Lista 51 - Círculo e Circunferência

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Lista 51 
Círculo e Circunferência 
 
Texto retirado de BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 8º ano. 1ª edição. São Paulo: Scipione, 2015. Págs. 200 e 201. 
 
 Não é possível determinar quando o ser humano começou a usar a forma 
redonda em suas construções, mas é certo que há milhares de anos já se construíam 
casas com a base circular, tal como são as habitações de alguns povos indígenas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A tomada de consciência das propriedades da circunferência parece ter 
surgido com a invenção da roda, quando foi observada uma característica importante: 
a roda tem largura constante. Essa propriedade tornou possível transportar pedras 
pesadas, deslizando-as sobre toras de madeira, que funcionavam como ‘rodas’. Essa 
mesma ideia ainda é utilizada na retirada de jangadas do mar. 
 
 
 
Diversos Círculos (1926), 
obra de Wassily 
Kandinsky (1866 – 1944) 
Blaze (1964), obra de 
Bridget Riley (1931). 
Habitação indígena da aldeia 
Kamayurá, Parque do Xingu, 
Mato Grosso, 2014. 
Foto aérea da aldeia indígena do 
alto do rio Demene, entre os 
estados de Roraiama e 
Amazonas, Brasil, 2012. 
Utilização de toras de madeira para transportar 
uma pedra. 
Jangada apoiada em toras 
de madeira. 
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 Com o tempo o ser humano percebeu que, se cortasse fatias das toras, poderia 
construir rodas. 
 Nesta lista estudaremos um pouco mais sobre o círculo e a circunferência. 
 
Circunferência: Elementos e obtenção 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 8. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Págs. 234 e 235. 
 
 Com o auxílio de um compasso, podemos desenhar uma circunferência numa 
folha de papel. Ao posicionarmos a ponta-seca do compasso em determinado ponto 
(o ponto representará o centro) e girarmos o compasso com uma abertura 
previamente escolhida (a medida da abertura chama-se raio), traçamos na folha uma 
circunferência. 
 
Circunferência é o conjunto de pontos de um plano que estão situados a uma 
mesma distância de um ponto fixo desse plano. 
 
 
 
• O ponto fixo é o centro da circunferência. 
• A distância de um ponto da circunferência ao seu centro é denominada raio 
da circunferência. 
• O dobro da medida do raio é conhecido como diâmetro da circunferência. 
 
 Observe que a circunferência é apenas a linha. Quando ligamos dois pontos 
quaisquer pertencentes à circunferência por meio de um segmento, traçamos uma 
corda da circunferência. 
 
Corda de uma circunferência é qualquer segmento que apresenta as duas 
extremidades pertencentes à circunferência. 
 
 Veja o exemplo abaixo. 
 
Exemplo 01: 
 Na circunferência abaixo, são exemplos de cordas: 
• Corda AB; 
• Corda CD; 
• Corda EF. 
 
 
 
Observações! 
• Quando uma corda de circunferência passa pelo seu centro, ela é um diâmetro. 
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Círculo: Partes de um Círculo 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 8. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Pág. 237. 
 
 Quando consideramos todos os pontos de uma circunferência e também 
aqueles que são internos à circunferência, temos um círculo. Dessa forma, círculo é 
uma região limitada por uma circunferência. 
 
 
 
Círculo é uma região plana formada por todos os pontos da circunferência e 
também pelos pontos interiores a circunferência. 
• O centro, o raio e o diâmetro do círculo, correspondem ao centro, ao raio e 
ao diâmetro da circunferência. 
• Uma corda numa circunferência é também uma corda no círculo de mesmo 
centro e mesmo raio. 
• Um diâmetro divide o círculo em duas partes iguais denominadas 
semicírculos. 
 
 
 Além do semicírculo, há algumas partes do círculo que recebem 
denominações. 
 
 
 
 Quando dois pontos distintos são marcados em uma circunferência, ela fica 
dividida em duas partes que são conhecidas como arcos de circunferência. 
Considerando a parte do círculo formada por todos os pontos limitados pelo arco AB 
da circunferência, o segmento AO e o segmento OB, temos um setor circular. 
 
Setor circular AOB é o conjunto formado por todos os pontos que estão no 
interior do ângulo AÔB e nos raios OA e OB, do círculo de centro no ponto O. 
 
Observações! 
• Uma vez marcados os pontos A e B na circunferência acima, surgem dois setores 
circulares que podem ser identificados como setor AOB (aquele que está em azul) 
e aquele que está em branco. 
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POSIÇões relativas entre ponto e circunferência 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 8. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Pág. 235. 
 
 Ao desenharmos uma circunferência numa folha de papel, temos pontos que 
pertencem à circunferência, pontos que estão na região limitada pela circunferência 
e pontos que são externos à circunferência. Assim, para sabermos qual é a posição 
relativa de um ponto e uma circunferência, basta compararmos a distância do ponto 
ao centro da circunferência. São três possibilidades que podem ser resumidas no 
exemplo a seguir. 
 
 
 
 Vamos observar as posições de três pontos em relação à circunferência de 
raio r indicada a seguir. 
 
• 1ª possibilidade: O ponto pertence à circunferência. É o caso do ponto B. 
Observe que a distância desse ponto ao centro da circunferência é igual ao 
raio. 
• 2ª possibilidade: O ponto é exterior à circunferência. É o caso do ponto A. 
Note que a distância do ponto A ao centro da circunferência é maior que a 
medida do raio. 
• 3ª possibilidade: O ponto é interior à circunferência. É o caso do ponto C. 
Aqui a distância do ponto ao centro da circunferência é menor que a medida 
do raio da circunferência. 
 
Posições relativas de retas e circunferências 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 8. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Págs. 239 e 240. 
 
 No desenho a seguir, estão representadas três retas e uma circunferência de 
centro no ponto O e raio r. 
 
 
 
 Observe que a reta a não tem nenhum ponto em comum com a circunferência. 
A reta b apresenta dois pontos em comum com a circunferência, e, por último, a reta 
c tem apenas um ponto em comum com a circunferência. Dizemos que há três 
posições relativas entre uma reta e uma circunferência. 
 
Reta e circunferência secantes: quando a reta corta uma circunferência em 
dois pontos distintos. 
Reta e circunferência externas: quando não há ponto em comum entre a reta e 
a circunferência. 
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Reta e circunferência tangentes: quando uma reta tem um só ponto em 
comum com a circunferência. 
 
 Essas posições relativas podem também ser observadas se considerarmos a 
distância do centro da circunferência até a reta. Nesse caso, precisamos primeiro 
observar o que significa a distância de um ponto a uma reta. 
 
