numeros complexo

Prévia do material em texto

HH
Software de Simulação
Ambientes de Modelagem e Simulação 
Aula 05A – Números Complexos e Fasores 
Números Complexos e Fasores
Parte A 
H
0 2 4-2
Classificação 
(Exemplos)
Inteiros ou Fracionários 4 2,5 6,534 -1/3
Positivos ou Negativos 7,5 -9,733 -5/8
Racionais ou Irracionais 9 -2/8  0,983
Os números reais podem ser representados graficamente através de um eixo 
orientado.
-5/2 -1 1,5 
NÚMEROS REAIS
H
É interessante considerar o sinal negativo ou menos (-) como um operador.
O que é um operador?
É um ente matemático que, aplicado a um número, provoca uma 
mudança (rotação) em sua representação gráfica.
180O
180O
2,5-2,5
Exemplos:
0 2 4-2 -1 1
Re
O OPERADOR NEGATIVO
O sinal negativo ( - ) é chamado operador negativo pois produz uma rotação
de 180o na representação gráfica de um número
H
Exercício 1: encontrar as raízes da equação x2 4  0
Solução: desenvolvimento pela fórmula de Baskar: 
onde: a = 1, b = 0 e c = 4.
x 1 , 2
2
4  (  4 )0 2
   4
4   4 2  4
2 2
x 1 , 2

 
2  1
 0   4  1  4  1 6

b 2
2 a
x 1 , 2
 4 a c b 

PROBLEMA!!!
No campo dos números reais, 
não existe a raiz quadrada de 
números negativos
NÚMEROS IMAGINÁRIOS
2
H
onde é o operador imaginário.
x 1 , 2
2
4  (  4 )0 2
2
   4
4   4 2  4
2 2
x 1 , 2

 
2  1
 0   4  1  4  1 6

Renée Descartes 
1596 - 1650
Este impasse só foi resolvido em 1637 por Descartes, que propôs:
 4  4(1)  4  1  2i
i  1
Resposta:
Raízes da equação: x1 = 2i e x2 = - 2i
PROBLEMA!!!
No campo dos números reais, 
não existe a raiz quadrada de 
números negativos
NÚMEROS IMAGINÁRIOS
H
0
2
4
-2
-3
-1
3
1
j  1
Representação gráfica:
Então: j2  1
Im
j3  j j4 1
N1 = j3
N2 = - j1
Não se coloca
antecedendo os
eixo Im; o posicionamento
o operador j
algarismos do
de
número sobre este eixo já indica 
que êle é imaginário.
Para não causar confusão com o símbolo da corrente, em Eletricidade 
costuma-se usar a letra j para representar o operador imaginário
NÚMEROS IMAGINÁRIOS
H
Exercício 2: encontrar as raízes da equação  4x 13  0x2
Solução: desenvolvimento pela fórmula de Baskar:
 4   3 6
2 2
x
2
1 6  5 2
x 1 , 2
1 , 2

