Lista_de_Exerc_cios_Marco

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Lista de Exercício Marco
Hércules de Souza Santana
e-mail:hercules-santana@hotmail.com
28 de maio de 2021
Exercício 1 - Considere o espaço de Minkowski com a métrica
ηµν =

1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
 , (1)
e o seguinte tensor:
Rαβµν = δ
α
νηβµ − δαµηβν . (2)
a) calcule o resultado de contrair o primeiro com o terceiro índices:
Rβν = R
α
βµν . (3)
RESPOSTA: Para dar início a contração usaremos o delta de Kronecker, que trans-
forme o índice µ→ α logo é um delta do tipo δµα. Aplicando este delta na definição do
tensor temos que
Rαβµν = δ
α
νηβµ − δαµηβν (4)
Rαβµνδ
µ
α = δανηβµδ
µ
α − δαµηβνδ
µ
α (5)
destacando os índices µ que serão contraídos e aplicando o resultado após o delta de
Kronecker, temos que
Rαβµνδ
µ
α = δανηβµδ
µ
α − δαµηβνδ
µ
α (6)
Rαβαν = δ
α
νηβα − δααηβν (7)
Agora notemos que no lado esquerdo da igualdade podemos contrair novamente
usando o delta de Kronecker da definição e temos uma delta degenerada (índices repe-
tidos), já do lado esquerdo temos um índice repetido indicando um somatório (notação
de Einstein).
1
hercules.santana@univesp.br
Rαβαν = δ
α
νηβα − δααηβν (8)
3∑
α=0
Rαβαν = ηβν −
∑
α
δααηβν (9)
R0β0ν +R
1
β1ν +R
2
β2ν +R
3
β3ν = ηβν − δ00ηβν − δ11ηβν − δ22ηβν − δ33ηβν . (10)
Notemos no lado esquerdo da igualdade temos um tensor do de segunda ordem
expandido, e no lado direito da igualdade 4 deltas de Kronecker com índoces repeditos
assim
Rβν = ηβν − 4 · ηβν = −3 · ηβν (11)
Rβν = −3 ·

