Integrais-Triplas (TEORIA)

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Faculdade de 
Tecnologia
UERJ - Resende
Professora Gabriela Coutinho
Integrais Triplas e Mudança de Variável
1 Integrais Triplas
Assim como as integrais duplas nos permitem lidar com situações mais elaboradas
do que poderiam ser tratadas por integrais simples, as integrais triplas nos permitem
resolver problemas ainda mais gerais. Podemos utilizar integrais triplas para calcular
os volumes, as massas e momentos de inércia de sólidos de densidade variável e o valor
médio de uma função em uma região tridimensional. Integrais triplas também surgem
no estudo de campos de vetores e fluxo de fluidos em três dimensões.
Considere o caso mais simples: quando f está definida em uma caixa retangular dada
por
B = {(x, y, z)| a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s}.
Figure 1: Figura retirada de [3].
Vamos novamente utilizar os mesmo passos: dividir a caixa B em pequenas subcaixas.
Cada intervalo [a, b] será dividido [xi−1, xi] em l subintervalos iguais de largura ∆x =
(b−a)/l , cada intervalo [c, d] será dividido em m subintervalos iguais [yj−1, yj] de largura
∆y = (d − c)/m e cada intervalo [r, s] será dividido em n subintervalos iguais [zk−1, zk]
de largura ∆z = (s− r)/n. Então as subcaixas dadas por
Bijk = [xi−1, xi]× [yj−1, yj]× [zk−1, zk].
têm volume ∆V = ∆x∆y∆z.
Assim temos a soma de Riemman tripla dada por
Slmn =
l!
i=1
m!
j=1
n!
k=1
f(x∗ijk, y
∗
ijk, z
∗
ijk)∆V,
1
onde o ponto amostral (x∗ijk, y
∗
ijk, z
∗
ijk) está em Bijk.
Novamente, podemos definir a integral, que neste caso é uma integral tripla, como o
limite da soma de Riemann.
Definição: A integral tripla de f na caixa B é
"""
B
f(x, y, z) dV = lim
l,m,n→∞
l!
i=1
m!
j=1
n!
k=1
f(x∗ijk, y
∗
ijk, z
∗
ijk)∆V
se esse limite existir.
Teorema de Fubini para Integrais Triplas: Se f é cont́ınua em uma caixa
retangular B = {(x, y, z)| a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, r ≤ z ≤ s}, então
"""
B
f(x, y, z) dV =
" s
r
" d
c
" b
a
f(x, y, z) dx dy dz.
Teorema de Fubini para Integrais Iteradas: Se f é cont́ınua em uma caixa
retangular B = {(x, y, z)| a ≤ x ≤ b, h1(x) ≤ y ≤ h2(x), g1(x, y) ≤ z ≤
g2(x, y)}, então
"""
B
f(x, y, z) dV =
" b
a
" h1(x)
h1(x)
" g2(x,y)
g1(x,y)
f(x, y, z) dz dy dx.
Lembrando que, neste caso, tratamos x e y como constantes nas integrais
mais internas.
Propriedades:
1.
"""
B
cf(x, y, z) dV = c
"""
B
f(x, y, z) dV
2.
"""
B
[f(x, y, z)± g(x, y, z)] dV =
"""
B
f(x, y, z) dV±
"""
B
g(x, y, z) dV
3.
"""
B
f(x, y, z) dV =
"""
B1
f(x, y, z) dV +
"""
B2
f(x, y, z) dV
sendo B a união de duas regiões não sobrepostas B1 e B2.
Note que agora temos seis possibilidades de ordem de integração
dx dy dz dy dx dz dz dy dx dx dz dy dz dx dy dy dz dx.
Achando os limites de Integração
2
1. Esboce a região D junto com sua projeção R no plano xy. Identifique
as superf́ıcies de limite superior e inferior de D e as curvas de limite
superior e inferior de R.
z
y
x
D
R
b
a
z f2(x, y)
z f1(x, y)
y g2(x)
y g1(x)
Figure 2: Figura retirada de [3].
