Pet 1º Ano EJA Volume 02 - Matemática

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1 II
SUMÁRIO
MATEMÁTICA ........................................................................................ 
pág. Semana 1: .............................. 
Semana 2: Função do segundo grau pág. 
Semana 3: 
pág. 
Semana 4: ................... pág. 
Semana : ................................................ pág. 
Semana : ..................................................... pág. 
EIXO TEMÁTICO II: 
Funções Elementares e Modelagem.
TEMA 5:
Funções.
TÓPICO:
8. Função do primeiro grau.
HABILIDADE(S) DO CBC:
8.1. Identificar uma função linear a partir de sua representação algébrica ou gráfica.
8.3. Reconhecer funções do primeiro grau como as que têm variação constante.
8.5. Representar graficamente funções do primeiro grau. 
CONTEÚDOS RELACIONADOS:
Função: noção, domínio, contradomínio, conjunto imagem, gráfico, plano cartesiano, sinal, crescimento e 
decrescimento, máximos e mínimos, simetrias, taxa média de variação.
INTERDISCIPLINARIDADE: Física, Química e Biologia
Essa habilidade contribui para a Física, a Química e Biologia no desenvolvimento do estudo de temas diversos 
como poluição, reações nucleares, produção de energia elétrica, reações químicas de interesse ambiental, 
etc., por meio da análise crítica de dados relacionados às variáveis ou gráficos divulgados sobre os temas em 
diferentes mídias sociais.
Nesta semana, daremos início ao estudo de funções. Inicialmente, apresentaremos o conceito de grandeza e, em 
seguida, por meio de alguns exemplos, a definição de função.
Recordando: O que é uma grandeza?
Grandeza é tudo aquilo que pode ser contado ou medido, por meio da comparação com um padrão, que se 
constitui como unidade de medida. Exemplo de grandezas: comprimento, área, volume, massa, energia,
temperatura, tempo e velocidade.
Exemplos: 
1 — A altura de uma criança depende de sua idade. Quanto maior a idade, maior a altura, sendo que em 
certa idade a altura se estabiliza, ou seja, fica constante.
2 — Duas grandezas são diretamente proporcionais se a variação de uma delas provoca a variação da 
outra na mesma razão. Um exemplo:
Estudantes do 5º ano montam bicicleta que carrega celular a pedaladas: Dispositivo acoplado ao 
pneu gera corrente elétrica que carrega aparelho. Projeto foi apresentado em Feira Tecnológica 
de escola de Porto Alegre. 
Figura 1: Movimento das pedaladas gera 
força que é transformada em energia 
(Foto: Rafaella Fraga/G1)
O giro da roda é uma fonte de energia infi-
nita — ela só acaba quando a perna cansa. 
Aqui, a resistência aplicada é baixa, ou seja, 
basta apenas girá-la rapidamente com a 
mão para que o ícone de carregar o celular 
surja na tela do aparelho.
Fonte: http://g1.globo.com/rs/rio-grande-do-sul/
noticia/2015/07/alunos-do-5-ano-montam-bicicleta-
que-carrega-celular-pedaladas-veja.html?utm_
source=twitter&utm_medium
Considerando que temos uma dessas bicicletas adaptadas para carregar celulares e, hipoteti-
camente, podemos carregar quatro celulares, com velocidade mediana, por hora de pedaladas. 
Considere, também, que todos celulares estão descarregados totalmente.
Reflita sobre as questões abaixo e responda o que se pede.
a) Quantos telefones celulares podem ser recarregados se pedalarmos durante 5 h? E se peda-
larmos durante 7 h?
b) Formule uma expressão que calcule a quantidade de telefones celulares que podem ser recar-
regados em função do número de horas pedaladas.
c) Na expressão escrita anteriormente, quais as variáveis envolvidas?
d) Complete a tabela a seguir.
Horas de pedaladas 1 2 3 4 5 6 7
Celulares recarregados
No exemplo acima, há uma relação de dependência entre as grandezas, ou seja, a variação da grandeza 
“horas pedaladas” impacta na variação da grandeza “celulares recarregados”. 
Definindo o que é função
As duas propriedades que tornam uma relação entre grandezas uma função entre essas grandezas são:
I. Para cada valor de uma variável independente, há um valor correspondente da variável dependente.
II. A cada valor da variável independente corresponde um único valor da variável dependente.
Em linguagem matemática:
Uma função é uma relação entre duas variáveis x e y, de maneira que para cada valor de x, há 
um único valor de y correspondente, que é chamado de imagem do elemento x.
Como o valor de y é dependente do valor de x, se diz que y é uma variável dependente e x uma 
variável independente.
Uma variável y pode também ser representada por f(x), ou seja, y = f(x), sendo x a variável 
independente e y a variável dependente. O símbolo f(x) deve ser lido como: “f de x”. Neste caso, 
a função f é que relaciona as duas variáveis.
Um exemplo: a função y = 150 + 25x também pode ser escrita como f(x) = 150 + 25x.
No caso do exemplo 2, a expressão matemática que descreve a função é f(x) = 4x, sendo que f(x) 
representa o número de celulares recarregados e x representa o número de horas pedaladas.
Você sabia que existe uma fórmula, que é uma função, para calcular a área da superfície do 
seu corpo? Ela é dada por: A = √h ? m/60 em que h é a altura, em centímetros, e m é a massa 
da pessoa, em quilogramas. 
Vamos praticar! Com essa fórmula, calcule a área da superfície do seu corpo.
ATIVIDADES
1 — Represente a função f que relaciona cada número inteiro com o seu sucessor.