2  1
 4  j 6  2  j 3
 (  4 )  (  4 ) 2  4  1  1 3 4 

São números que possuem uma parte real (Re) e outra imaginária (Im)
Resposta:
Raízes da equação: x1 = 2 + j3
x2 = 2 –j3
NÚMEROS IMAGINÁRIOS
H
1z = 2 + j3
Re[z1] = 2
1Im[z ] = 3
2z = 4 – j2
Re[z2] = 4
2Im[z ] = -2
3z = -3 + j2
Re[z3] = -3
Im[z3] = 2
z4 = -2 – j2
Re[z4] = -2
Im[z4] = -2
Representação de Números Complexos (1)
A FORMA RETANGULAR (CARTESIANA)
Re
Parte Real de z: Re[z]
z = a + j b
Parte Imaginária de z: Im[z]
Im
4 z1
z3
3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
z4
-1
-2 z2
-3
H
4
3
2
1
-2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
Re
Im
Representação de Números Complexos
A FORMA POLAR
Módulo de z: |z|
Ângulo de z: âng[z]
53,13o
z1
-26,57o
z2
123,69o
z3
|z|z = 
1z = 5 53,13o
|z1| = 5
1âng z = 53,13o
3z = 3,6123,69o
|z3| = 3,6
âng z3 = 123,69o
z2= 4,47 -26,57o
|z2| = 4,47
âng z2 = -26,57o
H
Re
Im
z1 = 2
z2 = 4 – j3
O operador imaginário (j) 
provoca uma rotação de 
+90º na representação 
dos números complexos
Exemplos:
4
jz2
3
jz1
2
1
z1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
-2
z2
-3
É fácil ver que o operador –j provoca uma rotação de – 90º na representação dos
números complexos
jz1 = j2
jz2 = j(4 – j3)
= j4 – j23
= 3 + j4
O OPERADOR IMAGINÁRIO
HOperações com Números Complexos: Soma
É feita na forma RETANGULAR
• a parte real da soma é igual à soma das partes reais dos números
• a parte imaginária da soma é igual à soma das partes imaginárias dos números
Dados dois números complexos z1 = a1 + jb1 e z2 = a2 + jb2 :
z1 + z2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2)
Exemplos:
z1 = 3 + j7
z2 = 1 – j3
z1 + z2 = (3 + 1) + j (7 – 3) = 4 + j4
z1 = 2 – j4 
z2 = - 3 + j2
z1 + z2 = (2 - 3) + j (- 4 + 2) = - 1 – j2
H
Re
z1 = 3 + j4
4
3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1 z2 = 2 – j1
-2
-3
z1 + z2 = 5 + j3
Im
A soma pode ser obtida graficamente por uma adição vetorial
Exemplo
Operações com Números Complexos: Soma – Gráfica 
H
É feita na forma RETANGULAR
• a parte real da subtração é igual à diferença entre as partes reais dos números
•a parte imaginária da subtração é igual à diferença entre as partes imaginárias 
dos números
Dados dois números complexos z1 = a1 + jb1 e z2 = a2 + jb2 :
z1 - z2 = (a1 - a2) + j(b1 - b2)
Exemplos:
z1 = 3 + j7 
z2 = 1 - j3
z1 - z2 = (3 - 1) + j [7 - (- 3) = 2 + j10
z1 = 2 - j4 
z2 = - 3 + j2
z1 + z2 = [2 - (- 3)] + j (- 4 - 2) = 5 - j6
Operações com Números Complexos: Subtração
H
A subtraçãopode ser obtida graficamente por uma diferença vetorial
z1 - z2 = 2 + j4
4
3
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
Re
Im
z1 = 4 + j3
z2 = 2 - j1
Exemplo
- z2
Lembrar que z1 - z2 = z1 + (- z2)
Operações com Números Complexos: Subtração – Gráfica 
H
É feita na forma POLAR
• o módulo do produto é igual ao produto dos módulos dos números
• o ângulo do produto é igual à soma dos ângulos dos números
Dados dois números complexos z1 = |z1|  1 e z2 = |z2| 2
z1 x z2 = |z1| x |z2|  (1 + 2)
Exemplos:
z1 = 10 45º
z2 = 6  -30º
z1 = 2  -60º
z2 = 5 30º
z1 x z2 = 10 x 6  (45º +(- 30º)) = 60 15º
z1 x z2 = 2 x 5  (- 60º + 30º) = 10  -30º
Operações com Números Complexos: Produto
H
É feita na forma POLAR
• o módulo da divisão é igual à divisão dos módulos dos números
• o ângulo da divisão é igual à diferença entre os ângulos dos números
Dados dois números complexos z1 = |z1|  1 e z2 = |z2| 2
Exemplos:
z1 = 10 45º
z2 = 2  -30º
z1 = 20  -60º
z2 = 5 30º
2
1 1
z |z | 
z
2|z |
 (1 - 2)=
z2 2
 10 [45o  (30o )]  575o
z1
z1  20  (60o  30o ) 490o
z2 5
Operações com Números Complexos: Divisão
H
Z5 = 3 + j3Im
R
-1-2 1
1
2
-1
-2
-3
3
2 3-3
Z4
Z5
Z4 = -3 + j2
Exemplo:
H
Im
Ra
b
o
P
Z

