Mecânica: Cinemática e Vetores

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2012
Mecânica
 Prof.ª Margaret Luzia Froehlich
Copyright © UNIASSELVI 2012
Elaboração:
 Prof.ª Margaret Luzia Froehlich
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
621
F925m Froehlich, Margaret Luzia
Mecânica / Margaret Luzia Froehlich. Indaial : Grupo 
UNIASSELVI, 2012.
183 p. il. 
Inclui bibliografia.
ISBN 978-85-7830-362-4
1. Engenharia
2. Mecânica
I. Centro Universitário Leonardo da Vinci
II. Núcleo de Ensino a Distância
 
III
apresentação
Amigo(a) acadêmico(a)! Não pretendo me aprofundar muito 
nesse Caderno de Estudos, mas, sim, dar uma indicação do que deve ser 
analisado pelo aluno(a) nesta disciplina. Por isso é importante lembrar que 
um entendimento maior pode ser alcançado através da leitura dos livros 
indicados nas referências.
Ela se divide em três principais aspectos: os corpos rígidos (sistemas 
de partículas e corpos extensos), os corpos deformáveis (assunto para 
resistência dos materiais) e fluidos (compressíveis e incompressíveis). Nossa 
abordagem se fixa no primeiro aspecto, corpos rígidos, a partir do que 
veremos os corpos em repouso dentro da estática, os corpos em movimento 
sob o ponto de vista da cinemática e da dinâmica.
Antes, porém, teremos uma revisão de vetores, com vistas 
relembrarmos a soma e a decomposição de vetores, além dos produtos escalar 
e vetorial. Em seguida, lembraremos de alguns conceitos fundamentais como 
espaço, tempo, massa e força. Finalmente, aprofundaremos nosso estudo de 
Mecânica com forças, momentos, estática, estruturas e vínculos.
Finalizaremos nosso Caderno com uma discussão resumida de 
tensões, visando preparar o terreno para a disciplina de Resistência dos 
Materiais. Esperamos que esse estudo capacite o futuro engenheiro a analisar 
os problemas, aplicando os princípios da mecânica para formular modelos 
matemáticos, incorporando hipóteses físicas que representem, com realismo, 
as situações práticas vividas na Engenharia.
Aproveite bem e bom estudo!
Professora Margaret Luzia Froehlich
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
V
VI
VII
UNIDADE 1 - CINEMÁTICA .............................................................................................................1
TÓPICO 1 - VETORES ..........................................................................................................................3
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................3
2 VETORES UNITÁRIOS ....................................................................................................................4
3 COMPONENTES DE UM VETOR ..................................................................................................5
4 ADIÇÃO DE VETORES ....................................................................................................................5
5 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES ..................................................................................................6
5.1 PRODUTO ESCALAR ...................................................................................................................6
5.2 PRODUTO VETORIAL .................................................................................................................7
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................8
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................9
TÓPICO 2 - CONCEITOS BÁSICOS .................................................................................................11
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................11
2 SISTEMA INTERNACIONAL .........................................................................................................11
3 PONTO MATERIAL OU PARTÍCULA E CORPO EXTENSO ...................................................15
4 ESPAÇO ................................................................................................................................................15
5 TEMPO ..................................................................................................................................................15
6 REFERENCIAL ....................................................................................................................................16
7 DESLOCAMENTO .............................................................................................................................16
8 TRAJETÓRIA ......................................................................................................................................17
9 VELOCIDADE .....................................................................................................................................18
10 ACELERAÇÃO ..................................................................................................................................22
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................25
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................26
TÓPICO 3 - TIPOS DE MOVIMENTO .............................................................................................27
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................27
2 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME E MOVIMENTO
 UNIFORMEMENTE VARIADO ......................................................................................................27
3 MOVIMENTO DE PROJÉTIL ..........................................................................................................30
3.1 ACELERAÇÃO ..............................................................................................................................31
3.2 VELOCIDADE ................................................................................................................................31
3.3 ESPAÇO ...........................................................................................................................................314 DETERMINAÇÃO DO MOVIMENTO A PARTIR DA ACELERAÇÃO ................................33
4.1 COM A ACELERAÇÃO DEPENDENTE DE X ........................................................................34
4.2 COM A ACELERAÇÃO DEPENDENTE DE V .........................................................................35
5 MOVIMENTO RELATIVO ...............................................................................................................37
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................40
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................41
TÓPICO 4 - MOVIMENTO CIRCULAR E ROTAÇÃO .................................................................43
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................43
2 ACELERAÇÃO ....................................................................................................................................43
suMário
VIII
3 PERÍODO .............................................................................................................................................44
4 APLICAÇÕES ......................................................................................................................................45
5 ROTAÇÃO DE UM CORPO EXTENSO EM TORNO DE UM EIXO FIXO ............................49
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................53
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................55
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................56
UNIDADE 2 - DINÂMICA ..................................................................................................................59
TÓPICO 1 - DINÂMICA ......................................................................................................................61
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................61
2 MASSA .................................................................................................................................................61
3 MOMENTO LINEAR OU QUANTIDADE DE MOVIMENTO................................................62
4 MOMENTO ANGULAR ...................................................................................................................64
5 FORÇA ..................................................................................................................................................67
6 FORÇAS ESPECIAIS .........................................................................................................................68
6.1 FORÇA GRAVITACIONAL .........................................................................................................68
6.2 FORÇA NORMAL ........................................................................................................................69
6.3 FORÇA DE TRAÇÃO ....................................................................................................................70
6.4 FORÇA DE ATRITO ......................................................................................................................71
6.5 FORÇA ELÁSTICA .......................................................................................................................74
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................75
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................76
TÓPICO 2 - SISTEMAS DE FORÇAS, MOMENTOS E BINÁRIOS...........................................79
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................79
2 FORÇAS EXTERNAS E INTERNAS ...............................................................................................79
3 MOMENTO DE UMA FORÇA ........................................................................................................80
4 SISTEMAS EQUIVALENTES DE FORÇAS ..................................................................................80
5 BINÁRIO ..............................................................................................................................................81
6 PRINCÍPIO DE D´ALEMBERT ........................................................................................................82
7 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS A UM PONTO ...................................................82
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................87
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................88
TÓPICO 3 - DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO E EQUAÇÕES DE MOVIMENTO ...............91
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................91
2 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE ....................................................................................................91
3 EQUAÇÕES DE MOVIMENTO ......................................................................................................92
4 MOMENTO DE INÉRCIA ................................................................................................................92
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................98
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................101
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................102
TÓPICO 4 - VIBRAÇÕES MECÂNICAS ..........................................................................................105
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................105
2 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES .....................................................................................106
3 PÊNDULO SIMPLES .........................................................................................................................108
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................110
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................115
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................116
IX
UNIDADE 3 - ESTÁTICA ....................................................................................................................119
TÓPICO 1 - EQUILÍBRIO DOS CORPOS ........................................................................................121
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................121
2 GRAUS DE LIBERDADE ..................................................................................................................122
3 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO ......................................................................................................122
4 EQUILÍBRIO ESTÁTICODO PONTO MATERIAL ...................................................................123
5 EQUILÍBRIO ESTÁTICO DO CORPO RÍGIDO .........................................................................124
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................128
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................129
TÓPICO 2 - VÍNCULOS .......................................................................................................................131
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................131
2 TIPOS DE VÍNCULOS ......................................................................................................................132
2.1 APOIO SIMPLES OU ROLETES ..................................................................................................132
2.2 APOIO FIXO E ARTICULAÇÃO .................................................................................................132
2.3 ENGASTE........................................................................................................................................133
3 CARREGAMENTO PLANO .............................................................................................................133
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................140
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................143
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................144
TÓPICO 3 - TRELIÇAS .........................................................................................................................147
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................147
2 CÁLCULO DAS REAÇÕES ..............................................................................................................149
2.1 MÉTODO DOS NÓS .....................................................................................................................150
2.1.1 Redundância interna e externa ...........................................................................................154
2.1.2 Condições especiais ..............................................................................................................156
3 MÉTODO DAS BARRAS ..................................................................................................................156
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................159
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................160
TÓPICO 4 - VIGAS E CABOS .............................................................................................................163
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................163
2 ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR EM UMA VIGA ..........................................164
3 CABOS ..................................................................................................................................................166
3.1 CABOS COM CARGAS CONCENTRADAS .............................................................................166
3.2 CABOS COM CARGAS DISTRIBUÍDAS ...................................................................................167
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................169
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................170
TÓPICO 5 - TENSÃO E DEFORMAÇÃO .........................................................................................171
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................171
2 TENSÃO NORMAL ..........................................................................................................................171
3 TENSÃO DE CISALHAMENTO .....................................................................................................174
4 TENSÃO ADMISSÍVEL ....................................................................................................................176
5 DEFORMAÇÃO ..................................................................................................................................178
5.1 DEFORMAÇÃO NORMAL .........................................................................................................178
RESUMO DO TÓPICO 5......................................................................................................................180
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................181
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................183
X
1
UNIDADE 1
CINEMÁTICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, o(a) acadêmico(a) estará apto a:
• relembrar algumas operações com vetores e os principais conceitos de ci-
nemática;
• reconhecer as equações dos principais tipos de movimento;
• analisar o movimento em 1D (uma dimensão) de um cursor preso por 
uma corda que passa por três polias;
• analisar o movimento em 2D (duas dimensões) de um projétil lançado 
para o ar a partir de um ângulo θ com a direção horizontal;
• demonstrar que a aceleração medida a partir de dois referenciais-inércias 
possui o mesmo valor;
• analisar alguns movimentos associados a um ponto central.
A primeira unidade está dividida em quatro tópicos. No final de cada um 
deles, você encontrará atividades que lhe auxiliarão a fixar os conceitos.
TÓPICO 1 – VETORES
TÓPICO 2 – CONCEITOS BÁSICOS
TÓPICO 3 – TIPOS DE MOVIMENTO
TÓPICO 4 – MOVIMENTO CIRCULAR E ROTAÇÃO
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
VETORES
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, estudaremos os vetores, seus componentes, sua multiplicação, 
entre outros. Veremos, também, como representar uma grandeza vetorial. Veja o 
exemplo a seguir.
FONTE: Disponível em: <https://www.google.com.br/maps>. Acesso em: 05 mar. 2018.
FIGURA 1 – MAPA MOSTRANDO A DISTÂNCIA PERCORRIDA POR UM MÓVEL DE INDAIAL ATÉ
BRUSQUE. A SETA INDICA O DESLOCAMENTO
Uma grandeza vetorial, grandeza representada por um segmento de reta 
orientado, sempre presente na nossa vida, é o deslocamento, como, por exemplo, 
o da seta da Figura 1. O corpo saiu da cidade de Indaial e chegou à cidade de 
Brusque. Indaial é a posição inicial 
→ S0 e Brusque a posição final 
→ S do deslocamento 
∆
→ S. Assim, o vetor ∆
→ S é a diferença entre as posições final e inicial e, portanto, não 
depende da trajetória percorrida. Por outro lado, o corpo seguiu a trajetória sobre 
a rodovia passando pelas cidades de Blumenau e Gaspar. O comprimento dessa 
trajetória é uma grandeza escalar, conhecida como distância percorrida.
Um vetor, portanto, tem alguns atributos bem visíveis como, por exemplo, 
a extremidade que é a ponta (Indaial, ponto O) e a origem que é a cauda da seta 
(Brusque, ponto E), veja figura a seguir. Além disso, um vetor possui um módulo 
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
4
(tamanho da seta), uma direção (linha que une origem com extremidade) e um 
sentido (no sentido da seta). O vetor → uda figura a seguir ocupa um lugar no 
espaço entre os pontos E e O do sistema de coordenadas x, y e z.
FONTE: Autora
No próximo item, veremos como podemos definir um vetor em termos de 
seus vetores unitários.
2 VETORES UNITÁRIOS
Os versores , e i j k
  
