apostilaII- calculo 2

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Sumário
1 Diferenciação de funções de
várias variáveis 1
1.1 Fun�c~oes de duas ou mais Vari�aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Diferencia�c~ao Parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Fun�c~oes de mais de duas vari�aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.2 Derivada de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.3 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Plano Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.1 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Extremo absoluto e relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 Teste da derivada segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.2 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.7 Aproxima�c~ao e Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7.1 Teorema da Aproxima�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
i
SUMÁRIO SUMÁRIO
1.7.2 Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.7.3 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.8 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.8.1 Uma vari�avel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.8.2 Três Vari�aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.8.3 Outros tipos de fun�c~oes compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.8.4 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.9 Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.9.1 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2 Integrais Duplas e Triplas 60
2.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2 A integral dupla sobre um retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4 Integrais duplas sobre regi~oes mais gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.6 Integrais Duplas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.6.1 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.6.2 Coordenadas Polar e Retangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.6.3 Mudando de Coordenadas Cartesianas para Coordenadas Polares . . 93
2.7 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.8 Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.8.1 Integral Tripla sobre uma Caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.9 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.10 Integrais Triplas em Coordenadas Cil��ndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO ii CÁLCULO II
SUMÁRIO SUMÁRIO
2.10.1 Coordenadas Cil��ndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.10.2 Integrais Triplas em Coordenadas Cil��ndricas . . . . . . . . . . . . . 116
2.11 Exerc��cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO iii CÁLCULO II
Caṕıtulo 1
Diferenciação de funções de
várias variáveis
1.1 Funções de duas ou mais Variáveis
A fun�c~ao de duas vari�aveis �e uma regra que associa um �unico n�umero para cada par (x; y)
de n�umeros para os quais a regra �e de�nida.
Notac�~ao: z = f (x; y) :
Se f for de�nida para todos os pares (x; y), representamos esta rela�c~ao por:
f : R2 ! R ou (x; y) f�! z:
Se f for de�nida em D � R2 (dom��nio da fun�c~ao),
f : D ! R; D � R2:
Gr�afico da Func�~ao de duas Vari�aveis: Interpretamos os pares ordenados (x; y)
como pontos no plano xy. Indicamos o valor da fun�c~ao z = f(x; y) plotando o ponto
1
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.1. FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS
(x; y; z) no espa�co. Ent~ao, a altura do ponto (x; y; z) abaixo ou acima do ponto (x; y; 0)
representa o n�umero z associado pela fun�c~ao ao par ordenado (x; y)
Abaixo damos dois exemplos, um de fun�c~ao de duas vari�aveis e outro de uma rela�c~ao
de duas vari�aveis que n~ao �e fun�c~ao:
� z = x2 + y2
-2
-1
0
1
2
x
-2
-1
0
1
2
y
0
2
4
6
8
z
-2
-1
0
1 x
0
2
4
6
parabol�oide circular: f (x; y) = x2 + y2:
� z2 = x2 + y2 n~ao descreve uma fun�c~ao:
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 2 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.1. FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS
-2
-1
0
1
2
x
-2
-1
0
1
2
y
-2
-1
0
1
2
z
-2
-1
0
1
2
x
-2
-1
0
1
Notemos que z n~ao �e �unico no cone z2 = x2 + y2.
Func�~oes de três ou mais vari�aveis. Fun�c~oes de três ou mais vari�aveis independentes
s~ao de�nidas de maneira an�aloga;
w = f (x; y; z)
f : R3 ! R ou (x; y; z) f�! w:
Como exemplo de fun�c~oes de três vari�aveis temos a temperatura w0 de uma sala,
w0 = T (x0; y0; z0)
em que (x0; y0; z0) �e a coordenada de um ponto da sala.
Geralmente uma fun�c~ao de n vari�aveis independentes x1; x2; : : : ; xn tem a forma:
w = f (x1; x2; : : : ; xn) :
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 3 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.1. FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS
Simb�olicamente,
f : Rn ! R ou (x1; x2; : : : ; xn) f�! w:
Fazer o gr�a�co de uma fun�c~ao de duas vari�aveis �e dif��cil. Existem duas t�ecnicas que
d~ao uma id�eia geral do gr�a�co da fun�c~ao z = f (x; y).
T�ecnica 1 Uma delas consiste em fazer com que uma das vari�aveis independentes seja
constante. Assim, obtemos uma fun�c~ao de uma vari�avel cujo gr�a�co pode ser esbo�cado no
plano apropriado.
Se x = c em z = f(x; y), ent~ao, z = f(c; y) = g(y), cujo gr�a�co �e a intersec�c~ao do
gr�a�co desejado com o plano x = c; se y = c em z = f(x; y), ent~ao, z = f(x; c) = h(x),
cujo gr�a�co �e a intersec�c~ao do gr�a�co desejado com o plano y = c. As intersec�c~oes dos
gr�a�cos de f com os planos x = c ou y = c s~ao denominadas tra�cos de f nos respectivos
planos. Esbo�cando os tra�cos de f em v�arios planos, podemos obter uma vis~ao mais precisa
do gr�a�co de f .
Exemplo 1.1 Esbo�car v�arios tra�cos para o gr�a�co de z = x2 + y2.
Plano y = c Fun�c~ao z = f(x; c)
0 z = x2
1 z = x2 + 1
2 z = x2 + 4
�1 z = x2 + 1
�2 z = x2 + 4
Plano x = c Fun�c~ao z = f(x; c)
0 z = y2
1 z = y2 + 1
2 z = y2 + 4
�1 z = y2 + 1
�2 z = y2 + 4
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 4 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.1. FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS
Exemplo 1.2 z = y2 � x2.
Plano y = c Fun�c~ao z = f(x; c)
0 z = �x2
1 z = 1� x2
2 z = 4� x2
�1 z = 1� x2
�2 z = 4� x2
Plano x = c Fun�c~ao z = f(x; c)
0 z = y2
1 z = y2 � 1
2 z = y2 � 4
�1 z = y2 � 1
�2 z = y2 � 4
T�ecnica 2 A outra t�ecnica envolve um tra�cado em duas dimens~oes que fornece outras
informa�c~oes sobre o gr�a�co.
Plotamos os pontos que satisfazem a equa�c~ao c = f(x; y) para v�arias escolhas de c.
Cada c produz a curva de n��vel do n��vel c.
Exemplo 1.3 Seja z = x2 + y2. Se z = c temos a equa�c~ao x2 + y2 = c, v�alida para todo
c � 0 As curvas de n��veis s~ao circulares concêntricas.
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 5 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS1.1. FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS
Exemplo 1.4 Seja f(x; y) = y2 � x2. Se z = c temos a equa�c~ao y2 � x2 = c ou y =
�px2 + c.
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
Curvas de n��veis para c = �4;�1; 0; 1; 4.
Observac�~ao 1.1 Embora n~ao possamos esbo�car o gr�a�co de fun�c~oes de três vari�aveis,
podemos esbo�car suas superf��cies de n��vel. Se u = f(x; y; z), fazemos u = c e obtemos
f(x; y; z) = c.
Exemplos f��sicos
� Conjuntos de todos os pontos na sala para os quais a temperatura T (x; y; z) �e igual a
T0. Tais superf��cies de temperatura constante s~ao chamadas superf��cies isot�ermicas.
� Outro exemplo ocorre na teoria da eletricidade e magnetismo, em que superf��cies
sobre os quais um potencial el�etrico �e constante s~ao chamadas superf��cies equipo-
tenciais.
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 6 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.2. LIMITES
1.2 Limites
Uma vizinhan�ca de um ponto P0 = (x0; y0) �e um disco aberto N com centro (x0; y0), isto
�e,
N =
�
(x; y)
����q(x� x0)2 + (y � y0)2 < r�
em que r �e o raio do disco N .
Simbolicamente, uma vizinhan�ca de Q = (x0; y0; z0) �e uma bola aberta N com centro
(x0; y0; z0), isto �e,
N =
�
(x; y; z)
����q(x� x0)2 + (y � y0)2 + (z � z0)2 < r�
em que r �e o raio da bola.
Em nota�c~ao vetorial podemos generalizar os dois conceitos.
Uma vizinhan�ca do vetor ~x0 �e um conjunto de vetores de�nido por
N = f~x jjx� x0j < rg
em que r �e o raio da vizinhan�ca.
De�nimos vizinhan�ca exclu��da como o conjunto de todos os pontos na vizinhan�ca ~x0,
exceto o vetor ~x0.
Usaremos esta terminologia para de�nir o lim f(x) quando x! x0.
Da mesma forma que para fun�c~oes de uma vari�avel a a�rma�c~ao
lim
~x!~x0 f (~x) = L
signi�ca que os valores f(x) da fun�c~ao f \aproximan-se" do n�umero L quando o vetor ~x
aproxima-se do vetor �xo ~x0.
Neste caso, ~x pode aproximar-se de ~x0 por muitos caminhos diferentes.
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 7 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.2. LIMITES
Antes de formular uma de�ni�c~ao precisa para o limite de uma fun�c~ao de v�arias vari�aveis,
vamos analisar o caso de uma �unica vari�avel.
Consideremos a fun�c~ao f(x) = 2x+ 1 e o seguinte limite:
lim
x!3 f (x) = 7:
Queremos que f(x) esteja \t~ao pr�oximo" de 7 para todo x 6= 3 mas su�cientemente
pr�oximo de 3.
Suponhamos que:
2; 75 < x < 3; 25) 5; 5 < 2x < 6; 5) 6; 5 < 2x+ 1 < 7; 5)
) 6; 5 < f (x) < 7; 5:
Assim, para obter uma precis~ao de �5 em torno de 7, devemos restringir x no intervalo
2; 75 < x < 3; 25, isto �e, mater x a uma distância 0; 25 de 3.
Se quisermos uma precis~ao de �1 em torno de 7, devemos exigir que x perten�ca a um
intervalo menor em torno de 3, isto �e,
3; 95 < x < 3; 05) 5; 9 < 2x < 6; 1) 6; 9 < 2x+ 1 < 7; 1)
) 6; 9 < f(x) < 7; 1:
Portanto, se 2; 95 < x < 3; 05 ent~ao f(x) possui uma precis~ao de 0; 1 em torno de 7.
Em geral, dada qualquer precis~ao desejada de f(x) em rela�c~ao a 7, podemos encontrar
um intervalo aberto I centrado em 3 tal que, se x 2 I, ent~ao, o valor f(x) difere de 7 n~ao
mais do que a precis�cao prescrita.
Assim, dizemos que
lim
x!x0 f(x) = 7:
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 8 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.2. LIMITES
Definic�~ao formal de limite para func�~oes de uma vari�avel: Seja f(x) de�nida
para todo x em um intervalo aberto I contendo a, exceto possivelmente em a. Dizemos
que o n�umero L �e o limite da fun�c~ao f(x) quando x se aproxima de a, e escrevemos
lim
x!a f(x) = L
se e somente se, dado qualquer n�umero " > 0 existe um n�umero correspondente � > 0 tal
que
se 0 < jx� aj < �, ent~ao jf(x)� Lj < ":
Associando com o exemplo anterior, temos: f(x) = 2x+ 1; a = 3 e L = 7;
jf(x)� Lj < " ) j(2x+ 1)� 7j < "
) j2x� 6j < "
) jx� 3j < "
2
:
(i) Se
" = 0; 5) 0 < jx� 3j < "
2
=
0; 5
2
= 0; 25:
Portanto,
se 0 < jx� 3j < 0; 25| {z }
�
) j(2x+ 1)� 7j < 0; 5|{z}
"
:
(ii) Se
" = 0; 1) 0 < jx� 3j < 0; 1
2
= 0; 05:
Portanto,
se 0 < jx� 3j < 0; 05| {z }
�
) j(2x+ 1)� 7j < 0; 1|{z}
"
:
Em geral, escolhemos � =
"
2
.
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 9 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.2. LIMITES
Exemplo 1.5 (2 vari�aveis) Para
f (x; y) = 4� x� y
temos que
lim
(x;y)!(1;1) f (x; y) = 2:
Exemplo 1.6 Seja
f (x; y) =
�xy
x2 + y2
:
Penso que
lim
(x;y)!(0;0)
�xy
x2 + y2
n~ao existe.
�A primeira vista esta conclus~ao pode n~ao ser �obvia. Por exemplo,
(i) fazemos y = 0 e (x; y) aproximando-se de (0; 0) atrav�es do eixo-x, isto �e,
lim
(x;0)!(0;0)
�xy
x2 + y2
= lim
x!0
�x � 0
x2 + 02
= 0;
(ii) fazemos x = 0 e (x; y) aproximando-se de (0; 0) atrav�es do eixo-y, isto �e,
lim
(0;y)!(0;0)
�xy
x2 + y2
= lim
y!0
�0 � y
02 + y2
= 0;
(iii) se (x; y) se aproxima de (0; 0) atrav�es da reta y = x, temos:
lim
(x;x)!(0;0)
�xy
x2 + y2
= lim
x!0
�x2
x2 + y2
= �1
2
:
Como o resultado em (iii) n~ao concorda com os resultados em (i) e (ii), conclu��mos
que o limite n~ao existe.
