Aula 2 Vetores e Movimento em mais de uma dimensão

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Vetores e Movimento em duas e treˆs dimenso˜es
Vetores e Movimento em duas e treˆs dimenso˜es
Danilo Sande
March 21, 2016
Danilo Sande Vetores e Movimento em duas e treˆs dimenso˜es
Vetores e Movimento em duas e treˆs dimenso˜es
I´ndice
1 Vetores e Movimento em duas e treˆs dimenso˜es
Vetores
Movimento em duas e treˆs dimenso˜es
Movimento relativo
Danilo Sande Vetores e Movimento em duas e treˆs dimenso˜es
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Vetores
Movimento em duas e treˆs dimenso˜es
Movimento relativo
Grandezas Escalares e Vetoriais
Grandezas escalares
Sa˜o grandezas que possuem mo´dulo, mas na˜o ”apontam” em
nenhuma direc¸a˜o.
Ex: Temperatura, tempo, pressa˜o, energia, massa...
Grandezas vetoriais
Grandezas que possuem mo´dulo, direc¸a˜o e sentido, sa˜o
representados por vetores.
Ex: Deslocamento, velocidade, acelerac¸a˜o, forc¸a, momento linear,
momento angular...
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Vetores
Movimento em duas e treˆs dimenso˜es
Movimento relativo
Representac¸a˜o vetorial
Representac¸a˜o vetorial
Graficamente um vetor e´ representado por uma seta e e´ escrito
genericamente como: ~a (vetor a).
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Vetores
Movimento em duas e treˆs dimenso˜es
Movimento relativo
Soma vetorial
Soma vetorial
A soma geome´trica de vetores e´ obtida conforme a figura abaixo:
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Vetores
Movimento em duas e treˆs dimenso˜es
Movimento relativo
Soma vetorial
Soma vetorial
A soma e´ comutativa:
~a + ~b = ~b + ~a
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Movimento relativo
Soma vetorial
Soma vetorial
A soma e´ associativa:
(~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c)
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Vetores
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Movimento relativo
Soma vetorial
Soma vetorial
Dado um vetor ~b, existe o vetor −~b com o mesmo mo´dulo e
direc¸a˜o, pore´m com o sentido oposto:
Assim, podemos definir a subtrac¸a˜o de vetores ~d = ~a− ~b como a
soma entre o vetor ~a e o vetor oposto de ~b, ou seja, −~b:
~d = ~a− ~b = ~a + (−~b)
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Movimento relativo
Soma vetorial
~d = ~a− ~b = ~a + (−~b)
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Vetores
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Movimento relativo
Componentes de um vetor
Componentes de um vetor
As componentes de um vetor sa˜o as suas projec¸o˜es sobre um eixo.
Em caso 2D:
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Vetores
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Movimento relativo
Componentes de um vetor
Componentes de um vetor
Componentes:
ax = a cos θ
ay = a sin θ
Mo´dulo e aˆngulo:
a =
√
a2x + a
2
y
tan θ =
ay
ax
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Vetores
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Movimento relativo
Vetor unita´rio
Vetor unita´rio
E´ um vetor cujo mo´dulo e´ 1 e aponta em certa direc¸a˜o.
No sistema de coordenadas cartesianas, os vetores unita´rios nas
direc¸o˜es dos semi-eixos positivos de x, y e z sa˜o iˆ , jˆ e kˆ
respectivamente.
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Vetores
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Movimento relativo
Vetor unita´rio
Vetor unita´rio
Um vetor ~a qualquer pode ser descrito em termos de suas
componentes nas direc¸o˜es unita´rias dos eixos cartesianos como:
~a = ax iˆ + ay jˆ
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Movimento relativo
Vetor unita´rio
Vetor unita´rio
Para obter um vetor unita´rio em uma direc¸a˜o qualquer, dividimos o
vetor pelo seu mo´dulo:
vˆ =
~v
|~v |
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Vetores
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Movimento relativo
Vetor unita´rio
Exemplo 1
A figura abaixo mostra os seguintes vetores:
~a = 4, 2iˆ − 1, 5jˆ ; ~b = −1, 6iˆ + 2, 9jˆ e ~c = −3, 7jˆ
Qual e´ o vetor soma ~r = ~a + ~b + ~c em termos de duas componentes, qual
o seu mo´dulo e aˆngulo (medido em relac¸a˜o ao semi-eixo x positivo)?