2. Encontre os limites z de integração: Desenhe uma linha M passando por
um ponto (x, y) em R paralelo ao eixo z. À medida que z aumenta, M
entra em D em z = f1(x, y) e sai em z = f2(x, y). Esses são os limites
z de integração.
z
y
x
D
R
b
a
M
y g2(x)(x, y)
y g1(x)
Sai em
z f2(x, y)
Entra em
z f1(x, y)
Figure 3: Figura retirada de [3].
3. Encontre os limites y de integração: Desenhe uma linha de L a (x, y)
paralela ao eixo y. À medida que y aumenta, L entra em R em y = g1(x)
e sai em y = g2(x). Esses são os limites y da integração.
4. Encontre os limites x de integração: Escolha limites x que incluem todas
as linhas através do paralelo R ao eixo y (x = a e x = b na figura
3
y
x
D
R
b
a
M
L
x
z
(x, y)
Entra em
y g1(x)
Sai em
y g2(x)
Figure 4: Figura retirada de [3].
anterior). Esses são os limites x da integração. A integral é
"""
D
F (x, y, z) dV =
" b
a
" g1(x)
g1(x)
" f2(x,y)
f1(x,y)
F (x, y, z) dz dy dx.
Siga procedimentos semelhantes se você alterar a ordem de integração.
A “sombra”da região D encontra-se no plano das duas últimas variáveis
com relação às quais a integração iterada ocorre.
Exemplo: Calcule
"""
E
√
x2 + z2 dV , onde E é a região limitada pelo parabolóide
y = x2 + z2e pelo plano y = 4.
Figure 5: Figura retirada de [1].
O sólido E juntamente com corte seu corte pelo plano xy é apresentado na figura
5. Nesta figura também podemos observar a projeção do sólido no plano xz (fazendo
y = 0). Temos que
E =
#
(x, y, z) | − 2 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4, −
$
y − x2 ≤ z ≤
$
y − x2
%
.
4
Então """
E
√
x2 + z2 dV =
" 2
−2
" 4
x2
" √y−x2
−
√
y−x2
√
x2 + z2 dz dy dx.
Essa expressão apesar de estar correta é extremamente dif́ıcil de resolver. Vamos então
inverter a ordem de integração e utilizar a simetria do problema ao nosso favor. Vamos
integrar primeiro em y escrevendo os limites de integração como função de x e z. Note
que x2 + z2 ≤ y ≤ 4, −
√
4− x2 ≤ z ≤
√
4− x2 e −2 ≤ x ≤ 2, então
"""
E
√
x2 + z2 dV =
" 2
−2
" √4−x2
−
√
4−x2
" 4
x2+z2
√
x2 + z2 dy dz dx.
Integrando em y temos
" 2
−2
" √4−x2
−
√
4−x2
(4− x2 − z2)
√
x2 + z2 dz dx.
Ficamos agora com uma integral dupla sobre a região circular D3 no plano xz (veja a
figura 5). Essa integral fica mais simples de resolver se convertermos ela para coordenadas
polares (x = r cos θ, z = r senθ e x2 + z2 = 4)
" 2
−2
" √4−x2
−
√
4−x2
(4− x2 − z2)
√
x2 + z2 dz dx =
" 2π
0
" 2
0
(4− r2) r r dr dθ
=
" 2π
0
dθ
" 2
0
(4r2 − r4) dr
= 2π
&
4r3
3
− r
5
5
'2
0
=
128π
15
1.1 Aplicações das Integrais Triplas
As integrais triplas têm várias aplicações importantes. Vamos começar pela mais
direta: o cálculo do volume.
1. Volume: no caso especial em que f(x, y, z) = 1 em todos os ponto de E, temos que
V (E) =
"""
E
dV
representa o volume de E.
2. Centro da Massa: a massa de um sólido na região E cuja densidade nesta região é
dada pela função densidade ρ = ρ(x, y, z) pode ser calculada como
m =
"""
E
ρ(x, y, z) dV
5
e seus momentos em relação aos três planos coordenados
Myz =
"""
E
x ρ(x, y, z) dV Mxz =
"""
E
y ρ(x, y, z) dV Mxy =
"""
E
z ρ(x, y, z) dV.