 são vetores unitários, sem dimensões, das direções 
coordenadas x, y e z e são representados na figura a seguir. Enquanto um ponto 
tem as coordenadas x, y, z, um vetor é a soma das suas componentes nas direções 
dos versores , e i j k
  
.
FONTE: Autora
Assim, um vetor pode ser escrito em termos de suas componentes (notação 
vetorial) ou em termos do seu valor numérico (módulo),
Notação vetorial:
Módulo :
FIGURA 2 – VETOR NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL. 
FIGURA 3 – TRÊS DIREÇÕES COORDENADAS E SEUS VERSORES.
TÓPICO 1 | VETORES
5
Na próxima seção, veremos como encontrar as componentes nas direções 
x e y de um vetor no espaço bidimensional.
3 COMPONENTES DE UM VETOR
Vamos olhar para o vetor v

 da figura a seguir no espaço plano formado 
pelo eixo x e pelo eixo y.
FONTE: Autora
Das definições de seno e cosseno, podemos concluir que o vetor 
possui as seguintes componentes, 
 
 Lembrando, o ângulo é 
medido no sentido anti-horário, a partir do eixo x até o vetor . O módulo do vetor 
é e a direção é dada pela definição da função tangente, 
.
4 ADIÇÃO DE VETORES
Suponha dois vetores, e , no espaço tridimensional x, y e z, em que 
a soma resultante é . Conhecendo-se as componentes de cada vetor, 
somam-se as componentes x, y e z separadamente, 
.
Exemplo 1 – Dados os vetores , 
encontre o vetor resultante da soma entre eles. Encontre também o seu módulo.
Solução: Para encontrar o vetor resultante da soma fazemos:
FIGURA 4 – VETOR v

, O TRIÂNGULO RETÂNGULO E SUAS RELAÇÕES
2 2 2
tan
cos
 
 
 
hip cat cat
catopx
catad
catopsen x
hip
catadx
hip
= +
=
=
=
2 2 2
tan
cos
 
 
 
hip cat cat
catopx
catad
catopsen x
hip
catadx
hip
= +
=
=
=
2 2 2
tan
cos
 
 
 
hip cat cat
catopx
catad
catopsen x
hip
catadx
hip
= +
=
=
=
2 2 2
tan
cos
 
 
 
hip cat cat
catopx
catad
catopsen x
hip
catadx
hip
= +
=
=
=
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
6
O módulo pode ser obtido como segue:
5 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES
A multiplicação de vetores é diferente da multiplicação algébrica 
de escalares. Veremos aqui três tipos de multiplicação. O primeiro caso é o 
mais simples em que multiplicamos um vetor por um escalar. Por exemplo, 
estamos interessados na multiplicação do escalar t pelo vetor . 
O resultado dessa multiplicação é igual a , resultando 
num novo vetor com um fator igual a t.
Exemplo 2 – Dado o vetor e o escalar , encontre o 
vetor resultante do produto entre eles.
Solução: .
A multiplicação de dois vetores pode ser efetuada de dois modos: o produto 
escalar e o produto interno. Veremos esses dois casos a seguir.
5.1 PRODUTO ESCALAR
O produto escalar, ou produto interno, é a multiplicação entre dois 
vetores, que resulta num escalar e é definido por, .
Em termos de seus vetores unitários podemos escrever o produto escalar como
.
Exemplo 3 – Dados os vetores , 
encontre o produto escalar entre eles. Encontre também o ângulo entre eles.
Solução: Para encontrar o produto escalar, utiliza-se a multiplicação com 
seus vetores unitários,
 