Podemos representar essa relação usando 3 formas: tabela, diagrama e gráfico. Veja como e faça 
o mesmo nas questões posteriores.
Tabela
Ao representar a função em uma
tabela temos:
x ... —2 —1 0 1 ...
y ... —1 0 1 2 ...
Diagrama
Em um diagrama de flechas podemos relacionar 
os elementos por meio de setas partindo 
do conjunto do domínio da função para o con-
junto imagem:
A representação gráfica da função f é o conjunto de pares ordenados que satisfazem y = f (x).
Para representar uma função no plano car-
tesiano, os valores da variável independen-
te, x, são representados no eixo horizontal 
(eixo das abscissas) e os valores da variável 
dependente, y, são representados no eixo 
vertical (eixo das ordenadas).
Expressão Algébrica
Podemos representar a função f como uma expressão algébrica. Se x representa um número inteiro, 
a expressão x + 1 representa seu sucessor. Então temos que f (x) = x + 1.
Vamos praticar.
2 — Determine, em cada caso, se a relação entre as variáveis corresponde ou não a uma função.
a) Um número natural e seu oposto.
b) A medida do lado de um quadrado e sua área.
c) A quantidade de respostas corretas em uma prova e a nota final obtida.
3 — Determine a expressão algébrica, que permite modelar a relação existente entre os valores 
assumidos pelas grandezas x e y, nos dois casos indicados nas tabelas abaixo.
a) 
x 1 2 3 4 5 6 7
y 5 7 9 11 13 15 17
b) 
x 2 3 4 5 6
y 8 12 16 20 24
4 — De acordo com o gráfico de uma função f, na figura abaixo, quais das seguintes proposições 
são verdadeiras?
I. f (—2) + f (2) = 0
II. f (1) = f (—1)
III. f (2) = f (—1) + f (3)
5 — Vamos analisar a seguinte questão do ENEM (2015):
Após realizar uma pesquisa de mercado, uma operadora de telefonia celular ofereceu aos clientes 
que utilizavam até 500 ligações ao mês o seguinte plano mensal: um valor fixo de R$ 12,00 para os 
clientes que fazem até 100 ligações ao mês. Caso o cliente faça mais de 100 ligações, será cobrado 
um valor adicional de R$ 0,10 por ligação, a partir da 101ª até a 300ª; e caso realize entre 300 e 500 
ligações, será cobrado um valor fixo mensal de R$ 32,00.
Com base nos elementos apresentados, o gráfico que melhor representa a relação entre o valor 
mensal pago nesse plano e o número de ligações feitas é:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
EIXO TEMÁTICO I:
FUNÇÕES ELEMENTARES E MODELAGEM.
TEMA 5:
Funções.
TÓPICO: 
10. Função do segundo grau.
HABILIDADE(S) DO CBC:
10.1. Identificar uma função do segundo grau a partir de sua representação algébrica ou gráfica.
10.2. Representar graficamente funções do segundo grau.
10.3. Identificar os intervalos em que uma função do segundo grau é positiva ou negativa.
10.4. Resolver situações-problema que envolvam as raízes de umafunção do segundo grau.
10.5. Resolver problemas de máximos e mínimos que envolvam uma função do segundo grau.
CONTEÚDOS RELACIONADOS:
Equação do 2º grau, função de 2º grau e aplicações.
INTERDISCIPLINARIDADE: 
Física, Biologia, Química.
Olá estudantes! 
A matemática sempre busca trazer soluções para diversas situações de nossas vidas. 
Ao descobrir o valor de um número desconhecido, muitas vezes estamos resolvendo 
problemas que são essenciais para a sociedade. Como, por exemplo, a dose certa de 
radiação a ser aplicada para diminuir um tumor na tireoide, o quanto você deve dispor 
mensalmente para pagar um financiamento da casa própria em 30 anos, a velocidade 
que um foguete tem de alcançar para sair da gravidade da terra etc. 
es de nossas
stamos reso
plo, a dose ce
to você deve
anos, a veloc
A álgebra é quem modela esses e outros problemas deste tipo. Neste volume, vamos aprofundar no es-
tudo da função de 2º grau. Vamos começar recordando noções importantes sobre a equação de 2º grau.
Recordando o que é a equação do 2º grau
A equação do 2º grau, também chamada de equação quadrática é do tipo 
ax2 + bx + c = 0,
sendo a, b e c números reais e a Þ 0, esta é sua forma padrão.
Mas, às vezes, à primeira vista, uma equação quadrática não aparenta ter essa 
forma. Vejamos alguns exemplos.
Outras formas
Transformação a ser 
implementada
Equação no formato 
padrão 
Valores dos 
coeficientes a, b e c
x2 = 3x — 1
Mova todos os termos para a 
esquerda da igualdade.
x2 — 3x + 1 = 0
a = 1
b = —3
c = 1
2(z2 — 2z) = 5
Faça os cálculos para extrair 
os parênteses e mova o 5 
para esquerda da igualdade.
2z2 — 4z — 5 = 0
a = 2
b = —4
c = —5
(t + 2)2 = 0
Desenvolva o binômio pela 
regra dos produtos notáveis
t2 + 4t + 4 = 0
a = 1
b = 4
c = 4
(x — 0) (x — 6) = 0 Desenvolva o produto x2 — 6x = 0
a = 1
b = —6
c = 0
Como resolver uma equação quadrática?