O centro de massa desse sólido na região E está localizado em
x̄ =
Myz
m
ȳ =
Mxz
m
z̄ =
Mxy
m
.
3. Momento de Inércia: os momentos de inércia de um sólido com densidade variável
ρ(x, y, z) sobre a região E são dados por
Ix =
"""
E
(y2 + z2) ρ(x, y, z) dV Iy =
"""
E
(x2 + z2) ρ(x, y, z) dV
e
Iz =
"""
E
(x2 + y2) ρ(x, y, z) dV.
4. Carga Elétrica: a carga elétrica total de um objeto sólido na região E que tem
densidade de carga dada por σ(x, y, z) é
Q =
"""
E
σ(x, y, z) dV.
5. Função Densidade Conjunta: considerando três variáveis aleatórias X, Y e Z, sua
função densidade conjunta é uma função de três variáveis f(x, y, z), de forma que
a probabilidade de (X, Y, Z) estar em E é
P ((X, Y, Z) ∈ E) =
"""
E
f(x, y, z) dV.
2 Integrais triplas em Coordenadas Ciĺındricas
Quando um cálculo de uma integral tripla envolve um cilindro, cone ou esfera, em
geral podemos simplificar nosso trabalho usando coordenadas ciĺındricas ou esféricas. O
procedimento para transformar essas coordenadas e calcular as integrais triplas resul-
tantes é semelhante à transformação para coordenadas polares no plano estudado na
semana passada.
Obtemos coordenadas ciĺındricas para o espaço combinando coordenadas polares no
plano xy com o eixo z usual. Vamos descrever cada ponto no espaço por uma ou mais
coordenadas da forma (r, θ, z), como mostra a figura 6.
Coordenadas ciĺındricas representam um ponto P no espaço por tripla ordenada
(r, θ, z) em que
6
O
r
x
z
y
y
z
x
P(r, , z)
Figure 6: Figura retirada de [3].
1. r e θ são coordenadas polares para a projeção vertical de P no plano xy.
2. z é a coordenada vertical cartesiana.
Os valores de x, y, r e θ em coordenadasretangulares e ciĺındricas são relacionados
pelas equações
x = r cos θ, y = r senθ, z = z
x2 + y2 = r2 tgθ =
y
x
.
z
y
x
O
a
r a,
enquanto e z va
z z0,
enquanto r e variam
 0,
enquanto r e z variam
z0
0
Figure 7: Figura retirada de [3].
A figura 7 mostra como se comportam as coordenadas ciĺındricas:
• A equação r = a descreve não apenas um ćırculo no plano xy, mas um cilindro
inteiro em torno do eixo z.
• O eixo z é dado por r = 0. A equação θ = θ0 descreve o plano que contém o eixo
z e faz um ângulo θ0 com o eixo x positivo.
• Assim como nas coordenadas cartesianas, a equação z = z0 descreve um plano
perpendicular ao eixo z.
7
As coordenadas ciĺındricas são boas para descrever cilindros cujos eixos correm ao
longo do eixo z (r constante) ou planos que contêm o eixo z (θ constante) ou planos
perpendiculares ao eixo z (z contante). Superf́ıcies como essas têm equações com valor
de uma das coordenadas ciĺındricas constante: r = r0, θ = θ0, z = z0, como mostra a
figura 7.
Superf́ıcies como cilindro, cones e paraboloides circulares são escritas em coordenadas
ciĺındricas como, por exemplo,
Cilindro: x2 + y2 = r2 = c2 ⇒ r = c
Cone: z =
$
x2 + y2 ⇒ z = r
Paraboloide Circular: z = 1− x2 − y2 ⇒ z = 1− r2
Figure 8: Figura adaptada de [1].
2.1 Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Ciĺındricas
Seja E uma região cuja projeção D no plano xy é convenientemente descrita em
coordenadas polares (veja figura 9), tal que
E = {(x, y, z)|(x, y) ∈ D, u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)} .
