Álgebra Linear - Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

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GUIDG.COM 1 
 
5/10/2012 – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. 
Tags: Matrizes, Determinantes, Sistemas, Definições, Teoria, Teoremas, Propriedades, Exemplos, Exercícios, Passo à Passo... 
 
I - Este texto foi escrito com objetivo englobar todo o conteúdo de Matrizes e Determinantes para o estudo e 
resolução de Sistemas Lineares, entretanto o estudante deve consultar as referências bibliográficas. 
 
II - Esse estudo está limitado aos números reais ( R ) , mas é importante saber que esta teoria é valida também 
para conjuntos superiores como no caso dos números complexos (C ) . 
 
III - Muitos assuntos estão relacionados e quando algum requisito for necessário faremos uma indicação, por 
exemplo: [1.21 Submatriz] , desta forma o estudante é informado que deve ter conhecimento deste tópico. 
 
 
Sumário 
 
1 MATRIZES.........................................................................................................................................................................3 
1.1 Fila de uma matriz.......................................................................................................................................................3 
1.2 Matriz linha (vetor-linha) ............................................................................................................................................3 
1.3 Matriz coluna (vetor-coluna).......................................................................................................................................3 
1.4 Matriz zero (matriz nula).............................................................................................................................................3 
1.5 Vetor nulo (vetor zero)................................................................................................................................................4 
1.6 Matriz quadrada ..........................................................................................................................................................4 
1.7 Matriz retangular .........................................................................................................................................................5 
1.8 Matriz diagonal ...........................................................................................................................................................5 
1.9 Matriz identidade (matriz unidade) .............................................................................................................................5 
1.10 Igualdade de matrizes..................................................................................................................................................6 
1.11 Matriz transposta (transposição) .................................................................................................................................6 
1.12 Matriz oposta...............................................................................................................................................................6 
1.13 Matriz simétrica ..........................................................................................................................................................6 
1.14 Matriz anti-simétrica ...................................................................................................................................................6 
1.15 Matrizes comutativas...................................................................................................................................................6 
1.16 Matrizes anti-comutativas ...........................................................................................................................................8 
1.17 Matriz involutiva .........................................................................................................................................................8 
1.18 Matriz idempotente .....................................................................................................................................................8 
1.19 Matriz triangular..........................................................................................................................................................8 
1.20 Traço de uma matriz....................................................................................................................................................9 
1.21 Submatriz ....................................................................................................................................................................9 
1.22 Operações com matrizes............................................................................................................................................10 
1.23 Operações elementares das matrizes .........................................................................................................................11 
1.24 Equivalência de matrizes...........................................................................................................................................11 
1.25 Matriz escalonada e matriz linha-reduzida................................................................................................................12 
1.26 Posto de uma matriz ..................................................................................................................................................16 
1.27 Nulidade de uma matriz ............................................................................................................................................16 
1.28 Propriedades de operações com matrizes ..................................................................................................................19 
1.29 Potência de uma matriz .............................................................................................................................................23 
1.30 Matriz inversa............................................................................................................................................................23 
1.31 Matriz ortogonal........................................................................................................................................................32 
2 DETERMINANTES .........................................................................................................................................................34 
2.1 Conceito de determinante..........................................................................................................................................34 
2.2 Determinante de uma matriz .....................................................................................................................................36 
2.3 Regras práticas para o cálculo de determinantes .......................................................................................................38 
2.4 Propriedades dos determinantes ................................................................................................................................40 
2.5 Menor complementar ................................................................................................................................................45 
2.6 Co-fator .....................................................................................................................................................................45 
2.7 Matriz co-fatora.........................................................................................................................................................45 
2.8 Matriz adjunta ...........................................................................................................................................................45 
2.9 Teorema deLaplace ..................................................................................................................................................46 
2.10 Determinante por triangulação ..................................................................................................................................48 
2.11 Determinante de Vandermonde (determinante das potências) ..................................................................................49 
2.12 Regra de Chió............................................................................................................................................................49 
GUIDG.COM 2 
 
3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES .....................................................................................................................52 
3.1 Equação linear ...........................................................................................................................................................52 
3.2 Sistema de equações lineares (sistema linear)...........................................................................................................52 
3.3 Sistema linear homogêneo ........................................................................................................................................53 
3.4 Sistemas e matrizes ...................................................................................................................................................53 
3.5 Posto de um sistema (característica de um sistema)..................................................................................................54 
3.6 Grau de liberdade do sistema ....................................................................................................................................54 
3.7 Operações linha sobre um sistema linear ..................................................................................................................55 
3.8 Solução de um sistema por matriz inversa ................................................................................................................55 
3.9 Regra de Cramer .......................................................................................................................................................58 
4 NOTAS FINAIS ................................................................................................................................................................65 
5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E LEITURA COMPLEMENTAR .................................................................65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUIDG.COM 3 
 
1 MATRIZES 
Matriz de ordem m×n ( m por n ) é um agrupamento retangular de números dispostos em m linhas 
(horizontais) por n colunas (verticais), entre colchetes, parênteses ou barras duplas. 
 
AmBn = aij
B C
mBn
=
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
… … … …
am1 am2 … amn
HLLLLJ
IMMMMK =
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
… … … …
am1 am2 … amn
hlllj
immmk =
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
… … … …
am1 am2 … amn
LLLLLLLLLL
MMMMMMMMMM
LLLLLLLLLLL
MMMMMMMMMMM
 
 
I - As letras maiúsculas itálicas A,B,C... representam as matrizes, os respectivos índices inferiores 
indicam a ordem da matriz, e lê-se: Matriz A de ordem m por n . 
 
II - Os números (ou incógnitas) neste agrupamento são chamados de elementos ou entradas da matriz, e 
são representados pelas letras minúsculas aij , bij , cij , … . 
 
III - O índice i indica a linha e o índice j indica a coluna ,localizando assim as entradas na matriz. 
 
IV - O conjunto das Matrizes Reais de ordem m×n é denotado por: 
 
 M m,n
` a
= AmBn = aij
B C
mBn
| aij 2 R , 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n
T U
 
 
 
1.1 Fila de uma matriz 
Entende-se por fila de uma matriz o mesmo que uma linha ( L ) ou coluna ( C ) dessa matriz. 
 
 
1.2 Matriz linha (vetor-linha) 
Disposição em apenas uma linha (m = 1) ou ordem 1× n . 
 
 
1.3 Matriz coluna (vetor-coluna) 
Disposição em apenas uma coluna (n = 1) ou ordem m × 1 . 
 
 
1.4 Matriz zero (matriz nula) 
É a matriz onde todas as entradas são iguais a zero, denotada por O , independente do tipo ou ordem. 
 
O = aij
b c
mBn
com aij = 0 8 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n 
 
 
Exemplo 1: 
 
Matriz linha: 
 
A = 3 2 x 0
@ A
 
Matriz coluna: 
 
AT =
3
2
x
0
HLLLLJ
IMMMMK 
Matriz zero: 
 
O3 =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
HLJ
IMK O2B3 = 0 0 00 0 0
D E
 
 
GUIDG.COM 4 
 
1.5 Vetor nulo (vetor zero) 
O vetor nulo ( 0jjjjjjjjjjjjjjjjjjk) será definido agora pois é um conceito simples de entender e de grande importância 
em nossos estudos e diversas questões no desenvolvimento da Álgebra Linear. O vetor nulo pode assumir 
diversas formas, dependendo do conjunto (ou Espaço Vetorial) que estivermos trabalhando e da sua 
respectiva aplicação. 
 
 
I – Se estivermos trabalhando com matrizes, então o vetor nulo indica a matriz nula O de ordem m×n . 
 
Ordem 2×2 0
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=
0 0
0 0
D E
 , ordem 3×1 0
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
=
0
0
0
HLJ
IMK , ordem m×n 0jjjjjjjjjjjjjjjjjjk=
0 0 … 0
0 0 … 0
((
…
(
0 0 … 0
HLLLLJ
IMMMMK . 
 
 
II – No plano ou no espaço o vetor nulo indica a origem do sistema com n-coordenadas. 
 
Duas coordenadas 0
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= 0,0
b c
 , três coordenadas 0
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= 0,0,0
b c
 , n-coordenadas 0
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= 0,0,0, … ,0
b c
 . 
 
 
III – Se estivermos trabalhando com polinômios, então o vetor nulo indica o polinômio nulo (polinômio 
zero) de n-ésimo grau em relação a sua respectiva variável. 
 
Segundo grau, variável t 0
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= p 0
` a
= 0t 2 + 0t + 0 . 
 
Terceiro grau, variável x 0
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= p 0
` a
= 0x 3 + 0x 2 + 0x + 0 . 
 
N-ésimo grau, variável x 0
jjjjjjjjjjjjjjjjjjk
= p 0
` a
= 0x n + 0x n@ 1 + …+ 0x + 0 . 
 
 
1.6 Matriz quadrada 
Número de linhas igual ao número de colunas ( m = n ) , ordem n×n ou apenas n . Existem varias 
definições para a matriz quadrada, veremos as principais a seguir. 
 
 
1.6.1 Diagonal principal 
São os elementos aij | i = j . 
 
 
1.6.2 Termo principal 
É o produto dos elementos da diagonal principal. 
 
 
1.6.3 Diagonal secundária 
São os elementos aij | i + j = n + 1 . 
*Note que a soma dos índices dos elementos da diagonal secundária é sempre constante. 
 
 
GUIDG.COM 5 
 
1.6.4 Termo secundário 
É o produto dos elementos da diagonal secundária. 
 
 
Exemplo 2: Identifique as diagonais da matriz A de ordem 4 e o termo principal e secundário. 
 
 
Diagonal secundária, conjunto de elementos { a41 , a32 , a23 , a14 } . 
 
A4 =
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
HLLLLJ
IMMMMK 
 
Diagonal principal, conjunto de elementos { a11 , a22 , a33 , a44 } . 
 
Termo principal = a11 A a22A a33 A a44 e termo secundário = a41A a32 A a23 A a14 . 
 
 
1.7 Matriz retangular 
Toda matriz onde m ≠ n . 
 
 
1.8 Matriz diagonal 
É a matriz quadrada onde os elementos não pertencentes à diagonal principal são nulos. 
 
Am = aij
B C
m
| aij = 0 se i ≠ j 
 
Como a matriz diagonal só possui elementos na diagonal principal (os demais são zero), podemos denotá-
la através de um conjunto. Se Am é uma matriz diagonal então diag Am
b c
= a11 , … , amm
P Q
 . 
 
 
Exemplo3: Se diag ( A4 ) = { 1, 3, 0, 7 } , então A4 =
1 0 0 0
0 3 0 0
0 0 0 0
0 0 0 7
HLLLLJ
IMMMMK . 
 
 
1.9 Matriz identidade (matriz unidade) 
É uma matriz diagonal de ordem n onde todos os elementos são iguais a 1 , denotada por I . 
 