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Movimento relativo
Produto escalar
Produto escalar
O produto escalar entre dois vetores e´ um tipo de multiplicac¸a˜o que gera
um escalar:
~a.~b = |a||b| cosφ
O produto escalar e´ a projec¸a˜o de um vetor sobre o outro, vezes o
mo´dulo do vetor na˜o projetado.
Em termos de componentes:
~a.~b = (ax iˆ + ay jˆ + az kˆ).(bx iˆ + by jˆ + bz kˆ)
~a.~b = axbx + ayby + azbz
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Movimento relativo
Produto vetorial
Produto vetorial
O produto vetorial de ~a e ~b e´ escrito como ~ax~b e resulta um terceiro
vetor ~c , de mo´dulo |~c | = ab sinφ (onde φ e´ o aˆngulo entre eles).
Se ~a e ~b sa˜o paralelos (φ = 0o) enta˜o |~ax~b| = 0.
Se ~a e ~b sa˜o perpendiculares (φ = 90o) enta˜o |~ax~b| = ab (ma´ximo).
~ax~b =
∣∣∣∣∣∣
iˆ jˆ kˆ
ax ay az
bx by bz
∣∣∣∣∣∣
~ax~b = (aybz − azby )iˆ + (azbx − axbz)jˆ + (axby − aybx)kˆ
A direc¸a˜o de ~ax~b e´ perpendicular ao plano definido por ~a e ~b.
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Movimento relativo
Produto vetorial
A determinac¸a˜o do vetor resultante da operac¸a˜o ~ax~b pode ser obtido
pela regra da ma˜o direita:
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Movimento relativo
Produto vetorial
Exemplo 2
Seja ~F = 3iˆ + 2jˆ + 5kˆ e ~r = −2iˆ + 3kˆ, calcule ~F .~r e ~Fx~r .
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Movimento relativo
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Introduc¸a˜o
Nessa parte do estudo do movimento estamos interessados na˜o
apenas em trajeto´rias retil´ıneas, mas em movimentos no plano
como o dos proje´teis e no espac¸o como a trajeto´ria de pouso de
um avia˜o.
Posic¸a˜o e Deslocamento
A localizac¸a˜o espacial de uma part´ıcula pode ser especificada pelo
vetor posic¸a˜o ~r :
~r = x iˆ + y jˆ + zkˆ
Onde x, y e z sa˜o as componentes escalares desse vetor.
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Movimento relativo
Movimento em duas e treˆs dimenso˜es
Ex: ~r = −3iˆ + 2jˆ + 5kˆ
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Movimento relativo
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Deslocamento
Se o vetor posic¸a˜o varia de ~r1 para ~r2 durante um intervalo de
tempo ∆t, o deslocamento da part´ıcula nesse intervalo e´:
∆~r = ~r2 − ~r1 = (x2 iˆ + y2 jˆ + z2kˆ)− (x1 iˆ + y1 jˆ + z1kˆ)
∆~r = (x2 − x1)iˆ + (y2 − y1)jˆ + (z2 − z1)kˆ
∆~r = ∆x iˆ + ∆y jˆ + ∆zkˆ
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Movimento relativo
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Exemplo 3
Um coelho atravessa um estacionamento, no qual, existe um
conjunto de eixos coordenados desenhado. As coordenadas da
posic¸a˜o do coelho em func¸a˜o do tempo sa˜o dadas por (usar SI):
x = −0, 31t2 + 7, 2t + 28
y = 0, 22t2 − 9, 1t + 30
No instante t=15 s, qual e´ o vetor posic¸a˜o ~r do coelho na notac¸a˜o
de vetores unita´rios e na notac¸a˜o mo´dulo-aˆngulo?
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Movimento relativo
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Movimento relativo
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Velocidade me´dia e Velocidade instantaˆnea
Se uma part´ıcula sofre um deslocamento ∆~r em um tempo ∆t, a
velocidade me´dia dessa part´ıcula sera´ dada por:
~vmed =
∆~r
∆t
=
∆x
∆t
iˆ +
∆y
∆t
jˆ +
∆z
∆t
kˆ
A velocidade instantaˆnea e´ o valor da velocidade em um certo
instante:
~v =
d~r
dt
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Velocidade instantaˆnea
A figura abaixo mostra o deslocamento de uma part´ıcula da posic¸a˜o ~r1
para ~r2 em um intervalo de tempo ∆t. Ao reduzir ∆t nas vizinhanc¸as de
t1:
1) ~r2 se aproxima de ~r1, fazendo ∆~r tender a zero;
2) A direc¸a˜o de ∆~r∆t (~vmed) se aproxima da direc¸a˜o da reta tangente a`
trajeto´ria da part´ıcula na posic¸a˜o 1;
3) ~vmed se aproxima de ~v instantaˆnea no instante t1.
