Matemática financeira

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Matemática financeira
Conceitos fundamentais
- Possui no dinheiro e no tempo os seus objetivos de trabalho e estudo.
- Outra instituição muito relacionada a matemática financeira é os bancos. Os fenícios foram os primeiros a realizar operações bancarias. O nome “banco” foi dado pelos romanos, significando a mesa onde eram realizadas as operações com moedas.
O sistema financeiro mundial
- Composto por agentes financeiros internacionais, podemos destacar o Fundo Monetário Internacional (FMI), o Banco Mundial, o Banco de Compensações Internacionais (BIS), os bancos centrais e ministérios de finanças dos diversos países e as instituições financeiras privadas internacionais.
- FMI: seu objetivo é prevenir desequilíbrios no setor financeiro e nos sistemas de câmbio atrapalhem o crescimento do comércio entre os diversos países. 
- Banco Mundial: tem o objetivo de financiar projetos de crescimento econômico e ajuda financeira a países em desenvolvimento.
- Banco de Compensações Internacionais: tem o objetivo de promover a cooperação monetária e financeira internacional e agir como o banco central dos bancos centrais.
O Sistema Financeiro Brasileiro
- Composto por diversas instituições (publicas e privadas) que têm por finalidade controlar, fiscalizar e geria a moeda e o credito no Brasil.
- Podemos dividir em 3 partes:
1. Entidades normativas - definem as politicas e diretrizes mais amplas do sistema financeiro: Conselho monetário nacional, conselho nacional de seguros privados, conselho nacional de previdência complementar;
2. Entidades supervisoras - fiscalizam e normatizam as instituições financeiras sobe sua responsabilidade: banco central do brasil, comissão de valores mobiliários, superintendência de seguros privados, superintendência nacional de previdência complementar;
3. Entidades operadoras – intermediação financeira entre os agentes do mercado: bancos comerciais, bancos de investimento…
- As decisões tomadas pelos componentes do sistema financeiro, refletem diretamente na atividade econômica brasileira.
- A expressão “valor do dinheiro no tempo” significa que você pode ganhar juros investindo o seu real em uma aplicação financeira. Deste modo, ao final de algum tempo, você terá mais de um real.
Consumir ou investir?
- Devemos saber quando gastar e quando poupar o seu dinheiro e isso é uma decisão importante com reflexos a longo prazo.
- Os juros são a remuneração de um investimento, isto é, o custo do dinheiro no tempo, podendo ser influenciado por diversos fatores, como: inflação, risco, oportunidades de investimento…
Nomenclatura e Conceitos
- Juros (J): consiste na remuneração de um capital. É a remuneração pela escolha de se adiar o consumo, pela concessão de um empréstimo do dinheiro ou financiamento. 
- Capital, ou Valor Presente (P ou VP): valor inicial de uma aplicação, investimento ou financiamento. É um recurso monetário, operacionalizado da data zero. 
- Taxa (i): é o coeficiente a partir da razão de Juros (J) com Capital (C).
- Prazo ou tempo ou período (n): é o tempo que um determinado capital, aplicado a uma dada taxa de juros (i), necessita para formar um montante. Os períodos devem ser inteiros ou fracionários. 
- Montante (M) ou Valor Futuro (Fn ou VF): consiste da acumulação do capital aplicado com a sua remuneração ou juros. 
Regime de capitalização simples
- Os juros de cada período são calculados sobre o mesmo principal, ou seja, os juros são aplicados sobre o valor inicial aplicado.
- Os juros sempre são aplicados sobre o valor inicial aplicado.
Qual a diferença entre juros e taxa de juros
- Taxa de juros pode ser: taxas nominais, proporcionais, equivalentes, brutas, liquidas…
- Juros é o custo do capital que se pede emprestado;
- Juros é a remuneração de um capital aplicado em uma atividade de produção;
- Juros é o dinheiro pago por um banco quando aplicamos o nosso capital em um investimento financeiro.
