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Função Exponencial e Logarítmica

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FUNÇÃO EXPONENCIAL 
F(x) = 𝒂𝒙 
b = 𝑎𝑛 = 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ … ∙ 𝒂 → n Vezes 
Para 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ e 𝑛 ∈ ℕ, temos: 𝑎𝑛 = 𝑏, onde: 
𝑎 = Base 
𝑏 = Potência 
𝑛 = Expoente 
Por definição: 
𝑎0 = 1 a¹ = 𝑎 𝑎−𝑛 = 
1
𝑎𝑛
 
Propriedades: 
Potenciação: 
Se 𝒎 e 𝒏 são números inteiros, valem as seguintes propriedades: 
 𝑎𝑚. 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
 𝑎𝑚: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 
 (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛 
 (𝑎. 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 . 𝑏𝑚 
 (𝑎: 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚: 𝑏𝑚 
 (𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 (𝑎 − 𝑏). (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 
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Radiciação: 
Se 𝒎 e 𝒏 são número naturais não nulos, valem as seguintes propriedades: 
 √𝑎
𝑛 = 𝑎
1
𝑛 
 √𝑎
𝑛 . √𝑏
𝑛
= √𝑎. 𝑏
𝑛
 
 √𝑎
𝑛 : √𝑏
𝑛
= √
𝑎
𝑏
𝑛
 
 √ √𝑎
𝑚𝑛 = √𝑎
𝑛.𝑚
 
 ( √a
n )
p
= √ap
n
 
Equação Exponencial: 
Para resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar técnicas 
para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são iguais. 
Observe a resolução da equação exponencial a seguir: 
 3𝑥 = 2187 (fatorando o número 2187 temos: 37). 3𝑥 = 37 
 x = 7 
 O valor de x na equação é 7. 
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A função exponencial natural, denotada e
x
 ou exp(x) é a função 
exponencial cuja base é o número de Euler (um número 
irracional que vale aproximadamente 2,718281828). 
EEAR 
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 
EEAR 
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 3/2 
EsPCEx 2008 
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EsPCEx 2009 
EsPCEx 2011 
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EsPCEx 2018 
Equação Exponencial: 
Para resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar 
técnicas para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são 
iguais. Observe a resolução da equação exponencial a seguir: 
 3𝑥 = 2187 (fatorando o número 2187 temos: 37). 
 3𝑥 = 37 
 x = 7 
 O valor de x na equação é 7. 
 Exemplos: 
2𝑥 = 32 ⇒ 2𝑥 = 25 ⇒ 𝑥 = 5 
(
1
3
)
𝑥
= 27 ⇒ (3−1)𝑥 = 33 ⇒ 3−𝑥 = 33 ⇒ 𝑥 = −3 
(√2)
𝑥
= 16 ⇒ (2
1
2)
𝑥
= 24 ⇒ 
𝑥
2
= 4 ⇒ 𝑥 = 8 
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Exemplos: 
 32𝑥+1. 93𝑥+1 = 27𝑥−1 
 9𝑥 + 3𝑥 = 12 
 4𝑥+1 − 4. 2𝑥 = 224 
1) (PUC-RJ 2012) A equação 2𝑥
2−14 = 
1
1024
. A soma das duas soluções é: 
 a) – 5 
 b) 0 
 c) 2 
 d) 14 
 e) 1024 
2) (CFTMG 2013) O produto das raízes da equação exponencial 
3.9𝑥 − 10. 3𝑥 + 3 = 0 é igual a 
a) –2. 
b) –1. 
c) 0. 
d) 1. 
4) Dada a equação: 2𝑥
2
. 2𝑥= 64 a diferença entre a maior e a menor raiz dessa 
equação é: 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 e) 5 
16) Calcule x em 3𝑥+1 −
18
3𝑥
= 25: 
 a) 2 
 b) – 1 
 c) 0 
 d) 1 
 e) 1 
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17) O produto das raízes da equação, 4𝑥+1 − 9. 2𝑥 + 2 = 0 é: 
 a) – 2 
 b) – 1 
 c) 0 
 d) ½ 
 e) 3 
18) Os números inteiros x e y satisfazem 2𝑥+1 + 2𝑥 = 3𝑦+2 − 3𝑦. Então x é: 
 a) – 1 
 b) 0 
 c) 1 
 d) 2 
 e) 3 
(EEAr 2012) No conjunto dos números reais, a equação (3𝑥)𝑥 = 98 tem por raízes 
a) um número positivo e um negativo. 
b) um número negativo e o zero. 
c) dois números negativos. 
d) dois números positivos. 
(EEAr 2004) O valor da expressão 5𝑥0 + 2𝑥
3
4 + 9𝑥−
1
2 , quando 𝑥 = 81, é 
a) 48. 
b) 60. 
c) 65. 
d) 72. 
(EsPCEx 2018) As raízes inteiras da equação 23𝑥 − 7. 2𝑥 + 6 = 0 são 
 a) 0 e 1 b) -3 e 1 c) -3, 1 e 2 d) -3, 0 e 1 e) 0, 1 e 2 
(EsPCEx 2012)O conjunto solução do sistema {
3𝑥 . 27𝑦 = 9
𝑦3 +
2
3
𝑥𝑦2 = 0 
é formado por dois pontos, cuja localização no plano cartesiano é 
a) Ambos no primeiro quadrante. 
b) Um no quarto quadrante e outro no eixo X . 
c) Um no segundo quadrante e o outro no terceiro quadrante. 
d) Um no terceiro quadrante e o outro no eixo Y . 
e) Um no segundo quadrante e o outro no eixo X . 
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Inequação Exponencial: 
Assim como as equações exponenciais, as inequações exponenciais são aquelas 
que apresentam a incógnita no expoente. 
Base 𝑎 (0 < 𝑎 ≠ 0) 
𝑎𝑥1<𝑎𝑥2 ⇒ 𝑥1 < 𝑥2 (𝑠𝑒 𝑎 > 1) 
𝑎𝑥1<𝑎𝑥2 ⇒ 𝑥1 > 𝑥2 (𝑠𝑒 0 < 𝑎 < 1) 
Exemplos: 
 2𝑥 > 64 ⇒ 2𝑥 > 26 ⇒ 𝑥 = 6 
 (
1
3
)
𝑥
≤ 27 ⇒ (3−1)𝑥 ≤ 33 ⇒ 3−𝑥 ≤ 33 ⇒ −𝑥 ≤ 3 ⇒ 𝑥 ≥ −3 
 (√2)
𝑥
≥ 8√2 ⇒ (2
1
2)
𝑥
≥ 23. 2
1
2 ⇒ 2
𝑥
2 ≥ 2
7
2 ⇒ x = 7 
 (0,7)2𝑥−1 > 1 ⇒ (0,7)2𝑥−1 > (0,7)0 ⇒ 2𝑥 − 1 < 0 ⇒ 𝑥 <
1
2
 