TÓPICO 1 | VETORES
7
Para encontrar o ângulo entre esses dois vetores, devemos encontrar 
primeiros os seus módulos:
5.2 PRODUTO VETORIAL
O produto vetorial, ou produto externo entre dois vetores, resulta em 
outro vetor e é definido por, .
Em termos de seus vetores unitários, podemos escrever o produto vetorial 
como:
.
Exemplo 4 – Dados os vetores , encontre 
o produto vetorial entre eles.
Solução:
Agora, utilizamos a definição:
Por se tratar de uma revisão com o objetivo de apenas lembrar 
algumas definições de operações com vetores, não nos atemos às deduções 
pormenorizadamente. Caso o acadêmico queira maiores esclarecimentos, deve 
consultar a bibliografia recomendada no final deste Caderno de Estudos.
8
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico você viu que:
• Definimos vetor e mostramos os elementos que compõem um vetor.
• Aprendemos a representar os vetores através de suas componentes por meio 
dos seus versores, utilizando a notação vetorial e em termos de seu valor 
numérico, calculando o seu módulo.
• Vimos algumas operações básicas entre vetores como a adição e a multiplicação.
• Relembramos a definição de produto escalar e produto vetorial.
9
AUTOATIVIDADE
Ao final deste tópico, caro(a) acadêmico(a), vamos exercitar seus 
conhecimentos adquiridos, resolvendo as questões a seguir:
1 Dado o vetor e o escalar , encontre o vetor resultante 
do produto entre eles.
2 Dado o vetor e o escalar t = 2, encontre o vetor resultante 
do produto entre eles.
3 Dados os vetores , encontre o produto 
escalar entre eles. Encontre também o ângulo entre eles.
4 Dados os vetores , encontre o produto 
vetorial entre eles.
5 Dados os vetores , encontre o vetor 
resultante da soma entre eles. Encontre também o seu módulo.
6 Dado o vetor , no espaço plano formado pelos eixos x e y, encontre 
as suas componentes nas direções x e y, sabendo que o vetor forma um 
ângulo de 300 com o eixo x.
10
11
TÓPICO 2
CONCEITOS BÁSICOS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
A Mecânica é a parte da Física que estuda o movimento dos corpos. 
Como os corpos apresentam diferentes aspectos quanto à sua agregação atômica, 
comportam-se de maneiras diferentes ao serem solicitados por uma força. 
Levando em conta essa diferença, dividimos a Mecânica em três partes, a saber: 
corpos rígidos, corpos deformáveis e fluidos.
O estudo dos corpos rígidos é, por sua vez, dividido em mais dois aspectos. 
A Cinemática e Dinâmica, que estudam os corpos em movimento, e a Estática, 
que estuda os corpos em repouso. 
Começamos nosso estudo levantando alguns conceitos que são 
fundamentais para a compreensão das ideias apresentadas nesse contexto, 
bem como as principais grandezas abordadas aqui e como estas grandezas se 
relacionam nos fenômenos que pretendemos analisar.
2 SISTEMA INTERNACIONAL
São grandezas fundamentais o comprimento, a massa, o tempo, 
a temperatura, a corrente elétrica, a intensidade de luz e o mol. Com elas 
expressamos nossas ideias e fazemos medidas que tornam possível publicá-las 
para a verificação por outros estudiosos. Um sistema de unidades serve para 
referenciar um conjunto de padrões únicos que são utilizados para comparar a 
grandeza medida e assim quantificá-la. Por exemplo, no sistema MKS (metro–
kg (quilograma)–segundo), 1 kgf = 1kg.9,8m/s2. Em contrapartida, 1 kgf equivale 
a 9,8 N no SI (Sistema Internacional). Da mesma forma, 1 UTM (Unidade Técnica 
de Massa) no MKS equivale a 9,81 kg no SI. O MKS e o SI são sistemas de unidades 
onde se relacionam as grandezas com as suas respectivas unidades.
O quadro a seguir contém as principais grandezas em mecânica e suas 
unidades no sistema internacional de unidades.
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
12
Unidades Fundamentais Unidades do Sistema Internacional
Espaço Metro (m)
Tempo Segundo (s)
Massa Quilograma (kg)
Unidades Derivadas
Velocidade Metro por segundo (m/s)
Aceleração Metro por segundo ao quadrado (m/s2)
Momento Linear Quilograma metro por segundo (kg.m/s)
Momento Angular Quilograma metro ao quadrado por segundo (kg.m2/s)
Força Newton (N) → kg.m/s2
FONTE: Autora
QUADRO 1 – SISTEMA DE UNIDADES INTERNACIONAL SI
De um modo geral, as grandezas vêm expressas em diversos sistemas de 
medidas e, muitas vezes, é necessário converter todas para o mesmo sistema antes 
de trabalhar com elas. Como sabemos, uma grandeza física é representada por 
um símbolo algébrico, como por exemplo, d para distância, t para tempo e v para 
velocidade. Quando calculamos a distância, fazendo o produto da velocidade, 
com o tempo utilizamos certa coerência dimensional, observe:
Milhas segundos por hora não é uma unidade usual de comprimento. 
Como as unidades estavam em sistemas diferentesnão foi possível simplificar 
A velocidade estava em m/s e o tempo em s, ambos no SI, possibilitando a 
simplificação de s (segundos) gerando a distância na unidade correta, m (metros). 
Vamos supor que a velocidade tenha sido dada em outro sistema de unidades, 
por exemplo, 4,47mi/h (milhas por hora), substituindo na equação encontramos 
o seguinte resultado.
TÓPICO 2 | CONCEITOS BÁSICOS
13
Comprimento Tempo Massa
1 m = 100 cm = 103 mm 1 min = 60 s 1 kg = 103g = 0,0685 slug
1 km = 103 m = 0,6214 mi 1 h = 3600 s 1 slug = 14,59 kg
1 pol = 0,0254 m 1 dia = 86400 s 1 u = 1,661x10-27kg
1 pé = 1 ft = 0,3048 m 1 ano = 3,156x107s 1 kg = 2,205lb ( g = 9,8 m/s2)
Velocidade Aceleração 1 dracmas = 3,888 gramas
1 m/s = 3,281 pés/s 1 m/s2 = 3,281 pés/s2 Pressão
1 km/h = 0,2778 m/s = 0,6214 mi/h Força 1 Pa = 1 N/m2 = 0,209lb/pé2
1 mi/h = 0,4470 m/s 1 N = 0,2248 lb 1 bar = 105 Pa
1 pés/s = 0,3048 m/s 1 kgf = 9,8 N 1 atm = 1,013x105Pa
1 Curies = 2,2 . 1018 desint/ min Impulso 1 mmHg= 1 torr = 133,3 Pa
1 ton (refrigeração) = 12000 Btu/h 1lb.s = 4,448N.s 1 lbf/pé2= 47,88 N/m2
1 nós (internacional) = 0,5144 m/s Energia 1 cmHg a 00C = 27,845 lb/
pé2
Volume 1 lb.pés = 1,356J Potência
1 litro = 10-3 m3 = 1000 cm3 1 cal = 4,186 J 1 W = 1 J/s
1 pé3 = 0,02832 m3 1 Btu =1055 J 1 hp = 746 W
1 galão = 3,788 litros 1 eV = 1,602x10-19J 1 Btu/h = 0,293 W
QUADRO 2 – FATORES DE CONVERSÃO DAS UNIDADES
FONTE: Autora
Utiliza-se muito o fator 3,6 para converter m/s e km/h entre si, isso vem do fato de 
que as unidades de comprimento e tempo foram convertidas separadamente, facilitando 
assim a memorização da conversão.
UNI
a unidade de tempo gerando uma unidade estranha para o comprimento. O 
correto seria converter primeiro a velocidade para o mesmo sistema do tempo 
(SI). Podemos fazer isso com o auxílio do fator de conversão obtido na tabela 2.
Em seguida, procedemos como foi demonstrado anteriormente, e obtemos 
novamente a unidade correta para a distância, 16 m.
No quadro a seguir, relacionamos os fatores de conversão de algumas 
grandezas.
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
14
Veja:
Assim, se você quiser converter km/h em m/s basta dividir por 3,6. 
Exemplo 5 – Calcule o número de km em 6 milhas.
Solução: Do quadro 2, temos que 1 km = 0,6214 mi. A regra é simples, 
multiplicamos a unidade que desejamos converter (1 mi) pela unidade que 
desejamos obter (1 km) e dividimos pelo seu equivalente na unidade que 
queremos substituir (0,6214 mi).
Exemplo 6 – De acordo com o rótulo de um frasco de molho, o volume é 
de 0,334 litros. Converta esse valor para centímetros cúbicos.
Solução: Novamente do quadro 2, 1 L = 1000cm3, multiplicando pela que 
queremos e dividindo pela que vamos eliminar, obtemos:
Exemplo 7 – Uma placa de limite de velocidade avisa que o limite máximo 
é de 100mi/h. Expresse esse valor em km/h e em m/s.
Solução: Da mesma maneira que antes,
TÓPICO 2 | CONCEITOS BÁSICOS
15
3 PONTO MATERIAL OU PARTÍCULA E CORPO EXTENSO
Em Mecânica temos o conceito de corpo como a entidade material que 
ocupa um lugar no espaço no decorrer de um tempo. Classificamos os corpos 
em dois tipos, de acordo com as suas dimensões. Corpos extensos são corpos 
cujos pontos de aplicação dos vetores força não convergem para um ponto único. 
Chamamos de ponto material, ou partícula, todo corpo cujos pontos de aplicação 
dos vetores força podem ser representados todos no mesmo ponto. Observe a 
figura a seguir.
FONTE: Autora
4 ESPAÇO
O espaço ou posição é o vetor localização de uma partícula a partir 
de um referencial até o ponto em que se encontra durante um certo intervalo de 
tempo, veja na figura a seguir. Dois espaços diferentes ocupados pela mesma 
partícula em dois tempos diferentes. O vetor é formado pelas componentes nas 
três direções perpendiculares e o representamos como .
FIGURA 5 – UM PONTO MATERIAL E UM CORPO EXTENSO EM EQUILÍBRIO
5 TEMPO
Grandeza t utilizada para descrever as variações das posições e dizer 
se a partícula se encontra em movimento ou repouso. Num certo intervalo de 
tempo a simultaneidade e a precedência de um evento são independentes do 
observador.
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
16
6 REFERENCIAL
É um sistema de coordenadas fixas de onde o evento é observado. A 
figura a seguir mostra dois espaços diferentes para a partícula, a partir do mesmo 
referencial, o ponto O, origem do sistema de coordenadas x, y e z.
FONTE: Autora
7 DESLOCAMENTO
O vetor deslocamento delta s, , observe a figura a seguir, é o vetor 
com origem no ponto de posição inicial (coordenadas de ) e tem extremidade 
no ponto de posição final (coordenadas ). Delta t, , é o intervalo de tempo 
decorrido durante esse deslocamento.
FONTE: Autora
FIGURA 6 – ESPAÇOS DIFERENTES PARA A PARTÍCULA A PARTIR DO MESMO REFERENCIAL
FIGURA 7 – VETOR DESLOCAMENTO DELTA S, 
TÓPICO 2 | CONCEITOS BÁSICOS
17
Exemplo 8 – Uma partícula se move sobre o plano xy e suas coordenadas 
são dadas pelas seguintes equações,
Sendo t em segundos e x e y em metros, determine o vetor posição da 
partícula no instante t = 15s, o seu módulo e o ângulo formado com x.
Solução: As coordenadas x e y podem ser determinadas mediante simples 
substituição do tempo das equações fornecidas,
O vetor posição é, então, escrito como . O módulo 
deste vetor é dado por, . E o ângulo é:
8 TRAJETÓRIA
Note os vetores posição e em relação à origem de um eixo cartesiano 
na figura a seguir, durante um intervalo de tempo . O ponto material se deslocou 
do ponto dado pelas coordenadas de até o ponto dado pelas coordenadas de 
. A linha tracejada indica todos os pontos pelos quais o móvel passou ou ainda 
passará, ou seja, a sua trajetória, que é a linha formada pelas diversas posições que 
o corpo ocupa no tempo. A trajetória da esquerda é circular e o móvel obedece às 
equações que serão demonstradas no próximo tópico. No meio o móvel, é descrita 
uma trajetória curva e à direita encontramos uma trajetória retilínea.
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
18
FONTE: Autora
9 VELOCIDADE
A Grandeza Vetorial mede a rapidez com que o corpo se desloca. 
Quando se trata da velocidade média, esta é a razão entre o deslocamento e o 
intervalo de tempo. 
.
Assim, Os tempos são cada vez menores, de 
modo que a posição se aproxime cada vez mais de . Tomamos o limite de 
, tendendo a zero de e obtemos a derivada da posição em relação ao tempo 
, que é a reta tangente à curva naquele ponto e que entendemos como sendo 
a velocidade instantânea da partícula em movimento. Observe a figura a seguir.
A velocidade instantânea é a taxa de variação no tempo do deslocamento 
Assim, 
FIGURA 8 – TRAJETÓRIAS
TÓPICO 2 | CONCEITOS BÁSICOS
19
FONTE: Autora
Exemplo 9 – Utilizando os dados do exemplo anterior, encontre a 
velocidade média e a velocidade instantânea da partícula móvel.
Solução: A velocidade média é dada pela definição, , sendo 
a posição inicial igual a zero e o tempo inicial também igual a zero. Assim, 
encontramos:
FIGURA 9 – VELOCIDADE MÉDIA 
 