 
 
 A distância d do ponto P á reta t é a medida do segmento PQ perpendicular à 
reta com uma extremidade no ponto P e a outra no ponto Q (pertencente à reta). 
 Retomando as três retas e a circunferência e observando as distâncias do 
centro da circunferência a cada reta, temos as possibilidades a seguir. 
 
• Reta e circunferência secantes: a distância d do centro da circunferência 
à reta é menor que a medida do raio da circunferência, isto é: d < r. 
 
 
 
• Reta e circunferência externas: a distância d do centro da circunferência 
à reta é maior que a medida do raio da circunferência, isto é: d > r. 
 
 
 
• Reta e circunferência tangentes: a distância d do centro da circunferência 
à reta é igual à medida do raio da circunferência, isto é d = r. 
 
 
 
Observações! 
• Se uma reta é secante a uma circunferência, a reta traçada perpendicularmente à 
secante que passa pelo centro da circunferência,também passa pelo ponto médio 
da corda determinada pela secante. 
 
 
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• Se traçarmos uma reta passando pelo centro da circunferência e pelo ponto 
médio da corda determinada pela secante, essa reta será perpendicular à secante. 
• Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio da circunferência 
no ponto de tangência. 
 
 
 
• Uma reta que é perpendicular ao raio na extremidade, que não é o centro da 
circunferência, é tangente à circunferência. 
 
Posições relativas entre circunferências 
Texto retirado de GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 8. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Págs. 243 e 244. 
 
 Vimos acima que há três possibilidades em relação às posições entre uma 
reta uma circunferência: são externas, tangentes ou secantes. E quais são as 
posições relativas entre duas circunferências desenhadas num plano? 
 Veremos agora que são cinco as posições relativas. 
 
• Circunferências tangentes externamente: quando duas circunferências 
têm um único ponto em comum, e os demais pontos de uma são externos 
à outra. 
 
 
 
 No caso acima, P é o ponto comum às duas circunferências, isto é, P é 
o ponto de tangência. Ao calcularmos a distância entre os centros dessas 
duas circunferências, o resultado será a soma das medidas dos raios, isto 
é: 
 
d = r1 + r2 
 
• Circunferências tangentes internamente: quando duas circunferências 
têm um único ponto comum e os demais pontos de uma são internos à 
outra. 
 
 
 
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 Nesse caso, P é o ponto comum às duas circunferências, isto é, P é o 
ponto de tangência. Ao calcularmos a distância entre os centros dessas 
duas circunferências, o resultado será a diferença entre as medidas do 
maior e do menor raio, isto é: 
 
d = r1 - r2 
 
• Circunferências externas: quando os pontos de cada uma delas são 
externos à outra. 
 
 
 
 Nesse caso, não existe ponto em comum. Ao calcularmos a distância 
entre os centros dessas duas circunferências, o resultado será maior que a 
soma das medidas dos raios, isto é: 
 
d > r1 + r2 
 
• Circunferência interna a uma outra: quando todos os pontos de uma 
delas são internos à outra. 
 
 
 
 Nesse caso, não existe ponto em comum. Ao calcularmos a distância 
entre os centros dessas duas circunferências, o resultado será menor que 
a diferença entre as medidas do maior e do menor raio, isto é: 
 
d < r1 - r2 
 
• Circunferências secantes: quando têm em comum apenas dois pontos 
distintos. 
 
 
 
 Ao calcularmos a distância entre os centros dessas duas 
circunferências, o resultado será maior que a diferença entre as medidas 
do maior e do menor raio e menor que a soma das medidas desses raios, 
isto é: 
 
r2 – r1 < d < r2 + r1 
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Observações! 
• Duas circunferências são ditas concêntricas quando têm o mesmo centro. 
 
 
 
Razão entre as medidas em uma circunferência 
Texto retirado de BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 9º ano. 1ª edição. São Paulo: Scipione, 2015. Págs. 235 e 236. 
 
 O estudo das medidas de uma circunferência é bem antigo. 
 Na Bíblia há referências à relação entre as medidas do comprimento e do 
diâmetro de uma circunferência. Numa passagem do Antigo Testamento, conta-se 
que o rei Salomão mandou um artesão, de nome Hirão, especialista em peças de 
bronze, fazer alguns trabalhos em um templo de Jerusalém, construído entre 1014 e 
1007 a.C. No versículo 23 do capítulo 7 do livro 1 dos Reis há a descrição de um tipo 
de reservatório de forma cilíndrica: 
 
“E ele passou a fazer o mar de fundição de dez côvados de uma borda à sua outra 
borda, circular em toda volta, e sua altura era de cinco côvados e requeria um cordel 
de trinta côvados para circundá-lo em toda volta.” 
 
 O côvado era uma medida de comprimento utilizada por povos antigos que 
correspondia à distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio, que mede cerca 
de 45 cm. 
 Vamos interpretar matematicamente este trecho: 
 
“[...] dez côvados de uma borda à sua outra borda” 
 
 
 
“[...] e requeria um cordel de trinta côvados para circundá-lo em toda a volta.” 
 
 
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 De acordo com a Bíblia, o comprimento da circunferência (C) é igual a 3 vezes 
a medida do diâmetro (d). 
 
 
 
 Supõe-se, portanto, que há alguns milênios já se sabia que a razão entre o 
comprimento e o diâmetro de uma circunferência é um número constante, ou seja, 
tem sempre o mesmo valor. 
 Experimento medindo e calculando a razão de formas circulares. 
 
 
 
 Sabendo que a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro 
era de aproximadamente 3, os matemáticos se dedicaram a determinar valores cada 
vez mais precisos, para a constante, que passou a ser conhecida como “pi” e cujo 
símbolo é a letra grega p. 
 
Aproximações de p na história da matemática 
Texto retirado de BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 9º ano. 1ª edição. São Paulo: Scipione, 2015. Págs. 237 e 238. 
 
 A descoberta de que p é um número irracional só aconteceu no século XVIII. 
 Uma vez que p é um número irracional, sua representação tem infinitas casas 
decimais e seu uso prático só é possível por meio de valores aproximados. 
 A busca de um valor para p, o mais preciso possível, é tão antiga quanto a 
própria matemática. 
 Uma vez que p é um número irracional e só é possível trabalhar com 
aproximações, não é necessário memorizar mais do que 2 ou 3 casas decimais, já 
que para a maioria das atividades escolares é suficiente usar para p o valor de 3,14. 
 Para aplicações que exigem maior precisão, pode-se utilizar p com, no máximo, 
7 casas decimais, que é o que comporta o visor de uma calculadora comum. 
 Algumas calculadoras têm uma tecla que dá o valor de p. Porém, a maioria das 
calculadoras simples não tem essa tecla. 
 
Comprimento da circunferência e de um arco de circunferência 
Texto retirado de BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 9º ano. 1ª edição. São Paulo: Scipione, 2015. Pág. 240 e de 
GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 8. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Págs. 184 e 185. Adaptado. 
 
