o governo, seguindo suas diretrizes 
de política monetária, reduzisse as taxas de juros, fazendo com que os preços dos títulos 
se valorizassem. 
O grande problema ocorre quando, após termos adquirido um título (ou fundo) desta 
natureza, a uma determinada taxa, as taxas futuras vierem a subir. Neste caso, para que 
possamos vender o título, precisaremos oferecer a mesma taxa vigente no mercado, o 
que, porventura, poderá acarretar perda. Entretanto, deixaremos esta análise para uma das 
atividades propostas.
Avaliação dos fi nanciamentos em operações comerciais
Ao adquirirmos um bem ou serviço, é quase certo que o vendedor nos ofereça propostas para 
fi nanciar a compra. Torna-se essencial, portanto, que saibamos como avaliar corretamente 
estas propostas de forma a:
• Detectar o preço real do bem ou serviço ou a taxa de juros 
efetivamente cobrada.
• Verifi car se não valerá a pena esperarmos e comprarmos à 
vista em momento futuro.
• Verifi car se não vale a pena resgatarmos alguma aplicação 
fi nanceira e adquirir o bem à vista.
• Verifi car se não há alternativa melhor para o fi nanciamento.
Nos exemplos que se seguem, ilustraremos alguns casos onde o fl uxo de caixa fi nal poderá 
ser convertido ao modelo defi nido como DFC-Padrão (A). No próximo módulo, abordaremos 
outras modalidades de fi nanciamento, envolvendo prestações.
53Copyright Ibmec
Exemplo 2.20: Um indivíduo dispõe de uma aplicação fi nanceira que lhe rende 1,60% a.m. Ao 
tentar adquirir um conjunto de som, anunciado por $1.000,00, o vendedor lhe oferece a possibilidade 
de pagar com um cheque pré-datado para 90 dias ou pagar à vista (neste caso, com um desconto 
de 5,00% sobre o preço anunciado). Vale ou não a pena fi nanciar a compra? Utilize, na análise, os 
critérios da taxa de juros, do valor futuro e do valor presente.
 Solução – Critério da taxa de juros: Com o desconto de 5%, é possível adquirir o 
conjunto à vista por $950,00. O DFC do fi nanciamento será:
Figura 2.8 – DFC do fi nanciamento do exemplo 2.20
Por este critério, somente será compensador comprarmos a prazo se a taxa de juros embutida 
no fi nanciamento for inferior à taxa da aplicação fi nanceira, pois, desta forma, estaríamos 
recebendo mais juros (na aplicação) do que pagando (no fi nanciamento).
Para o exemplo, o valor fi nanciado será P=$950,00, o valor a ser pago F=$1.000,00, e o 
período do fi nanciamento n=3. Em uma HP-12C, faremos 1000 <CHS> <FV> 950 <PV> 3 <n> 
<i> para chegarmos a 1,72 de taxa mensal.
Como iaplic (=1,60%) é menor que ifi nan (=1,72%), a melhor opção será o pagamento à vista.
 Solução – Critério da comparação entre os valores futuros: 
Por este critério de análise, admitiremos que o valor à vista estará investido em uma aplicação 
fi nanceira. A compra a prazo será vantajosa se, após o prazo da operação, o valor futuro do 
preço à vista for superior ao valor a ser quitado no fi nanciamento, já que, assim, com os recursos 
aplicados, conseguiríamos adquirir o bem, e ainda teria sobrado algum saldo. O DFC seguinte 
ilustra o raciocínio:
$950
$1.000
desc=5%
i=?
0 3
54 Copyright Ibmec
0
F= ?
i = 1,60%
R$ 950
3
Figura 2.9 – DFC da aplicação do preço à vista - exemplo 2.20
No exemplo, o valor da aplicação P=$950,00, o prazo n=3 e a taxa i=1,60% a.m.. Admitindo 
que continuamos a operar com a HP-12C, faremos: 950 <CHS> <PV> 3 <n> 1.6 <i> <FV> para 
chegarmos a 996.33 de montante.
Como o Faplic (=$996,33) é menor que Ffi nan 
(=$1.000,00), a melhor opção será a compra à vista 
(note que, caso tivéssemos optado pelo fi nanciamento, 
teríamos desperdiçado, hoje, a oportunidade da troca 
do bem pela aplicação para, dentro de três meses, 
trocarmos o bem pelo saldo da aplicação acrescido de 
desembolso adicional de $3,67).
 Solução – Critério do valor atual do fi nanciamento:
É um critério semelhante ao anterior, à exceção de que, ao invés de compararmos os valores 
futuros, iremos compará-los na data atual. Sendo assim, o valor a ser pago pelo fi nanciamento 
é trazido à data-zero, utilizando-se na avaliação o custo de oportunidade do cliente (que poderá 
ser medido pela taxa que ele recebe em sua aplicação fi nanceira). Observe que o valor obtido 
no cálculo equivalerá ao capital que deveria ser investido hoje pelo cliente, de forma que ele 
obtivesse os recursos necessários para a liquidação do fi nanciamento. Sob este enfoque, a 
compra a prazo somente será vantajosa se o valor atual do fi nanciamento for inferior ao preço 
à vista. O DFC seguinte ilustra o raciocínio.
55Copyright Ibmec
0
$1.000
i = 1,60%
P= ?
3
Figura 2.10 – DFC do valor presente do fi nanciamento - exemplo 2.20
Para o exemplo em análise, o valor a ser pago pelo fi nanciamento F=$1.000,00, o prazo 
n=3, e o custo de oportunidade para o cliente é de i=1,60% ao período. O valor presente P 
do fi nanciamento será obtido através da sequência HP-12C: 1000 <FV> 1.6 <i> 3 <n> <PV>. 
Chegaremos a 953.50 de valor presente.
O resultado acima corresponde ao valor que deveria ser aplicado hoje pelo cliente para obter 
os $1.000,00 necessários à quitação do fi nanciamento. Como o preço do som hoje (=$950,00) 
é menor que o valor presente do fi nanciamento Pfi nac (=$953,50), será preferível adquiri-lo 
à vista. 
A tabela a seguir resume as conclusões e os dados do exemplo:
taxa de juros da aplicação
1,60% a.m.
<
<
taxa de juros do fi nanciamento
1,72% a.m.
valor futuro do preço à vista
$996,33
<
<
preço a prazo
$1.000,00
preço à vista
$950,00
<
<
valor presente do fi nanciamento
$953,50
Tabela 3.1 – Critérios para a compra à vista – ótica do comprador
56 Copyright Ibmec
Importante:
• Para o caso de um único fi nanciamento, todos os resultados irão sempre conduzir à 
mesma resposta. Mas verifi que de que lado você está (comprando ou vendendo).
• Para várias propostas, o método da taxa apresentará problemas caso prazos e valores 
fi nanciados sejam distintos. Opte sempre pelo critério do valor presente.
• O exemplo anterior supôs que o comprador possuía uma aplicação fi nanceira; análise 
idêntica poderá ser feita para o caso do comprador não possuir uma aplicação. Neste 
caso, a taxa a adotar na análise deverá ser a menor taxa com que ele conseguiria um 
empréstimo. Por exemplo, se ele conseguisse um consignado a 1,60% a.m., deveria 
fi car devendo ao banco e pagar à vista na loja.
Taxas variáveis ao longo do tempo
As formulações que apresentamos assumiram a hipótese de que, durante uma operação 
envolvendo prazos superiores ao prazo unitário, a taxa de juros permaneceria estável, caso 
particular de uma situação genérica onde as taxas variam ao longo do tempo. Neste caso, use:
.... ) )i i1 1( ()i1(PF n21
Fórmula 2.4 – Cálculo do montante para taxas variáveis
Exemplo 2.21: Um investidor aplicou $2.500,00 em um fundo de ações que rendeu, nos últimos 
três meses, respectivamente, 5,00%, 10,00% e -2,00%. Qual o valor resgatado? Qual rentabilidade 
média mensal teria proporcionado o mesmo valor de resgate?
 Solução: A primeira pergunta poderá ser respondida aplicando-se a fórmula de cálculo 
do montante para taxas variáveis, que acabou de ser apresentada. Note que o fator para o terceiro 
mês será igual a 0,98 (=1-0,02), pois a taxa de rentabilidade foi negativa.
F = 2.500,00 × 1,05 × 1,10 × 0,98 = R$ 2.829,75 ou, em uma HP: 2500 <ENTER> 5<%> <+> 
10<%> <+> 2 <%> <−>.57Copyright Ibmec
A segunda parte do problema envolverá o cálculo da taxa para o DFC abaixo:
Figura 2.11 – DFC para o exemplo 2.21
Em uma HP-12C, o DFC anterior é resolvido a partir de 2500 <CHS> <PV> 2829.75 <FV> 3 
<n> <i>, chegando-se a 4,2164% a.m de taxa média:
Exemplo 2.22: Ao fi nal de 2004, você aplicou $1.250,00 em 
um fundo de ações que, nos dez primeiros meses de 2005, 
rendeu, respectivamente: 12,10%; -6,56%; 15,40%; 38,82%; 
-34,25%; -7,00%; 4,22%; 11,11%; 2,03%; 5,55%. Utilizando o 
Excel, responda:
a) Qual o valor acumulado ao fi nal de Outubro?
b) Qual a taxa média mensal recebida?
c) Se, em novembro, a rentabilidade for igual a 17,13%, 
quais seriam estes valores?
d) E se, em dezembro, a rentabilidade fosse de 2,02%?
 Solução – item a: Reservaremos uma coluna da planilha para preenchermos as 
rentabilidades, deixando os dois últimos meses em branco (na realidade, as células deverão 
estar vazias). As taxas deverão ser digitadas ou em decimal ou em percentual, seguidas do 
símbolo %. Utilizaremos a função VFPLANO para o cálculo do valor acumulado.
0
$2.829,75
i = ?
$2.500,00
3m
58 Copyright Ibmec
 Solução – item b: Para o cálculo da taxa média, utilizaremos a função TAXA, já 
apresentada em exemplo anterior. Esta função exige, dentre outros argumentos, o número de 
períodos. Note, entretanto, que será conveniente não fi xarmos este número em 10 (janeiro a 
outubro), pois os itens (c) e (d) solicitam o cálculo da taxa média, considerando a rentabilidade 
obtida nos dois meses subsequentes. Resolve-se a questão utilizando a função CONT.NUM, 
aplicada por toda a faixa reservada à digitação das rentabilidades. Quando a faixa contiver 
apenas os 10 primeiros meses, CONT.NUM responderá 10; quando contiver os 11 primeiros 
meses, responderá 11; e assim sucessivamente.
Figura 2.12 – Taxas variáveis no Excel
 Solução – item c: Ao preencher a célula B12 com a rentabilidade de novembro, 
automaticamente terá as respostas: resgate = $1.873,46; taxa média = 3,75%.
 Solução – item d: O mesmo ocorrerá ao preenchermos a célula B13 com a 
rentabilidade de dezembro: resgate = $1.911,30; taxa média = 3,60%.
Pelo critério da taxa de juros, somente será compensador comprar a prazo se a taxa de 
juro embutida no fi nanciamento for inferior à taxa da aplicação fi nanceira.
Pelo critério da comparação entre os valores futuros, a compra a prazo será vantajosa 
se, após o prazo da operação, o valor futuro do preço à vista for superior ao valor a ser 
quitado no fi nanciamento.
Pelo critério do valor atual do fi nanciamento, a compra a prazo somente será vantajosa se 
o valor atual do fi nanciamento for inferior ao preço à vista.
59Copyright Ibmec
Resumo
Neste módulo, abordamos a resolução do DFC-Padrão (A) através do regime de juros 
compostos. As fórmulas utilizadas neste regime já não envolvem relações lineares entre as 
respectivas variáveis, razão pela qual a utilização das calculadoras fi nanceiras e/ou do Excel 
agilizará as soluções.
Também, neste regime, é importante que a taxa e o prazo da operação estejam compatíveis 
quanto à unidade de tempo, e será através da equivalência de taxas que conseguiremos 
transformá-las.
Os métodos de cálculo apresentados foram, em seguida, utilizados na resolução de exemplos 
aplicados: determinamos preços de títulos, avaliamos fi nanciamentos comerciais e taxas 
variáveis ao longo do tempo.
61Copyright Ibmec
MÓDULO 3:
SÉRIES UNIFORMES DE 
PAGAMENTOS
63Copyright Ibmec
Introdução
Neste módulo, estudaremos os diagramas de fl uxo de caixa (DFC), conhecidos como 
séries uniformes de pagamentos. Representam inúmeras situações do cotidiano como, 
por exemplo, os fi nanciamentos para compras a prazo, poupanças programadas e 
muitos outros.
Objetivos
Após completar o estudo do módulo, você estará apto a:
• Defi nir séries de pagamentos, sua utilização e características.
• Apresentar fórmulas e métodos para cálculo das séries periódicas uniformes.
• Resolver os problemas propostos na HP-12C.
• Resolver os problemas propostos no Excel.
• Avaliar crediários padronizados.
• Calcular resíduos nos fi nanciamentos.
• Resolver séries uniformes diferidas.
• Resolver séries com prestações intermediárias.
Estrutura do módulo
Para melhor compreensão das questões que envolvem a matemática fi nanceira, este módulo 
está dividido em:
Unidade 1: Objetivos e Características das Séries de Pagamentos
Unidade 2: Resolução dos Diagramas
Unidade 3: Exemplos Aplicados
64 Copyright Ibmec
Unidade 1: Objetivos e Características das Séries 
de Pagamentos
A partir da apresentação das séries uniformes 
fi nitas, esta unidade irá apresentar os objetivos 
e características das séries de pagamentos. As 
características serão classifi cadas da seguinte 
forma: quanto à periodicidade; quanto ao valor das 
prestações; ao número de prestações; às datas de 
pagamentos; às datas do primeiro pagamento.
Objetivos
Uma série de pagamentos será toda sequência fi nita ou infi nita de entradas ou saídas de 
caixa que corresponderão aos recebimentos ou pagamentos, e serão chamadas de “termos 
da série” ou, simplesmente, “prestações”, com um dos seguintes objetivos:
• Amortização de um empréstimo.
• Capitalização de um montante.
• Geração de uma renda perpétua.
Para o entendimento da aplicação desta série, convém conhecer os seguintes diagramas:
P
0 1
A A A A
2 3 4
F
0 1
A A A A
2 3 4
F
0 1
A A A A
2 3 4
P
0 1
A A A A
2 3 4
65Copyright Ibmec
P
i
0 1
A A A A A
2 3 4
P
i
0 1
AA A A A A
2 3 4
Figura 3.1 – DFC-Padrão (BC) - Séries uniformes fi nitas
Exemplo 3.1: Os fi nanciamentos imobiliários e o crédito direto ao consumidor são modelos 
típicos de séries com o objetivo de amortização; os dois primeiros DFC da Figura 3.1 ilustram 
séries com este objetivo. Em ambos os casos, um indivíduo tomou o valor P emprestado 
para pagar em quatro parcelas de idêntico valor, iguail a A. Na esquerda, o fi nanciamento 
foi feito sem entrada e, no caso da direita, com entrada. Haverá, obviamente, um diagrama 
simétrico ao anterior, representando a operação sob o ponto de vista do agente fi nanceiro que 
concedeu o empréstimo. Note que o fato de este agente não ser o devedor, mas sim o credor 
do valor P, não irá descaracterizar o objetivo de amortização da série; apenas as direções dos 
fl uxos de caixa é que estarão invertidas.