Embora existam outras maneiras de encontrar as soluções e você já deve ter 
aprendido em anos anteriores, vamos apenas recordar, aqui, a fórmula qua-
drática especial, chamada também de fórmula de Bhaskara, na qual basta 
substituir os valores de a, b, c e fazer os cálculos para encontrar as soluções 
da equação. 
x = —b 6 √b
2 — 4ac
2a
Vamos explorar um pouco mais sobre a fórmula quadrática.
1) O que significa o 6 na fórmula?
Significa que existem duas soluções.
x‘ = —b + √b
2 — 4ac
2a
x‘’ = —b — √b
2 — 4ac
2a
Veja, aqui, um exemplo com as duas soluções, a partir de uma representação gráfica.
Observe, pelo gráfico, as duas soluções possíveis 
para a equação x 2 — 3x + 1,04 = 0, que são: x’ = 0,4 
e x” = 2,6.
Mas nem sempre funciona assim!
Figura SEQ Figura \* ARABIC 4 — Icon made by 
Freepik from www.flaticon.com
A curva pode apenas tocar o eixo x em um ponto. A curva pode nem sequer tocar o eixo x.
2) É aí que o chamado discriminante, que é o valor dado pela expressão b2 — 4ac, entra em ação, porque 
ele pode distinguir as diferentes situações envolvendo as soluções de equações quadráticas.
De acordo com o discriminante da equação teremos as seguintes situações:
• quando o discriminante assume um valor positivo, obtemos duas soluções reais diferentes.
• quando o discriminante assume o valor zero, obtemos apenas um valor a partir da fórmula
de Bhaskara e, nesse caso, dizemos que a equação possui duas soluções reais iguais.
• quando o discriminante assume um valor negativo, dizemos que a equação não possui solu-
ções no conjunto dos números reais.
ATIVIDADES
VAMOS PRATICAR?
1 — Resolva as equações quadráticas usando a fórmula de Bhaskara.
a) - x2 — 6x + 16 = 0
b) - x2 + x + 2 = 0
c) x2 — 12x + 35 = 0
d) —x2 — 15x — 54 = 0
e) x2 — 2x — 63 = 0
f) x2 — 4 = 0
g) x2 — 64 = 0
h) x2 — 11x + 28 = 0
2 — Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique suas respostas (se 
necessário realize os cálculos).
a) ( ) x ‘ = √5 e x ” = —√5 são soluções da equação x2 + 5 = 0.
b) ( ) x ‘ = 5√3 e x ” = —5√3 são soluções da equação x2 + 10 = 0.
c) ( ) A equação (x + 2)2 + 5 = (3x + 1)2 é uma equação quadrática.
d) ( ) Se o discriminante de uma equação de 2º grau é negativo, a equação tem soluções no
conjunto dos números reais.
e) ( ) O discriminante de uma equação de 2º grau permite decidir se a equação possui ou não
soluções no conjunto dos números reais.
3 — A soma dos primeiros números naturais consecutivos 1, 2, 3, ..., n é dada pela expressão n (n + 1)
2
. 
Quantos números naturais consecutivos devem ser adicionados para se obter soma 300? 
Dica: resolva a equação n (n + 1)
2
 = 300.
Para aprofundar essas e outras aplicações, vamos estudar antes o conceito de função do 2º grau, 
tema da próxima semana.
N PET, fizemos a introdução do conceito de função e função afim, caso sinta 
necessidade revisite esse caderno.
Nesta semana vamos estudar a função do segundo grau a partir de sua representação algébrica ou 
gráfica.
• Função do 2º Grau. O que é?
Dizemos que uma função, definida para todo número real, é de 2º grau ou quadrática, quando puder ser 
escrita na forma 
f (x) = ax2 + bx + c, com a, b, c ∈ R e a ≠ 0.
Nessa função destaca-se o termo quadrático ax 2, o termo linear bx e o termo independente c. 
Representação Gráfica da Função Quadrática.
A representação gráfica da função quadrática é uma parábola. A parábola é uma curva, que admite um 
eixo de simetria, conforme indicado na figura a seguir. 
Características importantes da parábola.
• Uma parábola tem concavidade para cima (a > 0) ou para baixo (a < 0).
• Toda parábola tem um ponto de máximo ou de mínimo chamado vértice, ponto de simetria da pa-
rábola. O ponto será mínimo, quando a concavidade estiver voltada para cima e, máximo, quando a
concavidade estiver voltada para baixo.
Na vida real, encontramos a representação gráfica da função quadrática em diversas construções 
arquitetônicas e de engenharia. 
Vejamos alguns exemplos.
Vamos analisar uma foto de uma construção, bem conhecida no Brasil e em Minas Gerais, que é a Igreja 
de São Francisco de Assis, popularmente chamada de “a Igrejinha da Pampulha”.
Fonte: IPHAN. Disponível em: http://portal.iphan.gov.br/noticias/detalhes/5376. Foto de Ricardo Laf. 
Acesso em: 01 jul. 2020 (adaptado).
A função que modela a silhueta dessa estrutura é a função quadrática.
Pode-se identificar o vértice V dessa parábola como o ponto mais alto da cobertura da igreja.
Na engenharia, as formas dos cabos de uma ponte de suspensão identificam-se com uma parábola. Foi 
Galileu (1564-1642) o primeiro a estudar a física e a matemática das pontes. Os cabos de uma ponte de 
suspensão assumem a forma de uma parábola.
Figura 12: http://www.gi2.pt/galerias/ 
pontes-e-parabolas/
Figura 13: Icon made By Freepik from www.flaticon.com
Quando estiver caminhando pela sua cidade, veja se consegue observar esse modelo de curva, seja 
na arte, arquitetura de igrejas ou engenharia. 