 Agora que você já sabe o significado e o valor aproximado de p, vamos estudar 
seu uso para calcular o comprimento de uma circunferência. 
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 Admitindo que a razão C
d
 é constante, temos: 
 
p = C
d
 
 
 Como d = 2r, então: 
 
p = C
2r
 ® C = 2pr 
 
C = 2pr é a fórmula que determina o valor do comprimento (ou perímetro) de 
uma circunferência quando a medida do raio é conhecida. 
 
 Observe o exemplo abaixo. 
 
Exemplo 02: 
 Considere uma roda cujo raio mede 0,5 metro. 
a. Quantos metros ela se desloca a cada volta? 
 
C = 2pr 
 
C = 2 . 3,14 . 0,5 = 3,14 m 
 
Portanto, a cada volta ela se desloca 3,14 m. 
 
b. Quantas voltas completas dessa roda são necessárias para percorrer 1 km? 
Para alcançar 1 km (1 000 m), uma pessoa terá que dar: 
 
(3,14 m) . Nº de voltas = 1 000 m 
 
Nº de voltas = 
1 000 m
3,14 m
 ≅	318,47 
 
Logo, são necessárias 319 voltas para percorrer 1 km. 
 
Observações! 
• O comprimento de um arco de circunferência é diretamente proporcional à medida 
do ângulo central correspondente a esse arco. Assim, podemos determinar sua 
medida com base em uma proporção. 
 
 
 
Para determinar a medida x do arco de circunferência, usamos a seguinte 
proporção: 
 
x
2πR
 = αº
360º
 
 
 
x = 2pR . αº
360º
 ® x = πRα
180
 
 
 Veja um exemplo. 
 
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Exemplo 03: 
 Encontre a medida do comprimento de um arco de 45º construído em uma circunferência de 
raio 10 cm. 
 
 Utilizando a proporção vista anteriormente, obtemos ocomprimento x do arco correspondente 
a 45º. 
 
x
2πR
 = αº
360º
 
 
x
2π . 10
 = 45º
360º
 
 
x
20π
 = 1
8
 
 
 
x = 20π
8
 ® x = 5π
2
 cm ® x = 5 . 3,14
2
 ® x = 15,7
2
 ® x ≅	7,85 cm 
 
Área do círculo 
Texto retirado de BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 9º ano. 1ª edição. São Paulo: Scipione, 2015. Pág. 243 e de 
GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 8. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Pág. 188. Adaptado. 
 
 A área de um círculo de raio r pode ser obtida, de forma intuitiva, dividindo-o 
em setores circulares iguais. 
 
 
 
 Juntando os setores, como mostra a figura, obtemos um polígono similar a um 
paralelogramo. Nele, a medida da base corresponde, aproximadamente, à metade da 
medida do comprimento da circunferência; e a altura corresponde, também, de forma 
aproximada, à medida do raio r. 
 Assim: 
 
A = b . h 
 
ACírculo = 
1
2
 . C . r 
 
ACírculo = 
1
2
 . 2πr . r ® ACírculo = πr2 
 
A área de um círculo de raio r é igual ao produto do quadrado da medida do 
raio pelo número π. 
A = πr2 
 Observe o exemplo abaixo. 
 
Exemplo 04: 
 Qual é a área de um círculo de raio 5 cm? 
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A = πr2 
 
A = 3,14 . 52 = 3,14 . 25 = 78,5 
 
A = 78,5 cm2 
 
Área do setor circular e da coroa circular 
Texto retirado de BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 9º ano. 1ª edição. São Paulo: Scipione, 2015. Pág. 243 e de 
GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 8. 2ª edição. São Paulo: Editora do Brasil, 2015. Pág. 188. Adaptado. 
 
 Assim como existe uma fórmula para calcular a área do círculo, também 
existem fórmulas para determinar a área de partes do círculo, em especial a do setor 
circular e a da coroa circular. 
 Um setor circular fica determinado pela medida do raio e pelo ângulo central a. 
 
 
 
 O setor é uma fração do círculo proporcional à razão α
360º
, por exemplo, se 
a = 60º, essa razão é 1
6
 e a área do setor é πr
2
6
. 
 
Generalizando, a área do setor circular é: 
ASetor circular = πr
2α
360º
 
 
 Uma coroa circular fica determinada pelo raio da circunferência externa e pelo 
raio da circunferência interna. 
 
 
Assim, a área da coroa circular é: 
 
ACoroa circular = ACírculo de raio R - ACírculo de raio r 
 
ACoroa circular = pR2 - pr2 = p(R2 – r2) 
 
ACoroa circular = p(R + r)(R – r) 
 
 Veja um exemplo abaixo. 
 
Exemplo 05: 
 Calcule a área do setor circular representado. 
 
 
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 Como sabemos a medida do ângulo central correspondente ao setor circular e à medida do 
raio, obtemos: 
 
A
πr2
 = 30º
360º
 
 
A
π82
 = 1
12
 ® A = 64π
12
 ® A = 16
3
 p cm2 
 
Polígonos inscritos e circunscritos 
Texto retirado de BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 8º ano. 1ª edição. São Paulo: Scipione, 2015. Pág. 213. 
 
 Observe o quadro abaixo pintado pelo artista Robert Mangold. Ele mostra uma 
curva disforme que tangencia, ou seja, encosta em todos os lados de um polígono. 
 Quando isso acontece, dizemos que o polígono esta circunscrito à curva. 
 
 
 
 
 
 
 Por outro lado, quando um polígono tem todos os seus vértices sobre a curva 
dizemos que o polígono está inscrito na curva. 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Na circunferência representada a seguir, o raio mede 3 cm e o centro é o ponto O. 
 
 
 
Analise cada uma das afirmações e indique quais são verdadeiras e quais são 
falsas. 
Círculo distorcido dentro de 
um polígono, 1972, obra de 
Robert Mangold. 
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a. O segmento AB é denominado corda da circunferência. 
b. O comprimento do segmento AB é maior que o diâmetro da circunferência. 
c. O comprimento do segmento AB é igual ao diâmetro da circunferência. 
d. A distância do ponto A até o ponto O é igual a 3 cm. 
e. A distância do ponto B até o ponto O é maior que 3 cm. 
f. A distância do ponto A até o ponto O é menor que 3 cm. 
g. O triângulo AOB é equilátero. 
h. O triângulo AOB é isósceles. 
 
2. O centro da circunferência representada ao lado é o ponto O, e o raio mede 2,5 
cm. Conforme as posições do pontos A, B e C e sem utilizar régua, responda: 
 
 
 
a. O que podemos dizer da distância do ponto A ao centro da circunferência? 
b. O que podemos afirmar sobre a distância do ponto B ao ponto O? 
c. Qual é a distância do ponto C ao ponto O? 
 
