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Vetores e Geometria Analítica - 2 Ed [Paulo Winterle] (1)

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Prévia do material em texto

- A 
AS SECOES CONICAS 
I 
Sejam duas retas e e g concorrentes em O e não perpendicu-
lares. Conservemos fixa a reta e e façamos g girar 360° em torno 
de e mantendo constante o ângulo entre as retas. Nessas condições, 
a reta g gera uma superfície cônica circular infinita formada por 
duas folhas separadas pelo vértice O (Figura 8.1). 
A reta g é chamada geratriz da superfície cônica, e a reta e, 
eixo da superfície. 
Chama-se seção cônica, ou simplesmente cônica, o conjunto 
de pontos que formam a interseção de um plano com a super-
fície cônica. 
Quando uma superfície cônica é seccionada por um plano 
n qualquer que não passa pelo vértice O, a cônica será: 
a) uma parábola, se n for paralelo a uma geratriz da superfície 
(Figura 8.2(a) ); 
e 
g 
Figura 8.1 
b) uma elipse, se n não for paralelo a uma geratriz e intercepta apenas uma das folhas da 
superfície (Figura 8.2(b)) (ou uma circunferência, se n for perpendicular ao eixo). 
c) uma hipérbole, se n não é paralelo a uma geratriz e intercepta as duas folhas da superfície 
(Figura 8.2(c)). A hipérbole deve ser vista como uma curva só, constituída de dois ramos, 
um em cada folha da superfície. 
I / 
,; I 
I / I 
I / / 
~~ - - r -
..... / 
..... 
..... 
..... 
(a) (b) 
Figura 8.2 
\ 
\ 
1 
--·--L -- _,,._ 
.... 1 / 
/ 
(c) 
< 
('1) 
.-+ 
o ..., 
('1) 
VI 
('1) 
O'Q 
('1) 
o 
3 
('1) 
.-+ ..., 
-· 
QJ 
:::::s 
QJ -_, 
-· 
'17a 
Observa cão , 
As superfícies cônicas apresentadas nas Figuras 8.2 e 8.3 devem ser e consideradas 
como ilimitadas, ou seja, constituídas de duas folhas que se estendem indefinidamente 
em ambos os sentidos. 
/ 
I 
I 
I 
- - - - -
(a) 
/ 
/ 
/ 
-------- -
(b) 
Figura 8.3 
I 
,; 
I 
I 
\ 
\ 
1 
I 1 
I 
1 
1 
\ ,; 
- -:!'-
,; 
,; 
(c) 
Se cada um dos planos secantes da Figura 8.2 forem transladados paralelamente até 
chegarem ao vértice O, obteremos as respectivas cônicas "degeneradas)) da Figura 8.3: 
a) uma reta 
b) um ponto 
c) duas retas 
As cónicas foram de fundamental importância para o desenvolvimento da astro-
nomia, sendo descritas na antiguidade por Apolônio de Perga, um geômetra grego. 
Mais tarde, Kepler e Galileu mostraram que essas curvas ocorrem em fenômenos 
naturais, como nas trajetórias de um projétil ou de um planeta. No final deste capítulo 
estão descritas as propriedades de reflexão para cada uma das cônicas, com algumas 
de suas aplicações. 
No Museu de Ciências e Tecnologia da Pontifícia Universidade Católica do Rio 
Grande do Sul encontra-se um experimento que diz respeito às propriedades da reflexão 
anteriormente referidas, chamado reflexão sonora. Trata-se das parábolas acústicas. Na 
verdade, são paraboloides constituídas por duas antenas parabólicas metálicas (Figura 
8.4). Essas antenas de mesmo tamanho estão perfeitamente alinhadas e dispostas uma 
diante da outra e separadas por aproximadamente 20 m (para melhor visualização 
foram necessárias duas fotos, razão pela qual a ideia dessa distância não foi possível 
passar). O anel metálico em determinado ponto representa o foco da antena. Quando 
uma pessoa fala, emitindo som próximo do anel (foto da esquerda), as ondas sono-
ras refletidas na superfície da antena produzem um feixe de ondas paralelas que, ao 
incidirem na outra antena, refletem-se convergin<lo par<1 o foco {anel ) de~la. Então, ot1lr<1 
pessoa com o ouvido próximo do anel (foto da d ireita ) otl\'e n i tida111en te a p rin1eira. 
- . 
-
--
• 
• • •• 
Figura 8.4 
A Figura 8.4(a) esquematiza o experimento descrito anteriormente . 
• 
• 
• 
• 
• • • • • 
• 
• • • 
• 
• 
• 
• • • 
• • • • 
• 
• • 
• • 
• • 
• • 
e"----
• • • 
• • • • • 
• • 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• • 
• 
• • 
• 
foco foco • eixo 
~-----------
20 metros 
Figura 8.4(a) 
• • • • • • • • • • 
• 
• 
• 
• 
• 
• • • 
• 
• • 
• 
• 
• 
• 
• 
• • • • • • 
----~ 
• • 
• 
• • 
• 
• • • • • • ' . • • 
• 
• 
' • 
• 
• 
• 
• 
:... 
o -;:::. 
~ 
o 
-ç 
É importante observar que as cônicas são curvas planas e, portanto, tudo o que 
dissermos sobre parábola, elipse e hipérbole se passa em um plano. 
-· ,.... 
e: 
o 
00 
n 
O• 
~ -· ...... 
DJ 
VI 
1~ 
< 
('1) 
.-+ 
o ..., 
('1) 
VI 
('1) 
O'Q 
('1) 
o 
3 
('1) 
.-+ ..., 
-· 
QJ 
:::::s 
QJ -_, 
-· 
~o 
, 
PARABOLA 
Definicão , 
Parábola é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto 
fixo e de uma reta fixa desse plano. 
Consideremos uma reta de um ponto 
F não pertencente a d . 
Na Figura 8.5 estão assinalados cinco 
pontos (P 1, P 2, V, P 3 e P) que são equidis-
tantes do ponto F e da reta d. 
Então, um ponto P qualquer pertence 
à parábola se e somente se 
d(P,F) = d(P,d) 
ou, de modo equivalente, 
d(P,F) = d(P, P') 
e 
F 
V 
• • • • 
p ' p ' 1 2 P' 3 
Figura 8.5 
sendo P' o pé da perpendicular baixada de P sobre a reta d. 
Elementos 
Na Figura 8.5, tem-se: 
Foco: 
Diretriz: 
é o ponto F. 
é a reta d. 
p 
• d 
P' 
(1) 
Eixo: 
é a reta e que passa por F e é perpendicular a d. É fácil ver pela própria 
definição de parábola que essa curva é simétrica em relação ao seu eixo. 
Vértice: é o ponto V de interseção da parábola com o seu eixo. 
Equações reduzidas 
Seja a parábola de vértice V(O,O). Consideremos dois casos: 
1) O eixo da parábola é o eixo dos y 
Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola (Figura 8.6) de foco F(o,E.) e diretriz 
de equação y =- p. 
2 
2 
A definição de parábola expressa 
pela igualdade (1) é equivalente a 
IFPl=IP'PI 
y 
.,,,. .,... 1 
ou 
Como P'(x, - p)Ed, vem 
2 
p p 
(x - 0,y - -) = (x - x,y + -) 
2 2 
E 
2 
V 
A 
Figura 8.6 
Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos 
ou 
2 2 
x2 + yz - py+ P = y2 + py+ P 
4 4 
ou simplesmente 
que é a equação reduzida para este caso. 
Observacões , 
a) O número real p:;t:O é cha-
mado parâmetro da parábola. 
b) Da equação (2) conclui-se: como 
py >o, o parâmetro p e a orde-
nada y de P têm sinais iguais 
x2 =2py 
y> o 
p> o 
Figura 8.7 
1 
1 
1 X 
d 
P'(x,-~) 
(2) 
y<O 
p< o 
(py = O se y = O) e, consequentemente, se p > O, a parábola tem abertura para cima, 
e, se p <O, para baixo (Figura 8.7). 
c) O gráfico da equação (2) é simétrico em relação ao eixo dos y, pois, substituindo-se 
x por - x, a equação não se altera, ou seja, se o ponto (x, y) pertence ao gráfico, 
o ponto (- x, y) também pertence. 
n 
QJ 
-a _, 
r+ 
e -o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
n 
QJ 
VI 
< 
('1) 
.-+ 
o ..., 
('1) 
VI 
('1) 
O'Q 
('1) 
o 
3 
('1) 
.-+ ..., 
-· 
QJ 
:::::s 
QJ -_, 
-· 
~2 
2) O eixo da parábola é o eixo dos x 
Sendo P(x, y) um ponto qualquer da parábola 
(Figura 8.8) de foco F( p ,O) e diretriz x = _ P obtere-
2 2 
mos, de forma análoga ao 1° caso, a equação reduzida 
y2 =2px (3) 
Da análise da equação (3) conclui-se imedia-
tamente: se p > O, a parábola tem abertura para 
a direita, e, se p <O, para a esquerda (Figura 8.9). 
Exemplos 
x> O 
p> o 
Figura 8.9 
x<O 
p<O 
y 
P'( ~,y) P(x,y) 
I 
I 
1
1 F( P
2 
,O) 
A V "A/ --+---'--..,._""*"-'Jlr ___ X 
d 
p 
2 
Figura 8.8 
1 
1. Para cada uma das parábolas x2 = 8y e x = - -y2 , construir o gráfico e encontrar 
o foco e uma equação da diretriz. 
2 
' Solução 
a) x2 = 8y 
Observemos que nesta equação, a 
cada valor de y, por exemplo, 2, cor-
respondem dois valores de x simétri-
cos, no caso, 4 e -4. Logo, os pontos 
( 4, 2) e (-4, 2) pertencem à parábola 
(Figura 8.10). 
Como a equação é da forma 
x2 = 2py, tem-se 
2p = 8 
p = 4 
p = 2 
2 
Portanto, 
foco: F(0,2) 
diretriz: y = - 2 
y 
F(0,2) 
-+-
4 4 
----------------y= 2 
2 
Figura 8.10 
b) A equação reduzida de x = _ _!_y2 é y2 = - 2x 
2 
Observemos que nesta equação, a cada valor de x, por exemplo, - 2, correspon-
dem dois valores de y simétricos, no caso, 2 e - 2. Logo, os pontos (- 2, 2) e 
(- 2, - 2) pertencem à parábola (Figura 8.11). 
Como a equação é da forma y2 = 2px, tem-se 
Portanto, 
2p =-2 
p =-1 
p 1 
-=--
2 2 
foco:1 
F(--,0) 
21 
1 
1 
1 
1 
1 
2 
y 
2 
1 
2 
Figura 8.11 
diretriz: 
1 
x = -
2 
2. Traçar um esboço do gráfico e obter uma equação da parábola que satisfaça as 
condições: 
a) vértice V(O, O) e foco F( l, O) 
b) vértice V(O, O) e diretriz y = 3 
e) vértice V(O, O), passa pelo ponto P( - 2, 5) e concavidade voltada para cima. 
' Solução 
a) A equação é da forma 
y2 = 2px (Figura 8.12 - o eixo da parábola é Ox) 
Mas, 
ou 
p = l ou p = 2 
2 
2p = 4 
Substituindo este valor de 2p na equação anterior, obte-
mos y2 = 4x 
y 
Figura 8.12 
_, 
-o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
< 
('1) 
.-+ 
o ..., 
('1) 
VI 
('1) 
O'Q 
('1) 
o 
3 
('1) 
.-+ ..., 
-· 
QJ 
:::::s 
QJ -_, 
-· 
~4 
b ) A equação é da forma 
x2 = 2py (Figura 8.13 - o eixo da parábola é Oy) 
Mas 
Logo, a equação é 
e) A equação é da forma 
p = - 3 ou 2p = - 12 
2 
x2 =-12y 
x 2 =2py (Figura 8.14 - o eixo da parábola é Oy) 
y 
------..."T""=E-- y-=3 
~~~"""?"'_,....~2=--~~- x 
o 
P<O 
Figura 8.13 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
y 
---- 5 
2 
Figura 8.14 
Como P pertence à parábola, o ponto (-2, 5) é uma solução da equação, ou 
seja, a afirmação 
é verdadeira. Daí vem 
(-2)2 = 2p(S) 
4 
2p = -
5 
e, portanto, a equação desejada é 
ou 
4 
x2 =-y 
5 
Sx2 - 4y=O 
Translacão de eixos , 
y 
y' 
P(x,y) 
Consideremos no plano cartesiano 
xüy um ponto O' (h,k) arbitrário. Vamos 
introduzir um novo sistema x'O'y' tal 
que os eixos O'x' e O'y' tenham a mesma 
unidade de medida, a mesma direção 
e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. 
