Calculo IV PARFOR

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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
PLANO NACIONAL DE FORMAÇÃO DE DOCENTES 
DA EDUCAÇÃO BÁSICA - PARFOR 
 
 
 
 
MATERIAL DE APOIO 
DE 
CÁLCULO IV 
 
 
 
 
Aluno(a): ___________________________________________________ 
Professor(a):________________________________________________ 
Município:____________________ Turma:_______________ 
Período: 10/01 à 22/01/2013. 
 
 
http://www.google.com.br/imgres?q=imagens+matem%C3%A1tica&start=128&hl=pt-BR&sa=X&biw=1280&bih=676&tbm=isch&prmd=imvns&tbnid=pakuiNHLRjAd2M:&imgrefurl=http://anaheleao.blogspot.com/2011_01_01_archive.html&docid=jng4uL_LjSuFIM&imgurl=http://1.bp.blogspot.com/_sFiJRE6oAVc/TUc2J3dhn6I/AAAAAAAAABI/Eppq9CrZqQc/s1600/1286236671_25861483_1-Fotos-de--Aulas-Particulares-FisicaQuimicaMatematica-1286236671.jpg&w=351&h=341&ei=txZ7UMa-PJCK9ASF_oHwCQ&zoom=1&iact=hc&vpx=516&vpy=340&dur=9631&hovh=221&hovw=228&tx=108&ty=145&sig=117348200764786418965&page=6&tbnh=142&tbnw=146&ndsp=31&ved=1t:429,r:42,s:100,i:130
PARFOR – MATEMÁTICA- UFPA CÁLCULO IV 
 
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Unidade I - Integrais Múltiplas 
 
1.1 Integrais de Funções de Várias Variáveis 
 
1.1.1 Integrais Simples 
 Para calcularmos uma integral indefinida simples de uma função de várias 
variáveis, integramos em relação a uma variável enquanto consideramos 
temporariamente as variáveis restantes como sendo constantes. Por exemplo, 
)(
4
)(
3
4
23232
3
32332
xK
y
xdyyxdyyx
yC
x
ydxxydxyx




 
 As integrais acima são justamente os análogos para a integração indefinida das 
derivadas parciais por diferenciação, e elas poderiam ser chamadas “integrais parciais”. 
Contudo preferimos chamá-las integrais em relação a x
 
ou a y . 
 Agora suponha que f é uma função de duas variáveis tais que, para cada 
valor fixo de y , ( , )f x y é uma função integrável de x . Logo, para cada valor fixo de y
, podemos formar a integral definida 

b
a
dxyxf ),( 
 Além disso, para diferentes valores fixos de y , podemos usar diferentes 
limites de integração a e b; isto é, a e b podem depender de y . Tal dependência pode 
ser indicada pela notação usual de função, e a integral torna-se 

)(
)(
),(
yb
ya
dxyxf 
 De modo análogo para integral em y . 

)(
)(
),(
xb
xa
dyyxf 
Exercício 
Calcule as integrais abaixo: 
a) .
2
ln

y
y
xydxye Resp.: 
3
.y ye y b) .3
1
 :Resp..cos
2
1
0
2


ysenydy 
 
1.1.2 Integrais Duplas 
 
 Para funções de uma variável, o teorema fundamental do cálculo proporciona 
um método para calcular uma integral definida encontrando uma antiderivada (ou 
integral indefinida) do integrando. Temos um método correspondente para calcular uma 
integral dupla que envolve execução sucessiva de integrais simples. O desenvolvimento 
rigoroso desse método pertence a um curso de cálculo avançado. Nossa discussão é 
intuitiva, e usamos a interpretação geométrica da integral dupla como a medida de um 
volume. 
 Seja f uma função dada, que é integrável numa região fechada R no plano xy 
limitada pelas retas 211 ,, aybxax  e 2by  . Consideremos 0),( yxf para todo 
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),( yx em R. Veja a figura abaixo, que mostra um esboço do gráfico da equação 
),( yxfz  quando ),( yx está em R. 
 
1.1.2.1 Cálculo de Áreas por Integração Dupla em Coordenadas Retangulares 
 
 O número que representa o valor da integral dupla 
  
2
1
4
3
x
x
x
xR
dxdydA 
é a medida da área da região plana xy , intersecção com o sólido dado. 
 
Exercício 
Use uma integral dupla para calcular a área da região limitada pelos gráficos de 
 ( ) e ( ) , entre 
 
 
 e 
 
 
. 
Resp.: √ 
 
1.1.2.2 Cálculo de Volumes por Integração Dupla em Coordenadas Retangulares 
 
 O número que representa o valor da integral dupla 

R
dAyxf ),( 
é a medida do volume do sólido entre a superfície e a região R. 
 
 
 Seja y um número em  ., 22 ba Consideremos o plano paralelo ao plano xy que 
passa pelo ponto (0,y,0). Seja A(y) a medida da área da região plana de intersecção 
deste plano com o sólido. A medida do volume do sólido formado é obtida por 

2
2
)(
b
a
dyyA 
 
 Como o volume do sólido é também determinado pela integral dupla, temos 
 
2
2
)(),(
b
aR
dyyAdAyxf (1) 
 Usando a equação (1) podemos encontrar o valor da integral dupla da função f 
em , calculando uma integral simples de ( ) Agora, devemos encontrar ( ) 
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quando y é dado. Como ( ) é a medida da área de uma região plana, podemos 
encontrá-la por integração. Na figura dada anteriormente, note que a fronteira superior 
da região plana é o gráfico de equação ),( yxfz  quando x está em  ., 11 ba , portanto 

1
1
.),()(
b
a
dxyxfyA Substituindo essa equação em (1), obtemos 
 









2
2
1
1
2
2
),()(),(
b
a
b
a
b
aR
dydxyxfdyyAdAyxf (2) 
 A integral do membro direito da equação (2) é chamada integral iterada. 
Normalmente, quando escrevemos uma integral iterada omitimos os parênteses. 
Portanto, escrevemos a equação (2) como 
  
2
2
1
1
),(),(
b
a
b
aR
dydxyxfdAyxf (3) 
 Ao calcular a “integral interna” na equação (3), lembremos que x é variável de 
integração e y é considerado uma constante. Isto é o mesmo que considerarmos que y 
é uma constante quando encontramos a derivada parcial de ( , )f x y em relação a x . 
 Considerando secções planas paralelas ao plano yz , podemos desenvolver uma 
fórmula que troca à ordem de integração. 
  
1
1
2
2
),(),(
b
a
b
aR
dxdyyxfdAyxf (4) 
 Uma condição suficiente para que as fórmulas (3) e (4) sejam válidas é que a 
função seja contínua na região retangular R. 
 
Exercícios 
 
1) Calcule a integral dupla dAyx
R
  )32(
2
 se R é a região que consiste de todos os 
pontos ( , )x y tais que 21  x e .31  y Resp.: 24. 
2) Calcule 
R
xydA na região R compreendida entre 2,,
2
1
 xxyxy e 4x  . 
Resp.: 
11
6
. 
3) Use uma integral dupla para calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos 
coordenados e o plano 4 4 2z x y   . Resp.: 
4
3
. 
4) Calcule o volume do sólido R limitado pela superfície 
 ( ) e os planos . Resp.: 
 
 
 . 
 
Observação: 
 Podemos calcular o valor numérico das integrais duplas que serão propostas à 
frente, sempre que convenientemente for, usando coordenadas cilíndricas. 
 