Exemplo 3.2: Os títulos de capitalização, as poupanças programadas e os consórcios são 
modelos típicos de séries com o objetivo de capitalização. Os dois DFC centrais da fi gura 3.1 
ilustram séries com esta fi nalidade. Nesses casos, um indivíduo pretende acumular o valor F 
ao término do quarto mês, depositando quatro parcelas de idêntico valor, igual a A. Na 
esquerda, a última parcela é depositada na data em que se deseja acumular o valor F, e, na 
direita, a última parcela é depositada um período antes. 
Observe na Figura 3.1 que, no caso da direita, a última prestação coincidirá com o montante F, 
o que permite concluir que a taxa de juros não incidirá sobre esta parcela fi nal. Devido a 
esta questão, é pouco provável que, na prática, encontremos uma operação fi nanceira em 
que o resgate seja efetivamente realizado logo após o depósito da última prestação, sendo a 
situação mais corriqueira aquela representada pelo DFC da esquerda. Toda esta discussão 
perderá sua importância se utilizarmos o diagrama anterior (da direita) na obtenção do saldo 
F da capitalização, imediatamente após o pagamento da última prestação.
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Exemplo 3.3: Os planos de previdência ou mesmo 
a compra de um imóvel para aluguel a terceiros são 
modelos típicos de séries com o objetivo de geração 
de renda perpétua. Ao adquirir um apartamento, o 
investidor poderá receber uma quantia periódica, 
como aluguel “até o fi m da vida”, da sua e de seus 
descendentes. Os dois últimos DFC da fi gura 
ilustram esta questão, sob a ótica de quem vendeu 
o apartamento. Por exemplo: recebeu o valor P pela 
venda eirá pagar aluguel até o fi m da vida.
Características
O conjunto dos DFC representativos das séries é bastante extenso, já que a forma como 
os pagamentos são efetuados varia de uma série para outra. As classifi cações que iremos 
apresentar não são mutuamente exclusivas, portanto, uma série poderá apresentar mais do 
que uma das características listadas.
• Quanto à periodicidade: Nas séries periódicas, os pagamentos ocorrerão a intervalos 
regulares (por exemplo, prestações mensais, prestações semestrais, e assim 
sucessivamente); nas séries não periódicas tal regularidade desaparecerá.
• Quanto ao valor das prestações: As séries uniformes apresentam todos os seus 
pagamentos iguais; já as séries não uniformes apresentam prestações variáveis. Um 
subgrupo pertencente a esta classifi cação será formado pelas séries uniformemente 
crescentes ou decrescentes: as prestações para este grupo não são constantes, mas 
haverá algum tipo de relacionamento entre elas (por exemplo, as prestações formando uma 
PG), o que permitirá apresentarmos métodos específi cos de resolução.
• Quanto ao número de prestações: Chamaremos de perpetuidades ou séries infi nitas às 
séries cujo número de pagamentos seja ilimitado. Usualmente, adota-se o modelo perpétuo 
nas avaliações de empresas (fl uxos de caixa futuros sem previsão de encerramento) no 
cálculo de planos de aposentadoria e muitos outros. Em contrapartida às perpetuidades, as 
séries fi nitas serão caracterizadas por apresentar um número fi xo de prestações.
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• Quanto às datas dos pagamentos: Admitindo que o primeiro pagamento ocorra logo 
no primeiro período, classifi caremos como séries postecipadas as séries em que os 
pagamentos ocorrerem ao fi nal de cada período, e como séries antecipadas as séries em 
que os pagamentos ocorrerem no início de cada período.
• Quanto às datas do primeiro pagamento: Quando o primeiro pagamento de uma série 
não ocorrer logo no primeiro período (antecipado ou postecipado), diremos tratar-se de uma 
série diferida ou série com período de carência.
Exemplo 3.4: A fi gura seguinte ilustra quatro DFC para séries 
de pagamentos compostas por quatro prestações cada. 
Dada a confusão que muitos fazem entre os dois formatos – 
antecipado e postecipado – recomenda-se que você estude 
o exemplo cuidadosamente e, somente após ter a completa 
compreensão dos conceitos aqui expostos, prossiga com 
a matéria. Admitindo que o tempo esteja expresso em 
meses, responda:
a) Como classifi cá-las quanto à periodicidade, valor e número das prestações?
b) Quais DFC representam amortizações? E capitalizações? 
c) Qual é o valor para n? O que esta variável representa nas séries? 
d) O que caracteriza o DFC para uma amortização? 
e) O que caracteriza o DFC para uma capitalização?
f) Nos DFC, onde fi ca o primeiro mês? E o segundo?
g) Onde está o início do primeiro mês? E o fi nal? E para o segundo mês?
h) Quais DFC representam séries antecipadas? 
i) Quais DFC representam séries postecipadas? 
j) Que regra prática você poderia ter para identifi car os modelos prontamente?
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Figura 3.2 – Exemplo 3.4 – Séries postecipadas e antecipadas
 Solução: Respondendo a cada um dos itens solicitados:
a) Tratam-se de séries periódicas, pois os intervalos entre as prestações são constantes, 
equivalentes a um mês, não uniformes, pois as prestações são variáveis, e fi nitas, pois 
há um número fi xo de parcelas: quatro.
b) Os dois de cima representam amortizações (empréstimos), os de baixo, capitalizações 
(investimentos), sob a ótica de quem tomou o empréstimo (para os de cima) ou de 
quem aplicou (para os de baixo). 
c) Para todos os DFC, n=4. Nas séries, n irá representar, simultaneamente, o número de 
prestações e o número de períodos (4 prestações, 4 meses).
d) O DFC de uma série para amortização apresenta um valor presente P, sempre 
posicionado na data t=0, e várias prestações, com direção oposta a P. No DFC da 
fi gura, como P é uma entrada de caixa, as prestações A serão saídas. Sob a ótica de 
quem emprestou o dinheiro, P seria uma saída de caixa, e as prestações A, entradas. 
Observe a inexistência do valor futuro F para estes dois DFC.
e) O DFC de uma série para capitalização apresenta um valor futuro F, sempre 
posicionado na data t=n, e várias prestações, com direção oposta a F. No DFC da 
fi gura, como F é uma entrada de caixa, as prestações A serão saídas. Sob a ótica de 
quem recebesse o dinheiro, F seria uma saída de caixa, e as prestações A, entradas. 
Observe a inexistência do valor presente P para estes dois DFC.
P
0 1
A1
A2 A3
A4
2 3 4
F
0 1
A1
A2 A3
A4
2 3 4
F
0 1
A1
A2 A3
A4
2 3 4
P
0 1
A1
A2 A3
A4
2 3 4
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f) Muitos pensam que o primeiro mês corresponde a t=1. Na realidade, o primeiro mês é 
o intervalo de tempo compreendido entre t=0 e t=1. Da mesma forma, o segundo mês 
corresponde ao intervalo de tempo entre t=1 e t=2, e assim sucessivamente.
g) O início do primeiro mês está em t=0, o fi nal, em t=1; o início do segundo mês está em 
t=1, o fi nal, em t=2, e assim sucessivamente.
h) Pela defi nição, a primeira prestação de uma série antecipada ocorrerá no início 
do primeiro mês; a segunda, no início do segundo mês; e assim sucessivamente. 
Logo, juntando a defi nição à resposta dada em (g), conclui-se que os DFC da direita 
correspondem às antecipadas.
i) Pela defi nição, a primeira prestação de uma série postecipada ocorrerá ao fi nal do 
primeiro mês, a segunda, ao fi nal do segundo mês, e assim sucessivamente. Logo, 
juntado a defi nição à resposta dada em (g), concluiremos que os DFC da esquerda 
correspondem às postecipadas.
j) Nas amortizações, se a primeira prestação estiver na data do valor presente 
P, a série será antecipada e, se a primeira prestação estiver um período à 
direita do valor presente P, a série será postecipada. Para as capitalizações, 
se a última prestação estiver na data do valor futuro F, a série será 
postecipada e, se a última prestação estiver à esquerda do valor futuro F, 
a série será antecipada.
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Unidade 2: Resolução dos Diagramas
Para resolver os diagramas, esta unidade aborda três 
métodos: a resolução pelas fórmulas, pela HP-12C e pelo 
Excel. Mas, de forma distinta da que ocorre para os DFC 
com apenas uma única entrada e uma única saída de caixa 
(P e F) – onde conseguimos calcular a taxa de juros por 
fórmula –, nas séries de pagamento fi nitas, a determinação 
da taxa de juros é feita por métodos iterativos, extraídos do 
cálculo numérico. Por esta razão, optamos por não incluí-las 
nesta apostila, já que, necessariamente, você precisará de 
uma calculadora fi nanceira ou do Excel para chegar aos 
resultados. Limitaremo-nos apenas às fórmulas relacionadas 
às perpetuidades.
Pelas fórmulas
Observe as fórmulas a seguir:
Fórmula 3.1 – Perpetuidades postecipadas
 
 
Fórmulas 3.2 – Relações entre as séries postecipadas e as séries antecipadas
Observações:
• Nas expressões anteriores, a taxa i estará expressa em sua forma decimal e (1+i) 
corresponderá ao seu fator.
• A taxa i deverá estar expressa na mesma unidade de tempo que o prazo n, o que, nas 
séries periódicas, equivalerá ao intervalo de tempo existente entre duas prestações 
sucessivas. 
i
AP (a) iPA (b) 
P
Ai (c) 
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• Caso a condição acima não se verifi que, transforme a taxa através da equivalência de 
taxas, conceito visto no módulo anterior.
• As fórmulas de perpetuidades postecipadas tratam do caso, como o próprio nome 
anuncia, postecipado. Trabalhando no caso antecipado, determine primeiro os valores 
postecipados e converta-os para antecipados pelas fórmulas de relações entre as séries 
postecipadas e as séries antecipadas.
Importante: No caso das perpetuidades, você deverá utilizar tanto as fórmulas das 
perpetuidades postecipadas quanto a das relações entre as séries, já que as calculadoras e o 
Excel somente trabalham com as sériesfi nitas.
Exemplo 3.5: Suponha que as taxas de juros mensais para aplicações em renda fi xa fi quem 
estáveis em 1,00% a.m. daqui por diante. Quanto precisaríamos depositar hoje em uma 
aplicação fi nanceira que rendesse esta taxa, se, a partir do próximo mês, e, para sempre, 
desejássemos uma renda de $1.500,00 por mês? Interprete o resultado.
 Solução: O DFC encontra-se traçado à esquerda da fi gura a seguir. Foram dados: 
A=$1.500,00 (a partir de t=1); i=1,00% a.m.; e queremos saber o valor P a ser depositado hoje, 
em t=0. Utilizaremos a fórmula 3.1a para chegar a:
 
 
00,000.150
01,0
00,500.1P
 Interpretação: $150.000,00 aplicados à taxa de 1,00% a.m. rendem $1.500,00 de 
juros mensais; se a retirada mensal A for igual aos juros recebidos, o principal P não será 
alterado, garantindo outros $1.500,00 no mês subsequente, e assim indefi nidamente, até o 
“fi m da vida”.
Figura 3.3 – Perpetuidades uniformes
P = ?
i = 1,00%
0 1 2 3
1.500 1.500 1.500 1.500
P = ?
i = 1,00%
0 1 2 3
1.5001.500 1.500 1.500 1.500
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Exemplo 3.6: Refaça o exemplo anterior admitindo que a primeira retirada seja no mesmo 
instante do depósito. Interprete o resultado.
 Solução: O DFC encontra-se traçado à direita da 
fi gura anterior. Como indicado, precisamos transformar a 
resposta postecipada em antecipada, por intermédio da 
fórmula 3.2:
PA = $150.000 × 1,01 = $151.500
 Interpretação: Vimos, no exemplo 3.5, que precisaríamos de $150.000,00 para 
conseguirmos retirar infi nitas prestações de $1.500,00 a partir do fi nal do primeiro mês. Como, 
além disso, queremos fazer uma retirada já no instante t=0, será necessário acrescentarmos 
exatamente mais $1.500,00 para fazermos frente a esta retirada adicional.
Exemplo 3.7: Você adquiriu um imóvel por $200.000,00 e acredita que, já no próximo mês, 
o estará alugando por $1.200,00 mensais. Determine qual a taxa mensal de juros para seu 
investimento, admitindo que o valor hoje cobrado de aluguel mantenha-se estável por prazo 
indefi nido, e que seja sua ideia sempre manter o imóvel alugado.
 Solução: O DFC para o enunciado é similar ao traçado à esquerda da fi gura que 
ilustra perpetuidades uniformes, para a qual foram dados: A = $1.200,00 (a partir de t = 1); 
P = $200.000,00 (em t=0). Utilizaremos a fórmula
 
(3.1c) para chegarmos a: 
 
..%60,0006,0
00,000.200
00,200.1 mai
P
Ai
i
AP
 
Pela HP-12C
A resolução dos DFC-Padrão (B) por meio das calculadoras fi nanceiras é simples, pois os 
problemas serão do tipo: “dadas três variáveis, encontre uma quarta”. Além das funções já 
citadas anteriormente na resolução do DFC Padrão (A), utilizaremos <PMT> (=PayMenT) para 
designar as prestações.
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1. Tecle <f> <REG> ou <f> <FIN> para limpar todos os registradores ou apenas os 
registradores fi nanceiros.
2. Defi na se se trata de série antecipada ou postecipada pressionando, respectivamente, 
<g> <BEG> (=Begin=Início) ou <g> <END> (=Final).
3. Certifi que-se que o visor da calculadora apresenta a letra C acesa; caso isto não 
ocorra, acenda-o através da sequência <STO> <EEX>.
4. Digite o valor de cada uma das três variáveis conhecidas e pressione a tecla a ela 
correspondente; repita o procedimento até ter inserido todas as variáveis; tecle <CHS> 
(=Change Signal) para mudar o sinal do principal <PV>, do montante <FV> ou da 
prestação <PMT>, se aplicável ao problema.
5. Pressione a tecla correspondente à incógnita do problema para obter a resposta.
Roteiro HP-12C 3.1 – cálculo dos DFC-Padrão (B)
Observações:
• Ao teclar <g> <BEG>, o visor apresentará "BEGIN"; este modo fi cará ativo até que seja 
pressionado <g> <END>.
• O prazo n deverá ser um número inteiro, coincidente com o número de prestações. Por 
exemplo, se um fi nanciamento estipular o pagamento de prestações bimestrais ao longo 
de 10 meses, n será igual a 5 bimestres ou 5 prestações (bimestrais), e a taxa deverá 
ser fornecida ao bimestre.
• Lembre-se de que a taxa deverá estar compatível com o intervalo entre as prestações 
(taxa mensal, prestação mensal; taxa anual, prestação anual) e, caso esta não seja a 
condição, transforme a taxa via equivalência de taxas, conceito visto no módulo 2.
Exemplo 3.8: Um fi nanciamento no valor de $1.200,00 deverá ser quitado em 3 parcelas 
mensais no valor de $500,00, a primeira vencendo daqui a 30 dias. Qual a taxa de juros 
mensal cobrada?
 Solução: O seguinte DFC ilustra o enunciado. Observe no sentido dado aos fl uxos 
de caixa:
Figura 3.4 – DFC para o exemplo 3.8
i = ?
$ 1.200
$500 $500 $500
3
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 Estamos admitindo que o C esteja aceso no visor, sendo as respostas apresentadas 
com duas casas decimais. A sequência seguinte ilustra o procedimento:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
<g> <END> 0.00 modo postecipado
1200 <PV> 1,200.00 principal
500 <CHS><PMT> -500.00 prestação
3 <n> 3.00 nº de prestações
<i> 12.04 taxa mensal
Exemplo 3.9: Um DVD custa $500,00, se pago à vista, mas poderá ser fi nanciado em 4 
prestações mensais de $150,00, a primeira dada no ato da compra. Calcule a taxa de juros 
mensal cobrada pela loja.