Agora vamos continuar! Você já viu que o gráfico da função quadrática traz alguns elementos 
importantes, como o vértice e sua concavidade e, juntos, determinam o ponto de máximo ou de 
mínimo da curva. 
Agora, observe no quadro abaixo os pontos do gráfico da função quadrática f (x) = ax2 + bx + c que 
interceptam o eixo x e entenda como eles se relacionam com as soluções da equação quadrática 
ax2 + bx + c = 0.
Situação 1: Se o gráfico da função 
f (x) = ax2 + bx + c intercepta o eixo 
x em dois pontos distintos, então 
o conjunto solução da equação
ax2 + bx + c = 0 é formado por dois 
números reais.
Situação 2: Se o gráfico da fun-
ção f (x) = ax2 + bx + c intercepta o 
eixo em apenas um ponto, então 
o conjunto solução da equação
ax2 + bx + c = 0 é formado por
apenas um número real.
Situação 3: Se o gráfico da função 
f (x) = ax2 + bx + c não intercepta o 
eixo , então o conjunto solução da 
equação ax2 + bx + c = 0 é vazio, 
isto é, a equação não tem solução 
no conjunto dos números reais .
ATIVIDADES
1 — Complete a tabela indicando se cada uma das expressões representa uma função quadrática e,se 
afirmativo, determine seus coeficientes.
Função
Quadrática 
(sim ou não)
Coeficientes
a b c
v (x) = 3x2 + 12x
t (x) = 5x2 — 40x — 40
m (x) = — x
2
4
+ 400
h (t) = 20t — 5t 2
f (x) = 5x 2
q (x) = (x + 1) (x — 9)
g (x) = x2 — 2
Vamos esboçar o gráfico de uma parábola, a partir de alguns pontos importantes, que podem ser 
determinados utilizando os coeficientes da função. 
Veja o exemplo.
Considere a função f (x) = x2 — 6x + 9.
a. Qual é o ponto de interseção (x, y) do gráfico da função f com o eixo y ?
Para determinar o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo y, atribui-se a x o valor zero na 
função, ou seja, faz-se x = 0 na função f. Assim, 
f (0) = 02 — 6(0) + 9 
f (0) = 9 
Logo, o ponto em que o gráfico da função f intercepta o eixo y é o ponto (0,9).
b. Em que ponto o gráfico da função f intercepta o eixo x?
Para determinar os pontos do gráfico da função f que interceptam o eixo x, basta resolver a 
equação quadrática x 2 — 6x + 9 = 0. Como as soluções da equação quadrática são dadas pela 
fórmula de Bhaskara 
x = —b 6 √b
2 — 4ac
2a
e substituindo os valores dos coeficientes nessa fórmula, temos: x1 = x2 = 3.
Logo, existe somente um ponto de interseção entre o gráfico da função e o eixo x, que é o 
ponto (3,0).
c. Como determinar o ponto que é o vértice da parábola, que é gráfico da função f ?
As coordenadas do vértice da parábola, que é gráfico da função, pode ser obtido a partir de seus 
coeficientes, pois suas coordenadas são 1—b2a , 
b2 — 4ac
4a 2.
Os coeficientes da função são f (x) = x 2— 6x + 9 são a = 1; b = —6 e c = 9.
Logo, temos que e —b
2a
 = —(—6)
2 ? 1
= 3 e b
2 — 4ac
4a
 = — — (—6)
2 — 4 ? 1 ? 9
4 ? 1
 = 0.
Assim, o vértice da parábola é o ponto (3,0).
d. Agora, vamos inserir todos esses pontos no plano cartesiano e traçar a parábola correspondente.
• Construir o gráfico da função f (x) = x2 — 6x + 9.
V = (3, 0) é o vértice da parábola e é o único ponto 
em que a o gráfico de f intercepta o eixo x.
C = (0, 9) é a interseção da parábola com o eixo y.
2 — Determine as raízes, o vértice e os pontos de interseção com eixo das ordenadas (eixo y) das 
seguintes funções:
a) f (x) = x 2 + x — 6
b) f (x) = x 2 — 8x
c) f (x) = x 2 + 7x + 12
d) f (x) = x 2 — 13x + 9
3 — Observando o gráfico de cada função abaixo, determine: a concavidade da parábola, a(s) raiz(es) 
da função e indique se o vértice da parábola é ponto de mínimo ou de máximo da função.
Concavidade: 
Raiz (es): 
Vértice: 
Concavidade: 
Raiz (es): 
Vértice: 
A forma fatorada da função quadrática também é muito importante na resolução de 
problemas! Conhecendo as raízes (ou zeros) da função quadrática, sua expressão algébri-
ca pode ser escrita na forma: y = a (x — x1) (x − x2), sendo x1 e x2 os zeros da função ou as raízes 
da equação.
Veja um exemplo:
(ENEM, 2017) A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, 
localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 
1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta 
abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos. 
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?
a) 16/3
b) 31/5
c) 25/4
d) 25/3
e) 75/2
Já sabemos que a figura é uma parábola; assim, para resolver o problema, vamos identificar os pontos 
especiais que estão na figura, considerando que a origem do plano cartesiano passa pelo centro da 
porta de entrada da capela, conforme o gráfico apresentado abaixo.
Assim, temos as coordenadas dos 
pontos de interseção da parábola 
com o eixo x, que são A = (—5, 0) e 
B = (5, 0), o ponto E = (4, 3) e o vér-
tice V = (0, H).