Assim, todo ponto P do plano tem duas 
representações: P(x,y) no sistema xüy e 
P(x', y') no sistema x'O'y' (Figura 8.15). 
- - - -•• - - - - -t- -
y' 
- - - - - 1 P(x', y') 
ou 
Da figura obtém-se 
x = x' + h e y = y' + k 
x' = x - h e y' = _y - k 
que são as fórmulas de translação. 
(4) 
- -
y 
k 
o 
Outras formas da equação de parábola 
y 
1 
1 
1 
~ - - -
o' 
1 
1 1 
X -1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
h 1 • 
1 
X • 
Figura 8.15 
Seja uma parábola de vérti-
ce V(h,k) :;t( 0,0 ). Consideraremos 
somente os casos de o eixo da pa-
rábola ser paralelo a um dos eixos 
coordenados. 
---~- ----- p 
1) O eixo da parábola é paralelo ao 
eixo dos y 
Com origem no ponto V, trace-
mos o sistemax'O'y' (O'= V) nas con-
dições do item anterior (Figura 8.16). 
A parábola em relação a este 
. , . . 
sistema tem vertice na origem e, 
y 
k 
l 
------
d V 
o 
h 
X 
portanto, sua equação reduzida é 
Figura 8.16 
, 2 , 
X =2py 
Como para todo ponto P da parábola, por (4) temos 
x' =x - h e y' =y-k 
e pela substituição em (5) resulta a equação 
(x- h)2 =2p(y- k) 
que é a forma padrão para este caso, e referida ao sistema xüy. 
x' 
X 
X 
(5) 
_, 
r+ 
e -o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
n 
QJ 
VI 
1~ 
< 
(1) 
.-+ 
o 
"""I 
(1) 
VI 
(1) 
O'Q 
(1) 
o 
3 
(1) 
.-+ 
"""I -· 
-_, 
-· 
'06 
As observações já feitas com relação ao parâmetro p continuam válidas: se p > O, 
a parábola está voltada para cima, e, se p < O, estará para baixo. 
2) O eixo da parábola é paralelo ao eixo dos x 
De modo análogo, temos 
(y - k)2 = 2p(x - h) 
Outras formas da equação da parábola serão apresentadas no próximo exemplo . 
Exemplos 
1. Determinar uma equação da parábola de vértice V(3, - 2), eixo paralelo ao dos y 
e parâmetro p = 1. 
' Solução 
Como o eixo da parábola é paralelo ao eixo dos y, sua equação é da forma 
(x - h)2 = 2p(y - k) 
e, neste caso, temos 
(x - 3)2 = 2(l)(y+2) 
ou 
(x-3)2 =2(y+2) 
cujo gráfico é o da Figura 8.17. 
A equação (6) ainda pode receber a forma 
x2 -6x+9 =2y+4 
ou 
x2 -6x-2y+S =O (7) 
que é a equação geral dessa parábola. 
Assim, qualquer parábola cujo eixo coincide ou 
é paralelo a um dos eixos coordenados, sempre 
pode ser representada pela equação geral que 
terá uma das formas 
ax2 + ex + dy + f = O a ;t: O 
ou 
y 
5 -
2 
- 2 - -
1 eixo 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
1 
V 
Figura 8.17 
(6) 
(8) 
by2 +ex + dy + f = O b :;t: O (9) 
Se em (7) isolarmos o valor de y, teremos 
1 2 5 
y=-x -3x+-
2 2 
que é a equação explícita da parábola deste exemplo. 
Então, sempre que explicitarmos y em uma equação do tipo (8) ou x em uma 
equação do tipo (9), obteremos a respectiva equação explícita na forma 
y = ax2 + bx + e a :;t: O 
ou 
x = ay2 + by + e a :;t: O 
2. Seja a parábola de vértice V(4, 2) e foco F(l, 2). Traçar um esboço do gráfico e 
determinar sua equação geral. 
' Solução 
a) Um esboço do gráfico: Figura 8.18. 
b) Tendo em vista que o eixo da parábola 
é paralelo ao eixo dos x, sua equação na 
forma padrão é 
(y - k)2 = 2p(x - h) 
e como 
h=4 k=2 p =-3 :. 2p=-12 ) ) 2 
a equação fica 
(y - 2)2 =-12(x - 4) 
y 
2 
o 
Efetuando as operações indicadas e ordenando, vem 
y2 - 4y+4 =-12x+48 
ou 
y2 + 12x - 4y - 44 = 0 
que é uma equação geral desta parábola. 
p< o 
F V • etxo - ~ - - - - - - - - -
1 
1 
1 1 
11 14 
X 
p 
1 .. "' 1 -2 
Figura 8.18 
n 
QJ 
-a _, 
r+ 
e -o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
< 
(1) 
.-+ 
o 
"""I 
(1) 
VI 
(1) 
O'Q 
(1) 
o 
3 
(1) 
.-+ 
"""I -· 
QJ 
QJ 
::l 
QJ -_, 
.-+ 
-· 
n 
QJ 
'0a 
3. Determinar uma equação da parábola da Figura 8.19. 
y 
3 
Figura 8.19 
' Solução 
Entre a equação na forma padrão e a explícita, a segunda é mais simples para o problema. 
Então, como o eixo da parábola é paralelo ao dos y, sua equação é da forma 
y = ax2 + bx+c 
Ora, sendo (O, - 1), (1, O) e (3, O) pontos da parábola, suas coordenadas devem 
satisfazer esta equação, ou seja, 
ou 
-l=a(0)2 +b(O)+c 
O =a( 1)2 +b(1) +c 
O =a(3)2 +b(3)+c 
c=-1 
a+b+c=O 
9a+3b+c=O 
sistema cuja solução é 
1 4 
a =-- b =-
3 ) 3 
e c =-1. 
Logo, a equação da parábola é 
1 2 4 
y =--x + -x - 1 
3 3 
4. Dada a parábola de equação y2 + 6y - 8x + 17 = O , determinar 
a) 
b) 
sua equação reduzida; 
, . 
o vert1ce; 
e) um esboço do gráfico; 
d) 
e) 
o foco e uma equação da diretriz; 
uma equação do eixo. 
' Solução 
a) Iniciemos escrevendo a equação na forma 
y2 + 6y = 8x - 17 
Completemos o quadrado do primeiro membro: 
y2 +6y+9 = 8x - 17 + 9 
Como adicionamos 9 ao primeiro membro, devemos fazer o mesmo com o 
membro da direita. A última equação pode ser escrita 
(y+3)2 =8(x-l) (1 O) 
que é a forma padrão de uma parábola de eixo paralelo ao eixo dos x. Então, 
se em (1 O) utilizarmos as fórmulas de translação 
x' = x - 1 e y' = y + 3 
obteremos 
Y'2 = 8x' 
que é a equação reduzida desta parábola referida ao sistema x'O'y', na qual 
O'=V (vértice), O'x'//Ox e O'y'//Oy. 
b) Como a equação (1 O) é da forma padrão 
(y-k)2 = 2p(x-h) (11) 
em que h e k são as coordenadas do vértice, vem imediatamente: V(l, - 3). 
c) Um esboço do gráfico: Figura 8.20. 
d) Confrontando (1 O) e (11 ), concluímos: 
2p=8 p=4 p =2 
' ' 2 y 
e pelo gráfico tem-se 1 1 3 
foco: F(3, - 3) X o 1 
diretriz: X= - 1 
1 1 
1 
p> o 1 1 
e) Eixo: y = - 3 1 1 1 
1 
3 V 1F 
• eixo - - - ---·---1 
1 
p p 1 
.. 1 ~- .. -
2 2 
Figura 8.20 
_, 
r+ 
e -o 
00 
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3 
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~o 
Equações paramétricas 
Consideremos a equação reduzida da parábola cujo eixo é o dos y: 
x2 = 2py 
Nessa equação, x pode assumir qualquer valor real, se fizermos x = t ( t é chamado 
parâmetro), teremos y = 
1 
t2 • 
2p 
Então, equações paramétricas da parábola são, neste caso, dadas por 
x=t 
1 
y = t2 , t E JR 
2p 
De igual forma, se na equação y2 = 2px fizermos y = t, o sistema 
1 
X= t2 
2p 
y = t, t E JR 
constitui equações paramétricas da parábola com vértice V(O,O) e eixo Ox. 
Com procedimento semelhante, obtém-se equações paramétricas no caso de o 
vértice da parábola não ser a origem do sistema, conforme exemplo a seguir. 
Exem pio 
Obter equações paramétricas da parábola de equação: 
1 
a) x2 = -y 
4 
4' Solução 
b) (y - 3)2 = 2(x+2) 
1) Se fizermos x = t, teremos y = 4t2 e, portanto, o sistemax = t 
y = 4t2 
constitui equações paramétricas da parábola. 
2) Fazendo y - 3 = t, vem y = t + 3. Então, 
t2 = 2(x+2) 
ou 
t2 = 2x+4 
e 
t2 - 4 
X= 
2 
Assim, o sistema 
t2 - 4 
X= 
2 
y = t + 3 
constitui equações paramétricas da parábola. 
Por outro lado, de y = t + 3, vem t = y - 3, que substituindo na primeira 
equação resulta 
(y - 3)2 - 4 
x =----
2 
ou 
(y - 3)2 = 2(x + 2) 
que é a equação cartesiana dada inicialmente. 
Problemas propostos 
Para cada uma das parábolas dos Problemas de 1 a 1 O, construir o gráfico e encontrar o foco e uma 
equação da diretriz. 
1. x2 =-4y 7. x2 - lOy = 0 
2. y2 = 6x 8. 2y2 - 9x = O 
3. y2 =-8x x2 
9. y = 16 
4. x2 +y = O 
y2 
1 o. x =-
5. y2 - x = O 8 
6. y2 + 3x = 0 
n 
QJ 
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QJ 
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~2 
Nos Problemas de 11 a 26, traçar um esboço do gráfico e obter uma equação da parábola que satisfaça 
as condições dadas. 
11. vértice: V(O, O); diretriz d: y = - 2 
12. foco: F(2, O); diretriz d: x + 2 = O 
13. vértice: V(O, O); foco: F(O, - 3) 
14. vértice: V( O, O); foco: F(-_!_, O) 
2 
15. foco: F(O,-_!_) ; diretriz d: 4y - 1 = O 
4 
16. vértice: V(O, O); simetria em relação ao eixo dos y e passa pelo ponto P(2,- 3) 
17. vértice: V( O, O); eixo y = O; passa por ( 4,5) 
18. vértice: V( - 2, 3); foco: F( - 2, 1) 
19. vértice: V(2, - 1); foco: F(5, - 1) 
20. vértice: V( 4, 1 ); diretriz d: y + 3 = O 
21. vértice: V(O, - 2); diretriz: 2x - 3 = O 
22. foco: F(4, - 5); diretriz: y = 1 
23. foco: F(- 7, 3); diretriz: x + 3 = O 
24. foco: F( 3, - 1); diretriz: 2x - 1 = O 
25. vértice: V(4, - 3); eixo paralelo ao eixo dos x, passando pelo ponto P(2, 1) 
26. vértice: V( - 2, 3); eixo: x + 2 = O, passando pelo ponto P(2, O) 
Em cada um dos Problemas de 27 a 36, determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação 
da diretriz e uma equação do eixo da parábola de equação dada. Esboçar o gráfico. 
27. x2 + 4x+8y+l2 = 0 32. x2 - 12y + 72 = 0 
28. x2 - 2x - 20y - 39 = 0 33. y = x2 - 4x + 2 
29. y2 +4y+16x - 44 = 0 34. y = 4x - x2 
30. y2 - 16x + 2y + 49 = O 35. y2 - 12x - 12 = 0 
x2 
31. y = - 2x - l 
4 
36. 2x2 - 12x - y + l4 = 0 
Nos Problemas de 37 a 39, encontrar a equação explícita da parábola que satisfaça as condições: 
37. eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e passando pelos pontos A( - 2, O), B(O, 4) 
eC(4,0). 
38. eixo de simetria paralelo a x = O e passando pelos pontos A(O, O), B(l, - 1) e C(3, - 1). 
39. eixo paralelo a y = O e passando por A(- 2, 4), B(- 3, 2) e C(- 6, O). 
40. Dada a parábola de equação y =-x2 +4x+5, determinar: 
a) o vértice; 
b) as interseções com os eixos coordenados; 
c) o gráfico; 
d) o foco; 
e) uma equação da diretriz. 
Nos Problemas de 41 a 44, obter equações paramétricas da parábola de equação dada. 
41. y2 =-4x 43. (x+4)2 =-2(y - l) 
42. x2 = 2y 44. y2 - 4y+X+1 = 0 
Nos Problemas 45 e 46, obter uma equação geral da parábola dada por equações paramétricas. 