3. No desenho abaixo estão representadas três circunferências de centros nos 
pontos A, B e C que tem, duas a duas um ponto em comum, apenas. 
 
 
 
Considerando que os raios das circunferências são 5 cm, 4 cm e 3 cm, determine: 
a. A medida do diâmetro da circunferência de centro no ponto A; 
b. A medida do diâmetro da circunferência de centro no ponto B; 
c. A medida do diâmetro da circunferência de centro no ponto C; 
d. A medida do segmento AB; 
e. A medida do segmento AC; 
f. A medida do segmento BC. 
 
4. Considere os segmentos representados na circunferência de centro no ponto O. 
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Indique desses segmentos aqueles que representam: 
a. O raio da circunferência; 
b. O diâmetro da circunferência; 
c. Uma corda da circunferência. 
 
5. Observe as figuras a seguir. 
 
 
 
Indique qual delas representa: 
a. Uma circunferência; 
b. Um círculo; 
c. Um setor circular; 
d. Um semicírculo. 
 
6. Na figura a seguir está representado um setor circular que representa 20% do 
círculo. 
 
 
 
Observe como podemos calcular o ângulo correspondente a esse setor circular. 
Calculando o ângulo do setor: 
 
20% de 360º = 0,20 . 360º = 72º 
 
Portanto, o ângulo do setor mede 72º. 
No gráfico a seguir estão representados os setores A, B, C e D. Conforme os 
percentuais indicados, calcule o ângulo correspondente a cada um desses setores. 
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	 16 
 
 
 
7. Analise cada uma das afirmações e indique quais são verdadeiras (V) e quais são 
falsas (F). 
a. Quando é tangente a uma circunferência, uma reta tem dois pontos em comum 
com a circunferência. 
b. Se uma reta é externa à circunferência, então ela não tem ponto em comum 
com a circunferência. 
c. Se uma reta tem dois pontos em comum com a circunferência, então ela é 
secante à circunferência 
d. Se a distância do centro da circunferência a uma reta é igual ao raio, a reta é 
tangente à circunferência. 
e. Se a distância do centro da circunferência a uma reta é maior que o raio, a reta 
é externa à circunferência. 
f. Se a distância do centro da circunferência a uma reta é menor que o raio, a 
reta é tangente à circunferência. 
g. Se uma reta é secante a uma circunferência, a distância dela ao centro da 
circunferência é menor que a medida do raio. 
 
8. No desenho a seguir estão representadas duas circunferências de centros nos 
pontos O e O’, com raios iguais a 4 cm e 3 cm, respectivamente, e duas retas r e 
s. 
 
 
 
a. Quantos pontos da reta s também são pontos de alguma circunferência? 
b. Quantos da reta r também são pontos de alguma circunferência? 
c. Qual é a distância do ponto O ao ponto O’? 
d. Qual é a distância do ponto O à reta s? 
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	 17 
e. Qual é a distância do ponto O’ à reta s? 
 
9. Sendo x a distância de uma circunferência de raio r a uma reta, indique em cada 
caso a seguir a posição relativa da reta em relação à circunferência. 
 
Distância x Medida do raio r Posição relativa 
2 cm 4 cm 
3 cm 3 cm 
4 cm 2 cm 
5 cm 5,1 cm 
5 cm 4,9 
 
10. Na figura abaixo, a reta r passa pelo centro da circunferência de raio 10 cm e 
intercepta a corda AB de comprimento 8 cm no ponto P, que é ponto médio de AB. 
 
 
 
Determine: 
a. A medida do ângulo que a reta r forma com a corda AB; 
b. A distânciado ponto O ao ponto B; 
c. A distância do ponto O ao ponto C; 
d. A distância do ponto A ao ponto P; 
e. A distância do ponto B ao ponto P. 
 
11. A seguir estão representadas as posições relativas de duas circunferências. 
Escreva essas posições. 
 
 
 
12. Indique V ou F para cada afirmação a seguir caso seja verdadeira ou falsa, 
respectivamente. 
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	 18 
a. Se duas circunferências não têm pontos em comum, então elas são secantes. 
b. Quando duas circunferências apresentam apenas um ponto em comum, então 
elas são ditas tangentes entre si. 
c. Duas circunferências distintas podem ter dois pontos em comum. 
d. Duas circunferências que têm apenas um ponto em comum são tangentes 
externas. 
e. Podemos ter duas circunferências tangentes internamente. 
 
13. O professor desenhou na lousa duas circunferências de diâmetros 10,6 cm e 7,4 
cm, conforme figura abaixo. 
 
 
 
Considerando que as duas circunferências apresentam o mesmo centro O, 
responda: 
a. Qual é a medida do raio de cada circunferência? 
b. Qual é a medida do segmento AB, sabendo que o ponto A pertence à 
circunferência menor e o ponto B, à circunferência maior e que o segmento AB 
está contido no raio AB? 
c. Uma reta que é secante à circunferência menor é também secante à 
circunferência maior? 
d. Uma reta que é tangente à circunferência maior é também tangente à 
circunferência menor? 
e. Se uma reta é tangente à circunferência menor, que posição relativa com a 
circunferência maior ela terá? 
 
14. As duas circunferências a seguir são tangentes externamente. Considerando que 
a distância entre os centros dessas circunferências é 56 cm e a diferença entre as 
medidas dos raios é 16 cm, determine as medidas dos raios. 
 
 
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	 19 
15. As duas circunferências representadas a seguir são tangentes internamente. 
Considerando que a soma das medidas dos raios é igual a 60 cm e a distância 
entre os centros é igual a 12 cm, determine as medidas dos raios. 
 
 
 
16. Calcule o comprimento aproximado de uma circunferência que tem (diâmetro = d; 
raio = r): 
a. d = 15 m 
b. r = 7,5 m 
c. d = 10 mm 
d. r = 20 mm 
e. d = 6 cm 
f. r = 8 cm 
 
17. Calcule o raio e o diâmetro da circunferência cujo comprimento do contorno é: 
a. 81,64 km 
b. 25,12 m 
c. 9,42 cm 
d. 15,7 m 
e. 6,28 m 
f. 12,56 cm 
 
18. A roda de uma bicicleta tem o diâmetro medindo 80 cm. Determine quantos 
centímetros um ciclista percorre quando a roda dessa bicicleta dá 10 voltas 
completas. 
 
19. Qual é o raio de uma circunferência cujo comprimento é igual ao de uma 
semicircunferência de raio r = 5 cm? 
 
20. Uma circunferência de 6,28 m de comprimento teve a medida do raio aumentada 
em 2 m. 
a. Quantos metros a mais terá a nova circunferência? 
b. E se o aumento do raio fosse de 3 m? 
 