A equação da parábola pode ser determinada a partir de suas raízes e xA e xB, usando a forma fatorada 
y = a (x — xA) (x — xB):
y = a (x + 5) (x − 5)
Substituímos na expressão acima as coordenadas do ponto E = (4,3) podemos obter o valor do 
coeficiente a:
3 = a (4 + 5) (4 — 5) � 3 = —9a � a = — 1
3
Então 
y = — 1
3
(x + 5) (x — 5) � y = — x
2
3
+ 25
3
Como a ordenada do ponto V (vértice da parábola) é H, temos H = 25
3
. Portanto, a resposta correta é a 
letra D.
Agora, pratique um pouco usando a expressão fatorada da função quadrática.
4 — No plano cartesiano, a seguir, está representada uma parábola, que é o gráfico de uma função 
quadrática. Encontre a expressão algébrica que define essa função, usando a forma fatorada 
y = a (x — x1) (x — x2).
a) b) 
EIXO TEMÁTICO I:
Funções elementares e modelagem.
TEMA 5:
Funções.
TÓPICO: 
9. Progressão aritmética.
HABILIDADE(S) DO CBC:
9.1. Reconhecer uma progressão aritmética em um conjunto de dados apresentados em uma tabela, 
sequência numérica ou em situações-problema.
9.2. Identificar o termo geral de uma progressão aritmética.
CONTEÚDOS RELACIONADOS:
Sequências numéricas e Progressão aritmética.
INTERDISCIPLINARIDADE: 
Biologia e Ciências Sociais.
Um homem colocou um casal de coelhos recém-nascidos em um 
local cercado por paredes por todos os lados. Quantos casais mais 
de coelhos podem ser produzidos a partir daquele primeiro casal, 
em um ano, se supusermos que todo mês cada casal gera um novo 
casal que, a partir do segundo mês, torna-se reprodutivo? 
Pares de coelhos
2
1
1
3
5
A sequência de pares de coelhos resultante, conhecida como Sequência de Fibonacci, é
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…
O que é fascinante nessa sequência é que depois que você tem os primeiros dois termos, qualquer ter-
mo, a partir do terceiro, pode ser obtido somando-se os dois termos anteriores. 
Mais interessante ainda na sequência de Fibonacci é que ao se dividir cada termo pelo seu antecessor 
obtém-se uma sequência de razões que se aproxima, cada vez mais, do chamado número de ouro, ou 
número áureo, representado pela letra grega (phi), que é um número irracional, cujo valor é, aproxi-
madamente, 1,618. 
No caso das plantas, vários estudos de filotaxia confirmam a presença dos números da sequência de 
Fibonacci na constituição de certas espécies. Veja o exemplo a seguir:
As margaridas têm 13, 21 ou 34 pétalas. Os cri-
sântemos têm 34 pétalas. Os girassóis têm suas 
sementes distribuídas em espirais, normalmen-
te 34 espirais no sentido horário e 55 no sentido 
anti-horário. O que há de especial com esses 
números, 13, 21, 34 e 55? São todos números 
de Fibonacci. O matemático italiano Fibonacci, 
que viveu entre os anos de 1170 e 1250 é famoso 
por ter descoberto uma importante sequência 
numérica, cujos termos são obtidos por uma re-
gra simples: o primeiro número de Fibonacci é 1 
e o segundo também é 1. Quanto aos outros ter-
mos da sequência, cada um é a soma dos dois 
termos que o antecedem. A sequência fica as-
sim: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, e assim sucessi-
vamente. Da próxima vez que você vir uma flor, 
conte suas pétalas!
Fonte: http://webeduc.mec.gov.br/portaldoprofessor/
matematica/matematica_e_%20natureza/
matematicaenatureza-html/audio-flores-br.html. 
Acesso em: 20/07/2020.
As aplicações da sequência de Fibonacci e de outras sequências numéricas são espantosas, por 
isso a importância do estudo desse tema na Matemática se faz presente. Além do exemplo acima, 
há pesquisas com aplicações em estudo genealógico de coelhos, estudo genealógico de abelhas, 
comportamento da luz, comportamento de átomos, crescimento de plantas, ascensão e queda em 
bolsas de valores, probabilidade e estatística, entre outros.
Curioso, não? Um padrão que se repete e que aparece em situações distintas encontradas na natureza 
e em nosso cotidiano. Essa sequência é um belo exemplo do por que a Matemática se dedica tanto em 
explorar e estudar padrões. 
Vamos seguir em frente?
Existem várias sequências numéricas, algumas tão fascinantes quanto a de Fibonacci, outras sem ne-
nhuma importância aparente. Vejamos alguns exemplos de sequências numéricas. 
• (2, 4, 6, 8, 10, 12, …) — Sequência dos números pares positivos.
• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …) — Sequência dosnúmeros inteiros positivos.
• (5, 10, 15, 20, 25, …) — Sequência dos números positivos que são múltiplos de 5.
• (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...) — Sequência dos números primos.
Uma sequência numérica é uma lista (finita ou infinita) de números, na qual cada termo ocupa uma 
posição bem definida nessa lista. Por exemplo, as sequências (2, 10, 50) e (2, 50, 10) são duas sequên-
cias finitas formadas pelos mesmos três números: 2, 10 e 50. No entanto, essas duas sequências são 
distintas, pois o segundo termo da primeira sequência é 10, enquanto que o segundo termo da segunda 
sequência é 50. 
