12 Tensões normais na flexão_Flexão Simples

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Aula # 3 / MEP210 - A
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MEP 210
Mecânica dos Sólidos
Módulo 4
12.Tensões Normais – Flexão
Simples
Leitura Recomendada: 
Beer (5a Ed.), Caps. 4 e 5 ; Philpot (2a Ed.), Cap. 8.
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➢ Aplicações onde ocorre:
✓ Vigas
✓ Estruturas em geral
✓ Máquinas de elevação
✓ Eixos com engrenamentos
✓ Processos de fabricação
✓ Etc.
http://www.hardoxireland.com/page/services
Ponte Rolante da Usina de Itatinga
www.composite.ind.br
www.motoonline.com.br
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➢ 12.1 - Nomenclatura
✓ M = momento fletor
✓ L.N. = Linha Neutra
✓ T.P.M = Traço do Plano do Momento
✓ I = momento de inércia em relação à L.N.
✓ y = distância medida a partir da L.N.
✓ y’, y’’ = distância das fibras mais afastadas
✓ σmáx-T = σ’ = máxima tensão de tração
✓ σmáx-C = σ’’ = máxima tensão de compressão
✓ W = módulo de resistência à flexão
✓ σLE-T,C = tensão limite de escoamento à tração (T) e compressão (C)
✓ σLR-T,C = tensão limite de resistência à tração (T) e compressão (C)
✓ σLim-T,C = tensão limite à tração (T) e compressão (C)
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➢ 12.2 – Hipóteses
a) Equilíbrio.
b) Pequenos deslocamentos.
c) Material homogêneo e isotrópico.
d) Princípio de Saint-Venant.
e) Hipótese de Navier: seções planas permanecem 
planas: ε = ay.
f) Lei de Hooke: regime elástico linear: σ = Eε.
g) Bernoulli: variação linear das tensões: σ = ky.
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C
z
y
xMx
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✓ Flexão pura: atua somente M
✓ Flexão simples: atuam M e V
✓ Flexão composta normal: atuam M e P
➢ 12.3 – Tipos de Flexão
C
z
y
xMx
C
z
y
xMx
V
P
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✓ Flexão simples oblíqua: Mx e My
✓ Flex. composta oblíqua: Mx , My, V e P.
➢ 12.3 – Tipos de Flexão
C
z
y
x
Mx
My
C
z
y
x
Mx
My
V
P
V
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❖ Do equilíbrio:
❖ Admitindo distribuição linear de σ (Bernoulli):
 ====
AAA
x dAykdAykMykdAyM
22
❖ Então a tensão normal média é dada por:
y
I
M
ykx ==  22 oCompriment
Força
L
F
→
→






Pa
m
N
SINo =





2
:
C
z
A
dA

dAdF xx =
ydFdM x =
 =
A
x dAyM 
Flexão
y
x
z
x
x
Mx
M
dM
dF
y
z
 =
A
x
A
ydFdM
I = ILN
I
M
k =
➢ 12.4 – Flexão Simples - Tensões
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➢ 12.4 – Flexão Simples - Tensões
❖ Diagrama de tensões:
❖ Observações:
1) Orientar o eixo “y” para 
o lado tracionado.
2) Tomar o valor de M em 
módulo.
Seção Transv. Distr. Tensões
TPM
C = L.N.
M
y y
y
y'
y''
C = L.N.
-
+
σ'' = σmáx-C
σ' = σmáx-T
❖ Tensões extremas:
'
'
'
''
y
I
W
W
M
y
I
M
Tmáx ====− 
''
''
''
''''
y
I
W
W
M
y
I
M
Cmáx ====− 
❖ Dimensionamento por resistência:
..
,lim
,
SC
CT
CTmáx
−
− =


C
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➢ 12.5 – Flexão Simples Oblíqua
❖ Esquema de solicitação:
❖ Tensões:
x
I
M
y
I
M
y
y
x
x
MM HV +=+= 
✓ O efeito dos momentos em diferentes 
planos é sobreposto nas tensões.
✓ Os momentos devem ser utilizados 
em módulo.
✓ Atenção aos sinais de orientação de x 
e y, para que tensões sejam 
contabilizadas com o sinal correto. 
Orientá-los para as fibras tracionadas
é recomendado.
✓ O sentido do vetor momento é 
fornecido pela ‘Regra da mão direita”.
✓ Os eixos x e y devem ser os eixos 
principais de inércia (I1 e I2).
✓ A Linha Neutra (L.N.) resulta na 
posição angular onde σ = 0, então:
( )
x
y
y
x
M
M
I
I
tg −= 
Mx
My
C
x
y
z
MV = Mx
MH = My
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➢ 12.6 – Exercícios
❖ 1(P3 – 2º 2010) Para a viga abaixo, calcular:
 