 Solução: O DFC situado à esquerda ilustra o enunciado. Note que poderíamos 
simplifi cá-lo abatendo a prestação inicial do valor do bem à vista. A questão poderá, portanto, 
ser resolvida de duas formas.
 Pelo DFC esquerdo, a solução envolverá o critério antecipado, onde P=$500,00; 
A=$150,00; n=4 e queremos i.
Figura 3.5 – DFC para o exemplo 3.9
i = ?
$150
$150$150 $150 $150
3 4210
i = ?
$350
$150 $150 $150
3 4210
75
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
<g> <BEG> 0.00 modo antecipado
500 <PV> 500.00 principal
150 <CHS><PMT> -150.00 prestação
4 <n> 4.00 nº de prestações
<i> 13.70 taxa mensal
Pelo DFC da direita, a solução envolverá o critério postecipado, onde P=$350,00; A=$150,00; 
n=3 e queremos i.
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
<g> <END> 0.00 modo postecipado
350 <PV> 350.00 principal
150 <CHS><PMT> -150.00 prestação
3<n> 3.00 nº de prestações
<i> 13.70 mesma resposta
Observação: Nos problemas que solicitem a taxa ou o prazo, o fato de utilizarmos o modelo 
antecipado ou postecipado não irá afetar a resposta, já que o que muda é apenas o método 
de cálculo.
Exemplo 3.10: Você pretende viajar para o exterior daqui a 12 
meses e, para tanto, precisará levar $5.000,00. Supondo que uma 
aplicação pague 2,00% a.m. de juros, calcule o valor de cada uma 
das 6 prestações bimestrais que deverão ser depositadas. Admita 
que o primeiro depósito seja efetuado hoje.
 Solução – Passo 1: Considerando que as prestações são bimestrais e a taxa fornecida 
no enunciado é mensal, o primeiro passo será convertê-la a uma taxa bimestral, o que será 
possível usando o princípio da equivalência de taxas:
 Solução – Passo 2: O DFC a seguir ilustra o enunciado. Observe que ele corresponderá 
ao diagrama de uma série antecipada com objetivo de capitalização (veja fi gura3.1), onde 
F=$5.000,00; i=4,04% a.b.; n=6 e precisamos encontrar A.
Figura 3.6 – DFC para o exemplo 3.10
A sequência a seguir ilustra o passo a passo na HP-12C, incluindo a transformação de taxas.
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
1.02 <ENTER> 1.02 fator (1+i) mensal
2 < yX > 1.04 fator (1+i) bimestral
1 < − > 100 <×> 4.04 taxa bimestral
<i> 4.04 taxa inserida em <i>.
<g> <BEG> 0.00 modo antecipado
5000 <FV> 5,000.00 montante
6 <n> 6.00 nº de prestações
<PMT> -723.81 prestação
 %a.b04,410011,040410011,02i 1
2
A
0 1
i = 4,04%ab
F = $5.000,00
bim
A = ?
2 3 4 5 6
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Pelo Excel
As mesmas funções vistas para o DFC-Padrão (A) poderão ser utilizadas na resolução das 
séries de pagamento no Excel. Veja o quadro a seguir:
1. Para o principal, a função VP(i,n,PMT,F,Tipo) deverá ser utilizada. 
2. Para o montante, a função adequada será VF(i,n,PMT,P,Tipo).
3. Para a prestação, usaremos PGTO(i,n,P,F,Tipo). 
4. Para a taxa, utilizaremosTAXA(n,PMT,P,F,Tipo,Est).
5. Para o prazo, teremos NPER[i,PMT,P,F,Tipo].
Roteiro Excel 3.1 – Cálculo dos DFC-Padrão (B)
Observações:
• O argumento Tipo, quando igual a zero ou omitido, calculará os valores admitindo séries 
postecipadas; quando igual a um, admitindo séries antecipadas.
• O argumento Est poderá conter uma estimativa para a taxa de juros, o que auxiliará o 
Excel na obtenção da resposta mais rapidamente.
• Para as séries com o objetivo de amortização, F terá valor nulo, enquanto que, para as 
séries com o objetivo de capitalização, P terá valor nulo; consequentemente, nas funções 
do Excel, tais argumentos deverão estar preenchidos com zero. Por exemplo, se 
quiséssemos determinar o valor presente de uma série antecipada contendo 6 prestações 
no valor de $50,00, e dada uma taxa de juros mensal de 5,00%, utilizaríamos a função: 
VP(5%;6;50;0;1).
• Uma variante dos DFC em análise envolverá 
o pagamento de prestações diferentes das 
anteriores: nas séries com objetivo de amortização, 
por exemplo, a última prestação poderá ser 
diferente das demais a fi m de quitar um resíduo 
do fi nanciamento; para estes casos, as funções 
anteriores poderão utilizar os dois argumentos 
simultaneamente: P e F.
78 Copyright Ibmec
• Todas as demais regras utilizadas nos cálculos das séries de pagamento serão válidas 
também para o Excel (por exemplo, a questão da compatibilidade entre a taxa e o prazo).
• Veja, ainda, as demais observações quanto ao uso do Excel vistas no módulo anterior.
Exemplo 3.11: Utilizando o Excel, determine o resultado das questões a seguir. Algumas 
delas são repetições de exemplos anteriores:
(1) A=$1.500,00 (mensal, post.); i=1,00% a.m.; n=10; P=?
(2) P=$1.500,00; i=120,00% a.a.; n=10; A (mensal, post.)=?
(3) P=$1.500,00; i=120,00% a.a.; n=10; A (mensal, ant.)=?
(4) P=$1.200,00; A= - $500,00 (mensal, post.); n=3; i% a.m.=? (exemplo 8)
(5) P=$500,00; A= - $150,00 (mensal, ant.); n=4; i% a.m.=? (exemplo 9)
(6) F=$5.000,00; i=2,00% a.m.; n=6; A (bimestral, ant.)=? (exemplo 10)
 Solução: Conforme a planilha ilustrada na fi gura 3.7, as séries antecipadas são 
assinaladas na coluna Tipo. Observe que, nos casos onde a taxa e o intervalo entre as 
prestações não estavam compatíveis, optou-se por digitar diretamente a expressão para a 
transformação da taxa. Por exemplo, nas simulações (2) e (3), como a taxa era anual e o prazo 
mensal, foi digitado =2,2^(1/2) 1 nas células D3 e D4.
Figura 3.7 – Resolução do exemplo 3.11
79Copyright Ibmec
Unidade 3: Exemplos Aplicados
A seguir, serão abordados alguns exemplos da 
utilização das séries uniformes de pagamentos nas 
operações de fi nanciamento e capitalização.
Avaliação dos crediários “padrão”
Exemplo 3.12: Um indivíduo dispõe de uma aplicação fi nanceira que rende-lhe, 
aproximadamente, 5,00% a.m. Ao tentar adquirir um conjunto de som, anunciado por 
$1.000,00, o vendedor lhe oferece a possibilidade de pagá-lo em 4 prestações mensais no 
valor de $250,00, a primeira vencendo daqui a 30 dias. Admitindo que não precise ser dada 
nenhuma entrada e que, à vista, haja um desconto de 20,00% sobre o preço anunciado, valerá 
a pena fi nanciar a compra?
 Solução: O primeiro passo será determinar o valor do bem à vista. Considerando o 
desconto dado de 20,00%, haverá uma redução de $200,00 (=$1.000,00 x 20,0%) no preço 
anunciado e, consequentemente, o preço à vista será de $800,00. Supondo a realização do 
fi nanciamento, o DFC a seguir ilustrará a questão. Note que se trata do diagrama típico de 
uma série postecipada.
Figura 3.8 – DFC para o exemplo 3.12
 Análise pela taxa de juros: Por este critério, somente será compensador comprar 
a prazo se a taxa de juros embutida no fi nanciamento for inferior à taxa da aplicação 
fi nanceira, pois, desta forma, estaria recebendo mais juros (na aplicação) do que pagando 
(no fi nanciamento). A taxa de juros será obtida resolvendo-se o DFC ilustrado na fi gura 
acima. Temos P=$800,00; A=$250,00 e n=4; obteremos i por meio da seguinte sequência 
em uma HP-12C:
i = ?
 $800
$250 $250 $250 $250
4
80 Copyright Ibmec
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
<g> <END> 0.00 modo postecipado
800 <PV> 800.00 principal
250 <CHS><PMT> -250.00 prestação
4<n> 4.00 nº de prestações
<i> 9.56 taxa mensal
Como iaplic (=5,00% a.m.) é menor que ifi nan (=9,56% a.m.), a melhor opção será o pagamento 
à vista.
 Comparação entre a prestação e a retirada periódica da aplicação: Por este 
critério de análise, deve-se admitir que o valor a ser fi nanciado estará investido na aplicação 
fi nanceira. A compra a prazo será vantajosa se a retirada periódica da aplicação for superior 
ao valor da prestação proposta pelo vendedor. No exemplo, o valor fi nanciado equivalerá ao 
preço à vista P=$800,00; n=4 e i=5,00% a.m. O objetivo é encontrar o valor da prestação A, 
e , em uma HP-12C, faça: <g> <END> 800 <CHS> <PV> 4 <n> 5 <i> <PMT> para chegar a 
PMT=225,61.
Como Aaplic (=$225,61) é menor que a prestação Afi nan (=$250,00), a melhor opção será a 
compra à vista.
 Determinação do valor atual do fi nanciamento: O valor de cada prestação é trazido 
à data-zero, utilizando-se, na avaliação, o custo de oportunidade do cliente (que poderá ser 
medido pela taxa que ele recebe em sua aplicação fi nanceira). Observe que o valor obtido 
no cálculo equivalerá ao capital que deveria ser investido hoje pelo cliente, de forma que ele 
obtivesse os recursos necessários para a liquidação do fi nanciamento. Sob este enfoque, a 
compra a prazo somente será vantajosa se o valor atual do fi nanciamento for inferior ao preço 
à vista. Para o exemplo em análise, temos A=$250,00; n=4 e i=5,00% a.m. Em uma HP-12C, 
encontraremos P (=886,49) por meio da sequência: <g> <END> 250 <CHS> <PMT> 4 <n> 5 
<i> <PV>.
O resultado acima corresponde ao valor que deveria ser aplicado hoje pelo cliente para obter 
os $250,00 mensais, necessários à quitação do fi nanciamento.
Como o preço do som hoje (=$800,00) é inferior ao valor presente do fi nanciamento Pfi nanc 
(=$886,49), será preferível adquiri-lo à vista.
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A tabela a seguir resume as conclusões e os dados do exemplo:
taxa de juros da aplicação
5,00% a.m.
<
<
taxa de juros do fi nanciamento
9,56% a.m.
retirada periódica
$225,61
<
<
prestações do fi nanciamento
$250,00
preço à vista
$800,00
<
<
valor presente do fi nanciamento
$886,49
Tabela 3.1 – Critérios para a compra à vista – ótica do comprador
Importante:
• Para o caso de um único fi nanciamento, todos os resultados irão sempre conduzir à 
mesma resposta. Mas verifi que de que lado você está (comprando ou vendendo).
• Para várias propostas, o método da taxa apresentará problemas caso os prazos e os 
valores fi nanciados sejam distintos. Opte sempre pelo critério do valor presente.
• O exemplo anterior supôs que o comprador possui uma aplicação fi nanceira. Uma 
análise idêntica poderá ser feita para o caso de o comprador não possuir uma aplicação. 
Neste caso, a taxa a adotar na análise deverá ser a menor taxa com que ele conseguiria 
um empréstimo. Por exemplo, se ele conseguisse um consignado a 5,60% a.m., deveria 
fi car devendo ao banco e pagar à vista na loja.
Quitação dos resíduos nos fi nanciamentos
Nos exemplos anteriores, os conjuntos de 
capitais formados pelas prestações foram 
sempre equivalentes aos valores fi nanciados. 
Vejamos, a seguir, o que ocorreria caso esta 
condição fosse alterada.
Exemplo 3.13: Considerando uma taxa de 
10,00% a.m., um bem no valor de $1.200,00 
deverá ser fi nanciado sem entrada, em 4 
parcelas mensais de $378,56 (calculadas 
82 Copyright Ibmec
de acordo com os métodos vistos anteriormente). Supondo que o comprador acerte junto 
ao vendedor que pagará 4 parcelas de $350,00, qual o seu saldo devedor (resíduo) após o 
pagamento da última prestação?
 Solução: Uma das formas de se calcular o valor residual do fi nanciamento será 
determinar o valor atual do conjunto formado pelas 4 prestações de$350,00, onde A=$350,00; 
i=10,00% e n=4. Encontra-se P através da sequência HP-12C: <f> <REG> <g> <END> 350 
<CHS> <PMT> 10 <i> 4 <N> <PV>. O valor será de $1.109,45.
 Como o valor originalmente fi nanciado foi de $1.200,00, segue-se que a 
diferença de $90,55 (=1.200,00-1.109,45) corresponderá ao resíduo expresso na data t=0, 
que poderá ser levado à data t=4, fazendo-se P=$90,55; i=10,00% e n=4. Pela HP-12C: <f> 
<REG> 90.55 <PV> 4 <n> 10 <i> <FV>, encontraremos F=132,57. Este saldo signifi ca que, 
para quitar sua dívida, o comprador deverá pagar o equivalente a $482,57 ao fi nal do quarto 
mês. O DFC a seguir ilustra a operação.
Figura 3.9 – DFC para o exemplo 3.13
O diagrama anterior poderá ser operado diretamente nas calculadoras fi nanceiras e no 
Excel: trata-se de uma série postecipada, onde a diferença entre o valor da última prestação 
(=$482,57) e o valor da prestação regular (=$350,00) corresponderá à variável <FV> ou [VF] 
das calculadoras ou ao argumento F das funções Excel.
 A sequência a seguir ilustra o roteiro para a HP-12C.
i = 10%am
P= $1.200,00
3 x $350,00
$482,57
43210
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TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
<g> <END> 0.00 modo postecipado
1200 <PV> 1,200.00 principal
350 <CHS><PMT> -350.00 prestação
4 <n> 4.00 nº de prestações
10 <i> 10.00 taxa mensal
<FV> -132.57 resíduo
<RCL> <PMT> <+> -482.57 última prestação
 No Excel, a função VF(10%;4;-350;1200) calculará o resíduo.
No exemplo anterior, observe que o sinal 
encontrado para <FV> é igual ao da prestação 
<PMT>, signifi cando, portanto, um pagamento 
adicional. Caso o sinal fosse oposto (se as 
prestações regulares fossem de $400, por 
exemplo), isto signifi caria que, após a última 
parcela, você teria um saldo a recuperar ou, 
de forma análoga, que a última prestação seria 
inferior às demais.
Séries diferidas
As séries diferidas, também denominadas de séries com “período de carência”, caracterizam-se 
por apresentar a primeira prestação m períodos após a concessão do fi nanciamento.
São usualmente empregadas na aquisição de imóveis e em linhas especiais de crédito. Essas 
linhas especiais são, geralmente, fi nanciadas por órgãos governamentais, como forma de 
incentivo a determinados setores da economia, já que o mutuário se exime do pagamento 
do principal e dos juros durante o prazo de carência, consequentemente, capitalizando-se 
através do empréstimo contraído.
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Exemplo 3.14: Uma microempresa captou recursos no valor de $20.000,00, por meio de 
uma linha especial de crédito. Sabendo que haverá um período de carência de 6 meses até 
o pagamento da primeira prestação (ou seja, a primeira será paga ao fi nal do sexto mês), 
calcule o valor das 8 prestações mensais que deverão ser pagas, sabendo que a taxa do 
fi nanciamento é de 7,00% a.m.