 
 
 
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1.3 Coordenadas Cilíndricas e Esféricas 
 
 O sistema de coordenadas cilíndricas e esféricas são frequentemente mais úteis 
que o sistema de coordenadas retangulares no estudo de superfícies com simetrias. 
Esses novos sistemas de coordenadas têm também importantes aplicações na 
navegação, na astronomia e no estudo do movimento rotacional em torno de um eixo. 
 
1.3.1 Sistema de Coordenadas Cilíndricas e Esféricas 
 
São necessárias três coordenadas para estabelecer uma localização de um ponto 
no espaço tridimensional. Já havíamos visto isso em coordenadas retangulares. 
Contudo, a figura à frente mostra duas outras possibilidades: a parte ( ) da figura 
mostra as coordenadas retangulares ( ) de um ponto , a parte ( ) mostra as 
coordenadas cilíndricas ( ) de e a parte ( ) mostra as coordenadas esféricas 
( ) de . Em um sistema de coordenadas retangulares as coordenadas podem ser 
quaisquer números reais, mas no sistema de coordenadas cilíndricas e esféricas há 
restrições sobre os valores admissíveisdas coordenadas (como indica na figura). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Coordenadas esféricas Coordenadas retangulares Coordenadas Cilíndricas 
 ( ) ( ) ( ) 
(( ) ( ) e ) ( ) 
 (c) (a) (b) 
 
1.3.2 Convertendo Coordenadas 
 Sistema de Coordenadas Cilíndricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para converter de coordenadas cilíndricas para coordenadas retangulares, 
usamos as equações: 
 
 
Enquanto que para converter de coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas, 
utilizamos as equações: 
 
 
 
 
 Sistema de Coordenadas Esféricas 
 
 Conversão de Coordenadas (Esféricas – Retangulares) 
 
 Do triângulo retângulo , temos: 
( ) 
 
 
 
( ) 
 
 
 
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Do triângulo retângulo , obtemos: 
( ) 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
Para converter de coordenadas esféricas para coordenadas retangulares, 
substituímos ( ) em ( ) para encontrar a coordenada e substituímos ( ) em ( ) 
para encontrar a coordenada , daí 
 
Também, a distância entre dois nos mostra que 
 | ⃗⃗⃗⃗ ⃗|
 
 
Usamos este resultado para converter de coordenadas retangulares para coordenadas 
esféricas. 
 
 A tabela abaixo nos mostra de forma resumida as fórmulas para fazer as 
conversões de coordenadas cilíndricas para retangulares e vice-versa, esféricas para 
cilíndricas e vice-versa e esféricas para retangulares e vice-versa . 
 
Conversão Fórmulas Restrições 
Cilíndricas para 
retangulares 
),,(),,( zyxzr  
Retangulares para 
cilíndricas 
),,(),,( zrzyx  
zzryrx  ,sen,cos  
 
zz
x
y
tgyxr  ,,22  
 
Esféricas para 
cilíndricas 
),,(),,( zr  
 
Cilíndricas para 
esféricas 
),,(),,(  zr
 
 cos,,sen  zr 
 
 
z
rtgzr   ,,22 






0
20
0,0r
 
Esféricas para 
retangulares 
),,(),,( zyx
 
Retangulares para 
esféricas 
),,(),,( zyx
 
 cos,sensen,cossen  zyx 
 
 
 
222
222 cos,,
zyx
z
x
y
tgzyx

 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1) Determine as coordenadas retangulares do ponto com coordenadas cilíndricas 
  





 3,
3
,4,,

 zr 
Resp.: ( ) ( √ ) 
 
2) Determine as coordenadas retangulares do ponto com coordenadas esféricas 
  






4
,
3
,4,,

 
Resp.: ( ) (√ √ √ ) 
 
3) Determine as coordenadas esféricas do ponto que tenha coordenadas retangulares, 
    64,4,4,, zyx 
Resp.: ( ) ( √ ⁄ 
 
 ⁄ ) 
 
4) Determine uma equação em coordenadas esféricas para o hiperbolóide 
 . 
Resp.: ( ) 
 
 
 
 
5) Determine a equação em coordenadas retangulares da superfície cuja equação 
esférica é . 
Resp.: 
 
 A Integral Dupla em Coordenadas Cilíndricas: 
   
1
1
2
1
2
1
2
2
)(
)(
),(),(
b
a
r
r
b
a
rdrdrfdxdyyxfV




 , onde  2,0 21  e 0, 21 rr . 
 
Exercícios 
 
1) Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro 422  yx e os planos 4y z  
e 0z  . Resp.: 16 . 
 
2) Use coordenadas cilíndricas para calcular o volume da região sólida limitada acima 
pelo hemisfério √ e abaixo pela região circular R dada por 
 . Resp.: 
 
 
( √ ) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.4 Integrais Triplas 
 
 As integrais triplas, aplicadas sobre sólidos no espaço xyz , são definidas 
segundo uma analogia com a definição de integrais duplas aplicadas em regiões de 
plano xy . 
 Dada uma região sólida R no espaço tridimensional, como um 
paralelepípedo, um cubo, uma pirâmide, uma esfera, um elipsóide, e assim por diante, e 
dada um função vetorial f de três variáveis, definida em cada ponto ( , , )x y z em R, 
definimos a integral tripla (se existir) como sendo dxdydzzyxf
R
),,(

. 
 Primeiramente escrevemos o sólido R em um paralelepípedo B, com as 
arestas paralelas aos eixos coordenados (Fig.1). O paralelepípedo é agora dividido em 
inúmeros pequenos paralelepípedos, pela sua interseção com planos paralelos aos 
planos coordenados (Fig.2). Esses pequenos paralelepípedos são chamados de células 
da partição. Todas as células da partição que não tocam a região R são desprezadas. As 
células restantes, as quais tomamos juntamente contêm o sólido R e aproximam-se de 
sua forma, são numeradas de um modo conveniente e chamadas de mRRR  ,...,, 21 . O 
valor da máxima diagonal de todas essas células é chamado de norma da partição e é 
conhecido por  (letra grega,”eta”). 
 
 
 
 
 São escolhidos pontos, um de cada célula mRRR  ,...,, 21 , de modo que 
cada ponto escolhido pertença a R, onde o ponto escolhido da k-ésima célula é denotado 
por (
***
,, kkk zyx ), k = 1,2,...,m. A partição, juntamente com os pontos escolhidos, é 
chamada de partição estendida. 
 
 Correspondendo a cada partição estendida podemos formar uma soma de 
Riemann 



m
k
kkkk Vzyxf
1
***
),,( , 
 
onde kV é o volume da k-ésima célula kR .Podemos agora definir a integral tripla 
como sendo o limite (se existir) de cada soma de Riemann, quando o número de células 
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cresce indefinidamente e, conseqüentemente, a norma  tende para zero; 
simbolicamente, 
0
lim),,(


 dxdydzzyxf
R



m
k
kkkk Vzyxf
1
***
),,( . 
 
Exercício 
 Calcule a integral iterada tripla à frente: 
∫ ∫ ∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: (
 
 
 ) . 
 
