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Matemática e Realidade
GUIA DE ESTUDOS
Guia de Estudos
escrito por
Deividi Pansera
2020
i
K ;A< J
Conteúdo
Prólogo 1
Matemática e Realidade 3
1.1 Apologia da Matemática 3
1.2 Da Necessidade de se Estudar Outras Áreas 4
1.3 Sobre a Beleza e a Matemática 5
1.4 Matemática e Humildade 6
Como estudar matemática? 9
Conceitos 11
Demonstrações 13
3.1 Estrutura Geral 13
3.2 A Atenção 15
Considerações Finais 17
Listas de Estudo 19
Tópicos de Matemática 21
5.1 Ńıvel Elementar 21
5.1.1 Divulgação Matemática 21
5.1.2 Noções Preliminares 22
i
ii
K ;A< J
5.2 Ńıvel Básico 22
5.2.1 Geometria 22
5.2.2 Teoria dos Conjuntos 23
5.2.3 Teoria dos Números 23
5.2.4 Álgebra Linear 23
5.2.5 Álgebra 24
5.2.6 Cálculo Diferencial e Integral 24
5.2.7 Probabilidade e Estat́ıstica 24
5.3 Ńıvel Intermedíario 25
5.3.1 Análise Real e Complexa 25
5.3.2 Topologia 25
5.3.3 Geometria Diferencial 25
5.3.4 Equações Diferenciais 26
5.4 Ńıvel Avançado 26
5.4.1 Análise Funcional 26
5.4.2 Teoria da Medida 27
5.4.3 Sistemas Dinâmicos e Teoria do Caos 27
5.4.4 Teoria de Categorias 28
5.4.5 Grupos Quânticos e Álgebras de Hopf 28
Tópicos de Lógica, Fundamentos da Matemática e
História da Matemática 29
6.1 Lógica 29
6.2 Fundamentos da Matemática 30
6.3 História da Matemática 31
ii
iii
K ;A< J
Tópicos de Filosofia da Matemática, Filosofia da Ciência,
Filosofia da Natureza e Filosofia da Linguagem 33
7.1 Filosofia da Matemática 33
7.2 Filosofia da Cîencia e Filosofia da Natureza 34
7.3 Filosofia da Linguagem 37
iii
iv
K ;A< J
iv
1
K ;A< J
Prólogo
1
Prólogo 3
K ;A< J
1. Matemática e Realidade
Bem-vindo ao seu guia de estudos matemática e realidade. Este guia
é um compilado de indicações de livros de matemática e, correlacionado
com ela, de filosofia. O objetivo deste guia, completamente embasado
na minha experîencia pessoal e na estrutura da alma humana, é fazer
com que você potencialize a sua capacidade de cogni̧cão e apreensão de
conceitos, de racioćınio, de emissão de júızos etc.
Obviamente, isso só ocorrerá se você, ao mesmo tempo, levar uma
vida intelectual séria, estudar matemática com profundidade e estudar
outros assuntos, especialmente a filosofia.
1.1. Apologia da Matemática
Matemática é essencial para a vida intelectual e estrutura do pensa-
mento. Todo intelectual sério, at́e bem pouco tempo, sabia do que se
tratava Os Elementos de Euclides e, mais ainda, sabia demonstrar te-
oremas nele presentes. Segundo uma tradi̧cão, na Academia de Plat̃ao
existia uma inscri̧cão que proibia a entrada de pessoas que não sabiam
geometria. Ademais, ao longo da República, alguns argumentos em favor
do aprendizado da matemática são dados. Aristóteles, no Órganon, em
Primeiros Anaĺıticos, utiliza a demonstração da irracionalidade de
√
2
como um exemplo de um argumento Reductio ad Absurdum. Alías,
todo o pensamento filosófico grego est́a, de uma forma ou de outra,
entrelaçado com o pensamento matemático e vice-versa.
Diversos foram os filósofos que estudaram, e alguns at́e desenvol-
veram, matemática. Plat̃ao, Aristóteles, Boécio, Hugo de São Vitor, Ro-
3
Prólogo Caṕıtulo 1: Matemática e Realidade
K ;A< J
berto Grosseteste, Thomas Bradwardine, Santo Alberto Magno, Santo
Tomás de Aquino, Duns Scotus, Francisco Suárez, João de São Tomás,
Descartes, Leibniz, Frege, Edmund Husserl, Alfred Whitehead, Henri
Poincaré, Charles Peirce, Pascal, Hilary Putnam, Alfred Tarski, Bernard
Lonergan, James Franklin etc. A matemática, devidamente estudada e
compreendida, aĺem de ser, muitas vezes, um elemento de validação de
sistemas filosóficos (por exemplo, Kant e as geometrias não-euclidianas),
potencializa o intelecto para as abstrações e, consequentemente, para a
absorção de conceitos e universais, desenvolve o racioćınio e a capaci-
dade argumentativa. Isto é, é uma disciplina basilar na vida intelectual
e compreensão da realidade. Tão basilar que as quatro disciplinas que
compõem o Quadrivium - Aritmética, Geometria, Música e Astronomia
-, precedidas pelas disciplinas do Trivium e consideradas fundamentos
para o estudo da Filosofia e da Teologia, são, essencialmente, o estudo
dos números (aritmética), números no espaço (geometria), números no
tempo (música) e números no espaço e tempo (astronomia). O problema
moderno, que deixa turvo o intelecto para a import̂ancia da matemática,
penso eu, é compreender a matemática apenas a partir de sua utilidade, o
que é evidente nos nossos tempos. Não podemos deixar a beleza e a im-
port̂ancia da matemática se perderem no meio do útil e, assim, do ponto
de vista humano, torná-la inútil. Resgatar a cultura também significa res-
gatar a matemática como disciplina basilar na estrutura do pensamento.
Significa entendê-la como uma das maiores conquistas da inteligência
humana.
1.2. Da Necessidade de se Estudar Outras Áreas
O estudo da matemática apenas do ponto de vista t́ecnico e utilitarista,
como dito anteriormente, a torna completamente inútil do ponto de vista
humano e, paradoxalmente, cria no estudante uma tendência muito ele-
vada a erros de racioćınio lógico e argumentativo a respeito da realidade,
outras disciplinas de humanidade e, inclusive, sua própria experîencia
4
Prólogo Caṕıtulo 1: Matemática e Realidade
K ;A< J
pessoal. Com efeito, pois o sujeito fica preso em construções simbólicas
que est̃ao, para ele, fechadas em si mesmas e, assim, são apenas isso,
śımbolos desprovidos de significados. Subjacente à essa visão, embora o
sujeito não perceba, est́a pressuposta uma filosofia da matemática nomi-
nalista. É assim, por exemplo, que se forma a mentalidade cientificista
moderna, uma verdadeira ofensa à razão e cheia de erros ginasianos.
É devido à essa má filosofia da matemática vigente, embora não pro-
fessada, e a igualmente má educação matemática dos nossos tempos.
Se estudada devidamente, porém, o estudo da matemática estrutura o
próprio pensamento e, como consequência, potencializa o poder da razão.
Quando o estudo da matemática é acompanhado do estudo de outras
disciplinas, especialmente das de humanidades, a capacidade dedutiva,
inclusive na busca pela verdade, é potencializada. Um bom curso de
lógica cĺassica e geometria euclidiana, para exemplificar, acompanhando
de um estudo das artes, da filosofia e da antropologia, j́a livraria o estu-
dante da sedução dos sofistas de hoje. Ao estudar a prova da infinidade
do conjunto dos números primos, feita por Euclides há muitos séculos,
o estudante j́a começaria a identificar pressupostos em argumentos fi-
losóficos, poĺıticos, sociais etc. e, assim, não ser enganado por sofismas
e erros argumentativos, que muitas vezes são de chorar.
1.3. Sobre a Beleza e a Matemática
G. H. Hardy, um dos grandes matemáticos do século passado, em seu
livro A Mathematician’s Apology, escreveu que “os padrões criados por
um matemático, como os do pintor ou do poeta, devem ser bonitos; as
idéias, como as cores ou as palavras, devem se entrelaçar de maneira
harmoniosa. A beleza é o primeiro crit́erio: não há lugar no mundo para
a matemática feia.”
Veja bem, a beleza como crit́erio. Na f́ısica, a beleza matemática
também é crit́erio. Paul Dirac, o f́ısico que uniu as matrizes de Heisenberg
com as ondas de Schöredinger, afirmou que “os f́ısicos teóricos aceitam
5
Prólogo Caṕıtulo 1: Matemática e Realidade
K ;A< J
a necessidade da beleza matemática como um ato de f́e. . . Por exemplo,
a principal razão pela qual a teoria da relatividade é t̃ao universalmente
aceita é a sua beleza matemática.” Matemáticos relatam experîencias
est́eticas genúınas, às vezes os levando às ĺagrimas, com o seu objeto de
estudo. Eu, por exemplo, j́a cheguei a lacrimar diante do que eu conhecia.
Por que isso? O crit́erio não deveria ser a verdade?
Depois de estudar os transcendentais do Ser, eu pudecompreender
perfeitamente o que acontece e encontrar uma explicação para Beleza na
matemática e, inclusive, para entendê-la como crit́erio. Como a Beleza, a
Bondade e a Verdade são três aspectos do Ser, ao contemplarmos a Beleza,
estamos contemplando a Verdade e também a Bondade. Quando enxer-
gamos beleza na matemática, o fazemos por estarmos contemplando a
verdade. Sim, a verdade, que, na matemática, tem a caracteŕıstica de se
manifestar de maneira apod́ıtica. É assim que eu compreendi Aristóteles
quando disse que “erram os que afirmam que as cîencias matemáticas
nada dizem sobre a Beleza e a Bondade” e afirmou que ela - a matemática
- fala desses transcendentais em supremo grau.
Os objetos matemáticos são imut́aveis e eternos. Eles não sofrem
com a queda. Neles, Verdade, Bondade e Beleza são uma coisa só. Assim,
ao enxergarmos a Beleza na matemática, estamos pura e simplesmente
contemplando a Verdade. Hardy est́a certo. Quando a matemática é feia,
não há verdade.
É por isso que se você estudar matemática corretamente, aĺem de
treinar o seu intelecto, você estará contemplando a Verdade e, quem
sabe, lacrimando aqui e acoĺa.
1.4. Matemática e Humildade
Obrigado por apontar meu erro. Essa foi a frase dita por Edward Nelson,
um matemático americano, que percorreu o mundo da internet.
Contextualizando, no final de setembro de 2011, uma not́ıcia abalou o
submundo dos fundamentos da matemática. Nelson alegou que ele havia
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Prólogo Caṕıtulo 1: Matemática e Realidade
K ;A< J
provado - veja bem!, DEMONSTRADO - a inconsist̂encia da aritmética.
A inconsist̂encia da aritmética. Isso mesmo. Esqueça Bóson de Higgs.
Esqueça Teoria das Cordas. Esqueça multiversos. Memore inconsist̂encia
da aritmética. Isso seria um estrondo, um desastre, um desmoronamento
intelectual em nosso tempo. Seria. Não foi. Não é. Um outro matemático,
Terence Tao, encontrou um erro na demonstração do Edward Nelson.
Tao apontou o erro e, depois de uma discussão, Nelson enxergou, e
reconheceu, que estava errado e escreveu: “You are quite right, and my
original response was wrong. Thank you for spotting my error.”
Isso pode parecer insignificante, mas não é. Veja, o coração da ma-
temática est́a nas demonstrações. O que um matemático faz é provar
teoremas, buscar argumentos para justificar uma proposi̧cão de tal forma
que o êxtase surge com a beleza do resultado final, completamente ne-
cessário. E mais ainda, nessa busca de encadeamentos, extremamente
ordenados, de racioćınios, o matemático deposita algo seu, ı́ntimo, que
transparece em um estilo. Portanto, quando um erro demonstrativo é
apontado, ele perfura a superf́ıcie do matemático e atinge o seu interior.
Logo, dizer “obrigado por apontar meu erro” é um ato de humildade.
São exemplos como o do Nelson que me fazem pensar a matemática
como uma disciplina da humildade da razão, um ant́ıdoto para a soberba,
pois os erros cometidos nas demonstrações não podem ser racionalizados,
não podem ser contra-argumentados. Obriga-me a aceitar a fraqueza do
meu pensar. Anteriormente, recomendei o estudo da matemática pelos
seus efeitos no intelecto. Dessa vez, recomendo o seu estudo para o
crescimento da virtude da humildade, indispensável a uma verdadeira
vida intelectual.
A matemática é a disciplina da humildade.
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Prólogo Caṕıtulo 1: Matemática e Realidade
K ;A< J
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K ;A< J
Como estudar matemática?
9
Como estudar matemática? 11
K ;A< J
2. Conceitos
Na etapa inicial do estudo da matemática, a primeira coisa necessária
é a clareza dos conceitos. E essa claridade acontece com defini̧cões bem
formuladas. Livres de dubiedades.
Assim, aqui, você precisa apreender os conceitos da disciplina, o que,
às vezes, exigirá pre-requisitos. Por exemplo, na seguinte defini̧cão de
função cont́ınua, o que podemos extrair de pré-requisito?
Definição 1. Uma função f : X → Y entre dois espaços topológicos
X e Y é dita cont́ınua se, para qualquer conjunto aberto V ⊆ Y , a
imagem inversa
f−1(V ) = {x ∈ X : f(x) ∈ V }
é um conjunto aberto de X .
Veja bem, para compreender essa defini̧cão e o conceito de função
cont́ınua, você precisa saber o que é um espaço topológico e um conjunto
aberto nele. E também entender o que é a imagem inversa.
É essencial que você faça essa análise conceitual a cada defini̧cão e
conceito novo encontrado.
Depois, faça os exerćıcios sugeridos. Pois é com os exerćıcios que
os conceitos serão apreendidos e propriedades deles serão derivadas.
Em seguida, a cada defini̧cão, tente definir com as suas palavras.
Tanto a própria defini̧cão quanto os conceitos necessários para que você
entenda a defini̧cão que est́a em jogo.
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Como estudar matemática? Caṕıtulo 2: Conceitos
K ;A< J
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Como estudar matemática? 13
K ;A< J
3. Demonstrações
Diz-se que Abraham Lincoln levava uma cópia dos Elementos de
Euclides consigo a todo lugar. Tarde da noite, à luz de lamparinas, botava-
se a estudar. ”Você nunca poderá ser um advogado se não entender o
que significa demonstração”, dizia ele.
O coração da matemática est́a nas demonstrações. Mas, afinal, o que
é uma demonstração? Ora, de maneira breve, é uma inferência dedutiva a
partir de um conjunto de hipóteses. O resultado obtido é uma conclusão
necessária. Assim, se as hipóteses são verdadeiras, a conclusão também
o será.
Com elas, aprende-se a fazer um racioćınio dedutivo e a provar o
que se afirma. Em suma, aprende-se a raciocinar e argumentar; eleva o
esṕırito que, com o pensamento, chega em verdades necessárias.
3.1. Estrutura Geral
A estrutura geral de uma demonstração foi desenvolvida por Aristóteles
no Órganon e, depois, sumarizada e aperfei̧coada com Euclides. Consiste,
essencialmente, em três partes:
• A Enunciação;
• A Prova;
• A Conclusão.
E essas três partes, por claridade, podem ser abertas em outras seis.
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Como estudar matemática? Caṕıtulo 3: Demonstrações
K ;A< J
Protasis
Nessa primeira fase, dá-se a enunciação, em termos gerais, da pro-
posi̧cão que queremos provar. Quanto mais claros os conceitos envolvi-
dos e mais uńıvocos os termos, melhor.
Ecthesis
Especificação dos dados particulares com letras pelas quais a demons-
tração, a prova, será desenvolvida.
Diorismos
Declaração das condi̧cões de possibilidade do que deve ser provado
ou feito em termos dos dados particulares, que, às vezes, é seguida por
uma discussão dos limites da prova.
Kataskeve
Construção de elementos adicionais necessários para a demonstração.
Apodeixis
A prova, que extrai a verdade do enunciado por meio da variedade de
dados fornecidos ou constrúıdos, com o aux́ılio de proposi̧cões, hipóteses
e defini̧cões anteriores.
Symperasma
Conclusão afirmando que a declaração original satisfaz as condi̧cões
da prova.
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Como estudar matemática? Caṕıtulo 3: Demonstrações
K ;A< J
Essa metodologia, conforme j́a mencionado, est́a, em certo sentido,
na base do verdadeiro pensamento filosófico (a gênese est́a em Plat̃ao
e Aristóteles, que se inspiraram nas deduções matemáticas dos seus
tempos e foram aperfei̧coadas e sintetizadas por Euclides). Ela possui se-
melhanças diretas com a metodologia dos escoĺasticos, que, sem dúvidas,
representa o auge do pensamento filosófico humano.
Ademais, a variedade de teorias matemáticas, em que todas traba-
lham com conceitos, permitem um campo argumentativo realmente
vasto. Imagine, ent̃ao, o que o estudo da matemática pode fazer com
a sua capacidade de compreensão de conceitos, capacidade argumenta-
tiva e dedutiva. Em suma, com o seu intelecto.
3.2. A Atenção
Na etapa do estudo das demonstrações, a atenção deve estar concen-
trada no sentido de não deixar escapar nenhum detalhe da demonstração.
Não deixe passar uma implicação sem entender o porquê dela. Abra a
explicação, se necessário. Por exemplo, se, estudando teoria dos números,digamos, você se depara com a seguinte frase no meio de uma demons-
tração:
Como p | ab, segue que p | a.
Por que p - b? Qual é a relação entre p e b para que isso aconteça?
Ademais, da mesma forma que você vai tentar definir os conceitos
com as suas palavras, enuncie os lemas, proposi̧cões, teoremas etc. com
as suas palavras também.
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Como estudar matemática? Caṕıtulo 3: Demonstrações
K ;A< J
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Como estudar matemática? 17
K ;A< J
4. Considerações Finais
Não podemos ler matemática de maneira passiva. A matemática exige
uma leitura ativa. No sentido que Mortimer Adler coloca no seu livro
Como Ler Livros. E, mais ainda, dos quatro ńıveis de leitura descritos
por Adler, a leitura da matemática deve ser sempre anaĺıtica.
Isso se dá com a reserva de um horário díario, sentado e com um
caderno ao lado. Como dito anteriormente, a cada defini̧cão, tente definir
com as suas palavras. Tanto a própria defini̧cão quanto os conceitos
necessários para que você entenda a defini̧cão que est́a em jogo. Nas
demonstrações, abra os resultados ocultos e não deixe passar uma linha
sem entendimento.
Ademais, aĺem das listas de matemática, coloquei listas de estudos
de alguns tópicos espećıficos de filosofia que est̃ao conectados com a
matemática.
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Como estudar matemática? Caṕıtulo 4: Considerações Finais
K ;A< J
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K ;A< J
Listas de Estudo
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Listas de Estudo 21
K ;A< J
5. Tópicos de Matemática
Segue, inicialmente, organizada por tópicos, uma lista de livros para
cada tópico de matemática. Não há a necessidade de se estudar todos os
livros de um tópico e não há a necessidade de se ler na ordem. O que
há entre os diversos livros é uma relação de complementariedade.
Ademais, as listas est̃ao divididas por ńıveis. São quatro ńıveis: Ele-
mentar, Básico, Intermedíario e Avançado. Ressalto, porém, que mesmo
um tema de ńıvel básico pode se tornar avançado, como, por exemplo,
Teoria dos Conjuntos.
5.1. Ńıvel Elementar
5.1.1 Divulgação Matemática
• A Mathematician’s Apology - G. H. Hardy;
• O Homem que Calculava - Malba Tahan;
• Tio Petros e a Conjectura de Goldbach - Apostolos Doxiadis;
• O Último Teorema de Fermat - Simon Singh;
• The Music of the Primes - Marcus du Sautoy;
• How Not to be Wrong: The Power of Mathematical Thinking
- Jordan Ellenberg;
• A Tour fo the Calculus - David Berlinski;
• Letters to a Young Mathematician - Ian Stewart.
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Listas de Estudo Caṕıtulo 5: Tópicos de Matemática
K ;A< J
5.1.2 Noções Preliminares
• Temas e Problemas Elementares - Elon Lages Lima, Paulo Ce-
zar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado;
• A Matemática do Ensino Médio (todos os volumes) - Elon Lages
Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto
César Morgado;
• Fundamentos de Matemática Elementar (todos os volumes) -
Gelson Iezzi e Carlos Murakami;
• Tópicos de Matemática Elementar (todos os volumes) - Antonio
Caminha Muniz Neto;
• Proof in Mathematics: An Introduction - James Franklin.
5.2. Ńıvel Básico
5.2.1 Geometria
• Elementos - Euclides;
• Construções Geométricas - Eduardo Wagner;
• Introduction to Geometry - H. S. Coxeter;
• Elementary Geometry from an Advanced Standpoint - Edwin
E. Moise;
• Geometry: Euclid and Beyond - Robin Hartshorne.
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Listas de Estudo Caṕıtulo 5: Tópicos de Matemática
K ;A< J
5.2.2 Teoria dos Conjuntos
• Introdução à Teoria dos Conjuntos - Gilmar Pires Novaes;
• Teoria Ingênua dos Conjuntos - Paul Halmos;
• Set Theory: A First Course - Daniel W. Cunningham;
• Introduction to Set Theory - K. Hrbaceck e T. Jech.
5.2.3 Teoria dos Números
• Introdução à Teoria dos Números - José Pĺınio de Oliveira San-
tos;
• Fundamentos da Aritmética - Hygino H. Domingues;
• Elementary Number Theory - Gareth A. Jones e Josephine M.
Jones;
• An Invitation to Modern Number Theory - Steven J. Miller e
Ramin Takloo-Bighash;
• An Introduction to the Theory of Numbers - G. H. Hardy e
Edward M. Wright;
• Teoria dos Números Transcendentais - Diego Marques;
• Teoria dos Números Algébricos - Otto Endler.
5.2.4 Álgebra Linear
• Geometria Anaĺıtica e Algebra Linear - Elon Lages Lima;
• Álgebra Linear - Elon Lages Lima;
• The Four Pillars of Geometry - John Stillwell;
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Listas de Estudo Caṕıtulo 5: Tópicos de Matemática
K ;A< J
• Linear Algebra - Kenneth Hoffmann e Ray Kunze;
• Linear Algebra Done Right - Sheldon Axler.
5.2.5 Álgebra
• Introdução à Álgebra - Adilson Gonçalves;
• Elementos de Álgebra - Arnaldo Garcia e Yves Lequain;
• Contemporary Abstract Algebra - Joseph Gallian;
• Basic Algebra (Vol. 1 e 2) - Nathan Jacobson;
• Abstract Algebra - David S. Dummit e Richard M. Foote;
5.2.6 Cálculo Diferencial e Integral
• Um Curso de Cálculo (Vol. 1-4) - Hamilton Luiz Guidorizzi;
• Calculus - Michael Spivak;
• Calculus (Vol. 1 e 2) - Tom M. Apostol.
5.2.7 Probabilidade e Estat́ıstica
• Instroductory Statistics - Neil A. Weiss;
• Statistics - David Freedman, Robert Pisani e Roger Purves;
• Introduction to Probability Models - Sheldon M. Ross;
• An Introduction to Probability Theory and its Applications -
William Feller;
• Probability Theory: The Logic of Science - E. T. Jaynes.
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Listas de Estudo Caṕıtulo 5: Tópicos de Matemática
K ;A< J
5.3. Ńıvel Intermediário
5.3.1 Análise Real e Complexa
• Curso de Análise (Vol. 1 e 2) - Elon Lages Lima;
• The Elements of Real Analysis - R. Bartle;
• Principles of Mathematical Analysis - Walter Rudin;
• Elementary Classical Analysis - J. E. Marsden;
• Real and Complex Analysis - Walter Rudin;
• A First Course in Complex Analysis with Applications - Den-
nis Zill e Patrick Shanahan;
• Visual Complex Analysis - Tristan Needham.
5.3.2 Topologia
• Espaços Métricos - Elon Lages Lima;
• Elementos de Topologia Geral - Elon Lages Lima;
• Introduction to Topology and Modern Analysis - George F.
Simmons;
• Introduction to Topology - Bert Mendelson.
5.3.3 Geometria Diferencial
• Geometria Diferencial de Curvas e Superf́ıcies - Manfredo Per-
digão do Carmo;
• Elementary Differencial Geometry - B. O’Neill;
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Listas de Estudo Caṕıtulo 5: Tópicos de Matemática
K ;A< J
• Differential Geometry - Will Merry;
• Manifolds and Differential Geometry - Jeffrey Lee;
• Introduction to Manifolds - Loring Tu;
• Variedades Diferenciáveis - Elon Lages Lima.
5.3.4 Equações Diferenciais
• Equações Diferenciais Ordinárias - Clauss I. Doering e Artur
O. Lopes;
• EDP: Um Curso de Graduação - Vaĺeria Iório;
• Differential Equations With Applications and Historical No-
tes - George Simmons;
• Equações Diferenciais Aplicadas - Djairo Guedes de Figueiredo
e Aloisio Freiria Neves;
• Elementary Differential Equations and Boundary Value Pro-
blems - W. E. Boyce e R. C. DiPrima;
• Stability, Instability and Chaos: An Introduction to the Theory
of Nonlinear Differential Equations - P. Glendinning.
5.4. Ńıvel Avançado
5.4.1 Análise Funcional
• Fundamentos de Análise Funcional - Geraldo Botelho, Daniel
Pellegrino e Eduardo Teixeira;
• Introdução à Análise Funcional - César R. de Oliveira;
26
Listas de Estudo Caṕıtulo 5: Tópicos de Matemática
K ;A< J
• Functional Analysis - Walter Rudin;
• Introduction to Banach Spaces and Algebras - Graham R. Al-
lan;
• Topology and Normed Spaces - G. J. O. Jameson.
5.4.2 Teoria da Medida
• Introdução à Medida e Integração - Carlos Isnard;
• Curso de Teoria da Medida - A. Armando de Castro Jr.;
• Medida e Integração - Pedro J. Fernandez;
• An Introduction to Measure Theory - Terence Tao;
• Measure Theory - D. H. Fremlin.
5.4.3 Sistemas Dinâmicos e Teoria do Caos
• Introdução aos Sistemas Dinâmicos - Jacob Palis Jr. e Weligton
de Melo;
• Introduction to Modern Theory of Dynamical Systems - Ana-
tole Katok e A. B. Katok;
• An Introduction to Dynamical Systems - D. K. Arrowsmith e
C. M. Place;
• An Introduction to Dynamical Systems and Chaos- G. C. Layek;
• Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduc-
tion to Chaos - Morris W. Hirsch, Stephen Smale e Robert L.
Devaney;
• Laws of Chaos - Abraham Boyarsky e Pawel Góra.
27
Listas de Estudo Caṕıtulo 5: Tópicos de Matemática
K ;A< J
5.4.4 Teoria de Categorias
• Categories for the Working Mathematician - Saunders MacLane;
• Category Theory - Steve Awodey;
• Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats - Jǐŕı Adámek,
Horst Herrlich e George E. Strecker;
• Categorical Logic and Type Theory - Bart Jacobs;
• Fibred categories à la Bénabou - Thomas Streicher;
• Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos
Theory - Saunders MacLane e Ieke Moerdijk;
• Categories and Sheaves - Masaki Kashiwara e Pierre Schapira.
5.4.5 Grupos Quânticos e Álgebras de Hopf
• Quantum Groups and Their Representations - Anatoli Klimyk
e Konrad Schmudgen;
• A Guide to Quantum Groups - Vijayanthi Chari e Andrew Pres-
sley;
• Foundations of Quantum Group Theory - Shahn Majid;
• Quantum Groups - Christian Kassel;
• Hopf Algebras - Moss E. Sweedler;
• Hopf Algebras and Their Actions on Rings - Susan Montgo-
mery;
• Hopf Algebras - David Radford.
28
Listas de Estudo 29
K ;A< J
6. Tópicos de Lógica, Fundamentos da Ma-
temática e História da Matemática
Aqui, não há mais uma divisão por ńıveis, apenas uma divisão pelas áreas
de Lógica, Fundamentos da Matemática e História da Matemática.
6.1. Lógica
• Órganon - Aristóteles;
• An Introduction to Traditional Logic - Michael M. Sullivan;
• Socratic Logic - Peter Kreeft;
• Introdução à Lógica - Cezar A. Mortari;
• O Desenvolvimento da Lógica - William Kneale e Martha Kne-
ale;
• Logic: A Very Short Introduction - Graham Priest;
• A Concise Introduction to Logic - Patrick J. Hurley e Lori Wat-
son;
• Logic and Structure - Dick van Dalen;
• Introduction to Metamathematics - Stephen Cole Kleene;
• Introduction to Mathematical Logic - Elliot Mendelson;
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Listas de EstudoCaṕıtulo 6: Tópicos de Lógica, Fundamentos da Matemática e História da Matemática
K ;A< J
• Fundamentals of Mathematical Logic - Peter G. Hinman;
• Mathematical Logic - Joseph R. Shoenfield;
• A Mathematical Introduction to Logic - Herbert B. Enderton;
• Mathematical Logic and Model Theory: A Brief Introduction
- Alexander Prestell e Charles N. Delzell;
• Logic, Induction and Sets - Thomas Forster:
• Language, Proof and Logic - John Etchemendy e Jon Barwise
6.2. Fundamentos da Matemática
• The Foundations of Mathematics - Thomas Q. Sibley;
• The Foundations of Mathematics - Kenneth Kunen;
• Classic Set Theory for Guided Independent Study - Derek C.
Goldrei;
• Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction - M.
Potter;
• Set Theory and the Continuum Hypothesis - Paul Cohen;
• Set Theory, Logic and their Limitations - Moshe Machover;
• The Higher Infinite - Akihiro Kanamori;
• Computability and Logic - George S. Boolos, John P. Burgess e
Richard C. Jeffrey.
30
Listas de EstudoCaṕıtulo 6: Tópicos de Lógica, Fundamentos da Matemática e História da Matemática
K ;A< J
6.3. História da Matemática
• Mathematics: From the Birth of Numbers - Jan Gullberg;
• Mathematics and its History - John Stillwell;
• Mathematical Thought from Ancient to Modern Times - Mor-
ris Kline;
• A Short Account of the History of Mathematics - W. W. Rouse
Ball;
• The History of Mathematics: An Introduction - David Burton;
• An Introduction to the History of Mathematics - Howard Eves;
• A History of Mathematics: An Introduction - Victor J. Katz;
• A History of Mathematics - Carl B. Boyer;
• The History of the Calculus and Its Conceptual Development
- Carl B. Boyer;
• A History of Greek Mathematics - Thomas Heath;
• The Science of Conjecture: Evidence and Probability before
Pascal - James Franklin.
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Listas de EstudoCaṕıtulo 6: Tópicos de Lógica, Fundamentos da Matemática e História da Matemática
K ;A< J
32
Listas de Estudo 33
K ;A< J
7. Tópicos de Filosofia da Matemática, Fi-
losofia da Cîencia, Filosofia da Natureza
e Filosofia da Linguagem
Aqui, continuamos sem a divisão por ńıveis, apenas uma divisão pe-
las áreas de Filosofia da Matemática, Filosofia da Cîencia, Filosofia da
Natureza e Filosofia da Linguagem.
7.1. Filosofia da Matemática
• The Nature of Mathematical Knowledge - Philip Kitcher;
• The Foundations of Arithmetic - G. Frege;
• hinking about Mathematics: the Philosophy of Mathematics -
Stewart Shapiro;
• Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology - Stewart
Shapiro;
• Platonism and Anti-Platonism in Mathematics - Mark Bala-
guer;
• Wittgenstein, Finitism, and the Foundations of Mathematics -
Mathieu Marion;
• Naturalism in Mathematics - Penelope Maddy;
• Realism in Mathematics - Penelope Maddy;
33
Listas de Estudo
Caṕıtulo 7: Tópicos de Filosofia da Matemática, Filosofia da Ciência, Filosofia da
Natureza e Filosofia da Linguagem
K ;A< J
• The Philosophy of Mathematics - Edward A. Maziarz;
• Greek Mathematical Philosophy - Edward A. Maziarz e Thomas
Greenwood;
• Philosophy of Mathematics: A Contemporary Introduction to
the World of Proofs and Pictures - James Robert Brown;
• Uncertainty: The Soul of Modeling, Probability and Statistics
- William Briggs;
• From an Ivory Tower: A Discussion of Philosophical Problems
Originating in Modern Mathematics - Bernard Hausmann;
• An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics: Mathema-
tics as the Science of Quantity and Structure - James Franklin;
• St. Thomas on the Object of Geometry - Vincent Edward Smith;
• La Filosof́ıa de las Matemáticas en Santo Tomás - Jose Alvarez
Laso.
7.2. Filosofia da Cîencia e Filosofia da Natureza
• Metaf́ısica - Aristóteles;
• F́ısica - Aristóteles;
• Understanding Philosophy of Science - James Ladyman;
• What Science Knows: And How it Knows it - James Franklin;
• Modern Physics and Ancient Faith - Stephen M. Barr;
• The Mathematization of Physics and the Neo-Thomism of
Duhem and Maritain - Stephen M. Barr;
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Listas de Estudo
Caṕıtulo 7: Tópicos de Filosofia da Matemática, Filosofia da Ciência, Filosofia da
Natureza e Filosofia da Linguagem
K ;A< J
• The Science Before Science - Anthony Rizzi;
• The Modeling of Nature - William A. Wallace;
• Causality and Scientific Explanation - William A. Wallace;
• Philosophical Physics - Vincent Edward Smith;
• The Philosophy of Physics - Vincent Edward Smith;
• The General Science of Nature - Vincent Edward Smith;
• La Mente del Universo - Mariano Artigas;
• Karl Popper: Búsqueda sin Término - Mariano Artigas;
• Galileo em Roma - Mariano Artigas;
• Filosofia da Natureza - Mariano Artigas;
• The Metaphysical Foundations of Modern Science - Edwin A.
Burtt;
• How the Laws of Physics Lies - Nancy Cartwright;
• Philosophy and the New Physics - Jonathan Powers;
• Physics and Phylosophy - Werner Heisenberg;
• Against Method - Paul Feyerabend;
• A Estrutura das Revoluções Cient́ıficas - Thomas Kuhn;
• Conjecturas e Refutações - Karl Popper;
• A Crise das Ciências Europeias e a Fenomenologia Transcen-
dental - Edmund Husserl;
• A Imagem Cient́ıfica - Bas van Fraassen;
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Listas de Estudo
Caṕıtulo 7: Tópicos de Filosofia da Matemática, Filosofia da Ciência, Filosofia da
Natureza e Filosofia da Linguagem
K ;A< J
• Imposturas Intelectuais - Alan Sokal e Jean Bricmont;
• The Rationality of Induction - David Stove;
• Popper and After: Four Modern Irrationalists - David Stove;
• Darwinian Fairytales - David Stove;
• Structural Realism - Elaine Landry e Dean Rickles;
• A Metaphysics for Scientific Realism: Knowing the Unobser-
vable - Anjan Chakravartty;
• Aristotle on Method and Metaphysics - Edward Feser;
• Aristotle’s Revenge: the Metaphysical Foundations of Physical
and Biological Science - Edward Feser;
• The Limits of a Limitless Science: and Other Essays - Stanley
L. Jaki;
• The Saviour of Science - Stanley L. Jaki;
• The Hollow Universe - Charlesde Koninck;
• Philosophy of Nature - Jacques Maritain e Yves Simon;
• The Degree of Knowledge - Jacques Maritain;
• Thomism and Mathematical Physics - Bernard I. Mullahy;
• F́ısica e Realidade - Carlos A. Casanova;
• O Enigma Quântico - Wolfgang Smith;
• Ciência e Mito - Wolfgang Smith.
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Listas de Estudo
Caṕıtulo 7: Tópicos de Filosofia da Matemática, Filosofia da Ciência, Filosofia da
Natureza e Filosofia da Linguagem
K ;A< J
7.3. Filosofia da Linguagem
• De Magistro - Santo Agostinho;
• Philosophy of Language - A. Miller;
• Philosophy of Language: A Contemporary Introduction - W.
G. Lycan;
• Sourcebook in the History of Philosophy of Language - M.
Cameron, B. Hill e R. J. Stainton;
• La Búsqueda del Significado - L. V. Villanueva;
• Las Palabras, las Ideas y las Cosas - M. G.-Carpintero;
• Filosof́ıa del Lenguaje - F. Conesa e J. Nubiola;
• Quantifiers and Propositional Attitudes - W.V.O. Quine;
• Two Dogmas of Empiricism - W.V.O. Quine;
• Proper Names - John Searle;
• The Structure of Illocutionary Acts - John Searle;
• Thomist Realism and the Linguistic Turn: Toward a More
Perfect Form of Existence - John O’Callaghan;
• Aristotle’s Theory of Language and Meaning - Deborah K. W.
Modrak.
37
	Prólogo
	1 Matemática e Realidade
	1.1 Apologia da Matemática
	1.2 Da Necessidade de se Estudar Outras Áreas
	1.3 Sobre a Beleza e a Matemática
	1.4 Matemática e Humildade
	Como estudar matemática?
	2 Conceitos
	3 Demonstrações
	3.1 Estrutura Geral
	3.2 A Atenção
	4 Considerações Finais
	Listas de Estudo
	5 Tópicos de Matemática
	5.1 Nível Elementar
	5.1.1 Divulgação Matemática
	5.1.2 Noções Preliminares
	5.2 Nível Básico
	5.2.1 Geometria
	5.2.2 Teoria dos Conjuntos
	5.2.3 Teoria dos Números
	5.2.4 Álgebra Linear
	5.2.5 Álgebra
	5.2.6 Cálculo Diferencial e Integral
	5.2.7 Probabilidade e Estatística
	5.3 Nível Intermediário
	5.3.1 Análise Real e Complexa
	5.3.2 Topologia
	5.3.3 Geometria Diferencial
	5.3.4 Equações Diferenciais
	5.4 Nível Avançado
	5.4.1 Análise Funcional
	5.4.2 Teoria da Medida
	5.4.3 Sistemas Dinâmicos e Teoria do Caos
	5.4.4 Teoria de Categorias
	5.4.5 Grupos Quânticos e Álgebras de Hopf
	6 Tópicos de Lógica, Fundamentos da Matemática e História da Matemática
	6.1 Lógica
	6.2 Fundamentos da Matemática
	6.3 História da Matemática
	7 Tópicos de Filosofia da Matemática, Filosofia da Ciência, Filosofia da Natureza e Filosofia da Linguagem
	7.1 Filosofia da Matemática
	7.2 Filosofia da Ciência e Filosofia da Natureza
	7.3 Filosofia da Linguagem