I n = aij
B C
n
|
aij = 1 se i = j
aij = 0 se i ≠ j ou diag I n
b c
= 1, … , 1
P Q
X^^\^
Z^ 
 
 
Exemplo 4: diag I 3
b c
= 1,1,1
P Q
Q I 3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
HLJ
IMK 
GUIDG.COM 6 
 
1.9.1 Observações 
 
I - A matriz identidade é o elemento neutro na multiplicação de matrizes, por isso é também chamada de 
matriz unidade, isto é, BI = IB = B . Sendo B uma matriz quadrada . 
 
II - O determinante da matriz identidade é unitário det( I ) = 1 . 
 
III - A matriz identidade é classificada como: matriz diagonal, matriz quadrada, matriz simétrica, matriz 
não-singular, matriz ortogonal... (verifique as afirmações que não forem imediatas). 
 
 
1.10 Igualdade de matrizes 
Duas matrizes são iguais quando seus elementos correspondentes forem iguais. 
 
A = aij
B C
mBn
e B = bij
B C
pBq
então A = B ^ aij = bij 8 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n 
 
*Note que as matrizes devem ser de mesma ordem, isto é, m = p e n = q . 
 
 
1.11 Matriz transposta (transposição) 
Trocam-se as linhas pelas colunas, gerando uma nova matriz. Indica-se AT a matriz transposta de A. 
 
 
Exemplo 5: A = aij
B C
mBn
Q AT = B = b ji
B C
nBm
com aij = b ji 
 
 
1.12 Matriz oposta 
Seja A uma matriz, então -A é sua matriz oposta tal que A + @A` a= O . 
*Basta trocar os sinais dos elementos da matriz. 
 
 
1.13 Matriz simétrica 
AT = A , isto é, aij = a ji . 
 
 
1.14 Matriz anti-simétrica 
AT =@A , isto é, aij =@ a ji e aij = 0 se i = j (diagonal principal nula). 
 
*Veja os exemplo 22 e 23. 
 
 
1.15 Matrizes comutativas 
 
I - Se A e B são matrizes quadradas tais que AB = BA = C , sendo C uma matriz qualquer diferente 
da matriz identidade I , dizemos que A e B são matrizes comutativas. 
 
II - Se A e B são matrizes comutativas tais que AB = BA = I , sendo I a matriz identidade, defini-se 
A como a matriz inversa de B , ou B como a matriz inversa de A . 
 
[1.30 Matriz inversa] 
GUIDG.COM 7 
 
Exemplo 6: Determine duas matrizes comutativas de segunda ordem, tais que o produto entre essas 
matrizes seja diferente da matriz identidade. 
 
Solução: Sejam as matrizes A2B2 e B2B2 , queremos determinar estas duas matrizes tais que a 
definição de comutatividade seja verificada, isto é, queremos A e B | AB = BA = C . 
 
 
A = a b
c d
D E
e B =
w x
y z
D E
Q AB = a b
c d
D E
w x
y z
D E
=
w x
y z
D E
a b
c d
D E
= BA
AB = aw + by ax + bz
cw + dy cx + dz
F G
=
wa + xc wb + xd
ya + zc yb + zd
F G
= BA
 
 
Temos um sistema com muitas variáveis livres, entretanto como veremos, ao escolhermos algumas 
variáveis as outras ficarão em função destas escolhidas, daí que podemos determinar todas as demais. 
 
AB = BA será uma matriz C tal que a igualdade seja verificada, isto é: 
 
 AB = BA = C =
c11 c12
c21 c22
F G
 
 
c11 é tal que
aw + by = wa + xc
by = xc
V
 e c12 é tal que
ax + bz = wb + xd
ax @ xd = wb@ bz
x a@ d` a = b w@ z` a
X^^\^
Z^ 
 
Agora já estamos em condições de supor valores para os elementos das matrizes A e B , pois definimos 
uma relação entre as duas (a escolha é arbitrária, mas é preciso que a relação seja válida). 
 
Escolhendo b = 1 temos que y = xc , 
Escolhendo c = -2 temos que y = -2x , 
Escolhendo x = 5 temos que y = -10 , 
 
Logo temos os valores: b = 1 , c = -2 , x = 5 , y = -10 . 
Pela relação obtida em c12 , substituímos os valores b e x 
 
 
x a@ d` a= b w@ z` a
5 a@ d` a= 1 w@ z` a 
 
Escolhendo z = 2 temos que 5( a – d ) = w – 2 , 
Escolhendo a = -3 temos que 5( -3-d ) = w – 2 , 
Escolhendo d = -1 temos que -10 = w -2 , assim w = -8 . 
 
Logo temos todos os valores necessários: a = -3 , d = -1 , w = -8 e z = 2 . 
 
Agora substituímos os valores nas matrizes tal que AB = BA = C : 
 
a = -3 , b = 1 , c = -2 , d = -1 ; w = -8 , x = 5 , y = -10 , z = 2 
 
A = @ 3 1
@ 2 @ 1
D E
e B = @ 8 5
@ 10 2
D E
Q AB = @ 3 1
@ 2 @ 1
D E
@ 8 5
@ 10 2
D E
=
@ 8 5
@ 10 2
D E
@ 3 1
@ 2 @ 1
D E
= BA 
 
GUIDG.COM 8 
 
Efetuando a multiplicação das matrizes tanto AB quanto BA temos o resultado que queríamos, isto é: 
 
AB = 14 @ 1326 @ 12
D E
= BA = 14 @ 1326 @ 12
D E
= C 
 
Logo as matrizes A e B são comutativas. 
 
 
1.15.1 Observações 
 
I - Veja que obtemos duas matrizes comutativas tais que A não é a inversa de B , e nem B é a inversa 
de A , isto é, AB = BA ≠ I . 
 
II - Note que desenvolvemos este resultado e que ele não é uma propriedade das matrizes, em geral o 
produto das matrizes AB ≠ BA , a comutatividade é raramente válida. 
 
 
1.16 Matrizes anti-comutativas 
Se A e B são matrizes quadradas tais que AB = –BA . 
 
 
1.17 Matriz involutiva 
Se A é uma matriz quadrada tal que A² = I . 
 
 
1.18 Matriz idempotente 
Se A é uma matriz quadrada tal que A² = A . 
 
 
1.19 Matriz triangular 
Classificam-se triangular as matrizes que são triangular inferior ou triangular superior. Pode-se pensar 
que a matriz diagonal é triangular, por ser simultaneamente triangular inferior e triangular superior, mas 
de acordo com a definição a matriz diagonal não é triangular. 
 
 
1.19.1 Matriz triangular superior 
 
A = aij
B C
mBn
com aij = 0 se i > j
 . 
 
 
Exemplo 7: A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
HLJ
IMK=
a11 a12 a13
0 a22 a23
0 0 a33
HLLJ
IMMK 
 
 
GUIDG.COM 9 
 
1.19.2 Matriz triangular inferior 
 
B = bij
B C
mBn
com bij = 0 se i < j . 
 
 
Exemplo 8: B =
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
HLLLJ
IMMMK=
b11 0 0
b21 b22 0
b31 b32 b33
HLLLJ
IMMMK 
 
 
1.20 Traço de uma matriz 
Seja A uma matriz quadrada de ordem m , o traço da matriz A que indicamos por tr (A) é a soma dos 
elementos da diagonal principal, isto é: 
 
Se A = aij
B C
m
=
a11 a12 … a1m
a21 a22 … a2m
… … … …
a
m1 am2 … amm
HLLLLJ
IMMMMK , então o traço da matriz A é dado 8 j = i assim 
 
tr A
` a
=X
i = 1
m
aii = a11 + a22 + a33 + …+ amm 
 
 
Exemplo 9: Calcule o traço da matriz Z =
1 5 9
0 2 0
2 6 8
HLJ
IMK . 
 
Solução: tr (Z ) = 1 + 2 + 8 = 11 
 
 
1.21 Submatriz 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 , chama-se submatriz Aij e denota-se sub Aij
b c
 a 
matriz de ordem n – 1 que obtemos após removermos a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz A . 
 
 
Exemplo 10: Seja a matriz A , determine a sub A13
b c
 . 
 
 A =
1 3 @ 2
0 1 @ 5
2 8 @ 3
HLJ
IMKQ sub A13b c= 0 12 8
D E
 
 
*Note que só é preciso remover a linha 1 e a coluna 3. 
 
 
GUIDG.COM 10 
 
1.22 Operações com matrizes 
Nesta seção veremos as operações básicas entre as matrizes e a forma em que são realizadas. 
 
 
1.22.1 Adição e subtração 
As matrizes devem ser do mesmo tipo (ou ordem), somar ou subtrair os elementos correspondentes. 
 
 
Exemplo 11: A = aij
B C
mBn
e B = bij
B C
mBn
então A + B = aij + bij
B C
mBn
= CmBn 
 
 
1.22.2 Multiplicação por escalar 
Multiplicar todos os elementos da matriz por um número k . 
 
A = aij
B C
mBn
e k um número então k AA = k A aij
B C
mBn
 
 
 
1.22.3 Multiplicaçãode matrizes 
Considere as Matrizes A = aij
B C
mBn
e B = bij
B C
pBq
, se n = p então AmBn ABpBq = CmBq . 
 
 
 
*Se n ≠ p a multiplicação não existe; note que este número n = p é o limite superior do somatório. 
 
 
 C = cij
B C
mBq
onde cij =X
k = 1
n
aik A bkj = ai1 A b1j + ai2A b2j + ai3A b3j + …+ ain A bnj 
 
 
Isto é, cada elemento cij é resultante desta soma de produtos. 
 
 
Exemplo 12: Considere as matrizes A e B , então o produto AB é dado abaixo. 
 
 
A2B2 B2B2 =
1 @ 2
@ 3 4
D E
0 5
6 @ 7
D E
=
1.0@ 2.6 1.5@ 2 A @ 7` a
@ 3.0 + 4.6 @ 3.5 + 4 A @ 7` a
HJ IK= @ 12 1924 @ 43
D E
= C2B2 = cij
B C
 
 
c21 =X
k = 1
2
a2k A bk1 = a21 A b11 + a22 A b21 =@ 3 A 0 + 4.6 = 24 , da mesma forma obtemos c11 , c12 e c22 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUIDG.COM 11 
 
1.23 Operações elementares das matrizes 
São três as operações elementares entre as filas de uma matriz, em nosso estudo usaremos as letras ( L ) 
para linha e ( C ) para coluna, referindo-se as filas da matriz. Recomenda-se o uso das notações por um 
melhor esclarecimento de procedimento. 
 
 
1.23.1 Permutação de filas 
É a troca de uma linha por outra, a seta dupla indica a permuta (troca) e é usada somente nesta operação. 
 
