MONOGRAFIA CARLOS AFONSO

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Carlos João Afonso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRAPHMATICA 
“Ferramenta Didáctica para o estudo e representação de Funções Trigonométricas: caso 
da 11ª classe na Escola Secundária Paulo Samuel Kamkhomba, cidade de Lichinga, 2019” 
(Licenciatura em Ensino de Matemática com Habilitações em Estatística) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Rovuma de Moçambique 
Lichinga 
2019 
 
 
Carlos João Afonso 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRAPHMATICA 
“Ferramenta Didáctica para o estudo e representação de Funções Trigonométricas: caso da 11ª 
classe na Escola Secundária Paulo Samuel Kamkhomba, cidade de Lichinga, 2019” 
 
Monografia científica, a ser submetido ao 
Departamento de Ciências Naturais & Matemática 
(DCN&M), para a obtenção de grau académico de 
Licenciatura em Ensino de Matemática com 
Habilitações em Estatística. 
Supervisionado pelo: Msc. Suvai Estevão. 
 
 
 
Universidade Rovuma de Moçambique 
Lichinga 
2019
 
 
Índice 
Índice de tabelas ............................................................................................................................ III 
Índice de gráficos .......................................................................................................................... IV 
Índice de figuras ............................................................................................................................. V 
Índice de abreviaturas e símbolos ................................................................................................. VI 
Declaração de honra ..................................................................................................................... VII 
Dedicatória ................................................................................................................................. VIII 
Agradecimento .............................................................................................................................. IX 
Resumo .......................................................................................................................................... X 
CAPÍTULO I: INTRODUÇÃO ................................................................................................. 11 
1. Motivação ................................................................................................................................. 11 
1.1. Justificativa ............................................................................................................................ 12 
1.2. Problematização e Problema da Pesquisa .............................................................................. 13 
1.3. Objectivos da Pesquisa .......................................................................................................... 14 
1.3.1. Objectivo Geral………….………………………………………………………...14 
1.3.2. Objectivos específicos.............................................................................................14 
1.4. Hipóteses da Pesquisa ............................................................................................................ 14 
CAPITULO II: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.................................................................. 15 
2. Ferramentas Didácticas ou Educativas ..................................................................................... 15 
2.1. Funções das Ferramentas Didácticas ou Educativas .............................................................. 16 
2.3. Graphmatica ........................................................................................................................... 17 
2.3.1. Descrição da Ferramenta Graphmatica……………………………………………18 
2.3.2. Interface de Ferramenta Graphmatica……………………………………………..18 
2.3.3. Barra de Ferramentas……………………………………………………………...19 
2.4. Contextualização das Funções Trigonométricas .................................................................... 20 
2.5. Representação gráfica de funções Trigonométricas no Graphmatica .................................... 22 
 
 
2.5.1. Função Seno ........................................................................................................................ 22 
2.5.2. Representação gráfica de função Seno....................................................................22 
2.5.3. Gráfico da Função seno no Graphmatica.................................................................23 
2.5.4. Função Co-seno .................................................................................................................. 24 
2.5.5. Representação gráfica da função co-seno………………………………………....24 
2.5.6. Gráfico da Função co-seno no Graphmatica……………………………………....24 
2.5.7. Função tangente .................................................................................................................. 25 
2.5.8. Representação gráfica da função tangente...............................................................25 
2.5.9. Gráfico da Função tangente no Graphmatica……………………………………...26 
2.6. Função co-tangente ................................................................................................................ 26 
2.6.1. Representação gráfica da função tangente...............................................................26 
2.6.2. Gráfico da Função co-tangente no Graphmatica………………………………….27 
2.6.3. Representação gráfica das funções Seno e Co-seno no mesmo plano ................................ 28 
2.6.4. Gráfico da Função Seno e Co-seno no mesmo plano no Graphmatica……………28 
2.6.5. Representação gráfica das funções tangente e co-tangente no mesmo plano ..................... 28 
2.6.6. Gráfico da Função tangente e co-tangente no mesmo plano no Graphmatica…….28 
2.6.7. Representação gráfica da função Seno do tipo 𝐲=𝐀𝐬𝐢𝐧(𝐚𝐱+ 𝐛) +𝐁 ................................... 29 
2.6.8. Gráfico da Função Seno do tipo 𝒚=𝑨𝒔𝒊𝒏(𝒂𝒙+ 𝒃) +𝑩 no Graphmatica…………..30 
2.6.9. Representação gráfica da função co-seno do tipo 𝐲=𝐀𝐜𝐨𝐬(𝐚𝐱+ 𝐛) +𝐁 .............................. 30 
2.7. Gráfico da Função Cosseno do tipo 𝒚=𝑨𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+ 𝒃) +𝑩 no Graphmatica………...31 
CAPITULO III: METODOLOGIA DA PESQUISA .............................................................. 32 
3. Métodos da pesquisa ................................................................................................................. 32 
3.1. Tipos de Pesquisa ................................................................................................................... 32 
3.1.1. Quanto aos Objectivos……………………………………………………….........33 
3.1.2. Quanto a natureza ……………………………………………………….......33 
 
 
3.1.3. Quanto a abordagem……………………………………………………………....33 
3.1.4. Quanto aos procedimentos técnicos……………………………………………….33 
3.2. Universo Populacional Amostra ............................................................................................ 34 
3.2.1. Universo Populacional………………………………………………………….....34 
3.2.2. Amostra da pesquisa................................................................................................34 
3.3. Técnicas e Instrumentos de Colecta de Dados ....................................................................... 34 
3.3.1. Observação…………………………………………………………………...........34 
3.3.2. Pré-teste……………………………………………………………………………35 
3.3.3. Planificação e Execução das Aulas……………………………………………......35 
3.3.4. Pós Teste………………………………………………………………………......35 
3.3.5. Questionário…………………………………………………………………….....35 
3.4. Técnicas de Analise de Dados ............................................................................................... 36 
3.5. Descrição do estudo ............................................................................................................... 36 
CAPITULO IV: ............................................................................................................................ 36 
ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS........................................................ 37 
4. Análises comparativas dos resultados obtidos a partir do pré-teste e pós-teste ........................ 37 
4.1. Apresentação, Análise e interpretação do Pré-teste ............................................................... 37 
4.1.1. Aproveitamento pedagógico percentual do pré – teste ....................................................... 39 
4.2. Apresentação, Análise e Interpretação do Pós – teste ............................................................ 40 
4.2.1. Aproveitamento pedagógico percentual dos pós - teste ...................................................... 43 
4.3. Apresentação dos resultados obtidos no questionário dirigido ao grupo experimental ......... 44 
CAPÍTULO V CONCLUSÃO, RECOMENDAÇÕES E LIMITAÇÕES ............................. 47 
5. Conclusão .................................................................................................................................. 47 
5.1. Recomendações...................................................................................................................... 48 
5.2. Limitações .............................................................................................................................. 48 
Referencias Bibliográficas ............................................................................................................ 49 
 
 
APENDICE ..................................................................................................................................... L 
Apendice I ...................................................................................................................................... LI 
Apendice II................................................................................................................................... LII 
Apêndice III ................................................................................................................................ LIII 
Apêndice IV Imagens obtidas no decorrer da pesquisa .............................................................. LIV 
III 
 
Índice de tabelas 
 
Tabela 1: Resultados obtidos no pré-teste...……………………………………………………..37 
Tabela 2: Estatísticas do grupo do pré-teste…………………………………………………......38 
Tabela 3: Teste de amostras independentes do pré – teste……………………………………....39 . 
Tabela 4: Resultados obtidos no Pós – teste……………………………………………………..41 
Tabela 5: Estatística de grupo do Pós – teste…………………………………………………….41 
Tabela 6: Teste de amostras independentes do pós – teste……………………………………...42 
Tabela 7: Resultados da primeira questão……………………………………………………….44 
Tabela 8: Resultados da segunda questão……………………………………………………….45 
Tabela 9: Resultados da quarta questão………………………………………………………....46 
 
IV 
 
Índice de gráficos 
Gráfico 1: Aproveitamento pedagógico percentual do pré – teste……………………………….40 
Gráfico 2: Aproveitamento pedagógico percentual do pós – teste……………………………….43 
 
V 
 
Índice de figuras 
Figura: 1 Interface do Graphmatica………………………………………………………………19 
Figura 2: Barra de Ferramentas……………………………………………………………………20 
Figura 3: Gráfico da Função seno no Graphmatica……………………………………………….23 
Figura 4: Gráfico da Função co-seno no Graphmatica……………………………………………24 
Figura 5: Gráfico da Função tangente no Graphmatica………………………………………..…26 
Figura 6: Gráfico da Função co-tangente no Graphmatica……………………………………….27 
Figura 7: Gráfico da Função Seno e Co-seno no mesmo plano no Graphmatica………………...28 
Figura 8: Gráfico da Função tangente e co-tangente no mesmo plano no Graphmatica…………29 
Figura 9: gráfico da função 𝒚 𝒔 𝒏 𝒙 ………………………………………………....30 
Figura 10: gráfico da função 𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝒙 ……………………………………………………..31 
 
VI 
 
Índice de abreviaturas e símbolos 
Abreviaturas 
PEA Processo de Ensino-Aprendizagem 
11ª Décima primeira classe 
TIC Tecnologia de informação e comunicação 
2D Duas dimensões 
SCO Sistema Cartesiano Ortogonal 
ESPSK Escola Secundaria Paulo Samuel Kamkhomba 
MINED Ministério da Educação 
EAD Ensino a Distancia 
Símbolos 
 Pertence 
 Diferente 
 Igual 
 Conjunto dos números reais 
% Percentagem 
 Domínio 
 
 
VII 
 
Declaração de honra 
Declaro que esta Monografia é resultado da minha investigação e das orientações do meu 
supervisor. O seu conteúdo é original e que todas as fontes consultadas estão devidamente 
mencionadas no texto, nas notas e nas referências bibliográficas. 
Declaro ainda que o mesmo não foi apresentado em nenhuma outra instituição para obtenção de 
qualquer grau académico, o tema desta monografia, não foi desenvolvido em nenhuma das 
instituições de ensino da mesma extensão no país salientar que sou o primeiro pesquisador a 
desenvolver este tema a nível do país. 
 