- Os juros medem os riscos que um investidor de capital está disposto a correr quando empresta o seu dinheiro a alguém. 
- Quanto maior o risco, maior a taxa de juros.
- Risco de credito: associado à dificuldade do tomador do empréstimo em pagar;
- Risco de liquidez: associado ao atraso do pagamento de uma divida;
- Risco de mercado: associado ao impacto que a inflação tem no capital emprestado. 
- Risco operacional: associado a perdas determinadas por erros operacionais cometidos pelo tomador do empréstimo;
- Risco país: associado à situação econômica do país;
- Risco cambial: variação do cambio 
- Risco legal: associado a problemas ou limitações da legislação;
Regime de capitalização composto
- Os juros calculados em um determinado período são incorporados ao principal e passam a fazer parte da base para o calculo dos juros no períodos seguinte. É o que chamamos de juros sobre juros.
- Aplica o juros (J=Vp x i) em cima do valor final do primeiro mês e não em cima do valor presente. 
Desconto composto comercial
- Aplica-se uma taxa de desconto composto diretamente sobre o valor nominal do titulo, obtendo o valor atual.
Desconto composto racional
- Aplica-se o valor atual do titulo uma taxa de juros compostos que resulte no valor nominal
Taxa de juros efetiva, equivalente, bruta e liquida
- Taxa nominal: taxa de referencia, em que o prazo a que a taxa se refere é diferente do período de capitalização (ex 36% aa, capitalizados mensalmente)
- Taxa proporcional: taxa nominal dividida pela fração do tempo na qual se deseja expressar a taxa proporcional (36% aa capitalizados mensalmente, a taxa proporcional será de 36/12 = 3%am)
- Cálculo do Valor Futuro e dos juros a partir de taxas nominais no regime de capitalização composto
Fn: valor futuro do capital apos n períodos de aplicação
P: capital aplicado
j: taxa de juros nominal
k: quantidade de períodos de capitalização no prazo referenciado na taxa nominal
n: numero de períodos
j/k também é chamado de taxa proporcional
- Taxa efetiva: para um determinado período é simplesmente capitalizar a taxa proporcional pelo numero de períodos desejados:
i: taxa de juros efetiva
j: taxa de juros nominal
k: quantidade de períodos de capitalização no prazo referenciado na taxa nominal
n: numero de períodos de capitalização para a aplicação da taxa efetiva
- Taxa equivalente: são taxas que, ao incidirem sobre um mesmo capital durante um mesmo numero de períodos, levam a valores futuros idênticos no regime de capitalização composto
ia: taxa efetiva anual
is: taxa efetiva semestral
it: taxa efetiva trimestral
im: taxa efetiva mensal
id: taxa efetiva diária
 Taxa bruta x Taxa Liquida
- Rendimento bruto é calculado sem considerar o imposto de renda retido, ou seja, a taxa de juros bruta do investimento
- Rendimento liquido é calculado levando em conta o imposto de renda retido na fonte por seu banco, ou seja, taxa de juros liquida do investimento
Taxa bruta = (Valor aplicado/valor recebido) – 1
Rendimento mensal = valor recebido – valor aplicado
IR = rendimento mensal * i
Rendimento liquido = rendimento bruto – IR
Taxa liquida = rendimento liquido/valor aplicado
Taxa real x taxa aparente
- Rendimento real é aquele que desconta o efeito da inflação no período. Este rendimento é medido pela taxa de juros real
- o rendimento aparente não leva em conta o efeito da inflação no período. Este rendimento é medido pela taxa de juros aparente
Iap: juros aparente
Ire: juros real
L: inflação 
SÉRIES DE PAGAMENTOS E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
- Uma série de pagamentos, também conhecida como “anuidade”, relaciona-se às saídas de recursos financeiros do seu caixa.
- Tipos de séries de pagamentos:
1. Quanto à periocidade:
a. Séries aperiódicas: não obedecem a um padrão de tempo entre cada pagamento;
b. Séries periódicas: um tempo igual entre cada pagamento.