Notação: LxT k Ly ou C xT kC y (Lê-se: A troca da fila x por k vezes a fila y ) 
 LxT Ly ou C xTC y (Quando fazemos k = 1 , basta trocarmos as filas) 
 
 
1.23.2 Multiplicação de uma fila por escalar não nulo 
É a multiplicação da x-ésima fila por um escalar não nulo. 
 
Notação: LxQ k ALx ou C xQ k AC x (Lê-se: A troca da fila x por k vezes fila x ) 
 
 
1.23.3 Substituição de uma fila por combinação linear 
É a substituição da x-ésima fila pela x-ésima fila mais k vezes a y-ésima fila. 
 
Notação: 
LxQ Lx + k ALy ou LxQ k ALy + Lx
C xQC x + k AC y ou C xQ k AC y + C x
 
 
Lê-se: A troca da fila x pela fila x mais k vezes a fila y . Ou a troca da fila x por k vezes a fila y 
mais a fila x . Isto por que a ordem da soma não altera o resultado, mas atenção a substituição refere-se a 
fila que indicamos antes da seta. 
 
 
1.24 Equivalência de matrizes 
Sendo A e B matrizes de mesma ordem, dizemos que A é equivalente a B, se for possível transformar 
A em B por um número finito de operações elementares sobre as filas de A. 
 
Notação: A ~ B (Lê-se: A é equivalente à B ou A é linha equivalente à B ). 
 
 
Exemplo 13: Seja a matriz A , obtenha a matriz I através de operações elementares. 
 
 
 A =
2 0 1
0 0,5 0
1 0 0
HLJ
IMK L3T L1{~~~ }~~~y
Permutação
1 0 0
0 0,5 0
2 0 1
HLJ
IMK L2Q 2L2{~~~~ }~~~~y
Multiplicação por escalar
1 0 0
0 1 0
2 0 1
HLJ
IMK L3Q@ 2L1 + L3{~~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~~y
Substituição
1 0 0
0 1 0
0 0 1
HLJ
IMK= I 
 
 
Usamos neste exemplo as três operações elementares, no primeiro passo substituímos a linha três pela 
linha um, no segundo passo multiplicamos a linha dois por duas vezes a linha dois e no terceiro passo 
trocamos a linha três por menos duas vezes a linha um mais a linha três, obtendo assim a matriz 
identidade ( I ) e de acordo com 1.24 , A ~ I , isto é, a matriz A é equivalente a matriz I . 
 
GUIDG.COM 12 
 
1.25 Matriz escalonada e matriz linha-reduzida 
Considere as seguintes propriedades relativas às filas de uma matriz: 
 
I – Numa linha não nula, o primeiro elemento não nulo é 1 (este é chamado de líder ou pivô). 
II – Em quaisquer duas linhas sucessivas não nulas, o líder da linha superior esta sempre mais à esquerda 
do que o líder da linha inferior. 
III – As linhas nulas ocorrem abaixo de todas as linhas não nulas. 
IV – Cada coluna que contém um líder tem seus demais elementos nulos. 
 
Com isso lembramos que sempre podemos transformar uma matriz dada numa matriz escalonada ou 
numa matriz linha-reduzida, utilizando as operações elementares das matrizes, e assim definimos: 
 
 
1.25.1 Matriz na forma escalonada 
São as matrizes em que se verificam as propriedades I, II e III. 
 
 
1.25.2 Matriz na forma linha-reduzida 
São as matrizes em que todas as propriedades (I, II, III e IV) são verificadas. 
 
 
1.25.3 Escalonamento 
É o procedimento que leva a matriz A para a matriz escalonada de A . Também chamado de Eliminação 
Gaussiana ou Método de Gauss. 
 
 
1.25.4 Eliminação Gauss-Jordan 
É o procedimento que leva uma matriz à sua forma linha-reduzida. 
 
 
1.25.5 Observações 
 
I - O escalonamento e a eliminação Gauss-Jordan serão ilustrados no próximo exemplo. 
 
II - A matriz linha-reduzida é também chamada de: (1) “matriz na forma escalonada reduzida por linhas”, 
do inglês “matrix in reduced row echelon form”, (2) “matriz linha-reduzida à forma escada” ou “matriz 
escada reduzida por linhas” e (3) “matriz na forma escada”. 
 
*Diferentes autores usam nomes distintos para se referirem a mesma coisa, cabe a cada estudante decidir 
qual nome vai usar, neste texto usamos “linha-reduzida” por ser um dos mais curtos e objetivos. 
 
 
1.25.6 Teorema 
Toda matriz A de ordem m×n é equivalente a uma única matriz linha-reduzida. 
 
 
1.25.7 Corolário 
Toda matriz A inversível de ordem n , tal que detA ≠ 0 é equivalente a matriz linha-reduzida I , sendo 
I a matriz identidade ( An ~ I n ) . 
 
 
GUIDG.COM 13 
 
1.25.8 Procedimento “escalonamento” e “linha-reduzida” 
Não ignorando as conclusões vistas em 1.25 existe uma infinidade de caminhos para se chegar à forma 
escalonada e à forma linha-reduzida, entretanto queremos tornar este caminho o mais curto possível 
eliminando procedimentos redundantes, para isso considere o seguinte exemplo. 
 
Exemplo 14: Seja a matriz A =
5 3 @ 1
2 5 4
@ 1 1 2
HLJ
IMK , obtenha a matriz escalonada e a matriz linha-reduzida. 
 
Usando as operações elementares: 
 
1 – O elemento a11 deve ser 1 . 
 
Neste caso a11 = 5 . 
 
1.1 Podemos fazer L1Q
1
5
fffL1 ; 
1.2 Ou L1T
1
2
fffL2 ; 
1.3 Ou da mesma forma L1T@L3 ; 
1.4 Ou L1Q@ 2L2 + L1 ; 
1.5 Ou ainda L1Q 4L3 + L1 . 
 
Essas foram as formas mais imediatas e ainda existem muitas outras maneiras de se obter a11 = 1 . 
Entretanto o caminho escolhido não nos interessa, desde que tenhamos a11 = 1 , então: 
 
A =
5 3 @ 1
2 5 4
@ 1 1 2
HLJ
IMK L1Q@L3 1 @ 1 @ 22 5 4
5 3 @ 1
HLJ
IMK
 
 
2 – Os elementos abaixo de a11 = 1 na primeira coluna devem ser zeros. 
 
Neste caso a12 = 2 e a13 = 5 . 
 
2.1 Continuando da última matriz, podemos fazer: 
 
1 @ 1 @ 2
2 5 4
5 3 @ 1
HLJ
IMK L2Q@ 2L1 + L2 1 @ 1 @ 20 7 8
5 3 @ 1
HLJ
IMK L3Q@ 5L1 + L3 1 @ 1 @ 20 7 8
0 8 9
HLJ
IMK 
 
3 – O procedimento 1 e 2 se repete para as linhas seguintes. 
 
Neste caso para a segunda linha temos a22 = 7 . 
 
3.1 Continuando da última matriz, podemos fazer: 
 
1 @ 1 @ 2
0 7 8
0 8 9
HLJ
IMK L2Q 17ffffL2
1 @ 1 @ 2
0 1 87
ffff
0 8 9
HLLLLJ
IMMMMK 
 
GUIDG.COM 14 
 
3.2 Os elementos abaixo de a22 = 1 devem ser zeros. 
 
Neste caso a32 = 8 , podemos fazer: 
 
1 @ 1 @ 2
0 1 87
ffff
0 8 9
HLLLLJ
IMMMMK L3Q@ 8L2 + L3
1 @ 1 @ 2
0 1 87
ffff
0 0 @ 17
ffff
HLLLLLLLJ
IMMMMMMMK
 
 
3.3 Agora para a terceira linha temos a33 =@
1
7
ffff
 , podemos fazer: 
 
1 @ 1 @ 2
0 1 87
ffff
0 0 @ 17
ffff
HLLLLLLLJ
IMMMMMMMK L3Q@ 7L3
1 @ 1 @ 2
0 1 87
ffff
0 0 1
HLLLLJ
IMMMMK
 
 
Veja que estamos de acordo com 1.25.1. Logo a matriz esta escalonada (e este foi o procedimento 
escalonamento). Vamos continuar até a forma “linha-reduzida”, para isso bastaaplicarmos a propriedade: 
 
“1.25 IV – Cada coluna que contém um líder tem seus demais elementos nulos.” 
 
Ou seja, precisamos zerar os elementos a23 = 8/7 , a13 = -2 e a12 = -1 . Note que neste caso é necessário 
que o elemento a23 seja zerado primeiro para evitar um cálculo a mais, então: 
 
 
1 @ 1 @ 2
0 1 87
ffff
0 0 1
HLLLLJ
IMMMMK L2Q@ 87ffffL3 + L2
1 @ 1 @ 2
0 1 0
0 0 1
HLJ
IMK L1Q L2 + L1 1 0 @ 20 1 0
0 0 1
HLJ
IMK L1Q 2L3 + L1 1 0 00 1 0
0 0 1
HLJ
IMK
 
 
 
Resultado este que já era esperado de acordo com 1.25.6 , pois neste caso detA = -1 ≠ 0 . Veja que 
estamos de acordo com 1.25.2 e neste caso dizemos que a matriz A esta na forma linha-reduzida. 
 
 
 
GUIDG.COM 15 
 
Exemplo 15: Considere o sistema abaixo, dado na forma matricial ampliada, obtenha a matriz escalonada 
e a matriz linha-reduzida, sendo essas equivalentes à M a . 
 
 
 
 0 0 -2 0 7 | 12 
 2 4 -10 6 12 | 28 M a = 
 2 4 -5 6 -5 | -1 
 
[3.4 Sistemas e matrizes] 
 
Solução: Usando as operações elementares, vamos manipular a matriz ampliada do sistema ( M a ) com o 
objetivo de cumprir as exigências para se obter a matriz escalonada e a matriz linha-reduzida. 
 
Note que dada uma instrução de operação elementar, ela é sempre cumprida no próximo passo. 
 
 
. 
 0 0 -2 0 7 | 12 
 2 4 -10 6 12 | 28 L1T 12
fffL2 
 2 4 -5 6 -5 | -1 
 
 
 1 2 -5 3 6 | 14 
 0 0 -2 0 7 | 12 L3Q@ 2L1 + L3 
 2 4 -5 6 -5 | -1 
 
 
. 
 1 2 -5 3 6 | 14 
 0 0 -2 0 7 | 12 L2Q@ 12
fffL2 
 0 0 5 0 -17 | -29 
 
 
 1 2 -5 3 6 | 14 
 0 0 1 0 @ 72
ffff
 | -6 L3Q@ 5L2 + L3 
 0 0 5 0 -17 | -29 
 
 
. 
 1 2 -5 3 6 | 14 
 0 0 1 0 @ 72
ffff
 | -6 
 
L3Q 2L3 
 0 0 0 0 12
fff
 
| 1 
 
 
 1 2 -5 3 6 | 14 
 0 0 1 0 @ 72
ffff
 | -6 
 0 0 0 0 1 | 2 
 
 
Logo o sistema esta na forma escalonada, e até aqui o procedimento é chamado Eliminação-Gaussiana 
ou obtenção da forma escalonada pelo Método de Gauss. Veja que estamos de acordo com 1.25.1. Agora 
podemos usar a forma escalonada para obter a forma linha-reduzida. 
 