É comum representarmos, genericamente, uma sequência numérica por:
(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, …, a(n-1), an, a(n+1), …)
Note que, nessa representação, o subíndice do termo indica a posição do termo na sequência. Assim, 
ao indicarmos o termo a6, estamos nos referindo ao 6
o termo da sequência.
Alguns tipos de sequências numéricas auxiliam nas soluções para problemas de nosso cotidiano e por 
isso são mais conhecidas. A seguir, vamos estudar um tipo especial de sequência.
Progressão Aritmética (PA) o que é? 
Progressão Aritmética é uma sequência numérica, em que a diferença entre um termo e seu 
antecessor na sequência, a partir do segundo, é um número constante, que é chamado de razão 
da progressão.
Dito de outra forma, a sequência numérica
(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, …, an — 1, an, an + 1, …)
é uma progressão aritmética (PA) se
a2 — a1 = a3 — a2 = a4 — a3 = a5 — a4 = a6 — a5 = ... = an — an—1 = ...
O valor comum dessas diferenças é chamado de razão da PA e será representado pela letra r. Assim:
r = a2 — a1 = a3 — a2 = a4 — a3 = a5 — a4 = a6 — a5 = ... = an — an—1 = ...
Vamos analisar cada uma das sequências apresentadas anteriormente.
• (2, 4, 6, 8, 10, 12, …) — Sequência dos números pares positivos.
Note que, ao calcularmos as diferenças entre cada termo e o seu antecessor nessa sequência, obtemos 
sempre o mesmo número: 2.
De fato:
4 — 2 = 6 — 4 = 8 — 6 = 10 — 8 = 12 — 10 = ... = 2
Essa sequência é, portanto, uma progressão aritmética (PA) e sua razão vale 2, isto é, r = 2.
• (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …) — Sequência dos números inteiros positivos.
Calculando as diferenças entre cada termo e o seu antecessor nessa sequência, obtemos sempre o 
mesmo número: 1.
De fato:
2 — 1 = 3 — 2 = 4 — 3 = 5 — 4 = 6 — 5 = ... = 1
Essa sequência é, portanto, uma progressão aritmética (PA), na qual r = 1.
• (5, 10, 15, 20, 25, …) — Sequência dos números positivos que são múltiplos de 5.
Calculando as diferenças entre cada termo e o seu antecessor nessa sequência, obtemos sempre o 
mesmo número: 5.
De fato:
10 — 5 = 15 — 10 = 20 — 15 = 25 — 20 = 30 — 25 = ... = 5
Essa sequência é, portanto, uma progressão aritmética (PA), na qual r = 5.
• (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...) — Sequência dos números primos.
Ao calcularmos as diferenças entre o segundo e primeiro termos e entre o terceiro e segundo termos, 
percebemos que essas diferenças são distintas:
3 — 2 ≠ 5 — 3
Logo, essa sequência não é uma progressão aritmética.
Em função do valor da razão, as progressões aritméticas podem ser classificadas em:
• crescente, quando r > 0.
• constante, quando r = 0.
• decrescente, quando r < 0.
Termo Geral de uma PA
Observe que, consequentemente, cada termo de uma PA, a partir do segundo termo, pode ser obtido 
somando-se ao termo anterior a razão da PA, isto é,
r = a2 — a1 a2 = a1 + r
r = a3 — a2 a3 = a2 + r
r = a4 — a3 a4 = a3 + r
r = a5 — a4 a5 = a4 + r
r = a6 — a5 a6 = a5 + r
�
r = an — an — 1 an = an — 1 + r
Assim, partindo do 1o termo, podemos obter qualquer outro termo da PA, bastando, para isso, somarmos 
a razão, uma quantidade adequada de vezes, ao 1o termo.
�
Dessa forma, a expressão
an = a1 + (n — 1) r 
fornece uma maneira objetiva de obter o valor de qualquer termo de uma PA, a partir do seu primeiro 
termo (a1) e de sua razão (r). Essa expressão é chamada fórmula do termo geral de uma PA.
Aplicando a fórmula geral para resolver problemas!
Exemplo 1: Determine o 70o termo da seguinte PA: (5, 13, 21, 29, 37, 45, 53, 61, …)
Note que: a1 = 5 e r = 13 — 5 = 8. Deseja-se obter o termo a70 dessa sequência. Basta fazermos 
a1 = 5, r = 8 e n = 70 na fórmula do termo geral an = a1 + (n — 1) r:
a70 = 5 + (70 — 1) � 8
a70 = 5 + 69 � 8
a70 = 5 + 552
a70 = 557
Exemplo 2: (ENEM 2016 — 1ª AZUL — 165) Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro 
trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 
3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos 
andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, termi-
naram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, 
em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, 
em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João 
e Pedro.
Qual é o número de andares deste edifício?
a) 40 b) 60 c) 100 d) 115 e) 120
Para resolver essa questão, primeiro temos que identificar quais os andares em que João e 
Pedro trabalharam juntos, ou seja, os números comuns nas sequências que representam os 
andares nos quais João e Pedro trabalharam.
Sequência de andares que João trabalhou: (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, an)
Sequência de andares que Pedro trabalhou: (1, 4, 7, 10, 13,…, bn)
Os andares em que João e Pedro trabalharam juntos formam a sequência (1, 7, 13, 19, …, c20), que 
é uma PA de razão r = 7 — 1 = 6.
Assim, usando a fórmula do termo geral da PA, temos:
c20 = 1 + (20 — 1) � 6
c20 = 1 + 19 � 6
c20 = 1 + 114 = 115
Resposta: letra D.
Vamos praticar um pouco! 