Lichinga, Novembro de 2019 
 
_____________________________________ 
(Carlos João Afonso) 
VIII 
 
Dedicatória 
Aos meus pais e encarregados de educação: Romilo Afonso Sualé Branco, Ana Maria António, e 
Virgínia Afonso Suale Branco pelo apoio incondicional, tanto financeiro como moral até quanto 
ao ensinamento e confiança que têm depositado em mim, dando-me a oportunidade de poder 
crescer cientificamente e socialmente, em suma, de saber ser e estar. 
 
IX 
 
Agradecimento 
Em primeiro lugar agradecer a Deus pela vida e boa saúde, que tem me proporcionou durante a 
minha caminhada neste belo mundo; 
De seguida, agradeço ao meu supervisor Mestre Suvai Estevão pelo apoio incondicional, 
cautelosas instruções, atenção, paciência e dedicação que sempre sugeriu-me no âmbito da 
elaboração desta monografia; 
Aos meus pais e encarregados de educação, meus irmãos, pelo apoio moral e financeiro durante 
o percurso da minha formação; 
À Directora do curso de Matemática, Nívia Malauene e a todos docentes do departamento de 
ciências naturais e matemática (DCNM) que acompanharam a minha formação; 
Aos meus colegas do curso de Matemática e da caminhada, em particular Ricardo Mortar que 
deu me apoio nos recursos que fizeram com que o trabalho fosse feito com mais flexibilidade. 
 
 
 
 
 
X 
 
Resumo 
O presente trabalho apresenta uma proposta diferenciada, voltada para o Ensino Médio 11ª classe 
da Escola Secundária Paulo Samuel Kamkhomba, onde são abordados conceitos básicos de 
funções trigonométricas. Para atingir o objectivo da pesquisa, foi elaborada uma actividade 
prática, desenvolvida com a ferramenta gráfica computacional, Graphmatica. Através das 
construções gráficas de funções trigonométricas, os estudantes serão conduzidos, naturalmente, 
às explorações trigonométricas e, da mesma maneira, à ferramenta auxiliadora. Pretende-se, 
dessa forma, auxiliar os estudantes a compreender a estruturação conceitual das funções 
trigonométricas aplicadas no quotidiano e seus comportamentos singulares. Essa abordagem 
prática e aplicada, que se opõe à tradicional, busca uma nova maneira de ensinar e aprender tais 
funções trigonométricas, que é considerada uma temática difícil e complexo durante a vida 
educacional do estudante no ensino médio. Para alcançar este objectivo, aplicar-se-á pré -teste 
que poderá ajudar na verificação do nível inicial de conhecimentos dos estudantes, de seguida o 
pós-teste que objectivará na verificação do nível de satisfação dos alunos com e sem o uso da 
ferramenta Graphmatica no estudo e representação gráficas de funções trigonométricas. Usar-se-
á o questionário para o grupo experimental, com intuito de colher suas sensibilidades a respeito 
de uso da ferramenta Graphmatica para responder a questão de partida da pesquisa. Vindo a 
observação como umatécnica de pesquisa, em que será observado o desenvolvimento da psique 
dos alunos com o auxílio da ferramenta Graphmatica. Portanto a pesquisa que será realizada, 
com as técnicas referenciadas acima, constatara que o uso da ferramenta Graphmatica no estudo 
e representações gráficas de funções trigonométricas por parte dos alunos da 11ªclasse da Escola 
Secundaria de Amizade, trará uma aprendizagem significativa. 
 
Palavras-chave: Graphmatica, Funções Trigonométricas, Representação, Estudo. 
 
11 
 
CAPÍTULO I: INTRODUÇÃO 
1. Motivação 
Actualmente, a arte de Ensinar as funções trigonométricas não deve ausentar-se das 
Tecnologias de Informação e comunicação (TICs), pois o princípio básico da sociedade 
contemporânea é o Conhecimento e a Informação. E, sendo o acto de ensinar uma acção 
Social, tendo o ensino médio também como um corpo estruturado de concepções dos 
conhecimentos construídos ao longo da História da Humanidade, com isso, percebe-se nessa 
estrutura, a concepção de Ciências da Educação. Por esta Ciência estar conectada à área da 
Matemática, podendo-se compreender que o presente projecto de pesquisa desenvolvido 
quanto ao uso da ferramenta Graphmatica no estudo e representação gráfica de funções 
trigonométricas, se apoia na tríade Ciência, Tecnologia e Sociedade, e se justifica dentro da 
perspectiva de ensino e aprendizagem, mediada por uma metodologia de ensino que faz uso 
das tecnologias para a compreensão das funções trigonometrias, no ensino médio (11ª classe). 
A busca de novas metodologias de ensino que visam favorecer a participação mais activa dos 
alunos no processo de ensino e aprendizagem incluindo o uso dos computadores, celulares 
Smartfones e entre outros como tecnologias que se ligam a esses processos, tornando este um 
trabalho mais voltado a visão de mundo do século XXI, que busca transformar homens e 
sociedades. 
Quanto a estrutura, este, está estruturado em cinco (5) capítulos, em que no primeiro capítulo 
apresentamos a introdução, justificativa, problematização e problema da pesquisa, objectivos 
(geral e específicos), e as hipóteses. No segundo capítulo apresentamos fundamentação teórica 
relativo ao tema da pesquisa. No terceiro capítulo apresentamos as metodologias da pesquisa 
usada para o alcance dos objectivos, em que inclui o tipo de pesquisa, técnicas e instrumento 
de colecta de dados, universo populacional, delimitação do tamanho da amostra e a descrição 
do estudo. No quarto capítulo, Apresentamos Análise e Interpretação dos Resultados finais; e 
por fim, no quinto capítulo, apresentamos as Conclusões, Recomendações e Limitações. 
 
12 
 
1.1. Justificativa 
As funções trigonométricas, têm constituído uma temática muito difícil de fazer o seu estudo e 
representação com o método tradicional, visto que muita das vezes a sociedade tem resolvido 
seus problemas olhando para o momento em que a mesma se encontra e os meios flexíveis. 
O interesse por esta pesquisa surgiu a partir de reflexões e angústias de professores sobre as 
queixas dos seus alunos da 11ª classe em relação às dificuldades encontradas na resolução de 
problemas envolvendo funções trigonométricas, talvez pela forma tradicional usada para 
solucionar o mesmo, constituindo um assunto complexo, apesar de sua grande aplicabilidade, 
tanto em problemas de contexto matemático, como naqueles que se apresentam em situações 
quotidianas, além das inúmeras aplicações interdisciplinares, principalmente na integração 
com a Física. 
Por outro lado, instiga-nos desvelar as possibilidades que o meio tecnológico pode oferecer ao 
aprimoramento do processo de ensino e aprendizagem. O crescimento tecnológico acelerado 
das últimas décadas, promove mudanças significativas na sociedade e tem influência nas 
atitudes e relações interpessoais, principalmente pela facilidade de acesso às Tecnologias de 
Informação e Comunicação (TIC‟s). No ensino médio, a utilização de recursos tecnológicos 
ainda é pequena ou baixa, com velocidade do avanço tecnológico, capaz de superar o processo 
de assimilação e retenção de determinado conhecimento, colocando-nos a necessidade de um 
acompanhamento rápido e dinâmico das novidades que surgem a cada momento e que exigem 
actualização constante, o que nem sempre é possível, por razões diversas, no ambiente escolar. 
A proposta pedagógica e a reflexão teórica que aqui se apresentam, abordam um conteúdo da 
matemática, que coloca desafios a professores e alunos, a partir da utilização de um software 
educativo que constitui em uma ferramenta importante de ensino. 
Pretende-se que este estudo se apresente, aos professores da 11ª classe, como uma proposta 
“prática” oferecendo abordagens interessante de um conteúdo em relação ao qual os alunos 
costumam manifestar certa resistência. A proposta parte do estudo das ideias que geram o 
conceito de funções trigonométricas no plano cartesiano e incide no reconhecimento da 
natureza cíclica dessas funções, no sentido de se fazerem generalizações com aplicações em 
outros problemas desse tema. As actividades, utilizando a ferramenta Graphmatica servirão 
para visualizar as variações produzidas pelos parâmetros que modificam o domínio, conjunto 
imagem, período e amplitude das funções trigonométricas. 
13 
 
Nosso propósito é, sobretudo, apresentar uma alternativa simples para o estudo de um tema 
cuja representação gráfica no papel, depende de muita habilidade e precisão, o que nem 
sempre permite obter um resultado satisfatório, já que são necessários cálculos com 
aproximações difíceis de representar num plano cartesiano. Acreditamos que com a utilização 
de ferramentas como Graphmatica, pode contribuir significativamente no processo de ensino 
e aprendizagem com exercício de aprender a fazer e aprender a pensar. 
1.2. Problematização e Problema da Pesquisa 
O estudo e representação de funções trigonométricas usando os métodos tradicionais e alguns 
meios didácticos tais como: quadro, régua e giz, tem-se tornado uma tarefa complexa e muito 
difícil aos alunos da 11ª classe, apresentando enumeras dificuldades nesse processo, facto que 
leva-nos a adopção de outros meios para a melhor compreensão da mesma. 
Por outro lado, o processo de ensino-aprendizagem de funções trigonométricas, quer na sua 
representação gráfica, com os meios tradicionais, constitui uma tarefa difícil e cansativa para o 
professor da disciplina de matemática, uma vez que a mesma requer determinar algumas 
aproximações e limitações para a análise detalhada dos movimentos que as funções realizam 
em diferentes situações no SCO, constituindo dificuldades aos alunos e professor da disciplina 
de matemática. As funções trigonométricas são representadas por ondas oscilatórias tendendo 
ao infinito, em que o movimento dessas ondas oscilatórias, constituem elemento fundamental 
para a compreensão do seu comportamento característico. 
No entanto, para que o professor possibilite uma aprendizagem eficaz aos seus alunos com a 
temática em questão, é necessário que o mesmo tenha meios adequados e que estejam 
enquadrados no século em que a sociedade se encontra, tais como ferramentas tecnológicas 
educativas. Acreditamos que com as mesmas será possível sanar as dificuldades enfrentadas 
pelos alunos da 11ª classe no estudo e representação de funções trigonométricas, visto que 
actualmente a sociedade esta virada para as tecnologias de informação e comunicação, 
possibilitou-nos a adequação do uso da ferramenta Graphmatica, para minimizar as 
dificuldades que os alunos enfrentam e avaliar o contributo do mesmo no processo de ensino-
aprendizagem, na tentativa de sair do aspecto tradicional. 
Sendo assim, levanta-se a seguinte questão de pesquisa: 
14 
 