. 
 1 2 -5 3 6 | 14 
 0 0 1 0 @ 72
ffff
 | -6 L2Q 72
ffffL3 + L2 
 0 0 0 0 1 | 2 
 
 
 1 2 -5 3 6 | 14 
 0 0 1 0 0 | 1 L1Q 5L2 + L1 
 0 0 0 0 1 | 2 
 
 
. 
 1 2 0 3 6 | 19 
 0 0 1 0 0 | 1 L1Q@ 6L3 + L1 
 0 0 0 0 1 | 2 
 
 
 1 2 0 3 0 | 7 
 0 0 1 0 0 | 1 
 0 0 0 0 1 | 2 
 
 
Logo o sistema esta na forma linha-reduzida, e agora o procedimento é chamado Eliminação Gauss-
Jordan. Veja que estamos de acordo com 1.25.2. 
 
GUIDG.COM 16 
 
Exemplo 16: Algumas matrizes do tipo linha-reduzida. 
 
A =
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
HLLLLJ
IMMMMK , B =
1 2 0 2 0 4
0 0 1 3 0 8
0 0 0 0 1 5
0 0 0 0 0 0
HLLLLJ
IMMMMK , C =
0 1 @ 3 0 2
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
HLJ
IMK , I 3 = 1 0 00 1 0
0 0 1
HLJ
IMK
 
 
 
1.26 Posto de uma matriz 
Seja A de ordem m×n e B sua matriz escalonada ou linha-reduzida ( B ~ A ) então; 
 
O posto de A ou p(A) que indicamos por p , é o número de linhas não nulas de B ; 
 
 
1.26.1 Propriedade 
O posto de uma matriz A é igual ao posto de sua matriz transposta AT . 
 
p A
` a
= p AT
b c
 
 
A verificação é feita ao comparar a forma escalonada ou linha-reduzida tanto de A como de AT . 
 
 
1.26.2 Observações 
 
I - Alguns autores se referem ao posto da matriz como sendo a Característica (C ) da matriz, logo C = p . 
 
 
II - A propriedade “posto da matriz” é de grande importância para o estudo de sistemas lineares, o qual é 
usado em muitos assuntos da álgebra linear e suas aplicações. O posto de uma matriz é o número mínimo 
de linhas numa matriz tal que possamos realizar combinações lineares apropriadas sobre essas linhas de 
forma que se possam gerar todas as demais linhas, isto é, o posto de uma matriz é um número, e este 
número é a resposta da seguinte pergunta: Qual o número mínimo de linhas numa matriz tal que 
possamos gerar as outras demais linhas através de combinações lineares apropriadas? E é por isso que 
alguns autores se referem ao posto de uma matriz como sendo a sua característica, pois através dessas 
linhas principais, todo o resto da matriz é caracterizado. 
 
 
1.27 Nulidade de uma matriz 
A nulidade de A ou g(A) que indicamos por g , é dado por g = n – p , onde n é o número de 
colunas de A . 
 
 
1.27.1 Observações 
 
I - Somente em matrizes quadradas a nulidade irá também indicar o número de linhas nulas da matriz; 
 
II - Em matrizes a nulidade é apenas uma relação entre as colunas e o posto da matriz, já em sistemas 
lineares a nulidade ganhará um sentido mais significativo para os nossos estudos, e por isso desde já a 
nulidade é representada pela letra g pois irá indicar o grau de liberdade do sistema, e assim não será 
necessário outra definição quando chegarmos lá. 
 
 
GUIDG.COM 17 
 
Exemplo 17: Mostre que a nulidade de uma matriz nunca é negativa. 
 
 
Solução: Queremos provar que a nulidade de uma matriz nunca é negativa ( g ≥ 0 ), e para isso devemos 
analisar os três seguintes casos quanto as possíveis ordens das matrizes. 
 
 
Seja A uma matriz de ordem rBs , onde r e s 2 NC , e a nulidade de A que é dada por 
g = n – p , onde n é o número de colunas de A e p é o posto de A. 
 
 
I ) Se r = s , isto é, o número de linhas é igual ao número de colunas de A , então: 
 
p(A) = { r, r-1, r-2, ... 1,0} , isto é, o posto máximo de A é r , podendo ser r-1, r-2, ... , 1, 0 (onde o 
posto mínimo de A é 0 ). 
 
Se p A
` a
= r [ g = n@ p = r@ r = 0 # g = 0 
 
Se p A` a= r@ 1 [ g = n@ r@ 1` a= r@ r + 1 = 1 # g = 1 
 
Se p A` a= r@ 2 [ g = n@ r@ 2` a= r@ r + 2 = 2 # g = 2 
 
... 
 
Se p A` a= 1 [ g = n@ p = r@ 1 , como n = r e r é no mínimo 1 , temos: 
 
p A
` a
= 1 [ g = r@ p = 1@ 1 = 0 então 8 r ≥ 1 [ g ≥ 0
p A
` a
= 0 [ g = r@ p = 1@ 0 = 1 então 8 r ≥ 1 [ g ≥ 1
 
 
Logo se A é uma matriz quadrada de ordem r a nulidade nunca é negativa. 
 
 
 
II) Se r < s , isto é, o número de linhas é menor que o número de colunas de A , então: 
 
p(A) = { r, r-1, r-2, ... 1, 0} 
 
Se p A` a= r [ g = n@ p = s@ r mas r < s [ s@ r > 0 # g > 0 
 
Se p A` a= r@ 1 [ g = n@ p = s@ r@ 1` a= s@ r + 1 mas r < s [ s@ r > 0 # g > 1 
 
Se p A
` a
= r@ 2 [ g = n@ p = s@ r@ 2
` a
= s@ r + 2 mas r < s [ s@ r > 0 # g > 2 
 
... 
 
Se p A` a= 1 [ g = n@ p = s@ 1 como r < s temos que s é no mínimo 2 , por que r não pode ser 
zero (a matriz para existir deve ter ao menos uma linha, isto é, r = 1 ), temos: 
 
p A
` a
= 1 [ g = s@ 1 = 2@ 1 = 1 e 8 s ≥ 2 [ g ≥ 1
p A
` a
= 0 [ g = s@ 0 = 2@ 0 = 2 e 8 s ≥ 2 [ g ≥ 2
 
 
Logo se A é uma matriz retangular de ordem rBs tal que r < s a nulidade nunca é negativa. 
 
 
GUIDG.COM 18 
 
III) Se r > s , isto é, o número de linhas é maior que o número de colunas de A . Então qualquer linha r 
maior que s é múltipla ou combinação linear das s linhas. Portanto o posto máximo de A é p(A) = s , 
então: 
 
p(A) = {s, s-1, s-2, ... 1, 0} 
 
Se p A` a= s [ g = n@ p = s@ s = 0 # g = 0 
 
Se p A
` a
= s@ 1 [ g = n@ p = s@ s@ 1
` a
= 0 + 1 = 1 # g = 1 
 
Se p A` a= s@ 2 [ g = n@ p = s@ s@ 2` a= 0 + 2 = 2 # g = 2 
 
... 
 
Se p A
` a
= 1 [ g = n@ p = s@ 1 como r > s temos que s é no mínimo 1 , por que s não pode ser 
zero (a matriz para existir deve ter ao menos uma coluna, isto é, s = 1 ), temos: 
 
p A
` a
= 1 [ g = s@ 1 = 1@ 1= 0 então 8 s ≥ 1 [ g ≥ 0
p A
` a
= 0 [ g = s@ 0 = 1@ 0 = 1 então 8 s ≥ 1 [ g ≥ 0
 
 
Logo se A é uma matriz retangular de ordem rBs tal que r > s a nulidade nunca é negativa. 
 
 
 
As seguintes matrizes são de ordem rBs , com r > s : 
 
A2B1 =
a11
a12
F G
~
1
0
D E
 B3B2 =
1 2
@ 1 2
0 5
HLJ
IMK~ 1 00 1
0 0
HLJ
IMK C4B3 =
5 7 0
1 @ 5 0
2 8 7
1 3 2
HLLLLJ
IMMMMK~
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
HLLLLJ
IMMMMK 
 
Veja que nas três matrizes a última linha é sempre múltipla ou combinação linear das linhas anteriores. 
E assim todas as r-s linhas que sucedem as s primeiras linhas de uma matriz de ordem rBs tal que 
r > s , são sempre múltiplas ou combinações lineares dessas s primeiras linhas. 
Portanto a nulidade de uma matriz é no mínimo zero, mas nunca é negativa, como queríamos demonstrar. 
 
 
E a explicação informal que responde este exercício é a seguinte: “A nulidade de uma matriz nunca é 
negativa por que não existe uma matriz linha-reduzida tal que o posto é maior que o número de colunas”. 
 
 
 
GUIDG.COM 19 
 
1.28 Propriedades de operações com matrizes 
 
 
1.28.1 Propriedades da adição 
 
1. A + B = B + A Comutatividade para adição. 
 
2. A + (B + C) =(A + B) + C Associatividade para adição. 
 
3. A + O = O + A = A Elemento neutro na adição, O é a matriz nula. 
 
4. A – A = O e O – A = –A 
 
 
1.28.2 Propriedades da multiplicação por escalar 
 
5. k(A + B) = kA + kB k é uma constante. 
 
6. k1 + k 2
b c
A = k1 A + k 2 A 
 
7. A0 = 0A = O Se k = 0 a multiplicação da matriz A por k gera a matriz nula. 
 
8. k1 k 2 A
b c
= k1 k 2
b c
A 
 
 
1.28.3 Propriedades da multiplicação de matrizes 
 
9. AI = IA = A Elemento neutro, I é a matriz identidade. 
 
10. A(B + C) = AB + AC Distributividade à esquerda, manter esta ordem. 
 
11. (A + B)C = AC + BC Distributividade à direita, manter esta ordem. 
 
12. (AB)C = A(BC) Associatividade para multiplicação, manter esta ordem. 
 
13. (kA)B = A(kB) = k(AB) A comutatividade do escalar é sempre válida. 
 
14. AO = OA = O O é a matriz nula de mesma ordem que A . 
 
15. AB ≠ BA A comutatividade é raramente válida na multiplicação de matrizes. 
 
16. AB = O [+ A = O ou B = O (Contra-propriedade) 
 
17. AB = AC [+ B = C (Contra-propriedade, a lei do cancelamento não é válida) 
 
 
1.28.4 Propriedades da transposição 
 
18. A + B` aT = AT + BT 
 
19. kB` aT = BT k k é uma constante, a comutatividade é válida. 
 