1.5 Cálculo de Volume 
 Se a integral tripla dxdydzzyxf
R
),,(

 existe, então a função vetorial f é dita 
Riemann- integrável no Sólido R. Seu volume em particular é calculado por: 

R
dxdydzV 
Observação: 
 Podemos calcular o valor numérico das integrais triplas que serão propostas à 
frente, sempre que convenientemente for, usando coordenadas cilíndricas ou esféricas, 
ou seja: 
 
1) Em Coordenadas Cilíndricas: 
sapropriadolimites
),,(
),,(),,(),,(
2
1
4
3
6
5
  
  


 rdzdrdzrf
dxdydzzyxfdxdydzzyxfdxdydzzyxf
x
x
x
x
x
xSR 
 
      
2
1
4
3
6
5 sapropriado limites
x
x
x
x
x
xR
rdzdrddxdydzdxdydzV  
 
2) Em Coordenadas Esféricas: 
 
sapropriado limites
2),,(
),,(),,(),,(
2
1
4
3
6
5
  
  


 dddsenf
dxdydzzyxfdxdydzzyxfdxdydzzyxf
x
x
x
x
x
xSR 
 dddsendxdydzdxdydzv
x
x
x
x
x
xR
2
2
1
4
3
6
5 sapropriadolimites
      
 
 
 
 
 
 
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 Página 10 
 
Exercícios 
 
1) Calcule o volume do sólido R limitado por 0,4,92  yzyxz e .4y 
Resp.: 
 
2) Determine o volume da região delimitada por e pelo plano . 
Resp.: 
 
3) Calcule o valor da integral ∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 ⁄
 
 ⁄Resp.: 
 √ 
 
 
 
1.6 Mudança de Variáveis nas Integrais Dupla e Tripla 
 
 Considere A um conjunto. O conjunto dos pontos interiores de A será indicado 
por 
0
A. 
 
Teorema (de mudança de variáveis na integral dupla). Seja 2 2: ,IR IR    
aberto, de classe 1C , sendo  dada por ( , ) ( , ),x y u v com ( , )x x u v e ( , )y y u v . 
Seja ,uv uvB B compacto e com fronteira de conteúdo nulo. Seja B a imagem de uvB
, isto é,  .uvB B Suponhamos que 
0 0
B B.uv
 
 
 
 Suponhamos, ainda, que  seja 
inversível no interior de uvB e que, para todo 
0 ( , )
( , ) B , 0.
( , )
uv
x y
u v
u v

 

 Nestas condições, 
se ( , )f x y for integrável em B , então 
 
( , )
( , ) ( ( , ))
( , )uvB B
x y
f x y dxdy f u v dudv
u v



  
Observação: 
 ( )
 ( )
 |
 
 
 )
 
 
 
 
 
| 
 
 Logo queremos determinar ( , ) .
B
f x y dxdy Para isso usamos: 
( , )
( , ), ( , );
( , )
Determina-se (no plano ) tal que ( ).uv uv
x y
x x u v y y u v dxdy dudv
u v
B uv B B
 
  

 
 
 
Assim: 
( , )
( , ) ( ( , ), ( , )) .
( , )uvB B
x y
f x y dxdy f x u v y u v dudv
u v


 
 
 
 
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 Página 11 
 
Exercício 
Calcule 
cos( )
,
( )B
x y
dxdy
sen x y


onde B é o trapézio 1 2, 0 e 0x y x y     . 
Resp.: 1. 
 
 O teorema de mudança de variável na integral dupla estende-se sem nenhuma 
modificação para integrais triplas. 
 
Teorema (de mudança de variáveis na integral tripla). Seja 3 3: ,IR IR    
aberto, de classe 1C , sendo  dada por ( , , ) ( , , ),x y z u v w com ( , , )x x u v w e 
( , , )y y u v w . Seja ,uvw uvwB B compacto e com fronteira de conteúdo nulo. Seja B 
a imagem de uvwB , isto é,  .uvwB B Suponhamos que 
0 0
B B.uvw
 
 
 
 Suponhamos, 
ainda, que  seja inversível no interior de uvwB e que, para todo 
0 ( , , )
( , , ) B , 0.
( , , )
uvw
x y z
u v w
u v w

 

 Nestas condições, se ( , , )f x y z for integrável em B , 
então 
∭ ( ) 
 
∭ ( ( )) |
 ( )
 ( )
| 
 
 
 
Observação: 
 ( )
 ( )
 
|
|
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|
|
 
 
 
Exercício 
 
Calcule ∭
 ( )
 
 
 
, onde B é o paralelepípedo abaixo:
1 2 2,0 e 0 z 1.
4
x y z x y z

          
Resp.: 
2
1 ln 2
2
 
  
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Página 12 
 
Unidade II – Reparametrização de Curvas por Comprimento de Arco 
 
2.1 Comprimento de Arco 
Seja C uma curva dada pela equação vetorial 


 ktzjtyitxtr )()()()( , 
 .,bat Seu comprimento  de um arco AB, com  bat , , é dada por: 



b
a
dttr )(' 
Exemplos: 
1) Encontrar o comprimento do arco da curva cuja equação vetorial é 

 jtittr 3
2
)( , 
para 41  t . 
Solução: 
 Temos que, 

 jtitr 3
1
3
2
)( e 
 
2
32 2 11
3 3 32
2 2
3 3
4 4 9 4 1
( ) 1 1 (9 4) .
9 39 9
t
r t t t t
t t
  
        
 Aplicando ∫ | ( )| 
 
 
, obtemos: 
 


4
1
3
1
2
1
3
2
.)49(
3
1
dttt . 
 Esta integral pode ser resolvida por substituição, fazendo u 49 3
2
t . 
 Temos, 
 
2 34 3 22 11
3 32
1
1 1 1 (9 4)
(9 4) .
33 3 6
2
t
t t dt
 
    
 
     
3 3 32 22 2 233 3
1 1
9 4 4 9 1 4 18 2 4 13 13 .
27 27
   
           
  
 
2) Encontrar o comprimento da hélice circular ),sen,(cos)( ttttr 

do ponto )0,0,1(A a 
),0,1( B . 
Solução: 
 )1,cos,sen()( tttr 

 
2 2( ) sen cos 1 2.r t t t

     
 Para )0,0,1(A temos e para ),0,1( B temos . Usando 



b
a
dttr )(' , obtemos 
0
2 2.dt

 
 
 
 
 
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 Página 13 
 
Exercícios 
 
Determine o comprimento de arco das seguintes curvas: 
 (a) 10),,sen,cos()( 

tetetetr ttt 
(b)   20,cos1sen)( 

tktjtittr 
 (c) 0,2
3
 zxy de )0,0,0(0P a )0,8,4(1P 
 (d) 31,, 23  ttytx 
(e) Hélice circular )sen2,4,cos2()( ttttr 

 de )0,0,2(0P a )2,2,0(1 P . 
(f) um arco da ciclóide 

 jtitttr )cos1(2)sen(2)( 
(g) )2,cos,sen()( tttr 

para  2,0t 
(h) ( ) ( ) para  ,0t 
(i) 

 jtittr )2()13()( para  2,0t 
Respostas: 
 
a) √ ( ) b) √ ) 
 
 
( √ ) 
 ) 
 
 
( √ √ ) e) √ f) g) 
 ) 
 
 
(√ ) 
 
 
 ( √ ) i) √ 
 
2.2 Equações Paramétricas da Reta Tangente e Reta Normal a uma 
Curva Plana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗ ( ) ( ( ) ( )) 
 ⃗ ( ) ( ( ) ( )) 
 ( ) ( ( ) ( )) ( ) 
 ⃗ ( ) ( ( ) ( )) ( 
 
 ) 
[
 
 ] [
 
 
] [
 
 
 
 
], onde . 
 ⃗⃗ {
 
 
 
 
 Equações paramétricas da reta tangente 
 ⃗ ( ) ( 
 
 ) 
 ⃗⃗⃗ ( ) ( 
 
 ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ⃗ 
 ⃗⃗ 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
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 Página 14 
 
[
 
 ] [
 
 
] [
 
 
 
 
], onde . 
 ⃗⃗⃗ {
 
 
 
 
 Equações paramétricas da reta normal 
 
Exercícios 
 
1) Obter as equações da reta tangente e da reta normal à curva 12  xy no ponto 
)0,1(P . 
Resp.: ⃗⃗ {
 
 
 e ⃗⃗⃗ {
 
 
 
2) Obter as equações da reta tangente e da reta normal à circunferência 122  yx no 
ponto 









2
3
,
2
1
P . 
Resp.: ⃗⃗ 
{
 
 
 
 
 √ ⁄ 
 
√ 
 
 
 
 
 
 e ⃗⃗⃗ {
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 
3) Calcular o raio da circunferência tangente ao eixo x no ponto )0,4(P , tangente 
ainda à reta 
2
x
y  . 
Resp.: √ 
 
2.3 Função Comprimento de Arco 
 Na integral 
b
a
dttrl )(' , se substituirmos o limite superior b por um limite 
variável t ,  bat , , a integral se transforma em uma função de t . 
 Escrevemos, 

t
a
dttrts ** )(')( . 
 A função )(tss  é chamada função comprimento de arco e mede o 
comprimento de arco de C no intervalo  ta, . 
 
