Aulas 7 e 8 - Fundamentos de Resistência dos Materiais

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FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS –AULA 07
FUNDAMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS –AULA 07
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS
❑ O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de barras, como de qualquer elemento estrutural
dependem de grandezas chamadas tensões, as quais se distribuem ao longo das seções transversais de um corpo.
❑ Por isso a necessidade de se conhecer claramente as características ou propriedades das figuras geométricas que
formam essas seções transversais.
As principais propriedades geométricas de figuras planas são:
• Área (A)
• Momento estático (M)
• Centro de gravidade (CG)
• Momento de Inércia (I)
• Módulo Resistente (W)
• Raio de giração (i)
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1. Área
❑ A área de uma figura plana é a superfície limitada pelo seu contorno. Para contornos complexos, a área pode ser obtida
aproximando-se a forma real pela justaposição de formas geométricas de área conhecida (retângulos, triângulos, etc.).
❑ A unidade de área é [L]² (unidade de comprimento ao quadrado).
❑ A área é utilizada para a determinação das tensões normais (tração e compressão) e das tensões de transversais ou de
corte.
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2. Momento Estático
Analogamente à definição de momento de uma força em relação a um eixo qualquer, define-se Momento Estático (M) de
um elemento de superfície como o produto da área do elemento pela distância que o separa de um eixo de referência.
Momento Estático de uma superfície plana é
definido como a somatória de todos os
momentos estáticos dos elementos de
superfície que formam a superfície total.
A unidade do Momento Estático é [L]³.
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2. Momento Estático
❑ Momento Estático é utilizado para a determinação das tensões transversais que ocorrem em uma peça submetida à
flexão.
❑ O Momento Estático de uma superfície composta por várias figuras conhecidas é a somatória dos Momentos
Estáticos de cada figura.
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3. Centro de Gravidade (Centroide)
❑ Se um corpo for dividido em partículas mínimas, estas ficam sujeitas à ação da gravidade, onde em todas estas
partículas está aplicada uma força vertical atuando de cima para baixo. A resultante de todas as forças verticais e
paralelas entre si, constitui o peso do corpo.
❑ Mesmo mudando a posição do corpo aplicando-lhe uma rotação, ele permanecerá sempre sujeito à ação da gravidade,
as forças verticais girarão em relação ao corpo, mas continuaram sempre paralelas e verticais.
❑ O ponto onde se cruzam as resultantes dessas forças paralelas, qualquer que seja a posição do corpo, chama-se Centro
de Gravidade (CG).
Seja um sistema de três partículas de pesos P1, P2 e P3, conforme mostrado na figura.
Pelo Teorema de Varignon no ponto O, temos:
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Girando-se o sistema de partículas em 90º, no sentido horário, mantêm se a
mesma relação das forças-pesos destas partículas. Analogamente, a ordenada
YG da linha de ação da resultante será dada por:
𝑃. 𝑌𝐺 = 𝑃1 ∙ 𝑦1 + 𝑃2 ∙ 𝑦2+ 𝑃3 ∙ 𝑦3
𝑌𝐺 =
𝑃1 ∙ 𝑦1 + 𝑃2 ∙ 𝑦2+ 𝑃3 ∙ 𝑦3
𝑃
𝑌𝐺 =
𝑚1 ∙ 𝑔 ∙ 𝑦1 + 𝑚2 ∙ 𝑔 ∙ 𝑦2+ 𝑚3 ∙ 𝑔 ∙ 𝑦3
𝑚 ∙ 𝑔
𝑌𝐺 =
𝑚1 ∙ 𝑦1 + 𝑚2 ∙ 𝑦2+ 𝑚3 ∙ 𝑦3
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3
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CENTRO DE GRAVIDADE: quando se utiliza as forças-pesos
CENTRO DE MASSA: quando se utiliza as massas
Mas ambos são conceitos semelhantes, na prática se diz Centro de Gravidade, ou ainda o termo CG
Quando consideramos uma superfície (figura no plano XY) ao invés de um corpo sólido (volume), a expressão centro de
gravidade é denominada por alguns autores de CENTRÓIDE, ou ainda de BARICENTRO de uma superfície.
Utilizando o conceito de densidade, temos:
d = m / V → m = d . V → d . A. h
Para casos de densidade homogênea (mesmo material) e superfícies de mesma espessura (h), as expressões
desenvolvidas para o centro de gravidade são reescritas em função das áreas:
𝑌𝐺 =
𝐴1 ∙ 𝑦1 + 𝐴2 ∙ 𝑦2+ 𝐴3 ∙ 𝑦3
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3
𝑋𝐺 =
𝐴1 ∙ 𝑥1 + 𝐴2 ∙ 𝑥2+ 𝐴3 ∙ 𝑥3
𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3
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Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras:Centro de gravidade de uma superfície plana:
Sendo:
xCG = distância do CG da figura até o eixo y escolhido arbitrariamente;
yCG = distância do CG da figura até o eixo x escolhido arbitrariamente;
Mx = momento estático da figura em relação ao eixo x;
My = momento estático da figura em relação ao eixo y;
A = área da figura.
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Centro de gravidade de algumas figuras planas:
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Roteiro para o cálculo do centro de gravidade
1 – Repartir a figura em partes conhecidas, ou seja, partes fáceis de se determinar o centro de massa.
2 – Desenhar um plano cartesiano e determinar a área e o ponto do centro de massa de cada uma das figuras.
3 – Aplicar a fórmula para determinar cada um dos centros de massas. Porém, deve ser observado que a
massa de cada parte não é dada e sim a sua área, deste modo, substituir a massa pela área.