20. AT
b cT
= A A transposta da matriz transposta de A é igual a A . 
 
21. AB
` aT
= BT ΑT Manter esta ordem. 
 ABC
` aT
= CT BT AT A propriedade pode ser estendida para n fatores. 
GUIDG.COM 20 
 
Prova de 1 (Exemplo 18) : A + B = B + A
A + B = AmBn + BmBn = aij
B C
mBn
+ bij
B C
mBn
= aij + bij
B C
mBn
= bij + aij
B C
mBn
= bij
B C
mBn
+ aij
B C
mBn
= BmBn + AmBn = B + A
 
 
 
. 
Prova de 5 (Exemplo 19) : k A A + B
` a
= k aij
B C
mBn
+ bij
B C
mBn
d e
= k aij + bij
B C
mBn
= k A aij + k A bij
B C
mBn
= k A aij
B C
mBn
+ k A bij
B C
mBn
= k AA + k AB
 
 
 
Prova de 10 (Exemplo 20) : Sejam B e C matrizes de ordem n×p e A de ordem m×n . Então existem 
os produtos AB e AC , pois AmBn ABnBp = DmBp e AmBn ACnBp = EmBp 
 
Logo existe a matriz resultante da soma D + E@ A
mBp
= AB + AC . 
 
Agora considere A = aij
B C
 , B = bij
B C
 e C = cij
B C
 , queremos mostrar que as entradas da matriz A(B + C) 
são iguais as entradas de AB + AC . Pelas definições das operações com matrizes temos que 
 
 
8 i e j , A B + C` aB C
ij
= ai1 b1j + c1j
b c
+ ai2 b2j + c2j
b c
+ …+ aim bmj + cmj
b c
= ai1 b1j + ai2 b2j + …+ aim bmj
b c
+ ai1 c1j + ai2 c2j + …+ aim cmj
b c
= AB
@ A
ij + AC
@ A
ij = AB + AC
@ A
ij
 
 
E ainda podemos expandir para uma soma ou produto de mais termos, pois as leis da associatividade (2) 
e (12) garantem que o resultado final é sempre o mesmo. 
 
 
Justificativa de 21 (Exemplo 21) : Vamos justificar a propriedade 21 através da ordem das matrizes. 
 
Suponha que queremos transpor o seguinte produto de matrizes: AB , isto é, AB` aT , mas para que o 
produto AB exista temos: 
 
 AB
` aT
= AmBn BnBq
b cT
 (O nº de colunas de A deve ser igual ao nº de linhas de B ) 
 
 
Sabendo que AmBn
b cT
= AnBm e BnBq
b cT
= BqBn , se transpormos diretamente as matrizes já haveria o 
problema da ordem, veja: 
 
 
AB
` aT
= AnBm BqBn
z~~~~~~~~~~~~~~~ |~~~~~~~~~~~~~~~xessa igualdade é falsa
 ( m ≠ q , logo o produto não pode existir ) 
 
 
GUIDG.COM 21 
 
Agora se, simplesmente alterarmos a ordem do produto, o problema desaparece: 
 
 
AB
` aT
= BqBn AnBm = CqBm
z~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ |~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~xessa igualdade é verdadeira
 ( n = n , logo o produto existe, resultando na matriz CqBm ) 
 
 
Esse resultado justifica a propriedade 21 pela definição do produto de matrizes, mas ainda não é uma 
prova da propriedade. 
 
 
Exemplo 22: Aplicação das propriedades 18, 20 e 21. 
 
Sendo AmBm , mostre que AA
T
 e A + AT são matrizes simétricas e A@ AT é anti-simétrica. 
 
 
i a B = A AT [ BT = A ATb cT = ATb cT AT = A AT
Logo B = BT # A AT é simétrica A
 
 
 
ii a B = A + AT
BT = A + AT
b cT
= AT + AT
b cT
= AT + A = B
Logo B = BT # A + AT é simétrica A
 
 
 
iii a B = A@ AT
BT = A@ AT
b cT
= AT @ AT
b cT
= AT @A =@A + AT
Logo B =@BT # A@ AT é anti@ simétrica A
 
 
 
Exemplo 23: Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica 
com uma matriz anti-simétrica, ou seja, A = S + N onde S é uma matriz simétrica e N é uma matriz 
anti-simétrica. 
 
Solução: A chave desse exercício é um sistema que deve ser seguido para que a relação seja verificada. 
 
Seja An = aij
B C
n
 , uma matriz quadrada de ordem n , se S é simétrica e N é anti-simétrica, da definição 
temos que: 
 
S = S T [ s ij
B C
n
= s ji
B C
n
 e N =@N T [ nij
B C
n
= @ n ji
B C
n
 com nij = 0 se i = j , assim 
 
 
aij
B C
n
= s ji
B C
n
+ @ n ji
B C
n
[ aij = s ji@ n ji = s ij + nij . 
 
Como sempre podemos tornar essa relação válida, logo é sempre possível escrever A = S + N . 
 
GUIDG.COM 22 
 
Vamos ver como fica quando inserimos números. 
 
Se A = 2 51 3
D E
 , escreva A como a soma S + N . 
 
 
S = S T [ S =
s11 s12
s12 s22
F G
e N =@N T [ N =
0 n12
@ n12 0
HJ IK
 , 
 
Temos a equação matricial A = S + N para resolver: 
 
 
2 5
1 3
D E
=
s11 s12
s12 s22
F G
+
0 n12
@ n12 0
HJ IK= s11 + 0 s12 + n12
s12@ n12 s22 + 0
HJ IK
 
 
De onde vem o sistema: 
 
 
s11 = 2
s12 + n12 = 5
s12@ n12 = 1
s22 = 0
X^^^^^
^^\^
^^^^^^Z
 
 
Somando a segunda equação com a terceira obtemos 2s12 = 6 e portanto s12 = 3 , decorre então 
que n12 = 2 . Assim obtemos os valores de S e de N . 
 
S = 2 33 0
D E
e N = 0 2
@ 2 0
D E
 
 
Portanto A = S + N , sendo S simétrica e N anti-simétrica, como queríamos demonstrar. E ainda, o 
resultado pode ser expandido para matrizes quadradas de ordem n , entretanto o sistema à ser resolvido 
terá n variáveis imediatas (da matriz simétrica, conseqüência da diagonal principal da matriz anti-
simétricaser nula) mais n variáveis a serem calculadas (da matriz simétrica) e n variáveis decorrentes 
(da matriz anti-simétrica), lembrando que nenhuma entrada dessas duas matrizes são aleatórias, são todos 
números bem definidos, pois o sistema é definido (SPD). 
 
GUIDG.COM 23 
 
1.29 Potência de uma matriz 
Seja A uma matriz quadrada, m e n números inteiros, temos: 
 
 
A0 = I potência zero de A , I é a matriz identidade. 
 
An = A A … A{~~~~~ }~~~~~y
n fatores
 ( n > 0 ) , chamamos n-ésima potência de A . 
 
 A@ n = A@ 1
b cn
= A@ 1 A@ 1 … A@ 1{~~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~~y
n fatores
 desde que exista a matriz inversa ( A@ 1) de A . 
 
 
Am An = Am + n
Am
b cn
= Am A n
 
 
 
1.30 Matriz inversa 
A idéia de matriz inversa esta diretamente ligada ao conceito de número inverso, e para ilustrar o 
problema começaremos com uma matriz de primeira ordem e depois seguiremos para a definição. 
Considere a matriz de primeira ordem A = [ x ] , se queremos determinar a matriz A@ 1 denominada a 
inversa de A , precisamos determinar o número inverso de x , mas da definição de número inverso 
sabemos que x A x@ 1 = x A 1
x
ffff
= x@ 1 A x =
1
x
ffffA x = 1 , sendo a comutatividade válida. Assim encontrar a 
inversa de A significa encontrar uma matriz tal que quando efetuarmos o produto matricial entre a matriz 
e a sua respectiva inversa, sendo a comutatividade válida, cheguemos ao elemento neutro da 
multiplicação matricial, ou seja na matriz I identidade/unidade então: 
 
A@ 1 = 1
x
ffffF G [ A A@ 1 = x@ A 1
x
ffffF G
= A@ 1 A = 1
x
ffffF G
x
@ A
= 1
@ A
= I 
 
O problema que se segue é encontrar uma técnica viável para inverter matrizes de ordem maior que um, 
visto que as matrizes têm definições e propriedades particulares. 
 
 
 
1.30.1 Definição 
Seja A uma matriz quadrada de ordem m , se existir uma matriz B que satisfaça a equação 
AB = BA = I dizemos que B é a inversa de A e denota-se B = A@ 1 a matriz inversa de A . 
Ou seja, A é inversível (invertível) se, e somente se: 
 
. 
A A@ 1= A@ 1A = I 
 
 
GUIDG.COM 24 
 
1.30.2 Cálculo da matriz inversa pela definição 
Calcular matrizes inversas pela definição nem sempre é fácil, pois dada uma matriz A de ordem m 
então precisamos encontrar uma matriz B de ordem m tal que AB = BA = I , e isto implica em resolver 
pelo menos m sistemas com m² incógnitas. Para exemplificar, calcularemos a inversa de uma matriz de 
ordem dois (m = 2) pela definição, assim precisamos resolver dois sistemas e encontrar quatro incógnitas. 
 
 
Exemplo 24: Mostre pela definição que A = 3 12 1
D E
 é inversível. 
 
Solução: Queremos mostrar que existe A@ 1 , tal que A A@ 1= A@ 1A = I , isto é: 
 
A@ 1 = a b
c d
D E
Q 3 12 1
D E
a b
c d
D E
=
a b
c d
D E
3 1
2 1
D E
=
1 0
0 1
D E
 no lado esquerdo temos 3a + c 3b + d2a + c 2b + d
D E
=
1 0
0 1
D E
 
 
Para resolver a equação matricial, temos que resolver dois sistemas: 
 
3a + c = 1
2a + c = 0
T
 [ 6a + 2c = 2
@ 6a@ 3c = 0
T
 [ a = 1
c =@ 2
T
 
3b + d = 0
2b + d = 1
T
 [ 6b + 2d = 0
@ 6b@ 3d =@ 3
T
 [ b =@ 1d = 3
T
 
 
Logo a inversa de A é a matriz A@ 1 = 1 @ 1
@ 2 3
D E
 pois 3 12 1
D E
1 @ 1
@ 2 3
D E
=
1 @ 1
@ 2 3
D E
3 1
2 1
D E
=
1 0
0 1
D E
 
 
Analogamente poderíamos calcular a inversa de uma matriz de ordem maior ou igual a três, entretanto 
precisaríamos resolver três ou mais sistemas lineares para encontrar cada uma das entradas da matriz 
inversa. Em 1.30.9 veremos o algoritmo de inversão [ A | I ] que simplifica o procedimento. 
 