Figure 9: Figura adaptada de [1].
A integral tripla de uma função f(x, y, z) sobre a região E é dada por
8
"""
E
f(x, y, z) dV =
""
D
" u2(x,y)
u1(x,y)
f(x, y, z) dV,
e a mesma integração em coordenadas ciĺındricas fica
"""
E
f(x, y, z) dV =
" β
α
" h2(θ)
h1(θ)
" u2(r cos θ,r senθ)
u1(r cos θ,r senθ)
f(r cos θ, r senθ, z) r dz dr dθ.
Na equação acima utilizamos o fato de que x = r cos θ, y = r senθ e que a integração
sobre a região D em coordenadas polares consideramos dA = r dr dθ.
Exemplo: Um sólido está contido no cilindro x2 + y2 = 1, abaixo do plano z = 4 e
acima do paraboloide z = 1− x2 − y2 (veja figura 10). A densidade em qualquer ponto
é proporcional à distância do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa de E.
Figure 10: Figura adaptada de [1].
Em coordenadas ciĺındricas, o cilindro é dado por r = 1, o plano é dado por z = 4
e o paraboloide é dada por z = 1 − r2. Note que o cilindro limita as laterais do sólido,
enquanto o plano e paraboloide delimita por cima e por baixo, respectivamente. Temos
que
E =
(
(r, θ, z)| 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1, 1− r2 ≤ z ≤ 4
)
.
Se a densidade é proporcional à distância ao ponto do eixo do cilindro (eixo z), então
f(x, y, z) = k
$
x2 + y2 = kr,
onde k é a constante de proporcionalidade. Sendo assim,
m =
"""
E
f(x, y, z) dV =
" 2π
0
" 1
0
" 4
1−r2
(kr) r dz dr dθ
=
" 2π
0
" 1
0
(4− (1− r2)) kr2 dr dθ = k
" 2π
0
dθ
" 1
0
(3r2 + r4) dr
= 2πk
&
r3 +
r5
5
'1
0
=
12πk
5
9
3 Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas
As coordenadas esféricas localizam pontos no espaço
com dois ângulos e uma distância, como mostrado na
figura ao lado. A primeira coordenada ρ é a distância
do ponto à origem
−−→
|OP |, diferente da variável r, o ρ
nunca pode ser negativo. A segunda coordenada θ é
mesma utilizada nas coordenadas ciĺındricas coorde-
nada φ é o ângulo que a distância. Por último, temos
a coordenada φ que é ângulo que
−−→
|OP | faz com o eixo
z e deve estar no intervalo [0, π].
As coordenadas esféricas representam um ponto P no espaço por triplas ordenadas
(ρ, θ,φ) em que
1. ρ é a distância de P à origem.
2. θ é o ângulo das coordenadas ciĺındricas.
3. φ é o ângulo que
−−→
|OP | faz com o eixo z positivo .
0, enquanto 
 e variam
a, enquanto
 e variam
y
z
x
0
0
P(a, 0, 0)
0, enquanto
e variam
Figure 11: Figura retirada de [3].
As equações que relacionam as coordenadas cartesianas e esféricas são
10
r = ρ senφ, x = r cos θ = ρ senφ cos θ
z = ρ cosφ, y = r senθ = ρ senφ senθ
ρ =
$
x2 + y2 + z2 =
√
r2 + z2
A figura 11 mostra como se comportam as coordenadas ciĺındricas:
• A equação ρ = a descreve uma esfera.
• A equação φ = φ0 descreve uma parte de um cone.
• A equação θ = θ0 descreve um semiplano articulado ao longo do eixo z.
Devemos ter cuidado na hora de converter coordenadas cartesianas para esféricas.
