Álgebra Linear - Determinantes

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1
DETERMINANTES
Profª. Bênia Rilho
2
INTRODUÇÃO: Estamos acostumados com funções que 
associam um número real x a um valor real f(x). Agora 
vamos estudar a função determinante, que associa um 
número real f(x) à matriz X. O trabalho com as funções 
determinante gera aplicações à teoria de sistemas de 
equações lineares e nos levará a uma fórmula explícita da 
inversa de uma matriz invertível.
RELEMBRANDO PERMUTAÇÕES...
Permute os elementos do conjunto {1,2,3}.
2
3
ClassificaçãoNº de inversõesPermutação
Obs. 1: Ocorre uma inversão numa permutação sempre que 
um nº maior antecede o menor.
Obs. 2: Uma permutação é chamada PAR se o nº total de 
inversões é par; caso contrário é dita ÍMPAR.
4
DEFINIÇÃO: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, dizemos 
que um produto de n entradas de A, tais que não há duas da 
mesma linha ou coluna, é um PRODUTO ELEMENTAR da 
matriz A.
Exemplo: 





=
2221
1211
aa
aa
A
ímpar(2,1)
par(1,2)
Produto Elementar 
com Sinal
Par/ÍmparPermutação 
associada
Produto 
elementar
2211aa
2112aa
2211aa+
2112aa−
+: quando par
-: quando ímpar
3
5










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Produto Elementar 
com Sinal
Par/ÍmparPermutação 
associada
Produto 
elementar
6
DEFINIÇÃO: Denomina-se DETERMINANTE de A (det(A) ou 
|A|) ao número real obtido pelo somatório dos produtos 
elementares com sinal de A.
Função determinante: A |A|
Exemplos:






=
2221
1211
aa
aa
A 21122211 aaaaA −=
Método Prático:diagonal principal – diagonal secundária
4
7










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
312213332112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −−−++=
Método Prático visto no Ensino Médio
(Regra de Sarrus)
32
22
12
31
21
11
333231
232221
131211
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
A










=
ssecundáriadiagonaisdaselementosdosproduto
principaisdiagonaisdaselementosdosproduto
∑
−∑=A
8
413
125
312 −
15
32
−
−
5
9
Propriedades dos
Determinantes
10
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
Quando todos os elementos de uma fila são nulos
Ex: 1) 0
000
892
531
=−
2) 0
1605
802
501
=
6
11
Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais
3)
0
918
0921
2318
0921
=
−
−
π
4) 0
884
201
693
=−−
31 LL =
31 C.C2 =
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
12
Quando uma das filas é a combinação linear de outras 
filas paralelas.
5)
6)
0
9114
053
961
=
0
0957
8770
9713
0531
=
−−
321 LLL =+
321 CC.C2 =+
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
7
13
Outras propriedades:
Ex: 1)
2)
61218
94
32
=−= 61218
93
42
=−=
,10 Se =
tsr
zyx
cba
10 então =
tzc
syb
rxa
|||| tAA =
14
1)Ex: 
• Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o 
determinante troca de sinal
31518
93
52
=−= 3181539
25
−=−=
2) ,5 Se =
tsr
zyx
cba
5 então −=
cba
zyx
tsr
Outras propriedades:
8
15
,10 Se =
tsr
zyx
cba
7010.7.7.7.7 então ==
tsr
zyx
cba
Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante 
também fica multiplicado por esse no
Outras propriedades:
Consequência:
Se uma matriz quadrada de ordem n for 
multiplicada por K então o seu determinante 
ficará multiplicado por Kn.
16
Ex: .
32
14
B e 
75
23
A Sejam 





=





=
?|A.B| valeQuanto
11011.10|A.B| ==
Outras propriedades:
11|A| = 10|B| =
|AB|=|A||B|
9
17
Ex: 
:iaConsequênc IA.A -1 =
|I||A.A| -1 =⇒
1|A|.|A| -1 =⇒
|A|
1
|A| 1- =⇒
:é 
93
52
A de inversa da tedeterminan O 