E VELOCIDADE INSTANTÂNEA 
A velocidade instantânea é dada pela derivada da posição, 
 
 
Assim, devemos encontrar a derivada de x e de y:
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
20
Substituindo o tempo por 15 segundos, temos:
Dessa maneira, o vetor velocidade instantânea se torna, 
.
Exemplo 10 – (YOUNG; FREEDMANN, 2010) Um veículo robótico está 
explorando a superfície de Marte. O módulo de aterrissagem é a origem do 
sistema de coordenadas e a superfície do planeta é o plano xy. O veículo que será 
representado por um ponto, possui componentes x e y que variam com o tempo 
de acordo com
a) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância do módulo de 
aterrissagem no instante t = 2,0 s. 
Solução:
No instante t = 2,0 s, as coordenadas do carro são
 
A distância entre o veículo e a origem nesse instante é
 
b) Calcule o vetor deslocamento e o vetor velocidade média no intervalo 
de tempo entre t = 0 e t = 2,0 s. 
Solução: Para achar o deslocamento e a velocidade média, escrevemos o 
vetor posição emfunção do tempo.
TÓPICO 2 | CONCEITOS BÁSICOS
21
Para t = 0 o vetor posição fica,
 
c) Deduza uma expressão geral para o vetor velocidade instantânea do 
veículo. Expresse a velocidade instantânea em t = 2,0 s, usando componentes, e, 
também em termos de módulo, direção e sentido.
Solução: Para achar uma expressão geral para a velocidade, devemos 
encontrar a derivada no tempo do vetor posição, assim, utilizando as equações 
fornecidas pelo enunciado da questão, temos que
Para expressar a velocidade instantânea em t = 2,0 s, usando componentes, 
basta substituir o tempo acima na equação geral encontrada,
 
Em termos de módulo, encontramos
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
22
Para encontrar a direção e o sentido, encontramos o ângulo entre o vetor 
e o eixo x,
10 ACELERAÇÃO
Observe, na figura a seguir, que o vetor velocidade muda, aumentando ou 
diminuindo de intensidade, de para . Está presente uma grandeza vetorial 
denominada aceleração, que é responsável por essa variação.
FONTE: Autora.
Exemplo 11 – Utilizando os dados do exemplo anterior, encontre a 
aceleração instantânea da partícula móvel.
Solução: Analogamente ao exemplo anterior, temos que a aceleração 
instantânea é dada por:
FIGURA 10 – TRAJETÓRIA
TÓPICO 2 | CONCEITOS BÁSICOS
23
Exemplo 12 – Um ponto material se desloca em linha reta, de modo que 
sua posição é definida pelo diagrama da figura a seguir. Encontre a função da 
velocidade e da aceleração em função do tempo. Mostre os gráficos.
FONTE: Autora
FONTE: Autora
Solução: A velocidade é a derivada da posição no tempo, .
Que descreve o comportamento do gráfico da figura a seguir.
FIGURA 11 – GRÁFICO DA POSIÇÃO x(m) EM FUNÇÃO DO TEMPO t(s). O CORPO 
SAI DA ORIGEM E CHEGA ATÉ A DISTÂNCIA DE 30 METROS EM 4 
SEGUNDOS E DEPOIS RETORNA À ORIGEM EM t = 6 s
FIGURA 12 – GRÁFICO DA VELOCIDADE v(m/s) Em Função Do Tempo t(s). A 
VELOCIDADE INICIAL É ZERO EM ZERO SEGUNDOS, EM t = 2 s 
O CORPO ATINGE A VELOCIDADE MÁXIMA DE 12 m/s, DEPOIS 
VOLTA A DECRESCER ATÉ ZERO, QUANDO VOLTA A AUMENTAR EM 
MÓDULO. O SINAL NEGATIVO INDICA QUE O PONTO MATERIAL 
ESTÁ SE APROXIMANDO DA ORIGEM
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
24
A aceleração é dada pela derivada da função da velocidade, .
Que descreve o comportamento do gráfico na figura a seguir.
FONTE: Autora
FIGURA 13 – GRÁFICO DA VELOCIDADE v(m/s) EM FUNÇÃO DO TEMPO t(s). A ACELERAÇÃO 
INICIAL É DE 12 m/s2 E EM t = 2 s, A ACELERAÇÃO SE ANULA
Você pode fazer esse exercício usando o MatLab ou outro similar. Tente fazer a 
lista de exercícios utilizando mais esse recurso.
UNI
25
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, caro(a) acadêmico(a), você viu que:
• Apresentamos as principais unidades das grandezas mecânicas no Sistema 
Internacional SI.
• Diferenciamos corpo extenso de ponto material.
• Definimos espaço, tempo e referencial.
• Estudamos o conceito deslocamento e trajetória.
• Definimos velocidade como sendo a medida da rapidez com que o corpo 
se desloca e aceleração como sendo a rapidez com que o móvel varia a sua 
velocidade.
26
AUTOATIVIDADE
Para exercitar os conhecimentos adquiridos neste tópico, resolva as 
questões a seguir:
1 A posição r de uma partícula que se move num plano xy é dada por r = (4t3 
– 6t)i + (8 – 2t4)j com r em metros e t em segundos. Na notação de vetores 
unitários, calcule: 
a) r
b) v 
c) a para t = 3s.
2 A velocidade v de uma partícula que se move sobre o plano xy é dada por 
v = (15t – 5t2)i + (6 - 2t)j, com v em m/s e t em segundos. 
a) Qual é a aceleração quando t = 1,0 s? 
b) Quando (se acontecer) a aceleração é nula? 
c) Quando (se acontecer) a velocidade é nula?
3 A partir da expressão x = t3 – 6t2 – 15t + 40 onde x(m), t(s), podemos descrever 
o deslocamento de um ponto material. Encontre:
a) O instante em que a velocidade será nula.
b) A posição e a distância percorrida pelo ponto material até esse instante.
c) A aceleração nesse instante.
d) Esboce os gráficos.
4 Uma unidade de área frequentemente usada na medição de áreas de terrenos 
é o hectare, definido como 104 m2. Uma mina de carvão de escavação aberta 
consome 75 hectares de terra, até uma profundidade de 26m a cada ano. 
Qual é o volume de terra removido por ano em quilômetros cúbicos?
5 Encontre os componentes da velocidade e da aceleração da partícula no 
tempo de 2 segundos de um ponto material governado pela expressão a 
seguir.
27
TÓPICO 3
TIPOS DE MOVIMENTO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
É quase sempre possível descrever o comportamento de um corpo 
móvel, observando algumas grandezas associadas ao seu movimento. Assim, 
relacionamos essas grandezas em funções horárias para prever a sua velocidade 
e a sua posição em qualquer tempo. Como essas funções variam, dependendo da 
trajetória que o corpo descreve, resolvemos abordá-las separadamente em cada 
tipo de movimento.
2 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME E MOVIMENTO 
UNIFORMEMENTE VARIADO
Sabendo que a taxa de variação da velocidade em função do tempo nos 
fornece a aceleração, discutida na seção 5 do tópico anterior, podemos escrever 
que . Rearranjando os membros da equação, ficamos com . 
Integrando o lado esquerdo em relação à velocidade, e o lado direito em relação 
ao tempo, temos: . Com a aceleração constante, podemos colocá-
la para fora do símbolo de integral e efetuar a operação da seguinte maneira, 
 com e, passando para o lado direito da equação, 
encontramos uma função horária para a velocidade .
Movimentos com aceleração constante são denominados movimentos 
uniformemente variados. Quando a aceleração é nula e o corpo descreve uma 
trajetória retilínea, o movimento é retilíneo uniforme e a equação acima se resume 
em , ou seja, a velocidade é constante. 
A função horária para as posições pode ser obtida de modo semelhante ao 
se tomar a taxa de variação do espaço em relação ao tempo, como encontrado na 
seção 4 do tópico anterior, e integrá-la:
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
28
Analogamente ao caso anterior,
 