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 10 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.2. LIMITES
Definic�~ao 1.1 (Definic�~ao formal de limite) Seja ~x um vetor posi�c~ao correspondente
ao ponto (x1; x2; : : : ; xn) 2 Rn. Seja f uma fun�c~ao de n vari�aveis de�nida para todo ~x
em uma vizinhan�ca exclu��da de ~x0. Seja L um n�umero real. Dizemos que L �e o limita da
fun�c~ao f quando ~x se aproxima de ~x0 e, escrevemos
lim
~x!~x0 f (~x) = L
se e somente se, para todo " > 0, existe um n�umero � tal que
se 0 < j~x� ~x0j < � ent~ao jf (~x)� Lj < ":
Exemplo 1.7 Use a de�ni�c~ao para provar que:
lim
(x;y)!(0;0)
q
9� x2 � y2 = 3:
Soluc�~ao. L = 3, ~x0 = ~0 �e o vetor posi�c~ao associado com a origem.
0 <
q
(x� 0)2 + (y � 0)2 =
q
x2 + y2 < � (1.1)����q9� x2 � y2 � 3���� < " (1.2)
ou
3�
q
9� x2 � y2 < ";
pois q
9� x2 � y2 6 3:
Resolvendo, temos: q
9� x2 � y2 > 3� ":
Isto acontece, se e somente se, a seguinte cadeia de desigualdades equivalentes acontece:
9� �x2 + y2� > (3� ")2 (supondo " < 3)
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 11 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.2. LIMITES
x2 + y2 < 6"� "2q
x2 + y2 <
p
6"� "2 (1.3)
fazendo � =
p
6"� "2, ent~ao (1.4) acontece sempre que a desigualdade (1.6) acontece.
Como (1.6) �e equivalente �a (1.5), isto mostra que
se 0 <
q
x2 + y2 < �; ent~ao
����q9� x2 � y2 � 3���� < ":
�
Teorema 1.1 (Propriedades) Sejam f e g fun�c~oes de duas ou três vari�aveis de�nidas
em uma vizinhan�ca exclu��da de ~x0. Suponhamos que
lim
~x!~x0 f (~x) e lim~x!~x0 g (~x)
existam, e que sejam iguais a L e M , respectivamente. Seja k uma constante qual-
quer. Ent~ao,
(i) lim
~x!~x0 [f (~x) + g (~x)] =
�
lim
~x!~x0 f (~x)
�
+
�
lim
~x!~x0 g (~x)
�
= L+M ;
(ii) lim
~x!~x0 (k � f (~x)) = k �
�
lim
~x!~x0 f (~x)
�
= k � L;
(iii) lim
~x!~x0 (f (~x) � g (~x)) =
�
lim
~x!~x0 f (~x)
�
�
�
lim
~x!~x0 g (~x)
�
= L �M ;
(iv) lim
~x!~x0
�f (~x)
g (~x)
�
=
�
lim
~x!~x0 f (~x)
�
�
lim
~x!~x0 g (~x)
� = L
M
; desde que lim
~x!~x0 g (~x) 6= 0:
Definic�~ao 1.2 Seja f uma fun�c~ao que de�nida em uma vizinhan�ca de ~x0 2 Rn. Ent~ao f
�e cont��nua em ~x0 se
lim
~x!~x0 f (~x)
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 12 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.2. LIMITES
existe e
lim
~x!~x0 f (x) = f (~x) :
Em outras palavras, f �e cont��nua em ~x0 se f (~x) ! f (~x0) quando ~x ! ~x0, independente
da maneira pela qual ~x se aproxima de ~x0.
Exemplo 1.8 A fun�c~ao f(x; y) = 4� x� y �e cont��nua em (1; 1) porque
lim
(x;y)!(1;1) (4� x� y) = 2 = f (1; 1) :
Exemplo 1.9 A fun�c~ao f(x; y) =
p
9� x2 � y2 �e cont��nua em (0; 0) porque
lim
(x;y)!(0;0)
q
9� x2 � y2 = 3 = f (0; 0) :
1.2.1 Exerćıcios
1. Dê o dom��nio das fun�c~oes:
(a) f (x; y) =
1
x2 + y2
;
(b) f (x; y) =
p
y � x;
(c) f (x; y) = sen
�
x � y2� ;
(d) f (x; y) =
1
ln (x2 � y � z2) :
2. Sejam f(x; y) = x+ y2 e g(z) =
p
z.
(a) Escrevaa fun�c~ao composta
h (x; y) = g [f (x; y)]
como uma fun�c~ao expl��cita de x e y.
(b) Encontre o dom��nio de h.
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 13 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.2. LIMITES
3. Calcule os seguintes limites
(a) lim
(x;y)!(1;3)
�
x2 � 2y�
(b) lim
(x;y)!(0;0)
x2 � 2
3 + xy
(c) lim
(x;y)!(3;�1)
1p
x+ y
(d) lim
(x;y)!(1;�2)
x+ y3
x2 + 2xy + y2
:
4. Mostre que
lim
(x;y)!(0;0)
x2 � y2
x2 + y2
n~ao existe.
5. Mostre que
lim
(x;y)!(0;0)
x2y
x4 + y2
n~ao existe.
6. Esboce v�arias curvas de n��veis para as fun�c~oes:
(a) f (x; y) = y � x2
(b) f (x; y) = 2xy
(c) f (x; y) = pxy:
7. A fun�c~ao
f (x; y) =
8>><>>:
x2y
x3 + y3
; se (x; y) 6= (0; 0)
0; se (x; y) = (0; 0)
�e cont��nua em (0; 0)?
8. Demonstre que
lim
(x;y)!(0;0)
�
x2 + y2
�
= 0
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 14 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.3. DIFERENCIAÇÃO PARCIAL
usando a de�ni�c~ao.
1.3 Diferenciação Parcial
A derivada da fun�c~ao f de uma vari�avel �e o limite
f 0 (x) = lim
h!0
f (x+ h)� f (x)
h
(1.4)
que mede a taxa de varia�c~ao de f(x) com rela�c~ao a mudan�cas em x. No caso de uma fun�c~ao
de duas ou mais vari�aveis independentes, calcular a taxa de varia�c~ao para z = f(x; y) em
(x0; y0) usando limites �e complicado, pois, (x; y) pode aproximar-se de (x0; y0) por um
n�umero in�nito de caminhos distintos.
Vamos come�car examinando taxas para as quais f(x; y) muda ao longo de caminhos
paralelos aos eixos coordenados. Este �e o conceito de diferencia�c~ao parcial.
Definic�~ao 1.3 Seja f(x; y) de�nida em uma vizinhan�ca de (x0; y0). AA derivada parcial
de f com rela�c~ao a x em (x0; y0) �e o n�umero
@f
@x
(x0; y0) = lim
h!0
f (x0 + h; y0)� f (x0; y0)
h
(1.5)
se este limite existe. Analogamente, a derivada parcial de f com rela�c~ao a y em (x0; y0) �e
o n�umero
@f
@y
(x0; y0) = lim
h!0
f (x0; y0 + h)� f (x0; y0)
h
(1.6)
se este limite existe.
Comparando (1.4) e (1.5) vemos que a derivada parcial
@f
@x
em (x0; y0) �e simplesmente
o resultado de manter a vari�avel y constante diferenciar a fun�c~ao z = f(x; y0) como uma
fun�c~ao de x apenas. Analogamente, a derivada parcial
@f
@y
em (x0; y0) corresponde tratar
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 15 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.3. DIFERENCIAÇÃO PARCIAL
a vari�avel x como a constante x = x0 e diferenciar z = f(x0; y0) como uma fun�c~ao de y
apenas. Assim, derivadas parciais podem ser calculadas pelas regras desenvolvidas para a
diferencia�c~ao de uma �unica vari�avel.
Exemplo 1.10 Calcule as derivadas parciais com rela�c~ao a x e y para a fun�c~ao
f (x; y) = x2y3 + ex + ln y
e avalie cada uma delas em (1; 4).
Soluc�~ao. Quando calculamos a derivada parcial com rela�c~ao a x, consideramos y como
constante. Assim,
@f
@x
(x; y) =
� d
dx
x2
�
y3 +
d
dx
(ex) +
d
dx
(ln y) = 2xy3 + ex + 0
@f
@y
(x; y) = x2
� d
dy
y3
�
+
d
dy
(ex) +
d
dy
(ln y) = 3x2y3 + 0 +
1
y
; y 6= 0
@f
@x
(1; 4) = 2 � 1 � 43 + e1 + 0 = 128 + e
@f
@y
(1; 4) = 3 � 12 � 42 + 0 + 1
4
= 48 +
1
4
=
193
4
:
�
Exemplo 1.11 Seja f (x; y) = sen (x � y) : Aplicamos a regra:
d
dt
sen (a � t) = a � cos t e d
da
sen (a � t) = t � cos (a � t) ;
de forma que,
@f
@x
(x; y) = y � cos y e @f
@y
(x; y) = x � cos (x � y) :
Exemplo 1.12 Calcule
@f
@x
e
@f
@y
em (1; 2) para
f (x; y) =
q
9� x2 � y2:
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 16 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.3. DIFERENCIAÇÃO PARCIAL
Soluc�~ao.
@f
@x
(x; y) =
1
2
�
9� x2 � y2�� 12 (�2x) = �xp
9� x2 � y2 :
Assim,
@f
@x
(1; 2) = �1
2
:
Da mesma forma,
@f
@y
(x; y) =
�xp
9� x2 � y2 ;
donde temos,
@f
@y
(1; 2) = � 2p
4
= �2
2
= �1:
�
Notac�~ao para derivadas parciais Se z = f(x; y), ent~ao
@f
@x
(x; y) =
@
@x
f (x; y) = zx (x; y) = zx
@f
@y
(x; y) =
@
@y
f (x; y) = zy (x; y) = zy:
1.3.1 Funções de mais de duas variáveis
Se w = f(x; y; z) �e uma fun�c~ao de três vari�aveis independentes: x, y e z, as derivadas
parciais s~ao de�nidas como segue:
@f
@x
(x; y; z) = lim
h!0
f (x+ h; y; z)� f (x; y; z)
h
;
@f
@y
(x; y; z) = lim
h!0
f (x; y + h; z)� f (x; y; z)
h
;
@f
@z
(x; y; z) = lim
h!0
f (x; y; z + h)� f (x; y; z)
h
:
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 17 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.3. DIFERENCIAÇÃO PARCIAL
Exemplo 1.13 Seja
f (x; y; z) =
p
x � exz ; z 6= 0; x > 0:
Ent~ao,
@f
@x
(x; y; z) =
� d
dx
p
x
�
e
y
z =
1
2
p
x
� e yz ;
@f
@y
(x; y; z) =
p
x
� @
@y
�
e
y
z
��
=
p
x � 1
2
� e yz ;
@f
@z
(x; y; z) =
p
x
� @
@z
�
e
y
z
��
= �px � y
z2
� e yz :
Exemplo 1.14 Para os vetores ~x = x1~i + x2~j + x3~k e ~y = y1~i + y2~j + y3~k, o produto
escalar ~x � ~y = x1 � y1 + x2 � y2 + x3 � y3 pode ser vista como uma fun�c~ao de seis vari�aveis
independentes (componentes) x1; x2; x3; y1; y2; y3. Assim,
@
@x1
(~x � ~y) = y1 @@y1 (~x � ~y) = x1
@
@x2
(~x � ~y) = y2 @@y2 (~x � ~y) = x2
@
@x3
(~x � ~y) = y3 @@y3 (~x � ~y) = x3
Assim, a taxa pela qual ~x�~y muda com rela�c~ao �a varia�c~ao na componente x1 e a componente
y1 e assim por diante.
Observac�~ao 1.2 As derivadas parciais fornecem informa�c~ao sobre fun�c~oes apenas nas
dire�c~oes dos eixos coordenados.
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 18 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.3. DIFERENCIAÇÃO PARCIAL
1.3.2 Derivada de ordem superior
Notac�~ao:
@2f
@x2
(x; y) =
@2
@x2
f (x; y) signi�ca
@
@x
�@f
@x
(x; y)
�
@2f
@y @x
(x; y) =
@2
@y @x
f (x; y) signi�ca
@
@y
�@f
@x
(x; y)
�
@2f
@x @y
(x; y) =
@2
@x @y
f (x; y) signi�ca
@
@x
�@f
@y
(x; y)
�
@2f
@y2
(x; y) =
@2
@y2
f (x; y) signi�ca
@
@y
�@f
@y
(x; y)
�
Exemplo 1.15 Seja a fun�c~ao
f (x; y) = x2y3 + cosx sen y;
ent~ao:
@2f
@x2
(x; y) =
@
@x
�@f
@x
(x; y)
�
=
@
@x
�
2xy3 � senx sen y� = 2y3 � cosx sen y
@2f
@y @x
(x; y) =
@
@y
�@f
@x
(x; y)
�
=
@
@y
�
2xy3 � senx sen y� = 6xy2 � senx cos y
@2f
@x @y
(x; y) =
@
@x
�@f
@y
(x; y)
�
=
@
@x
�
3x2y2 + cosx cos y
�
= 6xy2 � senx cos y
@2f
@y2
(x; y) =
@
@y
�@f
@y
(x; y)
�
=
@
@y
�
3x2y2 + cosx cos y
�
= 6x2y � cosx sen y
@3f
@y3
(x; y) =
@
@y
 
@2f
@y2
(x; y)
!