Exercícios 
 
1) Escrever a função comprimento de arco da circunferência de raio R . 
Resp.: ( ) 
2) Encontre a função comprimento de arco da hélice circular  ttttr ,sen2,cos2)( 

. 
Resp.: ( ) √ 
 
 
 
 
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 Página 15 
 
2.4 Reparametrização de Curvas por Comprimento de Arco 
 É conveniente parametrizarmos algumas curvas usando como parâmetro o 
comprimento de arco s . 
 Para reparametrizarmos uma curva C , dada por 
 batktzjtyitxtr ,,)()()()( 

 procedemos como se segue: 
i) Calculamos )(tss  , usando 
t
a
dttrts ** )(')( . 
ii) Encontramos a sua inversa lsstt  0),( . 
iii) Finalmente, reescrevemos  batktzjtyitxtr ,,)()()()( 

 como 
 
.0,))(())(())((
)()(
lskstzjstyistx
strsh




 
 Temos então, que )(sh

 descreve a mesma curva C que era dada por )(tr

, 
mas com uma nova parametrização, onde a variável s , ls 0 , representa o 
comprimento de arco de C . 
 
Exercícios 
 
1) Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva )sen,cos()(: tRtRtrC 

, 
20  t . 
Resp.: ⃗ ( ) ( ( )) ( (
 
 
) (
 
 
)) 
2) Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva dada por )sen,cos()( tetetr tt

,0t . 
Resp.: ⃗ ( ) ((
 √ 
√ 
) ( (
 √ 
√ 
)) (
 √ 
√ 
) ( (
 √ 
√ 
))) 
3) Dada uma curva C representada por )(tr

, mostrar que se 1)(' tr então o 
parâmetro t é parâmetro comprimento de arco de C . 
 
4) Verificar que a curva 







5
2
,
5
)(:
ss
shC , 0s está parametrizada pelo 
comprimento de arco. 
 
2.5 Vetor Tangente Unitário 
 Seja )(tr

 uma função vetorial então 
)('
)('
)(
tr
tr
tu



 é chamado vetor tangente 
unitário de )(tr

 no ponto t. 
 
 
 
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 Página 16 
 
Exercícios 
 
1) Encontrar o vetor tangente unitário da parábola semi-cúbica  32 ,)( tttr 

 em 2t . 
Resp.: ⃗ ( ) (
 
√ 
 
 
√ 
). 
 
2) Encontrar o vetor tangente unitário à circunferência de raio 2, centrada na origem, no 
ponto  2,2P . 
Resp.: ⃗ (
 
 
) ( 
√ 
 
 
√ 
 
). 
 
 
Observação: Quando a curva )(tr

 é representada por  )(),(),()( szsysxsh 

, onde s é 
o parâmetro comprimento de arco, .1)(' 

sh Assim, neste caso, o vetor tangente 
unitário é dado por )(')( shsu

 . 
 
 
Exercício 
 
Encontrar o vetor tangente unitário à circunferência de raio 2, centrada na origem, no 
ponto ).2,2(P 
Resp.: ⃗ (
 
 
) ( 
√ 
 
 
√ 
 
). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Página 17 
 
Unidade III – Funções Vetoriais de Várias Variáveis 
 
3.1 Funções Vetoriais de Várias Variáveis 
 Como no caso das funções vetoriais de uma variável, se 

f é uma função 
vetorial das variáveis definida num domínio 3IRD  , ela pode ser expressa na 
forma 

 kzyxfjzyxfizyxfzyxf ),,(),,(),,(),,( 321 , onde 21 , ff e 3f são funções 
escalares definidas em D. 
 As funções escalares 21 , ff e 3f são chamadas componentes da função 
vetorial 

f ou também funções coordenadas. 
 Analogamente, se 

f é definida num domínio 2IRD  , podemos escrever: 

 kyxfjyxfiyxfyxf ),(),(),(),( 321 . 
 
Exercício 
 
Determine o domínio das funções abaixo e identifique suas funções coordenadas. 
a) 

 kzjxyixzzyxf 2),,( b) 

 jyxixyxf 221),(
 
 
Respostas: 
a) ( ( )) {( ) }, com as funções coordenadas ( ) 
 na direção , ( ) na direção e ( ) √ na direção ⃗ . 
b) ) ( ( )) {( ) }, com as funções coordenadas 
 ( ) na direção , ( ) √ na direção . 
 
3.2 Derivadas Parciais 
 Seja ),,( zyxff

 uma função vetorial. A derivada parcial de 

f em relação à 
 , que denotamos por 
x
f



, é definida por: 
x
zyxfzyxxf
x
f
x 







),,(),,(
lim
0 
para todo ( ) , quando esse limite existe. 
Analogamente, 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 e 
 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
Se 

 kzyxfjzyxfizyxfzyxf ),,(),,(),,(),,( 321 , de maneira análoga à 
derivada de função vetorial de uma variável, temos: 
 
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 Página 18 
 













k
x
f
j
x
f
i
x
f
x
f 321 ; 













k
y
f
j
y
f
i
y
f
y
f 321 e 













k
z
f
j
z
f
i
z
f
z
f 321 
 
Exercícios 
 
1) Dada a função vetorial 

 kejxyzixzyxf yz4),,( 2 , determine suas derivadas 
parciais. 
Resp.: 
 
 
 (
 
 √ 
 ) 
 
 
 ( ) e 
 
 
 ( ). 
2) Dada a função ),(),( 2vuuevuf v

, determinar 
u
f



 no ponto ( ) e 
v
f



 no ponto 
( ). 
Resp.: 
 
 
( ) ( ) e 
 
 
( ) ( ). 
 
 
3.3 Interpretação Geométrica 
Seja ),,( zyxff

 uma função vetorial contínua. Se todas as variáveis, exceto 
uma, que pode ser tomada como parâmetro, permanecem fixas, então 

f descreve uma 
curva no espaço. 
A derivada parcial de 

f em relação a x, no ponto ),,( 0000 zyxP , é a derivada 
da função ),,()( 00 zyxfxg

 no ponto 0x . Portanto, se no ponto 0P , 0



x
f
, este 
vetor é tangente à curva dada por )(xg

. 
Analogamente, no ponto 0P , 0



y
f
 é um vetor tangente à curva dada por 
),,()( 00 zyxfyh

 e 
z
f



é um vetor tangente à curva dada por 0 0( ) ( , , ).p z f x y z
 
 
 
Na figura à frente ilustraremos a interpretação geométrica das derivadas 
parciais, para uma função vetorial de duas variáveis ),( yxff

 . Denotamos por 1C a 
curva dada por ),()( 0yxfxg

 e 2C a curva dada por ),()( 0 yxfyh

 . A derivada 
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 Página 19 
 
parcial ),( 00 yx
x
f



é tangente à curva 1C e a derivada parcial ),( 00 yx
y
f



 é tangente à 
curva 2C . 
 