, substituindo a 
equação para a velocidade encontrada na dedução anterior, escrevemos: 
 , sendo , e passando para o lado direito 
da equação encontramos uma função horária para o espaço: .
A função horária acima dá a posição do corpo em qualquer tempo para o 
movimento uniformemente variado. Para o caso de um movimento retilíneo uniforme, 
a equação acima se reduz em , sendo a velocidade constante, .
Podemos combinar a equação das velocidades em função do tempo, 
, com a equação das posições em função do tempo, , 
e obter uma nova equação, que não depende do tempo, .
Exemplo 1 – Uma aplicação dos conceitos abordados até aqui é um sistema 
de polias, como o da figura a seguir, em que um cursor A e um bloco E estão 
ligados por uma corda que passa sobre três polias C, D e B. As polias B e D estão 
fixas. A polia C está presa a um cursor e é puxada para baixo com velocidade 
constante igual a 2m/s. No instante t = 0, o cursor A inicia o movimento para 
baixo, a partir da posição P, com uma aceleração constante. Sabendo-se que a 
velocidade do cursor A é 8m/s, ao passar pelo ponto Q, determine a variação de 
altura, a velocidade e a aceleração do bloco E, quando o cursor A passar por Q.
FONTE: Autora
Solução: Escolhemos a origem como sendo o plano horizontal superior e o 
sentido positivo de y para baixo (observe figura a seguir). Notamos que, em 
FIGURA 14 – SISTEMA COM POLIAS 
TÓPICO 3 | TIPOS DE MOVIMENTO
29
FONTE: Autora
FONTE: Autora
FIGURA 15 – MOVIMENTO DO CURSOR A 
FIGURA 16 – MOVIMENTO DA POLIA C 
Agora podemos determinar o tempo que o cursor A levou para alcançar 
o ponto Q,
, o cursor A está na posição P e sua velocidade inicial é zero, . Quando o 
cursor passar pela posição Q, sua velocidade é 
, assim é correto escrever
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
30
3 MOVIMENTO DE PROJÉTIL
O movimento de projétil pode ser visto como uma composição de 
dois movimentos diferentes: um movimento retilíneo uniforme na direção x e 
uniformemente variado na direção y. Observe a figura a seguir:
FONTE: Autora
FIGURA 17– LANÇAMENTO DE PROJÉTIL 
O comprimento da corda é constante, portanto:
Podemos escrever as equações de movimento da polia C, veja a figura 
anterior, e encontrar o seu deslocamento , 
encontramos que:
sendo e
Vê-se, então, que o bloco E sobe 10 m. Para encontrar a velocidade e a 
aceleração do bloco E, basta aplicar a derivada duas vezes, ,e
TÓPICO 3 | TIPOS DE MOVIMENTO
31
Vamos dividir o movimento em dois movimentos independentes e 
analisá-los separadamente quanto à aceleração, à velocidade e à posição.
3.1 ACELERAÇÃO
Em relação ao eixo x, a aceleração é igual a zero, . Não existe força 
resultante atuando nessa direção.
Em relação ao eixo y, a aceleração é igual à aceleração gravitacional, com 
sinal negativo, pois, tem sentido oposto ao dos y crescentes, . A força 
resultante que atua nessa direção é a força gravitacional.
3.2 VELOCIDADE
Em relação ao eixo x, a velocidade é constante, , pois a aceleração 
é nula nessa direção.
Em relação ao eixo y, a velocidade varia com o tempo, , de 
modo que a aceleração é constate e igual ao negativo da aceleração da gravidade.
3.3 ESPAÇO
Em relação ao eixo x, a posição é uma função do tempo com velocidade 
constante, . Observe que o movimento nessa direção é uniforme.
Em relação ao eixo y a posição é uma função do tempo com aceleração 
constante, . Observe que nessa direção o movimento é variado.
Exemplo 2 – Uma pedra é projetada de um rochedo íngreme, de altura 
h, com velocidade inicial de 42 m/s, direcionada em um ângulo de 600 acima da 
horizontal. (figura a seguir). A pedra cai em um ponto A, 5,5 s após o lançamento. 
Encontre (a) a altura h do rochedo, (b) a velocidade da pedra imediatamente antes 
do impacto em A, e (c) a altura máxima H, alcançada acima do chão.
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
32
FONTE: Autora
Solução: 
a) A altura h é a coordenada y do deslocamento como tempo igual a 5,5 
s e dada pela equação . Sendo , substituindo 
 e , encontramos a velocidade inicial na direção y como 
sendo, . Sabendo que quando a pedra 
foi lançada ela se encontrava na origem das posições e que a aceleração da 
gravidade vale , podemos encontrar a altura do rochedo, :
b) Para encontrar a velocidade da pedra ao bater no rochedo, precisamos 
encontrar as coordenadas de x e y para a velocidade e calcular o seu módulo. Na direção 
x, o movimento é uniforme, portanto, a velocidade nesta direção é constante. Assim:
FIGURA 18 – MOVIMENTO DE PROJÉTIL
A velocidade na direção y pode ser encontrada mediante a equação:
TÓPICO 3 | TIPOS DE MOVIMENTO
33
4 DETERMINAÇÃO DO MOVIMENTO 
A PARTIR DA ACELERAÇÃO
Vimos que as condições de movimento são especificadas principalmente 
pelo tipo de aceleração que o corpo possui. Porém, nem sempre a aceleração 
depende do tempo, a aceleração de uma massa presa a uma mola, por exemplo, 
depende do afastamento do corpo da posição de equilíbrio. Podemos considerar 
três classes mais comuns de movimento, com a aceleração dependente do 
tempo, com a aceleração dependente da posição e com a aceleração dependente 
da velocidade. Vimos o primeiro caso exaustivamente na última seção, vamos 
analisar os dois outros casos agora. 
Encontramos o vetor velocidade como sendo e 
o seu módulo, .
c) Observe a figura anterior. Na altura máxima, a componente y da 
velocidade é igual a zero, . Podemos utilizar a equação da velocidade em y 
para encontrar o tempo e utilizar na equação da posição de y para determinar a 
altura máxima H.
Substituindo esse tempo na equação para y, encontramos:
34
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
4.1 COM A ACELERAÇÃO DEPENDENTE DE X 
a = f (x)
A partir da equação conhecida em função de t, podemos chegar a uma 
função exclusivamente da distância por meio de algumas operações simples,
 
Substituindo a aceleração por f(x), encontramos
 
Exemplo 3 – A aceleração de um corpo é dada por a(x)=-kx. Queremos 
determinar a constante k, sabendo que na posição inicial x = 0 a velocidade é de v = 
24 m/s e que a velocidade se anula v = 0 em x = 6m. (BEER; JOHNSTON JR, 2006).
Solução: Substituindo a equação da aceleração e as condições impostas na 
expressão deduzida nesta seção, temos:
 
TÓPICO 3 | TIPOS DE MOVIMENTO
35
4.2 COM A ACELERAÇÃO DEPENDENTE DE V
Em princípio, a unidade de k (s-2) pode nos parecer estranha, mas devemos 
nos lembrar que ela deve respeitar a igualdade a = -kx. Como x está em metros, k 
precisa estar em s-2 para compor a unidade de aceleração m/s2.
a = f (v)
Utilizando os mesmos argumentos nas deduções anteriores, podemos 
mostrar que
Exemplo 4 – (BEER; JOHNSTON JR, 2006). A aceleração de uma partícula 
é definida pela relação, .
Onde k é uma constante. Sabendo que x = 0 e v = 7,5 m/s em t = 0, e que v 
= 3,6 m/s quando x = 1,8 m, determine:
a) A velocidade da partícula quando x = 2,4 m.
b) O tempo necessário para que a partícula atinja o repouso.
Solução: 
a) Como as grandezas fornecidas são a velocidade e a posição, convém 
utilizar a expressão que obtemos por meio da segunda dedução,
O exercício a seguir está proposto no capítulo 11 da referência citada. O aluno 
pode testar seus conhecimentos desenvolvendo alguns dos outros problemas propostos 
pelo autor na obra Mecânica Vetorial para Engenheiros.
UNI
36
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
Substituindo k na equação e utilizando as condições iniciais, obtemos
b) Do mesmo modo podemos encontrar o tempo quando a partícula 
alcança o repouso substituindo k e f(v) na primeira equação,
TÓPICO 3 | TIPOS DE MOVIMENTO
37
5 MOVIMENTO RELATIVO
Para dar um exemplo de movimento relativo, imagine que você esteja 
dentro de um carro a 100km/h e atire uma pedra para frente a 10 km/h em relação 
a você. A pedra estará a 110 km/h em relação a um observador que esteja parado 
do lado de fora. O mesmo movimento é observado a partir de dois referenciais 
diferentes: um está em repouso (observador externo ao carro) e o outro se move 
com velocidade constante (observador no interior do carro). Ambos obtêm 
resultados diferentes para a medida da velocidade da pedra.
Vamos olhar para a figura a seguir. O referencial A está em repouso 
( ) e o referencial B se move com velocidade constante ( ) no plano 
xy. é o vetor posição do referencial B em relação ao referencial A, é o 
vetor posição do ponto P em relação ao referencial A e é o vetor posição do 
ponto P m relação ao referencial B.
FONTE: Autora
Podemos encontrar uma expressão para a posição do ponto P que relacione 
os dois referenciais de tal maneira que .
Para encontrarmos a velocidade, devemos derivar a expressão acima em 
relação ao tempo, . Assim, a velocidade relativa é 
expressa como segue: .
De modo semelhante, derivamos uma expressão para a aceleração: 
.
Como o referencial B se move com velocidade constante e a derivada 
de uma constante é igual a zero ( ), encontramos , ou seja, a 
aceleração medida a partir dos dois referenciais possui o mesmo valor.
FIGURA 19 – MOVIMENTO RELATIVO
38
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
Exemplo 5 – Uma bola é arremessada verticalmente para o alto a partir 
do nível de 12 m de um poço de elevador com uma velocidade inicial de 18m/s. 
No mesmo instante, um elevador de plataforma aberta passa pelo nível de 5m, 
subindo com uma velocidade constante de 2 m/s. (BEER; JOHNSTON JR, 2006).
 Determine:
a) Quando e onde a bola vai atingir o elevador.
b) A velocidade relativa da bola em relação ao elevador quando a bola o atinge.
FONTE: Autora
Solução:
a) Podemos descrever o movimento da bola, com aceleração constante 
a = -9,8m/s2, como um movimento uniformemente acelerado. Em t = 0 a bola se 
encontra na posição inicial y0 = 12 m e velocidade inicial v0 = 18 m/s,
 