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Movimento relativo
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Velocidade instantaˆnea
No limite ∆t → 0, ~vmed → ~v e a direc¸a˜o de ~v e´ a da tangente.
A direc¸a˜o da velocidade instantaˆnea ~v de uma part´ıcula e´
sempre tangente a` trajeto´ria da part´ıcula na posic¸a˜o da
mesma.
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Movimento relativo
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Velocidade instantaˆnea
~v =
d
dt
(x iˆ + y jˆ + zkˆ) =
dx
dt
iˆ +
dy
dt
jˆ +
dz
dt
kˆ
~v = vx iˆ + vy jˆ + vz kˆ
*O vetor posic¸a˜o e´ uma seta de um ponto a outro. O vetor
velocidade mostra a direc¸a˜o da velocidade instantaˆnea do
movimento da part´ıcula localizada na origem do vetor.
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Movimento relativo
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Exemplo 4
Determine a velocidade do coelho do exemplo anterior em t=15 s,
utilize as duas notac¸o˜es para representar a velocidade.
x = −0, 31t2 + 7, 2t + 28
y = 0, 22t2 − 9, 1t + 30
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Movimento relativo
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Acelerac¸a˜o me´dia e instantaˆnea
~amed =
∆~v
∆t
=
∆vx
∆t
iˆ +
∆vy
∆t
jˆ +
∆vz
∆t
kˆ
~a =
d~v
dt
=
d
dt
(vx iˆ + vy jˆ + vz kˆ) =
dvx
dt
iˆ +
dvy
dt
jˆ +
dvz
dt
kˆ
~a = ax iˆ + ay jˆ + az kˆ
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Movimento relativo
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Exemplo 5
Determine a acelerac¸a˜o do coelho do exemplo anterior em t=15 s,
utilize as duas notac¸o˜es para representar a acelerac¸a˜o.
vx = −0, 62t + 7, 2
vy = 0, 44t − 9, 1
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Movimento relativo
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Movimento Bal´ıstico
Movimento de um proje´til em um plano vertical com velocidade
inicial ~v0 e com acelerac¸a˜o constante ~g dirigida para baixo.
O proje´til e´ lanc¸ado com uma velocidade inicial:
~vo = vox iˆ + voy jˆ = vo cos θiˆ + vo sin θjˆ
O proje´til na˜o possui acelerac¸a˜o horizontal, apenas vertical ~a = −~g .
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Movimento relativo
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No movimento bal´ıstico, o movimento horizontal e o movimento
vertical sa˜o independentes.
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Movimento relativo
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Exemplos da independnˆcia dos movimentos horizontal e vertical no
movimento bal´ıstico:
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Movimento relativo
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Ana´lise do movimento bal´ıstico
-No movimento horizontal como na˜o ha´ acelerac¸a˜o:
x − xo = vox t = (vo cos θo)t
-No movimento vertical a acelerac¸a˜o a=-g e´ constante e aponta
para baixo:
y − yo = voy t − 12gt2 = (vo sin θo)t − 12gt2
vy = voy − gt = (vo sin θo)t − gt
v2y = v
2
oy − 2g(y − yo) = (vo sin θo)2 − 2g(y − yo)
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Movimento relativo
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Equac¸a˜o da trajeto´ria
Partindo de x − xo = (vo cos θo)t, temos:
t = xvo cos θo , com xo = 0.
Substituindo o tempo encontrado, na eq. para o movimento
vertical:
y − yo = (vo sin θo)t − 12gt2, temos:
y = tan θox − 12g( xvo cos θo) )2, com yo = 0.
y = tan θox − gx
2
2(vo cos θo)2
Como θo , g e vo sa˜o constantes, essa equac¸a˜o e´ do tipo
y = ax2 + bx e a trajeto´ria e´ parabo´lica.