21. Um marceneiro deve construir uma mesa redonda que comporte 6 pessoas em 
sua volta. Qual deve ser a medida do raio dessa mesa para que cada pessoa 
possa dispor de um arco de 50 cm? 
 
22. Considere uma circunferência com raio de 2 cm. Determine: 
a. A medida do diâmetro da circunferência; 
b. O perímetro da circunferência; 
c. O comprimento de um arco de 60º; 
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	 20 
d. O comprimento de um arco de 45º. 
 
23. Considere uma circunferência com diâmetro de 28 cm. Determine: 
a. O comprimento da circunferência; 
b. O comprimento de um arco correspondente a 90º; 
c. O comprimento de um arco correspondente a 120º. 
 
24. Um ciclista percorre uma pista circular com raio de 50 m. 
 
 
 
Determine: 
a. A medida correspondente a uma volta completa na pista; 
b. O número de voltas que ele precisa dar para percorrer 62 800 m na pista, 
considerando p ≅ 3,14 cm. 
 
25. Na figura a seguir, o lado do quadrado mede 20 cm. Quatro semicircunferências 
foram desenhadas tendo como centro os pontos médios dos lados do quadrado. 
 
 
 
Determine: 
a. A medida do raio de cada semicircunferência; 
b. A soma das medidas dos comprimentos de todas as semicircunferências 
desenhas. 
 
26. A figura abaixo é formada por 4 arcos concêntricos pertencentes a circunferências 
com raios de 1 cm, 2 cm, 3 cm e 4 cm. Considerando que o ângulo correspondente 
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	 21 
a esses arcos é de 45º, determine a soma das medidas dos comprimentos dos 
arcos. 
 
 
 
27. Calcule a área dos círculos de raios: 
a. r = 10 cm 
b. r = 3,14 m 
c. r = 8 mm 
d. r = 15 
 
28. Determine o valor dos raios e dos diâmetros dos círculos cujas áreas são: 
a. A = 78,5 cm2 
b. A = 452,16 m2 
c. A = 113,04 mm2 
d. A = 100 m2 
 
29. Calcule a área de um círculo cujo diâmetro mede 20 cm. 
 
30. O comprimento de uma circunferência é 9,82 cm. Determine a área do círculo. 
 
31. Aumentando em 2 cm o raio de um círculo de 6,28 cm de comprimento, quanto 
aumentará a área? 
 
32. Considere um círculo com raio de 4 cm. Determine a área de um setor circular 
correspondente a um ângulo de: 
a. 30º b. 45º c. 90º d. 120º 
 
33. Determine a área de um círculo inscrito em um quadrado de lado 10 cm. 
 
34. Determine a área de um círculo que tem um quadrado de lado 2 cm inscrito. 
 
35. Calcule a área de cada coroa circular. 
a. 
 
b. 
 
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	 22 
c. 
 
d. 
 
 
36. Calcule as áreas aproximadas da parte azul de cada figura. 
a. 
 
b. 
 
c. 
 
d. 
 
e. 
 
f. 
 
g. 
 
h. 
 
 
37. A cidade de São Paulo é famosa por seus pastéis de feira. Hugo vende pastéis 
na feira. Para fazer seus pastéis, ele prepara amassa e corta os discos que, 
quando dobrados, recheados e fritados, resultam em deliciosos pastéis. Ele molda 
os discos cortando a massa com a borda de uma xícara que tem 10 cm de 
diâmetro. Hugo amassa a sobra da massa, aproveitando-a para fazer mais pastéis. 
Quantos pastéis ele pode fazer com a sobra sabendo que, de uma fita retangular 
de massa de 30 cm por 150 cm, foram retirados 55 discos de 10 cm de diâmetro? 
 
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	 23 
38. (ENEM 2009) Em Florença, Itália, na Igreja de Santa Croce, é possível encontrar 
um portão em que aparecem os anéis de Borromeo. Alguns historiadores 
acreditavam que os círculos representavam as três artes: escultura, pintura e 
arquitetura, pois elas eram tão próximas quanto inseparáveis. 
 
 
Scientific American, ago. 2008. 
 
Qual dos esboços a seguir melhor representa os anéis de Borromeo? 
A 
 
B 
 
C 
 
D 
 
E 
 
 
39. (ENEM 2010) A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados 
provavelmente surgiu com os antigos egípcios ao construírem as pirâmides. 
 
 
BOLT, Brian. Atividades matemáticas. Ed. Gradiva. 
 
Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em metros, a expressão 
do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em função de R, após o rolo ter 
dado uma volta completa sem deslizar, é: 
A y = R 
B y = 2R 
C y = pR 
D y = 2pR 
E y = 4pR
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	 24 
40. (ENEM PPL 2010) João tem uma loja onde fabrica e vende moedas de chocolate 
com diâmetro de 4 cm e preço de R$ 1,50 a unidade. Pedro vai a essa loja e, após 
comer várias moedas de chocolate, sugere ao João que ele faça moedas com 8 
cm de diâmetro e mesma espessura e cobre R$ 3,00 a unidade. 
Considerando que o preço da moeda depende apenas da quantidade de chocolate, 
João: 
A Aceita a proposta de Pedro, pois, se dobra o diâmetro, o preço também deveria 
dobrar. 
B Rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 12,00. 
C Rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 7,50. 
D Rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seriaR$ 6,00. 
E Rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto seria R$ 4,50. 
 
41. (ENEM 2011) O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o 
espírito olímpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por 
oito raias e tem largura de 9,76 m. As raias são numeradas do centro da pista para 
a extremidade e são construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de 
circunferência. 
Os dois semicírculos da pista são iguais. 
 
 
BIEMBENGUT, M. S. Modelação Matemática como método de ensino-aprendizagem de 
Matemática em cursos de 1º e 2º graus. 1990. Dissertação de Mestrado. 
IGCE/UNESP, Rio Claro, 1990 (adaptado). 
 
Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das 
raias o corredor estaria sendo beneficiado? 
A 1 B 4 C 5 D 7 E 8 
 
42. (ENEM 2012) O losango representado na Figura 1 foi formado pela união dos 
centros das quatro circunferências tangentes, de raios de mesma medida. 
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	 25 
 
 
Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do 
losango e ainda mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma 
situação conforme ilustrada pela Figura 2. 
 