Por exemplo,
1. Considerando uma esfera de raio 1 deslocada de uma unidade em z é dada pela
equação x2 + y2 + (z − 1)2 = 1. Em coordenadas polares temos que
x2 + y2 + (z − 1)2 = 1 ⇒ x2 + y2 + z2 − 2z + 1 = 1 ⇒ x2 + y2 + z2 = 2z
x2 + y2 + z2 = 2z ⇒ ρ2 = 2ρ cosφ ⇒ ρ = 2 cosφ
2. Considerando um cone z =
$
x2 + y2
z =
$
x2 + y2 = r ⇒ ρ cosφ = ρ senφ ⇒ cosφ = senφ ⇒ φ = π/4.
Observando a geometria e assumindo um eixo r, podeŕıamos observar que z = r
no plano rz corresponderia uma reta de inclinação tgφ = 1, tal que φ = π/4.
y
x
z
2
1
x2 y2 (z 1)2 1
 2 cos 
y
z
x
4 
4 
z x2 y2
Figure 12: Figura adaptada de [3].
Coordenadas esféricas são boas para descrever esferas (ρ constante), semiplanos ar-
ticulados ao longo do eixo z (θ constante) e cones cujos vértices estão na origem e cujos
eixos estão ao longo do eixo z (φ constante), como mostra a figura 13. Superf́ıcies como
essas têm alguma das coordenadas constante: ρ = ρ0 ou θ = θ0 ou φ = φ0.
11
Figure 13: Figura retirada de [1].
3.1 Cálculo de Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas
Seja E uma região correspondente a cunha da figura 14, tal que
E = {(ρ, θ,φ)|a ≤ ρ ≤ b, α ≤ θ ≤ β, c ≤ φ ≤ d} .
sen
Figure 14: Figura retirada de [1].
A integral tripla de uma função f(x, y, z) sobre a região E é dada por
"""
E
f(x, y, z) dV =
" d
c
" β
α
" b
a
f(ρ senφ cos θ, ρ senφ senθ, ρ cosφ) ρ2 senφ dρ dθ dφ.
Na equação acima utilizamos o fato de que x = ρ senφ cos θ, y = ρ senφ senθ e z =
ρ cosφ. Note que agora, em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por
dV = ρ2 senφ dρ dθ dφ.
Novamente, esta fórmula pode ser estendida para casos em que temos regiões esféricas
mais gerais
E = {(ρ, θ,φ)| g1(θ,φ) ≤ ρ ≤ g2(θ,φ), α ≤ θ ≤ β, c ≤ φ ≤ d} .
Neste caso, teremos
"""
E
f(x, y, z) dV =
" d
c
" β
α
" g2(θ,φ)
g1(θ,φ)
f(ρ senφ cos θ, ρ senφ senθ, ρ cosφ) ρ2 senφ dρ dθ dφ.
12
Exemplo: Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que fica
acima do cone z =
$
x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = z
Figure 15: Figura retirada de [1].
Usando o mesmo procedimento realizado anteriormente para converter de cartesiana
para esférica, podemos ver que
x2 + y2 + (z − 1/2)2 = 1/4 ⇒ x2 + y2 + z2 = z ⇒ ρ2 = ρ cosφ ⇒ ρ = cosφ
corresponde a uma esfera de raio r = 1/2 deslocada de uma meia unidade em z e que o
cone z =
$
x2 + y2 pode ser escrito em coordenadas esféricas como φ = π/4.
Portanto, observando a figura 15, a região de integração fica
 varia de 0 a cos enquanto
são constantes.
 varia de 0 a 
enquanto é constante.
 varia de 0 a 2 .
Figure 16: Figura retirada de [1].
E = {(ρ, θ,φ)| 0 ≤ ρ ≤ cosφ, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π/4} .
Como ρ é uma função de φ, primeiro integramos em ρ e cáımos numa função de φ,
como o elemento de volume envolve o senφ, integramos em φ depois. A integração
em θ é independente porque as outras coordenadas não dependem de θ e os limites de
13
integração em θ são constantes, tal que
V (E) =
"""
E
dV =
" 2π
0
" π/4
0
" cosφ
0
ρ2 senφ dρ dφ dθ
=
" 2π
0
dθ
" π/4
0
&
ρ3
3
'cosφ
0
senφ dφ
=
2π
3
" π/4
0
cos3 φ senφ dφ =
2π
3
&
− cos4 φ
4
'π/4
0
=
π
8
.