=
@
@y
�
6x2y � cosx sen y� = 6x2 � cosx cos y:
Se z = f(x; y), ent~ao
fxx (x; y) ou zxx signi�cam
@2f
@x2
(x; y)
fxy (x; y) ou zxy signi�cam
@2f
@y @x
(x; y)
fyx (x; y) ou zyx signi�cam
@2f
@x @y
(x; y)
fyy (x; y) ou zyy signi�cam
@2f
@y2
(x; y) :
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 19 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.3. DIFERENCIAÇÃO PARCIAL
Exemplo 1.16 f(x; y; z) = x2y3z4
fx = 2xy3z4; fy = 3x2y2z4; fz = 4x2y3z3:
fxy =
@
@y
�@f
@x
�
=
@
@y
�
zxy3z4
�
= 6xy2z4
fyx =
@
@x
(fy) =
@
@x
�
3x2y2z4
�
= 6xy2z4
fyz = ; fzy = ; fxz = ;
fzx = ; fxx = ; fzz = ;
fxyz =
@
@z
(fxy)
fxxx =
@
@x
(fxx) =
@
@x
�
zy3z4
�
= 0
fyyy =
fzzz =
Teorema 1.2 (Igualdade de derivadas parciais mistas) Se a fun�c~ao z = f(x; y) e
as derivadas parciais
@f
@x
;
@f
@y
;
@2f
@x2
e
@2f
@x @y
s~ao todas cont��nuas em uma vizinhan�ca do ponto (x0; y0), ent~ao
@2f
@x @y
(x0; y0) =
@2f
@y @x
(x0; y0) :
1.3.3 Exerćıcios
1. Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem:
(a) f (x; y) = xy
(b) z = x tan
�
y2
�
(c) f (x; y) = ex2+y2
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 20 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.3. DIFERENCIAÇÃO PARCIAL
(d) f (r; �) = r cos �
(e) z = ln
�
xy2 + x� y�
(f) f (x; y) = xy
(g) f (r; �) = r2 cos �
(h) f (x; y; z) = xy3 � yz2
(i) f (x; y; z) =
�x� y
x+ y
�z
(j) f (r; s; t) =
p
r s ln tp
s2 � 2r + t
2. Calcule
@f
@x
(2; 5) para f (x; y) = xy3 � y:
3. Calcule zx (2; 1) para z =
p
x+ y2.
4. Calcule
@2f
@r2
;
@2f
@r @�
e
@2f
@�2
para f (r; �) = r2 cos �.
5. Calcule wxx + wyy + wzz para w (x; y; z) = ln
�
x2 + y2 + z2
�
:
6. Para um escoamento de volume constante de um 
u��doincompress��vel, atrav�es de
um tubo cujo �area de sec�c~ao transversal �e vari�avel, a equa�c~ao
A1V1 = A2V2
expressa a rela�c~ao entre essas �areas e as velocidades para os dois pontos do tubo.
(a) Expresse V2 como uma fun�c~ao de A1, A2 e V1;
(b) calcule
@V2
@A2
, que representa a taxa de varia�c~ao de V2 em rela�c~ao �a varia�c~ao A2
apenas.
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 21 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.4. PLANO TANGENTE
(c) Suponha que A1 = 5 cm2, A2 = 3 cm2 e V1 = 20 cm=s. Calcule a taxa de
varia�c~ao de V2 com rela�c~ao a A2 se A1 e V1 s~ao mantidas constantes.
7. Mostre que a fun�c~ao f(x; y) = sen (x y) satisfaz a equa�c~ao diferencial
x
@f
@x
(x; y)� y @f
@y
(x; y) = 0:
8. Mostre que a fun�c~ao f(x; y) = sen (x y) satisfaz a equa�c~ao diferencial
x2
@2f
@x2
(x; y)� y2@2f
@y2
(x; y) = 0:
9. A equa�c~ao de Laplace para a fun�c~ao f(x; y) �e
@2f
@x2
+
@2f
@y2
= 0:
Mostre que as seguintes fun�c~oes satisfazem a equa�c~ao de Laplace:
(a) f (x; y) = ex sen y,
(b) f (x; y) = e�x cos y.
1.4 Plano Tangente
Para um fun�c~ao f de uma vari�avel, o conhecimento de f(a) e a derivada f 0(a) �e su�ciente
para escrever a equa�c~ao da reta tangente ao gr�a�co de f no ponto (a; f(a)).
Veremos agora como obter uma equa�c~ao para o plano tangente ao gr�a�co de uma
fun�c~ao de duas vari�aveis z = f(x; y), a partir do conhecimento de suas derivadas parciais.
Assumiremos que um tal plano tangente existe.
Suponhamos que f �e uma fun�c~ao de duas vari�aveis de�nidas em uma vizinhan�ca do
ponto (x0; y0). Suponhamos, ainda, que as derivadas parciais
@f
@x
e
@f
@y
existem (x0; y0).
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 22 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.4. PLANO TANGENTE
O plano tangente a f(x; y) no ponto (x0; y0) �e o plano que passa por (x0; y0 e cuja
equa�c~ao �e dada por�@f
@x
(x0; y0)
�
(x� x0) +
�@f
@y
(x0; y0)
�
(y � y0)� (z � z0) = 0
ou
z =
�@f
@x
(x0; y0)
�
(x� x0) +
�@f
@y
(x0; y0)
�
(y � y0) + z0:
em que
~N =
@f
@x
(x0; y0)~i+
@f
@y
(x0; y0)~j � ~k:
Exemplo 1.17 Encontre uma equa�c~ao para o plano tangente ao gr�a�co de
f (x; y) = x2 + 4y2
no ponto (2; 1; 8).
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 23 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.4. PLANO TANGENTE
Soluc�~ao.
@f
@x
(2; 1) = 2x
����x=2
y=1
= 4
@f
@y
(2; 1) = 2x
����
x=2
y=1
= 8
∴ z = 4 (x� 2) + 8 (y � 1) + 8
ou
z = 4x+ 8y � 8:
�
Exemplo 1.18 Encontre a equa�c~ao para a reta dada pela inclina�c~ao do plano tangente
ao gr�a�co de x = 9� x2 � y2 em (1; 2; 4) e o plano x y.
Soluc�~ao.
zx (1; 2) = �2xjx=1
y=2
= �2 zy (1; 2) = �2yjx=1
y=2
= �4
Equa�c~ao do plano tangente:
z = �2 (x� 1)� 4 (y � 2) + 4 ou z = �2x� 4y + 14:
Fazendo z = 0, temos:
2x+ 4 y � 14 = 0:
�
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 24 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.4. PLANO TANGENTE
1.4.1 Exerćıcios
1. Encontre uma equa�c~ao para o plano tangente ao gr�a�co da fun�c~ao dada no ponto P ,
supondo que ela exista.
(a) f (x; y) = x2 + y2; P = (1; 3; 10)
(b) z = x2 + y2 � xy � 4x� 2y; P = (1;�1; 1)
(c) f (x; y) =
x� 2
y + 2
; P = (4;�1; 2)
(d) f (x; y) = ln (xy) ; P = (1; 1; 0)
(e) z =
x
x2 + y2
; P =
�
1; 1; 12
�
(f) z = ln (yx) ; P = (1; 1; 0)
(g) f (x; y) = cos (x) sen (y) ; P =
�
0; �4 ;
p
2
2
�
2. Encontre a equa�c~ao da reta dada pela intersec�c~ao do plano tangente ao gr�a�co de
z = x2 + 2 y2 � 4 y + 2 em (2; 1; 4) e o plano x y.
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 25 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.5. EXTREMO ABSOLUTO E RELATIVO
1.5 Extremo absoluto e relativo
Definic�~ao 1.4 Seja f de�nida em S � R2. O n�umero z0 = f (x0; y0) �e um m�aximo
relativo para f se existe uma vizinhan�ca N de (x0; y0) tal que
f (x0; y0) > f (x; y) ; 8 (x; y) 2 N \ S:
O n�umero z0 = f(x0; y0) �e um m��nimo relativo f se existe uma vizinhan�ca N de (x0; y0)
tal que
f (x0; y0) 6 f (x; y) ; 8 (x; y) 2 N \ S:
O n�umero z0 = f(x0; y0) �e um extremo relativo de f se ele for um m�aximo ou um m��nimo
relativo.
Exemplo 1.19 A fun�c~ao f(x; y) =
p
x2 + y2 tem um m��nimo relativo z0 = 0 no ponto
(x0; y0) = (0; 0). De fato
f (x; y) =
q
x2 + y2 > 0 = f (0; 0) ; 8 (x; y) :
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 26 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.5. EXTREMO ABSOLUTO E RELATIVO
f (0; 0) 6 f (x; y) ; 8 (x; y) pr�oximo a (0; 0). f(0; 0) �e um m��nimo relativo.
Um meio de veri�car que o n�umero z0 = f (x0; y0) �e um extremo relativo, �e comparar o
n�umero z0 com valores da fun�c~ao f para pontos (x; y) \pr�oximos" a (x0; y0). Este m�etodo
funciona bem para um grande n�umero de fun�c~oes polinomiais de duas vari�aveis. A id�eia
�e escrever
x = x0 + h e y = y0 + h
e ent~ao examinar o sinal da diferen�ca:
f (x0; y0)� f (x0 + h; y0 + h) :
Se esta diferen�ca for n~ao negativa para todos os valores \pequenos" de h e k, conclu��mos
que f (x0; y0) �e um m�aximo relativo. Se a diferen�ca �e n~ao positiva para todos os valores
de \pequenos" de h e k, conclu��mos que f (x0; y0) �e um m��nimo relativo.
Exemplo 1.20 Veri�que que f(1; 2) = 4 �e um m�aximo relativo para a fun�c~ao
f (x; y) = 2x+ 4y � x2y2 � 1:
Soluc�~ao.
x0 = 1 e y0 = 2:
Pontos pr�oximos a (x; y) s~ao escritos por:
(x; y) = (x0 + h; y0 + k) = (1 + h; 2 + k) :
A diferen�ca �e dada por:
f (1; 2) = f (1 + h; 2 + k)
= 4� h2 (1 + h) + 4 (2 + k)� (1 + h)2 � (2 + k)2 � 1i
= 4� 2� 2h� 8� 4k + 1 + 2h+ h2 + 4 + 4k + k2 + 1
= h2 + k2:
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 27 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.5. EXTREMO ABSOLUTO E RELATIVO
Como h2 + k2 > 0; 8h; k, este c�alculo mostra que a diferen�ca acima �e n~ao negativa para
todo h e k \pequenos". Assim, f(1; 2) = 4 �e m�aximo relativo para a fun�c~ao f . �
Teorema 1.3 Se o n�umero z0 = f (x0; y0) �e um extremo relativo para a fun�c~ao f no
ponto (x0; y0), uma das duas condi�c~oes seguinte deve acontecer:
(i)
@f
@x
(x0; y0) =
@f
@y
(x0; y0) = 0, ou
(ii) uma delas ou ambas,
@f
@x
(x0; y0) e
@f
@y
(x0; y0) n~ao existem.
Este teorema de�ne um procedimento para encontrar um extremo relativo de f : de-
terminar todos os pontos (x0; y0) em que
@f
@x
(x0; y0) =
@f
@y
(x0; y0) = 0
ou
@f
@x
(x0; y0) ou
@f
@y
(x0; y0) n~ao existam:
Chamamos estes pontos de pontos cr��ticos.
Exemplo 1.21 f (x; y) = 2x+ 4y � x2 � y2 � 1:
@f
@x
(x; y) = 2� 2x = 0 ! x = 1
@f
@x
(x; y) = 4� 2y = 0 ! y = 2:
Pontos cr��ticos: (1; 2).
No exemplo 1.20, p�agina 27, veri�camos que f(1; 2) �e um m�aximo relativo. Como
as derivadas parciais s~ao de�nidas para todo (x; y), n~ao existem pontos satisfazendo a
condi�c~ao (ii) do Teorema 1.3. Assim, o �unico extremo relativo desta fun�c~ao �e o m�aximo
relativo f(1; 2).
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 28 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.5. EXTREMO ABSOLUTO E RELATIVO
Exemplo 1.22 Encontre todos os extremos relativos da fun�c~ao f(x; y) =
p
x2 + y2.
Soluc�~ao.
@f
@x
(x; y) =
xp
x2 + y2
;
@f
@y
(x; y) =
yp
x2 + y2
:
Ambas as derivadas parciais n~ao s~ao diferenciais para (x; y) = (0; 0). Para todos os outros
pontos, no m��nimo uma das derivadas parciais �e n~ao nula.
f (0; 0) = 0 < f (x; y) 8 (x; y) 6= (0; 0) :
Portanto, f(0; 0) = 0 �e um m��nimo relativo. �
Exemplo 1.23 Encontre todos os extremos relativos da fun�c~ao f(x; y) = y2 � x2.