O movimento do elevador, com velocidade constante vE = 2m/s, é um 
movimento uniforme e possui apenas uma equação,
 
FIGURA 20 – BOLA NO POÇO DO ELEVADOR. PROBLEMA APRESENTADO NO BEER E JOHNSTON 
[2]. EM y
E
 = y
B
 A BOLA E O ELEVADOR SE ENCONTRAM
TÓPICO 3 | TIPOS DE MOVIMENTO
39
Onde a posição inicial é de 5m, conforme podemos ver na figuraanterior, 
para yE.
Quando a bola atinge o chão do elevador yB = yE , então podemos escrever que
 
Ou seja, a bola atinge o elevador em t = 3,65s, desprezando o tempo 
negativo. Para determinar o lugar, basta substituir o tempo em uma das duas 
equações para as posições,
 
b) A velocidade relativa da bola em relação ao elevador é
 
O sinal negativo indica que a bola é observada do elevador, deslocando-se 
no sentido negativo (para baixo).
40
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você viu que:
• Vimos que o movimento retilíneo uniforme é o movimento cuja trajetória é 
em linha reta e a aceleração é nula. Portanto, o móvel se move com velocidade 
constante.
• Vimos que, num movimento uniformemente variado com aceleração constante 
e diferente de zero, a velocidade do móvel é uma função dependente do tempo.
• Observamos o movimento balístico ou movimento de projétil que é um 
movimento bidimensional (2D) e aprendemos a tratá-lo como dois movimentos 
independentes: um na direção x em MRU (sem resultante atuando sobre o 
corpo), e outro na direção y em MRUV, em que existe a interação da força 
gravitacional.
• Estudamos também o movimento relativo a dois referenciais inerciais e 
apresentamos as equações que os relacionam.
41
AUTOATIVIDADE
Chegando ao final de mais um tópico, para testar seus conhecimentos 
adquiridos, responda as seguintes atividades:
1 Uma pedra é lançada de uma catapulta em t =0, com uma velocidade inicial 
de módulo 20,0 m/s em um ângulo de 400 acima da horizontal. Quais são os 
módulos dos componentes: 
(a) horizontal 
(b) vertical do seu deslocamento em relação à catapulta em t = 1,10s? 
Repita para as componentes (c) horizontal e (d) vertical em t = 1,80 s e 
para as componentes (e) horizontal e (f) vertical em t = 5,00 s.
2 Um peixe, nadando em um plano horizontal, tem velocidade vi = (5,00i + 
2,00j)m/s em um ponto no oceano em que o deslocamento em relação a 
uma certa pedra é r i = (9,0i – 3,00j)m. Após o peixe nadar com aceleração 
constante por 15,0s, sua velocidade é v = (16,0i - 4,00j)m/s. Quais são as 
componentes da aceleração?
3 Uma pedra é projetada sobre um rochedo íngreme de altura h com 
velocidade inicial de 40 m/s direcionada em um ângulo de 500 acima da 
horizontal. A pedra cai em um ponto A, 4,0 s após o lançamento. Encontre 
(a) a altura h do rochedo, (b) a velocidade da pedra imediatamente antes do 
impacto em A, e (c) a altura máxima H alcançada acima do chão.
4 De um elevador em movimento ascendente, de velocidade 3,66 m/s, 
abandona-se uma pedra que atinge o fundo do poço em 2,5s. A que altura 
estava o elevador no momento do abandono da pedra? Qual a velocidade 
da pedra no instante do choque com o solo.
5 De uma janela de um prédio, localizada a 20m acima do solo, arremessa-
se verticalmente para cima, uma bola com velocidade de 10m/s. Sabendo-
se que a aceleração da bola é constante e igual a 9,81m/s2, para baixo, 
escreva uma expressão para a velocidade v e para a elevação y da bola, 
relativamente ao solo, para qualquer instante t. Determinar o instante em 
que a bola atinge a elevação máxima e o seu valor em y correspondente. 
42
43
TÓPICO 4
MOVIMENTO CIRCULAR E ROTAÇÃO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Movimento circular é aquele em que o móvel executa uma trajetória em 
círculo, podemos colocar a origem do nosso sistema coincidindo com o centro do 
círculo como na figura a seguir. A posição angular θ é dada pela relação entre o 
comprimento do arco d e o raio r . Assim, para a primeira posição, temos 
 
e, para a posição seguinte, . Uma revolução tem . Isso equivale 
a 2π radianos. O deslocamento angular é dado por . A velocidade 
tangencial v é proporcional à velocidade angular é dada pela expressão: v=r .
FONTE: Autora
2 ACELERAÇÃO
A aceleração possui uma componente da direção radial e uma componente 
na direção tangencial como ilustra a figura a seguir.
FIGURA 21 – MOVIMENTO CIRCULAR 
44
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
FONTE: Autora
A aceleração total é escrita em termos de seus vetores unitários como 
, em que at é a componente tangencial e ar a componente radial.
No caso particular de um movimento circular uniforme, a aceleração 
tangencial é nula e, portanto, a velocidade escalar é constante em módulo, mas 
varia continuamente na direção tangente ao círculo. Consequentemente, existe 
apenas uma componente da aceleração na direção radial, que costumamos chamar 
de aceleração centrípeta por se dirigir ao centro da trajetória e seu módulo é dado 
por , em que v é a velocidade tangencial e r é o raio da circunferência.
Deve-se levar em conta o fato da componente radial da aceleração depender 
do raio da trajetória circular nos projetos de estruturas e mecanismos como as asas 
de avião e as linhas férreas evitando-se variações repentinas na curvatura.
3 PERÍODO
Podemos encontrar o tempo para executar uma volta completa, 
denominado período T , utilizando a definição de velocidade e lembrando 
que a distância percorrida numa volta completa é , em que r é o raio da 
circunferência, temos,
.
Isolando a velocidade em função do período, temos que
 
Substituindo na aceleração radial ou centrípeta, encontramos que,
FIGURA 22 – COMPONENTES TANGENCIAL E RADIAL DA ACELERAÇÃO 
TÓPICO 4 | MOVIMENTO CIRCULAR E ROTAÇÃO
45
A equação acima caracteriza um movimento circular uniforme. Em 
seguida, vamos apresentar um problema com aceleração centrípeta em uma 
estrada curva.
4 APLICAÇÕES
Vamos ver algumas aplicações dos conceitos abordados até aqui na forma 
de exemplos práticos. 
Exemplo 1 – O carro esportivo Aston Martin V8 Vantage possui “aceleração 
lateral” de 0,96g, o que equivale a (0,96)(9,8m/s2)= 9,4 m/s2. Isso representa a 
aceleração centrípeta máxima sem que o carro deslize para fora de uma trajetória 
circular. Se o carro se desloca a uma velocidade constante de 40m/s (89mi/h ou 
cerca de 144km/h), qual é o raio mínimo da curva que ele pode aceitar?
Solução:
Exemplo 2 – Um trem se desloca numa curva de raio 1000m com uma 
velocidade de 162km/h O trem desacelera e após 5s a velocidade do trem reduziu 
para 108km/h. Determine a aceleração logo após os freios terem sido acionados.
46
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
FONTE: Autora
Solução: Para determinar a aceleração do trem precisamos encontrar as 
suas duas componentes, uma na direção tangente a curva e a outra na direção 
radial (aceleração centrípeta). Veja a figura a seguir.
FONTE: Autora
Vamos converter os valores das velocidades para o sistema internacional, 
dividindo os valores em km/h por 3,6 e obtê-los em m/s. Assim, encontramos v0 = 
45 m / s e v = 30 m / s.
Substituindo esses valores na definição de aceleração média, encontramos 
a aceleração tangencial,
Para encontrar a componente radial, utilizamos a definição de aceleração 
centrípeta,
FIGURA 23 – TREM SE DESLOCANDO NUMA CURVA 
FIGURA 24 – A ACELERAÇÃO E SUAS COMPONENTES 
TÓPICO 4 | MOVIMENTO CIRCULAR E ROTAÇÃO
47
FONTE: Autora
Com aceleração angular constante são válidas as expressões 
FIGURA 25 – DESLOCAMENTO DE UM PONTO MATERIAL PRESO A UM 
CORPO EM ROTAÇÃO COM ACELERAÇÃO ANGULAR CONSTANTE 
SOBRE UM EIXO FIXO
O vetor aceleração, em termos dos vetores unitários se torna 
e o seu módulo,
Para estudar o movimento circular de um ponto sobre um corpo rígido, 
em rotação ao redor de um eixo, considera-se o ângulo θ descrito ao redor do 
eixo de rotação num intervalo de tempo. Sobre o eixo podemos localizar o vetor 
velocidade angular ω e o vetor aceleração angular α, relacionados entre si como 
mostra a figura a seguir e as equações que seguem.
Do mesmo modo que podemos encontrar a velocidade linear v(t) de uma 
partícula derivando a função das posições x(t), e derivando x(t), mais uma vez 
encontramos a aceleração a(t). Nós podemos derivar a expressão θ(t) para obter a 
velocidade com que o ângulo varia e a sua aceleração através da segunda derivada 
de θ(t). Uma notação bastante utilizada para derivada primeira é um ponto sobre 
o símbolo da grandeza e dois pontospara segunda derivada.
48
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
Vamos ilustrar com o exemplo de um movimento considerando as 
direções r e θ.
Exemplo 3 – O braço AO da figura a seguir possui 1m de comprimento 
e gira ao redor do ponto O, definido pela relação , em que é dado em 
radianos e t em segundos. O cursor C desliza ao longo do braço dado pela relação 
r = 1 – 0,15 t2 em relação ao ponto O, em que r é dado em metros e t em segundos. 
Determine a velocidade e a aceleração do cursor após o braço ter girado 400.
FONTE: Autora
Solução: Sabendo que 1800 = π • rad, encontramos que 10 = 0,01745rad. 
Assim, temos que 400 = 0,698rad. Substituindo na expressão para , temos,
Tomando as expressões para e r substituímos t, assim de e 
temos,
 