 
 
O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango 
da Figura 1, teve um aumento de: 
A 300% B 200% C 150% D 100% E 50% 
 
43. (ENEM PPL 2012) Uma pizzaria oferece, no cardápio, duas opções de tamanhos 
e preços: 
 
 Pizza média (6 fatias): R$ 24,00 
 Pizza grande (8 fatias): R$ 32,00 
 
Um grupo de jovens estava prestes a decidir o tipo de pizza com melhor 
custo-benefício, quando um dos amigos questionou ao garçom a respeito do 
diâmetro de cada uma das pizzas. A informação obtida foi de que os diâmetros 
das pizzas média e grande eram, respectivamente, 30 cm e 40 cm. Considerando 
que os dois tamanhos e preços das pizzas atendem o grupo e que não haverá 
desperdício, iniciou-se um debate entre eles: 
 
• Alan: A pizza grande tem melhor custo-benefício, pois a área de sua fatia é 
superior à área da fatia da pizza média. 
• Breno: A pizza medida tem melhor custo-benefício, pois, como é dividida 
em menos fatias, cada fatia tem uma maior quantidade de pizza. 
• Cleber: As duas apresentam a mesma relação custo-benefício, já que cada 
fatia custa R$ 4,00, independentemente da escolha do tamanho. 
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	 26 
• Davidson: Como a razão entre os diâmetros e os preços das pizzas é a 
mesma, nenhuma das pizzas tem melhor custo-benefício que a outra. 
• Eric: A pizza grande possui melhor relação custo-benefício, pois 
independentemente do diâmetro, ela é dividida em um número maior de 
fatias. 
 
Qual jovem apresentou o melhor argumento para a escolha da pizza? 
A Alan 
B Breno 
C Cleber 
D Davidson 
E Eric 
 
44. (ENEM PPL 2012) Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma 
pista circular de raio R, conforme figura a seguir. A sua largada foi dada na posição 
representada pela letra L, a chegada está representada pela letra C e a letra A 
representa o atleta. O segmento LC é um diâmetro da circunferência e o centro 
da circunferência está representado pela letra F. 
Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os segmentos LA 
e AC são perpendiculares. Seja q o ângulo que o segmento AF faz com o 
segmento FC. 
 
 
 
Quantos graus mede o ângulo q quando o segmento AC medir R durante a corrida? 
A 15 graus 
B 30 graus 
C 60 graus 
D 90 graus 
E 120 graus 
 
45. (ENEM PPL 2013) O símbolo internacional de acesso, mostrado na figura, 
anuncia local acessível para o portador de necessidades especiais. Na concepção 
desse símbolo, foram empregados, elementos gráficos geométricos elementares. 
 
 
Regras de acessibilidade ao meio físico para o deficiente. 
Disponível em: www.lbdd.org.br. Acesso em: 28 Jun. 2011 (adaptado). 
 
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	 27 
Os elementos geométricos que constituem os contornos das partes claras da 
figura são: 
A Retas e círculos 
B Retas e circunferências 
C Arcos de circunferências e retas 
D Coroas circulares e segmentos de retas 
E Arcos de circunferências e segmentos de retas 
 
46. (ENEM PPL 2014) Um homem, determinado a melhorar sua saúde, resolveu 
andar diariamente numa praça circular que há em frente à sua casa. Todos os 
dias ele dá exatamente 15 voltas em torno da praça, que tem 50 m de raio. 
Use 3 como aproximação para p. 
Qual é a distância percorrida por esse homem em sua caminhada diária? 
A 0,30 km 
B 0,75 km 
C 1,50 km 
D 2,25 km 
E 4,50 km 
 
47. (ENEM 2015) Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão 
substituídas por uma nova mais potente. As áreas de cobertura das antenas que 
serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam 
no ponto O, como mostra a figura. 
 
 
 
O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um 
círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas 
de cobertura menores. 
Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros 
quadrados, foi ampliada em: 
A 8p B 12p C 16p D 32p E 64p 
 
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	 28 
48. (ENEM 2015) O proprietário de parque aquático deseja construir uma piscina em 
suas dependências. A figura representa a vista superior dessa piscina, que é 
formada por três setores circulares idênticos, com ângulo central igual a 60º. O 
raio R deve ser um número natural. 
 
 
 
O parque aquático já conta com uma piscina em formato retangular com 
dimensões 50 m x 24 m. 
O proprietário que a área ocupada pela nova piscina seja menor que a ocupada 
pela piscina já existente. 
Considere 3,0 como aproximação para p. 
O maior valor possível para R, em metros, deverá ser: 
A 16 B 28 C 29 D 31 E 49 
 
49. (ENEM PPL 2015) A figura é uma representação simplificada do carrossel de um 
parque de diversões, visto de cima. Nessa representação, os cavalos estão 
identificados pelos pontos escuros, e ocupam circunferências de raios 3 m e 4 m, 
respectivamente, ambas centradas no ponto O. Em cada sessão de 
funcionamento, o carrossel efetua 10 voltas. 
 
 
 
Quantos metros uma criança sentada no cavalo C1 percorrerá a mais do que uma 
criança no cavalo C2, em uma sessão? Use 3,0 como aproximação para p. 
A 55,5 
B 60,0 
C 175,5 
D 235,5 
E 240,0 
 
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	 29 
50. (ENEM PPL 2015) No jogo mostrado na figura, uma bolinha desloca-se somente 
de duas formas: ao longo de linhas retas ou por arcos de circunferências centradas 
no ponto O e raios variando de 1 a 8. Durante o jogo, a bolinha que estiver no 
ponto P deverá realizar a seguinte sequência de movimentos: 2 unidades no 
mesmo sentido utilizado para ir do ponto O até o ponto A e, no sentido anti-horário, 
um arco de circunferência cujo ângulo central é 120º. 
 
 
 
Após a sequência de movimentos descrita, a bolinha estará no ponto: 
A B B D C E D F E G 
 
51. (ENEM 3ª aplicação 2016) Tradicionalmente uma pizza média de formato circular 
tem diâmetro de 30 cm e é dividida em 8 fatias iguais (mesma área). Uma família, 
ao se reunir para o jantar, fará uma pizza de formato circular e pretende dividi-la 
em 10 fatias também iguais. Entretanto, eles desejam que cada fatia dessa pizza 
tenha o mesmo tamanho (mesma área) de cada fatia da pizza média quando 
dividida em 8 fatias iguais. 
Qual o valor mais próximo do raio com que deve ser feita a pizza, em centímetro, 
para que eles consigam dividi-la da forma pretendida? 
Use 2,2 como aproximação para 5. 
A 15,00 
B 16,50 
C 18,75 
D 33,00 
E 37,50 
 
52. (ENEM 3ª aplicação 2016) Um arquiteto deseja construir um jardimcircular de 
20 m de diâmetro. Nesse jardim, uma parte do terreno será reservada para pedras 
ornamentais. Essa parte terá a forma de um quadrado inscrito na circunferência, 
como mostrado na figura. Na parte compreendida entre o contorno da 
circunferência e a parte externa ao quadrado, será colocada terra vegetal. Nessa 
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	 30 
parte do jardim, serão usados 15 kg de terra para cada m2. A terra vegetal é 
comercializada em sacos com exatos 15 kg cada. Use 3 como valor aproximado 
para p. 
 