X= t + l t2 
45. 46. 
x = - + 4 
t2 4 
y =--2 
y = t 3 
47. Em que pontos a parábola de vértice V(- 2, O) e foco F(O, O) intercepta o eixo dos y? 
48. Encontrar sobre a parábola y2 = 4x um ponto tal que sua distância à diretriz seja 
igual a 3. 
49. Utilizar a definição para encontrar uma equação da parábola de foco e diretriz 
dados: 
a) F(- 3,4); 
d: y = 2 
b) F(O, 3); 
d: x- 2 = O 
50. Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move de modo 
que sua distância ao ponto A(- 1, 3) seja igual à sua distância à reta y + 3 = O. 
51. Encontrar uma equação da parábola e suas interseções com os eixos coordenados, 
sendo dados: 
a) foco: F(O, O), eixo: y = O e passa por A(3, 4); 
b) foco: F(O, - 1), eixo: x = O e passa por A(4, 2). 
52. Na Figura 8.21, o arco DC é parabólico e o segmento AB está dividido em 8 partes 
iguais. Sabendo que d = 10 me AB = 80 m, determinar h 1 e h2. 
_, 
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~4 
53. 
d 
A B 
Figura 8.21 
Uma família de parábolas tem equação y = ax2 + bx + 8. Sabendo que uma delas 
passa pelos pontos (1,3) e (3, - 1), determinar: 
a) os pontos de interseção com o eixo dos x; 
b) os pontos de ordenada 15; 
e) equações paramétricas desta parábola. 
54. Dados os sistemas de equações paramétricas 
x = Et 
e 
y = t + 3, t E [ 0,8] 
x=-t 
t 2 
y = 2 + 3, t E [ -4, 0] 
mostrar que eles representam parte de uma mesma parábola, esboçando o gráfico. 
' Respostas de problemas propostos 
1. F(0, - 1),y = l 9. F(0,4),y+4 = 0 
3 
2. F(-,0),2x+3 = 0 
2 
1 O. F(- 2,0),x = 2 
3. F(- 2,0),x = 2 11. x2 = 8y 
1 1 
4. F(O,--), y = - 12. y2 = 8x 
4 4 
5. 
1 1 
F(-,O),x = - -
4 4 
13. x2 =-12y 
6. 
3 
F(- -,0),4x - 3 = O 
4 
14. y2 =-2x 
5 
7. F(0, - ),2y+5 = 0 
2 
15. x2 =-y 
9 
8. F(-,0),8x + 9 = 0 
8 
16. 3x2 + 4 y = O 
17. 4y2 -25x =0 
18. x2 +4x+8y-20=0 
19. y2 +2y-12x+25 =0 23. y2 - 6y + 8x +49 =0 
20. x2 - 8x - 16y+32 =0 24. 4y2 + 8y -20x +39 =0 
21. y2 + 4y + 6x+4 = 0 25. y2 + 6y + 8x - 23 =0 
22. x2 - 8x+l2y + 40 = 0 26. 3x2 +12x+l6y-36=0 
27. x 12 =-8y1 , V(-2,-1), F(-2,-3), y=l, x=-2 
28. x 12 =20y1 , V(l,-2), F(l,3), y=-7, x=l 
29. y 12 =-l6x1 , V(3,-2), F(-1,-2), x=7, y=-2 
30. y 12 =l6x1 , V(3,-l), F(7,-l), x=-1, y=-1 
31. x 12 =4y1 , V(4,-5), F(4,-4), y=-6, x=4 
32. x 12 = l2y1 , V(0,6), F(0,9), y = 3, x =O 
33 1 2 - I V( ) F( 7) - 9 -. X - y , 2, -2 , 2, - - , y - - - , X - 2 
4 4 
12 _ I ( ) ( 15) _ _ 34. x --y, V 2,4, F 2,-, 4y-17 -0, x-2-0 
4 
35. y 12 =l2x1 , V(-1,0), F(2,0), x=-4, y=O 
36 1 2 - 1 I V( ) F( 31) - -. X --y, 3,-4, 3,--, 8y+33 - 0, X-3 
2 8 
1 
37. y=--x2 +x+ 4 
2 
38 
1 2 4 
. y=-x --x 
3 3 
1 2 39. x=--y +2y-6 
4 
40. a) V(2,9) 
d) F(2, 
35
) 
4 
1 
x=--t2 
41. 4 
y=t 
b) (-1, O), (5, O), (O, 5) 
e) 4y -37= 0 
x=t 
42. t2 
y=-
2 
n 
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"O _, 
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QJ 
~6 
x = t - 4 
43. t2 
y = l - -
2 
X = 3 - t2 
44. 
y = t+2 
45. x2 - 2x - 3y - 5 = 0 
46. y2 - 4x+l6 = 0 
47. (0,4) e (0, - 4) 
48. (2,18) e (2, - 18) 
49. a) x2 +6x - 4y+21 = 0 
b) y2 - 6y+4x + 5 = 0 
ELIPSE 
Definicão , 
50. x2 +2x - 12y + l = O 
51. a) y2 - 4x - 4 = 0, (- 1,0), (0,+2) 
b) x2- 4y - 8 = 0, (+2..J2,o), 
(0, - 2) 
52 . h1 =20m e h2 = 32,5m 
53. a) (2,0) e (4,0) 
b) (- 1,15) e (7,15) 
e) X = t + 3 e y = t2 - 1 
Elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois 
pontos fixos desse plano é constante. 
Consideremos no plano dois pontos distintos, F 1 e F2, 
tal que a distância d (f\, F2) = 2c, e um número real positivo 
a com 2a > 2c. 
Chamando de 2a a constante da definição, um ponto 
P pertence à elipse (Figura 8.22) se, e somente se, 
d(P,f\) +d(P,F2) = 2a 
Para construir uma elipse no papel, pode-se proceder 
conforme sugere a Figura 8.23: fixam-se dois pregos em pontos 
arbitrários F1 e F2 amarrando-se neles as extremidades de um 
fio não esticado. Um lápis que deixa o fio distendido marca o 
ponto P. Se fizermos o lápis deslizar sobre o papel, mantendo o 
fio sempre distendido, a ponta descreverá a elipse e, portanto, 
para todo o ponto P da elipse, a soma das distâncias d(P,F1 ) 
e d (P,F2) será sempre igual ao comprimento do fio, ou seja, 
um valor constante, que, na definição, foi denominado 2a. 
p 
Figura 8.22 
,, 
/ 
I 
\F 
'1 
.,,,. 
(1) 
..... 
' \ 
Fz / 
I 
..... - .,,,. - - - ,, 
Figura 8.23 
Se variarmos as posições de F1 e F2 mantendo fixo o comprimento do fio, a forma 
da elipse variará. Assim, quanto mais afastados um do outro estiverem os pontos F 1 e F2, 
tanto mais "achatada)) é a forma da elipse. Por outro lado, se d(F1 ,F2) está próximo de zero,a elipse é quase circular, e no caso de F 1 = F2, temos a circunferência de centro F1 e raio a. 
Elementos 
Com base na Figura 8.24, tem-se: 
Focos: são os pontos F1 e F2. 
Distância focal: é a distância 2c entre os 
focos. 
1 
Centro: é o ponto médio C do segmento 
F1F2. 1 
1 1 ---~_...,_::::-:::_ - -1 - - - - .. _ 
1 B i 1 
Eixo maior: é o segmento A1A2 de com-
primento 2a (este segmento contém os focos). 
Eixo menor: é o segmento B1B2 de com-
' i+ 2c ------- ----- ->t ' 
i. - - - - - - ------ - - - - - . 2a ------------------.i 
Figura 8.24 
primento 2b e perpendicular a A1A2 no seu ponto médio. 
Vértices: são os pontos A1 ,A2 ,B1 e B2. 
Pela Figura 8.24, é imediato que B2F2 = a, pois B2f\ +B2F2 = 2a (definição de elipse) 
e B2F1 = B2F2. Logo, do triângulo retângulo B2CF2 vem 
ª2 = b2 +c2 
A igualdade mostra que b < a e c < a. 
Excentricidade da elipse é o número real 
c 
e = - (O<e<l) 
a 
(2) 
A excentricidade é responsável pela "forma)) da elipse: elipses com excentricidade 
perto de O (zero) são aproximadamente circulares, enquanto elipses com excentrici-
dade próxima de 1 são "achatadas)). Por outro lado, fixada uma excentricidade, por 
exemplo, e=_!_, todas as infinitas elipses com esta excentricidade têm a mesma forma 
(diferem ape~as pelo tamanho). 
Observa cão , 
A 1° lei do astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630) é expressa por: "qual-
quer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma órbita elíptica, da qual o Sol ocupa 
um dos focos )). A maioria dos planetas tem órbitas aproximadamente circulares, o que 
_, 
r+ 
e -o 
00 
n 
O> 
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n 
QJ 
VI 
1~ 
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('1) 
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O'Q 
('1) 
o 
3 
('1) 
.-+ ..., 
-· 
QJ 
:::::s 
QJ -_, 
-· 
~8 
significa dizer que suas excentricidades estão perto de zero. Por exemplo, a órbita da Terra 
tem excentricidade 0,02, a de Júpiter, 0,05, a de Marte, 0,09, para mencionar apenas algumas. 
Mercúrio e Plutão, cujas órbitas elípticas têm 
excentricidades bem maiores, 0,21 e 0,25, res- Cometa de Halley 
. . - ' pect1vamente, constituem uma exceçao a 
Sol 
• maioria dos planetas. O "campeão)) de excen-
tricidade no sistema solar parece ser o Cometa 
Halley com e = 0,967 (quase 1) e ele leva apro-
ximadamente 76 anos (período de revolução) 
para dar uma volta em torno do Sol. A Figura 
Terra 
Figura 8.25 
8.25 dá uma ideia das trajetórias da Terra e de Halley com o Sol em um dos focos. 
Com a finalidade de obtermos uma equação de elipse, teremos que referi-la ao 
sistema de eixos cartesianos. Iniciemos pelos casos mais simples. 
Equações reduzidas 
Seja a elipse de centro C( O, O). Consideraremos dois casos: 
1) O eixo maior está sobre o eixo dos x 
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse (Figura 8.26) de focos fi(- c,O) e 
F2 (c,O). 
Pela definição em (1 ), y 
tem-se 
d(P,F1 ) + d(P,F2 ) = 2a 
ou 
B2 
.---T-~~P(x,y) 
~~...___.,~~~---,,O~~~~-F-2 (•c,-O-) +-A-2~~-- x Ar F1( c,O) l 1 
b ou, em coordenadas, 
(x+c,y-0) + (x-c,y-O) l= 2a 
~ ( x + e )2 + y2 + ~ ( x - e )2 + y2 = 2a 
~x2 +y2 +2cx+c2 =2a -~x2 +y2 - 2cx+c2 
-------4----=-::-::::_--::_ - - - - t- - - - -
Br 
i+----a---
Figura 8.26 
(~x2 +y2 + 2cx+c2 ) 2 =(2a -~x2 + y2 - 2cx+c2 ) 2 
x2 + y2 +2cx + c2 = 4a2 -4a~x2 +y2 - 2cx + c2 +x2 +y2 - 2cx + c2 
a~x2 +y2 - 2cx + c2 = a2 - ex 
Como por (2) tem-se a 2 -c2 =b2, resulta 
Dividindo ambos os membros da equação por a2b2, vem 
que é a equação reduzida para este caso. 
2) O eixo maior está sobre o eixo dos y 
x2 y2 
-+ =l 
ª2 b2 
Observando a Figura 8.27, com procedimento 
análogo ao 1° caso, obteremos a equação reduzida 
x2 y2 
-+ =l 
b2 ª2 
a 
y 
(O,c) 
P(x,y) 
~l __ B~1 t----=-f---1--+-B~2'----x 
o 
Observa cão , 
Como em toda elipse tem-se a> b (ou a2 > b2), para 
saber se a elipse tem seu eixo maior sobre Ox ou sobre 
Oy, basta observar onde está o maior denominador (a2) 
na sua equação reduzida. Se esse for denominador de 
x2, o eixo maior está sobre Ox. Caso contrário, estará 
sobre Oy. 
Por exemplo, na equação reduzida 
x2 y2 
- + = l 
4 9 
o maior denominador é 9. Como ele é denominar de y2, o eixo 
maior da elipse está sobre o eixo dos y (Figura 8.28). No caso, 
temos 
a2=9 :. a=3 
b2 =4 :. b=2 
(O, e) 
Figura 8.27 
y 
3 
2 o 2 
3 
Figura 8.28 
e, portanto, as interseções com os eixos são os quatro pontos (O, +3) e (+2,0). 