FIGURA 26 – BRAÇO ARTICULADO EM O 
TÓPICO 4 | MOVIMENTO CIRCULAR E ROTAÇÃO
49
FONTE: Autora
A velocidade do cursor é dado em termos de e r,
5 ROTAÇÃO DE UM CORPO EXTENSO 
EM TORNO DE UM EIXO FIXO
Os pontos materiais que formam o corpo em rotação estão se deslocando 
em planos formados por circunferências com centros sobre uma reta fixa 
denominada eixo de rotação. Observe a figura a seguir.
FIGURA 27 – MOVIMENTO DO CURSOR E DIREÇÃO DOS VETORES 
UNITÁRIOS DAS DIREÇÕES e r 
A aceleração em termos de e r é dado por,
Devemos observar que a aceleração em relação ao movimento retilíneo do 
cursor C ao longo do braço AO é , ou seja de A para O.
50
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
A velocidade de rotação do eixo é denominada velocidade angular 
e está na direção do eixo. Podemos encontrar uma relação entre a velocidade 
escalar tangencial da partícula do corpo em movimento circular com a velocidade 
angular do eixo, escrevendo v = r , em que r é o raio da circunferência que dá a 
trajetória da partícula.
FONTE: Autora
FONTE: Autora
Um corpo extenso em rotação, como o da figura anterior, possui velocidade 
angular e aceleração angular α na direção do eixo de rotação. Tomando um 
ponto material qualquer do corpo, encontramos que sua aceleração é composta 
por duas componentes: a1 na direção tangencial e an na direção normal, que podem 
ser escritas em termos da velocidade angular e da aceleração angular como segue:
at = rα
an = r 2
FIGURA 28 – CORPO EXTENSO EM ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO 
FIGURA 29 – CORPO EXTENSO EM ROTAÇÃO EM TORNO DO EIXO 
z COM VELOCIDADE ANGULAR E ACELERAÇÃO ANGULAR α. E 
COM COMPONENTES a
1
 e a
n
 DA ACELERAÇÃO DE UM PONTO 
MATERIAL DO CORPO 
TÓPICO 4 | MOVIMENTO CIRCULAR E ROTAÇÃO
51
Definindo as equações de movimento de um corpo extenso em rotação em 
relação à coordenada em função da variável temporal, encontramos = 0+ 
• t, para o movimento de rotação uniforme com α = 0, e 
FONTE: Autora
Solução: (a) Como o cabo é inextensível, a velocidade do ponto C é igual 
à do ponto B e a componente tangencial da aceleração no ponto C é igual à 
aceleração do ponto B.
Assim, encontramos que e o raio é 0,07m. Podemos 
determinar a aceleração angular e a velocidade angular inicial:
FIGURA 30 – POLIA COM PESO
para o movimento de rotação uniformemente acelerado, com α = cte , ou 
seja, aceleração angular constante.
Exemplo 4 – Um peso A está ligado a uma polia dupla pelo cabo inextensível 
mostrado na figura a seguir. O movimento da polia é controlado pelo cabo B, que 
possui aceleração constante de 0,316m / s2 e uma velocidade inicial de 0,332m / s, 
ambas para a direita. Determinar: (a) o número de revoluções executadas pela 
polia em 3s, (b) a velocidade e a variação da posição do peso A depois de 3s e (c) 
a aceleração do ponto C na periferia da polia interna, no instante inicial.
52
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
Utilizando, agora, as equações de movimento com t = 3s , obtemos:
Cada revolução tem uma coordenada angular de 2 . π . rad, portanto, o número 
total de revoluções é a relação entre a coordenada angular e 2 . π . rad. Assim:
FONTE: Autora
(c) Podemos encontrar a componente normal da aceleração no ponto C, 
utilizando a relação:
FIGURA 31 – AS COMPONENTES DA ACELERAÇÃO DE UM PONTO DA 
POLIA, E GRANDEZAS LINEARES DO CORPO A
(b) Utilizando as relações entre os movimentos angular e linear, com r = 
0,12 m, encontramos a velocidade e o deslocamento do corpo A:
TÓPICO 4 | MOVIMENTO CIRCULAR E ROTAÇÃO
53
FONTE: Autora
Encontramos, neste tópico, as relações entre as grandezas para os móveis 
em movimento circular e o movimento de rotação de corpos extensos, encerrando 
nossa discussão sobre cinemática. 
Na próxima Unidade, entramos no estudo da Dinâmica e veremos 
algumas aplicações das leis de Newton. Antes, porém, vamos relembrar alguns 
conceitos que foram abordadas no Caderno da disciplina de Física Geral. Logo em 
seguida, iniciamos o estudo da dinâmica e, por último, na Unidade 3, abordamos 
a Estática e suas aplicações na Engenharia.
Agora, utilizando a componente tangencial juntamente com esse resultado, 
encontramos:
, cuja direção é dada por:
ANÁLISE DO MOVIMENTO PLANO EM FUNÇÃO DE UM 
PARÂMETRO
Ferdinand Pierre Beer
No caso de certos mecanismos, é possível exprimir as coordenadas x e 
y de todos os seus pontos principais através de expressões analíticas simples 
contendo um único parâmetro. Pode tornar-se vantajoso, neste caso, determinar 
diretamente a velocidade e a aceleração absolutas de diversos pontos do 
FIGURA 32 – ACELERAÇÃO E SUAS COMPONENTES
LEITURA COMPLEMENTAR
54
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
mecanismo, uma vez que suas componentes podem ser obtidas derivando-se as 
coordenadas x e y desses pontos.
Considerando-se a barra AB, cujas extremidades deslizam nas guias 
horizontal e vertical (Figura acima), as coordenadas xA e xB das extremidades da 
barra podem ser expressas em função do ângulo formado pela barra com a vertical
Derivando as equações (1) duas vezes em relação a t, obtemos:
Lembrando que , obtemos:
Observamos que um valor positivo de vA ou aA indica que a velocidade 
 ou a aceleração está dirigida para a direita, e um valor positivo de vB ou aB 
indica que ou está dirigida para cima. As equações (4) podem ser usadas, 
por exemplo, para determinar vB e , quando vA e são conhecidas. Substituindo 
o valor de na (5), podemos determinar aB e α se aA for conhecido.
FONTE: BEER, Ferdinand Pierre. Mecânica vetorial para engenheiros. 5 ed. São Paulo: Makron 
Books, 1994, p. 447-448.
Na próxima Unidade, entramos no estudo da Dinâmica e veremos algumas 
aplicações das leis de Newton. Antes, porém, vamos relembrar alguns conceitos que foram 
abordadas no Caderno da disciplina de Física Geral. Logo em seguida, iniciaremos o estudo 
da Estática.
UNI
55
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico, você teve oportunidade de estudar importantes assuntos 
de Física, cujo resumo apresentamos a seguir:
• O movimento circular da partícula e seu deslocamento angular.
• Que a aceleração é composta pelas componentes na direção tangencial e radial.
• Encontramos o período como sendo o tempo necessário para uma volta 
completa.
• Mostramos algumas aplicações práticas dos conceitos apresentados.
• Estudamos as equações que regem o movimento de rotação de um corpo 
extenso, segundo suas principais grandezas.
56
AUTOATIVIDADE
Para exercitar os conhecimentos adquiridos, resolva as questões a seguir:
1 Um ciclista, correndo a 10m/s, contorna uma curva com um raio de 25m. 
Qual é o módulo da sua aceleração?
2 Um bloquinho A repousa sobre uma placa horizontal que gira em torno de um 
eixo fixo em O. A placa parte do repouso em t = 0 e acelera à razão constante 
de 0,5 rad/s2. Sabendo que r = 0,2m, determine o módulo da aceleração total 
do bloco, quando (a) t = 0, (b) t = 1s e (c) t = 2s. Situação apresentada na figura 
a seguir.
FONTE: Autora
3 Uma fita de computador move-se entre dois tambores. Durante um intervalo 
de 3s , a velocidade da fita aumenta uniformemente de v0 = 0,620m / s a v1 
= 1,54m / s. Sabendo que a fita não escorrega nos tambores, determine (a) a 
aceleração angular do tambor B e (b) a número de revoluções executadas pelo 
tamborB durante esse intervalo de tempo.
FONTE: Autora
FIGURA 33 – PLACA GIRATÓRIA 
FIGURA 34 – FITA DE COMPUTADOR 
57
4 Calcule o valor mínimo do raio de uma curva, se a componente normal da 
aceleração de um carro a 26,8 m/s não puder exceder 0,762m/s2?
5 Um jogador de golfe lança uma bola a partir da origem com uma velocidade 
inicial de 50 m/s e um ângulo de 25 graus com a horizontal. Determine o 
raio de curvatura da trajetória descrita pela bola no ponto mais alto da 
trajetória. R. 209,3 m.
6 Para testar seu desempenho, um carro é dirigido ao redor de uma pista 
circular de teste de diâmetro d. Determine o valor de d quando a velocidade 
escalar do carro for de 72km/h, e seu componente normal da aceleração for 
de 3,2 m/s2. Determine a velocidade escalar do carro. 
58
59
UNIDADE 2
DINÂMICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta Unidade, você estará apto a:
• relembrar os conceitos de massa e força;
• definir quantidade de movimento e momento angular;
• conceituar força a partir da quantidade de movimento e lembrar algumas 
forças especiais;
• estudar sistemas de forças, momentos e binários;
• analisar a dinâmica do corpo rígido através de suas equações de movimento;
• analisar o movimento do OHS (oscilador harmônico simples).
Esta Unidade está dividida em quatro tópicos, sendo que em cada um 
deles, você encontrará atividades que lhe ajudarão a fixar os conheci-
mentos adquiridos.
TÓPICO 1 – DINÂMICA
TÓPICO 2 – SISTEMAS DE FORÇAS, MOMENTOS E BINÁRIOS
TÓPICO 3 – DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO E EQUAÇÕES DE MOVI-
MENTO
TÓPICO 4 – VIBRAÇÕES MECÂNICAS
60
61
TÓPICO 1
DINÂMICA
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Na unidade anterior, começamos a estudar como os corpos se movimentam. 
Preocupamo-nos apenas em descrever o movimento sem incluir a sua causa. 
Podemos, no entanto, ir mais além. Sabemos que se liberarmos um corpo de certa 
altura da superfície da Terra ele cai, e que essa queda é devida à força gravitacional, 
por que, então, o satélite permanece na órbita sem cair sobre a Terra? Na verdade, 
tudo depende da sua velocidade que deve levar a força centrípeta tal que equilibre a 
força gravitacional e torne a aceleração na direção radial nula. O que é preciso fazer 
para parar um trem? Por que as rodas dos pneus se desgastam? Como é possível 
garantir segurança na construção de brinquedos de um parque de diversões? O 
que significa ser capaz de compensar uma força ou suplantá-la?
 