Exercícios 
 
1) Seja 

f uma função vetorial dada por 

 kxzjxziyzyxf sencos),,( 2 . 
a) Descreva a curva obtida fazendo e . 
b) Representar nesta curva a derivada parcial 
x
f



 no ponto 





3,0,
6
0

P . 
Respostas: 
a) É uma circunferência de raio , centro ( ) no plano . 
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 Página 20 
 
b) 
 
2) Seja 

f uma função vetorial dada por )4,sen,cos(),( 2uvuvuvuf 

, para 
20  u , 20  v . 
a) Determinar as curvas obtidas fazendo 2u e 
4

v , respectivamente. 
b) Determinar 
u
f









4
,2

e 
v
f









4
,2

 representando-os geometricamente. 
Respostas: 
a) Para √ , temos uma curva que é uma circunferência de centro ( ) e raio 
√ , localizada no plano . 
Para 
 
 
, temos uma curva que é uma parábola côncava para baixo no plano , 
contida no plano . 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗⃗ (
 
 
) 
 ⃗⃗ 
 
( ) 
 
 
 
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 Página 21 
 
3.4 Derivadas Parciais Sucessivas 
As derivadas parciais de uma função vetorial de várias variáveis 

f são 
também funções vetoriais de várias variáveis. Se as derivadas parciais destas funções 
vetoriais existem, elas são chamadas derivadas parciais de 2ª ordem de 

f . 
Se ),( yxff

 , temos quatro derivadas parciais de 2ª ordem, que são dadas 
por: 
)(
2
2
x
f
xx
f








 ; )(
2
x
f
yxy
f








; 
 
)(
2
y
f
xyx
f








 ; )(
2
2
y
f
yy
f








. 
Se ),,( zyxff

 , cada uma das três derivadas parciais de 1ª ordem origina três 
derivadas parciais de 2ª ordem. 
Analogamente, obtêm-se as derivadas parciais de maior ordem. 
 
Exercício 
Dada a função ( , , ) ( ( 2 ), , ln )xf x y z sen xy z e seny x yz

  , determine: 
a) 
2 f
z x


 
; b) 
3 f
y z x


  
. 
 
Respostas: 
a) 
 
 
 ( ( ) 
 
 
); 
b) 
 
 
 ( ( ) ( ) ). 
 
Observação: Como já vimos às derivadas direcionais de um campo escalar e de um 
campo vetorial, daqui para frente não falaremos mais sobre o assunto, apenas 
utilizaremos as fórmulas quando necessário. 
 
 
 Teorema (Schwarz): Suponhamos que ( , )f f x y
 
 seja definida sobre uma bola 
aberta  0 0( , );B x y r e que 
2 2
, , e 
f f f f
x y y x x y
   
   
     
 também são definidas em B . 
Então, se 
2 f
y x


 
 e 
2 f
x y


 
 são contínuas em B , temos 
2 2
0 0 0 0( , ) ( , )
f f
x y x y
y x x y
 
 
   
. 
 
 
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 Página 22 
 
3.5 Rotacional de um Campo Vetorial 
 Seja 1 2 3( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )f x y z f x y z i f x y z j f x y z k

   um campo 
vetorial definido num domínio D , com as derivadas de 1ª ordem contínuas em D . 
Definimos o rotacional de f

, denotado por rot f

, como: 
3 2 1 3 2 1
1 2 3
i j k
f f f f f f
rot f f i j k
x y z y z z x x y
f f f
  
              
            
            
 
 
Exercício 
 
Determine rot f

, sendo 
2 3f xzy i xyz j xyk

   . 
Resp.: ( ) ( ) ( ) ⃗ . 
 
 
3.6 Interpretação Física do Rotacional 
 O rotacional de um campo vetorial aparece em diversas situações da física. Por 
exemplo: 
i) Na análise de campos de velocidade na mecânica dos fluidos; 
ii) Na análise de campos de forças eletromagnéticas; 
iii) Pode ser interpretado com uma medida do movimento angular de um fluido e a 
condição 0rot v  , para um campo de velocidade v , caracteriza os chamados fluxos 
irrotacionais; 
iv) A equação 0rot E  , onde E é a força elétrica, caracteriza que somente forças 
eletrostáticas estão presentes no campo elétrico. 
 
3.7 Campos Conservativos 
Seja 

f um campo vetorial num domínio U. Se ),,( zyxuu  é uma função 
diferenciável em U tal que gradf 

u , dizemos que 

f é um campo conservativo ou 
um campo gradiente em U, e a função u é chamada de função potencial de 

f em U. 
Assim, se 

f é um campo gradiente, então existe uma função u potencial para 
     1 2 3, , , , , ,f f x y z i f x y z j f x y z k
   
  
   
Integra-se Integra-se Integra-se 
com relação com relação com relação 
a x. a y. a z. 
 
 
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 Página 23 
 
Exercício 
Seja  

 kxyjxziyzxf 5554 um campo conservativo, determine sua função 
potencial u . 
Resp.: 
 
 
Teorema 
 Seja  321 ,, ffff 

um campo vetorial contínuo num domínio U, com 
derivadas parciais de 1ª ordem contínuas em U. Se 

f admite uma função potencial u , 
então   1 2 1 3 2 30, , , , e .
f f f f f f
rot f x y z U
y x z x z y
       
      
     
 
Dem.: 
 
Observação: Basta que apenas um das igualdades falhe que o campo não será 
conservativo. 
 
Exercícios 
 
Verifique se os campos vetoriais abaixo são ou não conservativos, em caso afirmativo, 
determine sua função potencial: 
1)      

 kxzjyxiyxf 322 
Resp.: Não. 
2) 

 kyxjxziyxf 222 52 em D = IR³ 
Resp.: Não. 
3)  

 kxjxizxyf 224 em D = IR³ 
Resp.: Sim, onde . 
 
 
 
Observação: O trabalho realizado por uma partícula num campo conservativo entre os 
pontos A e B, independe da trajetória e é igual à ).()( AuBu  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
 
B 
 
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 Página 24 
 
Exercício 
 
Considere o campo vetorial 
2 2 2 2
( , ) .
x y
f x y i j
x y x y
  
 
 
 
a) Verificar se 

f é um campo gradiente,   0,02  IRD . Resp.: Sim. 
b) Em caso afirmativo o item (a), calcular o trabalho realizado para ir de A para B como 
na figura. 
 
 
 
 
 
 1 e 
 B A 
 
 
Resp.: u.t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x
PARFOR – MATEMÁTICA- UFPA CÁLCULO IV 
 
 Página 25 
 
Unidade IV – Integrais de Linha 
 
4.1 Integrais de Linha 
São aplicações de integrais sobre uma curva C no n ( ) 
podendo ser esta curva aberta ou fechada. 
A curva C é também chamada CAMINHO DE INTEGRAÇÃO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 Definição: 
Seja C uma curva aberta no plano com equações paramétricas : 
( )
,
( )
x f t
y g t



 com bta  . 
Sendo que e tem primeira derivada contínua e supondo e funções 
contínuas de duas variáveis. Então a integral de linha  
c
dyyxQdxyxP ),(),( é definida 
por:  
c
dyyxQdxyxP ),(),(  
b
a
dttgtgtfQdttftgtfP ])('))(),(()('))(),(([ . 
Logo, para calcular a integral de linha  
c
dyyxQdxyxP ),(),( , nós 
simplesmente fazemos as substituições ( ) ( ) ( ), e 
 ( ) e então integramos de até . 
 