=
1/3|A|/1|A| -1 ==
TEOREMA: A é invertível 0≠⇔ A
|A|
1
|A| 1- =
18
1)
2)
Ex: 
O determinante de uma matriz triangular é igual ao 
produto dos elementos da diagonal principal
=
797
035
002
427.3.2 =
=
−
2000
5300
6850
0872
602.3.5.2 −=−
Outras propriedades:
10
19
Calculando determinantes através 
de redução por linhas
A idéia é transformar uma matriz A em uma equivalente 
diagonal superior e depois verificar como as operações 
aplicadas afetaram o determinante.
?
162
963
510
=−
20
=−
162
963
510
=
−
−
162
510
963
=
−
−
162
510
321
3
=
−
−
−
5100
510
321
3 =
−
−
×−
120
510
321
53 =
−
−
−
1100
510
321
15
165)11(15 =−×−
11
21
Menor Complementar (M
ij
)
É o determinante da matriz obtida após ser eliminada a linha 
e a coluna do elemento aij considerado.
Ex. Sendo 
0 1 2
3 4 5
2 7 1
A
− 
 
=  
 
− 
, calcule M12
13
12
53
12 =
−
=M
22
Cofator
Ex. Dada a matriz 
0 1 2
3 4 5
2 7 1
A
− 
 
=  
 
− 
, calcule C21
ij
ji
ij MC .)1(
+
−=
21
12
21 .)1( MC
+
−=
17
21
.)1( 321
−
−=C
]141[.)1(21 −−−=C
1521 =C
É o menor com sinal!
12
23
EXPANSÃO EM COFATORES
Já vimos que:










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
312213332112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −−−++=
)()()( 312232211333213123123223332211 aaaaaaaaaaaaaaaA −+−+−=
131312121111 MaMaMaA +−=
131312121111 CaCaCaA ++=
24
CONCLUSÃO:
O determinante de uma matriz A de ordem n pode 
ser calculado multiplicando as entradas de uma fila 
qualquer pelos seus respectivos cofatores e somando os 
produtos resultantes.
ijijCaA ∑=||
=
−
−
3573
5142
1121
6253
=
−
−
0810
3300
1121
3110
=
−
−
+
081
330
311
)1( 12
13
25
=
−
−
081
330
311
)1( =−
081
330
390
)1( =−− +
33
39
)1)(1( 13 18)927( =−−
=
−−
−
2131
8537
1113
1164
26
ADJUNTA DE UMA MATRIZ
Se A é uma matriz n x n e Cij é o cofator de aij, então a matriz
é chamada MATRIZ DE COFATORES 
de A .












nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
L
MMM
L
L
21
22221
11211
A transposta desta matriz é chamada adjunta de A e é 
denotada por adj (A).
14
27










−
−
=
042
361
123
A
Matriz dos cofatores:









 −
161012
1624
16612










−
−=
161616
1026
12412
)(Aadj
28
INVERSA DE UMA MATRIZ ATRAVÉS DA ADJUNTA
1. Crie uma matriz A de ordem 3x3.
2. |A|=?
3. Adj(A)=?
4. A.Adj(A)=?
5. O que você observa? Compare sua resposta com a 
de outros colegas.
6. Multiplique os 2 membros da igualdade por A-1, 
resolva a equação e isole A-1.
15
29
CONCLUSÃO:
Sendo calcule A-1 pela Adj (A).





=
dc
ba
A
30
Regra de Cramer
Se Ax=b é um sistema de n equações lineares em n 
incógnitas tal que |A| 0, então o sistema tem uma única 
solução dada por:
≠
||
||
A
A
x
j
j =
Onde Aj é a matriz obtida substituindo as entradas da j-
ésima coluna de A pelas entradas da matriz b.
16
31
32
⇒≠ 0|| A ⇒invertível éA b.Ax de solução única a é1 == − bAx












+++
+++
+++
=
=
























===
−
nnnnn
nn
nn
nnnnn
n
n
bCbCbC
bCbCbC
bCbCbC
A
b
b
b
CCC
CCC
CCC
A
b
A
AAdj
bAx
...
...
...
||
1
||
1
.
||
)(
2211
2222112
1212111
2
1
21
22221
11211
1
M
M
L
MMMM
L
L
17
33
Logo a entrada na j-ésima linha de x é:
||
...2211
A
bCbCbC
x
nnjjj
j
+++
=
Agora vamos escrever Aj:














=
+
+
+
−
−
−
nn
n
n
nj
j
j
nnj
j
j
nn
j
a
a
a
a
a
a
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
M
L
M
L
L
MMM
L
M
L
L
MM
2
1
1
12
11
2
1
1
12
11
2
22
12
1
21
11
||....|| 2211 AxCbCbCbA jnjnjjj =+++=
Logo:
||
||
A
A
x
j
ij =