_, 
-o 
00 
n 
O> 
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(1) 
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(1) 
VI 
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3 
(1) 
.-+ 
"""I -· 
-_, 
-· 
~o 
Observemos, por outro lado, que se na equação anterior fizermos x = O, vem y = +3 
e para y = O, vem x = +2, o que confirma as interseções com os eixos em (O, +3) e ( +2,0). 
Exemplos 
Nos Problemas de 1 a 3, para cada uma das elipses, determinar: 
a) a medida dos semieixos; 
b) um esboço do gráfico; 
e) os focos; 
d) a excentricidade. 
1. 9x2 + 25y2 = 225 
' Solução 
a) Para expressar a equação na forma reduzida, dividimos ambos os membros 
da equação por 225: 
ou 
9x2 25y2 225 --+ - --
225 225 225 
x2 y2 
-+ = l 
25 9 
Maior denominador: 25. Logo, a2 = 25 e o eixo maior da elipse está sobre o 
eixo dos x, porque 25 é denominador de x2. 
Então, 
b) Gráfico: Figura 8.29 
c) ª 2 = b2 +c2 
25 = 9+c2 
c2 = 16 :. c = 4 
a2 = 25:. a = 5 
b2 = 9 :. b = 3 
5 
Logo, os focos são F1 (- 4,0) e F2(4,0). 
c 4 
d) e = - = -
a 5 
y 
3 
F2 
X o 5 
-3 
Figura 8.29 
2. 4 x2 + y2 - 16 = O 
' Solução 
a) Conduzindo a equação para a forma reduzida, vem 
x2 y2 
4x2 + y2 = 16 ou + = l 
4 16 
Maior denominador: 16 (denominador de y2). 
Logo, 
a2 = 16 :. a = 4 
b2 = 4 • b = 2 • • 
b) Gráfico: Figura 8.30. 
y 
4 
2 o 2 
4 
c) ª 2 = b2 +c2 Figura 8.30 
16 = 4 + c2 
c2 = 12 e c = .JLl. 
c .JU. 2J3 J3 
d) e = - = - - -
a 4 4 2 
3. x2 + y2 - 9 = O 
' Solução 
a) A forma reduzida desta equação é 
x2 y2 
- + = l 
9 9 
Neste caso, tem-se a2 = b2 = 9 e, portanto, 
a = b = 3. 
Trata-se de uma circunferência de raio 3. 
b) Gráfico: Figura 8.31. 
c) ª 2 = b2 +c2 
9 = 9+c2 
c = O 
y 
3 
3 
Figura 8.31 
Portanto, os dois focos coincidem com o centro da circunferência. 
c O 
d) e = - = - = 0 
a 3 
X 
A circunferência pode ser considerada uma elipse de excentricidade nula. 
n 
QJ 
-a _, 
r+ 
e -o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
n 
QJ 
VI 
< 
('1) 
.-+ 
o ..., 
('1) 
VI 
('1) 
O'Q 
('1) 
o 
3 
('1) 
.-+ ..., 
-· 
QJ 
:::::s 
QJ -_, 
-· 
~2 
4. Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto (3, O) e a medida do eixo 
maior é 8. Determinar sua equação. 
' Solução 
Como o foco é ponto do eixo x, a equação desta elipse é da forma 
x2 y2 
-+ = l 
ª 2 b2 
Precisamos determinar a e b. Como o eixo maior mede 8, ou seja, 
2a =8 :. a =4 
Tendo em vista que o centro da elipse é (O, O) e um dos focos é (3, O), conclui-
-se que c = 3. 
Mas 
ª 2 = b2 + c2 
ou 
16 =b2 +9 :. b2 =7 
Logo, a equação procurada é 
x2 y2 
-+ = l 
16 7 
Outras formas da equação da elipse 
Seja uma elipse de centro 
C(h,k) :;t( 0,0). Consideraremos 
somente os casos de os eixos da 
elipse serem paralelos aos eixos 
coordenados. 
1) O eixo maior é paralelo ao eixo 
dosx 
Utilizando uma conveniente 
translação de eixos, obtemos um 
novo sistemax'O'y' (Figura 8.32) em 
relação ao qual a elipse tem centro 
na origem e eixo maior sobre o eixo 
O'x'. Logo, sua equação reduzida é 
y 
y ' 
p 
- - - - - - - - - -._:::""':_:-:t _-:_ L:-_ ~-_::--., 
y ' 
A1 -·-- 1 l O'=C F 1 2 -x·-1 y 
k 
~~1--+-~~~----.--~~1-----~-x 
o 
- --h---
1 
1 
1 
- ---- X -----.1 
Figura 8.32 
x·2 y·2 
-+ =l 
ª2 b2 
(3) 
Para expressá-la em relação ao sistema original xOy, utilizamos as fórmulas de translação 
x' = x - h e y' = y - k 
que, substituídas em (3), resultam 
_(x_-_h_)2 + (y-k)2 =l 
ª2 b2 
que é a forma padrão para este caso. 
2) O eixo maior é paralelo ao eixo dos y 
De modo análogo ao 1° caso, temos 
(X - h )2 ( y - k )2 
---+ =l 
b2 ª 2 
Outra forma da equação da elipse será apresentada no próximo exemplo. 
Exemplos 
1.Uma elipse, cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y, tem centro C ( 4, - 2), excen-
tricidade e=_!_ e eixo menor de medida 6. Obter uma equação desta elipse. 
2 
' Solução 
Como o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo dos y, sua equação é da forma 
com h = 4 e k = - 2. 
Precisamos determinar a e b. 
Mas 
Sendo 
(X - h )2 + ( y - k )2 = 1 
b2 ª 2 
2b=6 :. b=3 
c 1 a 
e = - = - , vem c = -
a 2 2 
De 
ª 2 = b2 + c2 
_, 
-o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
< 
('1) 
.-+ 
o ..., 
('1) 
VI 
('1) 
O'Q 
('1) 
o 
3 
('1) 
.-+ ..., 
-· 
QJ 
:::::s 
QJ -_, 
-· 
~4 
resulta 
ou 
a 
ª 2 = 32 +(- )2 
2 
ª 2 
a2 =9+-, em que a2 = 12 
4 
Logo, a equação da elipse é 
(X - 4 )2 + ( y + 2 )2 = 1 
9 12 
Se eliminarmos os denominadores, desenvolvermos os quadrados e ordenar-
mos os termos, obteremos outra forma da equação da elipse: 
4(x2 - 8x+l6) + 3(y2 +4y+4) = 36 
ou 
4x2 - 32x+64+3y2 + 12y+l2- 36 = 0 
ou 
4x2 + 3y2 - 32x + l2y+40 = 0 
que é uma equação geral desta elipse. 
Assim, qualquer elipse cujos eixos estão sobre os eixos coordenados ou são 
paralelos a eles, sempre pode ser representada por uma equação geral que terá 
a forma 
ax2 + by2 +cx+dy+f =0 
com a e b de mesmo sinal. Em particular, quando a = b, esta equação poderá 
representar uma circunferência. 
2. Dada a elipse de equação 4x2 + 9y2 - 8x - 36y+4 = 0, determinar: 
a) 
b) 
e) 
d) 
e) 
f) 
sua equação reduzida; 
o centro; 
o gráfico; 
/ . os vert1ces; 
os focos; 
a excentricidade. 
' Solução 
a) Iniciemos escrevendo a equação na forma 
(4x2 - 8x) + (9y2 - 36y) =-4 
ou 
4(x2 - 2x) + 9(y2 - 4y) =-4 
na qual agrupamos os termos de mesma variável e evidenciamos os fatores 
4 e 9 para facilitar a construção dos trinômios quadrados nestes dois parên-
teses. Então, temos 
4(x2 - 2x + l) + 9(y2 - 4y+4) =-4 + 4(1)+9(4) 
ou 
4(x - 1)2 + 9(y - 2)2 = 36 
e dividindo ambos os membros por 36, resulta 
_( x_-_1)_2 + ( y - 2 )2 = 1 
9 4 
(4) 
que é a forma padrão da elipse de eixo maior paralelo ao eixo dos x. Utili-
zando em (4) as fórmulas de translação 
x' = x - 1 e y' = y - 2 
obtemos 
x'2 y'2 
- + =l 
9 4 
que é a equação reduzida desta elipse. 
b) Como a equação (4) é da forma padrão 
(X - h )2 + ( y - k )2 = 1 (5) 
ª 2 b2 
em que h e k são coordenadas do 
centro, vem imediatamente: C( 1, 2). 
c) O gráfico: Figura 8.33. 
d) Confrontando (4) e (5) , concluímos: 
a2=9 :.a=3 
b2 =4 :. b=2 
2 
y 
4 
1 
1 
1C F2 
-t- - - - -- A1 
1 
4 
Figura 8.33 
_, 
-o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
< 
('1) 
.-+ 
o 
"""I 
('1) 
VI 
('1) 
O'Q 
('1) 
o 
3 
('1) 
.-+ 
"""I -· 
-_, 
-· 
e pelo gráfico tem-se: 
e) Para determinar os focos precisamos do valor de c. 
De a2 = b2 + c2 ou 9 = 4 + c2, vem c = JS e, portanto, os focos são: 
f) Excentricidade: 
c JS 
e = - = -
a 3 
Equações paramétricas 
2 2 
Consideremos a elipse de equação x + Y = 1. 
ª 2 b2 
Tracemos a circunferência de centro O e raio igual 
ao semieixo maior a da elipse (Figura 8.34). 
Seja P(x,y) um ponto qualquer da elipse. A reta, 
que passa por P e é paralela ao eixo dos y, intercepta 
a circunferência em A, e o raio AO determina com 
O eixo dos X um ângulo 8. 
Do triângulo A' OA vem 
AO'=OA·cose 
ou 
x = acose 
y 
o A a 
Figura 8.34 
Como x é abscissa de um ponto da elipse, a ordenada y do mesmo ponto é cal-
culada substituindo o valor de x na equação da elipse: 
(acos 8)2 + y2 = 
1 
ª 2 b2 
em que 
e 
y = bsen8 
Observemos que, para cada valor de 8 corresponde apenas um ponto P da elipse 
e, quando 8 varia de O a 2n, o ponto P parte de (a, O) e "descreve" a elipse no sentido 
anti-horário. Então, 8 é o parâmetro e o sistema 
x =acos8 
y= bsen8 
0<8<2n 
constitui equações paramétricas dessa elipse. 
Observacões , 
X 
a) Das equações (6) vem - = cose Y 
x2 
e - = sene e, portanto, - = cos2 e e 
b ª 2 a 
Somando membro a membro, resulta 
x2 y2 
-+ = l 
ª 2 b2 
(1 = cos2 e+ sen2 8) 
que é a equação da elipse dada inicialmente. 
(6) 
2 
Y = sen28. 
b2 
2 2 
b) No caso da elipse ser x + y = 1 (eixo maior sobre Oy), suas equações paramétricas são 
b2 ª 2 
x = bcos8 
y = asen8 
c) Quando o centro da elipse for C(h, k), pela translação de eixos obtemos 
e 
x - h = acos8 
y - k = bsen8 
ou 
x = h + acos8 
(eixo maior paralelo a Ox) 
y = k+ bsen8 
x = h+ bcos8 
(eixo maior paralelo a Oy) 
y = k + asen8 
d) O sistema de equações 
x = asen8 
y = bcos8 
descreve de outra forma a mesma elipse dada pelo sistema (6), porém, neste caso, 
o ponto P parte de ( O,b) e "descreve" a elipse no sentido horário. 
_, 
r+ 
e -o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
n 
QJ 
VI 
1~ 
< 
('1) 
.-+ 
o ..., 
('1) 
VI 
('1) 
O'Q 
('1) 
o 
3 
('1) 
.-+ ..., 
-· 
QJ 
QJ 
:::::s 
QJ -_, 
-· 
~8 
Exemplos 
Obter equações paramétricas da elipse de equação: 
1. 16x2 + 25y2 = 400 
2. 9x2 +4y2 - 54x + l6y+61 = 0 
4' Solução 
1) A forma reduzida de equação 16x2 +25y2 = 400 é 
x2 y2 
- + = l 
25 16 
e, portanto, a = 5 e b = 4. Logo, 
x = Scose 
y = 4sen8 
são equações paramétricas desta elipse. 
2) A forma padrão de 9x2 +4y2 - 54x + l6y+61 = 0 é 
(x-3)
2 
+(y+ 2)
2 
=l (a cargo do leitor) 
4 9 
e, portanto, o centro da elipse é (3, - 2), sendo a = 3 e b = 2. 
Logo, 
x=3+2cos8 
y=-2+3sen8 
são equações paramétricas desta elipse. 