 Solução: Conforme já foi citado anteriormente, a resolução de problemas deste tipo 
envolverá a decomposição do DFC original do problema em dois outros diagramas menores. 
A fi gura a seguir ilustra a questão.
Figura 3.10 – DFC do exemplo 3.14
7%
7%
C’
C’
$20.000
8 x A
6 1350
7%
7%
C’
C’
$20.000
8 x A
6 13
5
5
0
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Simulando o uso de uma HP-12C:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
<g> <END> 0.00 modo postecipado
20000 <PV> 20,000.00 principal
5 <n> 5.00 prazo
7 <i> 7.00 taxa
<FV> -28,051.03 valor da dívida em t=5
<CHS> <PV> 28,051.03 principal no segundo diagrama
8 <n> 8.00 nº de prestações
0 <FV> 0.00 zera o FV (estava com -28,051.03)
<PMT> -4,697.64 prestação mensal
Quando a incógnita for a taxa de juros, a questão deverá ser resolvida de acordo com a 
resolução dos DFC genéricos [Padrão (C)], que estudaremos mais à frente.
Prestações intermediárias
Nos fi nanciamentos de prazos mais 
longos e que envolvam valores elevados 
– como, por exemplo, os fi nanciamentos 
imobiliários – é comum a cobrança de 
prestações intermediárias, adicionais às 
prestações regulares sendo pagas ao longo 
do fi nanciamento.
Para estes casos, recomendamos a 
resolução do problema em etapas, 
calculando separadamente as variáveis 
relevantes para as prestações regulares e para as intermediárias. A exceção a esta regra 
fi cará por conta dos problemas que solicitem a determinação da taxa de juros, quando então 
deverão ser adotadas as técnicas para resolução do DFC-Padrão (C), a serem vistas adiante.
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Exemplo 3.15: Um fi nanciamento no valor de $10.000,00 deverá ser amortizado em 
10 prestações iguais, mensais e sucessivas, sem entrada. Sabendo que está prevista uma 
intermediária no valor de $5.000,00 ao fi nal do quinto mês, e dada uma taxa de juros de 8,00% 
a.m., determine o valor das prestações.
 Solução: O DFC abaixo ilustra o enunciado:
Figura 3.11 – DFC do exemplo 3.15
O primeiro passo será avaliar o valor dos $5.000,00 em t=0, de forma a determinar quanto do 
empréstimo de $10.000,00 foi abatido por esta parcela. Observando que o problema consistirá 
em determinar o principal de um DFC-Padrão (A), utiliza-se a HP-12C com n=5; i=8,00% e 
F=$5.000,00 para chegar a:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
<g> <END> 0.00 modo postecipado
5000 <CHS><FV> 5,000.00 montante
5 <n> 5.00 prazo
8 <i> 8.00 taxa
<PV> -3,402.92 principal
Se, do total de $10.000,00, a prestação intermediária abateu $3.402,92, restarão $6.597,08 
a serem pagos por intermédio das prestações mensais. Observando que o que precisa ser 
i=8%am
$10.000
$5.000
A=?
50 10 meses
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resolvido é o diagrama de uma série postecipada, onde P=$6.597,08; i=8,00% a.m. e n=10 
e, admitindo que os resultados anteriores tenham sido mantidos na HP-12C, deve ser feito:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
10000 <+> <PV> 6,597.08 saldo a fi nanciar
<g> <END> 6,597.08 modo postecipado
0 <FV> 0.00 limpa o "FV"
10 <n> 10.00 nº de prestações
<PMT> -983.16 prestação
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Resumo
Neste módulo, abordamos a resolução do DFC-Padrão (B), correspondente às séries de 
prestações uniformes. 
Os métodos de cálculo apresentados sugeridos foram a HP-12C e o Excel, face à impossibilidade 
de determinação da taxa de juros por uma fórmula algébrica.
Analisamos alguns exemplos práticos de aplicação, tais como a avaliação de crediários, a 
quitação de resíduos nos fi nanciamentos, as séries com carência e os fi nanciamentos com 
prestações intermediárias.
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MÓDULO 4:
OUTROS FLUXOS DE CAIXA
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Introdução
Os DFC até agora estudados sempre apresentaram alguma característica específi ca quanto 
às entradas e saídas futuras de caixa.
• DFC-Padrão (A): existência de uma única entrada/saída futura (vide módulo 2).
• DFC Padrão (B): existência de várias entradas/saídas futuras de caixa de idêntico valor – 
as prestações uniformes (vide módulo 3).
Nem todas as operações fi nanceiras, entretanto, podem ser representadas pelos diagramas 
anteriores. Precisamos, portanto, de um modelo genérico que permita resolver todo e 
qualquer tipo de DFC, e não apenas os casos particulares. Denominamos este modelo de 
DFC-Padrão (C). A seguir, estarão detalhadas as seguintes situações: 
• Determinação do valor presente a partir das futuras entradas/saídas de caixa e da taxa 
de juros conhecida.
• Determinação da taxa de juros a partir do valor presente e das futuras entradas/saídas 
de caixa conhecidas.
• Identifi cação de fl uxos com múltiplas taxas de juros (e sua determinação) a partir do 
valor presente e das futuras entradas/saídas de caixa conhecidas.
Objetivos
Após completar o estudo do módulo, você estará apto a:
• Calcular o valor presente e a taxa de retorno para todo e qualquer DFC.
• Defi nir e calcular o Valor Presente Líquido para todo e qualquer DFC.
• Identifi car fl uxos que apresentem mais do que uma taxa de juros positiva.
• Utilizar a HP-12C e o Excel na resolução dos DFC genéricos.
• Aplicar os conceitos de VPL e TIR na avaliação de projetos.
Estrutura do móduloPara melhor compreensão das questões que envolvem a matemática fi nanceira, este módulo 
está dividido em:
Unidade 1: Fluxos de Caixa Quaisquer
Unidade 2: Resolução do DFC Genérico
Unidade 3: Uso do VP, VPL e da TIR na Avaliação de Ativos
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Unidade 1: Fluxos de Caixa Quaisquer
Como anunciado na introdução do módulo, esta unidade irá 
apresentar diferentes situações de operações fi nanceiras 
relacionadas ao DFC-Padrão (C). Além disso, serão 
apresentados fl uxos com múltiplas taxas internas de retorno.
Determinação do valor presente de um DFC genérico
Conceitualmente, a determinação do valor presente de um DFC genérico consistirá em trazer 
todos os futuros fl uxos de caixa à data t=0, através de sua correspondente descapitalização 
pela taxa de juros. A esta operação, denomina-se desconto de um fl uxo de caixa, e a taxa de 
juros utilizada é denominada de taxa de desconto do fl uxo de caixa, não devendo, entretanto, 
ser confundida com a taxa de desconto comercial praticada em bancos.
Exemplo 4.1: Determine o valor presente do DFC ilustrado na fi gura 4.1, supondo uma taxa 
de juros de 20,00% a.a.
Figura 4.1 – DFC-Padrão (D) - fl uxo genérico - caso simples
 Solução: O valor presente P do DFC anterior será obtido se forem trazidas cada uma 
das entradas de caixa à data t=0. Utlizando o que foi apresentado no módulo 2, a sequência 
HP-12C para chegar ao resultado será: <f> <REG> 300 <FV> 20 <i> 1 <n> <PV> 100 <FV> 
2 <n> <PV> <+> 500 <FV> 5 <n> <PV> <+>. Encontrará o valor $520,38.
Generalizando, se for admitida uma taxa de juros periódica, compatível com a unidade de 
tempo do DFC, você encontrará o valor presente de um fl uxo de caixa qualquer, através da 
seguinte expressão, onde CF signifi ca Cash Flow (fl uxo de caixa):
10
P=?
$300
$100
$500
anos
i=20%aa
2 3 4 5
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Fórmula 4.1 – Valor Presente de um fl uxo de caixa qualquer, DFC-Padrão (D)
Determinação do valor presente líquido (VPL) de um DFC 
genérico
Exemplo 4.2: Agora suponha que fosse possível “comprar” o DFC do exemplo anterior por 
$500. Isto seria um bom negócio?
 Solução: Parece que sim, pois estaria pagando $500 por um negócio que, na avaliação 
feita no exemplo 4.1, vale $520,38. Teria, portanto, um ganho adicional no valor de $20,38, 
expresso em moeda de hoje. A esta grandeza, dá-se o nome de valor presente líquido, ou, 
simplesmente, VPL.
Observações:
• Em termos de cálculo, o VPL equivale ao valor presente de um DFC qualquer quando é 
incluído o fl uxo existente no momento t=0.
• O VPL signifi cará o ganho adicional (se postivo) ou a perda (se negativo) que o investidor 
terá ao investir no DFC proposto em relação a investimento similar que proporcione a 
taxa de juros i% como retorno.
• É praxe utilizar como taxa de juros na avaliação a taxa que incorpore o risco em 
aplicações similares, também chamada de custo de oportunidade.
• No exemplo anterior, o investidor, para o nível de risco deste tipo de aplicação, ganharia 
20% a.a. e, ao optar por investir no DFC, passará a receber, além dos 20% a.a., um 
ganho adicional de $20,38. Bom negócio, portanto.
• Segue-se, daí, que o VPL pode ser encarado como a riqueza que será agregada 
ao patrimônio do investidor (quando positivo) ou que estará sendo destruída de seu 
patrimônio (quando negativo).
• Por motivos óbivos, o VPL é amplamente utilizado nos processos de avaliação de 
investimentos, projetos etc.
 
n
n
2
21
n
1i
j
j
i1
CF....
i1
CF
i1
CF
i1
CF
P
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Determinação da taxa interna de retorno de um DFC genérico
Exemplo 4.3: Refaça o exemplo 4.1 utilizando as taxas 0,00% a.a., 5,00% a.a., 10,00% a.a., 
15,00% a.a. e 25,00% a.a. Qual o retorno (% a.a.) que estaria recebendo quem investisse 
$665,83 neste DFC?
 Solução: Repetindo o procedimento adotado no exemplo anterior, teríamos:
Para i= 0,00% a.a.: P=$900,00
Para i= 5,00% a.a.: P=$768,18
Para i=10,00% a.a.: P=$665,83
Para i=15,00% a.a.: P=$585,07
Para i=25,00% a.a.: P=$467,84
Parece óbvio que um investidor que aplicasse $665,83 neste DFC estaria recebendo exatos 
10,00% a.a., pois o valor presente de seu investimento a esta taxa corresponderia exatamente 
ao desembolso feito para adquiri-lo. 
Assim, conceitualmente, a determinação da taxa 
interna de retorno (TIR) de um DFC genérico 
equivalerá a encontrarmos a taxa de juros 
periódica que fará com que o valor presente 
das entradas/saídas futuras de caixa seja igual 
ao fl uxo de caixa existente em t=0. Posto de 
outra forma, signifi cará calcularmos o valor de i 
quando esta for a incógnita do problema.
Exemplo 4.4: Determine a taxa de juros para o DFC ilustrado na fi gura 4.2:
Figura 4.2 – DFC-Padrão (D) - fl uxo genérico - determinação da TIR
10
$300
$100
$500
$500
anos
i=?
2 3 4 5
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 Solução: De acordo com a defi nição, precisaremos encontrar a taxa de juros que faça 
com que o valor presente dos fl uxos futuros de caixa seja igual a $500. 500 = VP(i%;fl uxos 
futuros). Passando os $500,00 para o lado direito da igualdade, e chamando a função criada 
de Y(i), fi ca-se com:
Y(i) = VP(i%;fl uxos futuros) - 500
Mas a função Y(i) é exatamente a defi nição do VPL e, assim, podemos concluir que encontrar 
a TIR para um fl uxo equivalerá também a determinarmos a taxa de juros i que torna nulo o 
VPL para este diagrama.
Juntando as respostas dadas nos exemplos anteriores a este conceito, pode-se montar a 
tabela abaixo. Deve fi car claro que a TIR para o problema deve situar-se entre 20,00% a.a. e 
25,00% a.a.
Taxa P VPL=P-$500
0,00% $900,00 $400,00
5,00% $768,18 $268,18
10,00% $665,83 $165,83
15,00% $585,07 $85,07
20,00% $520,38 $20,38
25,00% $467,84 R–$32,16
Tabela 4.1 – P e VPL para o DFC do exemplo 4
O gráfi co abaixo ilustra o valor do VPL para diferentes taxas de juros i. O ponto onde o gráfi co 
cruza o eixo horizontal, correspondente a VPL=0, equivale à TIR.
Figura 4.3 – Gráfi co VPL versus i% - TIR
500,00
400,00
300,00
200,00
100,00
-
0% 10% 20%
i%
30% 40%
(100,00)
(200,00)
VP
L
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Observações: 
• O uso de uma calculadora fi nanceira ou mesmo do Excel irá, sem dúvida, facilitar o 
procedimento.
• A resposta ao problema é 21,82% a.a.
• E, como a TIR é maior do que o custo de oportunidade, trata-se de bom negócio.
Fluxos com múltiplas taxas internas de retorno
Apesar de até agora termos procurado trabalhar com exemplos e exercícios que sempre nos 
levaram a uma única taxa periódica de juros positiva, nem sempre esta condição ocorrerá, 
conforme ilustra o próximo exemplo.
Exemplo 4.5 - Existência de duas taxas de juros positivas: Determine a taxa interna de 
retorno para o diagrama a seguir (suponha que a escala de tempo seja mensal).
Figura 4. 4 – Exemplo de DFC com mais de uma TIR
 Solução: Se montássemos uma tabela idêntica à tabela 4.1 e, a partir dela, traçássemos 
um gráfi co (ou i% versus VPL), chegaríamos à conclusão de que o DFC possui duas TIR.
Figura 4.5 – Exemplo de DFC com mais de uma TIR
Surge, portanto, a questão: como identifi carmos fl uxos que apresentem mais do que uma 
TIR positiva?
Y=f(i)
TIR1 = 25.00% TIR2 = 42.86%
i
$150
$56 $100
10 2
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• A resposta não é tão simples, pois, 
matematicamente demonstra-se que o número 
máximo de taxas positivas não excede o 
número de inversões de sinal do DFC.
• No exemplo em análise, o fl uxo, em t = 0, 
é negativo, em t = 1, é positivo e, em t = 2, é 
negativo; houve duas mudanças de sinal, e 
assim encontramos duas TIR positivas.
• Note, entretanto, que a regra citada não determina o número exato, mas sim o número 
máximo de taxas, deixando-nos diante de um problema indeterminado. Exemplifi cando: se, 
no DFC anterior, trocarmos as duas saídas de caixa de posição ($-100,00 em t = 0 e $ 56,00 
em t = 2), não haverá taxas de juros positivas que irão satisfazer a equação.
• A complexidade da questão residirá, portanto, em sabermos se, tendo encontrado uma 
primeira taxa de jurospositiva em um DFC com mais de uma inversão de sinal, existirão 
outras taxas positivas ou não.
• No caso da HP-12C, caso um DFC apresente mais do que uma TIR, aparecerá a mensagem 
“Error 3” no visor.
• No caso do Excel, uma das taxas é automaticamente caculada, mas não haverá a indicação 
da possibilidade de existência de outras taxas.
• Tanto na HP-12C quanto no Excel, as demais taxas poderão ser encontradas, mediante 
estimativas fornecidas pelo analista.
Conclusão: 
Face ao exposto, sugere-se, sempre que possível, o traçado de gráfi co similar ao da fi gura 4.5 
(Y × i% ou VPL × i%), como forma de visualização das diversas raízes positivas.