 
 
O número mínimo de sacos de terra vegetal necessários para cobrir a parte 
descrita do jardim é: 
A 100 
B 140 
C 200 
D 800 
E 1 000 
 
53. (ENEM 3ª aplicação 2016) No projeto de arborização de uma praça está prevista 
a construção de um canteiro circular. Esse canteiro será constituído de uma área 
central e de uma faixa circular ao seu redor, conforme ilustra a figura. 
 
 
 
Deseja-se que a área central seja igual à área da faixa circular sombreada. 
A relação entre os raios do canteiro (R) e da área central (r) deverá ser: 
A R = 2r 
B R = r 2 
C R = r
2+2r
2
 
D R = r2 + 2r 
E R = 3
2
 r 
 
54. (ENEM 3ª aplicação 2016) Um ciclista A usou uma bicicleta com rodas com 
diâmetros medindo 60 cm e percorreu, com ela, 10 km. 
Um ciclista B usou outra bicicleta com rodas cujos diâmetros mediam 40 cm e 
percorreu, com ela, 5 km. 
Considere 3,14 como aproximação para p. 
A relação entre o número de voltas efetuadas pelas rodas da bicicleta do ciclista 
A e o número de voltas efetuadas pelas rodas da bicicleta do ciclista B é dada por: 
A 1
2
 B 2
3
 C 3
4
 D 4
3
 E 3
2
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	 31 
Quer praticar um pouco mais? 
Exercícios extras 
 
55. Pedro marcou numa folha de papel um ponto A e depois os pontos B, C, D, E e F, 
todos situados a uma mesma distância do ponto A. Considerando que essa 
distância é igual a 5 cm, responda: 
a. Os pontos B, C, D, E e F pertencem à mesma circunferência? 
b. O que significa o ponto A em relação a essa circunferência? 
 
56. Considere uma circunferência de centro O e raio r = 3 cm. Qual é a distância de 
um ponto da circunferência até o centro O? 
 
57. Qual é a medida do diâmetro de uma circunferência cujo raio mede: 
a. 4,5 cm? b. 12,3 cm? 
 
58. O equador terrestre é uma linha imaginária que se aproxima de uma circunferência. 
Sabendo-se que seu diâmetro médio tem 12 756 km, qual é a medida do seu raio 
médio? 
 
59. No desenho abaixo vemos três circunferências: a primeira de centro em A e raio 
2 cm; a segunda de centro B e raio 3 cm. As duas circunferências se tocam no 
ponto T, e dizemos que elas são tangentes. Uma terceira circunferência de centro 
C é externa às duas anteriores tangenciando as duas circunferências nos pontos 
D e E. Os pontos D, A, C, T, B e E estão alinhados. 
 
 
 
Qual é o raio da circunferência de centro em C? 
 
60. No gráfico abaixo estão representados os setores correspondentes a uma 
pesquisa sobre o que as pessoas pensam do desempenho do prefeito de um 
município. Conforme os percentuais indicados, calcule o ângulo correspondente a 
cada um desses setores. 
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	 32 
 
 
 
61. Quantos pontos de intersecção existem entre: 
a. Uma circunferência e uma reta que não a intercepta? 
b. Uma circunferência e uma reta secante? 
c. Uma circunferência e uma reta tangente? 
 
62. A circunferência de centro no ponto O tem medida de raio igual a igual a 3,5 cm. 
A reta r é secante à circunferência, e a reta s é tangente à circunferência. Agora 
responda às questões. 
 
 
 
a. Ligando o ponto O ao ponto A por meio de um segmento, qual é a medida do 
ângulo formado por esse segmento e a reta s no ponto A? 
b. Que ângulo uma reta que passa pelo ponto O e pelo ponto médio do segmento 
BC forma com a reta r? 
c. Qual é a distância do ponto O à reta s? 
d. O que você pode afirmar sobre a distância do ponto O à reta r? 
 
63. A distância entre os centros de duas circunferências tangentes internamente é 10 
cm. Se a soma das medidas dos raios é igual a 22 cm, determine as medidas dos 
raios dessas circunferências. 
 
64. Duas circunferências tangentes externamente têm diâmetros de 40 cm e 16 cm. 
Qual é a distância entre os centros dessas circunferências? 
 
65. O diâmetro do aro de uma cesta de basquete mede 0,45 cm. Calcule o 
comprimento do aro. 
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	 33 
 
66. Uma bola de basquete deve ter até 78 cm de circunferência (o equador da bola). 
a. Calcule seu diâmetro. 
b. Uma bola com essas medidas entra na cesta com as dimensões indicadas na 
atividade anterior? 
 
67. De acordo com as normas oficiais, uma bola de futebol de campo deve ter entre 
68 cm e 71 cm de circunferência. Calcule o diâmetro da bola: 
a. De 68 cm; b. De 71 cm. 
 
68. O círculo central de um campo de futebol deve medir 18,30 m de diâmetro. 
Calcule o comprimento do contorno do círculo. 
 
69. Determine a medida do raio de uma roda cuja medida de comprimento é: 
a. 100 cm b. 1 m 
 
70. A figura abaixo representa um setor circular construído em uma circunferência 
com raio de 12 cm. 
 
 
 
Determine: 
a. A medida do comprimento do arco AB; 
b. O comprimento da circunferência correspondente. 
 
71. Calcule a medida do raio de uma circunferência cujo comprimento é 240 cm. 
 
72. Quanto aumenta a medida do raio de uma circunferência quando seu 
comprimento é multiplicado por 3? 
 
73. Quanto amenta a medida do raio de uma circunferência quando seu comprimento 
duplica? 
 
74. Dobrando a medida do raio de um círculo, quanto aumentará a área? 
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	 34 
 
75. Calcule a área: 
a. Do semicírculo de raio 10 cm; 
 
 
 
b. Do semicírculo de raio r; 
 
 
 
c. Do setor circular indicado na 
figura; 
 
 
 
d. Do setor circular indicado na 
figura; 
 
 
 
e. Do setor circular indicado na 
figura; 
 
 
 
f. Da coroa circular indicada na 
figura; 
r = 6 
R = 8 
 
 
 
g. Da coroa circular indicada na 
figura. 
r = 2 
R = 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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	 35 
Lista 51 
Gabarito 
 
Exercícios 
 
1. 
a. V b. F c. F d. V e. F f. F g. F h. V 
2. 
a. A distância do ponto A ao centro da circunferência é menor que 2,5 cm. 
b. A distância do ponto B ao centro da circunferência é maior que 2,5 cm. 
c. A distância do ponto C ao centro da circunferência é 2,5 cm. 
3. 
a. dA = 10 cm 
b. dB = 8 cm 
c. dC = 6 cm 
d. AB = 9 cm 
e. AC = 8 cm 
f. BC = 7 cm 
4. 
a. Os segmentos OT, OR, OS e OP representam raios da circunferência. 
b. O segmento TR representa o diâmetro da circunferência. 
c. Os segmentos PQ e TR representam cordas da circunferência. 
5. 
a. IV b. I c. II e III d. II 
6. A ® 90º, B ® 18º, C ® 108º e D ® 144º 
7. 
a. F b. V c. V d. V e. V f. F g. V 
8. 
a. 2 pontos da reta s também são pontos de alguma circunferência. 
b. 3 pontos da reta r também são pontos de alguma circunferência. 
c. 7 cm d. 4 cm e. 3 cm 
9. 
 