1 — Determine a razão das progressões aritméticas abaixo e classifique-as em crescente, decrescen-
te ou constante, conforme ilustrado na letra “a”.
a) (9, 13, 17, 21, 25, …) é uma PA, na qual r = 4 > 0. Logo é crescente.
b) (2, 9, 16, 23, 30, …) .
c) (23, 21, 19, 17, 15, …) .
d) (9, 9, 9, 9, 9, …) .
2 — Determine o 1o elemento de uma PA com 120 termos, na qual o último termo é 570 e a razão é 4.
3 — Considere a sequência (8, 11, 14,...). Determine o termo geral dessa sequência, sabendo que se 
trata de uma PA.
4 — (ENEM 2019 — 1a AZUL — 149) O slogan “Se beber não dirija”, muito usado em campanhas publici-
tárias no Brasil, chama a atenção para problemas graves da ingestão de bebidas alcoólicas por 
motoristas e suas consequências para o trânsito. Um problema grave pode ser percebido como 
um assunto tratado pelo Código de Trânsito Brasileiro. Em 2013, a quantidade máxima de álcool 
permitida no sangue do condutor de um veículo, que já era pequena, foi reduzida, e o valor da mul-
ta para motoristas alcoolizados foi aumentado. Em consequência dessas alterações, o número de 
acidentes registrados em uma rodovia suposta nos anos em que ocorreram alterações após 2013 
foi alterado, conforme dados no quadro.
Ano 2013 2014 2015
Número total de acidentes 1 050 900 850
Suponha que a tendência de redução no número de acidentes nessa rodovia para os anos subse-
quentes seja igual à redução absoluta observada em 2014 para 2015.
Com base na situação, o número de acidentes esperados nessa rodovia em 2018 foi de:
a) 150.
b) 450.
c) 550.
d) 700.
e) 800.
ATIVIDADES 5 — (PORTAL OBMEP) A sequência dos números pentagonais está ilustrada na figura abaixo:
Figura 4: https://mathworld.wolfram.com/PentagonalNumber.html
Fazendo apenas a contagem de pontos em cada borda externa (perímetro) em cada pentágono 
chegaremos a: 
a1 = 5
a2 = 10
a3 = 15
a4 = 20
Sendo assim, qual o valor de a20?
6 — (ENEM-2013, adaptada) As projeções para a produção de arroz no período de 2012 a 2021, em uma 
determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da pro-
dução anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos 
primeiros anos desse período, de acordocom essa projeção.
Ano Projeção da produção (t)
2012 50,25
2013 51,50
2014 52,75
2015 54,00
A quantidade total de arroz, em toneladas, produzida em 2021 será de
a) 97,25.
b) 56,85.
c) 60,25.
d) 55,75.
e) 61,50.
EIXO TEMÁTICO I:
Funções Elementares e Modelagem.
TEMA 5:
Funções.
TÓPICO: 
11. Progressão Geométrica.
HABILIDADE(S) DO CBC:
11.1. Identificar o termo geral de uma progressão geométrica.
CONTEÚDOS RELACIONADOS:
Sequências numéricas e Progressão geométrica.
INTERDISCIPLINARIDADE: 
Biologia, Ciências Sociais, Economia, Estatística.
Olá!
Esta semana vamos conhecer mais uma sequência que ajuda a explicar o mundo em que vivemos e 
auxilia nas soluções de problemas.
Progressão Geométrica, o que é? 
Progressão Geométrica é uma sequência numérica, na qual a razão entre um termo e seu an-
tecessor na sequência, a partir do segundo, é um número constante, que é chamado de razão 
da progressão. 
Dito de outra forma, a sequência numérica
(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, …, an − 1, an, an + 1, … )
é uma progressão geométrica (PG) se
a2
a1
 = a3
a2
= a4
a3
= a5
a4
= a6
a5
= ... = an
an— 1
 = ...
O valor comum dessas razões é chamado de razão da PG e será representado pela letra q. Assim:
q = a2
a1
 = a3
a2
= a4
a3
= a5
a4
= a6
a5
= ... = an
an— 1
 = ...
Vamos analisar algumas sequências.
• (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128)
Note que, ao calcularmos as razões entre cada termo e o seu antecessor nessa sequência, obtemos 
sempre o mesmo número: 2.
SEMANA De fato: 4
2
= 8
4
= 16
8
= 32
16
= 64
32
= 128
64
 = 2
Essa sequência é, portanto, uma progressão geométrica (PG) e sua razão vale 2, isto é, q = 2.
• (—2,—4, —8, —16, —32, —64, —128, —256)
Calculando as razões entre cada termo e o seu antecessor nessa sequência, obtemos sempre o mesmo 
número: 2.
De fato:
—4
—2
 = —8
—4
= —16
—8
= —32
—16
= —64
—32
= —128
—64
= —256
—128
 = 2
Essa sequência é, portanto, uma progressão geométrica (PG), na qual q = 2.
• (—72, 24, —8, 8
3
, — 8
9
)
Calculando as razões entre cada termo e o seu antecessor nessa sequência, obtemos sempre o mesmo 
número: q = — 1
3
.
De fato:
24
—72
= —8
24
 = 
8
3
—8
 = 
— 8
9
8
3
= — 1
3
Essa sequência é, portanto, uma progressão geométrica (PG), na qual q = — 1
3
.
• (7, 7, 7, 7, 7)
Ao calcularmos as razões entre cada termo e o seu antecessor nessa sequência, percebemos que todas 
serão iguais a 1:
7
7
= 7
7
= 7
7
= 7
7
 = 1
Logo, essa sequência é uma progressão geométrica de razão q = 1.