 
Exercício 
 
Calcule  
c
dyxydxyx )2()3( 22 , sendo C: 





12ty
tx
 , com 10  t . 
Resp.: 8. 
 
 
4.3 Notação Vetorial e Trabalho 
Definindo o vetor 

 jyixr como sendo o vetor posição variável de um 
ponto ( ) em . Então: 

 jdyidxrd e tomando-se 

 jyxQiyxPf ),(),( , então: 
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 Página 26 
 
dyyxQdxyxPrdf ),(),(. 

 , logo: 






c
cc
rdf
dyyxQdxyxPrdf
.
),(),(.

 
 Seja  ),,(),,,(),,,( 321 zyxfzyxfzyxff 

um campo de forças definido num 
domínio 3IRD  , seja 

r o vetor posição de um ponto qualquer do domínio D . O 
trabalho realizado por uma força 

f sobre a curva  no trecho de A até B é dado por: 
 
 
  (t) 
 B 
 A 
 
  dtttfrdf
f
i
t
tAB
AB )('.)(.  

 
 
Exercícios 
 
1) Calcular  dsyx
c
  2 onde C é semi- circunferência abaixo. 
 
 
 
Resp.: 36. 
 
 
2) Calcular  dszyx
c
 
22 , onde C é a hélice circular dada por 

 ktjtittr sencos)( do ponto )0,0,1(P até )2,0,1( Q . Resp.: √ ( ) 
 
3) Calcular  dsxy
c
 , onde C é a intersecção das superfícies 4
22  yx e 8 zy . 
Resp.: 0 
 
4) Calcule  dsyI
c

2 onde C é a semi-circunferência representada à frente: 
 
 
 
Resp.: . 
 
 
x 
y 
0 4 
y 
x 3 - 3 
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 Página 27 
 
4.4 Integrais Curvilíneas Independentes do Caminho de Integração 
Para introduzir as integrais curvilíneas independentes do caminho de 
integração, vamos analisar os exemplos abaixo. 
 
1) Calcular   
c
zdzyzdyxdx 32 , ao longo da: 
(a) parábola 2,2  yxz do ponto )0,2,0(A ao ponto );4,2,2(B 
(b) linha poligonal A 0 B onde 0 é a origem. 
 
Respostas: 
a) 28 rdf
c
; b) 
3
100
 rdf
c
. 
 
2) Calcular   
c
dzyyzdysenxdx 22 ao longo de C, de )0,2,0(A ao ponto )4,2,2(B onde 
C: 
(a) É a parábola 2,2  yxz . 
(b) É a poligonal AMB, )0,0,1(M . 
 
Respostas: 
a) = b)   2cos152 2 
c
dzyyzdysenxdx
 
 
 
 Observando os dois exemplos citados, vemos que, no primeiro, a integral 

 rdf
c
. , foi calculada de A até B ao longo de dois caminhos distintos e os resultados 
encontrados foram diferentes. No segundo exemplo, a integral dada foi calculada, de A 
até B, ao longo de caminhos distintos, no entanto, os resultados encontrados foram 
iguais. Logo temos a seguinte definição. 
 
 
4.5 Definição 
 Seja 

f um campo vetorial contínuo num domínio D do espaço. A integral

 rdf
c
. é dita independente do caminho de integração em D se, qualquer par de pontos 
A e B em D, o valor da integral é o mesmo para todos os caminhos em D, que iniciam 
em A e terminam em B. 
 Pode nos ocorrer, uma série de perguntas: 
(i) Como identificar uma integral de linha independentedo caminho de integração? 
(ii) Podemos calculá-la conhecendo apenas os pontos A e B? 
(iii) O que acontecerá se o caminho de integração for fechado? 
 Estas perguntas são respondidas com auxílio da definição de campos 
conservativos, e 0rot f

 com os teoremas que seguem. 
 
 
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 Página 28 
 
4.6 Teorema 
 Seja ),,( zyxuu  uma função diferenciável em um domínio conexo 3IRU 
tal que uf 

é contínuo em U. Então, 
),()(. AuBurdf
c


 
 para qualquer caminho C em U, unindo o ponto A ao ponto B. 
 
 
Exercícios 
 
1) Verificar que o campo vetorial 

 kyjyzixf 22sen do 2º exemplo anterior, é 
um campo conservativo em IR³. Calcular 

 rdf
c
. ao longo de qualquer caminho C de 
)0,2,0(A até )4,2,2(B . 
 
 
 2) Determinar o trabalho realizado pelo campo de forças: 
  222 ,:,32 RDRIRfjyxixyf 

 
sobre à curva 21),2,()(  tttt (entre os pontos )2,1(A e )4,2(B ). 
Resp.: 
 
 
 u. t 
 
 
4.7 Teorema 
 Se  321 ,, ffff 

é um campo vetorial contínuo em um domínio conexo 
3IRU  são equivalentes as três afirmações seguintes: 
 (a) 

f é o gradiente de uma função potencial u em U, ou seja, 

f é conservativo em U. 
 (b) A integral de linha de 

f é independente do caminho de integração em U. 
 (c) A integral de linha de 

f ao redor de todo caminho fechado simples em U é igual a 
zero. 
 
4.8 Propriedades das Integrais de Linha 
 P.1) Se C é uma curva formada pela união de curvas sucessivas nccc ,...,, 21 , temos: 
ncccC  ...21 
 

  rdfrdfrdfrdf
ncccc
.......
21 
 
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 Página 29 
 
P.2) Uma troca na direção da curva sobre a qual a integral de linha é aplicada resulta em 
uma troca no sinal algébrico da integral, isto é: 



 rdf
c
. = -

 rdf
c
. 
P.3) As integrais de linha, como integrais ordinárias, são aditivas e homogêneas, logo: 



ccc
rdgrdfrdgf )(
 
 
Exercício 
 
Seja ( ), ( ). Calcule  dyyxdxyx
c
²)²(  , se ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , 
isto é, é o perímetro do triângulo tomado na direção anti-horário. (ver figura 
abaixo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.: 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( )
 ( ) 
 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
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 Página 30 
 
Unidade V – Teorema de Green. Teorema de Stokes e Teorema de 
Gauss. 
 
5.1 Introdução 
Há um teorema que exprime uma integral dupla sobre uma região plana em 
termos de uma integral de linha em torno de uma curva que é uma fronteira R. Esse 
teorema leva o nome do matemático e físico inglês George Green (1793- 1841), que 
introduziu o teorema numa publicação sobre as aplicações da matemática à eletricidade 
e ao magnetismo. Antes de expor o teorema precisamos rever e introduzir alguma 
terminologia relativa à curvas planas. 
 
 Seja uma curva C definida pelas equações paramétricas : 
)(tfx  )(tgy  bta  (1) 
Então é considerada lisa no intervalo fechado  ba, se f’ e g’ são contínuas 
em  ba, e )(' tf e 0)(' tg em todos os pontos do intervalo aberto ( ) Se para uma 
curva C definida pelas equações paramétricas (1) o ponto inicial  )(),( agafA e o 
ponto terminal  )(),( bgbfB coincidem, então a curva C é considerada fechada. A 
curva é considerada simples se não intercepta a si mesma entre os pontos e , isto 
é, se    )(),()(),( 2211 tgtftgtf  para todo 1t e 2t no intervalo aberto ( ). 
 
a) Simples e fechada. b) simples, mas não fechada. 
 