 Qual o contributo da ferramenta Graphmatica para o estudo e representação de 
Funções Trigonométricas? 
1.3. Objectivos da Pesquisa 
1.3.1. Objectivo Geral 
 Avaliar o contributo da ferramentaGraphmatica no estudo e representação das 
Funções Trigonométricas. 
1.3.2. Objectivos específicos 
 Usar o Graphmatica no estudo e representação das Funções Trigonométricas; 
 Determinar o nível de aprendizagem e compreensão dos alunos, sobre o estudo e 
representação gráfica de funções Trigonométricas com a Ferramenta Graphmatica; 
 Incentivar o uso da Ferramenta Graphmatica no ensino e aprendizagem de funções 
Trigonométricas. 
1.4. Hipóteses da Pesquisa 
A hipótese é uma proporção que pode ser aceite ou rejeitada das possíveis respostas que dizem 
respeito ao problema da pesquisa em alusão, constituem hipóteses da pesquisa as seguintes: 
 : A Ferramenta Graphmatica contribuirá significativamente no ensino e aprendizagem na 
representação gráfica e estudo de funções trigonométricas na 11ª classe; 
 : A Ferramenta Graphmatica não contribuirá significativamente no ensino e aprendizagem 
na representação gráfica e estudo de funções trigonométricas na 11ª classe. 
 
 
 
 
15 
 
CAPITULO II: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
Neste capítulo, apresentamos as fases construtivas da fundamentação teórica concernente ao 
tema da pesquisa. Portanto, primeiramente apresentamos os aspectos relevantes que dizem 
respeito a Ferramenta Didáctica. De seguida, abordamos as funções Trigonométricas e por fim 
apresentamos as funcionalidades e os passos necessários para representação gráfica de funções 
Trigonométricas na Ferramenta Graphmatica. 
No entanto, ilustra-se referencias a relevância e as vantagens que as ferramentas educacionais 
oferecem em salas de aulas. 
2. Ferramentas Didácticas ou Educativas 
O facto vem marcando significativamente os modos e as expectativas da sociedade, 
consequentemente, têm-se infiltrado no território educativo, objectivando o lançamento de 
diversos desafios. Em que um deles é a integração curricular das Tecnologias de Informação e 
Comunicação (TICs) em todos os níveis escolares ou seja educacional, de forma a 
proporcionar aos alunos varias experiências educativas inovadoras nesse domínio. 
Como afirma PILETT (2002: p. 69): 
“As ferramentas didácticas têm a capacidade de despertar e estimular os 
mecanismos sensórios, principalmente os audiovisuais, faz com que o aluno 
desenvolva sua criatividade tornando-se activamente participante de 
construções cognitivas”. 
Portanto, as ferramentas educativas podem proporcionar aos alunos um processo de ensino e 
aprendizagem de forma significativa, no caso da Ferramenta Graphmatica, muito prático, e 
com muita facilidade no seu manuseamento. 
Como afirma MIRANDA (2006: p. 25): 
“O uso do computador e da internet estimula e desafia seus usuários, que 
seduzidos pelos ambientes e possibilidades, constantemente renovados, 
disseminam seu uso e convivem com as consequências implícitas nessa 
16 
 
escolha. Certamente estamos falando de um ambiente estimulante, motivador, 
desafiador e dinâmico”. 
Entretanto, a disciplina de Matemática tem vencido muito em áreas computacionais, pois, 
existem várias ferramentas tecnológicas e educativas que possibilitam aos alunos em certos 
conteúdos Matemáticos. Em que pode se dar o caso de uso da ferramenta Graphmatica que 
ajudar na compreensão de estudo e representação gráfica de funções trigonométricas. Com 
isso, é dessa maneira que se cria um ambiente estimulante ou atractivo e motivador, tornando 
as aulas mais dinâmicas e significativas. 
2.1. Funções das Ferramentas Didácticas ou Educativas 
A educação ou seja MINED não alcaçarias os seus objectivos com tanta facilidade se não 
existissem ferramentas educativas, entretanto essas ferramentas, tem como função alcançar 
certos objectivos e aumentar o alcance das mensagens, ou seja, fazer com que o maior número 
de alunos possam desenvolver o seu psique assimilando os conhecimentos necessários, quanto 
maior for a diversidade de ferramentas ou recursos didácticos, melhor será o processo de 
ensino e aprendizagem, portanto, se os alunos não percebem uma certa temática com um 
método, então a aplicação do segundo método pode será eficaz para a percepção da mesma. 
Actualmente, é difícil caminhar sem o uso das novas tecnologias de informação e 
comunicação, (TICs), pois essas tecnologias fazem parte da comunidade escolar, com isso as 
tecnologias como ferramentas didácticas e pedagógicas são importantes na educação, e como 
forma de mudanças no processo de ensino e aprendizagem. 
Como afirma MOREIRA (2000: p. 36): 
“Na sociedade actual, as TIC’s exercem influência a vários níveis 
nomeadamente na configuração de valores, das atitudes, dos comportamentos 
sociais porque não são apenas novos meios de processar a informação, mas 
também podem promover novas formas de pensar e de trabalhar e implicam 
novos modelos e regras para viver num mundo em contínua transformação”. 
 
 
17 
 
2.3. Graphmatica 
É uma ferramenta matemática geradora de gráficos de funções de uma variável nas suas várias 
formas: cartesiana, polar, paramétrica, logarítmicas, trigonométrica, inadequação e implícitas. 
“A ferramenta Graphmatica foi criada pelo Engenheiro Keith Hertzer, Bacharel em 
Engenharia Eléctrica e Ciências de Comunicação em 1997, traduzido por Carlos Malaca, 
tradutor e representante do Graphmatica em Portugal”. CALLIL (2010: p. 37). 
Portanto, Hertzer procurava facilitar os complexos cálculos e os mais diferentes gráficos 
construídos a partir de longas e cansativas resoluções, tendo em vista a intenção de 
proporcionar a pilotagem gráfica de qualquer grau tais como exponenciais, logarítmicas 
hiperbólicas principalmente as trigonométricas, desenvolveu este simples, mais eficaz 
aplicativo para pilotar gráficos. 
Como afirma NÉRI (2007: P. 4): 
“O Graphmatica é um plotador de gráficos em 2D (Bidimensional), sua 
in6terface é simples e sua utilização não se aplica apen6s as funções rotineiras 
das escolas. Este aplicativo é versátil, podendo ser usado nas faculdades no 
ensino de Calculo Diferencial e in6tegral, sendo esta desenvolvida a partir da 
álgebra e da Geometria, sendo que uma de suas áreas de aplicação dedica ao 
estudo de caixas de variação de grandezas tais como a inclinação de uma 
recta e a acumulação de quantidades com a área de baixo de uma curva ou 
volume de um sólido”. 
Com ele é possível ainda, gerar campos de vectores no plano e fornecer a solução das 
correspondentes equações diferenciais e, além disso, permite calcular derivadas, integrais, 
máximos, mínimos e zeros de funções.Com a Ferramenta Graphmatica podem-se construir 
vários gráficos em uma só tela, salvar informações e equações, bem como redimensionar as 
escalas em cada eixo. Como ferramenta de Cálculo adicional, o Graphmatica pode incluir 
símbolos de diferenciação, traçar rectas tangentes „a uma curva e calcular uma integral 
definida. O Graphmatica memoriza as últimas 25 execuções feitas anteriormente. Pode salvar 
o seu trabalho para utilização numa sessão posterior ou para utilizar em qualquer editor de 
texto. Determinando, automaticamente, o tipo de gráfico a introduzir, considerando as 
variáveis usadas. Reconhece o domínio de uma equação, altera o número de pontos do 
18 
 
domínio, de modo dinâmico, enquanto desenha o gráfico para se ter a certeza de que gráficos 
de funções como sejam traçados correctamente, ajusta os eixos , quanto se 
altera a área ou o tamanho da janela do gráfico, para manter o aspecto proporcional do 
mesmo. 
A ferramenta aceita as regras matemáticas, não as do computador. Pode utilizar multiplicação 
implícita, uma completa biblioteca de funções matemáticas particularmente as funções 
trigonometrias, elas gozam das funcionalidades da ferramenta. Não precisa isolar variável, 
numa equação, antes de desenhar o gráfico. Se a variável dependente aparecer apenas uma vez 
na equação, o Graphmatica isolará sozinho. O Graphmatica apresenta seis (6) estilos de 
gráficos, tais como: cartesianos, polares, paramétricos, diferenciaise ODEs com 
aproximações de valores iniciais até a quarta ordem e sistemas lineares de quarta ordem, todos 
detectados automaticamente, além de lidar também com inadequações. 
 