2. Quanto ao prazo:
a. Séries finitas: tem prazo de termino conhecido;
b. Séries perpetuas: uma série infinita de pagamentos.
3. Quanto aos valores
a. Séries constantes, homogêneas ou uniformes: todos os valores de pagamento são iguais;
b. Séries variáveis, heterogêneas ou não uniformes: pelo menos umpagamento apresenta valor diferente dos demais.
4. Quanto ao inicio dos pagamentos
a. Antecipada: o primeiro pagamento acontece no ato da compra. Também conhecida como “com entrada”. Não confundir com uma entrada que pode assumir um valor maior ou menos que as dos pagamentos em série.
b. Postecipada: o primeiro pagamento acontece um período apos o inicio da contratação do credito. Também conhecida como “sem entrada”.
c. Diferida: existe um período de carência, maior que o período de cada pagamento, para a ocorrência do primeiro pagamento. Podendo ser:
i. Antecipada: o primeiro pagamento acontece imediatamente após o período de carência;
ii. Postecipada: o primeiro pagamento acontece um período apos o termino do período de carência.
PV: valore presente (à vista)
PMT: Valor da parcela
i: taxa de juros
n: quantidade de parcelas
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
- O que é amortização: quando se contrata um empréstimo ou financiamento, o tomador do crédito deverá pagar ao seu credor, além do valor emprestado (principal dívida), o aluguel pelo uso do dinheiro no período contratado (juros). Os pagamentos (prestações) consistem na soma da amortização com os juros. É o pagamento efetivo de uma dívida, e não deve ser confundida com a prestação. Consiste no pagamento do valor principal da dívida.
Ou
· Sistema de amortização constante – SAC
- A amortização será constante ao longo de todo o prazo de pagamento.
· Sistema de Amortização Francês (Tabela Price) – TP
- Prestações constantes. É utilizado para a maioria das operações do comércio no varejo: crédito consignado, crédito pessoal, financiamento de carros, parcelamento com cartão de crédito…
· Sistema de amortização misto – SAM
- A média aritmética dos dois modelos anteriores (SAC e TP).
· Sistema de amortização americano – SAA 
- Modalidade mais voltada a empresas que necessitam de mais prazo para poderem realizar seus pagamentos.
· Sistema de amortização americano – SAA 
- Se assemelha ao caso anterior com a exceção de que nem os juros serão pagos ao longo dos meses, o que fará o saldo devedor subir
VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)
· Como posso alterar o perfil de uma dívida sem pagar a mais por isso?
- O VPL de um fluxo de caixa é uma das principais medidas de resultado de um empreendimento, sendo amplamente utilizado por empresas e analistas financeiros em todo o mundo. 
- O VPL se refere a encontrarmos o valor “hoje” de um recurso financeiro no futuro, descontado a uma taxa de juro. 
- O termo “líquido” é a diferença entre recebimentos e pagamentos. Se retirarmos os pagamentos dos recebimentos, teremos o que de fato sobrou, o valor liquido. 
I = investimento inicial (CF0)
FCt = fluxo de pagamento no tempo t (CFj)
t = tempo (n)
K = taxa de juros (i)
- A taxa de desconto que produz a anulação do VPL é chamada de Taxa Interna de Retorno (TIR).
- Payback – tempo de retorno de um investimento: é um indicador financeiro que representa o tempo de retorno de um investimento, servindo para analisar a viabilidade de um investimento de acordo com seu prazo de retorno.
TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)
I = investimento inicial (CF0)
FCt = fluxo de pagamento no tempo t (CFj)
t = tempo (n)
i = TIR (i)
- Taxa < TIR: fazer o projeto
Taxa = TIR: indiferente
Taxa > TIR: não fazer o projeto
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAL
- Podemos deslocar o dinheiro ao longo do tempo livremente, seja para o futuro (capitalização) seja para o presente (descapitalização ou desconto), desde que sempre os valores sejam tratados com as devidas compensações e a taxa de juros seja sempre a mesma.