Soluc�~ao.
@f
@x
= �2x; @f
@y
= 2y:
Para (0; 0),
@f
@x
=
@f
@y
= 0:
Entretanto, f(0; 0) = 0 n~ao �e nem m�aximo relativo nem m��nimo relativo.
De fato, comparando f(0; 0) com f(h; k), em que (h; k) �e um ponto \pr�oximo" de
(0; 0), temos:
f (0; 0)� f (h; k) = 0� �k2 � h2� = h2 � k2:
O sinal desta diferen�ca depende de jhj e jkj. Como a diferen�ca n~ao tem sinal constante,
f(0; 0) n~ao �e ponto de m�aximo, nem de m��nimo. �
O ponto (0; 0) �e chamado ponto de sela. De maneira geral, um ponto (x0; y0) nodom��nio de uma fun�c~ao f de duas vari�aveis �e chamado ponto de sela se (x0; y0) for um
ponto cr��tico e se f(x0; y0) n~ao for nem m�aximo relativo, nem m��nimo relativo.
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 29 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.5. EXTREMO ABSOLUTO E RELATIVO
Observac�~ao 1.3 As condi�c~oes do Teorema 1.3, p�agina 28, n~ao garantem que f(x0; y0)
seja um extremo relativo. Este teorema fornece condi�c~oes necess�arias para um extremo.
Sem satisfazer as condi�c~oes (i) e (ii) deste teorema, f(x; y) n~ao pode ser um extremo
relativo.
1.5.1 Teste da derivada segunda
Teorema 1.4 (Teste da derivada segunda) Seja f uma fun�c~ao de duas vari�aveis.
Supondo que todas as derivadas parciais de segunda ordem de f s~ao cont��nuas em
uma vizinhan�ca (x0; y0) e que
@f
@x
(x0; y0) =
@f
@y
(x0; y0) = 0:
Sejam
A =
@2f
@x2
(x0; y0) ; B =
@2f
@y @x
(x0; y0) ; C =
@2f
@y2
(x0; y0) e D = B2 � AC:
Ent~ao,
(i) Se D < 0 e A < 0, f(x0; y0) �e um m�aximo relativo.
(ii) Se D < 0 e A > 0, f(x0; y0) �e um m��nimo relativo.
(iii) Se D > 0, (x0; y0) �e um ponto de sela.
(iv) Se D = 0, nenhuma conclus~ao pode ser tirada.
Exemplo 1.24 Encontre e classi�que todos os extremos relativos da fun�c~ao f(x; y) =
x4 + y4 � 4xy.
Soluc�~ao.
@f
@x
= 4x3 � 4y = 0 ! y = x3; @f
@y
= 4y3 � 4x = 0 ! x = y3:
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 30 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.5. EXTREMO ABSOLUTO E RELATIVO
Resolvendo:
y = y9 ) y � y9 = 0) y �1� y8� = 0)
8>>>>>><>>>>>>:
y = 0
ou
y8 = 1
) y = �1:
Portanto,
y = 0 ! x = 0; y = 1 ! x = 1; y = �1 ! x = �1:
Pontos cr��ticos: (0; 0); (1; 1); (�1;�1);
@2f
@x2
= 12x2;
@2f
@y2
= 12y2;
@2f
@y @x
=
@
@y
�@f
@x
�
= �4:
Ponto cr��tico (0; 0):
A =
@2f
@x2
(0; 0) = 0; B =
@2f
@y @x
(0; 0) = �4; C = @2f
@y2
(0; 0) = 0;
D = B2 � AC = 16 > 0:
Portanto, (0; 0) �e um ponto de sela.
Ponto cr��tico: (1; 1)
A =
@2f
@x2
(1; 1) = 12; B =
@2f
@y @x
(1; 1) = �4; C = @2f
@y2
(1; 1) = 12;
D = B2 �AC = 16� 144 = �128 < 0:
Como D < 0 e A > 0 implica f(1; 1) = �2 �e um m��nimo relativo.
Ponto cr��tico: (�1;�1)
A =
@2f
@x2
(�1;�1) = 12; B = @2f
@y @x
(�1;�1) = �4; C = @2f
@y2
(�1;�1) = 12;
D = B2 �AC = 16� 144 = �128 < 0:
Portanto, D < 0 e A > 0 implica f(�1;�1) = �2 �e um m��nimo relativo. �
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 31 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.5. EXTREMO ABSOLUTO E RELATIVO
Exemplo 1.25 f (x; y) = e�(x4+y4):
@f
@x
= �4x3e�(x4+y4) @2f
@x2
=
�
16x2 � 12x2� e�(x4+y4)
@f
@y
= �4y2e�(x4+y4) @2f
@y2
=
�
16 y2 � 12y2� e�(x4+y4)
@2f
@y @x
= 16y3x3e�(x4+y4)
Ponto cŕıtico: (0; 0)
A =
@2f
@x2
(0; 0) = 0; B =
@2f
@y @x
(0; 0) = 0; C =
@2f
@y2
(0; 0) = 0;
D = B2 �AC = 0:
O teste da derivada segunda n~ao produziu nenhuma condi�c~ao sobre o ponto cr��tico
(0; 0).
Entretanto, a express~ao x4 + y4 tem um m�aximo em (0; 0). Portanto
f (x; y) = e�(x4+y4) = 1
ex4+y4
tem um m�aximo relativo em (0; 0).
Exemplo 1.26 f (x; y) = x4 + y4: Esta fun�c~ao tem um m�aximo relativo em (0; 0), visto
que f (x; y) > 0; 8 (x; y) 6= (0; 0) :
A =
@2f
@x2
(0; 0) = 12x2 = 0; B =
@2f
@y @x
(0; 0) = 0
C =
@2f
@y2
(0; 0) = 12y2 = 0; D = B2 � AC = 0:
O teste da derivada segunda n~ao permite nenhuma conclus~ao.
Exemplo 1.27 f(x; y) = x3 � y3.8>>><>>>:
@f
@x
(x; y) = 3x2 = 0
@f
@y
(x; y) = �2y2 = 0
) x = y = 0:
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 32 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.5. EXTREMO ABSOLUTO E RELATIVO
(0; 0) �e o �unico ponto cr��tico.
@2f
@x2
= 6x;
@2f
@y @x
= 0;
@2f
@y2
= �6y; A = B = C = D = 0:
O teste da derivada segunda n~ao d�a nenhuma informa�c~ao sobre a natureza deste ponto
cr��tico. Entretanto, f(x; y) = x3 � y3 assume valores positivos e negativos em toda
vizinhan�ca de (0; 0). Logo, o ponto cr��tico (0; 0) �e um ponto de sela.
1.5.2 Exerćıcios
1. Encontre todos os pontos cr��ticos da fun�c~ao f . Classi�que cada um como m�aximo
relativo, m��nimo relativo ou ponto de sela.
(a) f (x; y) = x2 + y2 + 4y + 4
(b) f (x; y) = x2 � y2 + 6x+ 4y + 5
(c) f (x; y) = xy + 9
(d) f (x; y) = 5x2 + y2 � 10x� 6y + 15
(e) f (x; y) = x3 � y3
(f) f (x; y) = x2 � xy
(g) f (x; y) = x3 + y3 + 4xy
(h) f (x; y) = x cos y
(i) f (x; y) = sen (x� y)
(j) f (x; y) = ln
�
x2 + y2 + 1
�
(k) f (x; y) = e
�
1
x2+y2+1
�
2. Mostre que a fun�c~ao z = 4�px2 + y2 te um m�aximo relativo em (0; 0).
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 33 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.5. EXTREMO ABSOLUTO E RELATIVO
3. Mostre que a fun�c~ao f(x; y) = x2�y2 +2x+4y�3 tem um ponto de sela em (�1; 2),
pelo m�etodo do exemplo 1.20, p�agina 27.
4. Uma caixa retangular, com tampa, possui um volume de 16 metros c�ubicos. Encontre
as dimens~oes que produzem a caixa de menor custo se o material utilizado nas laterais
custa a metade do utilizado no fundo e na tampa.
5. Encontre três n�umeros positivos x, y e z tal que x+ y + z = 16 e x2yz2 �e m�aximo.
6. Dado um conjunto de pontos (x1; y1) ; (x2; yy) ; : : : ; (xn; yn): a reta y = mx+ b que
\melhor ajusta" estes pontos �e obtida pelo \m�etodo dos quadrados m��nimos"
A distância do ponto (xj ; yj) ao ponto sobre a reta y = mx+ b com coordenadas xj
�e
jyj � (mxj + b)j = jyj �mxj � bj :
O m�etodo dos quadrados m��nimos de�ne a reta que melhor ajusta os dados (chamada
reta de regress~ao) como sendo a reta que minimiza a soma dos quadrados destas
distâncias individuais:
S (m; b) =
nX
j=1
(yj �mxj � b)2
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 34 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.6. RESUMO
onde x1; x2; : : : ; xn e y1; y2; : : : ; yn s~ao constantes �xas e m e b s~ao as vari�aveis
independentes.
Sob estas condi�c~oes, mostre que os valores de m e b para os quais S(m; b) �e um
m��nimo s~ao:
m =
n
 
nP
j=1
xjyj
!
�
 
nP
j=1
xj
! 
nP
j=1
yj
!
n
 
nP
j=1
x2j
!
�
 
nP
j=1
xj
!
b =
 
nP
j=1
x2j
! 
nP
j=1
yj
!
�
 
nP
j=1
xj
! 
nP
j=1
xjyj
!
n
 
nP
j=1
x2j
!
�
 
nP
j=1
xj
!
Sugest~ao:
@s
@m
(m; b) = 0 e
@s
@b
(m; b) = 0
e resolva o sistema da equa�c~ao resultante.
7. Dados 5 pontos cujas coordenadas s~ao:
x 0 1 1 2 3
y 2 4 3 6 6
(a) Encontrar a reta de regress~ao para os dados usando o m�etodo dos quadrados
m��nimos.
(b) Plote os pontos e a reta de regress~ao.
(c) Encontrar o valor pedido para x = 4.
1.6 Resumo
� Duas t�ecnicas para tra�car o gr�a�co de uma fun�c~ao de duas vari�aveis: z = f(x; y).
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 35 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.6. RESUMO
(a) Fazer com que uma das vari�aveis independentes seja constante. Esboce os
tra�cos de f em v�arios planos.
(b) Plotar os pontos que satisfazem as equa�c~ao x = f(x; y) para v�arias escolhas de
c. Cada c produz uma curva de n��vel no plano x y.
� Limites
(a) Vizinhan�ca de um ponto P0 = (x0; y0).
(b) Vizinhan�ca exclu��da.
(c) Se x 2 Rn e f : Rn ! R,
lim
~x!~x0 f (~x) = L signi�ca jf (~x)� Lj ! 0
quando ~x! ~x0.
(d) A fun�c~ao f : Rn ! R �e cont��nua em ~x0 se
lim
~x!~x0 f (~x) = f (~x0) :
� Derivadas parciais
As derivadas parciais de f s~ao os limites:
@f
@x
(x; y; z) = lim
x!h
f (x+ h; y; z)� f (x; y; z)
h
@f
@y
(x; y; z) = lim
x!h
f (x; y + h; z)� f (x; y; z)
h
@f
@z
(x; y; z) = lim
x!h
f (x; y; z + h)� f (x; y; z)
h
� Teorema
@2f
@y @x
(x; y) =
@2f
@x @y
(x; y)
se
f;
@f
@x
;
@f
@y
;
@2f
@x @y
e
@2f
@y @x
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 36 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.7. APROXIMAÇÃO E DIFERENCIABILIDADE
s~ao cont��nuas.
� Equac�~ao do plano tangente ao gr�afico de z = f(x; y) em (x0; y0; z0)
@f
@x
(x0; y0) (x� x0) + @f@y (x0; y0) (y � y0)� (z � z0) = 0:
� Teorema Se f tem um extremo relativo em (x0; y0), ent~ao, ou
(i)
@f
@x
(x0; y0) =
@f
@y
(x0; y0) = 0 ou
(ii)
@f
@x
(x0; y0) ou
@f
@y
(x0; y0) n~ao existem.
� Teorema Se@f
@x
(x0; y0) =
@f
@y
(x0; y0) = 0 e se
A =
@2f
@x2
(x0; y0) ; B =
@2f
@y @x
(x0; y0) ; C =
@2f
@y2
(x0; y0) e D = B2 � AC;
ent~ao
(i) Se D < 0 e A < 0, f(x0; y0) �e um m�aximo relativo.
(ii) Se D < 0 e A > 0, f(x0; y0) �e um m��nimo relativo.
(iii) Se D > 0, (x0; y0) �e um ponto de sela.
(iv) Se D = 0, nenhuma conclus~ao pode ser tirada.