Para responder essas e outras perguntas precisamos definir algumas 
grandezas físicas como massa, força, quantidade de movimento e momento 
angular.
2 MASSA
Grandeza escalar m associada à quantidade de matéria de um corpo 
extenso ou ponto material de tal maneira que, quanto maior a massa de um corpo, 
maior a sua inércia.
Quando pesamos os corpos na Terra e os levamos para a Lua percebemos 
que eles são mais leves na Lua. Isso acontece porque a força atrativa da Lua é 
menor do que a da Terra. Ou seja, a atração da Terra é maior porque possui uma 
quantidade maior de massa. Outra coisa interessante é o fato de que corpos com 
massas diferentes caem com a mesma aceleração em queda livre. Acredita-se 
que Galileu comprovou isso experimentalmente quando jogou duas pedras, de 
pesos diferentes, do alto da torre Pisa e elas caíram aproximadamente juntas, 
contrariando completamente o que se pensava na época. Isso vem do fato de que 
a força aumenta na mesma proporção de aumento da massa. Ou seja, se a massa 
é maior a força sobre ela também é maior,
 
UNIDADE 2 | DINÂMICA
62
Fornecendo assim uma aceleração constante no caso da interação 
gravitacional.
Pense no seguinte, quando tomamos uma pedra maior solicitamos mais 
força para erguê-la, isso ocorre porque a força atrativa entre as duas massas (a 
pedra e a Terra) também é maior. A força que temos que fazer para pegar uma 
pedra maior é a mesma força que a Terra tem que fazer para atrair a pedra para 
ela. Galileu conseguiu mostrar que todos os corpos em queda livre (livre de forças 
opostas a queda) caem com a mesma aceleração,
 
Na equação acima podemos observar que a massa é a razão entre a força 
gravitacional Fg e a aceleração da gravidade g, que na Terra (nível do mar) vale g 
= 9,81m/s2.
A força de atração gravitacional é diretamente proporcional ao produto 
das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas, 
sendo que o fator de proporcionalidade é a constante gravitacional G = 6,6724x10-
11N.m2/kg2. Assim, para as massas M e m separadas pela distância r, temos
 
3 MOMENTO LINEAR OU QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO
Imagine dois corpos vindo em sua direção, ambos com uma velocidade 
de 3 m/s. Um dos corpos é uma bola de tênis e o outro é um caminhão. Se você 
tivesse que escolher qual deles colidiria com você, certamente, a resposta seria 
a bola de tênis. Você tem uma definição intuitiva sobre qual deles tem a maior 
quantidade de movimento. A Grandeza Vetorial, que mede a quantidade de 
movimento de cada um desses corpos, é denominada momento linear e é dada 
pela expressão , em que m é a massa e a velocidade com a qual o corpo 
está se movendo. A unidade do momento linear no SI é o kg.m/s.
Em um sistema isolado e fechado, quando a força resultante sobre o 
sistema é nula, a quantidade de movimento se conserva e é dada pela expressão 
, ou seja, a quantidade de movimento antes é igual à quantidade de 
movimento depois.
Imagine dois corpos vindo em sua direção, ambos com uma velocidade 
de 3 m/s. Um dos corpos é uma bola de tênis e o outro é um caminhão. Se você 
TÓPICO 1 | DINÂMICA
63
tivesse que escolher qual deles colidiria com você, certamente, a resposta seria 
a bola de tênis. Você tem uma definição intuitiva sobre qual deles tem a maior 
quantidade de movimento. A Grandeza Vetorial, que mede a quantidade de 
movimento de cada um desses corpos, é denominada momento linear e é dada 
pela expressão , em que m é a massa e a velocidade com a qual o corpo 
está se movendo. A unidade do momento linear no SI é o kg.m/s.
Em um sistema isolado e fechado, quando a força resultante sobre o 
sistema é nula, a quantidade de movimento se conserva e é dada pela expressão 
, ou seja, a quantidade de movimento antes é igual à quantidade de 
movimento depois.
Exemplo 1 – Uma caixa com massa m = 6,0kg desliza com velocidade v = 
4,0m / s em um piso sem atrito no sentido positivo de um eixo x. Repentinamente, 
ela explode em dois pedaços. Um pedaço de massa m1 = 2,0kg se desloca no sentido 
positivo do eixo x com velocidade v1 = 8,0m / s. Qual a velocidade v2 do segundo 
pedaço de massa m2 ?
Solução: utilizando o princípio de conservação temos:
 
Onde: O m2 = 6,0 - 2,0 = 4,0kg.
Exemplo 2 – Um satélite artificial está em órbita circular de 1440 km sobre 
a superfície de Vênus. O peso do satélite foi determinado como sendo 1800N antes 
de ser lançado da Terra. Determine a intensidade da quantidade de movimento 
linear do satélite sabendo que sua velocidade escalar orbital é de 13,2x103 km/h.
Solução: Da tabela 2 da Unidade 1, tomamos o fator de conversão para as 
velocidades, 1 km/h = 0,2778 m/s, e encontramos a massa pela equação na seção 2,
 
 
 
3667 m/s
UNIDADE 2 | DINÂMICA
64
Vamos supor um corpo como, por exemplo, uma placa rígida em 
movimento plano. Olhe para a figura a seguir. A placa é constituída por n pontos 
materiais Pi de massas e o momento angular L da placa em relação ao seu 
centro de massa G pode ser calculado tomando-se os momentos em relação a G 
das quantidades de movimento dos pontos materiais em relação ao referencial 
Gxy. Assim, , onde é o vetor posição e é a quantidade 
de movimento do ponto Pi em relação ao referencial.
4 MOMENTO ANGULAR
FONTE: Autora
Podemos escrever a expressão acima em termos de suas grandezas 
angulares, lembrando que , uma vez que o ponto considerado executa 
um movimento de rotação ao redor do referencial considerado, de modo que a 
expressão citada se torna, , onde é o 
momento de inércia e a velocidade