 
 
No estudo de matrizes inversas são necessários conhecimentos básicos da teoria de 
DETERMINANTES, faremos as indicações quando algum assunto for necessário. 
 
 
 
1.30.3 Teste de inversão e cálculo da inversa por adjunta 
Uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, o determinante de A for diferente de zero, isto é: 
 
 
9 A@ 1 ^ det A ≠ 0 pois A@ 1 = 1det A
fffffffffffffff
cofA
` aT
=
1
det A
fffffffffffffff
adj A
 
 
 
Onde detA é o determinante da matriz A [2 Determinantes] ; 
cofA é a matriz co-fatora de A [2.6 Co-fator] e [2.7 Matriz co-fatora] ; 
adjA é a matriz adjunta de A [2.8 Matriz adjunta] ; 
 
Com este resultado podemos obter a inversa de uma matriz de ordem n. 
 
 
* Essa é uma justificativa para a existência da inversa. A prova para esse teorema pode ser encontrada na 
referência bibliográfica (1) pg. 87 .
GUIDG.COM 25 
 
Demonstração para a justificativa: Seja A uma matriz quadrada de ordem n com detA ≠ 0 e usando 
o teorema 2.8.1 segue que: 
 
A A adjA = adjA AA = detA A I n [Teorema 2.8.1] 
 
Usando esta igualdade temos 
 
A A adjA = det A A I n
A@ 1AA A adjA = A@ 1A det A A I n
I n A adjA = A@ 1A det A A I n
A@ 1 = 1det A
fffffffffffffff
adj A
 
 
Com isso 
 
A 1det A
fffffffffffffff
adj A
f g
=
1
det A
fffffffffffffffA A adj Ab c= 1det Afffffffffffffffdet A A I n = I n 
 
E analogamente prova-se que 
 
1
det A
fffffffffffffff
adj A
f g
A = I n 
 
Portanto pela definição de matriz inversa, o teorema 1.30.3 esta provado. 
 
 
Exemplo 25: Recalcule a inversa da matriz A = 3 12 1
D E
 usando a propriedade 1.30.3 . 
 
[2.6 Co-fator] 
 
A = 3 12 1
D E
Q det A = 3@ 2 = 1 
 
 
Co-fatores de A : cof a11
` a
= @ 1
` a2
A 1 = 1 , cof a12
` a
=@ 2 , cof a21
` a
=@ 1 , cof a22
` a
= 3
 
 
 
Matriz co-fatora de A e matriz adjunta de A : 
 
 cofA = 1 @ 2
@ 1 3
D E
Q cofA
` aT
= adj A = 1 @ 1
@ 2 3
D E
 
 
 
Logo obtemos a inversa pela propriedade: 
 
A@ 1 = 1det A
fffffffffffffff
A adj A = 11
ff
A 1 @ 1
@ 2 3
D E
A@ 1 = 1 @ 1
@ 2 3
D E 
 
GUIDG.COM 26 
 
1.30.4 Determinante da matriz inversa 
Se a matriz A é inversível, seu determinante é diferente de zero e vale a seguinte relação: 
 
 
det A@ 1 = 1det A
fffffffffffffff ^ det A ≠ 0 
 
[2.4.8.2 Teorema de Binet] 
 
 
1.30.5 Matriz não-singular 
É a matriz cujo determinante difere de zero, ou seja, matrizes inversíveis são também chamadas de 
matrizes não-singulares. 
 
 
1.30.6 Matriz singular 
É a matriz cujo determinante é zero. A matriz singular não admite inversa (é não inversível). 
 
 
1.30.7 Unicidade da matriz inversa 
Se a matriz A for inversível ( detA ≠ 0 ) então a inversa A@ 1 é única. 
 
 
Demonstração: Consideremos a existência de duas matrizes inversas de A , sendo A1 e A2 , então: 
 
 
Prova 1: 
 
 
A A1 = I e A A2 = I
A A1 = A A2
A A1@A A2 = 0
A A1@ A2
b c
= 0
 
 
Considerando a existência da inversa, então esta não pode ser nula, isto é, A ≠ 0 , logo só nos resta que 
A1@ A2 = 0 e assim A1 = A2 . Isto garante que se existe a matriz inversa de A , então ela é única. 
 
 
Prova 2: Como A1 é uma inversa de A , temos que: 
 
A1 A = I 
 
Multiplicando ambos os lados pela direita por A2 : 
 
 
A1 A
b c
A2 = IA2 = A2
A1 A
b c
A2 = A1 AA2
b c
= A1 I = A1
 
 
Logo A1 = A2 e assim, se existe a inversa de A , ela é única. 
 
 
GUIDG.COM 27 
 
1.30.8 Propriedades da matriz inversa 
 
22. B@ 1
b c@ 1
= B A inversa da matriz inversa de B é igual a B. 
 
23. B@ 1
b cT
= BT
b c@ 1
 A transposta da inversa é igual a inversa da transposta. 
 
24. AB
` a@ 1
= B@ 1 A@ 1 Deve-se manter esta ordem. 
 ABC` a@ 1
= C@ 1 B@ 1 A@ 1 A propriedade pode ser estendida para n fatores. 
 
25. A + B` a@ 1 = A@ 1 + B@ 1 Isto se det(A+B) ≠ 0 , ou seja a matriz A + B é inversível. 
 
26. k A` a@ 1 = 1kffffA@ 1 k ≠ 0 
 
27. I@ 1 = I A inversa da matriz identidade é ela própria. 
 
 
Prova de 26 (Exemplo 26) : Se k é um escalar não nulo, as propriedades da multiplicação por escalar 
permitem escrever: 
 
 kA` a 1kffffA@ 1
f g
=
1
k
ffffkA` aA@ 1 = 1kffffk
f g
AA@ 1 = 1 I = I 
 
Da mesma forma temos 1k
ffffA@ 1
f g
kA` a= I 
Como isso verifica a definição de inversa, concluímos que kA é inversível, isto é: k A` a@ 1 = 1kffffA@ 1 . 
 
 
Exemplo 27: Sendo A e B matrizes inversíveis, verifique usando as propriedades de matrizes, se a 
equação matricial é verdadeira: 
 
A BT
b c@ 1
= B@ 1
b cT
A@ 1 
 
Resposta: Sim, use as propriedades 24 e 23 . 
 
 
GUIDG.COM 28 
 
1.30.9 Algoritmo de inversão [ A | I ] de matrizes inversíveis 
Para encontrar a inversa de uma matriz A que seja inversível, deve-se encontrar uma seqüência de 
operações elementares sobre as linhas da matriz A , que reduz esta à matriz identidade para depois efetuar 
a mesma seqüência de operações na matriz identidade, desta forma obtendo a inversa de A . 
 
Procedimento: escreve-se a matriz quadrada que se quer inverter ao lado esquerdo da matriz identidade 
de mesma ordem, na forma: 
 
A | IB C 
 
Então se efetua uma seqüência de operações elementares simultaneamente sobre as linhas desta matriz tal 
que façamos aparecer a identidade no lado esquerdo, e assim a matriz que a aparecer no lado direito será a 
inversa de A : 
I | A@ 1B C 
 
 
1.30.10 Observações 
Este procedimento é impossível se a matriz A for singular (isto é, não admitir inversa), o que irá ocorrer 
no algoritmo é que uma das linhas à esquerda irá ser nula no decorrer das operações sobre as linhas, logo 
tornando impossível de se fazer aparecer a identidade no lado esquerdo. Por isso é importante sempre 
calcular o determinante da matriz, antes de começar a inverter a dada matriz. Se o determinante for 
diferente de zero, a matriz é inversível, caso contrário pode-se afirmar que a matriz é singular (isto é não 
admite inversa). 
 
 
Exemplo 28: Usando o algoritmo de inversão, determine a inversa de T = 1 30 2
D E
 . 
 
Solução: Vamos inverter a matriz usando o algoritmo de inversão e o procedimento descrito. 
 
 
T | IB C= 1 3 | 1 00 2 | 0 1
HJ IK
L2Q
1
2
fffL2
1 3 | 1 0
0 1 | 0 12
fff
HLLJ
IMMK , L1Q@ 3L2 + L1 1 0 | 1 @
3
2
fff
0 1 | 0 12
fff
HLLLLJ
IMMMMK
 
 
 
Logo T @ 1 =
1 @ 32
fff
0 12
fff
HLLLLJ
IMMMMK 
 
Veja que a definição é verificada, isto é, T T @ 1 = T @ 1 T = I . 
 
GUIDG.COM 29 
 
1.30.11 Fórmula da inversa da matriz de ordem dois 
Usando o algoritmo de inversão vamos obter uma fórmula geral para inversão de matrizes de ordem 2 
que sejam inversíveis. 
 
 
Seja A matriz de ordem 2 , tal que o determinante é diferente de zero, isto é, A é inversível: 
 
A = a b
c d
D E
Q det A = ad@ bc = x ≠ 0 , queremos encontrar A@ 1 , usando o [ A | I ] , segue que: 
 
 
a b | 1 0
c d | 0 1
HJ IK L2Q@ caffffL1 + L2
a b | 1 0
0 @ cb
a
fffffff+ d
f g
| @ c
a
ffff 1
HLLLJ
IMMMK=
a b | 1 0
0 ad@ bc
` a
a
fffffffffffffffffffffffffffff| @ c
a
ffff 1
HLLJ
IMMK= a b | 1 00 x
a
ffff| @ c
a
ffff 1
HLJ
IMK
L1Q@
ba
x
ffffffffL2 + L1
a 0 | @ ba
x
fffffffff g @ c
a
ffffd e+ 1
HJ IK @ ba
x
fffffffff g
0 x
a
ffff| @ c
a
ffffd e 1
HLLLLLLLJ
IMMMMMMMK=
a 0 | bc
x
fffffff+ 1
f g
@
ba
x
fffffffff g
0 x
a
ffff| @ c
a
ffffd e 1
HLLLLLLJ
IMMMMMMK
 
 
 
~
a 0 | bc + x
x
fffffffffffffffffffff g @ ba
x
fffffffff g
0 x
a
ffff| @ c
a
ffffd e 1
HLLLLLLJ
IMMMMMMK=
a 0 | bc + ad@ bc
x
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff g @ ba
x
fffffffff g
0 x
a
ffff| @ c
a
ffffd e 1
HLLLLLLJ
IMMMMMMK=
a 0 | ad
x
fffffffff g @ ba
x
fffffffff g
0 x
a
ffff| @ c
a
ffffd e 1
HLLLLLLJ
IMMMMMMK
L1Q
1
a
ffffL1 , L2Q ax
ffffL2
1 0 | d
x
ffff @ b
x
ffff
0 1 | @ c
x
ffff a
x
ffff
HLLLLJ
IMMMMK= I | A@ 1
B C
Q A@ 1 =
d
x
ffff @ b
x
ffff
@
c
x
ffff a
x
ffff
HLLLLJ
IMMMMK
 
 
Logo, para obter a inversa de A2B2 , sendo A inversível, basta trocar o elemento a por d , trocar o 
sinal de b e c , calcular e multiplicar pelo inverso do determinante de A , isto é: 
 
 
A = a b
c d
D E
Q A@ 1 = 1det A
fffffffffffffff d @ b
@ c a
D E
 
 
 
 
GUIDG.COM 30 
 
1.30.12 Fórmula da inversa da matriz de ordem três (cálculo do elemento da inversa) 
Uma fórmula mais complexa pode ser deduzida para a inversa de matrizes de ordem três, veremos que 
através dessa fórmula podemos chegar ao cálculo do elemento da matriz inversa. 
 