L = 1000 mm 
M0 = 15 kN.m 
a) A posição do baricentro (em relação aos eixos de referência fornecidos) e o momento de inércia em relação 
ao eixo baricêntrico horizontal ´Ix ; 
b) As máximas tensões normais de tração e compressão; 
c) O coeficiente de segurança da viga. São dados: MPa
TLR
250=− e MPaCLR 300=− 
y = T.P.M.
O
Respostas:
23,1..)
8,244
9,178)
10.54,3
78,7)
46
..
=
=
=
=
=
−
−
SCc
MPa
MPab
mmI
mmya
Cmáx
Tmáx
NL


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➢ 12.6 – Exercícios
❖ 2(P3 – 1º 2010) Para a viga abaixo, calcular:
 
Material
σLE-T = 350 MPa
σLE-C = 400 MPa
Plano dos momentos.
kN60
A
kN100
mkN.100
B C D
)(
][
kN
V
1 m 1 m 1 m
mkN /50
).(
][
mkN
M
Perfil I
10” x 4.5/8” x 0,31”
Perfil U
6” x 2” x 0,20”
y
x
+
+
a) (0,5 ponto) Reações de apoio VA e VC. 
b) (2,0 ponto) Diagrama de esforços internos solicitantes para cortante (V) e momento fletor (M). 
c) (1,5 ponto) Posição do baricentro ( y - usar sistema de referência fornecido) e momento de inércia 
baricêntrico da seção (Ix’). 
d) (1,5 ponto) Tensões máximas de tração e compressão. 
e) (0,5 ponto) Coeficiente de Segurança (C.S.) global da viga considerando somente tensões à flexão. 
O
Respostas:
63,1..)
).(4,192
).(215)
10.466,7;88,92)
)
)(5,252;)(5,42)
47
'
=
−=
=
=−=
==
−
−
SCe
APtoMPa
APtoMPad
mmImmyc
FTOOLnoFazerb
kNVkNVa
Cmáx
Tmáx
CA
x


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➢ 12.6 – Exercícios
❖ 3(P3 – 2º 2011) Para a estrutura abaixo, calcular:
 
A
C
B
PL
L L/2
3P
V
M
+
+
Dados item b:
Carregamento
P = 50 kN
Material
400 MPa
150 MPa
200 GPa
1,5 mm
=T
=C
=E
=y
Seção Transv.:
10 
cm
10”
T.P.M
I 10” x 4.5/8” x 0,31”
x
Literalmente:
a) (função de P, L, E e I), 
as reações e 
diagramas de V e M.
Numericamente:
b) Posição da L.N. e 
momento de inércia 
respectivo.
c) Determinar o máximo 
vão “L” considerando 
a condição de 
resistência.
y
O
Respostas:
mLc
mmI
mmyb
FTOOLnoFazera
máx
NL
073,2)
10.68,1
72,2)
)
48
..
=
=
−=
100 mm
10”
I 10” x 4.5/8” x 0,31”
y
O
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➢ 12.9 – Recomendados
❖ Beer 5ª Edição
✓ 4.1, 4.3, 4.7, 4.15, 4.22, 4.136, 4.139, 4.146, 5.65, 5.85
❖ Philpot 2ª Edição
✓ 8.5, 8.9, 8.13, 8.17, 8.19, 8.27, 8.53, 8.65, 8.69, 8.73
❖ Outros dos mesmos capítulos.
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Leituras Recomendadas:
Beer (5a Ed.), Caps. 4 e 5 ; Philpot (2a Ed.), Cap. 8.
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Módulo 4
12.Tensões Normais – Flexão Simples
Frente A
Introdução
à disciplina
Diagramas
D.E.I.S.
Tensões Normais 
Flexão Simples
Deslocamentos 
na Flexão
Tensões Normais 
Flexão Oblíqua
Torção Seções 
Circulares
Figuras Planas
(complementos) Flambagem
Tração e 
Compressão
Cisalhamento 
Puro (Ligações)
Frente B
Conceitos de 
tensões
Tensões 
térmicas
Lei de Hooke 
generalizada