1.7 Aproximação e Diferenciabilidade
Para uma fun�c~ao de uma vari�avel y = f(x), a existência da derivada nos leva �a f�ormula
da aproxima�c~ao linear e �a de�ni�c~ao de diferencial:
f (x+ �x) � f (x) + f 0 (x) ��x
dy = f 0 (x) � dx
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 37 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.7. APROXIMAÇÃO E DIFERENCIABILIDADE
x ∆ x
0
x
0
+
f( )
∆ x
∆ y
0
x
y
∆ xx
0
+
f( )x
0
f ( )¢ x
0
∆ x}
Inclinação = f ( )¢ x
0
�y = f (x0 + �x)� f (x0)
�y
�x
=
f (x0 + �x)� f (x0)
�x
= f 0 (x0)
�y � f 0 (x0) ��x
dy = f 0 (x) � dx
f (x0 + �x) = f (x0) + f 0 (x0) ��x:
1.7.1 Teorema da Aproximação
Teorema 1.5 (Teorema da Aproximac�~ao) Seja f uma fun�c~ao de duas vari�aveis.
Suponhamos que f e suas primeiras derivadas parciais
@f
@x
e
@f
@y
sejam cont��nuas em
um retângulo aberto
R = f(x; y) ja1 < x < a2; b1 < y < b2g
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 38 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.7. APROXIMAÇÃO E DIFERENCIABILIDADE
no plano xy. Suponhamos, ainda, que (x0; y0) e (x0 + �x; y0 + �y) perten�cam a R.
Ent~ao
f (x0 + �x; y0 + �y) = f (x0; y0) +
@f
@x
(x0; y0) �x+
@f
@y
(x0; y0) �y + "1�x+ "2�y
em que
lim
�x!0
�y!0
"1 = 0 e lim
�x!0
�y!0
"2 = 0:
Este teorema estabelece uma rela�c~ao entre o valor da fun�c~ao f no ponto (x0; y0) e o
valor desta fun�c~ao para pontos pr�oximos (x0 + �x; y0 + �y).
Ignorando o erro ("1�x; "2�y) na express~ao de�nida no teorema, obtemos a apro-
xima�c~ao
f (x0 + �x; y0 + �y) � f (x0; y0) + @f@x (x0; y0) �x+
@f
@y
(x0; y0) �y:
Exemplo 1.28 Considere a fun�c~ao f (x; y) = 2x2+4y2 e o problema de calcular f (1 + �x; 2 + �y).
(x0; y0) = (1; 2) ; f (x0; y0) = f (1; 2) = 2 � 12 + 4 � 22 = 18;
@f
@x
(x0; y0) = 4x
����
x=1
= 4;
@f
@y
(x0; y0) = 8y
����
y=2
= 16:
f (1 + �x; 2 + �y) = 2 (1 + �x)2 + 4 (2 + �y)2
= 2
�
1 + 2�x+ (�x)2
�
+ 4
�
4 + 4�y + (�y)2
�
= 18 + 4�x+ 16�y + 2 (�x)2 + 4 (�y)2
= 18|{z}
f(1;2)
+ 4|{z}
@f
@x (1;2)
�x+ 16|{z}
@f
@y (1;2)
�y + (2�x)| {z }
"1
�x+ (4�y)| {z }
"2
�y
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 39 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.7. APROXIMAÇÃO E DIFERENCIABILIDADE
f (1 + �x; 2 + �y) � 18 + 4�x+ 16�y:
Erro da aproxima�c~ao: "1�x+ "2�y = 2 (�x)2 + 4 (�y)2.
Portanto, "1 = 2�x e "2 = 4�y.
Exemplo 1.29 Use a f�ormula da aproxima�c~ao para estimar o valor da express~ao
q
(3:04)2 + (3:95)2.
Soluc�~ao. Seja f(x; y) =
p
x2 + y2, devemos aproximar f (3:04; 3:95).
Para x0 = 3 e y0 = 4, temos:
f (x0; y0) =
p
32 + 42 =
p
25 = 5:
8>><>>: 3:04 = x0 + �x3:95 = y0 + �y )
8>><>>:�x = 0:04�y = �0:05
@f
@x
(x0; y0) =
3p
32 + 42
= 0:6;
@f
@y
(x0; y0) =
4p
32 + 42
= 0:8:
q
(3:04)2 + (3:95)2 � 5 + (0:6) (0:04) + 0:8 (�0:05) = 4:984:
O valor desta aproxima�c~ao para quatro casas decimais �e 4:9844.
O erro relativo �e, portanto,
4:9844� 4:984
4:9844
� 0:00008:
�
Observac�~ao 1.4 Outra maneira �util de escrever a f�ormula da aproxima�c~ao �e usando a
nota�c~ao �f = f (x2 + �x; y0 + �y)� f (x0; y0).
�f � @f
@x
(x0; y0) �x+
@f
@y
(x0; y0) �y:
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 40 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.7. APROXIMAÇÃO E DIFERENCIABILIDADE
1.7.2 Diferenciais
De�nimos a diferencial de duas fun�c~oes f como sendo:
df =
@f
@x
(x; y) dx+
@f
@y
(x; y) dy:
A diferencial df fornece uma aproxima�c~ao para a mudan�ca �f correspondente a pe-
quenas mudan�cas em x e y. Esta express~ao �e chamada de diferencial total para a fun�c~ao
z = f (x; y).
Exemplo 1.30 Na teoria econômica, a fun�c~ao de produ�c~ao de Cobb-Douglas que relaciona
a produ�c~ao de sa��da y, o trabalho de entrada L e o capital K tem a forma
y = �L�K1��
em que � e � s~ao constantes positivas. A mudan�ca �y na produ�c~ao �nal a partir de uma
mudan�ca dL no trabalho de entrada e uma mudan�ca dK no capital �e aproximada pela
diferencial
dy =
@
@L
�
�L�K1��
�
dL+
@
@K
�
�L�K1��
�
dK
= ��L��1K1��dL+ (1� �) �L�K��dK:
1.7.3 Exerćıcios
1. Encontre a diferencial total df .
(a) f(x; y) = x2y4
(b) f(x; y) =
p
x2 + y4
(c) f(x; y) = e
p
x cos y
(d) f(x; y; z) = x2yz3
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 41 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.8. REGRA DA CADEIA
(e) f(x; y; z) =
x
y + 3z
(f) f(x; y; z) =
x� y
x2 + y2 + z2
2. Seja f(x; y) = 2xy2 + x2y, x0 = 2, y0 = 3, �x = 0:1 e �y = 0:2.
(a) Calcule f (x0; y0) e f (x0 + �x; y0 + �y).
(b) Calcule �f = f (x0 + �x; y0 + �y)� f (x0; y0).
(c) Aproxime �f usando a aproxima�c~ao linear:
�f =
@f
@x
(x; y) �x+
@f
@y
(x; y) �y:
3. Use a aproxima�c~ao linear para aproximar o n�umero dado:
(a)
q
(3:02)2 + (4:08)2
(b) (5:03)2 (1:02)3
1.8 Regra da Cadeia
1.8.1 Uma variável
(f � g) (x) = f (g (x))) (f � g)0 (x) = f 0 (g (x)) � g0 (x)
(f � g) (x) = f (g (x))
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 42 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.8. REGRA DA CADEIA
1.8.2 Três Variáveis
w (t) = (f � r) (t) = f (r (t)) = f (x (t) ; y (t) ; z (t))
dw
dt
=
@f
@x
� dx
dt
+
@f
@y
� dy
dt
+
@f
@z
� dz
dt
Teorema 1.6 Seja uma f cont��nua com derivadas parciais cont��nua para todo (x; y; z)
pertencente ao conjunto aberto
Q = f(x; y; z) j a1 < x < b1; a2 < y < b2; a3 < z < b3g :
Suponhamos que x, y e z sejam fun�c~oes de t tal que x0(t), y0(t) e z0(t) existem para
todo t 2 (a; b), de tal modo que (x (t) ; y (t) ; z (t)) 2 Q para todo t 2 (a; b). Ent~ao, a
fun�c~ao composta w (t) = f (x (t) ; y (t) ; z (t)) �e uma fun�c~ao diferenci�avel de t 2 (a; b) e
dw
dt
=
@f
@x
dx
dt
+
@f
@y
dy
dt
+
@f
@z
dz
dt
:
Exemplo 1.31 Seja f (x; y; z) =
p
x y2 e2z; x (t) = 3 t2 + 2; y (t) = 6 t; z (t) = 1 �
t3 e w (t) = f (x (t) ; y (t) ; z (t)) : Calcule w0(t).
Soluc�~ao.
@f
@x
=
@
@x
�p
x y2 e2z
�
=
y2 e2z
2
p
x
@f
@y
=
@
@y
�p
x y2 e2z
�
= 2
p
x y e2z
@f
@z
=
@
@z
�p
x y2 e2z
�
= 2
p
x y2 e2z
x0 (t) = 6 t; y0 (t) = 6; z0 (t) = �3 t2
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 43 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.8. REGRA DA CADEIA
w0 (t) = y
2 e2z
2
p
x
� 6t+ 2px y e2z � 6 + 2px y2 e2z � ��3 t2�
=
36 t2e2(1�t3)
2
p
x
� 6t+ 2p3 t2 + 2 � 6 t � e2(1�t3) � 6 + 2p3 t2 + 2 � 36 t2 � e2(1�t3) � ��3 t2�
=
108 t3 e2(1�t3)p
3 t2 + 2
+ 72 t
p
3 t2 + 2 � e2(1�t3) � 216 t4p3 t2 + 2 � e2(1�t3)
=
p
3 t2 + 2 e2(1�t3)
 
108 t3
3 t2 + 2
+ 72 t� 216 t4
!
�
1.8.3 Outros tipos de funções compostas
x = x (s; t) ; y = y (s; t) e z = z (s; t)
w = f (x; y; z)
w (s; t) = f (x (s; t) ; y (s; t) ; z (s; t))
@w
@s
=
@f
@x
@x
@s
+
@f
@y
@y
@s
+
@f
@z
@z
@s
(t = constante)
Exemplo 1.32 Seja f(x; y) = x2 y3, em que x e y s~ao fun�c~oes das vari�aveis polares r e �:
x (r; �) = r cos � e y (r; �) = r sen �:
@f
@r
=
@f
@x
@x
@r
+
@f
@y
@y
@r
=
�
2x y3
� � cos � + �3x2 y2� � sen �
= (2 r cos �)
�
r3 sen3 �
�
cos � +
�
3 r2 cos2 �
� �
r2 sen2 �
�
sen �
= 5 r4 cos2 � sen3 �
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 44 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.8. REGRA DA CADEIA
Exemplo 1.33 Seja f uma fun�c~ao arbitr�aria de duas vari�aveis com derivadas parciais de
segunda ordem cont��nuas. Expresse
@2f
@r2
em termos das derivadas parciais de segunda
ordem de f em rela�c~ao a x e y, em que x = r cos � e y = r sen�.
Soluc�~ao.
@f
@r
=
@f
@x
@x
@r
+
@f
@y
@y
@r
=
�@f
@x
�
cos � +
�@f
@y
�
sen �
Agora, devemos aplicar novamente a regra da cadeia, a
@f
@x
e
@f
@y
@
@r
�@f
@x
�
=
@
@x
�@f
@x
� @x
@r
+
@
@y
�@f
@x
� @y
@r
=
@2f
@x2
cos � +
@2f
@y @x
sen �
@
@r
�@f
@y
�
=
@
@x�@f
@y
� @x
@r
+
@
@y
�@f
@y
� @y
@r
=
@2f
@y @x
cos � +
@2f
@y2
sen �
Considerando que as derivadas parciais mistas s~ao iguais temos:
@2f
@r2
=
@
@r
�@f
@x
�
cos � +
@
@r
�@f
@y
�
sen �
=
 
@2f
@x2
cos � +
@2f
@y @x
sen �
!
cos � +
 
@2f
@x @y
cos � +
@2f
@y2
sen �
!
sen �
=
@2f
@x2
cos2 � + 2
@2f
@y @x
sen � cos � +
@2f
@y2
sen2 �
�
1.8.4 Exerćıcios
1. Use a regra da cadeia para calcular a taxa de varia�c~ao
df
dt
de f ao longo das curvas
dadas:
� f (x; y) = x2 + y2; x (t) = 2 t; y (t) = 6� t2
� f (x; y) = x y2; ~r (t) = cos t~i+ sen t~j
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 45 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.8. REGRA DA CADEIA
� f (x; y) = px+ y; x (t) = pt; y (t) = et2
� f (x; y; z) = x y � x+ z2; ~r (t) = t2~i� 2 t~j + sen t~k
� f (x; y; z) = z �y2 � x2� ; x (t) = a cos (h) t; y (t) = b sen (h) t; z (t) =
e�2 t
2. Sejam f (x; y) = x2 y3; x (t) = cos t; y (t) = t sen t: Calcule
df
dt
.
3. Sejam f (x; y; z) = x2 + y2 � z2; x (s; t) = es t; y (s; t) = s t; z (s; t) = s� t: Calcule
(a)
@f
@s
(b)
@f
@t
4. Sejam f (x; y) = sen
�
x y2
�� x2 y; x (s; t) = s2 � s t; y (s; t) = t2 s2: Calcule
(a)
@f
@s
(b)
@f
@t
5. Sejam f (r; �) = r2 (1� cos �) ; r (t) = 1 + t3; � (t) = p1 + t2: Calcule df
dt
.