Por outro lado, das equações (7) vem 
x - 3 
--= cose e 
2 
_y_+_2 = sen e 
3 
Elevando ao quadrado ambos os membros das duas equações, temos 
(x - 3)2 2 e 
---= cos e 
4 
Somando membro a membro, resulta 
(X - 3 )2 ( y + 2 )2 
---+ = l 
4 9 
(y + 2)
2 
= sen2e 
9 
(1 = cos2 e + sen28) 
que é a equação da elipse na forma padrão dada anteriormente. 
(7) 
Problemas propostos 
Em cada um dos Problemas de 1 a 1 O, esboçar o gráfico e determinar os vértices A1 e A2, os focos e a 
excentricidade das elipses dadas. 
x2 y2 
1. + = l 
25 4 
6. 4x2 +9y2 = 25 
2. 25x2 +4y2 = 100 7. 4x2 + y2 = 1 
3. 9x2 + l 6y2 - 144 = O 8. 4x2 + 25y2 = 1 
4. 9x2 + 5y2 - 45 = 0 9. x2 + 2y2 - 5 = 0 
5. x2 + 25y2 = 25 10. 9x2 +25y2 = 25 
11. Esboçar o gráfico de uma elipse de excentricidade 
1 1 
a) - b) 
2 3 
c) 
3 
5 
Em cada um dos Problemas de 12 a 19, determinar uma equação da elipse que satisfaça as condições 
dadas. Esboçar o gráfico. 
12. focos F 1 ( - 4, O) e F2 ( 4, O), eixo maior igual a 10; 
13. focos F 1(0, - 5) e F2 (0, 5), eixo menor igual a 10; 
14. focos F(+3, O) e vértices A(+4, O); 
15. focos F(O, +3) e excentricidade .J3; 
2 
1 
16. vértices A(+lO, O) e excentricidade -; 
2 
17. centro C(O, O), eixo menor igual a 6, focos no eixo dos x e passando pelo ponto 
(2./5,2); 
18. vértices A(O, +6) e passando por P(3, 2); 
19. centro C(O, O), focos no eixo dos x, e = 
2 
e passando por P(2, -
5
). 
3 3 
Em cada um dos Problemas de 20 a 27, obter uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas. 
2 
20. centro C( 1, 4), um foco F(5, 4) e excentricidade 
3
; 
21. eixo maior igual a 10 e focos F 1 (2, - 1) e F2 (2, 5); 
2 
22. focos F
1
(- l, - 3) e F
2
(- l, 5) e excentricidade-; 
3 
1 
23. focos F 1(- 3, 2) e F2 (3, 2) e excentricidade 2
; 
_, 
r+ 
e -o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
n 
QJ 
VI 
1~ 
< 
(1) 
.-+ 
o 
"""I 
(1) 
VI 
(1) 
O'Q 
(1) 
o 
3 
(1) 
.-+ 
"""I -· 
QJ 
QJ 
::l 
QJ -_, 
-· 
~o 
24. vértices A1 (- 7,2) e A2 (- 1,2) e eixo menor igual a 2; 
centro C(O,l), um vértice A(0,3) e excentricidade J3; 
2 
25. 
26. centro C(- 3, O), um foco F(- 1, O) e tangente ao eixo dos y; 
27. centro C(2, - 1), tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria paralelos aos 
eixos coordenados. 
Em cada um dos Problemas de 28 a 33, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices A1 e A2, os 
focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico. 
28. 9x2 +16y2 - 36x + 96y+36 = 0 31. 16x2 +y2 + 64x - 4y + 52 = 0 
29. 25x2 + 16y2 + SOx + 64y - 31 l = O 32. 16x2 + 9y2 - 96x + 72y + 144 = O 
30. 4x2 +9y2 - 24x + l8y+9 = 0 33. 4x2 + 9y2 - 8x - 36y + 4 = 0 
Nos Problemas de 34 a 39, obter equaçõesparamétricas da elipse de equação dada. 
34. x2 +4y2 = 4 37. 9(x - 1)2 + 25(y + 1)2 = 225 
35. x2 +y2 = 36 38. 49(x + 7)2 + y2 = 7 
36. 9x2 + 16y2 = 1 39. 4x2 +9y2 - 54y+45 = 0 
Nos Problemas de 40 a 43, obter uma equação geral da elipse dada por equações paramétricas. 
40. 
41. 
x = Scose 
y = Ssene 
x = cose 
y = 3sen8 
42. 
43. 
x = 2 + 4cos8 
y = 3 + 2sen8 
x = J2cos8 
y =-l+sene 
44. Determinar os focos da elipse de equações x = 4+3cost e y =-2 + 5sent. 
45. Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move, de modo 
que a soma de suas distâncias aos pontos ( 4, - 1) e ( 4, 7) seja sempre 12. 
46. Determinar uma equação da curva gerada por um ponto que se move, de modo 
que sua distância ao ponto A(3, - 2) seja igual à metade de sua distância à reta 
y - 2 = O. 
47. Determinar uma equação da elipse de centro (O, O), eixo maior sobre o eixo dos 
y, sabendo que passa pelos pontos P(l,.Ji4) e Q(2, - 2.../2). 
48. Encontrar uma equação da elipse de centro (O, O), eixo maior sobre Ox, excen-
tricidade.!. e que passa pelo ponto (2, 3). 
2 
49. Determinar uma equação das circunferências inscrita e circunscrita à elipse de 
equação dada. 
a) 16x2 + y2 - 16 = 0 b) 4x2 + 9y2 - 32x+36y + 64 = 0 
1 
50. Um satélite de órbita elíptica e excentricidade 
3 
viaja ao redor de um planeta 
situado em um dos focos da elipse. Sabendo que a distância mais próxima do 
satélite ao planeta é de 300 km, calcular a maior distância. 
' Respostas de problemas propostos 
r:::; 51 
1. A(+5,0), F(+-vL1,0), e= 
5 
r:::; 51 
2. A( o' +5)' F (o' +-v L l)' e= -
5 
,-;;- J7 
3. A(+4,0), F(+-v; ,O), e= 
4 
2 
4 A( O,+ 3), F (O, +2), e = -. 3 
e- 2'16 
5. A( +5,0 ), F( +2-vb ,O), e=-
5 
5 5.JS JS 
6. A( + - , O), F ( + , O), e = 
2 6 3 
.J3 .J3 
7. A( O , + 1), F ( O,+ ) , e = 
2 2 
1 51 51 
8. A( + - , O), F ( + , O), e = -
2 10 5 
r;- 5 .J2. 
9. A( + -v ~ , O), F ( + - , O), e = -
2 2 
5 4 4 
1 O A( + - , O), F ( + - , O), e = -. 3 3 5 
11. a) Existem infinitas, todas elas com a = 2c e b = c.J3 
12. 9x2 + 25y2 = 225 20. 5x2 +9y2 - 10x -72y-31=0 
13. 2x2 + y2 - 50 = O 21. 25x2 +16y2 - 100x - 64y -236 =0 
14. 7 x2 + 16 y2 - 112 = O 22. 9x2 +5y2 +18x-10y-166=0 
15. 4 x2 + y2 - 12 = O 23. 3x2 +4y2 -16y-92 =0 
x2 2 
+ y = l 16. 
100 75 
24. x2 +9y2 +8x-36y+43 =0 
17. x2 +4y2 -36 =0 25. 4x2 +y2 -2y-3=0 
8x2 2 
+ y = l 18. 
81 36 
26. 5x2 +9y2 +30x= O 
19. 5x2 +9y2 - 45 = 0 27. x
2 +4y2 - 4x+8y + 4 = 0 
x'2 y'2 .J7 
28. + =l, C(2,-3), A1(-2,-3), A2(6,-3), F(2+.J7,-3), e=-
16 9 4 
x'2 y'2 3 
29. + =l, C(-1,-2), A1(-l,-7), A2(-l,3), I\(-1,-5), F2(-l,l), e=-
16 25 5 
x'2 y'2 .JS 
30. + =l, C(3,-l), A1(6,-l), A2(0,-l), F(3+.J5,-l), e=-
9 4 3 
31. x'2+ y'
2 
=l, C(-2,2), A1(-2,-2), A2(-2,6), F(-2,2+.JiS), e= .Ji5 
16 4 
n 
_, 
-o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
n 
QJ 
VI 
< 
('1) 
.-+ 
o 
"""I 
('1) 
VI 
('1) 
O'Q 
('1) 
o 
3 
('1) 
.-+ 
"""I -· 
QJ 
QJ 
::l 
QJ -_, 
-· 
~2 
x'2 y'2 .J7 
32. + =l, C(3,-4), A1(3,-8), A2(3,0), F(3,-4+.J7), e=-
9 16 4 
x'2 y'2 JS 
33. + = 1, C(l,2), A1 (-2,2), A2 ( 4,2), F(l + .JS,2), e= -
9 4 3 
34. 
35. 
36. 
37. 
x = 2cos8 
y = sene 
x = 6cos8 
y = 6sen8 
1 
x = -cose 
3 
1 
y =-sene 
4 
x=l+5cos8 
y=-1+3sen8 
x=-7+ 
J7 
cose 
40. x2 +y2 - 25 = 0 
41. 9x2 + y2 - 9 = 0 
42. x2 + 4y2 - 4x - 24y + 24 = 0 
43. x2 + 2y2 + 4 y = O 
44. (4,2) e (4,-6) 
45. 9x2 +5y2 -72x-30y+9 =0 
46. 4x2 + 3y2 - 24x + 20y + 48 = O 
47. 2x2 + y2 = 16 
48. 3x2 +4y2 = 48 
38. 7 
49. a) x2 +yz = l x2 + y2 = 16 
y=J7 sene 
e 
b) x2 +y2 - 8x+4y+l6 = 0 e 
x = 3cos8 x2 +y2 - 8x + 4y + ll = O 39. 
y = 3+2sen8 
50. 600 km 
, 
HIPERBOLE 
Definicão , 
Hipérbole é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferença das distân-
cias, em valor absoluto, a dois ontos fixos desse lano é constante. 
Consideremos no plano dois pontos distintos 
F1 e F2 tal que a distância d (fi ,F2) = 2c e um número 
real positivo a de modo que 2a < 2c. 
Chamando de 2a a constante da definição, 
um ponto P pertence à hipérbole (Figura 8.35) 
se, e somente se, 
F1 
1 
1 
1 
1 1<11 
p 
2a 
1 
1 .. , 
2c 
Figura 8.35 
(1) 
Como se vê, a hipérbole é uma curva 
com dois ramos. Na verdade, pela equa-
ção (1 ), um ponto P está na hipérbole 
se, e somente se, 
d(P,F1 ) - d(P,F2 ) = +2a 
Para possibilitar um traçado bem 
melhor da hipérbole e tecermos consi-
derações a respeito de seus elementos, 
faremos a construção da Figura 8.36 a 
seguir explanada. 
F1 
B2 
F2 
B1 
Figura 8.36 
Consideremos no plano dois pontos quaisquer F1 e F2 com d(f\ ,F2 ) = 2c. Chamando 
de C o ponto médio do segmento F1F2 , tracemos uma circunferência de centro C e raio c. 
Tomemos um valor arbitrário a, a < c, e marquemos sobre F 1F2 , a partir de C, 
os pontos A1 e A2 tais que d(C,A1 ) = d(C,A2 ) = a. Por esses pontos, tracemos cordas 
perpendiculares ao diâmetro F 1F2 • As quatro extremidades dessas cordas são os 
vértices de um retângulo MNPQ inscrito nesta circunferência. Tracemos as retas 
r e s que contêm as diagonais do referido retângulo e, por fim, a hipérbole con-
forme a figura. 
Com base nesta figura temos os elementos da hipérbole. 
Elementos 
Focos: são os pontos F 1 e F2 • 
Distância focal: é a distância 2c entre os focos. 
Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2 • 
Vértices: são os pontos A1 e A2 • 
Eixo real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimento 2a. 
Observemos que os pontos A1 e A2 são pontos da hipérbole, porque satisfazem a 
definição (1 ). Na verdade, para A1, tem-se 
e 
e 
n 
QJ 
-a _, 
r+ 
e -o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
n 
QJ 
VI 
< 
('1) 
.-+ 
o ..., 
('1) 
VI 
('1) 
O'Q 
('1) 
o 
3 
('1) 
.-+ ..., 
-· 
QJ 
:::::s 
QJ -_, 
-· 
~4 
Eixo imaginário ou não transverso: é o segmento B1B2 de comprimento 2b, com 
B1B2 l_ A 1A2 em C. 