A determinação da Taxa Interna De Retorno (TIR) de um DFC genérico equivalerá a 
encontrarmos a taxa de juros periódica que fará com que o valor presente das entradas/
saídas futuras de caixa seja igual ao fl uxo de caixa existente em t=0. Alternativamente, 
equivalerá a encontrarmos a taxa de juros periódica que tornará nulo o VPL.
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Unidade 2: Resolução do DFC Genérico
Nesta unidade, é dado um destaque para duas formas de 
resolver o DFC-Padrão (C): pela HP-12C e pelo Excel.
Pela HP-12C
A resolução do DFC-Padrão (C) através de calculadoras 
fi nanceiras somente será viável para os DFC periódicos, isto 
é, aqueles onde os intervalos de tempo entre as datas forem 
compatíveis com o prazo da taxa de juros. Insira fl uxos nulos e/
ou transforme a taxa via equivalência de taxas, se necessário.
1. Tecle <f> <REG> ou <f> <FIN> para limpar todos os registradores ou apenas os 
registradores fi nanceiros.
2. Digite o valor do fl uxo existente na data-zero, tecle <CHS> (se aplicável) pressionando 
<g> <CF0> em seguida.
3. Para cada fl uxo seguinte, nulo ou não, digite seu valor, tecle <CHS> quando aplicável 
e pressione <g> <CFj> em seguida.
4. Se o fl uxo digitado ocorrer mais do que uma vez consecutiva, digite o número de 
vezes que ele ocorreu (limitado ao máximo de 99) e tecle <g> <Nj>; caso o fl uxo 
ocorra apenas uma única vez, pule esta etapa.
5. Repita os passos (3) e (4) até a inserção completa de todos os fl uxos.
6. Digite a taxa de juros e tecle <i>, tecle <f> <NPV> (Net Present Value) para obter o 
valor presente líquido do diagrama ou o valor presente (quando CF0 = 0).
7. Tecle <f> <IRR> (Internal Rate of Return) para obter a taxa interna de retorno.
Roteiro HP-12C 4.1 – resolução de fl uxos genéricos - DFC-Padrão (C)
Observações:
• Ao utilizarmos as funções de fl uxo de caixa, a grande maioria das funções fi nanceiras 
fi cará inativa (PMT, END/BEG, PV etc).
99Copyright Ibmec
• Respeite a convenção dos sinais dos fl uxos de caixa.
• Se o fl uxo em t=0 for nulo, a função <f> <NPV> calculará o valor presente P para o DFC, 
mas a resposta não virá com o sinal invertido.
• Como os fl uxos inseridos na HP-12C são armazenados nas memórias, não as utilize 
(<STO> 0, <STO> 1 etc.) ao usar as funções CF0, CFj; não insira nada também em <n> 
para evitar invalidar a contagem interna.
• O número máximo de fl uxos distintos estará limitado a 21: os 20 primeiros estarão 
inseridos nas memórias disponíveis da calculadora; o 21º, em <FV>.
• Para fl uxos com mais de uma taxa interna de retorno, após pressionar <f> <IRR>, 
aparecerá a mensagem “Error 3”. Limpe o visor com <Clx>, arbitre um valor para a taxa 
e tecle <i> <RCL> <g> <R/S>, obtendo assim a primeira resposta. Repita o procedimento 
até encontrar todas as taxas.
Exemplo 4.6 - Cálculo de valor presente: Determine o valor presente do DFC ilustrado na 
fi gura a seguir utilizando a taxa de 20,00% a.p. Repita o procedimento para taxas de 15,00% 
a.p. e 10,00% a.p.
Figura 4.6 – DFC-Padrão (D) - fl uxo genérico - caso simples
 Solução: Conforme o roteiro a seguir:
10
$300
$100
$500
P=?
anos
i=20%aa
2 3 4 5
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TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
0 <g> <CF0> 0.00 insere fl uxo em t=0
300 <g> <CFj> 300.00 insere fl uxo em t=1
100 <g> <CFj> 100.00 insere fl uxo em t=2
0 <g> <CFj> 0.00 insere fl uxo em t=3...
2 <g> <Nj> 2.00 ... e em t=4 (2 consecutivos iguais)
500 <g> <CFj> 500.00 insere fl uxo em t=5
20 <i> 20.00 insere taxa de juros
<f> <NPV> 520.38 VP para i=20,00%
15 <i> 15.00 insere nova taxa de juros
<f> <NPV> 585.07 VP para i=15,00%
10 <i> 10.00 insere nova taxa de juros
<f> <NPV> 665.83 VP para i=10,00%
Exemplo 4.7 - Cálculo da Taxa Interna de Retorno: Determine a TIR para o DFC ilustrado 
na fi gura 4.7.
Figura 4.7 – DFC-Padrão (D) - fl uxo genérico - determinação da TIR
 Solução: Conforme o roteiro a seguir:
10
$300
$100
$500
$500
anos
i=?
2 3 4 5
101Copyright Ibmec
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
500 <CHS> <g> <CF0> -500.00 insere fl uxo em t=0
300 <g> <CFj> 300.00 insere fl uxo em t=1
100 <g> <CFj> 100.00 insere fl uxo em t=2
0 <g> <CFj> 0.00 insere fl uxo em t=3...
2 <g> <Nj> 2.00 ... e em t=4 (2 consecutivos iguais)
500 <g> <CFj> 500.00 insere fl uxo em t=5
<f> <IRR> 21.82 TIR=21,82% a.a.
Exemplo 4.8 - Fluxos com mais do que uma TIR: Determine a TIR para o DFC ilustrado na 
fi gura 4.8:
Figura 4.8 – Exemplo de DFC com mais de uma TIR
 Solução: O roteiro a seguir ilustra como fazer: arbitramos 0 e 100.
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
56 <CHS> <g> <CF0> -56.00 insere fl uxo em t=0
150 <g> <CFj> 150.00 insere fl uxo em t=1
100 <CHS> <g> <CFj> -100.00 insere fl uxo em t=2
<f> <IRR> Error 3 fl uxo com mais de uma taxa
<Clx> -100.00 limpa a mensagem de erro
0 <i> <RCL> <g> <R/S> 25.00 TIR1
100 <i> <RCL> <g> <R/S> 42.86 TIR2
$150
$56 $100
10 2
102 Copyright Ibmec
Pelo Excel
No Excel, há funções similares às existentes na HP-12C, que irão permitir trabalharmos com 
DFC periódicos, conforme ilustrado no roteiro a seguir.
1. Trabalhando com DFC periódicos, utilize as funções:
a) VPL(taxa;fl uxos-1;fl uxos-2;...) para o cálculo do valor presente do fl uxo de caixa.
b) VPL(taxa;fl uxos-1;fl uxos-2;...)+”Fluxo_Inicial” para obter o valor presente líquido 
do fl uxo de caixa, onde ”Fluxo_Inicial” refere-se à célula contendo o fl uxo existente 
em t=0 (vide observações).
c) TIR(fl uxos;estimativa) para obter a taxa. 
2. Para o caso de DFC com mais de uma taxa interna de retorno, recomendamos o 
traçado do gráfi co “i% versus VPL”, conforme ilustraremos a seguir.
Roteiro Excel 4.1 – resolução de fl uxos genéricos - DFC Padrão (C)
Observações:
• Respeite a convenção dos sinais dos fl uxos de caixa.
• Para o uso das funções VPL e TIR em fl uxos não-periódicos, 
inclua zeros no fl uxo de forma a tornar a taxa compatível com o 
intervalo entre os fl uxos.
• Os argumentos fl uxos-1, fl uxos-2, ... da função VPL poderão 
equivaler a valores únicos ou conjuntos de valores dispostos em 
uma matriz [range] contida na planilha.
• A função VPL do Excel não utiliza o fl uxo existente em t=0, 
diferentemente do que ocorre com a HP-12C; consequentemente, 
ao calcular o valor presente de um DFC, o primeiro fl uxo 
considerado será aquele existente na data t=1. 
• O argumento taxa da função VPL deverá ser fornecido na forma decimal ou 
digitado na forma percentual seguido pelo símbolo %, para que o Excel realize a 
conversão automática. 
• O argumento estimativa da função TIR é opcional, sendo utilizado pelo Excel para a 
determinação mais rápida da taxa de juros. Para fl uxos com mais do que uma taxa, o valor 
passado neste argumento irá determinar a taxa que o Excel irá apresentar como resposta.
103Copyright Ibmec
• Há também as funções XVPL e XTIR, disponíveis se o add-in Ferramentas de Análise 
(Analysis Tools) for instalado. Entretanto, consideram a taxa na contagem do ano civil, 
pouco aplicável ao caso brasiliero. Consulte o manual do software ou a bibliografi a indicada 
para maiores detalhes.
Exemplo 4.9 - Cálculo do Valor Presente – DFC Periódico: Determine o valor presente do 
DFC reproduzido abaixo:
Figura 4.9 – DFC do exemplo 4.9
 Solução: A planilha a seguir ilustra o uso da funçãoVPL. Conforme foi comentado 
nas observações, note que a função inserida em B11 não considerou o fl uxo constante em 
t=0, fornecendo, portanto, a resposta correta. Já a função inserida em B13 considerou o fl uxo 
em t=0 e, dado que ele foi preenchido com zero, forneceu a resposta incorreta, pois calculou 
o valor presente descapitalizando cada fl uxo em um período a mais.
Figura 4.10 – Excel Cálculo do Valor Presente - DFC-Padrão (C) - fl uxo genérico - caso simples
Observação: Alternativamente, você poderia preencher os argumentos referentes aos fl uxos 
de caixa separadamente: VPL(B9;B3;B4;B5;B6;B7).
10
$300
$100
$500
P=?
anos
i=20%aa
2 3 4 5
104 Copyright Ibmec
Exemplo 4.10 - Cálculo da TIR – DFC periódico: Determine a taxa interna de retorno para 
o DFC ilustrado na fi gura a seguir:
Figura 4.11 – DFC-Padrão (C) - fl uxo genérico - determinação da TIR
 Solução: Conforme fi gura seguinte:
Figura 4.12 – Excel - cálculo da TIR - DFC-Padrão (C)
Exemplo 4.11 - Cálculo da TIR – DFC periódico – fl uxo com mais de uma TIR – geração 
de gráfi cos: Determine a taxa interna de retorno para o DFC tratado nos exemplos 4.5 e 4.8 
( $56,00 em t=0; $150,00 em t=1, $100,00 em t=2).
 Solução: Insira os fl uxos de caixa nas células B4:D4 conforme ilustrado na fi gura 4.13 
e, em seguida, preencha as células F3 e F4 com duas estimativas para a taxa de retorno. Na 
célula G3, digite a fórmula =TIR($B$4:$D$4;F3) para obter a primeira TIR; copie (ou arraste) a 
fórmula para a célula G4 para obter a segunda estimativa. Complemente o trabalho formatando 
o a seu critério. O resultado fi nal será semelhante ao ilustrado a seguir:
Figura 4.13 – Excel – Gráfi co i% versus cálculo da TIR
10
$300
$100
$500
$500
anos
i=?
2 3 4 5
105
Unidade 3: Uso do VP, VPL e da TIR na Avaliação de Ativos
Avaliar um ativo signifi cará estimar o valor deste ativo 
para que possamos, baseados na estimativa realizada, 
traçar estratégias de atuação. E, mesmo não conduzindo 
a resultados precisos, a avaliação ainda é uma poderosa 
ferramenta, amplamente utilizada por todos aqueles que 
necessitam de algum parâmetro quantitativo para auxiliar 
na tomada de decisão. Três correntes principais procuram 
estabelecer o valor, cada uma delas aplicável a determinado 
grupo de problemas: avaliação pelo fl uxo de caixa descontado, 
avaliação relativa e avaliação de direitos contigentes.
Tipos de avaliação
Avaliação pelo Fluxo de Caixa Descontado
O valor do ativo decorre dos fl uxos futuros de caixa trazidos à data t=0.
Avaliação relativa
O valor do ativo é estabelecido a partir do valor de ativos similares, comparados em função 
de uma ou mais variáveis, tais como índices P/L, giro de estoques, volume de vendas, e 
muitos outros.
Avaliação de direitos contingentes
Considerando que os fl uxos de caixa gerados pelo ativo estarão condicionados à ocorrência 
de determinado evento, por este método o valor do ativo será obtido através de modelos 
similares aos utilizados na precifi cação de opções.
Quais grupos de problemas aplicam-se a quais abordagens citadas é questão que foge ao 
escopo deste curso, onde adotamos a avaliação pelo fl uxo de caixa descontado. Em linhas 
gerais, por este método o processo poderá ser sintetizado através do seguinte fl uxograma.
106 Copyright Ibmec
 estime fluxos de caixa 
CF1, CF2,.... 
estime custo de 
oportunidade k 
verifique preço de 
 mercado PM 
calcule indicadores 
PJ, VPL, SUL, TIR, ... 
tome a decisão 
vender, comprar, ... 
Figura 4.14 – Avaliação e tomada de decisão – abordagem do fl uxo de caixa descontado
Considerando que nosso objetivo é apenas o de ilustrar a aplicação da matemática fi nanceira 
neste tipo de resolução, assumiremos que os fl uxos futuros de caixa CF1, CF2, ..., CFN são 
conhecidos, bem como o custo de oportunidade do capital k e o preço de mercado PM
Observações:
• O custo de oportunidade do capital k equivalerá à remuneração que o capital investido 
deverá ter em condições de risco similares.
• O preço de mercado PM corresponderá ao preço que você pagará pelo ativo (por exemplo, 
uma ação, um imóvel) ou ao investimento inicial a ser feito no caso de um projeto.
Exemplo 4.12: Na montagem de um empreendimento, estima-se que serão necessários $158 
como investimento inicial para que (tudo dando certo!) o empreendedor receba $67,80 líquidos 
pelos próximos quatro anos e $72,80 líquidos ao fi nal do quinto ano. Projetos com o mesmo 
nível de risco remuneram seus investidores a 20% a.a., o que pode, portanto, ser considerado 
uma excelente estimativa para o custo de oportunidade. Represente o DFC para o enunciado.
 Solução: A fi gura 4.15 ilustra o enunciado.
Figura 4.15 – DFC para o empreendimento do exemplo 4.12
10
4 x 67,80 $72,80
$158,00
anos2 3 4 5
107Copyright Ibmec
Apresentaremos, a seguir, os três principais indicadores para a resolução do problema.
O preço justo
O preço justo (PJ) para um ativo equivalerá ao valor presente dos futuros fl uxos de caixa 
descontados ao custo de oportunidade k, não se considerando, portanto, o fl uxo existente 
em t=0. Todos os métodos já estudados anteriormente poderão ser utilizados. Corresponde, 
portanto, a aplicarmos a fórmula 4.1 reproduzida a seguir:
Fórmula 4.1 – Preço justo para um ativo
Exemplo 4.13: Determine o preço justo para o empreendimento em análise, representado no 
DFC da fi gura que ilustra o exemplo 4.15.
 Solução – Cálculo de PJ: Admitindo o uso de uma calculadora HP-12C, faremos:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
67.8 <g> <CFj> 67.80 insere CFj...
4 <g> <Nj> 4.99 ... que ocorreu de t=1 a t=4
72.8 <g> <CFj> 72.80 insere CF5
20 <i> 20.00 taxa anual
<f> <NPV> 204.77 VP=PJ
 Solução – Tomada de Decisão: 
Dado que a empresa não possui o projeto 
e considerando que o custo líquido para 
implementá-lo é de $158,00, conclui-se que o 
projeto deverá ser feito pois seu preço justo PJ 
excede o investimento inicial.
