Analise-Diferencial-Parte 1

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
1
INTRODUÇÃO À ANÁLISE 
DIFERENCIAL
---- Aula Introdutória -----
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR
Engenharia Mecânica - EM
Laboratório de Ciências Térmicas – LACIT
MECÂNICA DOS FLUIDOS 1
Prof. Rigoberto E. M. Morales, PhD.
rmorales@utfpr.edu.br
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APLICAÇÕES DA MECÂNICA 
DOS FLUIDOS
• Meteorologia
• Propulsão
• Motores
• Bioengenharia
• Aerodinâmica
• Poluição
• Refrigeração e Ar Condicionado
• Geração de Eletricidade
• Etc.
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3
Engenharia 
Hidráulica
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4
Energia Eólica
3
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5
Engenharia 
automotiva
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6
Engenharia Naval
4
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PR
7
Engenharia Aeroespacial
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8
Engenharia 
Microprocessada
5
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9
Engenharia 
Química/Plantas 
Petrolíferas
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Agronomia
6
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11
Climatização e 
Refrigeração
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Conversão de 
Energia
7
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Metereologia
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Transporte de Calor e 
Massa
8
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Mecânica dos Fluidos
• Utiliza experiências juntamente com técnicas 
analíticas e computacionais na resolução dos 
problemas
• Resolver um problema geralmente implica na 
determinação do campo de velocidade
• Daí obtém-se campos de pressão, forças, 
etc. 
• Os problemas da Mecânica dos fluidos normalmente 
são abordados:
• Experimentalmente: Caros e demorados, os 
custos podem ser minimizados com a ajuda de 
soluções analíticas e computacionais
• Analiticamente
• Numericamente
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TÉCNICAS BÁSICAS DE 
ANÁLISE
• Análise Integral
• Análise diferencial
• Análise Experimental
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Análise Integral
• Os problemas podem ser resolvidos sem o 
conhecimento detalhado do campo de escoamento 
(campos de velocidade, pressão e temperatura).
• Apenas as condições na superfície de controle (SC) 
são importantes para a solução.
• Resulta apenas em propriedades ou valores médios do 
escoamento. 
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Análise Diferencial 
• Se aplica nos casos onde é necessário conhecer a 
descrição do campo de escoamento localmente 
(pontualmente);
• Esta abordagem envolve volumes de controle 
infinitesimais;
• Como resultado a descrição do escoamento é 
realizada através de equações diferenciais. 
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Análise Diferencial 
• Métodos numéricos é a alternativa para resolver as 
Equações governantes (Computational Fluid Dynamics 
- CFD)
• Geralmente se realizam simplificações para resolver 
“alguns” problemas simples.
• As equações diferenciais que descrevem 
detalhadamente os escoamentos de fluidos são 
bastante complexas e normalmente não podem ser 
resolvidas analiticamente.
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EXEMPLOS DE VISUALISAÇÃO DE 
ESCOAMENTOS VIA CFD
Detalhes do escoamento via CFD
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T
0.0890
0.0831
0.0772
0.0712
0.0653
0.0594
0.0534
0.0475
0.0416
0.0356
0.0297
0.0237
0.0178
0.0119
0.0059
0.0059
T
0.1229
0.1147
0.1065
0.0983
0.0901
0.0819
0.0737
0.0655
0.0573
0.0491
0.0409
0.0327
0.0245
0.0163
0.0083
0.0081
Morales e Silveira Neto, 1996
SGE da Convecção Natural e Mista sobre um 
Cilindro Aquecido
EXEMPLOS DE VISUALISAÇÃO DE 
ESCOAMENTOS VIA CFD
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Carcaça de metal intertravada
Termoplástico interno
Armadura de pressão 
Armadura de tração 
Revestimento termoplástico externo
Carcaça de metal intertravada
Termoplástico interno
Armadura de pressão 
Armadura de tração 
Revestimento termoplástico externo
Carcaça de metal intertravada
Termoplástico interno
Armadura de pressão 
Armadura de tração 
Revestimento termoplástico externo
Carcaça de metal intertravadaCarcaça de metal intertravada
Termoplástico internoTermoplástico interno
Armadura de pressão Armadura de pressão 
Armadura de tração Armadura de tração 
Revestimento termoplástico externoRevestimento termoplástico externo
1111
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valores em mm
Diâmetro interno de 6“
1,5
EXEMPLOS DE VISUALISAÇÃO DE 
ESCOAMENTOS VIA CFD
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Análise Experimental
• Fornece ótimos resultados, se o experimento for bem 
planejado
• Muitas vezes é a única alternativa
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CINEMÁTICA
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Num dado instante, o campo de velocidade, , é uma 
função das coordenadas espaciais (x, y, z) e do 
tempo (t) – referencial euleriano;
Campo de Velocidade
Ou em termos de suas componentes:
(u,v,w), também dependem de x, y, z e t.
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ESCOAMENTO TRANSIENTE:
As propriedades em cada ponto do escoamento mudam 
com o tempo, então:
Campo de velocidade- II
 zy,x, ou 0 
t