Segundo CALLIL (2010, p. 57): 
“É um aplicativo que possibilita aplicações diversas em matemática. Em 
trigonometria possibilita trabalhar com ângulos em graus ou em radianos. 
Além de permitir a construção por parâmetros (rectas paralelas, por exemplo), 
e as inadequações são representadas muito facilmente”. 
Apesar de o Graphmatica ser muito útil e versátil em diversos níveis de ensino, o foco 
principal dessa pesquisa é sua utilização nas funções Trigonométricas. Foi escolhido também 
por ser um programa de fácil compreensão, não precisando que seus usuários sejam grandes 
conhecedores de programas e técnicas sofisticadas de computação. Uma simples explicação 
de utilização pelo professor, ou uma leitura de seu manual, é suficiente para que os estudantes 
entendam o seu funcionamento. 
2.3.1. Descrição da Ferramenta Graphmatica 
2.3.2. Interface de Ferramenta Graphmatica 
A interface padrão da ferramentaGraphmatica após a sua instalação em um computador, ao ser 
carregado, ilustra a seguinte tela: 
 
19 
 
Figura: 1 Interface do Graphmatica 
 . 
1. Menu: O Menu ilustra opções de configurações gerais da ferramenta Graphmatica; 
2. Barra de Ferramentas de Comando: A barra de ferramentas de comando, concentra 
todas as ferramentas úteis para o manuseamento com intuito de chegar a um 
determinado objectivo, ou seja, conclusão; 
3. Entrada: Área dubitável das funções ou seja área de comandos; 
4. Janela de Visualização: Área de visualização gráfica, onde podemos ver o resultado 
daquilo que queremos representar. 
 
2.3.3. Barra de Ferramentas 
A barra de ferramenta (no detalhe) possui além da função apresentada, outras funções que 
podem ser acessadas com ajuda do rato, esta barra pode sofrer alterações, pois, 
constantemente esta sendo actualizado com outras ferramentas que também podem ser criadas 
pelo usuário. 
 
1 
2 
3 
4 
20 
 
Figura 2: Barra de Ferramentas 
Fonte: Luciano 2010. 
As opções das ferramentas possuem descrições que facilitam o uso e auxiliam na fixação da 
definição matemática do comando. Desta forma o usuário ao mesmo tempo em que constrói a 
figura geométrica estuda as suas características ou propriedades. 
 
2.4. Contextualização das Funções Trigonométricas 
A temática em abordagem é o estudo e representação gráfica das funções trigonométricas, de 
forma mais específica das funções seno, cosseno, tangente e cotangente. Portanto, optamos em 
desenvolver as mesmas num ambiente computacional com a Ferramenta Graphmatica. 
 
 
 
21 
 
 
 
Como afirma COSTA (2006: p. 78): 
“As actividades envolvendo funções trigonométricas desenvolvidas no 
computador são eficientes principalmente quanto à retenção dos conceitos 
envolvidos e também porque por meio de programas gráficos os estudantes 
podem desenvolver actividades exploratórias e realizar descobertas por eles 
próprios”. 
 
No entanto, optamos em usar a ferramenta Graphmatica, por oferecer a possibilidade de uma 
melhor visualização, apresentando opção de escala trigonométrica, pontos traçados de uma 
determinada função, além de ser uma ferramenta livre, ou seja, de fácil acesso, procuramos 
observar as espectativas nus alunos com o Graphmatica no estudo das funções 
trigonométricas, pois a experimentação se torna algo fundamental, invertendo a ordem de 
exposição oral da teoria, permitindo uma nova ordem pratica. 
 
Como afirma SOUZA (2010. p. 25): 
“O estudo da trigonometria sofreu grande evolução no decorrer da história. 
Acredita-se que a trigonometria tenha surgido de necessidade da Astronomia. 
Contudo, sua aplicação a outros campos dos conhecimentos foi inevitável, 
desde a realização de cálculos de distância inacessíveis (trigonometria nos 
triângulos) até aplicações mais recentes, relacionadas ao estudo de fenómenos 
periódicos. Esses fenómenos possuem oscilações que se repetem 
sistematicamente e podem ser observados no estudo da Música, da Acústica e 
do mercado financeiro, por exemplo”. 
Com isso, pretendemos contribuir no processo de ensino e aprendizagem do aluno no ensino 
médio (11ª classe), utilizando ferramentas informáticas como recurso pedagógico, um 
instrumento de auxílio na matemática, buscando um melhoramento no desempenho escolar. 
 
22 
 
 
2.5. Representação gráfica de funções Trigonométricas no Graphmatica 
Nesta fase detalhamos os conteúdos de funções trigonométricas e também faz-se a 
representação gráfica das mesmas no Graphmatica. Ao manusear o Graphmatica, observa-se 
que neste, é possível visualizar todas as áreas para estudo geométrico e/ou algébricos, além de 
perceber os diversos conjuntos de comando que o compõe. Isso torna fácil para o aprendiz. 
2.5.1. Função Seno 
“Conceptualiza-se como sendo a função seno, uma aplicação, , que associa cada 
número real ao correspondente sendo , ou seja, ,” BAIA (2014, p: 16). 
2.5.2. Representação gráfica de função Seno 
Para representar graficamente o seno no Graphmatica, é necessários que ajam alguns 
procedimentos tais como: 
1. Abertura da ferramenta Graphmatica; 
2. Introdução da função no campo de Entrada; 
3. Vai ao Menu com ajuda do rato, clique em opções e clique novamente na primeira 
função das opções e escolhe a representação que tenha intervalos trigonométricos, de 
seguida com ajuda do rato clique “Ok”; 
4. Clica no Enter ou vai para barra de ferramentas com ajuda do rato e clicando na opção 
seis (6) que é Desenhar gráfico; 
5. E por fim apresentara o gráfico da função seno na janela de visualização. 
 
 
 
 
 
23 
 
2.5.3. Gráfico da Função seno no Graphmatica 
Figura 3: Gráfico da Função seno no Graphmatica 
 
Olhando para o gráfico acima conclui-se que possui o mesmo comportamento para todo 
 , ou seja, a função seno é periódica. Relacionando o seu esboço com o ciclo trigonométrico, 
partindo da origem dos eixos Verificamos que o comportamento do mesmo no 1º 
quadrante do ciclo trigonométrico ou seja, no intervalo de é crescente, contínuo e 
possui sinal positivo e os valores da variável compreendidos entre 
Visualizando no 2º quadrante ou seja, no intervalo de , podemos afirmar que é 
decrescente, contínuo e com um sinal positivo, em que os valores de estão entre . 
Indo para o 3º quadrante tal como mostra o gráfico ou seja, no intervalo de 
afirmamos que o mesmo é decrescente, contínuo, possuindo sinal negativo, e os valores de 
estão entre Por fim no 4º quadrante ela é crescente, contínuo, possuindo sinal 
negativo, e os valores de estão entre 
A função é contínua e periódica, subponto de vista do seu comportamento 
afirma-se que é crescente no primeiro e quarto quadrante do ciclo trigonométrico, e é 
decrescente no segundo e terceiro quadrantes. Possuindo sinal positivo no primeiro e segundo 
quadrantes, e sinal negativo no terceiro e quarto quadrante. 
24 
 
2.5.4. Função Co-seno 
“Define-se como função co-seno a função , que associa cada número real ao 
correspondente, sendo , ou seja, ,”SOUZA (2010, p. 27) citado por BAIA 
(2014, p. 16). 
2.5.5. Representação gráfica da função co-seno 
Para representar graficamente o co-seno no Graphmatica, é necessários que ajam alguns 
procedimentos tais como: 
1. Abertura da ferramenta Graphmatica; 
2. Introdução da função no campo de Entrada; 
3. Vai ao Menu com ajuda do rato, clique em opções e clique novamente na primeira 
função das opções e escolhe a representação que tenha intervalos trigonométricos, de 
seguida com ajuda do rato clique “Ok”; 
4. Clica no Enter ou vai para barra de ferramentas com ajuda do rato e clicando na opção 
seis (6) que é Desenhar gráfico; 
5. E porfim apresentara o gráfico da função co-seno na janela de visualização. 
2.5.6. Gráfico da Função co-seno no Graphmatica 
Figura 4: Gráfico da Função co-seno no Graphmatica 
 
25 
 
Podemos observar que o eixo de , é onde se encontra o domínio de existência da função 
 que corresponde a , a imagem no eixo de , que corresponde ao 
intervalo , e também pode se verificar a periodicidade da função donde ela faz uma 
volta completa da circunferência trigonométrica, no entanto, a função tem como período 
Os gráficos de seno e co-seno são idênticos. Portanto, apresentam mesmo domínio, imagem e 
período. Em que as diferenças estão relacionadas ao crescimento e ao sinal nos respectivos 
quadrantes do ciclo trigonométrico, ou seja, no primeiro quadrante as duas funções têm sinal 
positivo, no entanto é crescente e é decrescente. No segundo 
quadrante as duas funções são decrescentes, porém tem sinal positivo e 
 negativo. No terceiro quadrante as duas funções têm sinal negativo, porém 
 é decrescente e é crescente. No quarto quadrante as duas funções são 
crescentes, porém tem sinal negativo e positivo. Como ilustra a 
figura acima. 
 