 
 
 
 
c) Fechada, mas não simples. d) Nem simples nem fechada. 
 
 
 
A circunferência e a elipse são exemplos de curvas fechadas lisas simples. 
 
Uma curva C é considerada seccionalmente lisa num intervalo I se pode ser 
dividida num número finito de subintervalos em que C é lisa. Na exposição do teorema 
de Green referimo-nos a uma integral de linha em torno de uma curva fechada c 
simples, seccionalmente lisa que forma a fronteira de uma região R no plano, e a 
direção ao longo de C é anti-horária. 
 
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 Página 31 
 
5.2 O Teorema de Green 
 Seja C uma linha uniforme, simples, definindo uma curva fechada no plano 
e suponha que C determina o limite de uma região bidimensional . Considere que C é 
orientado, sobre no sentido anti-horário. 
 
 
 
Suponha que P e Q são funções contínuas de duas variáveis, tendo derivadas 
parciais contínuas 
x
Q


 e 
y
P


 em R e C. Então: 
  











C R
dxdy
y
P
x
Q
dyyxQdxyxP ),(),( (2) 
Dem.: 
 Sendo C a soma dos arcos orientados ATB e BSA e também a soma dos arcos 
orientados SAT + TBS, logo: 
 C = ATB + BSA e C = SAT + TBS , onde: 
 ATB : y = g(x) a  x  b 
 - (BSA) : y = h(x) a  x  b 
 - (SAT) : x = G(y) t  y  s 
 TBS : x = H(y) t  y  s 
 Então: 
dyyxQdydx
x
Q
dxdy
x
Q
dxdy
x
Q
yHb
yGa
s
t
s
t
b
aR
s
t
b
a
)(
)(
),(


    













 
 =     dyyyGQyyHQ
s
t
  ),(),( 
 = 


)(
),(),(
SATTBS
dyyxQdyyxQ 
 = 


cSATTBS
dyyxQdyyxQ ),(),( 
 

c
dyyxQdxdy
x
Q
),(
 
 
 
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 Página 32 
 
 De modo análogo: 
dxyxPdxdy
y
P
dxdy
y
P
dxdy
y
P
xhs
xgt
b
a
b
a
s
tR
b
a
s
t
)(
)(
),(


    













 
 =     dxxgxPxhxP
b
a
  )(,)(, 
 =     





   dxxgxPdxxhxP
b
a
b
a
)(,)(, 
 = 


ATBBSA
dxyxPdxyxP ),(),( 
 =  
ATBBSA
dxyxPdxyxP ),(),( 
 = 


cATBBSA
dxyxPdxyxP ),(),( 
( , )
R c
P
dxdy P x y dx
y

 
 
 
 Combinando os dois resultados, obtemos: 
  
CC C
dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP ),(),(),(),( 
 =  


R
dxdy
y
P
 


R
dxdy
x
Q
 
 =  










R
dxdy
y
P
x
Q
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Use o teorema de Green para calcular a integral de linha sobre a curva fechada 
simples C. 
 
C
dyxydxxy )2()3( , onde C é o círculo x² + y ² = 9, com orientação anti-horária. 
Resp.: 
 
2) Calcular a integral de linha xydydxy
c
42  onde C é a curva fechada consistente do 
arco da parábola 
2xy  desde a origem até o ponto )4,2( e do segmento de reta desde 
)4,2( até a origem. 
Resp.: 
 
 
 
 
 
 
 
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 Página 33 
 
3) Use o teorema de Green para encontrar o trabalho total realizado na movimentação 
de um objeto na direção anti-horária uma vez em torno de uma superfície 
222 ayx 
se o movimento é causado pelo campo de força     .sen),( 2

 jxeiyxyxF y
Suponha que arco seja medido em metros e a força em newtons. 
Resp.: 
 
O teorema a seguir, que é uma conseqüência do teorema de Green, apresenta 
um métodoútil para calcular a área de uma região limitada por uma curva simples, 
fechada, seccionalmente lisa. 
 
 
5.3 Teorema da Área 
 Se R é uma região que tem por fronteira uma curva fechada, simples, 
seccionalmente lisa C, e A unidades quadradas é a área de R, então 
 
c
ydxxdyA
2
1
 
 
Exemplos: 
1) Calcule a área da região encerrada pela elipse .1
2
2
2
2

b
y
a
x
 
Resp.: 
 
2) Use o teorema de Green para calcular a integral de linha    dyxydxyx
c
  423
34
se C é a elipse .3649 22  yx 
Resp.: 
 
 Existem duas formas vetoriais do teorema de Green que passaremos a obter. As 
duas quantidades escalares dadas na seguinte definição são necessárias para esse 
desenvolvimento. 
 
 
5.4 Definição 
 Se 

 jyxQiyxPyxf ),(),(),( , então o rotacional de f é dado por: 
y
P
x
Q
frot







 e a divergência de f é dada por .
P Q
div f
x y
  
 
 
 
Suponha que uma equação vetorial de uma curva C seja 

 jyixsh )( , 
sendo )(sfx  e )(sgy  onde s é o comprimento do arco medido desde um ponto 
particular 0P sobre C até o ponto P sobre C. Então: 
 

 j
ds
dy
i
ds
dx
sh )(' 
 Sabendo que )()(' sush

 , temos: 
 
 (3) 
42 

 j
ds
dy
i
ds
dx
su )(
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 Página 34 
 
 Com a notação 
 
 
 (4) 
 Se 

 jyxQiyxPyxf ),(),(),( , então: 
 dyyxQdxyxPhdyxf ),(),().,( 

 (5) 
 
 Substituindo (4) em (5), obtemos: 
dyyxNdxyxMdssuyxf ),(),()().,( 

 (6) 
 
 Assim, a partir de (6) e da definição acima, a equação (2) do teorema de Green 
pode ser escrita como 
 dAFrotdssuyxF
c R

 )().,( 
Essa forma vetorial do teorema de Green é enunciada formalmente como o 
seguinte teorema que recebeu o nome do matemático e físico irlandês George Stokes 
(1819-1903). 
 
5.5 Teorema de Stokes no Plano 
Sejam as funções M e N, a curva C e região R como são definidas no teorema 
de Green. Se 

 jyxQiyxPyxf ),(),(),( e )(su

é o vetor tangente unitário de C em P 
onde s unidades é comprimento do arco medido desde um ponto particular 0P sobre C 
até P, então 
dAFrotdsuF
c R

 . 
Exercício 
Verifique o teorema de Stokes no plano se 

 jxiyyxF 52),( e R é a região limitada 
pela circunferência 122  yx . 
Resp.: 
 
 Para obter a segunda forma vetorial do teorema de Green, considere a equação 
(4) que exprime 

hd em termos de vetor tangente unitário )(su

. Escrevendo a equação 
com 

 jdyidx em lugar de 

hd , temos: 
dssujdyidx )(

 
 O vetor definido pela equação dssNjdxidy )(

é um vetor normal unitário 
de C em P. Para verificar esse fato, observe que 
  0.)(.)( 
















 
jdxidyjdyidxdssNdssu 
e as magnitudes de dssu )(

e dssN )( são iguais. Como 

 jdyidxhd
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 Página 35 
 
dxyxQdyyxPjdxidyjyxQiyxPsNyxF ),(),(.),(),()().,( 











 
 Então: 
 

cc
dyyxPdxyxQdssNyxF ),(),()().,( (7) 
 Aplicamos o teorema de Green à integral de linha sobre o membro direito de 
(7) obtemos: 
dAFdivdA
y
Q
x
P
dAQ
yx
P
dssNyxF
RRRc

























 )()().,( 
 Portanto, temos o seguinte teorema. 
 