  zy,x,V V ou 0 
t
V
 





ou
ESCOAMENTO PERMANENTE:
As propriedades em cada ponto do escoamento Não 
muda com o tempo, então:
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Escoamentos Uni, Bi, e 
Tridimensionais
• Um escoamento é Uni, Bi ou Tridimensional em 
função do número de Coordenadas espaciais 
necessárias para se especificar o campo de 
velocidade (Fox & McDonald)
• Exemplos: 
 
 
 
  permanente e D1 xVV
transiente e D1 t,xVV
permanente e D2 y,xVV
transiente e D3t,z,y,xVV








 Todos os escoamentos são 3D
 Alguns casos podem ser “aproximados” a 1D ou 2D
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Escoamento 1D
• O perfil de velocidades do escoamento laminar 
completamente desenvolvido em um tubo tem a 
forma mostrada na seguinte figura














2
max R
r
-1 u u
A velocidade axial é 
função da posição 
radial “r”
O perfil de velocidades é parabólico e dado por:
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Escoamentos 2D em um 
Difusor Plano
– Um exemplo do escoamento bidimensional é 
mostrada na figura: 
• A velocidade varia em y e x
• O canal é considerado como infinito em z. O 
campo de velocidade em z é “considerado” 
idêntico em todos os planos, ou seja, 
invariável na direção z.
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Escoamento 3D
• Escoamento 3D na 
vizinhança de um 
disco em rotação.
• A velocidade varia 
nas direções x, y e 
z. 
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Escoamento Uniforme
• Para fins de análise, muitas vezes é conveniente introduzir 
a noção de escoamento uniforme em uma dada seção;
• A velocidade é constante através de qualquer seção normal 
ao escoamento;
• Na figura é mostrado, como um escoamento 2D pode ser 
modelado com 1D. Com a “aproximação” de escoamento 
uniforme a velocidade varia apenas na direção x
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Campo de Velocidades: regime 
permanente e 2D 
Escoamento 
laminar sobre 
uma placa, plano 
YZ.
Resultados 
produzidos pelo 
PHOENICS cfd 
Campo Vetorial (j,k)
Campo escalar w(y,z)
superposição
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Outras Formas de 
Representação Visual do 
Campo de Escoamento
É útil e conveniente visualizar a direção e o 
sentido das velocidades das partículas por 
meio de:
Linhas de tempo (experimental)
Trajetória da partícula (experimental)
Linhas de emissão (experimental)
Linhas de Corrente (matemática)UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
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Linhas de Tempo
Uma quantidade de partículas adjacentes são 
marcadas simultaneamente num dado instante:
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Trajetória e Linhas de Emissão
Linha de trajeto: é a trajetória traçada de uma partícula de 
fluido em movimento (ref. Lagrangeano).
Linha de emissão: num local fixo no espaço você marca as 
partículas que passam por lá. Após um curto período 
teríamos uma certa quantidade de partículas, todas 
identificáveis e que em algum momento passaram pelo 
mesmo ponto no espaço
Injetor de fumaça
Em regime permanente, a 
linha trajeto coincide com 
a linha de emissão
dtXdV


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Linhas de Corrente
São tangentes à direção do escoamento em cada ponto do 
campo. Isto é, num dado ponto, a tangente a linha de 
corrente é paralela ao vetor velocidade naquele ponto.
ds
dx
dy
u
v V

ds
R(t)
R(t+dt)
Linha de 
corrente
V

Pela semelhança de 
triângulos tem-se a 
definição matemática da 
linha de corrente:
w
dz
v
dy
u
dx

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Linhas de Corrente
Propriedade 1: como as linhas de correntes são sempre 
tangentes à velocidade, não pode haver escoamento 
normal a elas.
flow
no-
flow
flow
no-
flow
Impossível!
Propriedade 2: linhas de corrente nunca se cruzam, do 
contrário haveria extinção ou produção de massa no 
interior do escoamento.
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Importante
• Em regime permanente, a trajetória das 
partículas é coincidente com a linha de 
emissão que por sua vez também coincide 
com a linha de corrente
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Exercício: 2.5
Um campo de velocidade é dado por:
  ; A 3/s e B 1m/sV Ax B i Ayj    
  