6. O raio da base de um cone �e 6 cm e ele aumenta a uma taxa de 2 cm=s. A altura
do cone �e de 10 cm e aumenta a uma taxa de 10 cm=s. A que taxa o volume est�a
aumentando?
7. Sejam f (x; y) = x2 + y4; x (s; t) = s2 t; y (s; t) = t2 � s2: Calcule
(a)
@2f
@s2
(b)
@2f
@t2
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 46 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL
1.9 Derivada direcional
Se f �e uma fun�c~ao de duas vari�aveis de�nida em uma vizinhan�ca de um ponto (x0; y0), as
derivadas parciais @f@x e
@f
@y em (x0; y0) medem a taxa de varia�c~ao de f na dire�c~ao dos eixos
coordenados x e y, respectivamente. Mas, como podemos calcular a taxa de varia�c~ao de f
em uma dire�c~ao arbitr�aria? A resposta a esta quest~ao �e fornecida pela derivada direcional.
Teorema 1.7 Se a fun�c~ao f e suas primeiras derivadas parciais s~ao cont��nuas em
uma vizinhan�ca de (x0; y0), a derivada direcional D~uf (x0; y0) na dire�c~ao do vetor
unit�ario ~u = u1~i+ u2~j �e dada por:
D~uf (x0; y0) =
@f
@x
(x0; y0) u1 +
@f
@y
(x0; y0) u2:
Observac�~ao 1.5 Se desejarmos calcular a derivada direcional de f na dire�c~ao de um
vetor ~w, com j~wj 6= 1, primeiro devemos obter o vetor unit�ario ~u = ~wj~wj na dire�c~ao de ~w.
Exemplo 1.34 Calcule a derivada direcional D~uf(2; 1) para f(x; y) = x2e3y e u = 1p5~i+
2p
5
~j.
Soluc�~ao. As derivadas parciais s~ao:
@f
@x
(2; 1) = 2xe3yj(2;1) = 4e3
e
@f
@y
(2; 1) = 3x2e3yj(2;1) = 12e3:
Como j~uj = q15 + 45 = 1, temos de (1.7) que
D~uf(2; 1) = (4e3)(
1p
5
) + 12e3(
2p
5
) =
28e3p
5
� 251; 5:
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 47 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL
�
Exemplo 1.35 Calcule a derivada direcional da fun�c~ao f(x; y; z) = ex cos y+xz no ponto
(1; �;�1) na dire�c~ao do vetor ~w =~i� 3~j + 4~k.
Soluc�~ao. As derivadas parciais de f s~ao:
@f
@x
(1; �;�1) = ex cos y + zj(1;�;1) = �e� 1
@f
@y
(1; �;�1) = �ex sin yj(1;�;1) = 0
@f
@z
(1; �;�1) = xj(1;�;1) = 1:
Como j~wj = p12 + 32 + 42 = p26, um vetor unit�ario na dire�c~ao de ~w �e
~u =
1p
26
(~i� 3~j + 4~k):
Assim, u1 = 1p26 , u2 =
�3p
26
e u3 = 4p26 . Portanto,
D~uf(1; �;�1) = (�e� 1)( 1p26 + (0)(
�3p
26
) + (1)(
4p
26
) =
�e+ 3p
26
� 0; 055:
�
Forma alternativa da derivada direcional:
Se ~u = u1~i+u2~j �e um vetor unit�ario e � �e o ângulo formado entre ~u e o eixo x positivo,
ent~ao
u1 = u1j~uj = cos � e u2 = u2j~uj = sin �.
Podemos, ent~ao, usar estas equa�c~oes para reescrever a derivada direcional na forma:
D~uf (x0; y0) =
@f
@x
(x0; y0) cos � +
@f
@y
(x0; y0) sin �: (1.7)
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 48 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL
A equa�c~ao 1.7 implica que, se f e suas primeiras derivadas parciais s~ao cont��nuas, a
derivada direcional depende apenas das derivadas parciais e da dire�c~ao do vetor unit�ario
u.
Exemplo 1.36 Seja f(x; y) = xy � y3. Calcule o vetor unit�ario u para o qual a derivada
direcional Duf(2; 1) �e um m�aximo.
Soluc�~ao. Iniciamos calculando as derivadas parciais de f:
@f
@x
(2; 1) = yj(2;1) = 1
@f
@x
(2; 1) = x� 32j(2;1) = �1:
De acordo com a equa�c~ao 1.7, a derivada direcional Duf(2; 1) �e
Duf(2; 1) = (1) cos � + (�1) sin � = cos � � sin �:
Devemos, portanto, encontrar o valor de � para o qual a fun�c~ao g(�) = cos � � sin � �e um
m�aximo. Para isto, devemos derivar g e igualar o resultado a zero:
g0(�) = � sin � � cos � = 0
Resolvendo esta equa�c~ao para �, obtemos:
sin � � cos � = 0! sin � = � cos � , tan � = �1;
cuja solu�c~oes s~ao: � = 3�4 e � =
7�
4 para 0 � � � 2�. Como,
g00(3�
4
) = � cos(3�
4
) + sin(
3�
4
) =
p
2 > 0
e
g00(7�
4
) = � cos(7�
4
) + sin(
7�
4
) = �p2 < 0;
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 49 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL
o ângulo � = 7�4 corresponde ao m�aximo. Para este ângulo,
u = (cos �)i+ (sin �)j =
p
2
2
i�
p
2
2
j
�e o vetor unit�ario pedido. �
O GRADIENTE:
A forma da derivada direcional dada pelo teorema 1.7 pode ser reescrita como um
produto escalar:
Duf(x0; y0) =
@f
@x
(x0; y0)u1 +
@f
@y
(x0; y0)u2 (1.8)
=
�@f
@x
(x0; y0)i+
@f
@y
(x0; y0)j
�
� [u1i+ u2j]:
O segundo fator no produto escalar �e justamente o vetor unit�ario u = u1i + u2j. O
primeiro fator �e chamado de gradiente de f em (x0; y0). Esse vetor �e usualmente escrito
como:
rf(x0; y0) = @f@x (x0; y0)i+
@f
@y
(x0; y0)j (1.9)
ou simplesmente
rf = @f
@x
i+
@f
@y
j:
Para fun�c~oes de três vari�aveis, o gradiente �e:
rf = @f
@x
i+
@f
@y
j +
@f
@z
k:
Assim, o gradiente de f �e um vetor cujas componentes s~ao as derivadas parciais de f.
Exemplo 1.37 Para f(x; y; z) =
p
xey tan�1 z, o gradiente �e:
Soluc�~ao.
rf(x; y; z) = ey tan�1 z
2
p
x
i+
p
xey tan�1 zj +
p
xey
1 + z2
k
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 50 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL
O gradiente avaliado no ponto (4; 0; 1) �e:
rf(4; 0; 1) = �
16
i+
�
2
j + k:
�
NOTAÇÃO VETORIAL E GRADIENTE:
A derivada direcional pode ser expressa, em nota�c~ao vetorial, como:
Duf(x) = rf(x) � u: (1.10)
Observemos que:
1. Pela de�ni�c~ao de produto interno, temos:
rf(x) � u = jrf(x)jjuj cos � (1.11)
= jrf(x)j cos �
em que � �e o ângulo entre os vetores rf(x) e u e juj = 1.
2. Combinando as equa�c~oes 1.10 e 1.11 temos:
Duf(x) = jrf(x)j cos �: (1.12)
3. Assim, supondo que �1 � cos � � 1 para todo �, a equa�c~ao 1.12 mostra que:
� �jrf(x)j � Duf(x) � jrf(x)j,
� Duf(x) assume seu valor m�aximo se cos � = 1, isto �e, se � = 0.
4. O caso � = 0 ocorre precisamente quando jrf(x)j e o vetor dire�c~ao u apontam na
mesma dire�c~ao. Assim, de acordo com o item 3. a fun�c~ao f cresce mais rapidamente
na dire�c~ao dorf e decresce mais rapidamente na dire�c~ao de�rf . Isto tudo supondo
que as hip�oteses do teorema 1.7 estejam satisfeitas.
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 51 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL
Exemplo 1.38 Encontre as dire�c~oes nas quais f(x; y) = x
3
2 +
y3
2 :
1. Cresce mais rapidamente no ponto (1; 1).
2. Decresce mais rapidamente em (1; 1).
3. Tem dire�c~oes de varia�c~ao zero em (1; 1).
Soluc�~ao.
1. A fun�c~ao aumenta mais rapidamente na dire�c~ao e no sentido de rf em (1; 1). O
gradiente nesse ponto �e: rf(1; 1) = (1)i+ (1)j = i+ j. Sua dire�c~ao �e:
u =
i+ j
ji+ jj =
i+ jp
12 + 12
=
1p
2
i+
1p
2
j
2. A fun�c~ao decresce mais rapidamente na dire�c~ao e no sentido de �rf em (1; 1), que
�e:
�u = � 1p
2
i� 1p
2
j
3. As dire�c~oes de varia�c~ao zero em (1; 1) s~ao asdire�c~oes ortogonais a rf . Seja n =
ai + bj um vetor qualquer ortogonal a u = 1p
2
i + 1p
2
j. Ent~ao, para obter n basta
trocar as coordenadas i e j de u e trocar o sinal de um deles, isto �e,
n = � 1p
2
i+
1p
2
j
Assim, as dire�c~oes de varia�c~ao zero em (1; 1) s~ao exatamente n e �n que s~ao ortog-
onais a rf .
�
Esta observa�c~ao sobre o gradiente tem importantes aplica�c~oes. Se x = (x; y) �e um ponto
no dom��nio da fun�c~ao f, ent~ao rf(x) aponta na dire�c~ao do maior crescimento de f (Figura
1.1).
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 52 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL
Figura 1.1: O gradiente aponta na dire�c~ao de maior crescimento da fun�c~ao f em x
Exemplo 1.39 Para a fun�c~ao f(x; y) = 9� x2+y24 , o gradiente em x = (x; y) �e:
Soluc�~ao.
rf(x) = �x
2
i� y
2
j = �1
2
(xi+ yj) = �1
2
x:
Como x = xi + yj �e o vetor posi�c~ao do ponto (x; y), o vetor rf(x) = �12x aponta na
dire�c~ao da origem para todo (x; y) 6= (0; 0). Em particular,
x = (2; 2)! rf = �i� j
x = (1; 4)! rf = �1
2
i� 2j
x = (2;�1)! rf = �i+ 1
2
j:
Isto n~ao �e surpreendente, pois, o gr�a�co de f �e um parabol�oide circular. Para qualquer
ponto nesta superf��cie, a coordenada z aumenta rapidamente na medida em que x e y
aproximam-se de zero (Figura 1.2).
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 53 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL
Figura 1.2: O gradiente sempre aponta em dire�c~ao �a origem para esta fun�c~ao
�
CURVAS DE NÍVEIS E O GRADIENTE:
Seja r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k uma parametriza�c~ao de uma curva do R3. Seja,
ainda, w = f(x; y; z) uma fun�c~ao de três vari�aveis. Utilizando o gradiente e supondo que
todas as derivadas necess�arias existem, podemos escrever a regra da cadeia ddtf(x; y; z) =
@f
@x
dx
dt +
@f
@y
dy
dt +
@f
@z
dz
dt como:
d
dt
f(r(t)) = rf(r(t)) � r0(t): (1.13)
A equa�c~ao 1.13 nos diz que a derivada da fun�c~ao composta f(r(t)) �e o produto interno
do gradiente rf(r(t)) com o vetor tangente r0(t) = x0(t)i + y0(t)j + z0(t)k, para cada t.
A equa�c~ao 1.13 tamb�em nos revela uma importante rela�c~ao entre gradientes e curvas de
n��veis (Figura 1.3):
Seja f uma função de duas variáveis. Se f e suas primeiras derivadas parciais
são cont́ınuas, então para cada ponto no domı́nio de f o vetor gradiente, se não
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 54 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL
nulo, é ortogonal à curva de ńıvel que passa por aquele ponto.
Figura 1.3: O gradiente �e ortogonal �a curva de n��vel
Exemplo 1.40 Encontre uma equa�c~ao vetorial para a reta tangente �a elipse x
2
16 +
y2
9 = 1,
no ponto P = (2; 3
p
3
2 ).
Soluc�~ao. Considere que a elipse dada seja a curva de n��vel de n��vel 1 da fun�c~ao f(x; y) =
x2
16 +
y2
9 .
Ent~ao, para obter a reta tangente pedida, precisamos primeiro encontrar um vetor n
que seja normal �a elipse no ponto P dado. Este vetor �e simplesmente o gradiente de f em
P , isto �e,
rf(x; y) = x
8
i+
2y
9
j:
Portanto, o vetor n normal �a elipse �e:
n = rf(2; 3
p
3
2
) =
1
4
i+
1p
3
j
A seguir, precisamos encontrar um vetor ortogonal d a n que fornece a dire�c~ao da reta
tangente. Conhecido n, podemos obter d trocando os coe�cientes i e j de n e, ent~ao,
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 55 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL
multiplicando um destes coe�cientes por �1. Assim, o vetor
d =
1p
3
i+
�1
4
j
�e um vetor dire�c~ao para a reta.