4 Mudança de Variável em Integrais Mútiplas
Vamos aprender agora a calcular integrais múltiplas por substituição. Como na inte-
gração simples, o objetivo da substituição é substituir integrais complicadas por outras
mais fáceis de calcular. As substituições fazem isso simplificando o integrando,os limites
da integração ou ambos.
4.1 Mudança de variável em Integrais Duplas
A substituição de coordenadas polares que estudamos anteriormente é um caso es-
pecial de um método de substituição mais geral para integrais duplas, um método que
retrata mudanças em variáveis como transformações de regiões.
Suponha que uma região G no plano uv seja transformada na região R no plano xy
por equações da forma
x = g(u, v), y = h(u, v)
v
u
0
0
y
x
G R
(u, v)
(x, y)
 uvplano
x g(u, v)
y h(u, v)
 xyplano
Figure 17: Figura retirada de [3].
Qualquer função f(x, y) definida emR pode ser pensada como uma função f(g(u, v), h(u, v))
definida em G também. Vamos ver como a integral de f(x, y) sobre R está relacionada
com a integral de f(g(u, v), h(u, v)) sobre G. Mas antes precisamos da definição do Ja-
cobiano da transformação de coordenada dado por J(u, v). O Jacobiano mede o quanto
14
a transformação está expandindo ou contraindo a área ao redor de um ponto em G
conforme G é transformado em R.
Jacobiano: O determinante Jacobiano ou Jacobiano da transformação de
coordenadas x = g(u, v), y = h(u, v) é
J(u, v) =
*********
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
*********
=
∂x
∂u
∂y
∂v
− ∂x
∂v
∂y
∂u
que também pode ser denotado por
J(u, v) =
∂(x, y)
∂(u, v)
Mudança de Variáreis em uma Integral Dupla: Suponha que T seja uma
transformação cujo jacobiano não seja nulo e leve uma região G no plano
uv para uma região R no plano xy. Suponha que f seja cont́ınua sobre R
e que R e G são regiões planas. Suponha ainda que T seja injetora, exceto
possivelmente na fronteira de G. Então
""
R
f(x, y) dA =
""
G
f(g(u, v), h(u, v)) |J(u, v)| du dv
Em coordenadas polares, temos que
J(r, θ) =
*********
∂x
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂r
∂y
∂θ
*********
=
******
cos θ −r senθ
senθ r cos θ
******
= r(cos2 θ + sen2θ) = r
r
0 01
y
x
1
1
R
G
R
 rplano
2
2
x r cos 
y r sin 
0
xyplano
Figure 18: Figura retirada de [3].
E a integral dupla fica
15
""
R
f(x, y) dA =
""
G
f(r cos θ, r senθ) |r| dr dθ =
""
G
f(r cos θ, r senθ) r dr dθ
Note que as equações x = r cos θ, y = r senθ transformam o retângulo G dado por
0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/2 em um quarto do ćırculo R limitado por x2+y2 = 1 no primeiro
quadrante do plano xy.
Exemplo: Calcule a integral
" 1
0
" 1−x
0
√
x+ y (y − 2x)2 dy dx
v
u
0
1
1G
v –2u
v u
u 1
–2
y
x
0 1
1
R
x y 1
x 0
y 0
u
3
v
3x
2u
3
v
3y 
Figure 19: Figura retirada de [3].
Note que o integrando sugere uma transformação u = x+ y e v = y − 2x, tal que
u− v = x+ 2x = 3x e 2u+ v = 3y.
Temos então que
x =
u
3
− v
3
y =
2u
3
+
v
3
No quadro acima estabelecemos como o comportamento de x e y na fronteira de R
16
corresponde ao comportamento de u e v na fronteira de G.