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x(m)
y
(m
)
c=1
c=2
c=4
c=8
y(3x+1)=C
Obtenha uma equação para as linhas de corrente no 
plano xy incluindo aquela para o ponto (x,y) = (1,2)
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Exercício: 2.7
Um campo de velocidade é dado por:
    1/2m/s- B e 1m/sA ;jByiAxyV 2  
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x(m)
y(
m
)
c=1
c=2
c=3
c=4
Resp.: xy2 = C
Obtenha uma equação para as linhas de corrente
no plano xy.
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Exercício: 2.12
Um campo de velocidade é dado por: 
    20,3m/s B e 2m/sA ;jBtiAV 

Resp.: 
Linhas de Corrente
t=0-> y =1
t=1->y=0.15x+1.15
t=3->y=0.3x+1.3
Trajetória para partícula 
que em t=0 estava em 
(1,1):
y=0.038(x-1)2+1
0
5
10
15
20
0 5 10 15 20
x(m)
y(
m
)
trajetória
linha corrente t=0
linha corrente t=1
linha corrente t=2
Obtenha as equações das linhas de corrente para uma partícula que 
passou pelo ponto (x0,y0)=(1,1) nos instantes t=0s, 1s e 2s. Encontre 
também a trajetória da partícula que passou pelo ponto (1,1) no 
instante 0s.
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Exercício: 2.18
Um campo de velocidade é dado por:
     -1-1 0,2s B e 1sCA ;jCyiBt1AxV 

0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x (m)
y 
(m
)
t=0s
t=1s
t = 2s
emissão
Linhas de corrente
Resp.: 
Linhas de Corrente
t=0-> y =x
t=1->y1.2=x
t=3->y1.4=x
Linha emissão para pto. 
(1,1) & 0<t0<2seg:
x=exp[(2-t0)+0.1(4-t02)]
y=exp[2-t0]
Obtenha a linha de emissão que passa pelo ponto 
(x0,y0)=(1,1) durante o intervalo de t = 0 a 2s. Compare com 
a linha de corrente que passa pelo mesmo ponto nos 
instantes t = 0s,1s e 2s.
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Ex. 2.18 trajetórias x emissão
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 12
x (m )
y
(m
)
tra je tó ria p a rtícu la t0= 0 
tra je tó ria p a rtícu la t0= 1 
tra je tó ria p a rtícu la t0= 2 
l in h a e m issã o 0< t< 2s
A linha de emissão conecta as partículas que passaram em (1,1) entre os 
instantes 0 a 2 seg. A fig. Também mostra as trajetórias das particulas que 
passaram por (1,1) em 0, 1 e 2 seg.
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Escoamento Externo x Interno
Escoamentos externos não são 
confinados por paredes .
Escoamentos internos possuem
fronteiras sólidas (paredes) que 
limitam ou restringem o campo 
de escoamento 
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REGIME DO ESCOAMENTO
• De acordo ao regime, o escoamento pode ser:
Laminar
Turbulento
Transição
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Escoamento Laminar x 
Turbulento
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• Escoamento Laminar – é aquele no qual o fluido 
escoa em laminas ou camadas; não há mistura 
macroscópica de camadas adjacentes de fluido
• Escoamento Turbulento – Escoamento 
desorganizado devido a a pequenas flutuações de 
velocidade, de alta freqüência, superpostas ao 
movimento principal
• As condições de escoamento laminar e turbulento 
afetam grandiosamente na potência de 
bombeamento e taxa de transferência de calor.
Escoamento Laminar x 
Turbulento
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A Experiência de Osborne 
Reynolds (1841-1912)
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• Reynolds mostrou experimentalmente que o regime 
de escoamento era definido pelo parâmetro 
adimensional (que mais tarde recebeu seu nome):
A Experiência de Osborne 
Reynolds (1841-1912)

 DV
Re
• Fisicamente o número de Reynolds é a razão entre as 
forças de inércia e viscosas, isto é:
 
