Exercícios de Cálculo Numérico Computacional

Prévia do material em texto

UNESP - FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA 
Departamento de Matemática 
2ª Lista de Exercícios de Cálculo Numérico Computacional 
Exercício 1 Um objeto foi lançado verticalmente do alto de um prédio. Sua altura foi 
registrada a cada segundo após o lançamento e os dados obtidos encontram-se na 
tabela abaixo. 
Altura (m) 192 180 150 115 72 
Tempo (s) 1 2 3 4 5 
 
Utilize o método dos mínimos quadrados para estimar a altura ℎ do prédio, a 
velocidade inicial 𝑣0 de lançamento e o valor da aceleração da gravidade g, sabendo 
que essas três grandezas são relacionadas por: ℎ(𝑡) = ℎ0 + 𝑣0𝑡 +
𝑔
2
𝑡2. 
 
Exercício 2 Os dados seguintes se referem à utilização da energia por larvas de 
mariposa: P é o peso vivo das larvas em gramas e C o consumo de oxigênio pelas 
larvas em mililitros/hora. Assumindo que existe uma relação da forma C = aPb entre 
C e P, determine a e b através do Método dos Quadrados Mínimos (use três casas 
decimais) 
P 0,111 0,428 1,15 1,74 3,34 4,28 4,83 
C 0,357 0,783 1,32 2,23 2,83 3,28 4,66 
 
Exercício 3 Usando o Método dos Mínimos Quadrados ajustar da melhor maneira 
possível uma curva aos dados da tabela abaixo: 
x -3 -2 -1 0 1 2 
y 0,42 0,78 1,37 2,51 4,45 8,05 
 
Exercício 4: 
 a) Calcule 𝐼 = ∫ √6𝑥 − 5
9
1
𝑑𝑥 usando o método dos trapézios com 8 repetições; 
b) Determine a estimativa para o erro (𝐸𝑇𝑅); 
c) Quantas subdivisões devemos ter para que o erro seja menor que 10−4? 
 
Exercício 5: Calcule usando a Regra 1/3 de Simpson com erro menor do que 10−3 o 
valor da integral 𝐼 = ∫ 𝑙𝑛(𝑥 + 1)
3
1
𝑑𝑥. 
Exercício 6: Um corpo com uma massa inicial de 200 kg está em movimento sob a ação 
de uma força constante de 2000N. Sabendo-se que esse corpo está perdendo 1 Kg de 
sua massa por segundo e considerando que a resistência do ar é o dobro de sua 
velocidade e que o corpo está em repouso em t = 0, então a equação diferencial que 
descreve a variação de sua velocidade é dada por 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 
2000−2𝑣
200−𝑡
 , 𝑣(0) = 0, qualquer t > 0 
Determine a velocidade do corpo v(t) no instante t = 5 segundos com intervalos de 1,0 
segundos usando: 
a) Método de Euler Aperfeiçoado (use 3 casas decimais); 
b) Método de Runge-Kutta de 4ª ordem (use 3 casas decimais); 
c) Método Predição-Correção de 4ª ordem (use 3 casas decimais); 
d) Sabendo-se que a solução exata da equação é v(t) = 10t − (
1
40
) t2, compare com 
a solução aproximada obtida nos itens anteriores. 
 
Exercício 7: Determine a solução numérica aproximada da seguinte Equação 
Diferencial Ordinária, com passo h=0,2: 
{
𝑦′(𝑥) + 2𝑦 = 0
𝑦(0) = 1
 ∀ 𝑥 ∈ [0,1] 
a) Método de Euler 
b) Método de Euler Aperfeiçoado; 
c) Método de Runge-Kutta de 4ª ordem; 
d) Método de Predição-Correção de 4ª ordem. 
e) Sabendo-se que a solução exata da equação é 𝑦(𝑥) = е−2𝑥, compare com as 
soluções aproximadas obtidas nos items anteriores. 
 
Exercício 8: Determine a solução numérica aproximada da seguinte Equação 
Diferencial Ordinária, de segunda ordem, com passo h=0,2: 
{
𝑦′′(𝑥) + 𝑦(𝑥) = 0
𝑦(0) = 0
𝑦′(0) =
1
𝜋
 ∀ 𝑥 ∈ [0,1] 
a) Método de Euler 
b) Método de Euler Aperfeiçoado; 
c) Método de Runge-Kutta de 4ª ordem; 
d) Sabendo-se que a solução exata da equação é 𝑦(𝑥) = (
1
𝜋2
) 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥), compare com 
as soluções aproximadas obtidas nos items anteriores. 
 
Exercício 9: Um corpo de massa m, preso a uma mola de constante elástica k, sob atrito 
e sujeito a uma força externa variável f(t) tem seu movimento descrito por uma 
equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. O caso mais 
simples é chamado de Movimento Harmônico Simples, no qual a mola está livre, ou 
seja, sem a atuação de forças externas ou atrito. Então a EDO que descreve o 
Movimento Harmônico Simples da mola é dada por 
{ 𝑚
𝑑2𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
+ kx = 0
x(0) = 6 e x′(0) = 3
 
 
Usando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem, determine a distância percorrida x(t) 
no instante t = 1 segundo, com intervalos de 0,5. Considere m = 4 e k = 9.