Distância x Medida do raio r Posição relativa 
2 cm 4 cm Secante 
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	 36 
3 cm 3 cm Tangente 
4 cm 2 cm Externa 
5 cm 5,1 cm Secante 
5 cm 4,9 Externa 
 
10. 
a. 90º 
b. 10 cm 
c. 10 cm 
d. 4 cm 
e. 4 cm 
11. A: uma interna à outra, B: tangentes internas, C: secantes, D: tangentes externas 
e E: externas 
12. 
a. F b. V c. V d. V e. F f. V 
13. 
a. rCircunferência menor = 3,7 cm e rCircunferência maior = 5,3 cm 
b. AB = 1,6 cm 
c. Sim 
d. Não 
e. Secante 
14. rCircunferência menor = 20 cm e rCircunferência maior = 36 cm 
15. rCircunferência menor = 24 cm e rCircunferência maior = 36 cm 
16. 
a. 47,1 m 
b. 47,1m 
c. 31,4 mm 
d. 125,6 mm 
e. 18,84 cm 
f. 50,24 cm 
17. 
a. d = 26 km e r = 13 km 
b. d = 8 m e r = 4 m 
c. d = 3 cm e r = 1,5 cm 
d. d = 5 m e r = 2,5 m 
e. d = 2 m e r = 1 m 
f. d = 4 cm e r = 2 cm 
18. Quando a roda da bicicleta dá 10 voltas o ciclista percorre 2 512 cm. 
19. r = 2,5 cm 
20. 
a. A nova circunferência terá 12,56 m a mais. 
b. Se o aumento do raio fosse de 3 m a nova circunferência teria 18,84 m a mais. 
21. O raio da mesa deve medir 47,77 cm. 
22. 
a. d = 4 cm b. C = 4p cm 
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	 37 
c. C = 2π
3
 cm d. C = π2 cm 
23. 
a. C = 28p cm b. C = 7p cm c. C = 28π
3
 cm 
24. 
a. 100p m ou, aproximadamente 314 m. 
b. Para percorrer 62 800 m na pista, o ciclista tem que dar 200 voltas. 
25. 
a. r = 10 cm b. 40p cm 
26. 5π
2
 cm 
27. 
a. A = 314 cm2 
b. A = 30,96 cm2 
c. A = 200,96 cm2 
d. A = 706,5 
28. 
a. r = 5 cm e d = 10 cm 
b. r = 12 m e d = 24 m 
c. r = 6 mm e d = 12 mm 
d. r = 5,64 m e d = 11,28 m 
29. A = 314 cm2 
30. A = 7,67 cm2 
31. A área aumentará em 25,12 cm2. 
32. 
a. 4π
3
 cm2 b. 2p cm2 c. 4p cm2 d. 16π
3
 cm2 
33. A = 78,5 cm2 
34. A = 6,28 cm2 
35. 
a. 12p b. 16p c. 7p d. 3p 
36. 
a. (16 - 2p) cm2 
b. 3π
2
 m2 
c. (16 - 4p) cm2 
d. 6 cm2 
e. (8p - 16) cm2 
f. 8 m2 
g. 3π
4
 cm2 
h. (6 - p) cm2 
37. Hugo pode fazer 2 pastéis com a sobra de massa. 
38. E 
39. E 
40. D 
41. A 
42. E 
43. D 
44. C 
45. E 
46. E 
47. A 
48. B 
49. B 
50. D 
51. B 
52. A 
53. B 
54. D 
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	 38 
Exercícios extras 
 
55. 
a. Sim, pois estão situados a uma mesma distância de um ponto. 
b. O ponto A é o centro dessa circunferência. 
56. A distância de qualquer ponto da circunferência até o centro O é 3 cm. 
57. 
a. d = 9 cm b. d = 24,6 cm 
58. O raio médio do equador terrestre é 6 378 km. 
59. O raio da circunferência de centro em C é 5 cm. 
60. Ótimo ® 72º, Bom ® 216º, Regular ® 54º e Ruim ® 18º 
61. 
a. Nenhum ponto b. 2 pontos c. 1 ponto 
62. 
a. 90º b. 90º c. 3,5 cm 
d. A distância do ponto O à reta r é menor que 3,5 cm. 
63. rCircunferência menor = 6 cm e rCircunferência maior = 16 cm 
64. 28 cm 
65. O comprimento do aro de uma cesta de basquete mede 1,413 m. 
66. 
a. d = 24,84 cm 
b. Sim, a bola entra com folga de aproximadamente 20,16 cm. 
67. 
a. d = 21,65 cm b. d = 22,61 cm 
68. O contorno do círculo tem 57,462 m. 
69. 
a. 15,92 cm b. 0,16 m 
70. 
a. C = 4p cm b. C = 24p cm 
71. r = 120
π
 cm 
72. Quando a medida do comprimento de uma circunferência é multiplicada por 3, 
seu raio aumenta duas vezes. 
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	 39 
73. Quando a medida do comprimento de uma circunferência duplica, seu raio 
aumenta uma vez. 
74. Dobrando a medida do raio de um círculo, sua área quadriplicará. 
75. 
a. A = 157 cm2 
b. A = πr
2
2
 
c. A = 25π
8
 cm2 ou A = 9,81 cm2 
d. A = 25π
12
 cm2 ou A = 6,54 cm2 
e. A = 25π
6
 cm2 ou A = 13,08 cm2 
f. A = 87,92 cm2 
g. A = 188,4 cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista 51 
Bibliografia 
 
• GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 8. 2ª edição. São Paulo: 
Editora do Brasil, 2015. 
• GALDONNE, Linos. Projeto Apoema Matemática 9. 2ª edição. São Paulo: 
Editora do Brasil, 2015. 
• BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 8º ano. 1ª edição. São 
Paulo: Scipione, 2015. 
• BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 9º ano. 1ª edição. São 
Paulo: Scipione, 2015. 
• http://portal.inep.gov.br/provas-e-gabaritos. Acesso em: 06 de outubro de 2017.