EEAR 
 
EsPCEx 2012 
 
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LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA: 
F(x) = 𝒍𝒐𝒈 𝒙 
Sejam a e b dois números reais positivos (𝑏 ≠ 1, 𝑏 > 0 𝑒 𝑎 > 0), 
denominasse logaritmo de a na base b o expoente x (log𝑏 𝑎 = 𝑥), sendo 
𝑏𝑥 = 𝑎: 
 Obs : log 𝑎 = log10 𝑎: 
Propriedades: 
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Mudança de Base: 
log𝑎 𝑏=
log𝑐 𝑏
log𝑐 𝑎
 
Logaritmos Naturais: ln x = loge x 
Cologaritmo: cologa b = −loga b 
Equações logarítmicas: 
log2 4 = 2 , pois 2
2 = 4 
log3 81 = 4 , pois 3
4 =81 
log7 7 = 1 , pois 7
1 = 7 
log5 1 = 0 , pois 5
0 = 1 
log2
1
8
= −3 , pois 2−3 =
1
8
 
log2 √2 =
1
2
 , pois 2
1
2 = √2 
log2
1
8
= −3 , pois 2−3 =
1
8
 
log1
5
125 = −3 , pois 53 = 125 
Exemplos: 
a) log
√4
3 2 b) log32 0,125 
c) 9log3 7 d) log2(𝑥
2 + 𝑥) = log2(4𝑥 − 2) 
e) ln 𝑒4 − log 0,001 
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3) (PUCRS) Escrever 𝑏log𝑏 𝑎 = 𝑏−2, equivale a escrever 
a) 𝑎 = 
1
𝑏2
 
b) 𝑏 = 𝑎2 
c) a = b² 
d) b² = -a 
e) 𝑏 = 
1
𝑎2
 
4) O número real x, tal que log𝑥 (
9
4
) = 
1
2
 , é 
a) 81/16 
b) -1/2 
c) 1/2 
d) 2 
e) -81/16 
5) (UEL) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é: 
a) o número ao qual se eleva a para se obter b 
b) o número ao qual se eleva b para se obter a 
c) a potência de base b e expoente a 
d) a potência de base a e expoente b 
e) a potência de base 10 e expoente a 
6) (FUVEST) Se log2 𝑏 − log2 𝑎 = 5, o quociente 
𝑏
𝑎
 vale: 
a) 10