2.5.7. Função tangente 
Como afirma BAIA (2014, p. 31), “seja { | 
 
 
 }, denominamos 
função tangente a função que associa a cada número real o número real , 
isto é, ”. 
2.5.8. Representação gráfica da função tangente 
Para representar graficamente o tangente no Graphmatica, é necessários que ajam alguns 
procedimentos tais como: 
1. Abertura da ferramenta Graphmatica; 
2. Introdução da função no campo de Entrada; 
3. Vai ao Menu com ajuda do rato, clique em opções e clique novamente na primeira 
função das opções e escolhe a representação que tenha intervalos trigonométricos, de 
seguida com ajuda do rato clique “Ok”; 
4. Clica no Enter ou vai para barra de ferramentas com ajuda do rato e clicando na opção 
seis (6) que é Desenhar gráfico; 
5. E por fim apresentara o gráfico da função tangente na janela de visualização. 
26 
 
2.5.9. Gráfico da Função tangente no Graphmatica 
Figura 5: Gráfico da Função tangente no Graphmatica 
 
Verifica-se, que no eixo do é onde se encontra o domínio, que corresponde a 
{ | 
 
 
 }, com a imagem localizada no eixo de , , e a função 
é periódica e tem como o seu período. 
Verificando o gráfico nos seus quadrantes do ciclo trigonométrico chega-se a concluir que 
 assume sinal positivo no 1ª e 3ª quadrante e assume negativo n6o 2º e 4º quadrante 
anulando-se para , com e também crescente. 
2.6. Função co-tangente 
De acordo com BAIA (2014, p. 31), “seja { | 
 
 
 }, denominamos 
função tangente a função que associa a cada numero real o numero real 
 , isto é, ”. 
2.6.1. Representação gráfica da função tangente 
Para representar graficamente o tangente no Graphmatica, é necessários que ajam alguns 
procedimentos tais como: 
27 
 
1. Abertura da ferramenta Graphmatica; 
2. Introdução da função no campo de Entrada; 
3. Vai ao Menu com ajuda do rato, clique em opções e clique novamente na primeira 
função das opções e escolhe a representação que tenha intervalos trigonométricos, de 
seguida com ajuda do rato clique “Ok”; 
4. Clica no Enter ou vai para barra de ferramentas com ajuda do rato e clicando na opção 
seis (6) que é Desenhar gráfico; 
5. E por fim apresentara o gráfico da função co-tangente na janela de visualização. 
2.6.2. Gráfico da Função co-tangente no Graphmatica 
Figura 6: Gráfico da Função co-tangente no Graphmatica 
. 
Olhando para o esboço acima, nota-se que o domínio dessa função, encontra-se no eixo do , 
que corresponde a { | 
 
 
 }, a imagem se localiza no eixo , 
 , e que a função é periódica e tem período , assumindo sinal positivo no 1º e 2º 
quadrante e sinal negativo no 2º e 4º quadrante, anulando-se para , com e 
sempre crescente. 
 
28 
 
2.6.3. Representação gráfica das funções Seno e Co-seno no mesmo plano 
2.6.4. Gráfico da Função Seno e Co-seno no mesmo plano no Graphmatica. 
Figura 7: Gráfico da Função Seno e Co-seno no mesmo plano no Graphmatica 
 
Os gráficos de seno e co-seno são idênticos ou seja diferentes. Como podemos observar, 
ambos apresentam mesmo domínio, imagem e o mesmo período. Onde as diferenças estão 
relacionadas ao crescimento e ao sinal nos respectivos quadrantes do ciclo trigonométrico, ou 
seja, no primeiro quadrante ambas funções têm sinal positivo, o que faz nos perceber que 
 é crescente e é decrescente. No segundo quadrante ambas são 
decrescentes, porém tem sinal positivo e negativo. No terceiro 
quadrante ambas têm o sinal negativo, porém é decrescente e é 
crescente. No quarto quadrante as duas funções são crescentes, porém tem sinal 
negativo e positivo. 
2.6.5. Representação gráfica das funções tangente e co-tangente no mesmo plano 
2.6.6. Gráfico da Função tangente e co-tangente no mesmo plano no Graphmatica. 
Figura 8: Gráfico da Função tangente e co-tangente no mesmo plano no Graphmatica 
29 
 
 
Olhando para o esboço acima, nota-se que domínio dessas funções são iguais, e encontra-se 
no eixo do , que corresponde a { | 
 
 
 }, com a mesma imagem 
localizada no eixo , , e que as funções são periódicas e tem com período , 
assumindo sinal positivo no 1º e 2º quadrante e sinal negativo no 2º e 4º quadrante, anulando-
se para , com e sempre crescente. 
2.6.7. Representação gráfica da função Seno do tipo 𝐲=𝐀𝐬𝐢𝐧(𝐚𝐱+ 𝐛) +𝐁 
Para representar graficamente o tangente no Graphmatica, é necessários que ajam alguns 
procedimentos tais como: 
1. Abertura da ferramenta Graphmatica; 
2. Introdução da função no campo de Entrada; 
3. Vai ao Menu com ajuda do rato, clique em opções e clique novamente na primeira 
função das opções e escolhe a representação que tenha intervalos trigonométricos, de 
seguida com ajuda do rato clique “Ok”; 
4. Clica no Enter ou vai para barra de ferramentas com ajuda do rato e clicando na opção 
seis (6) que é Desenhar gráfico; 
5. E por fim apresentara o gráfico da função co-tangente na janela de visualização 
 
30 
 
2.6.8. Gráfico da Função Seno do tipo 𝒚=𝑨𝒔𝒊𝒏(𝒂𝒙+ 𝒃) +𝑩 no Graphmatica. 
𝒚= 𝒔 𝒏( 𝒙+ ) 
Figura 9: gráfico da função 𝒚 𝒔 𝒏 𝒙 
 
2.6.9. Representação gráfica da função co-seno do tipo 𝐲=𝐀𝐜𝐨𝐬(𝐚𝐱+ 𝐛) +𝐁 
Para representar graficamente o tangente no Graphmatica, é necessários que ajam alguns 
procedimentos tais como: 
1. Abertura da ferramenta Graphmatica; 
2. Introdução da função no campo de Entrada; 
3. Vai ao Menu com ajuda do rato, clique em opções e clique novamente na primeira 
função das opções e escolhe a representação que tenha intervalos trigonométricos, de 
seguida com ajuda do rato clique “Ok”; 
4. Clica no Enter ou vai para barra de ferramentas com ajuda do rato e clicando na opção 
seis (6) que é Desenhar gráfico; 
5. E por fim apresentara o gráfico da função na janela de visualização 
31 
 
2.7. Gráfico da Função Cosseno do tipo 𝒚=𝑨𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒙+ 𝒃) +𝑩 no Graphmatica. 
𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝒙 
Figura 10: gráfico da função 𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝒙 
 
 
32 
 
CAPITULO III: METODOLOGIA DA PESQUISA 
Como afirma MARCONI e LAKATOS (2010, p. 65): 
“Metodologia é conjunto de actividades sistemáticas e racionais que, com 
maior segurança e economia, permite alcançar o objectivo – conhecimentos 
válidos e verdadeiros, traçando o caminho a ser seguido”. 
Assim, parafraseando as ideias dos autores acima, constituem metodologias o conjunto de 
métodos e técnicas a serem usadas numa pesquisa, que poderão permitir atingir os objectivospropostos previamente definidos. 
3. Métodos da pesquisa 
Como afirma NERCI (1978:15) citado por MARCONI & LAKATOS (2000:45): 
 “Método é o conjunto coerente de procedimentos racionais ou pratico-
racionais que orienta o pensamento para serem alcançados conhecimentos 
validos”. 
Dando ênfase a ideia do autor, afirma-se que método é um conjunto de procedimentos lógicos 
para o alcance de um determinado objectivo. 
Por tanto, no que concerne ao método científico, usou-se, o método indutivo, em que o mesmo 
consistiu em uma indução na qual, partiremos de algumas observações de casos particulares 
tais como: observação de aulas e das condições específicas de trabalho e posteriormente 
tiramos as conclusões num contexto mais generalizado. 
3.1. Tipos de Pesquisa 
Para a satisfação dos objectivos patentes nessa pesquisa, torna-se indispensável a ilustração do 
tipo de pesquisa, tendo em conta os procedimentos usados na mesma, portanto, a pesquisa 
classifica-se segundo aos objectivos, quanto a natureza, quanto a abordagem do problema e 
quanto aos procedimentos. 
 
 
33 
 
3.1.1. Quanto aos Objectivos 
Quanto aos objectivos, a pesquisa é descritiva, que consistiu em estudar, registar, analisar e 
interpretar o problema em causa. Portanto, a pesquisa teve como finalidade identificar 
características e variáveis relacionadas ao fenómeno em estudo, buscando estabelecer as 
relações entre os factores, e fornecer dados para a verificação das hipóteses e isso envolveu o 
uso de técnicas padronizadas de colecta de dados. 
 
3.1.2. Quanto a natureza 
Quanto a natureza, ela é aplicada pelo facto de esta gerar conhecimentos para a aplicação 
pratica, dirigidos a soluções de problemas específicos. 
 
3.1.3. Quanto a abordagem 
Quanto a abordagem a pesquisa é quantitativa, porque caracterizou-se pelo emprego de 
instrumentos estatísticos, tanto na colecta de dados como no tratamento dos mesmos. Portanto, 
a pesquisa teve como finalidade medir relações entre as variáveis em estudo, onde partiremos 
de um plano preestabelecido com as hipóteses, variáveis claramente definidas pretendendo 
medir e quantificar os resultados da pesquisa, transformando-os em dados estatísticos com as 
designações estatísticas. 
 
3.1.4. Quanto aos procedimentos técnicos 
Quanto aos procedimentos, a pesquisa é do tipo experimental. Porque a mesma determinou o 
objecto de estudo, seleccionando as variáveis de estudo. Então, consistiu em ilustrações da 
pesquisa empírica cujo objectivo principal foi testar as hipóteses que dizem respeito as 
relações do tipo da causa/efeito. 
A pesquisa contou com dois grupos: de Controlo e experimental e Também foi feita uma 
selecção da amostra pela observação. Com técnica probabilísticas e manipulação das variáveis 
independentes com a finalidade de controlar os grupos da amostra. 
 
