Apostila Dinâmica das Máquinas - Unidade 08

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AULA 8 – VIBRAÇÃO FORÇADA SEM AMORTECIMENTO COM 2GDL 
Dinâmica das Máquinas Prof. Gilberto Machado da Silva
 
ROTEIRO DA AULA: 
 Prezado aluno, nessa aula iniciaremos o estudo de resposta sistema mecânico não amortecido 
forçado com dois graus de liberdade. Dessa forma, estude o texto abaixo, complemente seus 
conhecimentos no livro texto capitulo 3 e responda às 3 questões ao final da aula. 
8. Resposta de sistemas com dois graus de liberdade excitado por força 
harmônica 
Seja o sistema linear com dois graus de liberdade: 
 
Fazendo o diagrama de corpo livre dos corpos: 
 
 
 
Aplicando a segunda lei de Newton em cada corpo: 
 
Reagrupando: 
 
Aplicando a distributiva: 
 
Reagrupando: 
 
Na forma matricial: 
 
 
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Considerando a força externa uma força harmônica então representado o vetor de excitação 
na forma complexa temos: 
 
Onde ω é a frequência forçante. Escrevendo a solução em regime permanente tem-se: 
 
As amplitudes X1 e X2 são quantidades complexas que dependem de ω e dos parâmetros do 
sistema. Substituindo as equações (*) e (**) na equação matricial do sistema tem-se: 
 
Definindo com impedância mecânica: 
 
A equação na forma matricial em função da impedância mecânica será: 
 
Onde: 
 
 
A equação matricial pode ser resolvida na forma: 
 
Onde a inversa da matriz de impedância é dada como: 
 
Logo tem-se a solução para as amplitudes dadas por: 
(*) 
(**) 
 
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Substituindo as amplitudes na equação (**) tem-se a solução no tempo do sistema. 
Tomando exemplo o sistema a seguir temos: 
 
A equação de movimento do sistema pode ser expressa como: 
 
Onde: 
 
Considerando a seguinte solução: 
 
A matriz de impedância é dada por: 
 
 
 
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Então as amplitudes serão dadas por: 
 
 
 
 
Definindo como: 
 
Tem-se que: 
 
As respostas X1 e X2 foram plotadas em função de ω1/ω2: 
 
 
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As amplitudes tornam-se infinitas quando a frequência de excitação coincide com qualquer da 
duas frequências naturais do sistema 
8.1 Sistema semidefinidos 
São também conhecidos como sistemas irrestritos ou sistemas degenerados, mostrados na 
figura: 
 
Como mostrado são sistemas em que não há restrição com um sistema inercial. Um exemplo 
poderia ser um modelo de vagões de trem. 
Tomando o sistema linear, analisando o diagrama de corpo livre e aplicando a segunda lei de 
Newton nas duas massas tem-se a equação de movimento pode ser escrita como: 
 
 
Para vibração livre consideremos que a resposta seja uma resposta harmônica: 
 
Derivando a resposta duas vezes e substituindo na equação do movimento tem-se: 
 
Igualando o determinante dos coeficientes X1 e X2 a zero obtém-se a equação da frequência: 
 
Pela qual obtém-se a s frequências naturais: 
 
 
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Observa-se que uma das frequências é nula o que significa que este tipo de sistema possui 
apenas um modo de vibrar. A vibração dos corpos se dá em fases opostas. 
 
 
Exercícios Recomendados para solução do livro texto 
 5.41 – 5.49 – 5.50 - 5.57 – 5.58 e 5.60