 
n
n
2
21
n
1i
j
j
k1
CF....
k1
CF
k1
CF
k1
CF
PJ
108 Copyright Ibmec
Conclusões:
• Signifi cado do PJ: Dada uma determinada taxa de juros k, correspondente ao custo de 
oportunidade associado a um ativo, o preço justo PJ determinará o valor que o investidor 
deverá pagar pelo ativo de forma a obter a taxa k como retorno.
• Critério de Decisão: Adquira o ativo se PJ > PM ou PJ > I0. 
• Relacionamento entre PJ e k: O preço justo PJ para um ativo sempre dependerá da 
taxa k utilizada na avaliação, variando inversamente a partir de oscilações de k (taxas 
maiores corresponderão a preços justos menores e vice-versa). 
• Princípio de Adição de Valor: Por expressar valores monetários na data t=0, o PJ de 
um ativo poderá ser adicionado ao PJ de outros ativos.
• Comparação entre Propostas: Diante de um conjunto de oportunidades de 
investimento, o cálculo do PJ para cada proposta não indicará qual ou quais deverão ou 
não ser aceitas (vide VPL logo a seguir).
O valor presente líquido – VPL
Também conhecido como valor atual líquido (VAL) ou Net Present Value (NPV), o VPL 
consistirá no valor presente de um DFC, incluindo o fl uxo existente na data t=0, ou seja:
 n
1j
j
j
0
n
0j
j
j
k1
CF
CF
k1
CF
VPL
Fórmula 4.2 – Valor presente líquido para um ativo
Note que o VPL nada mais é do que o preço justo PJ para o ativo acrescido do fl uxo existente 
em t=0, levando-se em consideração os sinais dos fl uxos de caixa.
Exemplo 4.14 – Cálculo do VPL: Determine o VPL para o empreendimento em análise, 
representado no DFC da fi gura 4.16:
Figura 4.16 – DFC para o exemplo 4.14
10
4 x 67,80 $72,80
$158,00
anos2 3 4 5
109Copyright Ibmec
 Solução – Analítica: As cinco entradas de caixa equivalerão a $204,77, conforme 
calculado no exemplo 4.13; se, a este valor, acrescentarmos a saída de caixa (sinal negativo!) 
existente em t=0, obteremos VPL=$46,77.
 Solução – HP-12C: Através do roteiro a seguir:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
158 <CHS> <g> <CF0> 158.00 insere CF0
67.8<g> <CFj> 67.80 insere CFj...
4 <g> <Nj> 4.99 ... que ocorreu de t=1 a t=4
72.8 <g> <CFj> 72.80 insere CF5
20 <i> 20.00 taxa anual
<f> <NPV> 46.77 VPL
 Solução – Tomada de decisão: Vimos, pelo exemplo anterior, que o projeto deveria 
ser aceito, pois seu preço justo PJ era superior ao custo de implementação I0. Mas, pela própria 
defi nição do VPL – veja a fórmula do valor presente líquido para um ativo – isso signifi cará que 
estaremos pagando menos do que o valor adequado par o fl uxo em análise, ou seja, o VPL 
será positivo. Assim, simplifi cando: o projeto deverá ser executado, pois gerou VPL>0.
Conclusões:
• Signifi cado do VPL: Dada uma determinada taxa de juros k, correspondente ao custo 
de oportunidade associado a um ativo, o VPL determinará o ganho (ou a perda, se 
negativo) expressa em dinheiro de hoje, que o investidor terá, em comparação a um 
investimento similar que proporcione a taxa de juros k como retorno.
• Signifi cado do VPL – Versão prática: Quando positivo, o VPL indicará exatamente 
quanto o investidor acrescentou de riqueza ao seu patrimônio; e quando negativo, 
indicará exatamente quanto destruiu de riqueza... Refl ita sobre esta defi nição! 
• Critério de decisão: Adquira o ativo se VPL > 0.
• Relacionamento entre VPL e k: O VPL para um ativo sempre dependerá da taxa k 
utilizada na avaliação, variando inversamente a partir de oscilações de k (taxas maiores 
corresponderão a VPL menores e vice-versa).
110 Copyright Ibmec
• Princípio de adição de valor: Por expressar valores monetários na data t=0, o VPL de 
um ativo poderá ser adicionado ao VPL de outros ativos.
• Comparação entre propostas: Diante de um conjunto de oportunidades 
de investimento, o cálculo do VPL para cada proposta permitirá ordená-las 
decrescentemente, indicando as que deverão ser executadas antes das demais (as de 
maior VPL, pois agregam maior riqueza).
A taxa interna de retorno – TIR
Vimos, anteriormente, neste módulo, que determinar a TIR de um fl uxo de caixa equivalerá 
a calcularmos o valor de i quando esta for a incógnita do problema. Conceitualmente, a TIR 
poderá ser visualizada como a taxa de desconto que torna o VPL de um fl uxo de caixa igual 
a zero.
Exemplo 4.15: Determine a TIR para o DFC do empreendimento em análise, representado 
no DFC da fi gura 4.17
Figura 4.17 – DFC para o exemplo 4.15
 Solução: Admitindo o uso de uma HP-12C, a sequência a seguir ilustra o procedimento:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
158 <CHS> <g> <CF0> 158.00 insere CF0
67.8 <g> <CFj> 67.80 insere CFj...
4 <g> <Nj> 4.99 ... que ocorreu de t=1 a t=4
72.8 <g> <CFj> 72.80 insere CF5
<f> <IRR> 32.76 TIR
10
4 x 67,80 $72,80
$158,00
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111Copyright Ibmec
 Solução – Tomada de decisão: Dado que a empresa não possui o estacionamento, 
e a TIR obtida supera o custo de oportunidade k, o projeto deverá ser aceito.
Conclusões:
• Signifi cado da TIR: Dado um fl uxo de caixa qualquer, sua taxa interna de retorno 
determinará a rentabilidade que uma empresa ou indivíduo terá, ao investir neste fl uxo 
de caixa.
• Critério de Decisão: Supondo a existência de uma única TIR, adquira o ativo se 
TIR > k.
• Relacionamento entre TIR e k: A TIR não depende do valor adotado como custo 
de oportunidade k.
• Princípio de Adição de Valor: Não aplicável (impossível somarmos duas ou 
mais taxas).
• Comparação entre Propostas: Considerando que a TIR não depende de k, a 
ordenação de propostas em função da TIR somente será razoável quando todos os 
projetos envolvidos apresentarem o mesmo nível de risco (ou seja, o mesmo valor para k). 
Note, entretanto, que, mesmo que tal condição se verifi que, uma série de distorções 
(inerentes à própria defi nição da taxa interna) poderão levar-nos a decisões incorretas. 
Entretanto, essas questões fogem do escopo deste curso.
112 Copyright Ibmec
Resumo
Neste capítulo, apresentamos modelo genérico para resolução de todo e qualquer tipo de 
DFC (denominado de DFC-Padrão (C)), defi nindo VPL, TIR e ressaltando a possibilidade de 
existência de fl uxos com mais de uma TIR positiva.
Para a tomada de decisão na avaliação de um ativo, apresentamos os principais indicadores 
utilizados: preço justo, valor presente líquido e taxa interna de retorno. Além disso, foram 
defi nidos os critérios que irão decidir se um investimento deverá ou não ser aceito.
113Copyright Ibmec
MÓDULO 5:
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO E 
TAXAS DE JUROS
115Copyright Ibmec
Introdução
Além dos problemas associados à resolução dos fl uxos de caixa, há, ainda, dois grandes 
grupos de questões usuais na matemática fi nanceira:
• Os sistemas de amortização, nome genérico dado aos diferentes modelos utilizados 
para a quitação dos empréstimos, em geral.
• As operações relacionadas às taxas de juros, já que, nem sempre, o mercado opera as 
taxas em seu formato efetivo, conforme temos feito até agora.
Serão esses conceitos que iremos discutir ao longo deste módulo, ilustrando as questões – 
quando possível – através de exemplos práticos vinculados aos casos existentes em nosso 
mercado. Para os sistemas de amortização, nos limitaremos ao caso pré-fi xado.
Objetivos
Após completar o estudo do módulo, você estará apto a:
• Apresentar os principais sistemas de amortização existentes: PRICE, SAC, sistema 
americano e outros.
• Determinar as parcelas referentes aos juros e à amortização existentes em cada 
prestação e o saldo devedor (resíduo) de um fi nanciamento.
• Montar o extrato do cliente e a planilha de fi nanciamento.
• Desenvolver modelo que permita a montagem de todo e qualquer plano de fi nanciamento.
• Apresentar critérios para comparação entre taxas de juros.
• Conceituar os diversos tipos de taxas de juros: efetivas, nominais, de desconto, reais, 
aparentes, brutas, líquidas, pré e pós-fi xadas.
Estrutura do módulo
Para melhor compreensão das questões que envolvem a matemática fi nanceira, este módulo 
está dividido em:
Unidade 1: Sistemas de Amortização
Unidade 2: Resolução dos Sistemas de Amortização
Unidade 3: Uso de Taxas Não Efetivas
116 Copyright Ibmec
Unidade 1: Sistemas de Amortização
Um dos principais objetivos das séries é a liquidação 
de dívidas através do pagamento de prestações, 
operação denominada amortização. Para bens de 
pequeno valor, o usual é ter prestações constantes, 
em número reduzido, e calculadas a partir de taxas pré 
fi xadas, ou seja, taxas previamente estabelecidas no 
momento da concessão do fi nanciamento. Mas esta 
não é a única forma de liquidar os fi nanciamentos, 
principalmente aqueles destinados à aquisição de 
bens de maior valor (imóveis, automóveis, bens de capital), onde os prazos são maiores, 
as prestações nem sempre constantes e as taxas de juros pactuadas, eventualmente 
pós-fi xadas, ou seja, atreladas à variação de algum índice específi co. 
Nesta unidade, entretanto, considerando que queremos apenas ilustrar como funcionam os 
sistemas de amortização, serão apresentados apenas os principais modelos. Recomendamos 
a leitura da bibliografi a indicada, para aqueles que se interessarem pelos demais casos, e que 
as questões sejam resolvidas por software do tipo planilha eletrônica (todas as tabelas que 
ilustraram os exemplos foram geradas a partir do Excel).
O Sistema Price (ou Tabela Price)
Também conhecido como Sistema Francês de Amortização, o Sistema Price caracteriza-se 
por apresentar prestações constantes. Equivale, portanto, às séries uniformes, sendo bastante 
utilizado nos fi nanciamentos comerciais (CDC - crédito direto ao consumidor) e imobiliários, 
dentre outros.
Ao contrair um empréstimo por esta modalidade, o mutuário fi cará sujeito à cobrança dos 
juros calculados sobre o saldo devedor do período anterior.
Exemplo 5.1: Supondo uma taxa de 10,00% a.m., calcule o valor da prestação para um 
indivíduo que opte pelo Sistema Price para o fi nanciamento de $100,00 em 8 prestações (sem 
entrada).
 Solução: Utilizando uma calculadora fi nanceira no modo postecipado,faremos 
100<PV>, 1<i>, 8<n><PMT> para obtermos $18,74.
117Copyright Ibmec
Exemplo 5.2: Analisaremos o que ocorreu em cada um dos meses em que houve pagamento, 
montando um "extrato" para o cliente.
Saldo devedor inicial 100,00
(+) juros do mês 1 10,00
( - ) prestação 1 -18,74
saldo devedor ao fi nal do mês 1 91,26
(+) juros do mês 2 9,13
( - ) prestação 2 -18,74
saldo devedor ao fi nal do mês 2 81,64
(+) juros do mês 3 8,16
( - ) prestação 3 -18,74
saldo devedor ao fi nal do mês 3 71,06
(+) juros do mês 4 7,11
( - ) prestação 4 -18,74
saldo devedor ao fi nal do mês 4 59,42
(+) juros do mês 5 5,94
( - ) prestação 5 -18,74
saldo devedor ao fi nal do mês 5 46,61
(+) juros do mês 6 4,66
( - ) prestação mês 6 -18,74
saldo devedor ao fi nal do mês 6 32,53
(+) juros do mês 7 3,25
( - ) prestação mês 7 -18,74
saldo devedor ao fi nal do mês 7 17,04
(+) juros do mês 8 1,70
( - ) prestação mês 8 -18,74
saldo devedor ao fi nal do mês 8 0,00 
Tabela 5.1 – Extrato do cliente - Sistema Price
118 Copyright Ibmec
Observação: Tanto neste como nos demais exemplos desta unidade, apesar de listarmos 
apenas duas casas decimais, trabalhamos com os valores gerados originalmente pelo Excel. 
Consequentemente, é possível que você perceba pequenas variações (irrelevantes) ao tentar 
reproduzir alguns valores. 
Uma outra forma de visualizarmos o que efetivamente ocorreu é através da montagem da 
planilha de fi nanciamento, que irá relacionar não somente o saldo devedor a cada período, 
como, ainda, os componentes de cada prestação.
Exemplo 5.3: Monte a planilha de fi nanciamento utilizando os dados do exemplo anterior.
Mês Juros Amortização Prestação Saldo
0 -- -- -- 100,00
1 10,00 8,74 18,74 91,26
2 9,13 9,62 18,74 81,64
3 8,16 10,58 18,74 71,06
4 7,11 11,64 18,74 59,42
5 5,94 12,80 18,74 46,61
6 4,66 14,08 18,74 32,53
7 3,25 15,49 18,74 17,04
8 1,70 17,04 18,74 0,00
Tabela 5.2 – Planilha para o Sistema Price
O gráfi co a seguir ilustra os resultados, sendo a escala da esquerda referente às prestações 
e seus componentes, e a da direita referente ao saldo devedor.
Figura 5.1 – Gráfi co para o Sistema Price
Percebe-se, pela planilha anterior, que as seguintes relações são válidas:
• O valor de cada prestação será a soma da parcela de juros com a parcela da amortização 
do saldo devedor.
120,00
100,00
80,00
60,00
40,00
20,00
20,00
15,00
10,00
5,00
0,00
0
Amortização Juros SD
1 2 3 5 74 6 8
0,00
119Copyright Ibmec
• A parcela de juros em cada prestação será obtida mediante a aplicação da taxa pactuada 
sobre o saldo devedor existente ao fi nal do período anterior.
• O saldo devedor, após o pagamento de cada prestação, será obtido diminuindo-se, 
do saldo devedor ao fi nal do período anterior, a parcela de amortização existente na 
prestação paga no período.
PRESTt = Jt + AMORTt (a)
Jt = SDt-1 × it (b)
SDt = SDt-1 − AMORTt (c)
Fórmulas 5.1 – Planilha de fi nanciamento - caso pré-fi xado
As relações vistas para o Sistema Price também serão válidas para outros sistemas de 
amortização e para o entendimento de como as células da planilha anterior se combinam, 
tornam o problema da determinação dos valores em um empréstimo, tarefa bastante trivial. 
Observe ainda:
• Para o Sistema Price, os juros serão decrescentes ao longo do tempo; as amortizações 
serão crescentes.
• Na montagem da planilha no Sistema Price, calcule primeiro as prestações para, em 
seguida, determinar os demais valores.
• As calculadoras fi nanceiras e o Excel possuem funções específi cas para o cálculo dos 
valores da planilha no Sistema Price, conforme veremos adiante.
Exemplo 5.4: Utilizando os dados do último exemplo, calcule o saldo devedor existente 
imediatamente após o pagamento da 5ª prestação (admita que você não disponha da planilha 
de fi nanciamento).
 Solução: O que estamos querendo determinar é o saldo do fi nanciamento que ainda 
restará a ser pago na data t=5. Uma das formas possíveis de resolução será calcularmos o 
valor presente (em t=5) das 3 prestações a vencer (método prospectivo), conforme ilustrado 
no DFC abaixo:
Figura 5.2 – DFC do exemplo 5.4
3 x $18,74
i = 10%am
5 6
P=?