Agora que já sabemos como fica a transformação e a fronteira de G, podemos obter o
jacobiano da transformação para calcular a integral. O jacobiano da transformação fica
J(u, v) =
*********
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
*********
=
∂x
∂u
∂y
∂v
− ∂x
∂v
∂y
∂u
=
1
3
· 1
3
+
2
3
· 1
3
=
3
9
=
1
3
.
Aplicando na integral fica
" 1
0
" 1−x
0
√
x− y (y − 2x)2 dy dx =
" u=1
u=0
" v=u
v=−2u
√
u v2 |J(u, v)| dv du
=
" 1
0
" u
−2u
u1/2 v2
1
3
dv du =
1
3
" 1
0
u1/2
&
v2
3
'u
−2u
du
=
1
9
" 1
0
u1/2 (u3 + 8u3) du =
" 1
0
u7/2 du =
2
9
+
u7/2
,1
0
=
2
9
4.2 Mudança de variável em Integrais Triplas
As mudanças de coordenadas ciĺındricas e esféricas são casos especiais de uma mu-
dança de variáveis envolvendo integrais triplas. Tal mudança é semelhante ao caso das
integrais duplas, exceto que agora trabalhamos em três dimensões em vez de duas.
Suponha que uma região G no espaço uyw seja transformada um a um na região D
no espaço xyz por equações dadas na forma
x = g(u, v, w) y = h(u, v, w) z = k(u, v, w).
w
G
u
z
D
x
y
x g(u, , w)
y h(u, , w)
z k(u, , w)
Espaço u w Espaço xyz
Figure 20: Figura retirada de [3].
Neste caso, qualquer função F (x, y, z) definida em D pode ser tratada na região G
como
F (g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w)) = H(u, v, w)
17
definida em G. Se g, h e k tem derivadas parciais cont́ınuas, então a integral de F (x, y, z)
sobre D está relacionada à integral de H(u, v, w) sobre G pela equação
"""
D
F (x, y, z) dx dy dz =
"""
G
H(u, v, w) |J(u, v, w)| du dv dw.
O jacobiano neste caso é o
J(u, v, w) =
**************
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
**************
=
∂(x, y, z)
∂(u, v, w)
O |J(u, v, w)| mede o quanto o volume ao redor de um ponto em G está sendo expandido
ou contráıdo pela transformação das coordenadas (u, y, w) em (x, y, z).
Exemplo: Calcule a integral
" 3
0
" 4
0
" (y/2)+1
y/2
-
2x− y
2
+
z
3
.
dx dy dz.
Note que o integrando e os limites da primeira integração sugerem uma transformação
na forma
u = (2x− y)/2, v = y/2, w = z/3
Isso corresponde à
x = u+ v, y = 2v, z = 3w
Então as equações na fronteira de G e D são dadas de acordo com a tabela abaixo
Já sabemos quais curvas limitam a fronteira de G, agora precisamos obter o jacobiano.
18
O jacobiano da transformação fica
J(u, v, w) =
**************
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
**************
=
******
1 1 0
0 2 0
0 0 3
******
= 6.
Agora que calculamos o jacobiano, podemos obter a integração
" 3
0
" 4
0
" (y/2)+1
y/2
-
2x− y
2
+
z
3
.
dy dx =
" 1
0
" 2
0
" 1
0
(u+ w) |J(u, v, w)| du dv dw
=
" 1
0
" 2
0
" 1
0
(u+ w) 6 du dv dw
= 6
" 1
0
" 2
0
&
u2
2
+ uw
'1
0
dv dw = 6
" 1
0
" 2
0
-
1
2
+ w
.
dv dw
= 6
" 1
0
/v
2
+ wv
02
0
dw = 6
" 1
0
(1 + 2w) dw
= 6
" 1
0
+
w + w2
,1
0
dw = 6(2) = 12
19
References
[1] J. Stewart, Cálculo, vol.2. 7a. ed., Cengage Learning.
[2] R. Larson e B. H. Edwards, Multivariable Calculus, Brooks Cole.
[3] M. D. Weir, J. Hass e G. B. Thomas, Thomas Calculus, Pearson India.
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