 
 
 
34 
 
3.2. Universo Populacional Amostra 
3.2.1. Universo Populacional 
Como afirma BARROS &LEHFEL (1990, p.38) 
“ Universo ou população da pesquisa significa o conjunto da totalidade de 
elementos que possuem determinadas características, definidas para um 
estudo”. 
Portanto, constituiu Universo Populacional da pesquisa, 689 os alunos que frequentam a 11ª 
classe na e um (1) professor que lecciona a disciplina de matemática na Escola Secundaria 
Paulo Samuel Kamkhomba da cidade de Lichinga. 
3.2.2. Amostra da pesquisa 
Essa pesquisa teve como amostra, 51 (cinquenta e um) indivíduos sendo 50 (cinquenta) alunos 
que frequentam a 11ª classes na Escola Secundária Paulo Samuel Kamkhomba de secção de 
ciências de curso Diurno, e 1 (um) professor da disciplina de matemática, onde constituiu em 
dividir os 50 (cinquenta) alunos em dois grupos em que 25 (vinte e cinco) alunos fizeram 
parte do grupo experimental e os outros 25 (vinte e cinco) de grupo controlo. 
A amostra surgiu da escolha de uma turma na qual fizeram parte da pesquisa os alunos 
pertencentes as turmas M. de seguida foi feita uma rifa que envolveu a todos os alunos 
daquela turma realizada, por meio de papelinhos enumerados de 1 (um) a 65 (sessenta e cinco) 
com 25 (vinte e cinco) papelinhos em branco. Optou-se por essa forma devido a elevado 
número de alunos da mesma, formando assim a nossa amostra. 
 
3.3. Técnicas e Instrumentos de Colecta de Dados 
Para a colecta de dados da pesquisa, usamos as seguintes técnicas: 
3.3.1. Observação 
Este instrumento foi utilizado na colecta de dados com os alunos, mediante as aulas que foram 
dadas durante esse período referente ao conteúdo em destaque. Permitindo observar os 
conhecimentos e experiências dos mesmos diante o uso das TIC‟S e a diferença dos dois 
grupos. 
 
35 
 
3.3.2. Pré-teste 
O pré-teste foi aplicado no segundo dia de contacto, visto que no primeiro dia, fizemos 
assistência de aulas sobre funções trigonométricas leccionadas pelo professor, Pretendendo-se 
com o pré-teste, fazer um levantamento dos conhecimentos prévios que os alunos possuem em 
relação ao estudo e representação de funções trigonométricas e do outro lado, quantificar o 
nível de conhecimento e aprendizagem dos mesmos. Foram submetidos ao pré-teste (vede 
apêndice I) 50 alunos seleccionados na turma M para fazer-se a selecção dos grupos. 
 
3.3.3. Planificação e Execução das Aulas 
A execução de aulas é um processo que foi feito depois da realização do pré-teste. Consistindo 
em ilustração e uso das funcionalidades e aplicabilidades da ferramenta Graphmatica no 
estudo e representação de funções trigonométricas aos alunos, com o intuito de obter mais 
subsídios em volta do problema em alusão, por meio de observação e acompanhamento do 
processo de aprendizagem dos mesmos, assim sendo, as aulas foram ministradas envolvendo a 
duas metodologias: ferramenta Graphmatica ao grupo experimental e a metodologia 
recomendada no programa de ensino ao grupo de controlo. 
 
3.3.4. Pós Teste 
Após a leccionação de aulas com os dois grupos, (grupo experimental e de controlo), os 
alunos foram submetidos a um pós-teste, que permitiu verificar o nível de assimilação dos 
conteúdos com a ferramenta Graphmatica no estudo e representação gráfica de funções 
trigonométricas aos alunos. 
 
3.3.5. Questionário 
De acordo com o tempo previsto para a realização da pesquisa, o questionário permitiu de 
uma forma rápida e fácil, obter informações sobre o tema em destaque. Este instrumento foi 
aplicado ao grupo experimental (vede em apêndice III). Em que permitiu colher sentimentos 
sobre a aquisição e assimilação com a ferramenta Graphimatica no ensino de funções 
trigonométricas. Em suma, o questionário aplicado aos alunos serviu para dar peso aos 
resultados obtidos a partir do grupo experimental, e fazer a comparação das duas 
metodologias, com vista a analisar os possíveis benefícios do Graphimatica. 
36 
 
3.4. Técnicas de Analise de Dados 
Para análise de dados desta pesquisa, usamos o pacote estatístico SPSS, onde foram 
apresentadas tabelas conforme a natureza das informações, usando o teste “t” de amostras 
independentes, com objectivo de comparar as médias dos grupos amostras e Pacote Excel 
2010, onde efectuamos uma análise em tabelas e gráficos de acordo com a natureza da 
informação e da análise pretendida. 
3.5. Descrição do estudo 
A pesquisa foi realizada na Província de Niassa cidade de Lichinga na Escola Secundária 
Paulo Samuel Kamkhomba, no terceiro trimestre, no mês de Outubro do corrente ano (2019), 
com alunos do ensino médio (11ª classe) de secção de ciência, curso Diurno, período de 
manha, visto que as a Funções trigonométricas constituem a ultima unidade do programa de 
ensino, aborda-se nesse intervalo de tempo. O estudo foi realizado em duas semanas, em que a 
primeira semana foi de apresentação à direcção da instituição Escolar, onde foi também 
necessário uma apresentação aos professores de TIC‟s e da disciplina de Matemática que 
leccionam a 11ª classe, para que me facilitassem narecolha de dados, e as respectiva turma 
onde tivemos que fazer a selecção da amostra, na qual fizemos uma amostra mista envolvendo 
ambos sexos, em que foram submetidos a um pré˗teste com objectivo de fazer um 
levantamento dos conhecimentos prévios dos mesmos, relativos aos conceitos de funções 
Trigonométricas, no seu estudo e representação gráfica e também foram ministradas algumas 
aulas básicas relativo ao computador, facilitando o aluno no manuseamento da Ferramenta 
Graphmatica no estudo e representação de funções Trigonométricas. Na segunda semana, foi 
submetido aos alunos um pós˗teste, de seguida, fez-se uma comparação do nível de aquisição 
e assimilação dos conteúdos referentes ao estudo e representação de funções Trigonométricas, 
com e sem a Ferramenta Graphmatica, e por fim fez-se apresentação, análise e interpretação 
dos resultados. 
 
37 
 
CAPITULO IV: 
ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS 
Neste capítulo, são apresentadas as análises e interpretação dos resultados obtidos no estudo 
em alusão, baseando-se em questões de pré–teste, pós-teste e questionário dirigido aos alunos 
e professores, onde através de tabelas de frequências foram analisados os resultados com base 
nas condições: Certas e Erradas, e as questões do questionário, que serviram como sustento do 
estudo colhendo as opiniões dos alunos relativamente ao processo de ensino e aprendizagem 
com a ferramenta Graphmatica. 
 
4. Análises comparativas dos resultados obtidos a partir do pré-teste e pós-teste 
4.1. Apresentação, Análise e interpretação do Pré-teste 
O teste diagnóstico ou pré-teste conteve 4 questões, (vide apêndice I) serviu para saber, o 
nível inicial de conhecimentos que os alunos possuíam concernente a estudo e representação 
de Funções trigonométricas. Após a realização do pre-teste, obteve-se os seguintes resultados, 
conforme ilustra a tabela abaixo. 
Tabela 1: Resultados obtidos no pré-teste 
Número de 
questões 
Grupo Experimental Grupo de Controlo 
Erradas Certas Erradas Certas 
Fi fr (%) Fi fr(%) Fi fr (%) Fi fr(%) 
1 13 52 12 48 16 64 9 36 
2 16 64 9 36 3 12 22 88 
3 5 20 20 80 24 96 1 4 
3.1 0 0 25 100 17 68 8 32 
3.2 7 28 18 72 23 92 2 8 
4 22 88 3 12 0 0 25 100 
 
Observando os resultados inseridos na tabela 1 acima, constata-se que nos números 3, 3.1 e 
3.2, os alunos do grupo experimental tiveram muitas respostas certas comparativamente aos 
alunos do grupo de controlo. Nos números 1, 2 e 4, os alunos do grupo de controlo tiveram 
38 
 
muitas respostas certas comparativamente aos alunos do grupo experimental verificando uma 
subida significativa. 
No entanto, através dos dados inseridos na tabela acima, foram extraídas as estatísticas 
descritivas, como podemos observar na tabela abaixo de estatísticas do grupo de pré – teste. 
 
Tabela 2: Estatísticas do grupo do pré-teste 
Estatísticas de grupo 
Grupos em Estudo 
N Média Desvio padrão Erro padrão da 
média 
Pré-teste 
Grupo Experimental 
25 5,00 2,336 , 467 
Grupo de Controlo 
25 10,04 3,279 , 656 
 
A tabela 2, (Estatísticas do grupo do pré-teste), ilustra o número total dos alunos, média, 
desvio padrão, erro padrão de cada grupo tanto experimental quanto de controlo, revelando 
que somente um dos dois grupos, o grupo de controlo consegui obter uma media aceitável 
concernente as aulas, usando o meio normal de ensino, isto é, estatisticamente a media de 
grupo experimental concernente a pre-teste é de 5,00 valores e de grupo de controlo é de 
10,04 valores. 
Ainda prosseguindo com os resultados de desvio padrão, em que revelam-nos que as notas do 
grupo de controlo estão mais dispersas comparativamente as do grupo experimental. O que 
nos levou a crer que existem dificuldades, assim sendo, houve necessidade e pertinência em 
adoptar o primeiro grupo como experimental para o estudo. Com isso, achamos melhor 
trabalhar com o grupo experimental que teve um aproveitamento muito baixo em relação ao 
grupo de controlo, usando a ferramenta Graphimatica, pretendendo-se perceber se a mesma 
contribui significativamente no estudo e representação de funções trigonométricas. 
Portanto, com os resultados obtidos no pré-teste, pode-se afirmar que a diferença entre as 
médias não é estatisticamente significativa, para o nível de confiança de 95%, conforme a 
ilustração da tabela a seguir de amostra independente do pré-teste. 
 