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Movimento relativo
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Alcance horizontal
O alcanceR de um proje´til e´ a distaˆncia horizontal percorrida por ele ate´
voltar a` altura de lanc¸amento*. Fazendo x − xo = R (distaˆncia horizontal
percorrida) e y − yo = 0 (altura final igual a` altura inicial), temos:
x − xo = vox t
R = (vo cos θo)t (eq. 1)
y − yo = voy t − 12gt2
0 = (vo sin θo)t − 12gt2 (eq. 2)
Isolando t na eq. 1 e substituindo na eq. 2:
0 = (vo sin θo)(
R
vo cos θo
)− 1
2
g(
R
vo cos θo
)2
*Quando a altura final e´ diferente da altura inicial, podemos as vezes chamar a
distaˆncia horizontal percorrida de alcance, mas nesse caso na˜o vale a mesma
equac¸a˜o de alcance aqui deduzida pois y − yo 6= 0.
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Vetores
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Movimento relativo
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Alcance horizontal
0 = (vo sin θo)(
R
vo cos θo
)− 1
2
g(
R
vo cos θo
)2
−R tan θo = − gR
2
2(vo cos θo)2
R =
v2o sin 2θo
g
R atinge o ma´ximo para sin 2θo = 1, ou seja, 2θ = 90
o , θo = 45
o .
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Movimento relativo
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Efeito do ar
Com o efeito do ar, as trajeto´rias podem mudar significativamente:
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Movimento relativo
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Exemplo 6
Na figura abaixo, um avia˜o de salvamento voa a 198 km/h (=55 m/s), a
uma altura constante de 500 m, rumo a um ponto diretamente acima da
v´ıtima de um naufra´gio, para deixar cair uma balsa.
a) Qual deve ser o aˆngulo φ da linha de visada do piloto para a v´ıtima,
no instante em que o piloto deixa cair a balsa?
b) No momento em que a balsa atinge a a´gua, qual e´ a sua velocidade ~v
em termos unita´rios e na notac¸a˜o mo´dulo-aˆngulo?
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Movimento relativo
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Movimento Circular Uniforme
Uma part´ıcula em MCU descreve uma circunfereˆncia ou um arco
de circunfereˆncia com velocidade escalar constante (uniforme).
Mesmo que o mo´dulo da velocidade na˜o varie, a part´ıcula esta´
acelerada pois a direc¸a˜o da velocidade varia.
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Movimento relativo
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Movimento Circular Uniforme
Os mo´dulos |~v | e |~a| na˜o variam, mas a direc¸a˜o varia
continuamente.
~v e´ sempre tangente e ~a e´ radial e por isso se chama acelerac¸a˜o
centr´ıpeta (”que busca o centro”):
|~a| = v
2
r
O per´ıodo do MCU e´ dado por:
T =
2pir
v
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Movimento relativo
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Obtenc¸a˜o da acelerac¸a˜o centr´ıpeta (Normal)
A velocidade e´ dada por ~v = vx iˆ + vy jˆ = (−v sin θ)iˆ + (v cos θ)jˆ ,
pore´m sin θ =
yp
r e cos θ =
xp
r :
~v = (−vyp
r
)iˆ + (
vxp
r
)jˆ
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Movimento relativo
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Obtenc¸a˜o da acelerac¸a˜o centr´ıpeta (Normal)
A acelerac¸a˜o e´ a derivada de ~v , como v e r sa˜o constantes, enta˜o:
~a =
d~v
dt
= (−v
r
dyp
dt
)iˆ + (
v
r
dxp
dt
)jˆ
Como
dyp
dt e´ a componente vy e
dxp
dt e´ vx e sabendo que
vx = −v sin θ e vy = v cos θ, temos:
~a = −(v
2
r
cos θ)iˆ + (−v
2
r
sin θ)jˆ
|~a| = v
2
r
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Vetores
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Movimento relativo
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Obtenc¸a˜o da acelerac¸a˜o centr´ıpeta (Normal)
Para determinar a orientac¸a˜o de ~a, calculamos o aˆngulo φ:
tanφ =
ay
ax
=
−(v2/r) sin θ
−(v2/r) cos θ = tan θ
φ = θ, o que significa que ~a aponta na direc¸a˜o do raio r, no sentido do
centro da crcunfereˆncia.
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Vetores
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Movimento relativo
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Exemplo 7
Um objeto se move com velocidade escalar constante, ao longo de
uma trajeto´ria circular, em um plano xy horizontal, com centro na
origem. Quando o objeto esta´ em x=-2 m, a velocidade e´ -4 m/s jˆ .
