Teorema do Valor Medio

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Universidade Federal do Espírito Santo 
Cálculo I – Prof. Antônio Rosa 
 
Teoria: Teorema do Valor Médio: 
 
Teorema do Valor Médio T.V.M.: Seja uma função que satisfaça as seguintes 
hipóteses: 
1. é contínua em ; 
2. é diferenciável em . 
Então, existe pelo menos um tal que: 
 
 
 
 
 
ou, de maneira equivalente, 
 
 
 
Exemplo 1: Sejam , e . Mostre que existe tal que 
 . Em seguida, calcule tal . 
 
Solução: Temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, a inclinação da reta que passa pelos pontos e , isto 
é, e é . 
Sabemos que: 
1. é contínua em , pois é um polinômio; 
2. é diferenciável em , pois é um polinômio. 
Logo, pelo T.V.M., temos que existe tal que 
 
 
 . 
Agora, temos, 
 
Daí segue, 
 
 
 
 
 
 
 
Como devemos ter , segue que 
 
 
 
 
Exemplo 2: Suponha que e , para todo os valores de . Qual é o 
maior valor possível para ? 
 
Solução: Como existe , então é contínua em toda reta real. 
Aplicando o T.V.M. no intervalo , vê-se que existe tal que 
 
Logo temos, 
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Como , para todos os valores de , então particularmente temos que 
 . 
Disto, 
 
Assim, o maior valor possível para é . 
 
Teorema: Se para todos os valores de em um intervalo , então é 
constante em . 
 
Prova: Sejam e com . 
Como é diferenciável em , ela é também diferenciável em e contínua 
em . 
Aplicando o T.V.M. a em , obtemos que existe tal que 
 
 
Como , temos que e disto, 
 
 
Portanto é constante em . 
 
Corolário: Se para todos os valores de em um intervalo , então 
 é constante em , isto é, , onde é uma constante. 
 
Prova: Seja . Então, , para todo 
 , pois para todo . 
Assim, pelo Teorema anterior, é constante em . Isto é, é constante em 
 . 
 
Exemplo 3: Seja 
 
 
 
 
 
 
 
Mostre que para todos os valores de . Porque este fato não 
contradiz o Teorema acima visto que não é constante em ? 
 
Solução: Temos que: . 
Também 
 
 
 
 
 
 
 
Mas não é constante em e isto não contradiz o Teorema acima porque 
não é um intervalo. 
Observe que é constante em e também em . 
 
Exemplo 4: Prove a identidade: 
 
 
 
 
 
Solução: Se então, 
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Para todos . 
Portanto, pelo Teorema anterior, temos que , uma função constante. 
Para determinarmos o valor de , fazemos na função. Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim,