Função Exponencial - Demonstrações

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FUNÇÃO EXPONENCIAL – DEMONSTRAÇÕES 
 
Faça a demonstração das seguintes afirmações: 
A. Prove que se uma função real de uma variável real goza da propriedade (1), então ela não pode 
assumir o valor zero. 
Considere uma função 𝑓: ℝ → ℝ, onde vale a propriedade (1) 𝑎𝑥 . 𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦. Nessas circunstâncias, 
teremos que 𝑓(𝑥). 𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥 + 𝑦). Supondo que exista 𝑥0 ∈ ℝ, tal que 𝑓(𝑥0) = 0, teremos então 
para todo 𝑥 ∈ ℝ: 
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 + 𝑥 − 𝑥0) = 𝑓(𝑥0 + (𝑥 − 𝑥0)) = 𝑓(𝑥0). 𝑓(𝑥 − 𝑥0) 
Como 𝑓(𝑥0) = 0, então: 
𝑓(𝑥0). 𝑓(𝑥 − 𝑥0) = 0. 𝑓(𝑥 − 𝑥0) = 0 
Logo, 𝑓(𝑥) = 0, ∀ 𝑥 ∈ ℝ. Porém, isso é um absurdo pois sabemos que: 
𝑠𝑒 𝑥 = 0 ⇒ 𝑓(0) = 𝑎0 = 1 ≠ 0 
Com isso, a função 𝑓 não pode assumir valor zero a menos que seja identicamente nula. 
 
B. Prove que o conjunto imagem dessa função é o conjunto dos números reais estritamente positivos. 
Considerando uma função 𝑓: ℝ → ℝ, onde vale a propriedade (1) e 𝑓(𝑥) ≠ 0, teremos então que 
𝑓(𝑥) > 0, ∀ 𝑥 ∈ ℝ, pois: 
𝑓(𝑥) = 𝑓 (
𝑥
2
+
𝑥
2
) = 𝑓 (
𝑥
2
) . 𝑓 (
𝑥
2
) = [𝑓 (
𝑥
2
)]
2
> 0 
Com isso, temos que o conjunto imagem de 𝑓 é o conjunto dos números reais estritamente positivos, 
𝑓: ℝ → ℝ+.