7 8
120 Copyright Ibmec
A resolução do DFC anterior não nos oferece maiores difi culdades: trata-se de uma série 
uniforme postecipada, com n=3; i=10,00% a.m. e A=$18,74 e, através de uma calculadora 
fi nanceira, chega-se facilmente a $46,60 para o saldo devedor em t=5. Observe que este 
valor está bem próximo ao encontrado na planilha de fi nanciamento do exemplo 5.3, sendo 
a pequena diferença devido aos arredondamentos. Note que este é o valor que deverá ser 
pago, caso o tomador do empréstimo deseje liquidar sua dívida nesta data.
O Sistema SAC
Bastante utilizado no fi nanciamento da casa própria, o Sistema SAC caracteriza-se por 
apresentar as amortizações constantes. Segue-se, portanto, que o valor da amortização 
existente em cada uma das n prestações, será determinado por:
 
n
PAMORTt
Fórmula 5.2 – Valor da amortização no Sistema SAC
Exemplo 5.5: Monte a planilha de fi nanciamento com os dados do exemplo 5.3, admitindo o 
Sistema SAC.
 Solução: O valor da amortização mensal será igual a $12,50 (=$100,00/8) e, com 
base neste resultado e nas fórmulas 5.1, montaremos a seguinte planilha:
Mês Juros Amortização Prestação Saldo
0 -- -- -- 100,00
1 10,00 12,50 22,50 87,50
2 8,75 12,50 21,25 75,00
3 7,50 12,50 20,00 62,50
4 6,25 12,50 18,75 50,00
5 5,00 12,50 17,50 37,50
6 3,75 12,50 16,25 25,00
7 2,50 12,50 15,00 12,50
8 1,25 12,50 13,75 0,00
Tabela 5.3 – Planilha para o Sistema SAC
121Copyright Ibmec
Figura 5.3 – Gráfi co para o Sistema SAC
Observações:
• Para o Sistema SAC, os juros e as prestações serão decrescentes ao longo do tempo.
• Na montagem da planilha no Sistema SAC, calcule primeiro as amortizações para, em 
seguida, determinar os demais valores.
Generalizando os conceitos
A compreensão do funcionamento da planilha de fi nanciamento irá permitir que montemos 
qualquer tipo de operação, conforme ilustram os exemplos a seguir.
Exemplo 5.6 - Sistema americano: Utilizando os mesmos valores do último exemplo, monte 
a planilha admitindo que apenas o valor dos juros será pago ao longo dos meses, sendo o 
principal restituído ao fi nal da operação.
 Solução: O valor dos juros mensais será obtido através da fórmula Jt = SDt -1 × it 
(5.1b), onde faremos t=1; SD0=$100,00 e i=10,00%, o que nos levará a:
J1 = 100,00 × 0,10 = 10,00
Como não haverá a amortização do principal, o valor encontrado para J1 será constante para 
os demais meses, permitindo a montagem da seguinte planilha:
120,00
100,00
80,00
60,00
40,00
20,00
20,00
25,00
15,00
10,00
5,00
0,00
0
Amortização Juros SD
1 2 3 5 74 6 8
0,00
122 Copyright Ibmec
Mês Juros Amortização Prestação Saldo
0 -- -- -- 100,00
1 10,00 0,00 10,00 100,00
2 10,00 0,00 10,00 100,00
3 10,00 0,00 10,00 100,00
4 10,00 0,00 10,00 100,00
5 10,00 0,00 10,00 100,00
6 10,00 0,00 10,00 100,00
7 10,00 0,00 10,00 100,00
8 10,00 100,00 110,00 0,00
Tabela 5.4 – Planilha para o sistema americano
Exemplo 5.7 - Financiamento Price com resíduo: após o pagamento da última prestação, 
permanecerá um saldo residual (que deverá ser quitado integralmente ou renegociado, 
conforme acordado entre as partes).
Mês Juros Amortização Prestação Saldo
0 -- -- -- 100,00
1 10,00 5,00 15,00 95,00
2 9,50 5,50 15,00 89,50
3 8,95 6,05 15,00 83,45
4 8,35 6,65 15,00 76,80
5 7,68 7,32 15,00 69,47
6 6,95 8,05 15,00 61,42
7 6,14 8,86 15,00 52,56
8 5,26 9,74 15,00 42,82
Tabela 5.5 – Financiamento Price com resíduo
123Copyright Ibmec
Unidade 2: Resolução dos Sistemas de Amortização
Nesta unidade, a resolução dos sistemas de 
amortização serãoapresentadas de duas formas: 
utilizando a HP-12C e o Excel.
Pela HP-12C
1. Tecle <f> <REG> ou <f> <FIN> para limpar os registradores e defi na se o 
fi nanciamento é postecipado ou antecipado.
2. Digite o valor fi nanciado, tecle <PV>, digite a taxa, tecle <i>.
3. Digite o número de prestações e tecle <n>; tecle <PMT> para obter o valor da 
prestação OU digite o valor da prestação paga, tecle <CHS> <PMT>.
4. Digite 0 (zero) e tecle <n>, caso queira controlar o número de prestações já 
amortizadas.
5. Digite o número M de prestações a amortizar; tecle <f> <AMORT>: a primeira 
resposta corresponderá aos juros pagos nas M prestações; pressione <xy> para 
obter a amortização paga nas M prestações; tecle <RCL> <PV> para obter o saldo 
devedor após o pagamento das M prestações; desde que o passo (4) tenha sido 
executado, <RCL> <n> fornecerá o número de prestações já amortizadas.
6. Repita o processo a partir do passo (5) para obter os demais valores.
Roteiro HP-12C 5.1 - montagem da planilha de fi nanciamento
Exemplo 5.8: Um fi nanciamento no valor de $100,00 deverá ser amortizado em 8 pagamentos 
iguais, sem entrada. Sabendo-se que a taxa de juros é de 10,00% a.m., determine os juros, a 
amortização e o saldo devedor para as duas primeiras prestações; determine, ainda, o saldo 
devedor após o pagamento da 7ª parcela.
 Solução: Admitindo estar operando no modo postecipado com 2 casas no visor, a 
sequência abaixo trará a solução.
124 Copyright Ibmec
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
100<PV> 10 <i> 8 <n> <PMT> -18.74 cálculo da prestação
0 <n> 0.00 controla n
1 <f> <AMORT> -10.00 J1
<xy> -8.74 Amort1
<RCL> <PV> 91.26 SD1
1 <f> <AMORT> -9.13 J2
<xy> -9.61 Amort2
<RCL> <PV> 81.65 SD2
<RCL> <n> 2.00 parado na 2ª
5 <f> <AMORT> -29.16 J3 a J7
<xy> -64.54 Amort3 a Amort7
<RCL> <PV> 17.11 SD7
Observações:
• Após termos calculado os valores para a 2ª prestação, fi zemos 5 <f> <AMORT> 
para "andarmos" mais 5 prestações e chegarmos ao fi nal do 7º mês; as respostas 
intermediárias não foram pedidas ($29,16 e $64,54), mas optamos por listá-las para 
efeitos didáticos.
• Como a calculadora estava operando com 2 casas decimais, os arredondamentos 
internos sucessivos geraram diferença de $0,07 no saldo devedor após a 7ª prestação 
($17,11 pela HP-12C e $17,04 pelo Excel, vide exemplo 5.3). 
• Esta diferença não ocorrerá caso trabalhemos com 9 casas decimais: o saldo devedor 
após a 7ª prestação, neste caso, será $17,04036520, valor que, apresentado com duas 
casas decimais, irá gerar os $17,04.
Exemplo 5.9: Determine o saldo devedor ao fi nal do 6º mês, nas condições do exemplo 
anterior, se os pagamentos mensais efetuados foram de $15,00 (veja exemplo 5.7).
125Copyright Ibmec
 Solução: Admitindo o modo postecipado com 2 casas no visor, faremos:
TECLE VISOR OBSERVAÇÕES
<f> <REG> 0.00 limpa registradores
100 <PV> 10 <i> 10.00 insere principal e taxa
15 <CHS> <PMT> -15.00 insere a prestação
6 <f> <AMORT> -51.43 J1 a J6
<RCL> <PV> 61.43 SD6
Pelo Excel
Além da montagem das planilhas através das fórmulas desenvolvidas ao longo do capítulo, 
o Excel permitirá o cálculo dos juros e das amortizações pelo Sistema Price através das 
seguintes funções:
1. Para o cálculo dos juros em um determinado período, utilize a função 
IPGTO(i,per,n,P,F,Tipo).
2. Para o cálculo dos juros acumulados entre dois períodos PGTOJURACUM(i,n,P,
per1,per2,Tipo) deverá ser utilizada. 
3. Para o cálculo da amortização em um determinado período. utilize 
PPGTO(i,per,n,P,F,Tipo).
4. Para o cálculo da amortização acumulada entre dois períodos, PGTOCAPACUM
(i,n,P,per1,per2,Tipo) deverá ser utilizada.
Roteiro Excel 5.1 - montagem da planilha de fi nanciamento
Observações:
• O argumento Tipo, quando igual a zero (ou omitido), calculará os valores admitindo 
séries postecipadas; quando igual a 1, admitindo séries antecipadas; nas funções 
cumulativas, não poderá ser omitido.
• O argumento F poderá ser utilizado para incluir valores quando a última prestação foi 
diferente das anteriores.
126 Copyright Ibmec
• Os argumentos i, n e P corresponderão à taxa, ao prazo e ao valor fi nanciado, 
respectivamente; per, per1 e per2, aos números das prestações para as quais deseja-se 
efetuar o cálculo.
Exemplo 5.10: Admitindo um fi nanciamento de $100,00 pelo Sistema Price, em 8 prestações 
sem entrada e à taxa de 10,00% a.p., as funções citadas poderiam ser utilizadas conforme a 
seguir (confi ra os resultados com a planilha do exemplo 5.3):
Figura 5.4 – Funções de amortização no Excel – exemplo de utilização
127Copyright Ibmec
Unidade 3: Uso de Taxas Não Efetivas
Nesta unidade, será apresentado outro grupo de questões 
usuais da matemática fi nanceira que se caracteriza por envolver 
operações relacionadas às taxas de juros. Dentre os motivos 
que justifi cam seu estudo, estão:
• a prática pelo mercado fi nanceiro de taxas nem sempre 
expressas em termos efetivos;
• a incidência dos impostos, aumentando o custo dos 
fi nanciamentos ou diminuindo a rentabilidade das 
aplicações;
• a necessidade de uma base de comparação para os que 
trabalham no mercado, onde os diversos produtos são 
negociados através de suas taxas, e não de seus valores.
Comparação entre taxas de juros
Na comparação de duas ou mais taxas de juros quaisquer, será necessário obedecer a alguns 
critérios. Dentre os quais, destacam-se:
• Critério 1: As taxas objeto de comparação deverão estar expressas no mesmo prazo.
• Critério 2: As taxas deverão ser do mesmo tipo.
• Critério 3: As aplicações a que se referem as taxas deverão ter o mesmo número de 
dias úteis.
• Critério 4: Os valores sobre os quais as taxas de juros incidem deverão ser idênticos.
Veja, nos exemplos seguintes, cada um dos critérios assinalados.
Exemplo 5.11 – Critério 1: Um cliente tomou um empréstimo por 30 dias, à taxa de 2,50% 
ao período (em termos brutos). Verifi que se teria sido melhor ter feito o empréstimo em outro 
banco que cobrasse a taxa de 30,00% a.a.
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 Solução: Para efetuarmos a comparação, transformaremos os 2,50% em uma 
taxa anual ou os 30,00% em uma taxa mensal (por 30 dias). Adotando este último critério, 
utilizaremos a relação de taxas equivalentes para chegaremos a:
 %21,2100130,1i 360
30
d30
 Conclusão: Como 30,00% a.a. equivale a 2,21% a.m., melhor teria sido o cliente ter 
procurado outro banco e assim pagar menos.
Exemplo 5.12 – Critério 2: No jornal de hoje, você leu que a Caderneta de Poupança pagará 
1,80% para os próximos 90 dias. Ao comparecer à agência de seu banco, o gerente ofereceu-lhe 
um CDB de 30 dias que irá remunerar-lhe 1,90%. Qual a melhor alternativa de investimento?
 Solução: À primeira vista, a poupança seria a pior alternativa. Entretanto, se 
considerarmos que a taxa oferecida pelo CDB estará sujeita à incidência do Imposto de 
Renda, enquanto que a taxa da poupança é isenta deste tributo, chegaremos à conclusão 
oposta: supondo, por exemplo, a alíquota de 20,00% sobre o ganho oferecido pelo CDB, 
veremos que a aplicação dos recursos neste produto levará o investidor a obter 1,52% (=1,90 
- 1,90 × 20,00%) em termos líquidos, o que o torna uma alternativa inferior à poupança.
Exemplo 5.13 – Critério 3: Duas aplicações de renda fi xa, 
pelo prazo de 31 dias, feitas no mesmo banco, rendem 0,05% 
por dia útil. Um indivíduo que compareça à sua agência para 
aplicar em 02/01/2009, resgatará, em 02/02/2009, o valor 
que aplicou acrescido de 1,0553% de juros; outro indivíduo 
que compareça à mesma agência em 06/01/2009, resgatará, 
em 06/02/2009, o valor que aplicou acrescido de 1,1563% 
de juros. À primeira vista, parece que o segundo investidor 
levou vantagem sobre o primeiro, pois conseguiu rendimento 
superior em 31 dias. Uma análise mais cuidadosa, entretanto, 
evidenciará que o segundo investidor recebeu rendimento 
superior, pois aplicou por um período com mais dias úteis do 
que o do primeiro: de 02/01/2009 a 02/02/2009 houve 21 dias 
úteis, e de 06/01/2009 a 06/02/2009, 23dias úteis.
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 Conclusão: O exemplo analisado evidencia que, ainda que duas taxas estejam 
expressas no mesmo prazo, a comparação pura e simples destas taxas poderá causar 
distorções: apesar das aplicações anteriores garantirem remuneração idêntica, de 0,05% 
a.d.u., há uma ilusão de que a iniciada em 02/01/2009 renda menos, tomando-se por base a 
taxa do período. O mesmo tipo de ilusão pode ser observado em informações do tipo: "o melhor 
dia para aplicar na poupança será o dia 12...", "os CDB das sextas-feiras rendem menos..." 
etc. Por esta razão, é praxe, entre os que lidam com produtos fi nanceiros de investimento, 
anualizar a rentabilidade por dia útil, considerando o ano com 252 dias úteis. A esta taxa 
também se dá o nome de taxa-over. 
Exemplo 5.14: Suponha que você possua $200.000,00 e esteja analisando duas propostas:
• Adquirir um terreno hoje por $100.000,00 que, daqui a exatamente um ano, poderá ser 
vendido por $150.000,00.
• Adquirir um galpão industrial hoje por $200.000,00 que, daqui a exatamente um ano, poderá 
ser vendido por $280.000,00.
Qual a melhor opção de investimento? Para simplicidade da análise, assuma que suas 
expectativas quanto aos preços futuros de venda estejam absolutamente corretas, que não 
haja outras oportunidades de investimento além das duas citadas, que você não possa tomar 
recursos emprestados e que, atualmente, os $200.000,00 não estejam aplicados.
 Solução: Se calcular as taxas de retorno para as duas propostas, encontrará, 
respectivamente, i1=50,00% a.a. e i2=40,00% a.a. Considerando que, atualmente, seu dinheiro 
não está aplicado, ambas são viáveis e, caso você possuísse $300.000,00, recomendaríamos 
a aquisição dos dois imóveis.