Seja A uma matriz inversível, isto é A =
a b c
d e f
g h i
HLLJ
IMMK e det A = aei + bfg + dhc@ ceg + fha + dbib c≠ 0 
 
A fórmula para a inversa de A pode ser obtida analogamente como fizemos para a inversa da matriz de 
ordem dois, mas desta vez omitimos o passo a passo para não estender demais este assunto. 
 
A@ 1 = 1det A
fffffffffffffff
ei@ hf hc@ bi bf@ ec
gf@ di ai@ gc dc@ af
dh@ ge gb@ ah ae@ db
HLLJ
IMMK{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~y
B é matriz adjunta de A
 
 
A partir da dedução chega-se aos próximos resultados, na matriz B note que os elementos: 
 
b11 = ei – hf é o determinante da submatriz..................... A11 
b12 = hc – bi é o oposto do determinante da submatriz... A21 
b13 = bf – ec é o determinante da submatriz.................... A31 
b21 = gf – di é o oposto do determinante da submatriz.... A12 
b22 = ai – gc é o determinante da submatriz.................... A22 
b23 = dc – af é o oposto do determinante da submatriz.... A32 
b31 = dh – ge é o determinante da submatriz.................... A13 
b32 = gb – ah é o oposto do determinante da submatriz... A23 
b33 = ae – db é o determinante da submatriz.................... A33 
 
O oposto do determinante é o determinante com sinal trocado, isto é, calcule o determinante e o resultado 
obtido fica multiplicado por (–1) . Daí que obtemos o seguinte esquema de troca de sinais: 
 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
HLJ
IMK= + @ +@ + @
+ @ +
HLJ
IMK 
 
Para não memorizar o diagrama, veja que o sinal de cada elemento pode ser obtido com a seguinte regra: 
 
aij = @ 1
` ai + j
assim a11 = @ 1
` a1 + 1
= 1 , a12 = @ 1
` a1 + 2
=@ 1 , a13 = @ 1
` a1 + 3
= 1 , …
 
 
Além disso, note que cada elemento bij é inicialmente o determinante da submatriz Aji , então podemos 
finalizar a nossa análise com uma regra para o cálculo de cada elemento da matriz inversa: 
 
Sendo a matriz A = aij
b c
n
 e B = bij
b c
n
 a matriz inversa, então os elementos da matriz B são dados por: 
 
 
bij =
1
det A
fffffffffffffff@ 1` ai + j det sub A jib c
d e
{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~~~~~~~~~y
cof a ji
b c
=
1
det A
fffffffffffffffA cof a ji
b c
 
 
GUIDG.COM 31 
 
A expressão cof a ji
b c
= @ 1
` ai + j det sub A jib c
d e
{~~~~~~~~~~~ }~~~~~~~~~~~y
Menor complementar M ji
 é definida como co-fator do elemento a ji . 
 
 
Com a prática pode-se tornar este processo mais rápido do que o uso do algoritmo de inversão [ A | I ] . 
Para uma melhor compreensão desta dedução veja em [2 Determinantes] as seguintes definições 
[2.5 Menor complementar], [2.6 Co-fator] , [2.7 Matriz co-fatora] e [2.8 Matriz adjunta] . 
 
 
Exemplo 29: Usando os resultados de 1.30.12 , calcule o elemento b23 da matriz inversa de A =
1 2 1
0 3 2
0 0 1
HLJ
IMK. 
bij =
1
det A
fffffffffffffffA A ji Q b23 = 1det A
fffffffffffffffA A32 
 
Como esta matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, isto é: 
 
det A = a11 A a22A a33 = 1.3 A 1 = 3 
 
Cálculo do co-fator 
 
A32 = @ 1
` a5
A 1 10 2
LLLLL
MMMMM= @ 1` aA 2 =@ 2 
 
E assim b23 =
1
det A
fffffffffffffffA A32 = 13
fffA @ 2` a=@ 23fff 
 
 
Exemplo 30: Determine a inversa da matriz dada utilizando o algoritmo de inversão [ A | I ] . 
 
 -1 3 5 
 -5 -4 1 A = 
 3 6 4 
 
Solução: O primeiro passo é calcular o determinante. 
 
det A = @ 1` a @ 4` a4 + 3.1 A 3 + @ 5` a6.5@ 5 @ 4` a3 + 1.6 @ 1` a+ 3 @ 5` a4B C=@ 125@ @ 126` a= 1 
 
Como det A ≠ 0 , concluí-se que a matriz é inversível, então seguimos para o algoritmo de inversão. 
 
. 
 -1 3 5 | 1 0 0 
 -5 -4 1 | 0 1 0 L1Q@L1 
 3 6 4 | 0 0 1 
 
 
 1 -3 -5 | -1 0 0 
 -5 -4 1 | 0 1 0 L2Q 5L1 + L2L3Q@ 3L1 + L3 
 3 6 4 | 0 0 1 
 
 
 1 -3 -5 | -1 0 0 
 0 -19 -24 | -5 1 0 L3Q 1519
fffffffL2 + L3 
 0 15 19 | 3 0 1 
 
 1 -3 -5 | -1 0 0 
L2Q@
1
19
fffffffL2
 
 0 -19 -24 | -5 1 0 
 
 
GUIDG.COM 32 
 
 1 -3 -5 | -1 0 0 
 0 1 2419
fffffff
 
| 5
19
fffffff
 @
1
19
fffffff
 0 L2Q@
24
19
fffffffL3 + L2 
 0 0 1 | -18 15 19 
 
 1 -3 -5 | -1 0 0 
 0 1 0 | 23 -19 -24 L1Q@ 3L2 + L1 
 0 0 1 | -18 15 19 
 
 
 1 0 -5 | 68 -57 -72 
 0 1 0 | 23 -19 -24 L1Q 5L3 + L1 
 0 0 1 | -18 15 19 
 
 1 0 0 | -22 18 23 
 0 1 0 | 23 -19 -24 L1Q 5L3 + L1 
 0 0 1 | -18 15 19 
 
 
 
Logo a última matriz que está no lado direito é a inversa de A . Para verificar se a matriz inversa esta 
correta usa-se a definição, isto é, multiplica-se a matriz pela sua inversa AA@ 1 = A@ 1 A = I , cujo 
resultado é a matriz identidade. Ou pode-se usar um software matemático para não perder tempo. 
 
 
1.31 Matriz ortogonal 
É a matriz cuja inversa coincide com a transposta M @ 1 = M T . 
 
E pela definição 1.30.1 segue que MM T = MM @ 1 = M @ 1 M = M T M = I . 
 
 
*O seguinte exemplo requer o conhecimento de determinantes e propriedades. 
 
 
Exemplo 31: Sendo AmBm uma matriz ortogonal, mostre que detA = ±1 . 
 
Solução 1: A@ 1 = AT 
 
 
A A@ 1 = A AT = I
det A AT
b c
= det I [ det A` adet ATb c= 1
det A` adet A` a= 1 [ det A` a2 = 1 [ det A =F 1
 
 
 
Solução 2: A@ 1 = AT [ det A@ 1
b c
= det AT
b c
 
 
Aplicando o corolário 2.4.8.2 , det A@ 1
b c
=
1
det A
fffffffffffffff
 ; e a propriedade 2.4.1 , det A = det AT 
 
 
det A@ 1
b c
= det AT
b c
[
1
detA
ffffffffffffff
= det AT
b c
1 = det A` a2[ det A =F 1pwwwwwwwwwwwwwww=F 1 
 
 
GUIDG.COM 33 
 
1.31.1 Propriedade das matrizes ortogonais 
Toda matriz ortogonal tem filas (linhas e colunas) ortonormais, ou seja, os vetores-linha e vetores-coluna 
têm comprimento igual a um, e dois-a-dois são ortogonais. 
 
Se A = v i | … | v j
B C
 é ortogonal, onde vi , ... vj são vetores-coluna, então v i ,v j
* +
=
0 se i ≠ j
1 se i = j
V
 . 
* v i
NN NN
= v i ,v i
( )qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
 
 
 
Exemplo 32: Seja a matriz T = v1 | v2 | v3
B C
 , mostre que T é ortogonal usando a propriedade 1.31.1 , 
onde v1 =
2
3
fff
,
2
3
fff
,
1
3
ffff g
, v2 =
2
3
fff
,@
1
3
fff
,@
2
3
ffff g
, v3 =
1
3
fff
,@
2
3
fff
,
2
3
ffff g
 . 
 
 
Solução: v1 , v1 , v3 são vetores-coluna, precisamos mostrar que 
 
v1
NN NN
= v2
NN NN
= v3
NN NN
= 1 e v1 ,v2
( )
= v1 ,v3
( )
= v2 ,v3
( )
= 0
 
 
Ou seja, que a norma (comprimento) dos vetores é um, e que o produto escalar (produto interno usual) 
entre os vetores (dois-a-dois) é igual à zero. 
 
Se v i = x,y,z
` a
então v i
NN NN
= v i ,v i
( )qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= x,y,z( ) x,y,z( )qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= x 2 + y2 + z2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
v1
NN NN
=
2
3
ffff g2 + 23fff
f g2
+
1
3
ffff g2
vuuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= 1 , v2
NN NN
=
2
3
ffff g2 + @ 13fff
f g2
+ @
2
3
ffff g2
vuuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= 1
v3
NN NN
=
1
3
ffff g2 + @ 23fff
f g2
+
2
3
ffff g2
vuuut
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= 1
 
 
v1 ,v2
( )
=
2
3
fff
,
2
3
fff
,
1
3
fff. / 2
3
fff
,@
1
3
fff
,@
2
3
fff. /
=
4
9
ffff@ 29
fff@ 29
fff
= 0 , v1 ,v3
( )
=
2
3
fff
,
2
3
fff
,
1
3
fff. / 1
3
fff
,@
2
3
fff
,
2
3
fff. /
=
2
9
fff+ 29
fff+ 49
ffff
= 0
v2 ,v3
( )
=
2
3
fff
,@
1
3
fff
,@
2
3
fff. / 1
3
fff
,@
2
3
fff
,
2
3
fff. /
=
2
9
fff+ 29
fff@ 49
ffff
= 0
 
 
Portanto a matriz T é ortogonal. 
 
