CONSTANTE DE TEMPO E MEIA-VIDA DO CIRCUITO RC

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OBJETIVOS
Analisar o comportamento de capacitores e o circuito em série de resistor e capacitor (Circuito RC).
INTRODUÇÃO TEÓRICA 
Capacitância
Existem capacitores de todas as geometrias, mas a mais conhecida e usada como representação é o capacitor de placas paralelas. Este é formado por duas placas condutoras de área A separadas por uma distância d que contém um material dielétrico entre si.
Quando um capacitor está carregado, suas placas possuem cargas iguais, porém contrárias, de + q e – q. Entretanto, refere-se à carga do capacitor como sendo q, o valor absoluto destas cargas sobre as placas.
Como as placas são condutoras, elas são superfícies equipotenciais; todos os pontos sobre uma placa estão em um mesmo potencial elétrico. Além disso, existe uma diferença de potencial entre as duas placas. Por razões históricas, representa-se o valor absoluto dessa diferença de potencial por V em vez de ΔV.
A carga q e a diferença de potencial V são proporcionais, ou seja.
Circuitos RC
Carregando um capacitor
Figura: Esquemas dos circuitos RC. Inicialmente a chave S está aberta e nenhuma corrente passa pelo circuito. Em seguida, a chave é fechada e a corrente passa a fluir.
O capacitor de capacitância C da figura 1 está inicialmente descarregado. Para carregá-lo, fecha-se a chave S. Isto completa um circuito em série RC formado por um capacitor, uma bateria ideal de fem e uma resistência R. Deseja-se examinar o processo de carregamento. Em particular procura-se saber como a carga q(t) sobre as placas do capacitor, a diferença de potencial Vc(t) entre as placas do capacitor e a corrente i(t) variam com o tempo durante o processo de carregamento.
Pela regra das malhas, percorrendo no sentido horário, a partir do terminal negativo da bateria, obtém-se
 (1)
Derivando ambos os lados em relação ao tempo e considerando constante, tem-se
Mas , logo
Integrando,
No início, a corrente terá seu valor máximo, pois o potencial da bateria estará iniciando seu descarregamento. Com o tempo, sua intensidade vai reduzindo.
Substituindo essa última equação na equação (1), encontra-se
 (2)
No início, em t = 0, a corrente é máxima e o circuito comporta-se como um circuito simples, obedecendo à fórmula:
Adaptando a fórmula para a situação presente:
Introduzindo esta última equação na equação (2):
Fórmula do capacitor carregando.
Quando t → 0, q → 0;
Neste instante não há carga no capacitor e o circuito comporta-se como puramente resistivo.
Quando t for muito grande (t → ∞), → 0 e 
Neste instante o capacitor está totalmente carregado e a diferença do potencial entre as placas se iguala ao da bateria.
Quando t = , onde τ equivale a RC, 
 é igual ao q máximo, ou seja, à carga máxima que o capacitor pode armazenar após estar completamente carregado. Assim, quando t = = RC, o capacitor estará com 63% da carga total permitida.
Descarga do capacitor
Supondo que o capacitor está totalmente carregado, quando a chave S abrir, = 0, logo:
Como 
Integrando
Onde é a carga máxima inicial do capacitor totalmente carregado.
Quando t=0, q =q0 
Quando t → ∞, q → 0
Quando t = , onde = RC, então:
Mas q0 é a carga máxima que o capacitor pode armazenar que apresenta o mesmo valor da carga final do capacitor quando este está sendo carregado. Assim,
Logo, quando t = RC, a carga estará com 37% da carga máxima inicial.
METODOLOGIA
Material utilizado
· Osciloscópio; 
· Gerador de funções; 
· Multímetro; 
· Kit circuito RC; 
· Cabos de conexão;
· Ponta de prova.
Procedimento experimental
Montou-se o circuito abaixo, utilizando o kit (circuito RC), acoplando o gerador de funções. 	
Em seguida, conectou-se o canal 1 do osciloscópio no gerador de funções e o canal 2 no resistor, conforme a figura abaixo:
Ligou-se o osciloscópio na tomada de 220V, e o gerador de funções na outra tomada de mesma voltagem, e ajustou-se a frequência em 19,978Hz e a tensão de pico a pico em 10V.
Foram ajustadas as escalas do osciloscópio para a realização das leituras (CH1 = 2V – CH2 = 2V – 5ms).
Ajustou-se a resistência de forma que apareceu na tela do osciloscópio uma imagem semelhante a essa:
	Foram medidos os valores de t1/2 (tempo de meia vida) e τ, como indicado na figura acima. Mediu-se a resistência e a capacitância pelo multímetro.
