Cônicas: Elipse, Parábola e Hipérbole

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MATEMÁTICA BÁSICA
Cônicas: elipse, parábola, hipérbole; translação de eixos
As cônicas – hipérbole, parábola, elipse e a
circunferência, possuem todas elas, um aspecto
singular: podem ser obtidas através da interseção de um
plano convenientemente escolhido com uma superfície
cônica, conforme figura a seguir:
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Uma cônica em R2 é um conjunto de pontos cujas
coordenadas satisfazem a equação:
Ax2+Bxy +Cy2+Dx+Ey+F=0 
Onde A ou B ou C ≠ 0
A equação da cônica envolve uma forma quadrática Q(x,y)
=Ax2+Bxy +Cy2, uma forma linear L(x,y) = Dx +Ey, e
um termo constante F. Isto é, a equação geral que
define a cônica é:
Q(x,y) + L(x,y) + F = 0
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CIRCUNFERÊNCIA
Equação reduzida: Circunferência é o conjunto de todos
os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo,
desse mesmo plano, denominado centro da
circunferência:
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CIRCUNFERÊNCIA
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer
da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio
dessa circunferência. Então:
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Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação
reduzida da circunferência e permite determinar
os elementos essenciais para a construção da
circunferência: as coordenadas do centro e o
raio.
Observação: Quando o centro da circunferência
estiver na origem ( C(0,0)), a equação da
circunferência será x2 + y2 = r2 .
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Equação geral
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação 
geral da circunferência:
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da
circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida e geral da circunferência serão:
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   
0rbaby2ax2yx
rbby2yaax2xrbyax
22222
22222222


   
03y6x4yx
0169y6y4x4x
163y2x
22
22
22



Determinar a equação geral da circunferência de
centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:
( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16
Exercício: Escreva a equação geral da circunferência de centro C e
raio r, nos seguintes casos: a) C(3,2) e r = 7 b) C(-3,4) e r = 3
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EXERCÍCIOS
• Determinar a equação da circunferência de centro 
C (0,0) e raio r = 7.
• Determinar a equação da circunferência de centro 
C(– 4;6) e raio r = 8.
• Obter a equação da circunferência de centro C(– 3;5) e 
que passa pelo ponto P(1;2).
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PARÁBOLA
Uma parábola também é definida como o conjunto de
todos os pontos de um plano que estão a uma distância
igual de um ponto dado, chamado o foco da
parábola, a uma reta dada, chamada a diretriz da
parábola.
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PARÁBOLA
A parábola é uma curva com um foco (V é o 
vértice e F é o foco da parábola), onde a 
coordenada x do vértice é dado por: -b/2a
Y =Ax2+Dx+F
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Exemplos de parábolas:
Um exemplo são as antenas parabólicas, que
concentram num aparelho receptor os sinais
vindos de um satélite de televisão.
Faróis dos automóveis e das motocicletas, que
são espelhados por dentro e em que se coloca
a lâmpada no foco.
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Exercícios de parábolas
Faça o gráfico das seguintes parábolas:
a) y= 2x2 + 5x + 2 
b) y= x2 –5x + 6
c) y= x2 – 6x + 8
d) y= 3x2 + 11x+ 8 
e) y= 2x2 - 4x + 2 
f) y= x2 –5x + 3
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Exercícios de parábolas
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Exercícios de parábolas
• Ache a equação cartesiana da parábola que tem 
diretriz no eixo x e vértice em (2;1).
• Ache a equação cartesiana da parábola de foco 
em (3,2) e diretriz a reta x=4.
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ELIPSE
Entende-se por elipse o lugar geométrico de um plano
onde a soma da distância de sua extremidade a dois
pontos fixos, chamados de focos, F1 e F2, resulta em
uma constante 2a, onde 2a > 2c.
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a2= b2+c2
Excentricidade → e= c/a
Se b=a, a curva não será uma elipse e sim, uma
circunferência, de excentricidade nula, uma vez que
sendo b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a = 0/a = 0.
No outro extremo se b=0 resulta em c=a, logo e=1 (uma
linha)
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1º caso: elipse com focos sobre o eixo x
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2º caso: elipse com focos sobre o eixo y
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Exercícios
Determinar as equações das seguintes elipses:
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Exercícios
• Determinar os focos e as extremidades do eixo 
maior da seguinte elipse: 9x2 +36 y2 = 144
• Determine a equação reduzida da elipse com 
focos sobre o eixo x, com eixo maior medindo 
12 e eixo menor 8.
• Determine a equação reduzida da elipse 
sabendo que um dos focos é F1(0 , -3) e que o 
eixo menor mede 8.
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Observações
1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em 
torno do sol, que é um dos focos dessa 
trajetória.
2ª) A lua em torno da terra e os demais satélites 
em relação a seus respectivos planetas também 
apresentam esse comportamento.
3ª) O cometa Halley segue uma órbita elíptica, 
tendo o Sol como um dos focos.
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Hipérbole
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A hipérbole está representada pelo conjunto de pontos
presentes nas curvas em vermelho. Os pontos que
compõem a hipérbole apresentam uma característica
em comum. Dados quaisquer dois pontos, o módulo da
diferença das distâncias entre eles e os pontos F1 e F2 é
sempre igual à distância de 2a entre A1 e A2. Considere
P e Q como pontos pertencentes à hipérbole. De forma
simplificada, temos:
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Elementos de uma hipérbole
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HIPÉRBOLE
A hipérbole: x2/a2- y2/b2=1 (hipérbole com centro na origem
e eixo principal em x.
A hipérbole: y2/a2- x2/b2=1 (hipérbole com centro na origem
e eixo principal em y.
Exemplo: a hipérbole y2/9- x2/16=1 tem seus focos no eixo
y.
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Exercício sobre hipérbole
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Exercício sobre hipérbole
Qual será a equação da hipérbole que tem
foco em (5,0) e os extremos do eixo
conjugado em (0,2) e (0,-2)?
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Aplicações práticas da Hipérbole
Um exemplo de uma aplicação óptica é o chamado
telescópio de reflexão. É constituído basicamente por
dois espelhos, um maior, chamado primário, que é
parabólico, e outro menor, que é hiperbólico. Os dois
espelhos dispõem-se de modo que os eixos da parábola
e da hipérbole coincidam e que o foco da primeira
coincida com um dos da segunda. (telescópio Hubble)
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Exercícios de cônicas
1- Considere as equações apresentadas na coluna da
esquerda e os nomes das curvas planas descritas na
coluna da direita.
Associe a 2ª coluna com a 1ª coluna.
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Exercícios de cônicas
2- Determine o eixo menor, o centro, os vértices e 
os focos da cônica de equação dada por: 
x2 + 4y2+ 4x – 24y +24 = 0
3- Dada à hipérbole de equação:
5x2– 4y2 – 20x – 8y – 4 = 0. Determine os seus 
focos.
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