Derivadas Parciais de Segunda Ordem

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Exercícios Resolvidos: Derivadas Parciais de Segunda Ordem 
14.3 EXERCÍCIOS: página 846. Cálculo Volume 2 – 6ª Edição 
Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem. 
51. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3𝑦5 + 2𝑥4𝑦 
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 3𝑥
2𝑦5 + 8𝑥3𝑦 
𝑓𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) = 6𝑥𝑦
5 + 24𝑥2𝑦 
𝑓𝑥𝑦(𝑥, 𝑦) = 15𝑥
2𝑦4 + 8𝑥3 
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 5𝑥
3𝑦4 + 2𝑥4 
𝑓𝑦𝑦(𝑥, 𝑦) = 20𝑥
3𝑦3 
𝑓𝑦𝑥(𝑥, 𝑦) = 15𝑥
2𝑦4 + 8𝑥3 
 
Verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut e válida, isto é, 𝑢𝑥𝑦 = 𝑢𝑦𝑥. 
57. 𝑢 = 𝑥𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 2𝑦) 
𝑢𝑥 = 𝑥 cos(𝑥 + 2𝑦) + 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 2𝑦) 
𝑢𝑦 = 𝑥 cos(𝑥 + 2𝑦) . 2 = 2𝑥 cos(𝑥 + 2𝑦) 
𝑢𝑥𝑦 = 𝑥(−𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 2𝑦)2) + cos(𝑥 + 2𝑦). 2 = −2𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 2𝑦) + 2 cos(𝑥 + 2𝑦) 
𝑢𝑦𝑥 = 2𝑥(−𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 2𝑦)) + cos(𝑥 + 2𝑦). 2 = −2𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 2𝑦) + 2 cos(𝑥 + 2𝑦) 
∴ 𝐴 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑠ã𝑜 é 𝑣á𝑙𝑖𝑑𝑎