1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
 =

−3 0 0 0
0 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3
 . (12)
b) calcule o resultado de contrair esse resultado, que é um tensor de segunda ordem
, com a métrica inversa; ou seja calcule o escalar
R = ηβνRβν = η
αβRαβ (13)
RESPOSTA - Nesta próxima contração seguiremos da resposta da letra a)
Rβν = −3 · ηβν (14)
ηβνRβν = −ηβν3ηβν (15)
note que temos em ambos os lados dois índices repeditos expressando dois somató-
rios, contudo do lado esquerdo, analogamente a questão anterior este expressa à atua-
ção da métrica em R, o que deve resultar em um escalar dada a ordem do tensor, assim
temos que
3∑
β=0
3∑
ν=0
ηβνRβν =
3∑
β=0
3∑
ν=0
−ηβν3ηβν (16)
abrindo primeiro o somatório em β temos que
3∑
ν=0
η0νR0ν +
3∑
ν=0
η1νR1ν +
3∑
ν=0
η2νR2ν +
3∑
ν=0
η3νR3ν = −
3∑
ν=0
η0ν3η0ν −
3∑
ν=0
η1ν3η1ν (17)
−
3∑
ν=0
η2ν3η2ν −
3∑
ν=0
η3ν3η3ν
2
abrindo primeiro o somatório em ν temos que
∑
ν=0
η0νR0ν +
∑
ν=1
η0νR0ν +
∑
ν=2
η0νR0ν +
∑
ν=3
η0νR0ν (18)∑
ν=0
η1νR1ν +
∑
ν=1
η1νR1ν +
∑
ν=2
η1νR1ν +
∑
ν=3
η1νR1ν∑
ν=0
η2νR2ν +
∑
ν=1
η2νR2ν +
∑
ν=2
η2νR2ν +
∑
ν=3
η2νR2ν∑
ν=0
η3νR3ν +
∑
ν=1
η3νR3ν +
∑
ν=2
η3νR3ν +
∑
ν=3
η3νR3ν
=
−3
∑
ν=0
η0νη0ν − 3
∑
ν=1
η0νη0ν − 3
∑
ν=2
η0νη0ν − 3
∑
ν=3
η0νη0ν
−3
∑
ν=0
η1νη1ν − 3
∑
ν=1
η1νη1ν − 3
∑
ν=2
η1νη1ν − 3
∑
ν=3
η1νη1ν
−3
∑
ν=0
η2νη2ν − 3
∑
ν=1
η2νη2ν − 3
∑
ν=2
η3νη3ν − 3
∑
ν=3
η3νη3ν
−3
∑
ν=0
η3νη3ν − 3
∑
ν=1
η3νη3ν − 3
∑
ν=2
η3νη3ν − 3
∑
ν=3
η3νη3ν
η00R00 + η
01R01 + η
02R02 + η
03R03 + η
10R10 + η
11R11 + η
12R12 + η
13R13 (19)
η20R20 + η
21R21 + η
22R22 + η
23R23 + η
30R30 + η
31R31 + η
32R32 + η
33R33
=
−3η00η00 − 3η01η01 − 3η02η02 − 3η03η03 − 3η10η10 − 3η11η11 − 3η12η12 − 3η13η13
−3η20η20 − 3η21η21 − 3η22η22 − 3η23η23 − 3η30η30 − 3η31η31 − 3η32η32 − 3η33η33
Atentemos que na métrica de Minkowski os termos cruzados, ou seja, mistos (01, 23,
12, etc) são nulos, pois, representam as entradas na matriz fora da diagonal principal,
assim podemos simplificar a equação acima de modo que
η00R00 + η
11R11 + η
22R22 + η
33R33 = −3η00η00 − 3η11η11 − 3η22η22 − 3η33η33 (20)
+R00 −R11 −R22 −R33 = −3− 3− 3− 3 (21)
R = −12 (22)
Notemos que o termo R = R00 −R11 −R22 −R33 pode sendo entendido como o traço
do tensor de ordem dois, e por isto usamos apenas R no último resultado.
3
Exercício 3 - Considere uma partícula não-relativística. Indique como se comportam
pelas transformações de
I) Paridade
~x
P︷︸︸︷
−→ −~x (23)
II) Inversão Temporal
t
T︷︸︸︷
−→ −t (24)
as seguintes grandezas:
a) a velocidade ~v = d~rdt
RESPOSTA a) - Olhando para a velocidade vamos analisar sempre seguindo a or-
dem dada na questão, primeiro vendo P, e em seguida analisando T. Desta forma por
definição temos que
~v =
d
dt
(~r) (25)
Aplicando a paridade na velocidade temos que
P ~v =
d
dt
(P ~r) (26)
P ~v =
d
dt
(−~r) = −~v (27)
T ~v = T
d
dt
(~r) (28)
T ~v =
d
−dt
(~r) = −~v (29)
b)o vetor tri-momento ~p =m~v
RESPOSTA b) - Por definição temos que
~p =m
d
dt
(~r) (30)
Aplicando a paridade na velocidade temos que
4
P ~p =m
d
dt
(P~r) (31)
P ~p =m
d
dt
(−~r) = −m~v = −~p (32)
T~p =mT
d
dt
(~r) (33)
T ~p =m
d
−dt
(~r) = −m~v = −~p (34)
c)a energia cinética
RESPOSTA c) - Por definição temos que
Ec =m
∥∥∥~v∥∥∥2
2
(35)
Aplicando a paridade na velocidade temos que
P Ec =m
∥∥∥P~v∥∥∥2
2
(36)
P Ec =m
∥∥∥−~v∥∥∥2
2
=m
∥∥∥~v∥∥∥2
2
= Ec (37)
TEc =m
∥∥∥T~v∥∥∥2
2
(38)
TEc =m
∥∥∥−~v∥∥∥2
2
= Ec (39)
d)a energia cinética
RESPOSTA d) -o momento angular
~L = ~r × ~p (40)
~L = (rypz − rzpy)î + (rzpx − rxpz)ĵ + (rxpy − rypx)k̂ (41)
~L =m(ryvz − rzvy)î +m(rzvx − rxvz)ĵ +m(rxvy − ryvx)k̂ (42)
Aplicando a paridade no momento e tomando a distributividade temos que
5
P ~L = Pm(ryvz − rzvy)î +Pm(rzvx − rxvz)ĵ +Pm(rxvy − ryvx)k̂ (43)
P ~L =m(PryPvz −PrzPvy)î +m(PrzPvx −PrxPvz)ĵ +m(PrxPvy −PryPvx)k̂ (44)
P ~L =m([−ry]{−vz} − [−rz]{−vy})î +m([−rz]{−vx} − [−rx]{−vz})ĵ (45)
+m([−rx]{−vy} − [−ry]{−vx})k̂
P ~L = (−~r ×−~p) = ~L (46)
T ~L = Tm(ryvz − rzvy)î +Tm(rzvx − rxvz)ĵ +Tm(rxvy − ryvx)k̂ (47)
T ~L =m(TryTvz −TrzTvy)î +m(TrzTvx −TrxTvz)ĵ +m(TrxTvy −TryTvx)k̂ (48)
T ~L =m(ry{−vz} − rz{−vy})î +m(rz{−vx} − rx{−vz})ĵ +m(rx{−vy} − ry{−vx})k̂ (49)
T ~L = (~r ×−~p) = −~L (50)
6