RESULTADOS E DISCUSSÕES
	No experimento realizado em sala de aula, obteve-se:
	Informações extraídas do gráfico
	
	Voltagem (V)
	Tempo correspondente (ms)
	Voltagem inicial (V0)
	9,20
	-----
	Metade da voltagem inicial (0,5V0)
	4,60
	3,8
	63% da voltagem inicial (0,63V0)
	5,80
	5,2
	Tabela 1: medições feitas com o gráfico.
O valor da voltagem total, da metade da voltagem total e os dois tempos fornecidos foram todos obtidos pelo gráfico presente no osciloscópio. O valor associado aos 63% da voltagem total foi calculado, mas seu tempo correspondente foi detectado no gráfico.
	Medições feitas pelo multímetro
	Resistência (kΩ)
	16,5
	Capacitância (μF)
	3,0
		Tabela 2: Medidas com o multímetro.
· Metade da voltagem inicial (meia vida)
Sabendo que 
e
Logo,
Onde é a voltagem total.
Meia vida corresponde ao tempo gasto para o capacitor descarregar metade de sua carga. Como q = CV, então a metade da Carga implica que a voltagem também será a metade.
A metade da voltagem total é:
O valor encontrado no gráfico foi 4,60V que está exatamente de acordo com o valor calculado.
Como a voltagem do gráfico é igual a voltagem calculada, o tempo de meia vida nos dois casos também coincidem. Com isso, verifica-se o t1/2 para o valor de 4,60 V.
Substituindo os valores
Este resultado mostra-se aproximado ao valor encontrado no gráfico, que foi de 3,80ms.
· 63% da voltagem total
A partir da fórmula do capacitor carregando já descrita neste relatório, é possível deduzir que, para t = = RC, o capacitor armazenará 63% da carga total do sistema. 
Com isso, o valor que corresponde a 63% da voltagem total foi calculado e resultado obtido foi de:
Segundo a teoria, o tempo necessário para atingir essa voltagem deve equivaler a .
Este presente resultado encontra-se bem aproximado do valor o obtido a partir do gráfico, que foi de 5,2ms.
· Questionário:
01. Um capacitor de capacitância C está descarregando através de uma resistência R. Em termos da constante de tempo τ = RC, mostre em que instante a carga do capacitor será igual a metade do seu valor inicial, conhecido por tempo de meia vida do sistema t1/2.
Como o capacitor está descarregando temos:
A carga inicial é . Desejando saber o tempo em que a carga do capacitor será a metade do valor inicial, obtemos que: Como τ = RC, substituindo:
Como = RC, substituindo:
02. Utiliza os dados do experimento para encontrar o tempo de meia vida do sistema (T1/2) e compare com o valor medido.
Cálculo realizado em resultados e discussões. Por fim, o valor cálculo aproximou-se do valor obtido pelo gráfico, sendo 3,4ms e 3,8ms, respectivamente. Esta diferença pode ser justificada por possíveis erro durante a execução do experimento.
03. Demonstre detalhadamente as equações do capacitor carregando e do capacior descarregando.
As equações do capacitor carregando [] e a do do capacitor descarregando [] foram demonstradas na introdução teórica.
CONCLUSÃO
	Com este experimento foi possível perceber o comportamento dos circuitos RC. Quanto ao carregamento do capacitor, quando t 0 a carga contida no capacitor também tende a zero e o circuito apresenta um caráter resistivo, mas a medida que o tempo passa esta carga aumenta. Quanto t, q que corresponde ao máximo que o capacitor por armazenar. No descarregamento do capacitor acontece o contrário, no instante t = 0, a carga no capacitor é máxima, mas carga vai diminuindo a medida que t aumenta.
· Através do experimento foi possível perceber que quando a resistência é muito pequena a função apresentada no osciloscópio toma a forma quadrada. A medida que essa resistência aumenta de valor, a curva vai tomando uma forma semelhante à da figura 4 (côncava na primeira metade,seguida de um pico e convexa na segunda metade). Ou seja, a variação na resistência toma como consequência a mudança na forma de onda.
	Podemos notar que q diminui exponencialmente com o tempo a uma taxa que depende da constante de tempo capacitiva . No instante t= a carga do capacitor diminui para , ou aproximadamente 37% do valor inicial. A partir disso podemos observar que quanto maior o valor de , maior será o tempo de descarregamento.
	Através experimento foi possível conhecer melhor o comportamento do circuito RC, a realização da carga e da descarga de um capacitor, através da utilização de um gerador de funções e de um osciloscópio. 
Por fim , verificamos que os dados obtidos experimentalmente, fornecidos pelo osciloscópio, apresentaram valores próximos dos obtidos analiticamente ( usando as fórmulas descritas e deduzidas ao decorrer do trabalho). A pouca diferença encontrada entre eles pode ser justificada por erros de medição.
REFERÊNCIAS	 
HALLIDAY; RESNICK; WALKER. Fundamentos de Física – Eletromagnetismo. 6ed. Rio de Janeiro, LTC, 2003.