 
39 
 
Tabela 3: Teste de amostras independentes do pré – teste 
 
Teste de amostras independentes 
 Teste de Levene 
para Igualdade de 
Variações 
 
Teste “t” para Igualdade de Médias 
F Sig. T Df Sig. (2 
Extre
midad
es) 
Diferen
ça de 
média 
Erro 
padrão 
de 
diferenç
a 
95% Intervalo de 
confiança da 
diferença 
Inferior Superior 
Pré_teste 
Variações iguais 
assumidas 8,514 ,005 -6,260 48 ,000 -5,040 ,805 -6,659 -3,421 
Variações iguais 
não assumidas 
 
-6,260 43,373 ,000 -5,040 ,805 -6,663 -3,417 
 
A tabela 3, (Teste de amostras independentes) ilustra os dados obtidos no pré-teste, 
analisando atentamente os mesmos, pode-se dizer que a partir de valor de “t” = -6,260, com 48 
graus de liberdade e com uma significância associada ao valor da probabilidade (p= 0,000) ou 
(sig 2 extremidades). Pelo simples facto de sig (2-extremidade) ser inferior em relação ao 
ponto de corte de (0,05), conclui-se que os alunos de ambos os grupos em estudo não tinham o 
mesmo nível de conhecimentos, pelo que, os mesmos apresentam uma diferença de médias. 
 
4.1.1. Aproveitamento pedagógico percentual do pré – teste 
Após a análise dos resultados obtidos no pré-teste, fez-se também o gráfico de aproveitamento 
pedagógico percentual do mesmo, envolvendo ambos os grupos, experimental assim como de 
controlo, apresentando a percentagem das positivas e negativas respectivamente, como ilustra 
o gráfico abaixo. 
 
40 
 
Gráfico 1: Aproveitamento pedagógico percentual do pré – teste 
 
Observando o gráfico acima, pode-se afirmar que os dados estatísticos nesta amostra 
independente, revelam que os alunos dos dois grupos experimental e de controlo tiveram 
diferentes níveis de conhecimento, em que houve um fraco aproveitamento pedagógico no 
grupo experimental, motivo pelo qual escolheu-se o mesmo, para a planificação de aulas com 
o auxílio da ferramenta Graphimatica, com objectivo de ultrapassar as dificuldades dos alunos 
no estudo e representação de funções trigonométricas. 
4.2. Apresentação, Análise e Interpretação do Pós – teste 
O pós-teste conteve 4 questões, (vede apêndice II), em que o mesmo foi submetido ao grupo 
experimental a fim de verificar a eficácia da ferramenta Graphimatica no estudo e 
representação de funções trigonométricas, permitindo também a comparação do nível de 
aquisição e assimilação dos conteúdos em destaque, com e sem o auxílio da ferramenta 
Graphimatica, tendo se obtido os resultados ilustrados abaixo (tabela 4). 
 
 
 
Grupo de controlo Grupo experimental
70% 
40% 
30% 
60% 
Aproveitamento Pedagógico Percentual de Pré - teste 
Positivas
Negativas
41 
 
Tabela 4: Resultados obtidos no Pós – teste 
Número de 
questões 
Grupo Experimental Grupo de Controlo 
Erradas Certas Erradas Certas 
Fi fr (%) Fi fr(%) Fi fr (%) Fi fr(%) 
1 13 52 12 48 9 36 16 64 
2 16 64 9 36 3 12 22 88 
3 5 20 20 80 24 96 1 4 
3.1 0 0 25 100 8 32 17 68 
3.2 7 28 18 72 2 8 23 92 
4 6 24 19 76 11 44 14 56 
 
De acordo com os resultados apresentados na tabela 4, (Resultados obtidos no Pós – teste), 
verifica-se que nas questões de número 3, 3.1, 3.2 e 4, os alunos do grupo experimental 
tiveram muitas respostas certas comparativamente aos alunos do grupo de controlo, 
verificando uma subida muito significativa em relação as respostas certas. E também através 
dos dados inseridos na tabela acima, foram extraídas as estatísticas descritivas, como podemos 
verificar na tabela abaixo de estatísticas de grupo de pós – teste. 
Tabela 5: Estatística de grupo doPós – teste 
 
A tabela 5, (Estatística de grupo do Pós – teste), ilustra o número total de alunos, média, 
desvio padrão e erro padrão da media para cada grupo, a tabela revela-nos, que os dois grupos 
(experimental e de controlo) conseguiram obter uma média aceitável, isto é, superior ou igual 
Estatísticas de grupo 
Grupos em Estudo 
N Média Desvio padrão Erro padrão 
da média 
Pós_teste 
Grupo Experimental 
 
25 14,76 2,076 ,415 
Grupo de Controlo 25 11,68 1,690 ,338 
42 
 
a dez valores, onde o grupos experimental teve uma media de 14,76 valores e de controlo, teve 
uma média 11,68 valores. Mediante a aplicação de teste de significância (teste de hipótese), 
para igualdade de médias dos dois grupos amostrais independentes, com o efeito do uso da 
variável t-student são formadas as seguintes hipóteses: 
 As médias das notas dos dois grupos amostrais são iguais; 
 : As médias das notas dos dois grupos amostrais não são iguais. 
Com a verificação da diferença de médias em ambos grupos amostrais, afirmamos que a do 
grupo experimental, é estatisticamente significativa no intervalo de confiança de 95%, como 
ilustra a abaixo (tabela 6). 
Tabela 6: Teste de amostras independentes do pós – teste 
Teste de amostras independentes 
 Teste de 
Levene para 
igualdade de 
variações 
 
 
Teste “t” para Igualdade de Médias 
F Sig. t Df Sig. (2 
extrem
idades) 
Diferenç
a média 
Erro 
padrã 
de 
diferen
ça 
95% Intervalo de 
confiança da 
diferença 
Inferior Superior 
Pós_teste 
Variações 
iguais 
assumidas 
2,044 ,159 5,753 48 ,000 3,080 ,535 2,003 4,157 
Variações 
iguais não 
assumidas 
 
5,753 46,104 ,000 3,080 ,535 2,002 4,158 
 
43 
 
Observando a tabela 6, (Teste de amostras independentes do pós – teste),afirma-se que pelo 
valor obtido no teste de Levene, rejeitamos a hipótese nula que dizia “as variâncias dos dois 
grupos são iguais” pelo simples facto de Sig ou (p = 0.000) ser menor comparativamente ao 
nível de significância de (0,05), associado ao df= 46,104 e o que também 
se encontra na região de rejeição do intervalo de confiança, conforme os dados apresentados 
na tabela acima. 
Portanto, rejeitamos a hipótese nula que diz “as médias das notas dos dois grupos amostrais 
são iguais”, pelo simples facto de haver uma melhoria estatisticamente significativa, ao nível 
de conhecimento dos alunos do grupo experimental com a ferramenta Graphimatica. 
 
4.2.1. Aproveitamento pedagógico percentual dos pós - teste 
Mediante a comparação das médias usando teste-“t” de amostras independentes, verificamos 
que a metodologia aplicada no grupo experimental e pelos resultados obtidos no pós-teste, 
houve grandes melhorias por parte dos alunos, visto que, os mesmos mostraram interesse em 
aprender com a ferramenta didáctica, tendo obtido um aproveitamento pedagógico percentual 
de 90% para o grupo experimental e 75% para o grupo de controlo. Com forme mostra o 
gráfico abaixo. 
Gráfico 2: Aproveitamento pedagógico percentual do pós – teste 
 
Grupo de controlo Grupo experimental
75% 
90% 
25% 
10% 
Aproveitamento pedagógico percentual do pós – teste 
Positivas
Negativas
44 
 
De acordo com o gráfico acima (Aproveitamento pedagógico percentual do pós – teste), 
leva-nos a uma comparação das médias do grupo experimental obtidas no pré-teste (5,00) e as 
médias obtidas no pós-teste (14,76), é correto afirmar que os alunos do grupo experimental 
tiveram grande melhoria em termo de aprendizagem significativa pela subida de média no 
pós-teste em relação ao grupo de controlo. 
4.3. Apresentação dos resultados obtidos no questionário dirigido ao grupo experimental 
O questionário foi aplicado aos alunos do grupo experimental, com intuito de colher os 
sentimentos sobre a aquisição e assimilação de conteúdos de funções trigonométricas no seu 
estudo e representação com a ferramenta Graphimatica, e saber dos mesmos, qual é a melhor 
técnica de transmissão de conteúdos inerentes às funções em alusão. 
 
Primeira questão: O que acha do uso da ferramenta Graphimatica no estudo e representação 
de funções trigonométricas por te estudado? 
 
Tabela 7: Resultados da primeira questão 
Possíveis respostas 
Resultados 
Fi fr (%) 
Fácil 24 96 
Razoável 1 4 
Difícil 0 0 
Total 25 100 
 
A tabela 7, (Resultados da primeira questão) ilustra respostas da primeira questão do 
questionário, contendo 3 (três) opções, fácil, razoável e difícil objectivando colher a 
sensibilidade dos alunos concernente aos conteúdos transmitidos com a ferramenta 
Graphimatica no estudo e representação de funções trigonométricas, onde dos 25 (vinte e 
cinco) alunos questionados, 24 alunos afirmaram ser “fácil” que corresponde a 96%, 1 aluno 
afirmaram ser “razoável” que corresponde a 4% a ferramenta Graphimatica no estudo e 
representação de funções trigonométricas o que implica dizer que dos 25 alunos do grupo, 
nenhum deles afirmou que a ferramenta Graphimatica fosse “difícil”. 
45 
 
Segunda questão: Que forma optaria, para melhor aprendizado no estudo e representação de 
funções trigonométricas? 
Tabela 8: Resultados da segunda questão 
Possíveis respostas 
Resultados 
Fi fr (%) 
Ferramenta Graphimatica 23 92 
Quadro-Giz-Régua e cálculos aproximados 2 8 
Total 25 100 
 
A tabela 8, (Resultados da segunda questão) apresenta respostas da segunda questão em que 
por sua vez a mesma estava estruturada em ou seja continha duas opções tais como ferramenta 
Graphimatica e Quadro-Giz-Régua e cálculos aproximados, sendo assim, 23 alunos tiveram 
como resposta “ferramenta graphimatica” que corresponde a 92% e 2 alunos tiveram como 
resposta “Quadro-Giz-Régua e cálculos aproximados” que corresponde a 8%. 
Terceira questão: qual é o motivo da escolha da ferramenta graphimatica como sendo a mais 
eficiente no estudo e representação de funções trigonométricas? 
A terceira questão, foi to tipo aberta, assim sendo os alunos deverias responder argumentando, 
ou justificando a mesma, 
Portanto, dos 25 (vinte e cinco) alunos, todos afirmaram que escolheram o graphimatica por 
ser uma ferramenta de ajuda com os cálculos na representação de funções trigonométricas e 
também por ser uma ferramenta flexível na obtenção de certos resultados esperados, em que 
para além de facilitar o estudo de funções tem muitas vantagens no processo de ensino e 
aprendizagem. 
Quarta questão: É fácil usar o Graphimatica no estudo e representação de funções 
trigonométricas? Justifique a sua resposta. 
 