Em função do valor da razão, as progressões geométricas podem ser classificadas em:
• crescente, quando q > 1.
• constante, quando q = 1.
• decrescente, quando 0 < q < 1.
• alternadas, quando q < 0.
Termo Geral de uma PG
Observe que, consequentemente, cada termo de uma PG, a partir do segundo termo, pode ser obtido 
multiplicando-se o termo anterior pela razão da PG, isto é,
q = a2
a1
 a2 = a1 � q
q = a3
a2
 a3 = a2 � q
q = a4
a3
 a4 = a3 � q
q = a5
a4
 a5 = a4 � q
q = a6
a5
 a6 = a5 � q
�
q = an
an — 1
 an = an — 1 � q
Assim, partindo do 1o termo, podemos obter qualquer outro termo da PG, bastando, para isso, multipli-
carmos pela razão, uma quantidade adequada de vezes, o 1o termo.
�
Dessa forma, a expressão
an = a1 � q
n — 1
fornece uma maneira objetiva de obter o valor de qualquer termo de uma PG, a partir do seu primeiro 
termo (a1) e de sua razão (q). Essa expressão é chamada fórmula do termo geral de uma PG.
As progressões geométricas podem descrever crescimentos populacionais, 
crescimento de um capital aplicado a juros compostos, dentre outras situa-
ções de nossas vidas.
Vamos praticar!
1 — Considerando a progressão geométrica (3, 15, 75, 375, 1 875, 9 375, …), determine sua razão e 
expresse o termo geral dessa sequência em função do seu primeiro termo e de sua razão.
2 — Escreva os 6 primeiros termos da progressão geométrica em que a1 = 2 e q = 6.
3 — Em uma progressão geométrica em que o primeiro termo é 10 e a razão é 15, determine:
a) o termo geral dessa sequência, em função do seu primeiro termo e de sua razão;
b) os valores do quarto e do sétimo termos dessa sequência.
4 — Em uma progressão geométrica em que a1 = 3 e q = 5,determine:
a) o termo geral dessa sequência, em função do seu primeiro termo e de sua razão;
b) o valor do sétimo termo dessa sequência.
5 — (UFRGS-2014) Considere o padrão de construção representado pelos desenhos abaixo.
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3
Na etapa 1, há um único quadrado com lado 1. Na etapa 2, esse quadrado foi dividido em nove 
quadrados congruentes, sendo quatro deles retirados, como indica a figura. Na etapa 3 e nas 
seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior. Nessas 
condições, a área restante, na etapa 5 é
a) 125
729
b) 125
2 187
c) 625
729
d) 625
2 187
e) 625
6 561
6 — (PORTAL OBMEP) Para fazer a aposta mínima na Mega-Sena uma pessoa deve escolher 6 núme-
ros diferentes em um cartão de apostas que contém os números de 1 a 60. Uma pessoa escolheu 
os números de sua aposta, formando uma progressão geométrica de razão inteira. Quais os 
números da aposta feita?
ATIVIDADES
EIXO TEMÁTICO II
TEMA: 6
TÓPICO: 13
HABILIDADE(S) DO CBC 
CONTEÚDOS RELACIONADOS:
MATEMÁTICA FINANCEIRA
-
-
Exemplo 1:
SEMANA 
•
•
Porcentagem
Exemplo 2:
Exemplo 3: 
ATIVIDADES
01.
02.
03.
e
e
e
e
04.
05 
Referências: 
Banco de questões SIMAVE/MG
Matemática
Conteúdo Básico Comum de Matemática -
TV ESCOLA -
REFERÊNCIAS
MINAS GERAIS. SEE. Conteúdo Básico Comum de Matemática. 2005. Educação Básica — Ensino 
Fundamental e Médio. 
MEC/WEBEDUC. Guia do Professor. Volume 03. Conteúdos Digitais. Disponível em: http://webeduc.mec.gov.
br/portaldoprofessor/matematica/condigital3/guias/guia_audiovisual_3.pdf. Acesso em: 20/07/2020.
MIRANDA, Tiago. ASSIS, Cleber. Material Teórico — Módulo Função Progressões Geométricas: Definição 
e Lei de Formação. Disponível em: https://cdnportaldaobmep.impa.br/portaldaobmep/uploads/
material/bprbczvjpgggw.pdf. Acesso em: 20/07/2020.
MIRANDA, Tiago. ASSIS, Cleber. Material Teórico — Progressões Aritméticas: Definição e Lei de 
Formação. Disponível em: https://cdnportaldaobmep.impa.br/portaldaobmep/uploads/ 
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Geométrica. Dissertação. Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro. RJ. 2016. Disponível 
em: https://uenf.br/posgraduacao/matematica/wp-content/uploads/sites/14/2017/09/24112016I-
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REFERÊNCIAS
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BENEVIDES, Fabrício Siqueira. Material Teórico — Módulo Função Quadrática: Definições de Máximos 
e Mínimos. Disponível em: https://cdnportaldaobmep.impa.br/portaldaobmep/uploads/material_
teorico/83bz2u7aae0w8.pdf. Acesso em: 20/06/2020.
BENEVIDES, Fabrício Siqueira. Material Teórico — Módulo Função Quadrática: Exercícios. Disponível em: 
https://cdnportaldaobmep.impa.br/portaldaobmep/uploads/material_teorico/8ecefhj511c0w.
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a sua vida. Editora Elsevier. 2013.
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