Observemos que o retângulo MNPQ tem dimensões 2a e 2b, sendo a a medida 
do semieixo real e b a medida do semieixo imaginário. Ainda, do triângulo CA2M 
obtemos a relação 
c2 = a2 + b2 
de larga aplicação nos problemas de hipérbole. 
Assíntotas: são as retas r e s. 
As assíntotas são retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida 
que os pontos se afastam dos vértices. Essa aproximação é "contínua)) e "lenta)) de forma 
que a tendência da hipérbole é tangenciar suas assíntotas no infinito. Naturalmente, 
essa particularidade das assíntotas constitui um excelente guia para traçar o esboço 
do gráfico. 
Com o que já vimos na construção da hipérbole, esta fica determinada quando 
se conhece o centro C e os valores a e b (ou a e c ou b e c). De fato, a partir desses 
elementos, constrói-se o retângulo MNPQ e, consequentemente, as assíntotas r e s, e 
daí, os dois ramos da hipérbole. 
o ângulo e assinalado na figura é chamado abertura da hipérbole. 
Denomina-se excentricidade da hipérbole o número 
e por ser c >a, tem-se e> 1. 
c 
e =-
a 
A excentricidade da hipérbole está intimamente relacionada com a sua abertura. 
De fato: se na Figura 8.36 tivéssemos tomado um valor para "a)) menor do que o 
anterior, o novo retângulo MNPQ seria mais "estreito)) e, em consequência, a abertura 
e seria maior. 
Ora, diminuir o valor de "a)) (mantendo c fixo) signifca aumentar o valor de e = ~. 
a 
Assim, quanto maior a excentricidade, maior será a abertura, ou seja, mais "aber-
tos )) estarão os ramos da hipérbole. 
Quando a = b, o retângulo MNPQ se transforma em um quadrado e as assínto-
tas serão perpendiculares (e = 90º). A hipérbole, neste caso, é denominada hipérbole 
equilátera. 
Equações reduzidas 
Seja a hipérbole de centro C( O, O). Consideraremos dois casos: 
1) O eixo real está sobre o eixo dos x. 
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma 
hipérbole (Figura 8. 3 7) de focos Pi (- c,O) e 
F2 (c,O) . 
Pela definição em (1 ), tem-se 
ou, em coordenadas, 
~(x + c)2 + (y - 0)2 - ~(x - c)2 + (y - 0)2 = 2a 
y 
F1 Ai O A 2 1 
a 1 
1+--... 1 
e 
Figura 8.37 
P(x,y) 
X 
1F2 
1 
Com procedimento desimplificação análogo ao que foi usado na dedução da 
equação da elipse, e lembrando que c2 = a2 + b2, chegamos à equação 
x2 y2 
-=l 
ª2 b2 
que é a equação reduzida para este caso. 
2) O eixo real está sobre o eixo dos y 
Observando a Figura 8.38, com procedimento 
análogo ao 1° caso, obtemos a equação reduzida 
Exem pio 
y2 
ª2 
x2 
-=l 
b2 
y 
- - - T 
~--
e 
a 
-----+--..:....--L---- X 
F 1(0, e) 
Figura 8.38 
A partir de um caso particular, serão feitas algumas observações. Seja a hipérbole 
da Figura 8.39. 
Sua equação reduzida é 
x2 y2 
-=l 
9 4 
(2) 
em que a2 = 32 = 9 e b2 = 22 = 4. 
_, 
-o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
n 
QJ 
VI 
< 
('1) 
.-+ 
o 
"""I 
('1) 
VI 
('1) 
O'Q 
('1) 
o 
3 
('1) 
.-+ 
"""I -· 
QJ 
QJ 
::l 
QJ -_, 
.-+ 
-· 
n 
QJ 
y 
2 - - -
X 
- - -
2 
Figura 8.39 
Observacões , 
a) É imediato que os vértices são A1 (-3,0) e A2 (3,0). Eles também seriam obtidos fa-
2 
zendo y = O na equação (2), de onde resulta x = 1 ou x = +3, que são as abscissas 
d 
, . 9 
os vert1ces. 
Por outro lado, se na equação (2) fizermos x = O, obteremos 
y2 
- = l ou y2 =-4, 
4 
que é uma equação impossível no conjunto dos reais. Isto significa que a hipérbole 
não corta o eixo dos y. 
b) Como a equação apresenta somente potências pares de x e y, a hipérbole é simétrica 
em relação ao eixos coordenados e em relação à origem. 
Por exemplo, o ponto Pi (6,.Jl2) pertence a esta hipérbole por ser verdadeira a 
afirmação 
_62 - ( .Jl2 )2 = 1 ou 4 - 3 = 1 
9 4 
e, da mesma forma, também pertencem os pontos P2 (6,-.Jl2) (simétrico de P 1 em 
relação a Ox), p
3 
(- 6, .Jl2) (simétrico de P 1 em relação a Oy) e P4 (- 6, -.JU) (simétrico 
de P 1 em relação à origem). 
c) As assíntotas ressão retas que passam pelo centro da hipérbole, no caso, a origem 
do sistema. Logo, suas equações são do tipo y = mx, sendo m a declividade. 
A assíntota r tem declividade m 1 = b = 
2 
e a assíntota s tem declividade m 2 = - b = -
2
. 
a 3 a 3 
Portanto, as assíntotas têm equações 
2 
y = -x 
3 
e 
2 
y =--x 
3 
2 
Quando a equação da hipérbole é da forma y 
ª2 
x2 
- = 1, as declividades das assín -
b2 
- a totas serao m = +-. 
b 
Exemplos 
Nos Problemas 1 e 2, determinar, para cada uma das hipérboles: 
a) 
b) 
e) 
d) 
e) 
f) 
a medida dos semieixos; 
um esboço do gráfico; 
/ . os vert1ces; 
os focos; 
a excentricidade; 
as equações das assíntotas. 
1 . x2 - 4 y2 + 16 = O 
4' Solução 
a) Passando esta equação para forma reduzida, obtém-se 
x2 - 4y2 =-16 ou 
y2 x2 
- - = l 
4 16 
que representa uma hipérbole 
com eixo real sobre Oy. 
Então, 
a2 =4 :. a =2 
b2 =16 :. b=4 
b) O gráfico com assíntotas: Fi-
gura 8.40. 
c) Vértices: A 1 (0, - 2) e A2 (0,2) ou 
A(O, +2). 
1 
d) Para determinar os focos, precisamos do valor de c: 
c2 = a2 + b2 
c2 = 4 + 16 
Focos: Pi (0, - 2.JS) e F2 (0,2.JS ). 
) E . 'd d c 2.JS ç e xcentr1c1 a e: e = - = = 'V 5 . 
a 2 
f) A , 1 ( · a 2 1 ) ss1ntotas: y = +-x pois,_ = _ = _ . 
2 b 4 2 
y 
2 A 1 
F1 
Figura 8.40 
_, 
-o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
< 
('1) 
.-+ 
o 
"""I 
('1) 
VI 
('1) 
O'Q 
('1) 
o 
3 
('1) 
.-+ 
"""I -· 
-_, 
-· 
~8 
2. x 2 - y 2 = 4 
' Solução 
a) Passando para a forma reduzida, obtém-se 
x2 
4 
y2 
- = l 
4 
que representa uma hipérbole com eixo real sobre Ox. 
Então, a2 = b2 = 4 • a = b = 2 (hipérbole equilátera) • • 
b) O gráfico com assíntotas: Figura 8.41. 
c) Vértices: A1 (- 2,0) e A2 (2,0). 
d) c2 = ª 2 + b2 
c2 = 4+4 
Focos: F1 (- 2.J2,o) e F2 (2.J2,o). 
y 
Figura 8.41 
e) Excentricidade: e = ~ = 2.J2 =.J2. 
a 2 
f) Assíntotas: y = +x (pois b = 
2
= 1 ) . 
a 2 
Observemos que, em toda hipérbole equilátera, a excentricidade é sempre 
igual a .J2 e as equações das assíntotas são sempre iguais a y = + x. 
3. Uma hipérbole tem focos em F1 (- 5,0) e F2 (5,0) e a medida do eixo real é 6. Deter-
minar sua equação reduzida. 
' Solução 
Tendo em vista que os focos são pontos do eixo dos x, a equação desta hipér-
bole é da forma 
x2 
ª 2 
na qual precisamos determinar a e b. 
y2 
- = l 
b2 
De F(+S, O), vem c = 5 (distância de cada foco ao centro). 
O eixo real mede 6, ou seja, 2a = 6. Logo, a = 3. 
De c2 = a2 +b2 ou 25 = 9 + b2, vem b2 = 16. 
Portanto, a equação procurada é 
x2 
9 
y2 
"""--- = 1 
16 
Outras formas da equação da hipérbole 
Seja uma hipérbole de centro C(h, k) -:t= (O, O). Consideraremos somente os casos 
de os eixos da hipérbole serem paralelos aos eixos coordenados. 
1 °) O eixo real é paralelo ao eixo dos x 
Com procedimento análogo ao que foi visto para a elipse, resulta a equação 
(x-h)2 _( y_-_k_)2 = 1 
ª2 b2 
que é a forma padrão para este caso (Fi-
gura 8.42). 
2 °) O eixo real é paralelo ao eixo dos y 
De igual modo ao 1° caso, temos 
(y-k)2 - (x-h)2 =l 
ª2 b2 
Exemplos 
y 
k 
F 1 A 1 C A2 F2 - -r- - - _, 
1 
1 a 
1 
1 
-+-----r------.----........---- X o h-c h h + c 
Figura 8.42 
1. Determinar uma equação da hipérbole de vértices A1 (1, - 2) e A2 (5, - 2), sabendo 
que F(6, - 2) é um de seus focos. 
_, 
-o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
< 
('1) 
.-+ 
o ..., 
('1) 
VI 
('1) 
O'Q 
('1) 
o 
3 
('1) 
.-+ ..., 
-· 
QJ 
:::::s 
QJ -_, 
-· 
~o 
' Solução 
Em função dos dados do problema, esboçamos o grá-
fico desta hipérbole (Figura 8.43) . 
Sendo o eixo real A1A2 paralelo a Ox, a equação da 
hipérbole é da forma 
(X - h )2 ( y - k )2 
---- = l 
ª 2 b2 
O centro é o ponto médio de A1A2 : C(3, - 2). 
É imediato que: a = d(C,A1) = 2 e c = d(C,F) = 3. 
Da relação c2 = a2 +b2 ou 9 = 4 + b2 , vem b2 = 5. 
Logo, uma equação da hipérbole é 
(X - 3 )2 - ( y + 2 )2 = 1 
4 5 
y 
o 1 3 5 6 
-+-M--+-+-1--tf-+--- X 
1 1 
2 -~-- ' 
A 1 C A 2 F 
Figura 8.43 
Eliminando os denominadores, desenvolvendo os quadrados e ordenando os 
termos, encontramos 
S(x2 - 6x+9) - 4(y2 + 4y + 4) = 20 
Sx2 - 30x + 45 - 4y2 - 16y - 16 - 20 = 0 
Sx2 - 4y2 - 30x - 16y+9 = 0 
que é uma equação geral desta hipérbole. 
Assim, qualquer hipérbole cujos eixos estejam sobre os eixos coordenados ou 
são paralelos a eles, sempre pode ser representada por uma equação geral que 
terá a forma 
ax2 + by2 + ex+ dy + f = O 
com a e b de sinais contrários. 
2. Dada a hipérbole de equação 9x2 - 4y2 - 54x + 8y + ll3 = 0, determinar 
a) 
b) 
e) 
d) 
e) 
f) 
sua equação reduzida; 
o centro; 
um esboço do gráfico; 
/ . os vert1ces; 
os focos; 
a excentricidade. 
' Solução 
a) Iniciemos escrevendo a equação na forma 
(9x2 - 54x) -(4y2 - 8y) =-113 ou 9(x2 - 6x) - 4(y2 - 2y) =-113 
em que agrupamos os termos de mesma variável e evidenciamos os fatores 
9 e 4 para facilitar a construção dos trinômios quadrados nestes dois parên-
teses. Então, temos 
9(x2 - 6x + 9) - 4(y2 - 2y + l) =-113 + 9(9) - 4(1) ou 9(x - 3)2 - 4(y - 1)2 = - 36 
Dividindo ambos os membros por - 36, tem-se 
( y -1 )2 - (X - 3 )2 = 1 (3) 
9 4 
que é a forma padrão da hipérbole de eixo real paralelo ao eixo dos y. Utili-
zando em (3) as fórmulas de translação 
x'=x - 3 e y'=y - 1 
teremos 
y'2 x'2 
- =l 
9 4 
que é a equação reduzida desta hipérbole. 
b) Como a equação (3) é da forma padrão 
(y-k)2 - (x-h)2 =l 
ª 2 b2 
(4) 
em que h e k são as coordenadas do centro, vem imediatamente: C(3, 1). 
c) Um esboço do gráfico: Figura 8.44. 
d) Confrontando (3) e (4) , concluímos: 
ª 2 = 9 
b2 = 4 
• 
• • 
• 
• • 
e pelo gráfico tem-se: 
a = 3 
b = 2 
A1 (3, - 2) e A2 (3,4) 
e) Para determinar os focos precisamos do va-
lor de c. 