Finalmente, utilizando P e d, obtemos a equa�c~ao vetorial para a reta tangente:
r(t) =
"
2i+
3
p
3
2
j
#
+ t
� 1p
3
i+
�1
4
j
�
=
�
2 +
tp
3
�
i+
"
3
p
3
2
� t
4
#
j
�
SUPERFÍCIES DE NÍVEIS E O GRADIENTE Existe semelhan�ca entre gradientes
de fun�c~oes de três vari�aveis e superf��cies de n��veis. Seja f uma função de três variáveis.
Se f e suas primeiras derivadas parciais são cont́ınuas, então para cada ponto
no domı́nio de f, o vetor gradiente, se diferente de zero, é ortogonal à superf́ıcie
de ńıvel contendo aquele ponto. Assim, se a superf��cie de n��vel tem um plano tangente
no ponto x0, rf(x0) �e um vetor normal a esse plano (Figura 1.4).
Figura 1.4: O gradiente �e normal ao plano tangente da superf��cie de n��vel em x0
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 56 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL
Seja x = (x; y; z) um ponto arbitr�ario no plano tangente. Uma equa�c~ao para o plano
tangente �e
rf(x0) � (x� x0) = 0;
que torna-se
@f
@x
(x0; y0; z0)(x� x0) + @f@y (x0; y0; z0)(y � y0) +
@f
@z
(x0; y0; z0)(z � z0) = 0 (1.14)
Exemplo 1.41 Encontre uma equa�c~ao para o vetor normal ao gr�a�co do elips�oide 2x2 +
4y2 + z2 = 21, no ponto P = (2; 1; 3), e encontre tamb�em uma equa�c~ao para o plano
tangente ao gr�a�co naquele ponto.
Soluc�~ao. Considere que o elips�oide dado seja a superf��cie de n��vel f(x; y; z) = 21 para a
fun�c~ao f(x; y; z) = 2x2 + 4y2 + z2.
Utilizando o vetor gradiente no ponto dado, rf(2; 1; 3) = 8i + 8j + 6k, obtemos a
equa�c~ao para o plano tangente como sendo:
8(x� 2) + 8(y � 1) + 6(z � 3) = 0! 8x+ 8y + 6z = 42:
Observe que o vetor normal pedido �e o vetor gradiente no ponto dado, isto �e, rf(2; 1; 3) =
8i+ 8j + 6k. �
1.9.1 Exerćıcios
1. Encontre o gradiente para a fun�c~ao dada, no ponto P.
� f(x; y) = x2y, P = (3; 1).
� f(x; y) = x cos(y � x), P = (�2 ; �4 ).
� f(x; y; z) = x2y + xz2, P = (1; 1; 2).
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 57 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL
� f(x; y; z) = x2y + xz3 � y2z, P = (1; 2; 1).
� f(x; y; z) = ex cos y � ey sin z, P = (0; �4 ; �3 )
2. Encontre a derivada direcional da fun�c~ao dada, no ponto dado e na dire�c~ao do vetor
dado.
� f(x; y) = x2y2, P = (�2; 3), w = i+ j.
� fx; y) = xx+y , P = (1; 2), w =
p
3i+ j.
� f(x; y; z) = xy + xz + yz, P = (1; 2; 1), w = i+ j � k.
� f(x; y; z) = xeyz, P = (2; 0; 1), w = p3i+p3j �p5k.
� f(x; y; z) = x cos y � y sin z, P = (6; �4 ;�1).
3. Para f(x; y) = xy2 + yex, calcule a derivada direcional em (0; 1) na dire�c~ao do mais
r�apido crescimento de f.
4. Para a fun�c~ao dada anteriormente, calcule Duf(0; 1) na dire�c~ao da origem.
5. Para f(x; y)ex sin y, calcule Duf(0; �4 ) na dire�c~ao do ponto (1;
�
2 ).
6. Para a fun�c~ao f(x; y) = xx+y , calculeDuf(1; 1) na dire�c~ao do mais r�apido crescimento
de f.
7. Escreva equa�c~oes vetoriais para as retas normal e tangente �as curvas dadas, nos
pontos dados.
� 4x2 � y2 = 7, P = (2; 3).
� p(x) +p(y) = 4, P = (4; 4).
� sinx� cos y = 1, P = (�2 ; �2 ).
� lnx+ 2 ln y = 1, P = (1;p(e)).
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 58 CÁLCULO II
CAṔITULO 1. DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES DE
VÁRIAS VARIÁVEIS 1.9. DERIVADA DIRECIONAL
8. Encontre um vetor normal e uma equa�c~ao para o plano tangente a cada superf��cie
dada no ponto dado.
� xyz = 6, P = (2; 1; 3).
� z = x2 � y3 + xy, P = (2; 1; 5).
� y = sinx, P = (�2 ; 1; 5).
9. A distribui�c~ao de temperatura de uma sala obedece a fun�c~ao T (x; y; z) = 30� (x2 +
2y2 +3z2). Um inseto, instintivamente, voa na dire�c~ao do mais r�apido decrescimento
de T. Em que dire�c~ao ele deve voar quando est�a no ponto (2; 1; 1)?
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 59 CÁLCULO II
Caṕıtulo 2
Integrais Duplas e Triplas
2.1 Introdução
Em princ��pio, a integral de�nida de uma fun�c~ao cont��nua de duas ou três vari�aveis �e
uma generaliza�c~ao da integral de�nida de uma fun�c~ao de uma vari�avel, ou seja, �e um
limite das somas de Riemann. Entretanto, como as regi~oes sobre as quais integraremos
s~ao, agora, subconjuntos do plano ou do espa�co, n�os nos valeremos de nossos estudos
de curvas e superf��cies a �m de avaliar as integrais que trataremos aqui. Iniciaremos,
generalizando a de�ni�c~ao de integral de�nida para uma fun�c~ao de duas vari�aveis. A seguir,
discutiremosm�etodos para avaliar essas integrais, com base no conceito de integra�c~ao
iterada. Com isso, reduziremos esse problema �aquele de integrais envolvendo apenas uma
vari�avel. Ilustraremos tamb�em, aplica�c~oes desta teoria discutindo o c�alculo de �areas de
superf��cies e de centros de massas. Finalmente, generalizaremos a integral para fun�c~oes
de três vari�aveis.
60
CAṔITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.2. A INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETÂNGULO
2.2 A integral dupla sobre um retângulo
Iniciaremos nosso estudo relembrando o conceito de integral de�nida de uma fun�c~ao
cont��nua de uma vari�avel, analisando um problema de �area. Seja f uma fun�c~ao n~ao nega-
tiva. Queremos encontrar a �area de uma regi~ao R limitada pelo gr�a�co de y = f(x) e o
eixo x, para a � x � b (Figura 2.1)
Figura 2.1: Regi~ao limitada pelo gr�a�co de uma fun�c~ao f cont��nua e n~ao negativa.
Inicialmente, particionamos o intervalo [a; b] em subintervalos de comprimento �xj =
xj � xj�1. Depois, escolhemos um n�umero tj arbitrariamente em cada intervalo, e for-
mamos a soma aproximada de Riemann
Sn =
nX
j=1
f(tj)�xj ;
que representa a soma das �areas dos retângulos ilustrados na Figura 2.2.
Figura 2.2: A Soma de Riemann aproxima a regi~ao R por retângulos.
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 61 CÁLCULO II
CAṔITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.2. A INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETÂNGULO
N�os,ent~ao, provamos que o limite desta Soma de Riemann, quando n ! 1 e quando
a norma da parti�c~ao jjPnjj! 0, �e a �area desejada. Isso nos leva a de�ni�c~ao da integral
de�nida como um limite da soma de Riemann, isto �e,
Z b
a
f(x)dx = lim
n!1
nX
j=1
f(tj)�xj
Esta integral de�nida resolve n~ao s�o este problema de �area, mas geralmente ela fornece
um procedimento de soma pelo qual n�os podemos calcular qualquer quantidade que possa
ser interpretada como uma soma de uma fun�c~ao que varia continuamente. Agora, utilizare-
mos a mesma abordagem para de�nir a integral de�nida de uma fun�c~ao de duas vari�aveis.
Iniciamos com uma regi~ao retangular R no dom��nio de uma fun�c~ao n~ao negativa f de duas
vari�aveis. O retângulo R e o gr�a�co z = f(x; y) sobre R determina um s�olido no espa�co,
conforme ilustra a Figura 2.3.
Figura 2.3: O gr�a�co de z = f(x; y) sobre o retângulo R determina um s�olido no espa�co.
N�os aproximamos o volume deste s�olido por prismas retangulares (Figura 2.4). Esta
aproxima�c~ao �e conhecida como soma dupla de Riemann.
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 62 CÁLCULO II
CAṔITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.2. A INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETÂNGULO
Figura 2.4: O volume do s�olido limitado pelo gr�a�co de f sobre R �e aproximado usando
prismas retangulares.
Desenvolvendo a integral dupla sobre um retângulo
Vamos calcular o volume V de um s�olido limitado acima pelo gr�a�co da fun�c~ao cont��nua
n~ao negativa z = f(x; y), abaixo pelo retângulo
R = (x; y)=a � x � b; c � y � d
no plano xy, e sobre quatro lados pelos planos verticais x = a; x = b; y = c e y = d.
Usando a mesma terminologia para o caso de uma vari�avel, seja P1 = a = x0; x1; x2; � � � ; xn = b
uma parti�c~ao do intervalo [a; b], e seja P2 = c = y0; y1; y2; � � � ; yn = d uma parti�c~ao do in-
tervalo [c; d]. Sejam, ainda,
�xj = xxj � xj1 ; j = 1; 2; � � �n
�yk = yk � yk�1; k = 1; 2; � � �m:
Como ilustra a Figura 2.5, essas parti�c~oes determinam uma grade que divide a regi~ao R
em retângulos Rjk de �area �Ajk = �xj�yk para j = 1; 2; � � � ; n e k = 1; 2; � � � ;m.
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 63 CÁLCULO II
CAṔITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.2. A INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETÂNGULO
Figura 2.5: As parti�c~oes de [a,b] e [c,d] determinam uma grade que divide R em retângulos
Rjk. A �area de Rjk �e �Ajk = �xj�yk
Nos referimos a esta grade como a parti�c~ao P de R determinada pelas parti�c~oes P1 e
P2. De�nimos a norma jjP jj desta parti�c~ao como sendo a maior das normas jjP1jj e jjP2jj
das parti�c~oes P1 e P2. Isto �e,
jjP jj = max jjP1jj; jjP2jj
= max �x1;�x2; � � � ;�xn;�y1;�y2; � � � ;�ym:
Aproximamos o volume da regi~ao acima do retângulo Rjk e abaixo do gr�a�co de f pelo
volume do prisma retangular com base de �area �Ajk = �xj�yk. Para a altura deste
prisma usamos o valor da fun�c~ao f(sj ; tk), em que o ponto teste (sj ; tk) �e escolhido
arbitrariamente no retângulo Rjk (Figura 2.6).
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 64 CÁLCULO II
CAṔITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.2. A INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETÂNGULO
Figura 2.6: O volume deste prisma retangular �e f(sj ; tk)�xj�yk, em que (sj ; tk) �e um
ponto no retângulo Rjk
Isto nos leva �a soma dupla:
Sm;n =
nX
j=1
mX
k=1
f(sj ; tk)�Ajk; �Ajk = �xj�yk; (2.1)
que �e chamada uma soma de Riemann para a fun�c~ao f sobre o retângulo R.
Como no caso de uma vari�avel, obtemos a integral de�nida como o limite dessas somas
de Riemann quando �xj e �yk aproximam-se de zero (Figura 2.7).
Figura 2.7: Quando �xj e �yk ! 0, as correspondentes somas de Riemann aproximam-se
do volume desejado.
Teorema 2.1 Se f �e cont��nua em um retângulo R, ent~ao existe um �unico n�umero I
tal que
I = lim
nm!1Sn;m = limnm!1
nX
j=1
mX
k=1
f(sj ; tk)�Ajk; �Ajk = �xj�yk; (2.2)
para todas as somas de Riemann Sn;m correspondentes �as parti�c~oes Pn;m, para as
quais jjPn;mjj ! 0 quando ambos m e n ! 1.
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 65 CÁLCULO II
CAṔITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.2. A INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETÂNGULO
Este teorema fornece os fundamentos para a teoria da integral de�nida, conforme
podemos ver na de�ni�c~ao que segue.
Definic�~ao 2.1 seja f uma fun�c~ao cont��nua de duas vari�aveis sobre o retângulo R. Ent~ao
o n�umero I de�nido no teorema 2.1 �e chamado de integral definida de f sobre o
retângulo R. Ela �e usualmente escrita como:Z
R
Z
f(x; y)dA
N�os utilizamos dois sinais de integrais para indicar que esta integral representa o resultado
de um processo limite duplo. R denota o retângulo sobre o qual a integral �e avaliada. Por
enquanto, o s��mbolo dA (que tamb�em pode ser escrito dxdy) indica que a soma de Riemann
tem sido obtida particionando R em retângulos de �areas �Ajk = �xj�yk. Como para o
caso de uma vari�avel, a fun�c~ao f �e referida como sendo o integrando.