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1 – Determinar as coordenadas do centro gravidade da placa homogênea e de espessura constante, cujas dimensões estão
indicadas na figura.
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2 – Determinar as coordenadas do centro de gravidade da placa homogênea e de espessura constante, cujas dimensões estão
indicadas na figura.
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3 – Localizar e calcular o centroide da figura indicada.
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4 - Determinar o centro de gravidade da figura, utilizando o Momento Estático de Área
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4. Momento de Inércia
O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de referência é definido como sendo a integral de área
dos produtos dos elementos de área que compõem a superfície pelas suas respectivas distâncias ao eixo de referência,
elevadas ao quadrado.
A unidade do momento de inércia é [L]² . [L]²=[L]4 .
O momento de inércia é uma característica
geométrica importantíssima no dimensionamento dos
elementos estruturais, pois fornece, em valores
numéricos, a resistência da peça.
Quanto maior for o momento de inércia da seção
transversal de uma peça, maior a sua resistência.
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Propriedade:
O momento de inércia total de uma superfície é a somatória dos momentos de inércia das figuras que a compõe.
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Momento de Inércia - Translação de eixos
O momento de inércia de uma superfície em relação a um eixo qualquer é igual ao momento de inércia em relação ao
eixo que passa pelo seu centro de gravidade, acrescido do produto da área (A) pelo quadrado da distância que separa os
dois eixos.
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O momento de inércia é utilizado para a determinação das tensões normais a que estão sujeitas as peças submetidas à flexão.
As formulações acima podem ser expressas em função do momento estático:
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5. Módulo Resistente
Define-se módulo resistente de uma superfície plana em
relação aos eixos que contém o CG como sendo a razão
entre o momento de inércia relativo ao eixo que passa
pelo CG da figura e a distância máxima entre o eixo e a
extremidade da seção estudada.
Sendo:
ICG = momento de inércia da peça em relação ao CG da figura
x, y = distância entre o eixo do CG da figura e a extremidade da
peça.
A unidade do móduloresistente é [L]³.
O módulo resistente é utilizado para o dimensionamento de peças submetidas à flexão.
Para o retângulo, tem-se:
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6. Raio de Giração
Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento de inércia e a área da superfície. A
unidade do raio de giração é o comprimento. O raio de giração é utilizado para o estudo da flambagem.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
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TORÇÃO EM EIXOS CIRCULARES
1 – Deformação por torção em um eixo circular
Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal. Se o ângulo de rotação for
pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados.
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O conjunto das tensões de cisalhamento internas resulta em um torque interno, igual e oposto ao torque aplicado:
Embora o torque devido às tensões de cisalhamento seja conhecido, a distribuição das tensões não é.
Ao contrário da tensão normal devido a cargas axiais, a distribuição das tensões de cisalhamento devido a cargas
de torção não pode ser assumida uniforme.
𝑇 = න 𝜌 ∙ 𝑑𝐹 = න 𝜌 ∙ 𝜏 𝑑𝐴
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❑ A existência de componentes de cisalhamento axial é demonstrada,
considerando um eixo formado por tiras axiais separadas. As tiras deslizam
umas em relação as outras quando torques iguais e opostos são aplicados às
extremidades do eixo.
❑ A experiência mostra que o ângulo de torção da barra é proporcional ao torque
aplicado e ao comprimento da barra. Quando submetido à torção, cada seção
transversal de um eixo circular permanece plana e indeformada.
❑ Seções transversais para barras circulares cheias ou vazadas permanecem planas
e indeformadas, porque a barra circular é axissimétrica. Seções transversais de
barras não circulares são distorcidos quando submetidas à torção.
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• Destacando da barra um cilindro de raio r. Como uma carga de torção
é aplicada, um elemento no interior do cilindro deforma em um
losango.
• Uma vez que as extremidades do elemento permanecem planares, a
deformação de cisalhamento é igual ao ângulo entre as linhas BA e BA’.
• Quando γ é pequeno, AA’ é igual a:
• A deformação de cisalhamento é proporcional ao ângulo de torção e 
ao raio. 
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2 – Tensões no Regime Elástico
Multiplicando a equação anterior pelo módulo de elasticidade transversal, temos:
Da Lei de Hooke:
A tensão de cisalhamento varia linearmente com a posição radial na seção. Assim,
sabendo-se que a soma dos momentos da distribuição de tensões internas é igual
ao torque na seção da barra, temos:
Sendo, Ip o momento polar de inércia da seção.
Os resultados são conhecidos como fórmulas de torção no regime elástico, com:
❑ Torque aplicado ao eixo produz tensões de cisalhamento nas faces perpendiculares ao eixo.
❑ Condições de equilíbrio requerem a existência de tensões iguais nas faces formadas por dois planos contendo o eixo
da barra.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1 - O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida
nos pontos A e B localizados na seção a–a do eixo.
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2 - O eixo de seção circular BC é vazado com diâmetros interno e externo de 90mm e 120mm, respectivamente. Os eixos de
seção circular AB e CD são cheios e têm diâmetro d. Para o carregamento mostrado na figura, determine:
a) As tensões de cisalhamento máxima e mínima no eixo BC
b) O diâmetro d necessário para os eixos AB e CD, se a tensão de cisalhamento admissível nesses eixos for de 65MPa.
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a) As tensões de cisalhamento máxima e mínima no eixo BC b) O diâmetro d necessário para os eixos AB e CD, se a
tensão de cisalhamento admissível nesses eixos for de
65MPa.