CAlculo III - LISTA DE EXERCÍCIOS DE LIMITES DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

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LISTA DE EXERCÍCIOS DE LIMITES DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
1 – Nos itens a seguir prove que para a função dada, o limite a seguir não existe. 
𝐥𝐢𝐦 
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
 𝒇(𝒙, 𝒚) 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
 
 
𝐥𝐢𝐦 
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
 
𝒙𝟐 − 𝒚𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
 
 
Primeiro caminho (𝒚 = 𝟎) 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝑥2 − (0)2
𝑥2 + (0)2
=
1𝑥2
𝑥2
= 1 
 
Segundo caminho (𝒚 = 𝒙) 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝑥2 − 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
 = 
𝑥2 − 𝑥2
𝑥2 + 𝑥2
 = 
0
2𝑥2
= 0 
 
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠ã𝑜 ∶ 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
 
 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2
𝑥2+𝑦2
 
 
𝐥𝐢𝐦 
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
 
𝒙𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
 
 
Primeiro caminho (𝒚 = 𝟎) 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝑥2
𝑥2 + (0)2
=
1𝑥2
𝑥2
= 1 
 
Segundo caminho (𝒚 = 𝒙) 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝑥2
𝑥2 + 𝑦2
 = 
𝑥2
𝑥2 + 𝑥2
 = 
1𝑥2
2𝑥2
=
1
2
 
 
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠ã𝑜 ∶ 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
 
 
 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥4.𝑦4
(𝑥2+𝑦4)3
 
 
𝐥𝐢𝐦 
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
 
𝑥4. 𝑦4
(𝑥2 + 𝑦4)3
 
 
Primeiro caminho (𝒚 = 𝟎) 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝑥4. 𝑦4
(𝑥2 + 𝑦4)3
=
𝑥4. (0)4
(𝑥2 + 04)3
 =
0
𝑥6
= 0 
 
Segundo caminho (𝒚 = 𝒙𝟎,𝟓) 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝑥4. 𝑦4
(𝑥2 + 𝑦4)3
=
𝑥4. (𝑥0,5)4
(𝑥2 + (𝑥0,5)4)3
 =
𝑥4. 𝑥2
(𝑥2 + 𝑥2)3
= 
 
=
𝑥6
(2𝑥2)3
=
1𝑥6
23𝑥6
=
1
8
 
 
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠ã𝑜 ∶ 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
 
 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥4+3.𝑥2.𝑦2+2𝑥𝑦3
(𝑥2+𝑦2)2
 
 
𝐥𝐢𝐦 
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
 
𝑥4 + 3. 𝑥2. 𝑦2 + 2𝑥𝑦3
(𝑥2 + 𝑦2)2
 
 
Primeiro caminho (𝒚 = 𝟎) 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝑥4 + 3. 𝑥2. 𝑦2 + 2𝑥𝑦3
(𝑥2 + 𝑦2)2
=
𝑥4 + 3. 𝑥2. 02 + 2𝑥03
(𝑥2 + 02)2
 =
1𝑥4
𝑥4
= 1 
 
Segundo caminho (𝒚 = 𝒙) 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝑥4 + 3. 𝑥2. 𝑦2 + 2𝑥𝑦3
(𝑥2 + 𝑦2)2
=
𝑥4 + 3. 𝑥2. 𝑥2 + 2𝑥𝑥3
(𝑥2 + 𝑥2)2
 
=
1𝑥4 + 3𝑥4 + 2𝑥4
(2𝑥2)2
=
6𝑥4
22𝑥4
=
6
4
 
 
 
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠ã𝑜 ∶ 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥9.𝑦
(𝑥6+𝑦2)2
 
 
𝐥𝐢𝐦 
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
 
𝑥9. 𝑦1
(𝑥6 + 𝑦2)2
 
 
Primeiro caminho (𝒚 = 𝟎) 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝑥9. 𝑦1
(𝑥6 + 𝑦2)2
=
𝑥9. (0)1
(𝑥6 + 02)2
 =
0
𝑥12
= 0 
 
Segundo caminho (𝒚 = 𝒙𝟑) 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝑥9. 𝑦1
(𝑥6 + 𝑦2)2
=
𝑥9. 𝑥3
(𝑥6 + (𝑥3)2)2
 =
𝑥12
(𝑥6 + 𝑥6)2
= 
 
=
𝑥12
(2𝑥6)2
=
1𝑥12
22𝑥12
=
1
4
 
 
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠ã𝑜 ∶ 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
 
 
f) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2.𝑦2
𝑥4+𝑦4
 
 
𝐥𝐢𝐦 
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
 
𝑥2. 𝑦2
𝑥4 + 𝑦4
 
 
Primeiro caminho (𝒚 = 𝟎) 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝑥2. 𝑦2
𝑥4 + 𝑦4
=
𝑥2. (0)2
𝑥4 + 04
 =
0
𝑥4
= 0 
 
Segundo caminho (𝒚 = 𝒙) 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
 
𝑥2. 𝑦2
𝑥4 + 𝑦4
=
𝑥2. 𝑥2
𝑥4 + 𝑥4
 =
1𝑥4
2𝑥4
=
1
2
 
 
𝐶𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠ã𝑜 ∶ 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
 
 
 
 
2 – Nos itens a seguir prove que para a função dada, existe o limite 
𝐥𝐢𝐦 
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
 𝒇(𝒙, 𝒚) 
 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
𝑥2.𝑦+𝑥.𝑦2
𝑥2+𝑦2
 
 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥3+𝑦3
𝑥2+𝑦2
 
 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥.𝑦
√𝑥2+𝑦2
 
 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2+2𝑥𝑦
√𝑥2+𝑦2