Determine a velocidade e a acelerac¸a˜o do objeto em y=2 m.
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Movimento relativo
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Acelerac¸a˜o tangencial
Uma part´ıcula movendo-se em um c´ırculo com velocidade escalar
varia´vel tem uma componente de acelerac¸a˜o tangencial e radial:
~a = ~aT + ~ac , onde aT =
dv
dt e ac =
v2
r .
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Vetores
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Movimento relativo
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Exemplo 8
Voceˆ esta´ em um carrinho de montanha russa, na parte ascendente de
uma das voltas. Neste momento, o carrinho viaja a 20 m/s, perdendo a
velocidade escalar a` uma taxa de 5 m/s2. O raio da curvatura do trilho e´
de 25 m.
Quais sa˜o as componentes centr´ıpeta e tangencial de sua acelerac¸a˜o
neste instante?
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Movimento relativo
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Exemplo 9
Qual e´ o mo´dulo da acelerac¸a˜o, em unidades de g, para um piloto
cuja aeronave inicia uma curva horizontal com uma velocidade
~vi = (400iˆ + 500jˆ) m/s e, 24 s mais tarde, termina a curva com
uma velocidade ~vf = (−400iˆ − 500jˆ) m/s?
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Vetores
Movimento em duas e treˆs dimenso˜es
Movimento relativo
Movimento relativo em uma dimensa˜o
Movimento relativo em uma dimensa˜o
A velocidade de uma part´ıcula depende do referencial de quem esta´
medindo. Referencial e´ um ”local” onde fixamos um sistema de
coordenadas.
Suponha que algue´m esteja parado na rodovia (origem de A) e observe
um carro P passar. Um outro carro situado na origem do referencial B,
com velocidade constante (em relac¸a˜o a` A) tambe´m observa P.
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Movimento relativo
Movimento relativo em uma dimensa˜o
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A posic¸a˜o, a velocidade e a acelerac¸a˜o de P em relac¸a˜o a` A sa˜o dadas
respectivamente por:
xPA = xPB + xBA
vPA = vPB + vBA
aPA = aPB
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Movimento relativo
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Exemplo 10
(Da figura anterior) Suponhamos que a velocidade de B em
relac¸a˜o a` A seja vBA= 52 km/h (constante)e que P esteja se
movendo no sentido negativo de x.
a) Se A mede vPA= -78 km/h para P, qual e´ a velocidade vPB
medida por B?
b) Se o carro P freia com acelerac¸a˜o constante ate´ parar em
relac¸a˜o a` A no instante t=10 s, qual e´ a acelerac¸a˜o aPA em relac¸a˜o
a` A?
c) Qual e´ a acelerac¸a˜o de P em relac¸a˜o a` B, durante a frenagem?
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Movimento em duas e treˆs dimenso˜es
Movimento relativo
Movimento relativo em duas dimenso˜es
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Em duas dimenso˜es, temos:
~rPA = ~rPB + ~rBA
~vPA = ~vPB + ~vBA
~aPA = ~aPB
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Movimento relativo
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Exemplo 11
Duas rodovias se cruzam, conforme a figura abaixo. No instante
indicado, um carro da pol´ıcia P esta´ a uma distaˆncia dp=800 m do
cruzamento, movendo-se com uma velocidade escalar vp= 80 km/h. O
motorista M esta´ a uma distaˆncia dm= 600 m do cruzamento,
movendo-se com uma velocidade escalar vm= 60 km/h.
a) Qual e´ a velocidade do motorista em relac¸a˜o ao carro da pol´ıcia em
termos dos vetores unita´rios?
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Movimento relativo
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Exemplo 12
A chuva esta´ caindo verticalmente com uma velocidade constante
de 8 m/s. Com que aˆngulo, em relac¸a˜o a` vertical, as gotas de
chuva parecem estar caindo do ponto de vista do motorista de um
carro que viaja em uma estrada plana e retil´ınea a uma velocidade
de 50 km/h?
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Movimento relativo
Refereˆncia
Fundamentos de F´ısica 1 - Mecaˆnica, Halliday, 9a ed.
F´ısica para cientistas e engeheiros, volume 1, Tipler, 6a ed.
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	Vetores e Movimento em duas e três dimensões
	Vetores
	Movimento em duas e três dimensões
	Movimento relativo