Da relação 
c2 = a2 + b2 ou c2 = 9 + 4 
vem c = .Jl3 e, portanto, os focos são 
I\ (3,1 - .JLl) e F2 (3,1 + .Jl3) 
f) E · · d d c .Jl3 xcentr1c1 a e: e = - = . 
a 3 
y 
4 
1 - - e 
---+--+--+---+--------1- X o 
2 - -
Figura 8.44 
_, 
r+ 
e -o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
n 
QJ 
VI 
2~ 
< 
('1) 
.-+ 
o ..., 
('1) 
VI 
('1) 
O'Q 
('1) 
o 
3 
('1) 
.-+ ..., 
-· 
QJ 
:::::s 
QJ -_, 
-· 
~2 
Equações paramétricas 
2 
Consideremos a hipérbole de equação x 
ª2 
2 
y = 1.Escrevendo esta equação como 
b2 
2 2 
X 
a 
y 
-
b 
=l (5) 
significa dizer que : e ~ são números reais cuja diferença de seus quadrados é sempre igual a 1 . 
Se na identidade 
sen2e + cos2e = 1 
dividirmos ambos os membros por cos2 e* o ) obtemos 
ou 
Como sen e =tan e 
cose 
sen2e 1 
--+ l =--
cos2 e cos2 e 
2 
sene 
+l = 
1 
cose cose 
1 e = sece, vem 
cose 
sec2e-tan2e=1 
2 
Portanto, confrontando esta equação com a equação da hipérbole em (5), pode-
mos fazer 
X 
- = sece 
a 
e 
e daí concluir que para o parâmetro e,o <e< 2n, excluídos 7t e 
3
n:) o sistema 
2 2 
x=asece 
y=btane 
constitui equações paramétricas dessa hipérbole. 
Quando e percorre o intervalo - n) n ) será descrito o ramo direito da hipérbole 
2 2 
n 3n (x > a) e, quando percorre o intervalo ,o ramo esquerdo (x < - a). 
2' 2 
Observacões , 
y2 
a) No caso da hipérbole ser 
ª2 
tricas são 
x2 
-= 1 (eixo real sobre Oy), suas equações paramé-b2 
x = btane 
y = asece 
b) Quando o centro da hipérbole for C(h, k), aplicando a translação de eixos, as 
- / . -equaçoes parametr1cas sao 
x = h+asece 
y = k + btane 
ou 
x = h + btane 
y = k +asece 
conforme o eixo real seja paralelo a Ox ou Oy, respectivamente. 
Exemplos 
Obter equações paramétricas da hipérbole de equação: 
1 . 4 x2 - 9y2 - 3 6 = O 
2. x2 - 3y2 +8x + 12y- 13 = 0 
' Solução 
1) A forma reduzida da equação 4x2 - 9y2 - 36 = 0 é 
x2 y2 
- - = l 
9 4 
e, portanto, a = 3 e b = 2. Logo, 
x =3sec8 
y=2tan e 
são equações paramétricas desta hipérbole. 
A Figura 8.45 apenas indica pontos da tabela para alguns ângulos no intervalo 
7t 7t 
-- -
2'2 . 
_, 
-o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
< 
('1) 
.-+ 
o 
"""I 
('1) 
VI 
('1) 
O'Q 
('1) 
o 
3 
('1) 
.-+ 
"""I -· 
QJ 
QJ 
::l 
QJ -_, 
.-+ 
-· 
n 
QJ 
'274 
e Ponto y 
o (3,0) 2.J3 ----------
1 
7t 
(3h,2) 
1 
2 ------- 1 
4 1 
n 
- -
4 
(3h,-2) o 
3 1 3.J2 1 6 
7t 
( 6,2J3) 1 -2 -------3 1 
1 
n 
( 6,-2J3) -2 .J3 ------------ -
3 
Figura 8.45 
2) A forma padrão de x2- 3y2+8x+l2y-13=0 é 
(X + 4 )2 ( y - 2 )2 • 
---- = 1 (a cargo do leitor) 
9 3 
e, portanto, o centro da hipérbole é (-4, 2), sendo a = 3 e b = J3. 
Logo, 
x =-4+3sece 
y = 2 + vGtane 
são equações paramétricas dessa hipérbole. 
Problemas propostos 
X 
Em cada um dos problemas de 1 a 12, esboçar o gráfico e determinar os vértices, os focos, a excentrici-
dade e as equações das assíntotas das hipérboles dadas. 
1 . 
x2 y2 
= l x2 - 4 y2 + 16 = O 7. 
4 9 
y2 x2 8. x2 -y2 = l 
2. = l 
4 9 9. y2 -x2 = 2 
3. 16x2 - 25y2 - 400 = 0 
1 o. y2 - 4x2 = l 
4. 9x2- 16y2 = 144 
5. 4x2 -Sy2 + 20 = 0 
11. x2 - 9y2 = l 
6. x2-2y2-8=0 12. 2y2 - 4x2 = 1 
13. Esboçar o gráfico de uma hipérbole (com suas assíntotas) de centro (O, O), eixo 
real sobre Ox e excentricidade 
5 
a) - b) 
3 
3 
2 
c) 2 
Em cada um dos problemas de 14 a 37, determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições 
dadas. Esboçar o gráfico. 
14. focos F(+5,0), vértices A(+3,0); 
15. focos F(O, +3), vértices A(O, +2); 
16. focos F(O, +4), eixo real de medida 2; 
4 
17. focos F(+8, O), excentricidade 3; 
18. vértices A(O, +5), excentricidade 2; 
19. vértices A(O, +2), distância focal 2.Jil; 
20. focos F( +4, O) e que seja hipérbole equilátera; 
21. focos F( +5, O), eixo imaginário medindo 4; 
5 
22. centro C(O, O), eixo real sobre Oy, b = 8, excentricidade 3 ; 
23. vértices A(+4, O) e passando por P(8,2); 
24. vértices A( +3, O) e equações das assíntotas y = +2x; 
1 
25. vértices A(O, +2) e equações das assíntotas y = +-x; 
4 
26. focos F(+3, O) e equações das assíntotas y = +x; 
27. centro C(3, 2), um vértice A(l,2) e um foco F(- 1, 2); 
28. vértices em (3, - 2) e (5, - 2) e um foco em (7, - 2); 
29. vértices em (2, - 4) e (2, O) e um foco em (2, - 2 + .Ji3); 
30. vértices em (5, - 1) e (5, 5) e excentricidade 2; 
31. focos F1 (3, - 2) e F2 (3,4) e excentricidade 2; 
32. focos fi(- 6,1) e F2 (0,l) e eixo real medindo 4; 
33. centro C(5, 1), um foco F(9, 1) e eixo imaginário medindo 4J2; 
34. vértices A1 (- 3, - 4) e A2 (- 3,4) e que seja hipérbole equilátera; 
35. focos F1 (- l, - 5) e F2 (5, - 5) e que seja hipérbole equilátera; 
36. centro C(2, - 3), eixo real paralelo a Oy e passando por (3, - 1) e (- 1, O); 
_, 
r+ 
e -o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
n 
QJ 
VI 
2~ 
< 
('1) 
.-+ 
o ..., 
('1) 
VI 
('1) 
O'Q 
('1) 
o 
3 
('1) 
.-+ ..., 
37. centro C(- 2,1), eixo real paralelo a Ox e passando por (O, 2) e (- 5, 6). 
Em cada um dos problemas 38 a 43, determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a 
excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico. 
38. 9x2 - 4y2 - 18x - 16y - 43 = 0 41. 4x2-y2-32x+4y+24=0 
39. x2 - 4y2 +6x + 24y - 31 = 0 42. 16x2 - 9y2- 64x - 18y+199 = O 
40. 9x2 - 4y2 - 54x + 8y + 113 = O 43. 25x2 - 4y2 + 40y = O 
õ:;. Nos problemas de 44 a 49, obter equações paramétricas da hipérbole de equação dada. 
-_, 
-· 
~6 
44. x2 - 4 y2 = 4 47. 9x2- 16y2+1 = O 
45. 3y2- x2- 9 = 0 48. 9x2 - 25y2 - l 8x - 50y - 241 = O 
46. x2 - y2 = l 49. 3x2 - y2 + l 8x + 18 = O 
Nos problemas 50 a 53, obter uma equação geral da hipérbole dada por equações paramétricas. Esboçar 
o gráfico. 
50. 
51. 
x =4sec9 
y=2tan9 
x=tan e 
y=3sec9 
x =2sec9 
53. 
y = 4 + .J3 tan e 
54. Determinar os focos da hipérbole de equações X =4 +.JS tan e e y = - 5 + 2sec e. 
55. 
56. 
57. 
58. 
2 2 
Encontrar uma equação de hipérbole com focos nos vértices da elipse x + y = 1 
25 9 
e vértices nos focos dessa elipse. 
Y2 x2 Encontrar uma equação da elipse com focos nos vértices da hipérbole - = 1 
4 5 
e vértices nos focos dessa hipérbole. 
Encontrar uma equação da hipérbole de excentricidade 2 e focos coincidentes 
x2 y2 
com os focos da elipse + = 1. 
25 9 
Determinar uma equação da curva descrita por um ponto que se move, de modo 
que sua distância ao ponto A(- 1, 3) seja 
a) igual a sua distância à reta x = 3; 
b) a metade de sua distância à reta x = 3; 
c) o dobro de sua distância à reta x = 3. 
' Respostas de problemas propostos 
1 . A(+2,0), 
2. A(O, +2), 
3. A(+5,0), 
4. A(+4,0), 
5. A(O, +2), 
6. A(+2.J2,,o), 
7. A(0,+2), 
8. A(+ 1,0), 
9. A(O, +.J2,,), 
10. A(O,+l), 
11 . A ( + 1, O), 
.J2, 
12. A(O,+ ), 
2 
14. 16 x2 - 9y2 - 144 = O 
15. 4x2 -5y2 +20=0 
16. 15y2 -x2 - 15 =0 
17. 7x2 - 9y2 -252 =0 
F(+Jl3,o), 
F(O,+Jl3), 
F(+Jii,o), 
F(+5,0), 
F(O, +3), 
F(+2F3,o), 
F( +.J2,, O), 
F(O, +2), 
JS 
F(O,+ ), 
2 
F(+ JlO ,O), 
3 
F3 
F(O,+ ), 
2 
Jl3 
e= 
2 
) 
Jl3 
e= 
2 
) 
J4l 
e= ) 
5 
5 
e=-, 
4 
3 
e=-, 
2 
J6 
e = -, 
2 
JS 
e=-, 
2 
JlO 
e=-, 
3 
J6 
e=-, 
2 
18. x2 - 3 y2 + 7 5 = O 
19. 4x2 -7y2 +28 =0 
20. x2 -y2 = 8 
21. 4x2 - 2ly2 = 84 
3 
y=+-x 
2 
2 
y=+-x 
3 
4 
y=+-x 
5 
3 
y=+-x 
4 
2JS 
y=+ X 
5 
.J2, 
y=+ X 
2 
1 
y=+-x 
2 
y=+x 
y=+x 
y=+2x 
1 
y=+-x 
3 
y = +hx 
n 
QJ 
"'O _, 
r+ 
e -o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
n 
QJ 
VI 
2~ 
< 22. 16y
2 - 9x2 - 576 = 0 30. x2 - 3y2 - 10x+l2y + 40 = 0 
('1) 
.-+ 
o 
x2 - 12 y2 - 16 = O 12y2 - 4x2 - 24y + 24x - 51 = 0 ..., 23 . 31. 