 
5.6 Teorema da Divergência no Plano 
Sejam as funções e , a curva C e região como são definidas no teorema 
de Green. Se 

 jyxQiyxPyxf ),(),(),( e )(sN

é um vetor normal unitário de C em 
P onde s unidades é comprimento do arco medido desde um ponto particular 0P sobre C 
até P, então: 
dAFdivdsNF
c R

 . 
 
Exercício 
Verifique o teorema da divergência no plano se 

 jxiyyxF 52),( e é a região 
limitada pela circunferência 122  yx . 
Resp.: 0 
 
 
5.7 O Fluxo de um Campo Vetorial através de uma Superfície 
Analogamente a um campo escalar, que determina um escalar para cada ponto 
em uma região tridimensional S, um campo vetorial associa um vetor 

 kzyxPjzyxNizyxMF ),,(),,(),,( 
para cada ponto ( ) em S ( Fig.1). Como o ponto ( ) desloca-se sobre , o 
vetor correspondente 

F pode variar, tanto em módulo quanto em direção. Por exemplo, 
se um fluído move-se através de uma região tridimensional , o vetor 

F pode 
representar a velocidade de uma partícula do fluído no ponto ( ). No que se segue, 
habitualmente supomos que as funções componentes escalares , e do campo 
vertical 

F são continuamente diferenciáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
PARFOR – MATEMÁTICA- UFPA CÁLCULO IV 
 
 Página 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 1 
 
Agora, suponha que R é uma superfície no espaço e que 

N denota um vetor 
unitário normal a no ponto ( ) (Fig.2). Supomos que, como o ponto 
( ) desloca-se sobre a superfície R , o vetor unitário normal 

N varia de modo 
contínuo. Suponha que R está contida numa região tridimensional S, na qual o campo 
vetorial 

F está definido. Para uma melhor precisão, visualizamos 

F como campo 
velocidade de um fluído que se move. 
 Considere uma região infinitesimal de área em um ponto sobre a superfície 
 e seja 

N o vetor unitário normal à superfície neste ponto (Fig.3). Após uma unidade 
de tempo, o fluído que passou através de forma um sólido cilíndrico infinitesimal de 
altura 

 NFh . e com volume .. dANFhdAdV

 
 
 Fig.2 Fig.3 
 
 
O volume infinitesimal de fluído deslocado através da região infinitesimal 
dA em unidade de tempo é chamado de fluxo através de . Integrando sobre a 
superfície total obtemos o volume total do fluído deslocado através de na unidade 
de tempo; logo, definimos o fluxo do campo vetorial 

F através da superfície como 
sendo a integral da superfície. 
dANFoudANFdV
RRR

  ... 
 
 
 
j 
i 
0 
k 
( ) 
 
PARFOR – MATEMÁTICA- UFPA CÁLCULO IV 
 
 Página 37 
 
O Vetor Normal ao plano também é chamado vetor diretor e é dado por: 
 ⃗⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗ 
Os sinais na sequência – que aparecem na fórmula do vetor diretor são 
usados quando a orientação da curva C ocorrer no sentido horário, caso contrário 
utilizaremos os sinais na fórmula do vetor diretor. 
 
Exercício 
 
Seja a porção do plano 12  yxz que está compreendida acima da região D: 
20,10  yx no plano . Calcule o fluxo do campo vetorial 

 kzjxyixF 3 
através da superfície R na direção da normal

N , que faz um ângulo agudo com o eixo . 
Resp.: 
 
 
 
 
5.8 Teorema da Divergência para o espaço tridimensional 
 
 O teorema da divergência, também chamado de teorema de Gauss em 
homenagem ao renomado matemático alemão Karl Friedrich Gauss (1777-1855), efetua 
uma profunda conexão entre o divergente i o fluxo de um campo vetorial e representa 
uma generalização para o espaço tridimensional do teorema de Green no plano. O que 
se segue é um enunciado um tanto informal do teorema. 
 
5.8.1 O Teorema da divergência de Gauss 
Seja S uma região fechada e limitada no espaço , cujo limite é uma 
superfície uniforme R. Suponha que 

F é um campo vetorial definido em um conjunto 
aberto U contendo S, e suponha que as funções componentesescalares de 

F são 
continuamente diferenciáveis em U. Seja 

N o vetor normal unitário externo, normal à 
superfície R. Então 
 


SR
dxdydzFdANF 
 Em palavras, a integral sobre o sólido S do divergente de um campo vetorial é o 
fluxo do campo através do limite do sólido. Em particular, se o integrando de uma 
integral tripla pode ser expresso como divergente de um campo vetorial, então o valor 
da integral depende somente dos vetores na superfície que compreende o volume! 
 
 
Exercício 
 
Seja 

 kxzjyxizxF 22)2( e suponha que S é o cubo limitado pelos planos 
 . Se R representa a superfície de S, use 
o teorema da divergência para calcular 


R
dANF , onde 

N é o vetor unitário externo, 
normal a R. Resp.: 
 
 
 
 
PARFOR – MATEMÁTICA- UFPA CÁLCULO IV 
 
 Página 38 
 
5.8.2 Teorema de Stokes para o espaço tridimensional 
5.8.2.1 Introdução 
 
 O teorema de Stokes é uma outra generalização do teorema de Green, a qual é 
atribuída ao físico matemático irlandês Sir George G. Stokes (1819-1903). 
Intuitivamente falando, o teorema de Stokes diz que o fluxo do rotacional de um campo 
vetorial 

F através de uma superfície R é igual à integral de linha da componente 
tangencial de 

F aplicada no limite de R. 
 Para sermos mais precisos, suponha que R é uma superfície e que 

N é um vetor 
unitário normal a R que varia continuamente como no movimento ao redor da superfície 
(ver figura). Além disso, supomos que o limite de R é constituído de uma curva singular 
fechada C no espaço xyz. Imagine-se em pé com a cabeça voltada na direção do vetor 
normal 

N e com a superfície R à sua esquerda. Agora, se você caminhar ao longo de C 
estará por definição se movendo na direção positiva ao redor do contorno. Se desejamos 
descrever , ou uma parte de , parametricamente, nós escolheremos sempre o 
parâmetro t tal que, quando t aumenta, nos movemos ao longo de C na direção positiva. 
Com este entendimento podemos agora dar um, relato informal do teorema de Stokes. 
 
 
 
 
5.8.2.2 Teorema de Stokes 
Seja 

F um campo vetorial cujas funções componentes são continuamente 
diferenciáveis em um conjunto aberto U contendo a superfície R e sua curva de 
contorno C. Logo, 
 








C R
dANFRdF 
A integral de linha sobre a curva fechada C é chamada de circulação do campo 
vetorial 

F ao redor de C. Em particular, se 

F representa um campo de força, então a 
circulação de 

F ao redor de C é o trabalho total realizado pela força 

F no transporte 
de uma partícula ao redor da curva fechada C. Logo, o teorema de Stokes diz que a 
circulação de um campo vetorial ao redor do contorno de uma superfície no espaço 
 é igual ao fluxo do rotacional do campo através da superfície. 
 
 
 
PARFOR – MATEMÁTICA- UFPA CÁLCULO IV 
 
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Exercício 
Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial 

 kxyjxyixzyxF 232 4),,( 
numa partícula que percorre o retângulo C no plano z = y, mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
Resp.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bons Estudos! 
Sucesso! 
 
x
y