Re
 cos
Forças de Inercia
Forças vis as

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Laminar, transição e regime 
turbulento.
Visualização com corante em água num tubo de vidro, 1883 Manchester Univ. 
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PR
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• Com o cuidado necessário para manter o escoamento 
isento de perturbações e com superfícies lisas, 
experiências têm sido capazes de manter o escoamento 
laminar até números de Reynolds de cerca de 100000.
Escoamento Laminar x 
Turbulento
• A maioria de escoamento na engenharia não é 
controlada com tanto cuidado
• Entre 2300 e 10000 há uma transição onde o 
escoamento pode se apresentar em regime laminar, 
turbulento ou transiocionando (regiões laminar e 
turbulentas.
• Acima de 10000 o escoamento é turbulento.
• Para escoamento em tubos, sob condições normais, o 
regime laminar ocorre até  2300
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Laminar Re < 2300 só para 
Tubo
• Um engano freqüente para quem estuda pela 
primeira vez o assunto é assumir que para 
qualquer escoamento o Re = 2300 demarca a 
região laminar. 
• ISTO NÃO É VERDADE. Re = 2300 só vale para 
tubos.
• Escoamentos externos, placas planas, 
aerofólios, e outras estruturas apresentam 
diferentes Re para demarcar a transição!
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53
Mais Definições
• Escoamento de gases com transferência de 
calor desprezível e número de Mach M 0,3 
pode ser considerado como incompressível
• O valor de M = 0,3 no ar corresponde a uma 
velocidade de aproximadamente 100 m/s.
• Neste capítulo só será estudado o escoamento 
incompressível.
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54
• O escoamento acontece devido a uma força 
externa ou de maneira natural.
• O escoamento forçado (ou Convecção forçada) 
acontece devido a uma adição de energia 
(ventilador, bomba, compressor, etc) ao fluido o 
que força o escoamento.
• No caso do escoamento natural (ou convecção 
natural) forças como a gravitacional ou empuxo 
causam o escoamento.
Mais Definições
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55
• Em regime permanente, a conservação da massa exige 
que a vazão em qualquer seção do tubo seja a mesma. 
• Isto significa que a velocidade média não varia.
• Enquanto que próximo da entrada o perfil de 
velocidades pode ser plano, a atuação da viscosidade 
desacelera o fluido próximo da parede. 
•Para conservar massa o núcleo deve ser acelerado!
• Este conjunto de fatores faz com que seja estabelecido 
um perfil de velocidades a jusante da entrada cujo 
máximo é no centro e o mínimo é na parede.
Escoamento na Entrada de um 
Tubo ou Canal
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• Na região de desenvolvimento o núcleo do escoamento é 
acelerado e o fluido próximo da parede é retardado pela ação da 
viscosidade.
• O perfil de velocidades e a pressão variam ao longo da direção 
axial do tubo.
• O comprimento da região de entrada é denominado por Le.
• Para distâncias superiores a Le, diz-se que o escoamento está 
hidrodinâmicamente desenvolvido.
Le
Escoamento Desenvolvido 
Hidrodinamicamente
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57
Escoamento Desenvolvido 
Hidrodinamicamente
• Para x > Le, as camadas de fluido com gradiente de velocidade 
se encontram; o núcleo cessa de acelerar e o perfil de velocidades 
axial não varia ao longo do tubo. 
• Neste caso diz-se que o escoamento está hidrodinâmicamente 
desenvolvido.
Le
Le  0,06(D)Re - Laminar
Le  4,40(D)Re(1/6) - Turbulento
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Por que o termo: “Desenvolvido 
Hidrodinamicamente”?
• A palavra hidrodinâmico, apesar de se referir à água, é um 
termo genérico referindo-se ao fluido (gás ou líquido) cujo o 
perfil de velocidades não mais varia ao longo da direção axial do 
escoamento.
• Como o escoamento pode também transportar energia, se usa o 
termo ‘desenvolvido térmicamente’ onde o perfil adimensional 
das temperatura cessa de variar.
• Similarmente também pode-se aplicar o termo ao transporte de 
massa (concentração) de espécies. 
• Os comprimentos de desenvolvimento hidrodinâmico, térmico 
e de concentrações não são coincidentes mas dependem das 
propriedades do fluido. Isto será abordado no curso de 
transferência de calor.
30
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Conseqüências do Desenvolvimento 
Hidrodinamico: Velocidades
• Quando o escoamento se torna desenvolvido o vetor 
velocidade não varia na direção do escoamento mas 
transversalmente a ele, isto é, u= u(r) somente. 
• O vetor de velocidades é uni-dimensional com somente uma 
componente na direção x que depende da distância da parede
• As componentes de V nas outras direções (r e z) são nulas.
•A velocidade média em qualquer seção transversal
1
ÁreaV udAA
  cteUV  0
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60
• A pressão varia ao longo do escoamento mas não varia 
transversalmente à ele, P = P(x). 
• Isto é, em qualquer seção transversal a pressão é uniforme.
• Isto é válido para escoamentos internos desenvolvidos ou não, 
desde que não haja separação ou variação abrupta da seção 
transversal. 
Conseqüências do Desenvolvimento 
Hidrodinamico: Velocidades