 
Curiosidade: a matriz T se denotada por [ T ] representa em transformações lineares um operador 
linear ortogonal T : R3Q R3 onde cada linha da matriz [ T ] determina a lei de associação e assim a 
imagem da transformação, neste caso: 
 
T
@ A
=
2
3
fff 2
3
fff 1
3
fff
2
3
fff@ 13
fff@ 23
fff
1
3
fff@ 23
fff 2
3
fff
HLLLLLLLLLLJ
IMMMMMMMMMMK
[ T : R3Q R3 | T x,y,z` a= 23fffx + 23fffy + 13fffz , 23fffx @ 13fffy@ 23fffz , 13fffx @ 23fffy + 23fffz
f g
 
GUIDG.COM 34 
 
2 DETERMINANTES 
Nesta seção estudaremos a teoria dos determinantes, inicialmente com o conceito de determinante, 
passando por todo o conteúdo necessário para a definição e então formalizando a definição com suas 
propriedades e aplicações. 
 
 
2.1 Conceito de determinante 
Podemos dizer inicialmente que o determinante de uma matriz é o número que representa ou resolve a 
matriz. Não existe determinante de matrizes retangulares, isto é, a ordem das matrizes será sempre n×n . 
O determinante de uma matriz quadrada A é indicado por detA : 
 
A =
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
… … … …
am1 am2 … amn
HLLLLJ
IMMMMK então det A = det
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
… … … …
am1 am2 … amn
HLLLLJ
IMMMMK= ALL MM=
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
… … … …
am1 am2 … amn
LLLLLLLLLL
MMMMMMMMMM 
 
(Conteúdo opcional) Como nem sempre a definição de determinante é cobrada em prova, esta se 
restringindo apenas a aplicações de regras práticas, o teorema deLaplace e a regra de Chió. Portanto esta 
parte fica como apêndice de conteúdo somente para os mais interessados na teoria, você pode seguir 
direto para 2.3 Regras práticas para o cálculo de determinantes . 
 
 
2.1.1 Permutação 
Dado um conjunto de elementos a1 , a2 , a3 , … , an
P Q
 , defini-se como permutação desse conjunto um 
rearranjo destes elementos em alguma ordem sem omissões ou repetições. 
 
 
2.1.2 Permutação principal 
É a permutação em que os elementos estão organizados segundo uma ordem seqüencial definida. 
 
 
Exemplo 33: i ) A ordem crescente dos inteiros: 
Dado o conjunto {2, 1, 4, 3}, então a permutação principal é 1234 . 
 
ii ) A ordem alfabética das letras: 
Dado o conjunto {d, b, a, c}, então a permutação principal é abcd . 
 
 
2.1.3 Número de permutações 
Dado o conjunto de inteiros {1, 2, 3, ... , n} então o número de permutação é dado por n! (n fatorial). 
 
 
Exemplo 34: No conjunto {1, 2, 3} o número de permutação possíveis é 3! = 3.2.1 = 6 . 
 
Podemos visualizar isto através de uma árvore de permutações . Por exemplo para o conjunto {1, 2, 3} 
temos: 
 
 
 
 
 
Vemos que as possíveis permutações são: 123, 132, 213, 231, 312, 321 . 
1 
3 2 
2 3 
3 
2 1 
1 2 
2 
3 1 
1 3 
GUIDG.COM 35 
 
E também fica claro que o número de permutações é dado por n! pois temos para o conjunto {1, 2, 3} 
três possibilidades de permutações para o primeiro elemento, e assim escolhido o primeiro, teremos duas 
possibilidades para o segundo, e então escolhido o segundo teremos apenas uma possibilidade para o 
terceiro, de forma que teremos 3.2.1 possibilidades de permutações, totalizando 6 permutações 
possíveis. Daí que o fatorial entra eliminando a necessidade de construir diagramas, por exemplo. 
 
 
Exemplo 35: No conjunto {1, 2, 3, 4} o número de permutações possíveis é 4! = 4.3.2.1 = 24 . 
 
 
 
 
 
 
 
... 
 
 
 
 
E assim sucessivamente até completar as 4 arvores de permutações relativas ao conjunto { 1, 2, 3, 4 } 
onde se obteria as 24 permutações possíveis. 
 
 
2.1.4 Inversão 
Definida uma ordem seqüencial dos elementos de um conjunto, ocorre uma inversão entre dois elementos 
sempre que esta ordem for alterada (invertida). 
 
 
Exemplo 36: Dado o conjunto a1 , a2 , a3
P Q
 e seja a1 a2 a3 a ordem principal, então na permutação 
a1 a3 a2 ocorre uma inversão. 
 
 
2.1.5 Número de inversões de uma permutação 
Considere a permutação a3 a2 a1 a4 e seja a1 a2 a3 a4 a permutação principal, então para determinar o 
número de inversões ( ni ): 
 
1 – Determine o número de elementos que estão depois de ai e que são menores que ai . 
2 – Siga este procedimento da esquerda para a direita para cada um dos elementos. Então a soma destes 
números será o número de inversões na permutação. 
 
 
Exemplo 37: ni a3 a2 a1 a4
` a
= 2 + 1 + 0 = 3
 
 
 
2.1.6 Classe de uma permutação 
Uma permutação é de classe par se o número de inversões é um inteiro par e é de classe impar se o 
número de inversões for impar. 
 
 
1 
2 
3 4 2 4 2 3 
4 3 
4 3 4 2 3 2 
2 
1 
3 4 1 4 1 3 
4 3 
4 3 4 1 3 1 
GUIDG.COM 36 
 
Exemplo 38: Determine o número de inversões nas seguintes permutações: 
 
a) 613452 Q ni = 5 + 0 + 1 + 1 + 1 = 8 par 
 
b) 2413 Q ni = 1 + 2 + 0 = 3 impar 
 
c) 4321 Q ni = 3 + 2 + 1 = 6 par 
 
d) acb Q ni = 0 + 1 = 1 impar 
 
d) adcb Q ni = 0 + 2 + 1 = 3 impar 
 
e) 1234 Q ni = 0 + 0 + 0 = 0 par 
 
 
2.1.7 Produto elementar 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n . Um produto elementar de A é o produto de n entradas de A 
tais que existem apenas uma entrada de cada fila (linha ou coluna). 
 
 
2.1.8 Produto elementar com sinal 
Se um produto elementar for de classe impar o produto leva o sinal - e se for de classe par o produto leva 
o sinal + . 
 
 
2.2 Determinante de uma matriz 
O determinante de uma matriz é a soma algébrica dos produtos que se obtém efetuando todas as 
permutações dos segundos índices do termo principal, fixados os primeiros índices e fazendo-se 
preceder os produtos do sinal + ou - , conforme a permutações dos segundos índices seja de classe par 
ou de classe impar. 
 
 
Exemplo 39: Calcular o determinante usando a definição: 
 
a) A = a11 a12a21 a22
F G
 
 
Solução: 
 
i ) Primeiro escrevemos os elementos que compõe o termo principal omitindo os segundos índices e um 
conjunto com n elementos, sendo n a ordem da matriz. 
 
Termo principal de A : a11 a22 → omitindo os segundos índices → a1 … a2 … 
Conjunto com n elementos conforme a ordem da matriz A : { 1,2 } 
 
ii ) Agora tomamos as permutações de { 1, 2 } que são 12 e 21 , e substituímos na seguinte forma: 
 
 12 → a1 … a2 … e assim obtemos o produto elementar a11 a22 
 
 
 
GUIDG.COM 37 
 
Como a permutação 12 dos segundos índices é de classe par, temos o produto elementar com sinal + , 
portanto temos o produto a11 a22 
 
 21 → a1 … a2 … e assim obtemos o produto elementar a12 a21 
 
 
 
Como a permutação 21 dos segundos índices é de classe impar, temos o produto elementar com sinal - , 
portanto temos o produto @ a12 a21 
 
 
iii ) Logo o determinante de A é dado pela soma algébrica dos produtos elementares com sinal, isto é: 
 
det A = a11 a22@ a12 a21 
 
 
b) B =
b11 b12 b13
b21 b22 b23
b31 b32 b33
HLLLJ
IMMMK 
 
Solução: 
 
i ) Termo principal de B : b11 b22 b33 → omitindo os segundos índices → b1 … b2 … b3 … 
Conjunto com n elementos conforme a ordem da matriz B : { 1,2, 3 } 
 
ii ) Permutações de { 1, 2, 3 } : 123, 132, 213, 231, 312, 321 
 
123 → b1 … b2 … b3 … e assim obtemos o produto elementar b11 b22 b33 
 
 
 
Como a permutação 123 dos segundos índices é de classe par, temos o produto elementar com sinal + , 
portanto temos o produto + b11 b22 b33 
 
 
132 → b1 … b2 … b3 … e assim obtemos o produto elementar b11 b23 b32 
 
 
 
Como a permutação 132 dos segundos índices é de classe impar, temos o produto elementar com sinal - 
, portanto temos o produto @ b11 b23 b32 
 
 
E assim sucessivamente temos todos os outros produtos elementares com sinal: 
 
213 Q b12 b21 b33Q@ b12 b21 b33
231 Q b12 b23 b31Q + b12 b23 b31
312 Q b13 b21 b32Q + b13 b21 b32
321 Q b13 b22 b31Q@ b13 b22 b31
 
GUIDG.COM 38 
 
iii ) Logo o determinante de B é dado pela soma algébrica dos produtos elementares com sinal, isto é: 
 
det B = b11 b22 b33@ b11 b23 b32@ b12 b21 b33 + b12 b23 b31 + b13 b21 b32@ b13 b22 b31
= b11 b22 b33 + b12 b23 b31 + b13 b21 b32@ b11 b23 b32@ b12 b21 b33@ b13 b22 b31
= b11 b22 b33 + b12 b23 b31 + b13 b21 b32@ b11 b23 b32 + b12 b21 b33 + b13 b22 b31
b c 
 
 
2.2.1 Observações 
Calcular determinantes diretamente da definição leva a dificuldades computacionais. De fato, calcular um 
determinante de ordem 4×4 diretamente envolveria calcular 4! = 24 produtos elementares com sinal e 
um determinante 10×10 envolveria calcular 10! = 3.628.800 produtos elementares com sinal. Mesmo os 
mais rápidos computadores digitais não conseguem dar conta em um tempo razoável dos cálculos de um 
determinante de ordem 25×25 por este método. E, portanto muito do que se segue, será o 
desenvolvimento de métodos que simplifiquem o cálculo de determinantes. 
 
 
2.3 Regras práticas para o cálculo de determinantes 
Com o objetivo de tornar viável o cálculo de determinantes, estudaremos algumas regras práticas a seguir. 
 
 
2.3.1 Determinante de uma matriz de primeira ordem