Z=a +jb forma carteziana
Segmento de reta
ZOP 
Representa o MODULO
Do numero complexo z
O ângulo  representa o 
ARGUMENTO ou ÂNGULO DE
FASE de z
MÓDULO
FASE
Forma Polar
H
Na forma polar um numero complexo é representado por:
z = Z 
Numero complexo é representado por letra minúscula, z
E o seu modulo por letra maiúscula, Z
Z= Z 
Z é o modulo
e
 é a fase do numero complexo
Forma alternativa
Forma Polar
HTransformação da Forma Retangular (Cartesiana) para Polar
Im
Ra
b
Z
22 baZ  Dado: z = a + jb
Determinar: Z e 

z = Z 
a
b
tg 
a
b
arctg 
H
• a é a parte real
• b é a parte 
imaginária
• z é a amplitude ou 
magnitude
•  é a fase

a
b
eixo 
real
eixo 
imaginário
 Coordenadas Polares (P): Z = z  
 Coordenadas Retangulares (R): Z = a + jb
cosa z  senb z 
2 2z a b  1tan
b
a
 
P  R
R  P
Transformação da Forma Polar para Retangular (Cartesiana)
H
a) Transformar o número para a forma polar
Z1=4+j4
Im
R
4
4
Z1
z1
1
24441 22 Z
0
1 454
4
 arctg
z1 = 24
045
Exercícios: 
H
Z2=7 (não tem parte imaginaria)
Im
R
7
Z2
z2
2 z2 = 7 
00
2=00
Z2=7
Exercícios 
b) Transformar o número para a forma polar
H
z3=j3 (não tem parte real)
Im
R
z3
Z3 3
Z3=3
3
3=900
z3 = 3 
090
Ou
z3 = 3 
0270
Exercícios 
c) Transformar o número para a forma polar
H
Z4 = -3 + j2
Im
R
z4
Z4
631323 224 ,)( Z
’
02 34
3
arctg   
2
-3
4 4 = 180 – 34 = 1460
z4 = 3,6 
0146
Exercícios: 
d) Transformar o número para a forma polar
H
Z5 = -5
Im
R
z5
Z5 = -5
Z5
5
5=1800
z5 = 5 
0180
Exercícios: 
e) Transformar o número para a forma polar
H
Z6 = -4 -j3
Im
R
-4
-3
z6
Z6
534 226  )()(Z
6
’
037
4
3
 arctg'
6 = 180 + 37 = 2170
z6 = 5 
0217
Exercícios 
z6 = 5 
0143
f) Transformar o número para a forma polar
H
Z7 = -j4
Im
R
z7 -4
Z7=4
7
7=2700
z7 = 4 
0270
Ou
z7 = 4 
090
Exercícios:g) Transformar o número para a forma polar
H
Z8=4-j3
Im
R
z8Z8
4
-3
534 228  )(Z
8
’
037
4
3
 arctg'
8=360-37=3230
z8 = 5 
0323
ou............... z8 = 5 
037
Exercícios 
h) Transformar o número para a forma polar
HOperações com Números Complexos
SOMA e SUBTRAÇÃO
Na soma e na subtração é usada a forma cartesiana
z1 = 10 + j10 ; z2 = 5 + j4
z3 = z1 + z2 = (10 + j10) + (5 + j4) =
= (10+5) + j(10+4) = 15 + j14
z4 = z1 - z2 = (10 + j10) - (5 + j4) = 
= (10 - 5) + j(10-4) = 5 + j6
H
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Na multiplicação e divisão é usada a forma polar
z1= 4 + j4 = 5,65 450
z2= 5 + j8,66 = 10 600 Z4= -5 + j8,66 = 10 1200
Z3= -j4 = 4 -900
Operações com Números Complexos
z7 = z1* z6 
z8 = z2/z6 
HUsando a calculadora em Números Complexos
HUsando a calculadora em Números Complexos
HUsando a calculadora em Números Complexos
HUsando a calculadora em Números Complexos
HUsando a calculadora em Números Complexos
HUsando a calculadora em Números Complexos
HUsando a calculadora em Números Complexos
HUsando a calculadora em Números Complexos
HExercícios Propostos
Dados os números complexo:
Z3 = -j4 = 4 -900
Z1 = 4+j4 Z2 = 5 + j8,66 
Z4 = -5 + j8,66
Obter: 
a) Converter os números complexos para a forma polar
b) Faça a soma de z9 = z1 + z2
c) Faça a subtração z10 = z4 - z2 
f) Representação no plano cartesiano de z1, z2, z3, z4, z5, z6, z7, z8, z9 e z10
d) Faça as multiplicação de (z5 = z1.z2) e (z6 = z3.z4)
e) Faça as divisões (z7 = z2/z4) e (z8 = z2/z3)
H
H