Infelizmente, você possui somente $200.000,00 e, dada a impossibilidade de tomar recursos 
emprestados, forçosamente terá que optar pela aquisição de um dos dois (tecnicamente, as 
duas propostas são denominadas mutuamente excludentes, ou seja, realizando uma você 
não poderá realizar a outra, e vice-versa). À primeira vista, a proposta com maior retorno 
poderia parecer a melhor opção. Entretanto, se comparar o montante que você terá daqui a 
um ano se investir em cada uma delas, chegará à conclusão distinta:
• Pela primeira proposta, ao adquirir o terreno, você deixará $100.000,00 parados. 
Consequentemente, após a venda do terreno, ao fi nal do primeiro ano, você possuirá 
$250.000,00 (=$150.000,00+$100.000,00).
130 Copyright Ibmec
• Pela segunda proposta, após a venda do galpão ao fi nal do primeiro ano, você 
possuirá $280.000,00.
 Conclusão: Diante das alternativas apresentadas, a melhor proposta será a aquisição 
do galpão, porque, mesmo apresentando uma rentabilidade inferior à oferecida pela aquisição 
do terreno, permitirá a aplicação dos 40,00% sobre a totalidade dos recursos, enquanto que a 
outra proposta permitirá a aplicação dos 50,00% apenas sobre parte dos recursos.
Observações:
• A distorção apresentada poderá ocorrer desde que tenhamos propostas mutuamente 
excludentes com fl uxos iniciais distintos.
• No caso das aplicações fi nanceiras em geral (CDB, Fundos e outras), ainda que 
mutuamente excludentes, a limitação quanto ao investimento inicial difi cilmente ocorrerá. 
Exemplifi cando: se as duas propostas anteriores se referissem a dois CDB de dois 
bancos distintos, assumindo riscos idênticos, a melhor opção seria a primeira, neste 
caso, aplicando-se $200.000,00 no CDB do primeiro banco.
Tipos de taxa de juros
Aprofundando nossa análise para o segundo critério, é importante sabermos de antemão os 
tipos de taxas que nos estão oferecendo para, antes da comparação, podermos convertê-las a 
um único tipo. No quadro abaixo, estão as diversas categorias de taxas e suas "contrapartidas". 
Note que as categorias não são necessariamente mutuamente exclusivas: uma taxa poderá 
ser efetiva e líquida, por exemplo.
taxa efetiva taxa nominal
taxa efetiva taxa de desconto
taxa aparente taxa real
taxa bruta taxa líquida
taxa pós taxa pré
Tabela 5.6 – Modalidades de taxas de juros
131
Taxas nominais ou efetivas?
As principais divergências entre as taxas nominais e as efetivas estão resumidas na tabela 
a seguir:
Item Taxa Nominal Taxa Efetiva
símbolo iNOM i
defi nição
Prazo da Taxa não coincide 
com prazo da capitalização
prazo da taxa coincide ou é 
taxa equivalente à taxa dada
exemplo 6,00% a.a. capitaliz.mens. 45,00% a.a.
produtos SFH, poupança etc. CDB, empréstimos etc.
importante esconde o que anuncia aparentemente cobra/paga
Tabela 5.7 – Taxas nominais × taxas efetivas
Observações:
• Muitos textos utilizam o termo “nominal” de forma imprecisa, para caracterizar taxas 
de desconto, taxas aparentes e outras modalidades. Para evitar confusões quanto à 
nomenclatura, é utilizada, neste curso, a defi nição clássica, adotada pelos textos em 
Finanças, pelas calculadoras fi nanceiras e pelo Excel.
• Os casos mais comuns deste tipo de taxa são as taxas anuais com capitalizações em 
prazos menores do que um ano.
Diante de um problema que envolva uma taxa nominal, converta-a, primeiramente, em efetiva, 
dividindo-a pelo número de capitalizações existentes no prazo da taxa e, em seguida:
• Se o problema envolver a determinação de taxas, utilize a relação de equivalência de 
taxas (vide exemplo 5.15). 
• Se o problema envolver fl uxos de caixa, trabalhe com o valor encontrado como sendo a 
taxa i (vide o exemplo 5.16).
Exemplo 5.15 – Conversão de taxa nominal anual para taxa efetiva: Os juros reais que 
remuneram a poupança são de 6,00% a.a. capitalizados mensalmente. Qual é a taxa efetiva 
anual para um investidor que aplique pelo prazo de um ano?
132 Copyright Ibmec
 Solução – Taxa efetiva anual: Em um ano, 
ocorrem 12 capitalizações; a taxa efetiva mensal será, 
portanto, de 6÷12=0,50% a.m. [(1+i)=1,005], o que, em 
termos anuais, equivalerá a, aproximadamente, 6,17% 
a.a., obtidos através de:
i%aa(efetiva) = (1,00512 −1) × 100 = 6,17%aa
 Conclusão: Se um investidor aplicar $100,00 
em uma poupança, ao fi nal de um ano resgatará $106,17 
(rentabilidade efetiva) e não $106,00 (rentabilidade nominal).
Exemplo 5.16 - DFC envolvendo taxa nominal: Determine o valor de resgate de uma aplicação 
de $100,00, por um prazo de 5 anos, à taxa de 24,00% a.a. capitalizados mensalmente.
 Solução: O DFC à esquerda da fi gura a seguir ilustra o enunciado. Como a taxa está 
expressa em termos nominais, deve-se transformá-la inicialmente em uma taxa efetiva pelo 
prazo da capitalização, encontrando i=2,00% a.m. (=24÷12). Em seguida, faremos: P=100,00; 
i=2,00% a.m.; n=60 meses, encontrando F (=328,10) através da sequência HP-12C: 100 
<CHS> <PV> 2 <i> 60 <n> <FV>.
Figura 5.5 - DFC envolvendo taxa nominal
P=100
n=5a
F=?
iNOM=24%aa cap. mensal
P=100
=
n=60m
F=?
i=2%am
133Copyright Ibmec
Taxas de desconto ou efetivas?
Um outro exemplo de taxa bastante difundida no mercado é a taxa de desconto comercial 
utilizada em operações mercantis e fi nanceiras, mas que difere da taxa efetiva i, conforme 
ilustra a Tabela 5.8:
Item Taxa de Desconto Taxa Efetiva
símbolo d i
defi nição
transforma valor futuro em valor 
presente
transforma valor presente 
em valor futuro
regime juros simples juros compostos
produtos
duplicatas, promissórias, títulos 
públicos, operações comerciais etc.
CDBs, empréstimos etc.
observação
também chamada de taxa de 
deságio, esconde a taxa efetiva 
sendo paga ou cobrada
explicita a taxa sendo 
cobrada ou paga
Tabela 5.8 – Taxas de desconto × taxas efetivas
O diagrama abaixo ilustra a diferença básica entre i e d, admitindo que ambas estejam 
expressas no período.
Figura 5.6 – Relacionamento entre i% e d%
Observações:
• Uma operação envolvendo a taxa de desconto d% é também chamada de desconto 
comercial, desconto bancário ou desconto por fora. 
d%
i%
F
P
134 Copyright Ibmec
• A taxa d% poderá ser utilizada adotando-se o critério dos juros simples ou 
adotando-se o critério dos juros compostos, originandoos descontos comerciais simples 
ou compostos.
• Outra forma de se proceder a um desconto é através da utilização da própria taxa i, 
trazendo-se o valor futuro F da fi gura 5.6 à data-zero através de sua divisão por (1+i). 
Neste caso, o desconto será denominado desconto racional ou desconto por dentro.
• Dependendo da forma como se utilize a taxa i nos descontos racionais, chega-se aos 
descontos racionais simples ou compostos.
• As operações de desconto racional não merecem maior atenção, já que equivalem aos 
problemas vistos anteriormente (do tipo achar P sendo dado F, n e i).
• No Brasil, a modalidade de desconto mais utilizada é a comercial.
Exemplo 5.17 - Operações comerciais (desconto 
comercial simples): Se, ao pagar um bem à vista, houver 
um desconto de 20,00% sobre o preço anunciado, qual a 
taxa de juros ao período embutida na operação?
 Solução: Se o bem estiver anunciado por $100,00, 
será adquirido à vista por $80,00, o que signifi cará, portanto, 
uma taxa efetiva de 25,00%, obtida pela resolução do DFC-
Padrão (A) com P=80,00; F=100,00 e n=1 (em uma HP-12C 
utilize o ∆%).
Exemplo 5.18 - Desconto de Duplicata: Suponha que 
uma empresa possua uma duplicata no valor de $20.000,00 
com vencimento para daqui a 75 dias. Calcule o valor que a 
empresa receberá ao descontar a duplicata, sabendo que a 
taxa d% cobrada pelo banco é de 15,00% a.m. Determine, 
ainda, a taxa efetiva, em termos mensais.
 Solução: Cálculo do Desconto D: A taxa fornecida é uma taxa de desconto e, 
portanto, deverá incidir sobre o valor futuro, no caso o valor de face da duplicata; encontraremos 
D da mesma forma que calcularíamos o valor dos juros no regime de juros simples:
 00,07.50
30
75,00
100
15,0020.000,00ndFD
135Copyright Ibmec
Valor líquido recebido:
 00,500.1200,500.7020.000,0DFP
Taxa efetiva mensal: quem recebe hoje $12.500,00, comprometendo-se a pagar $20.000,00, 
daqui a 2 meses e meio, está, na realidade, pagando 20,68% a.m. de juros, obtidos pela 
resolução de um DFC-Padrão (A), onde P=12.500,00; F=20.000,00; n=2,5. Confi rme com sua 
HP-12C.
Taxas reais ou aparentes?
Uma taxa de juros será denominada real quando excluir a infl ação de seu cálculo, sendo 
chamada de aparente caso contrário. Ora, considerando que a infl ação é defi nida como o 
aumento sistemático dos preços e serviços da economia, é razoável que as avaliações de 
investimento sejam feitas excluindo se tais efeitos, evitando-se assim as falsas noções de 
ganhos (ilusão monetária).
Exemplo 5.19: Se um aplicador recebeu 50,00% após um ano de investimento, podemos 
afi rmar que ele obteve algum ganho?
 Solução: Aparentemente, o investidor obteve ganho da ordem de 50,00%. Mas uma 
resposta mais adequada irá depender da infl ação verifi cada no período. Por exemplo: caso 
a infl ação tenha sido de 10,00%, o investidor terá obtido ganho, conclusão oposta a que 
chegaria se a infl ação fosse de 100,00%.
Para transformar uma taxa aparente em uma taxa real, deveremos utilizar a expressão seguinte:
Fórmula 5.3 – Taxa real × taxa aparente
Exemplo 5.20 – Determinação da taxa real de juros: Se uma aplicação rendeu 56,00% em 
um período em que a infl ação foi de 30,00%, qual o ganho real do investidor?
 Solução: Resolvendo pela fórmula “taxa real x taxa aparente”, chega-se a 20,00% a.p. 
Uma das formas de interpretar o valor está ilustrada na fi gura seguinte, onde assume-se que, 
face à infl ação, um bem que em t=0 custava $1,00, passou em t=n a custar $1,30.
 
INFL
APAR
REAL i1
i1i1
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10
$156
Ganho real: 20 unidades
$100
100 unidades a $1,00
120 unidades a $1,30
Figura 5.7 – Interpretação da taxa real de juros
Taxas brutas ou líquidas?
Para as aplicações fi nanceiras, diremos que uma taxa é líquida quando todos os impostos, 
tarifas e demais encargos incidentes sobre a aplicação já houverem sido descontados do 
rendimento total; caso os descontos não tenham sido efetuados, a taxa será denominada bruta.
Exemplo 5.21 – Tributação nas operações de renda fi xa: Atualmente, as aplicações 
fi nanceiras de renda fi xa estarão sujeitas à cobrança de 20,00% (alíquota hipotética) a título 
de imposto de renda, por ocasião do resgate. Determine a taxa líquida que irá remunerar o 
investidor de um CDB de 30 dias cotado a 1,5309% a.p.
 Solução: O IR somente incidirá sobre a rentabilidade da operação ao período; sendo 
assim, determine a taxa líquida retirando o imposto:
 
ap%2248,1
100
2015309,1ap%i LIQ
Observe que os 0,3062% a.p. de diferença serão pagos como IR. Note, ainda, que a rentabilidade 
de 1,2248% será uma taxa líquida (=sem imposto) e aparente (=não foi descontada a infl ação).
Exemplo 5.22 – Rentabilidade líquida em operações com ações: Em 12/05, você adquiriu 
ações da Empresa XYZ, cotadas a $10,00; hoje, dia 20/07, estas ações estão cotadas a 
$11,00. Sabendo-se que a corretagem é de 2,00% sobre os valores negociados, e o IR de 
10,00% sobre o lucro da operação (já deduzido das despesas de corretagem), determine a 
taxa líquida a ser recebida caso você venda suas ações hoje (alíquota hipotética).
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 Solução:
Cálculo do Preço Final de Aquisição:
 20,1002,0100,10P
Cálculo do Preço Final de Venda:
 78,1002,0100,11F
Ganho Bruto:
 
..%69,51001
20,10
78,10 paiBRUTA
Ganho Líquido:
 ..%12,510,0169,5 paiLIQ
Taxas pré ou pós-fi xadas?
Talvez, em decorrência do grande período em que vivemos sob o cenário fortemente 
infl acionário, ainda hoje há operações fi nanceiras onde as taxas oferecidas são expressas na 
modalidade pós-fi xada. 
Diferentemente do que ocorre em uma operação pré-fi xada, onde o investidor, de antemão, 
sabe a rentabilidade que irá receber, uma taxa será pós-fi xada quando, no momento em que 
a operação for realizada, o investidor souber apenas a parcela real da taxa de juros, fi cando 
o restante de sua rentabilidade vinculado à variação de algum índice. Como consequência 
desta defi nição, o cálculo da rentabilidade em uma operação pós-fi xada somente poderá ser 
efetuado após a divulgação do índice pactuado na transação. 
Exemplo 5.23 – Títulos pós-fi xados: Um CDB adquirido em 02/01/03 remunera à taxa de 
2,18% a.p. acrescido da variação do IGPM. Calcule seu preço unitário em 02/04/03, sabendo-se 
que o IGPM para os meses de janeiro, fevereiro e março deste ano foi, respectivamente, de 
3,75%, 2,33% e 2,28%.
 Solução: Assumindo a aplicação de $1,00, deve-se corrigir o valor e ainda remunerar 
o investidor pela parcela dos juros reais de 2,18%:
1095,10218,10228,10233,10375,1F
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Resumo
Neste módulo, complementamos o estudo da matemática fi nanceira avaliando os modelos de 
amortização e de taxas de juros.
Com relação aos sistemas de amortização, vimos como determinar os componentes de 
cada prestação nos fi nanciamentos e o saldo devedor a cada instante, além de metodologia 
específi ca de cálculo pela HP-12C e pelo Excel.
Quanto às taxas de juros, apresentamos os principais critérios que deverão ser adotados na 
comparação – prazos, tipos, valores iniciais e números de dias úteis compatíveis – bem como 
detalhamos os tipos e operações usuais no mercado, tais como: utilização de taxas nominais, 
descontos comerciais, operações com títulos de renda fi xa, taxas reais, taxas líquidas, taxas 
pré ou pós-fi xadas.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ZENTGRAF, Roberto. Matemática fi nanceira objetiva. 7ª Edição. Rio de Janeiro: Editoração 
Ed. E ZTG Ed, 2008.
ZENTGRAF, Roberto. O guia prático de fi nanças pessoais do Roberto Zentgraf. Editora 
Campus, 2009.
GIAMBUAGI, Fábio; ZENTGRAF, Roberto. O futuro é hoje. Editora Campus, 2010.