Exercícios Resolvidos Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe

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Exercícios Resolvidos: Determine o limite, se existir, ou mostre que o 
limite não existe. 
 
14.2 EXERCÍCIOS: página 835. Cálculo Volume 2 – 6ª Edição 
 
5. lim
(𝑥,𝑦)→(5,−2)
(𝑥5 + 4𝑥3. 𝑦 − 5𝑥𝑦2) 
 
lim
(𝑥,𝑦)→(5,−2)
(𝑥5 + 4𝑥3. 𝑦 − 5𝑥𝑦2) = 55 + 4(5)3. (−2) − 5.5. (−2)2 
= 3125 + 4(125). (−2) − 25. (−4) 
= 3125 − 1000 + 100 = 2225 
 
7. lim
(𝑥,𝑦)→(2,1)
4−𝑥𝑦
𝑥2+3𝑦2
 
lim
(𝑥,𝑦)→(2,1)
4 − 𝑥𝑦
𝑥2 + 3𝑦2
=
4 − 2.1
22 + 3.12
=
4 − 2
4 + 3
=
2
7
 
 
 9. lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑦4
𝑥4+3𝑦4
 
 
Se 𝑦 = 0 , 
𝑓(𝑥, 𝑜) =
0
𝑥4
= 0 , 𝑥 ≠ 0 
𝑓(𝑥, 𝑦) → 0 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 (𝑥, 𝑦) → (0,0) 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. 
Se 𝑥 = 0 , 
𝑓(0, 𝑦) =
𝑦4
3𝑦4
=
1
3
 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 ≠ 0 
𝑓(𝑥, 𝑦) →
1
3
 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 (𝑥, 𝑦) → (0,0) 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. 
Como f tem dois limites ao longo de duas retas diferentes, o limite não existe. 
 
15. lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2.𝑦.𝑒𝑦
𝑥4+4𝑦2
 
 
Se 𝑦 = 0 , 
𝑓(𝑥, 0) =
0
𝑥4
= 0 , 𝑥 ≠ 0 
𝑓(𝑥, 𝑦) → 0 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 (𝑥, 𝑦) → (0,0) 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. 
Se 𝑦 = 𝑥2 , 
𝑓(𝑥, 𝑥2) =
𝑥2 . 𝑥2 . 𝑒𝑥
2
𝑥4 + 4(𝑥2)4
=
𝑥4 . 𝑒𝑥
2
𝑥4 + 4𝑥4
=
𝑥4 . 𝑒𝑥
2
5𝑥4
=
𝑒𝑥
2
5
 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 0. 
𝑓(𝑥, 𝑦) →
𝑒0
5
=
1
5
 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 (𝑥, 𝑦) → (0,0) 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑦 = 𝑥2 . 
∴ O limite não existe. 
 
17. lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2+𝑦2
√𝑥2+𝑦2+1−1
 
 
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2 + 𝑦2
√𝑥2 + 𝑦2 + 1 − 1
.
√𝑥2 + 𝑦2 + 1 + 1
√𝑥2 + 𝑦2 + 1 + 1
= 
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
(𝑥2 + 𝑦2). (√𝑥2 + 𝑦2 + 1 + 1)
𝑥2 + 𝑦2
= lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
√𝑥2 + 𝑦2 + 1 + 1 = 2