 
46 
 
Tabela 9: Resultados da quarta questão 
Possíveis respostas 
Resultados 
Fi fr (%) 
Sim 17 68 
Um pouco 5 20 
Não 3 12 
Total 25 100 
 
A tabela (Resultados da quarta questão), foi do tipo fechada e aberta que conteve 3 (três) 
opções, no qual dos 25 alunos questionados, 17 alunos afirmaram que “sim”, correspondentes 
a 68%, 5 dos questionados afirmaram “um pouco”, correspondendo a 20% e 3 alunos 
afirmaram que “ Não” que corresponde a 12%, o que implica que eles acharam ser difícil o 
uso de o Graphimatica no estudo e representação de funções trigonométricas. 
Justificativas: os 17 alunos que afirmaram que “sim”, correspondentes a 68% e também os 5 
que afirmaram ser “um pouco”, correspondendo a 20%, justificam dizendo que é muito fácil o 
uso do Graphimatica no estudo e representação de funções trigonométricas, em quanto que os 
3 alunos que afirmaram que “ Não” correspondendo a 12%, dizem o seguinte: 
Torna-se difícil utilizar o Graphimatica, por falta de domínio do computador e a falta de 
habilidades de informática ou TICs, influenciando no uso do da ferramenta Graphimatica. 
 
47 
 
CAPÍTULO V 
CONCLUSÃO, RECOMENDAÇÕES E LIMITAÇÕES 
5. Conclusão 
O desenvolvimento desta pesquisa, levou-nos a uma reflexão sobre a necessidade de inclusão 
de uma metodologia mais dinâmica e interactiva em aulas da disciplina de matemática, uma 
aprendizagem como actividade contínua.A Matemática constitui uma área de actuação muito ampla, o que dificulta a percepção da 
mesma em diversos sentidos. Ao ser incorporada ao currículo escolar, a prior ela já fazia parte 
da vida das pessoa em particular, com isso, cabe ao professor transmitir ou fazer perceber aos 
alunos o quanto a mesma é importante em nosso meio, trazendo inovações de modo a ter aulas 
mais dinâmicas, com intuito de fazer perceber as conexões dessa disciplina com a sua 
realidade. 
Com isso, a transição dos conteúdos da Matemática com face as tecnologias, pode contribuir 
com grande significância no processo de ensino e aprendizagem com os conteúdos 
curriculares. A aplicação de software apropriado para o ensino e aprendizagem de alguns 
conteúdos, pode trazer enormes contribuições no processo de transmissão de conteúdos da 
Matemática. 
Olhando para o objectivo geral da pesquisa, e pelos resultados obtidos na mesma, chega-se as 
seguintes conclusões: 
 A ferramenta Graphimatica trouxe resultados satisfatórios com percentagens elevadas, 
comparativamente ao método preconizado no programa de ensino, permitindo criar um 
ambiente mais dinâmico e interventivo em salas de aulas por parte dos alunos; 
 Baseando-se nos resultados obtidos a partir dos testes e questionário, notou-se que os 
alunos apresentavam dificuldades quando faziam estudos e representação de funções 
trigonométricas, Isto deveu-se a falta de uma metodologia adequada para estes 
conteúdos. Assim verifica-se que os alunos não percebem perfeitamente os mesmos 
com o método preconizado no programa curricular, razão pela qual cria desmotivação 
e falta de colaboração no seio dos alunos. 
48 
 
Com base nos resultados apresentados e objectivos alcançados, permite-nos concluir que a 
ferramenta Graphimatica contribui significativamente para o estudo e representação de 
funções trigonométricas. 
5.1. Recomendações 
Aos professores da disciplina de matemática: 
 Actualmente o mundo esta voltado para as tecnologias de e informação e comunicação 
TICs, optem em usar as ferramentas educativas elas contribuem significativamente 
para o ensino e aprendizagem dos conteúdos da disciplina da matemática, não se 
limitem em usar apenas a metodologia que o programa de ensino recomenda, pois as 
mesmas podem levar-vos aos resultados insatisfatórios; 
 Apostem mais em diversos softwares educativos matemáticos como o Graphimatica, 
pois, esta ferramenta ajuda a melhorar o processo de ensino e aprendizagem, 
facilitando o trabalho do professor, criando gosto e vontade de aprender a matemática, 
por parte dos alunos. 
5.2. Limitações 
Durante a pesquisa, constituíram limitações as seguintes: 
 Falta de sala de informática maior, que pudesse acomodar a amostra experimental de 
uma única vez, o que não foi possível, devido a insuficiência de espaço, tivemos que 
fazer uma partição da amostra em 2 grupos para que todos pudessem ter aulas com a 
ferramenta; 
 A falta do projector, influenciou na leccionação de aulas, fazendo com que o professor 
andasse em cada carteira; 
 Falta de computadores suficientes para o número de alunos da nossa amostra. 
 Falta de domínio do computador por parte dos alunos. 
 
 
 
49 
 
Referencias Bibliográficas 
AZEVEDO, Andréa; “Desenvolvimento Aplicação de um Curso de Formação em informática 
Educativa para Professores do Ensino fundamental Usando a Modalidade EAD”; 
Maputo; p. 34, 1994 
BORBA & PENTEADO, “o estudo da trigonometria”, Lisboa, 2007. 
BORGES & PEREIRA, “formas de elaboração de um projecto de pesquisa”, Maputo, 2011. 
BICUDO, M. A. V. “Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas”. São 
 Paulo: UNESP: (Seminários & Debates). P.p. 309,18. 2001. 
BONJORNO, G. “Matemática – 2º grau”. São Paulo: FTD, v. 1. p. p. p. p. p 33, 34, 36, 37 e 
 38.1992. 
COSTA, Nielce Meneguelo Lobo; “Funções seno e cosseno: Uma sequência de ensino a 
A partir dos contextos do mundo experimental e do computador;” São Paulo, p. 15. 
1997. 
D‟AMBROSIO, U. “Matemática e sociedade ou sociedade e matemática? A difícil questão da 
Primazia”. Conferência de Abertura. Recife: SBEM: Anais do VII ENEM, p.p, 60, 
18.2004. 
D‟AMBROSIO, U. “Matemática, ensino e educação: uma proposta global”. Rio Claro: 
SBEM, Revista Temas e Debates, n. 3, p. p. p, 1,15, 19. 1991. 
FERREIRA, Sheila Margarete Moreno. “Os recursos didáctcos no processo de ensino e 
 aprendizagem”. Cabo Verde, 2007. 
 
L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APENDICE 
 
LI 
 
Apendice I 
ESCOLA SECUNDÁRIA PAULO SAMUEL KAMKHOMBA 
Pré-teste 
Leia atentamente e responda com clareza as questões que lhe são colocadas abaixo. 
 
1. Já ouviu falar das funções trigonométricas? 
A Sim B Não 
2. Marque com X as alternativas que forem funções trigonométricas. 
A B C 
D E 
3. Marque com X o domínio e o contradomínio da seguinte funções: 
 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 A D { | 
 
 
 } 
 B D { | } C 
3.2 𝒙 𝒂𝒏 𝒙 
 A D { | 
 
 
 } 
 B D { | 
 
 
 } 
 C D { | } 
 4. Represente graficamente a função , e ache o domínio, contradomínio e 
período. 
Bom trabalho 
 
LII 
 
Apendice II 
ESCOLA SECUNDÁRIA PAULO SAMUEL KAMKHOMBA 
Pós-teste 
Leia atentamente e responda com clareza as questões que lhe são colocadas abaixo. 
 
1. Marque com X as alternativas que forem funções trigonométricas. 
A B C 
D E 
2. Já ouviu falar das representações de funções trigonométricas no Graphimatica? 
A Sim B Não 
3. Com base no Graphimatica, represente as funções abaixo e marque com X o domínio 
e o contradomínio das mesmas: 
 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 A D { | 
 
 
 } 
 B D { | } C 
 3.2 𝒙 𝒂𝒏 𝒙 
 A D { | 
 
 
 } 
 B D { | 
 
 
 } 
 C D { | } 
4. Utilizando o Graphimatica, represente graficamente a função , e faca o 
estudo completo da mesma 
Bom trabalho 
LIII 
 
Apêndice III 
ESCOLA SECUNDÁRIA PAULO SAMUEL KAMKHOMBA 
Questionário dirigido aos alunos do Grupo Experimental 
Leia atentamente as questões que se seguem, e responda as perguntas assinalando com X, no 
rectângulo sobre a opção que lhe convém e clarifique as questões segundo a natureza. 
 
1. O que acha do uso da ferramenta Graphimatica no estudo e representação de funções 
trigonométricas por te estudado? 
 Fácil ( ) Razoável ( ) Difícil ( ) 
2. Que forma optaria, para melhor aprendizado no estudo e representação de funções 
trigonométricas? 
Ferramenta Graphimatica ( ) Quadro, giz e Régua. ( ) 
 
3. Qual é o motivo da escolha da ferramenta graphimatica como sendo a mais eficiente 
no estudo e representação de funções trigonométricas? 
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