Conforme o desenvolvimento feito, conclu��mos que o volume V do s�olido limitado
acima pelo gr�a�co da fun�c~ao cont��nua n~ao negativa f e abaixo pelo retângulo R no plano
xy �e:
V =
Z
R
Z
f(x; y)dA (2.3)
No caso de uma vari�avel, se f(x) < 0 para todo x�[a; b], ent~ao a �area limitada pelo gr�a�co
de y = f(x) e o eixo x �e igual a � R ba f(x)dx. Uma a�rma�c~ao an�aloga tamb�em pode ser feita
para fun�c~oes negativas f(x; y) de duas vari�aveis. Se f(x; y) < 0 para todo (x; y)�R, ent~ao
o volume do s�olido determinado por R e o gr�a�co z = f(x; y) �e � R RR f(x; y)dA. Assim,
o teorema 2.1 e a de�ni�c~ao 2.1 se aplicam a todas as fun�c~oes cont��nuas f de duas vari�aveis.
Para uma tal f,o valor da integral resultante pode ser interpretado geometricamente como a
diferen�ca entre o volume do s�olido determinado por aquela por�c~ao do gr�a�co de z = f(x; y)
que est�a acima do plano xy e o volume do s�olido determinado por aquela por�c~ao do gr�a�co
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 66 CÁLCULO II
CAṔITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.2. A INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETÂNGULO
que est�a abaixo do plano xy.
Integrais Iteradas
Embora o teorema 2.1 forne�ca fundamentos te�oricos para a integral de�nida e um meio
pela qual a integral possa ser aproximada, gostar��amos de ter algum m�etodo similar ao
Teorema Fundamental do C�alculo para calcular o valor da integral. Considerando o caso
em que f �e n~ao negativa sobre R, podemos obter um tal m�etodo.
Lembremos que o volume V na equa�c~ao (2.3) �e dado pela integral de�nida
V =
Z b
a
A(x)dx; a < b (2.4)
em que A(x) �e a �area da sec�c~ao transversal tomada perpendicular ao eixo x. Mas, se
x0�[a; b] �e �xado, a �area desta sec�c~ao transversal �e justamente
A(x0) =
Z d
c
f(x0; y)dy;c < d (2.5)
visto que a sec�c~ao transversal �e limitada acima pela fun�c~ao cont��nua g(y) = f(x0; y), como
mostra a Figura 2.8.
Figura 2.8: A �area A(x0) da sec�c~ao transversal em x0 �e A(x0) =
R d
c f(x0; y)dy
Combinando as equa�c~oes (2.4) e (2.5) n�os conclu��mos que
V =
Z b
a
"Z d
c
f(x; y)dy
#
dx; a < b; c < d (2.6)
A equa�c~ao (2.6) indica que o volume V �e calculado, primeiro integrando f com rela�c~ao
a y (tratando x como constante) de c at�e d, e ent~ao integrando a fun�c~ao resultante de x,
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 67 CÁLCULO II
CAṔITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.2. A INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETÂNGULO
de a at�e b. Como a Figura 2.9 ilustra, n�os podemos tamb�em �xar y0 e obter a �area da
sec�c~ao transversal perpendicular ao eixo y em y = y0 como
A(y0) =
Z b
a
f(x; y0)dx; a < b (2.7)
Figura 2.9: A �area A(y0) da sec�c~ao transversal em y0 �e A(y0) =
R b
a f(x; y0)dx
O c�alculo resultante para o volume �e
V =
Z d
c
"Z b
a
f(x; y)dx
#
dy; a < b; c < d (2.8)
As integrais em (2.6) e (2.8) s~ao chamadas integrais iteradas porque elas envolvem
a composi�c~ao de duas sucessivas integra�c~oes, cada uma delas com rela�c~ao a apenas uma
vari�avel.
OBSERVAÇÔES:
� As integrais iteradas s~ao calculadas de dentro para fora, isto �e, primeiro avalia-se a
integral dentro do colchete e depois a de fora.
� Usualmente escreveremos estas integrais omitindo os colchetes:Z b
a
Z d
c
f(x; y)dydx =
Z b
a
"Z d
c
f(x; y)dy
#
dxZ d
c
Z b
a
f(x; y)dxdy =
Z d
c
"Z b
a
f(x; y)dx
#
dy:
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 68 CÁLCULO II
CAṔITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.2. A INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETÂNGULO
� A suposi�c~ao que �zemos de que f �e n~ao negativa n~ao �e essencial. Integrais iteradas
se aplicam a qualquer fun�c~ao f que seja cont��nua no retângulo R.
Teorema 2.2 Teorema de Fubini. Seja R = (x; y)=a � x � b; c � y � d um retângulo
no plano e f uma fun�c~ao cont��nua em R. Ent~aoZ
R
Z
f(x; y)dA =
Z b
a
Z d
c
f(x; y)dydx (2.9)
=
Z d
c
Z b
a
f(x; y)dxdy: (2.10)
Qualquer uma dessas duas integrais iteradas pode ser usada para determinar o valor
da integral dupla. A mudan�ca de uma para outra �e chamada de troca na ordem de
integração.
Exemplo 2.1 Seja R = (x; y)=0 � x � 2; 0 � y � 3. Calcule a integral dupla RR R y3dA e
interprete o resultado geometricamente.
Soluc�~ao. O gr�a�co de z = y3 �e um plano e, portanto, esta integral corresponde ao volume
de um s�olido em forma de cunha, determinado por R e o plano z = y3 (Figura 2.10).
Figura 2.10: O gr�a�co de z = y3 sobre o retângulo R determina um s�olido em forma de
cunha
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 69 CÁLCULO II
CAṔITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.2. A INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETÂNGULO
Utilizando a equa�c~ao (2.9), temos:Z
R
Z y
3
dA =
Z 2
0
Z 3
0
f(x; y)dydx
=
Z 2
0
"
y2
6
#y=3
y=0
dx
=
Z 2
0
3
2
dx
=
3
2
[x]x=2x=0 = 3:
Geometricamente, este c�alculo corresponde a fatiar a cunha em fatias que s~ao paralelas ao
plano yz. Observemos que, como o gr�a�co z = y3 n~ao envolve a vari�avel x, todas as fatias
s~ao triângulos retângulos de base igual a 3 e altura 1 (Figura 2.11). Assim, a �area de cada
um deles �e 32 .
Figura 2.11: Todas as fatias da cunha s~ao triângulos de �area 32
�
�E instrutivo calcular novamente esta integral usando a ordem oposta de integra�c~ao. Assim,
a partir da equa�c~ao (2.10),temos:Z
R
Z y
3
dA =
Z 3
0
Z 2
0
f(x; y)dxdy
=
Z 3
0
�xy
3
�x=2
x=0
dy
=
Z 3
0
�2y
3
�
dy
=
"
y2
3
#y=3
y=0
= 3:
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 70 CÁLCULO II
CAṔITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.2. A INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETÂNGULO
Neste caso, estamos fatiando o s�olido em y (paralelo ao plano xz). Observe que estas fatias
s~ao retângulos cuja �area depende de y (Figura 2.12).
Figura 2.12: Todas as fatias da cunha s~ao retângulos cujas �areas dependem de y
Exemplo 2.2 Seja R = (x; y)=� 1 � x � 1;�1 � y � 1 Calcule o volume da regi~ao s�olida
determinada pelo gr�a�co de f(x; y) = 8� x2 � y2 sobre R.
Soluc�~ao. O volume desejado pode ser calculado como (ver Figura 2.13):Z
R
Z
(8� x2 � y2)dA =
Z 1
�1
�Z 1
�1(8� x
2 � y2)dx
�
dy
=
Z 1
�1
"
8x� x3
3
� xy2
#x=1
x=�1
dy
=
Z 1
�1
�46
3
� 2y2
�
dy
=
"
46y
3
� 2y3
3
#y=1
y=�1
=
88
3
:
Figura 2.13: S�olido cujo volume �e calculado no exemplo 2.2
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 71 CÁLCULO II
CAṔITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.3. EXERĆICIOS
�
Exemplo 2.3 Calcule
R
R
R
x cos(xy)dA, em que R = (x; y)=0 � x � �4 ; 0 � y � 2.
Soluc�~ao. O teorema 2.2 fornece duas escolhas:Z �
4
0
Z 2
0
x cos(xy)dydx
ou Z 2
0
Z �
4
0
x cos(xy)dxdy:
Ambas as integrais podem ser resolvidas utilizando o Teorema Fundamental do C�alculo,
mas a primeira �e mais conveniente porque �e mais f�acil encontrar uma antiderivada para a
integral de dentro. De fato, @ sin(xy)@y = x cos(xy). Assim,Z �
4
0
Z 2
0
x cos(xy)dydx =
Z �
4
0
[sin(xy)]y=2y=0 dx
= int
�
4
0 sin(2x)dx
= �
�cos(2x)
2
��
4
0
= �0� 1
2
=
1
2
:
�
Observemos que para a outra ordem de integra�c~ao, a integral de dentro �e
R �
4
0 x cos(xy)dx,
que teria que ser calculada usando integra�c~ao por partes. Portanto, a solu�c~ao dada �e mais
imediata.
2.3 Exerćıcios
1. Calcule a integral iterada:
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 72 CÁLCULO II
CAṔITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.3. EXERĆICIOS
(a)
R 1
0
R 2
0 xydxdy
(b)
R 3
1
R 2
1 (4 + x� y)dxdy
(c)
R 1
0
R �
2
0 x sin ydydx
(d)
R 2
0
R e
1 y
2 lnxdxdy
(e)
R �
2
0
R 3
0 y sin(xy)dxdy
(f)
R 1
0
R �
2
0 xy sinxdxdy
(g)
R 2
0
R 2
0 xye
xy2dydx
(h)
R 1
0
R 4
0
py
1+x2dydx
2. Calcule a integral dupla sobre o retângulo R.
(a)
R
R
R
(x+ y2)dA, R = (x; y)=0 � x � 1; 0 � y � 1
(b)
R
R
R
x cos ydA, R = (x; y)=0 � x � 4; 0 � y � �2
(c)
R
R
R
xy sec2(xy2)dA, R = (x; y)=0 � x � �4 ; 0 � y � 1
(d)
R
R
R
yexydA, R = (x; y)=0 � x � 2; 0 � y � 1
(e)
R
R
R 1p
x+ydA, R = (x; y)=4 � x � 8; 0 � y � 4
3. Use uma integral dupla para calcular o volume do s�olido limitado acima pelo gr�a�co
de f e abaixo pelo retângulo R no plano xy.
(a) f(x; y) = 16� 4x� 2y, R = (x; y)=0 � x � 2; 0 � y � 3
(b) f(x; y) = x sin y, R = (x; y)=0 � x � 1; 0 � y � �2
(c) f(x; y) = e
p
xpxy , R = (x; y)=1 � x � 4; 1 � y � 9
4. Encontre o volume do s�olido limitado pelas quatro superf��cies dadas.
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 73 CÁLCULO II
CAṔITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.4. INTEGRAIS DUPLAS SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS
(a)
z = 2� y2
z = 1
x = �1
x = 1
(b)
z = x2 � 1
z = 1
y = 0
y = 2
2.4 Integrais duplas sobre regiões mais gerais
Em muitas aplica�c~oes n�os devemos integrar fun�c~oes sobre regi~oes que n~ao s~ao retângulos.
Por exemplo, calcular o volume de um hemisf�erio de raio 1 corresponde a calcular a integral
dupla de f(x; y) =
p
1� (x2 + y2) sobre o disco circular D = f(x; y)=x2 + y2 � 1g de raio
1. Nesta se�c~ao estenderemos nossa de�ni�c~ao de integrais duplas para regi~oes mais gerais.
Suponhamos que f seja uma fun�c~ao cont��nua de duas vari�aveis de�nida sobre Q contida
no retângulo R = f(x; y)=a � x � b; c � y � dg. Vamos construir uma grade sobre R
que particiona R em retângulos menores e, denotemos por jjP jj a norma desta parti�c~ao
(Figura 2.14).
LILIAN MILENA RAMOS CARVALHO 74 CÁLCULO II
CAṔITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS E TRIPLAS 2.4. INTEGRAIS DUPLAS SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS
Figura 2.14: Particionando a regi~ao Q
Seja R1; R2; � � �Rm uma lista desses pequenos retângulos que repousam inteiramente
dentro de Q. A partir de cada retângulo Ri, escolhemos um ponto arbitr�ario (si; ti) e
formamos a soma de Riemann
S =
mX
i=1
f(si; ti)�Ai; �Ai = area de Ri: (2.11)
Considerando parti�c~oes cada vez mais �nas (jjPnjj ! 0 quando n ! 0), obtemos
a sequência de somas de Riemann Sn. Sob certas condi�c~oes impostas sobre f e Q estas
somas convergem para um n�umero I que �e independente da escolha das parti�c~oes Pn e
dos pontos (si; ti). Este n�umero I �e a integral dupla de f sobre Q. Isto �e,Z
Q
Z
f(x; y)dA