('1) 
VI 
('1) 
O'Q 24. 4x2 - y2 - 36 = O 32. 5x2 - 4y2 + 30x + 8y + 21 = 0 
('1) 
o 
3 25. 16y2 - x2 = 64 33. x2 - y2 - 10x+2y+l6 = 0 ('1) 
.-+ ..., 
-· 
QJ 26. 2x2 - 2y2 = 9 34. x2 - y2 + 6x+25 = 0 
QJ 
:::::s 
QJ - 27. 3x2 - y2 - 18x+4y+ll = O 35. 2x2 - 2y2 - 8x - 20y - 51 = 0 _, 
.-+ 
-· 
n 
QJ 
28. 8x2 - y2- 64x - 4y+116 = O 36. 5x2 - 8y2 - 20x - 48y - 25 = 0 
29. 4x2 - 9y2 - 16x - 36y + l6 = 0 37. 24x2 - 5y2 +96x+l0y = O 
x'2 y'2 .Jl3 
38. - =l, C(l,-2), A1(-l,-2), A2(3,-2), F(1+.Jl3,-2), e= -
4 9 2 
3x - 2y - 7 = 0 e 3x + 2y + l = O 
x'2 y'2 .JS 
39. - =l, C(-3,3), A1(-5,3), A2(-l,3), F(-3+.J5,3), e=-
4 1 2 
x-2y+9=0 e x + 2y - 3 = 0 
y'2 x'2 .Jl3 
40. - =l, C(3,l), A1(3,-2), A2(3,4), F(3,l+.Jl3), e=-
9 4 3 
3x - 2y - 7 = 0 e 3x + 2y - l l = 0 
x'2 y'2 
41. - = 1, C( 4,2), A1 (1,2), A2 (7,2), F( 4 + 3.J5,2), e= .JS 
9 36 
2x - y- 6 = 0 e 2x + y - 10 = 0 
y'2 x'2 5 
42. - =l, C(2,-l), A1(2,-5), A2(2,3), f\(2,-6), F2(2,4) e=-
16 9 4 
4x - 3y - l l = 0 e 4x + 3y - 5 = 0 
y'2 x'2 m 
43. - =l, C(0,5), A1(0,0), A2(0,10), F(0,5+.J29), e=-
25 4 5 
5x - 2y + l0 = 0 e 5x + 2y - 10 = 0 
~8 
44. 
45. 
46. 
47. 
48. 
x =2sec9 
y=tane 
x=3tan9 
y=J3 sece 
x =sece 
y=tane 
1 
X = - tan 9 
3 
1 
y=-sece 
4 
x=l+Ssece 
y=-1+3tan9 
58. a) y2 - 6y + 8x+l = O (parábola) 
49. 
X = -3 + J3 sec 9 
y=3tan e 
50. x2 - 4 y2 - 16 = O 
51. 9x2 - y2 +9 = 0 
52. 16x2 - 9y2 - 64x+18y + 199 = O 
53. 3x2 - 4y2 + 32y - 76 = 0 
54. (4, - 8) e (4, - 2) 
55. 9x2 - l 6y2 - 144 = O 
56. 9x2 + 5y2 - 45 = 0 
x2 y2 
57. = 1 
4 12 
b) 3x2 + 4y2 +14x - 24y+31 = 0 (elipse) 
e) 3x2 - y2 - 26x + 6y + 26 = 0 (hipérbole) 
CURIOSIDADES 
Para encerrar o estudo das cônicas, vejamos, 
a título de ilustração, a propriedade da reflexão de 
cada uma delas. 
1) Parábola 
Na prática, esta curva tem uma série de apli-
cações. Ouve-se dizer que antenas de TV e os es-
pelhos dos faróis dos automóveis são parabólicas. 
Mas isso tem alguma coisa a ver com a curva que 
estudamos? Tem tudo. 
• 
eIXO 
Na verdade não se trata de "uma" só parábola e sim de um paraboloide (Figu-
ra 8.46), que é a superfície de revolução obtida girando-se a parábola em torno do seu 
eixo. Todas as infinitas parábolas que possamos imaginar formando o paraboloide 
têm o mesmo foco F. 
n 
QJ 
"O _, 
r+ 
e -o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
n 
QJ 
VI 
Admitindo espelhada a parte interna deste para-
< boloide (pode ser um farol de automóvel, ou holofote, 
('!) 
..+ 
o 
~ 
('!) 
VI 
('!) 
OQ 
('!) 
o 
3 
('!) 
..+ 
~ 
-· 
-_, 
-· 
ou outros refletores em geral), se uma fonte de luz for 
colocada em F, os raios que esta fonte irradia serão re-
fletidos ao longo de retas paralelas ao eixo (Figura 8.47). 
Esta propriedade, chamada reflexão, está baseada 
no fato de que, sendo t uma reta tangente a uma pa-
rábola no ponto P (Figura 8.48) o ângulo a (ângulo de 
incidência) é igual ao ângulo ~ (ângulo de reflexão). 
Este mesmo princípio é utilizado na fabricação de an-
tenas parabólicas e espelhos de telescópios. Como os sinais 
~ (ondas de rádio ou raios de luz) são muito fracos, há a neces-
sidade de captá-los utilizando uma superfície ampla e con-
centrá-los em um único ponto (que é o foco F) a fim de serem 
amplificados (Figura 8.49). 
~o 
Entende-se agora por que as antenas e os espelhos teles-
cópicos precisam ser parabólicas. 
O experimento da foto (Figura 8.50) encontra-se no 
Museu de Ciências e Tecnologia da PUC-RS e traduz de uma 
forma particular a propriedade da reflexão da parábola. A 
mesa é dotada de um anteparo curvo de forma parabóli-
ca. O orifício na mesa está exatamente na posição do foco 
desta parábola. Então, um objeto (na foto é um botão) ao 
ser lançado paralelamente ao eixo da curva, após chocar-
-se contra o anteparo, retorna e cai sempre no orifício. O 
menino da foto deve estar achando esta "proeza" resultado 
de sua habilidade. 
Figura 8.50 
• eixo 
F 
Figura 8.47 
F 
Figura 8.48 
F 
Figura 8.49 
2) Elipse 
A propriedade da reflexão na elipse é análoga à da parábola. 
Se t é a tangente no ponto P de uma elipse de focos F 1 e F2, são 
iguais os ângulos a e ~ formados pela reta tangente e os raios 
focais F1P e F2P, respectivamente (Figura 8.51). 
Imaginando uma superfície obtida girando-se 
a elipse em torno do eixo maior (a superfície é um 
elipsoide), e admitindo espelhada a parte interna, se 
uma fonte de luz for colocada em um dos focos, digamos 
F 1, todos os raios que esta fonte irradia serão refletidos 
no outro foco F2 (Figura 8.52). 
Se ao invés de uma fonte luminosa tivéssemos 
uma fonte sonora, o som emitido de F 1 se refletiria 
nas paredes do elipsoide, convergindo em F2• 
3) Hipérbole 
a 
F1 
Figura 8.51 
Figura 8.52 
A propriedade da reflexão na hipérbole é análoga à da elipse: a reta tangente tem 
um ponto P da hipérbole é bissetriz do ângulo formado pelos raios focais F 1P e F2P, 
ou seja, a = ~ (Figura 8.53(a)). 
(a) (b) 
Figura 8.53 
Seja a superfície obtida girando-se uma hipérbole em torno da reta que contém 
seu eixo real (a superfície é um hiperboloide de duas folhas), e admitindo-se espelhada 
a parte externa da superfície, todo raio de luz incidente à superfície na direção de um 
dos focos é refletido na direção do outro foco (Figura 8.53(b)). 
n 
QJ 
-a _, 
r+ 
e -o 
00 
n 
O> 
:::::s 
-· 
	Capa
	Sumário ����������������������������������������
	1 Vetores ����������������������������������������������
	O Tratamento Geométrico ����������������������������������������������������������������������������������������
	Noção Intuitiva ����������������������������������������������������������������
	Casos Particulares de Vetores ����������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Operações Com Vetores ����������������������������������������������������������������������������������
	Ãngulo de Dois Vetores 
	Problemas Propostos ����������������������������������������������������������������������������
	O Tratamento Algébrico �������������������������������������������������������������������������������������
	Vetores no Plano �������������������������������������������������������������������
	Igualdade de Vetores �������������������������������������������������������������������������������
	Operações Com Vetores ����������������������������������������������������������������������������������
	Vetor Definido Por Dois Pontos �������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Ponto Médio ����������������������������������������������������
	Paralelismo de Dois Vetores ����������������������������������������������������������������������������������������������������
	Módulo de Um Vetor �������������������������������������������������������������������������
	Vetores no Espaço ����������������������������������������������������������������������
	Igualdade - Operações - Vetor Definido Por Dois Pontos - Ponto Médio - Paralelismo - Módulo de Um Vetor ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Problemas Propostos ����������������������������������������������������������������������������
	2 Produto Escalar ����������������������������������������������������������������������
	Definição Algébrica ����������������������������������������������������������������������������
	Propriedades do Produto Escalar ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Definição Geométrica de Produto Escalar ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Cálculo do ângulo de Dois Vetores ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de Um Vetor 
	Projeção de Um Vetor Sobre Outro �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Escalar 
	Produto Escalar no Plano �������������������������������������������������������������������������������������������
	Uma Aplicação na Física ����������������������������������������������������������������������������������������
	Problemas Propostos ����������������������������������������������������������������������������
	3 Produto Vetorial �������������������������������������������������������������������������
	Preliminares �������������������������������������������������������Definição do Produto Vetorial ����������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Características do Vetor U X V �������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Uma Aplicação na Física ����������������������������������������������������������������������������������������
	Problemas Propostos ����������������������������������������������������������������������������
	4 Produto Misto ����������������������������������������������������������������
	Definição ����������������������������������������������
	Propriedades do Produto Misto ����������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Volume do Tetraedro ����������������������������������������������������������������������������
	Problemas Propostos ����������������������������������������������������������������������������
	5 A Reta �������������������������������������������
	Equação Vetorial da Reta �������������������������������������������������������������������������������������������
	Equações Paramétricas da Reta ����������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Reta Definida Por Dois Pontos ����������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Equações Paramétricas de Um Segmento de Reta �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Equações Simétricas da Reta ����������������������������������������������������������������������������������������������������
	Equações Reduzidas da Reta �������������������������������������������������������������������������������������������������
	Retas Paralelas Aos Planos Coordenados �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Retas Paralelas Aos Eixos Coordenados ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	ângulo de Duas Retas �������������������������������������������������������������������������������
	Retas Ortogonais �������������������������������������������������������������������
	Reta Ortogonal A Duas Retas ����������������������������������������������������������������������������������������������������
	Interseção de Duas Retas �������������������������������������������������������������������������������������������
	Problemas Propostos ����������������������������������������������������������������������������
	6 O Plano ����������������������������������������������
	Equação Geral do Plano �������������������������������������������������������������������������������������
	Equação Vetorial e Equações Paramétricas do Plano ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Equação Vetorial de Um Paralelogramo �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Casos Particulares da Equação Geral do Plano �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Ângulo de Dois Planos 
	Planos Perpendiculares �������������������������������������������������������������������������������������
	Paralelismo e Perpendicularismo Entre Reta e Plano �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Reta Contida em Um Plano �������������������������������������������������������������������������������������������
	Interseção de Dois Planos ����������������������������������������������������������������������������������������������
	Interseção de Reta Com Plano �������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Problemas Propostos ����������������������������������������������������������������������������
	7 Distâncias 
	Distância Entre Dois Pontos ����������������������������������������������������������������������������������������������������
	Distância de Um Ponto A Uma Reta �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Distância de Ponto A Plano �������������������������������������������������������������������������������������������������
	Distância Entre Duas Retas �������������������������������������������������������������������������������������������������
	Problemas Propostos ����������������������������������������������������������������������������
	8 Cônicas ����������������������������������������������
	As Seções Cônicas ����������������������������������������������������������������������
	Parábola �������������������������������������������
	Definição ����������������������������������������������
	Elementos ����������������������������������������������
	Equações Reduzidas �������������������������������������������������������������������������
	Translação de Eixos ����������������������������������������������������������������������������
	Outras Formas da Equação de Parábola �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Equações Paramétricas ����������������������������������������������������������������������������������
	Problemas Propostos ����������������������������������������������������������������������������
	Elipse �������������������������������������
	Definição ����������������������������������������������
	Elementos ����������������������������������������������
	Equações Reduzidas �������������������������������������������������������������������������
	Outras Formas da Equação da Elipse �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Equações Paramétricas ����������������������������������������������������������������������������������
	Problemas Propostos ����������������������������������������������������������������������������
	Hipérbole ����������������������������������������������
	Definição ����������������������������������������������
	Equações Reduzidas �������������������������������������������������������������������������
	Outras Formas da Equação da Hipérbole ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
	Equações Paramétricas ����������������������������������������������������������������������������������
	Problemas Propostos ����������������������������������������������������������������������������
	Curiosidades �������������������������������������������������������
	9 Superfícies Quádricas
	lntrodução�����������������
	Superfícies de revolução�������������������������������
	Elipsoides�����������������
	Hiperboloides��������������������
	Paraboloides�������������������
	Superfícies cônicas��������������������������
	Superfícies cilíndricas������������������������������
	Problemas propostos��������������������������
	Bibliografia

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