4. Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe. a) lim (x,y)→(1,2) (5x3 − x2y2) b) lim (x,y)→(1,−1) e−xy cos (x+ y) c) lim (x,y)→(2,1...

a) Para determinar o limite, podemos substituir os valores de x e y na expressão dada. Então, temos: lim (x,y)→(1,2) (5x³ − x²y²) = 5(1)³ − (1)²(2)² = 5 − 4 = 1 Portanto, o limite existe e é igual a 1. b) Para determinar o limite, podemos usar a propriedade do limite do produto. Então, temos: lim (x,y)→(1,−1) e^−xy cos (x+ y) = lim (x,y)→(1,−1) e^−xy * lim (x,y)→(1,−1) cos (x+ y) O limite do primeiro fator é 1, pois e^0 = 1. Já o limite do segundo fator não existe, pois a função cos(x+y) oscila entre -1 e 1 quando (x,y) se aproxima de (1,-1). Portanto, o limite não existe. c) Para determinar o limite, podemos usar a propriedade do limite do quociente. Então, temos: lim (x,y)→(2,1) (4− xy)/(x² + 3y²) = [lim (x,y)→(2,1) 4 − lim (x,y)→(2,1) xy] / [lim (x,y)→(2,1) x² + 3y²] O limite do primeiro fator é 4. Para determinar o limite do segundo fator, podemos usar a propriedade do limite do produto. Então, temos: lim (x,y)→(2,1) xy = lim (x,y)→(2,1) x * lim (x,y)→(2,1) y = 2 * 1 = 2 Para determinar o limite do denominador, podemos usar a propriedade do limite da soma. Então, temos: lim (x,y)→(2,1) x² + 3y² = lim (x,y)→(2,1) x² + lim (x,y)→(2,1) 3y² = 4 + 3 = 7 Substituindo os valores encontrados na expressão do limite, temos: lim (x,y)→(2,1) (4− xy)/(x² + 3y²) = (4 - 2)/7 = 2/7 Portanto, o limite existe e é igual a 2/7. d) Para determinar o limite, podemos usar a propriedade do limite do quociente. Então, temos: lim (x,y)→(1,0) ln(1 + y²)/(x² + xy) = ln(1 + 0²)/(1² + 1*0) = ln(1)/1 = 0 Portanto, o limite existe e é igual a 0. e) Para determinar o limite, podemos usar a propriedade do limite do quociente. Então, temos: lim (x,y)→(0,0) (x² + sen² y)/(2x² + y²) = [lim (x,y)→(0,0) x² + lim (x,y)→(0,0) sen² y] / [lim (x,y)→(0,0) 2x² + lim (x,y)→(0,0) y²] O limite do primeiro fator é 0. Para determinar o limite do segundo fator, podemos usar a propriedade do limite do seno. Então, temos: lim (x,y)→(0,0) sen² y = sen² 0 = 0 Para determinar o limite do denominador, podemos usar a propriedade do limite da soma. Então, temos: lim (x,y)→(0,0) 2x² + y² = lim (x,y)→(0,0) 2x² + lim (x,y)→(0,0) y² = 0 + 0 = 0 Substituindo os valores encontrados na expressão do limite, temos: lim (x,y)→(0,0) (x² + sen² y)/(2x² + y²) = 0/0 Nesse caso, o limite não pode ser determinado diretamente. Podemos tentar usar outras técnicas, como a regra de L'Hôpital, para determinar o limite. f) Para determinar o limite, podemos usar a propriedade do limite do quociente. Então, temos: lim (x,y)→(0,0) xy(x− y)/(x⁴ + y²) = [lim (x,y)→(0,0) xy] * [lim (x,y)→(0,0) (x− y)/(x⁴ + y²)] O limite do primeiro fator é 0. Para determinar o limite do segundo fator, podemos usar a propriedade do limite do quociente. Então, temos: lim (x,y)→(0,0) (x− y)/(x⁴ + y²) = [lim (x,y)→(0,0) (x− y)] / [lim (x,y)→(0,0) x⁴ + lim (x,y)→(0,0) y²] O limite do denominador é 0. Para determinar o limite do numerador, podemos usar a propriedade do limite da diferença. Então, temos: lim (x,y)→(0,0) (x− y) = 0 Substituindo os valores encontrados na expressão do limite, temos: lim (x,y)→(0,0) xy(x− y)/(x⁴ + y²) = 0 Portanto, o limite existe e é igual a 0. g) Para determinar o limite, podemos usar a propriedade do limite do quociente. Então, temos: lim (x,y)→(0,0) (x⁴ − y⁴)/(x² + 2y²) = [lim (x,y)→(0,0) x⁴ - lim (x,y)→(0,0) y⁴] / [lim (x,y)→(0,0) x² + 2y²] Para determinar o limite do numerador, podemos usar a propriedade do limite da diferença de quadrados. Então, temos: lim (x,y)→(0,0) x⁴ - y⁴ = lim (x,y)→(0,0) (x² + y²)(x² - y²) = 0 Para determinar o limite do denominador, podemos usar a propriedade do limite da soma. Então, temos: lim (x,y)→(0,0) x² + 2y² = lim (x,y)→(0,0) x² + lim (x,y)→(0,0) 2y² = 0 + 0 = 0 Substituindo os valores encontrados na expressão do limite, temos: lim (x,y)→(0,0) (x⁴ − y⁴)/(x² + 2y²) = 0/0 Nesse caso, o limite não pode ser determinado diretamente. Podemos tentar usar outras técnicas, como a regra de L'Hôpital, para determinar o limite.