6 - Razão, Proporção e Grandezas

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A razão entre duas grandezas é o quociente 
entre elas. Assim, por exemplo, se numa festa 
compareceram 20 homens e 30 mulheres, 
temos que a razão entre o número de homens 
e o de mulheres na festa é: 
𝑛º ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠
𝑛º 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠
 = 
20
30
 = 
2
3
 
Isso significa que, para cada 2 homens, 
havia 3 mulheres na festa. 
Além da forma fracionária, pode-se 
representar a razão como a:b, em que o 
numero a é chamado de antecedente e o 
número b, de consequente. 
É uma igualdade entre duas razões: 
𝑎
𝑏
= 
𝑐
𝑑
 ou a * d = c * b (a está para b, 
assim como c está para d) – o produto dos 
meios é igual ao produto dos extremos 
a:b = c:d = k, em que k é chamado de 
constante de proporcionalidade. Essa 
constante k é o número de vezes que cada 
antecedente é maior que seu respectivo 
consequente. 
a = k * b, assim como c = k * d 
Temos as seguintes propriedades: 
1-) 
𝑎
𝑏
= 
𝑐
𝑑
= 
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑 
 
2-) 
𝑎
𝑏
= 
𝑐
𝑑
= 
𝑎
𝑎+𝑏
= 
𝑐
𝑐+𝑑
 
Exemplo 1: Duas jarras idênticas contém 
poupa de fruta e água nas proporções 3:7 na 
primeira e 3:5 na segunda. Julgando o suco 
da primeira “muito fraco” e o da segunda 
“muito forte”, alguém resolveu juntar os 
conteúdos das duas jarras numa vasilha 
maior, obtendo, a seu ver, um suco na 
proporção ideal de poupa de fruta e água. 
Considerando J como o volume de uma jarra, 
qual é essa proporção ideal? 
Passo I: Na primeira jarra, temos: 
𝑝𝑜𝑢𝑝𝑎
á𝑔𝑢𝑎
= 
3
7
→
𝑝𝑜𝑢𝑝𝑎
(𝑝𝑜𝑢𝑝𝑎+á𝑔𝑢𝑎)
=
 
3
3+7
→ 𝑝𝑜𝑢𝑝𝑎 = 
3
10 
 . 𝐽 𝑒 á𝑔𝑢𝑎 =
 7
10 .𝐽
 Ou seja, temos 10J de volume aqui. 
Passo II: Na segunda jarra, temos: 
𝑝𝑜𝑢𝑝𝑎
á𝑔𝑢𝑎
= 
3
5
→ 
𝑝𝑜𝑢𝑝𝑎
(𝑝𝑜𝑢𝑝𝑎+á𝑔𝑢𝑎)
=
 
3
3+5
→ 𝑝𝑜𝑢𝑝𝑎 = 
3
8
 . 𝐽 𝑒 á𝑔𝑢𝑎 =
 
5
8
 . 𝐽 Ou seja, temos 8J de volume aqui, 
Passo III: Juntando-se as duas jarras, 
obtemos: 
𝑝𝑜𝑢𝑝𝑎
á𝑔𝑢𝑎
= 
3
10
 .𝐽+ 
3
8
.𝐽
7
10
.𝐽+ 
5
8
.𝐽
→ 
12𝐽+15𝐽
40
28𝐽+25𝐽
40
= 
27
53
 
Assim, a proporção ideal consiste em 27 
partes de poupa e 53 de água. 
Tendo as seguintes sequências numéricas: 
1-) 2, 6, 4, 10 
2-) 6, 18, 12, 30 
Observe que elas crescem – ou decrescem- 
na mesma razão, isto é, se um dado elemento 
de uma delas triplica, por exemplo, seu 
correspondente na outra também triplica. 
6:2, 18:6, 12:4, 30:10 = 3. 
A razão constante k é 3 – lembrando que 
ela indica quantas vezes cada antecedente é 
maior que o respectivo consequente. 
Em geral, diz-se que os números de uma 
sucessão são diretamente proporcionais aos 
números de outra quando as razoes entre 
seus respectivos correspondentes forem 
iguais. 
Exemplo 1: se (a, b, 20) e (3, 2:3, 5) são 
proporcionais, determine o coeficiente de 
proporcionalidade e os valores de a e b. 
Na diretamente proporcional, igualamos 
quocientes. 
𝑎
3
=
𝑏
2
3
= 
20
5
→ 4 
Ou: 
Sabendo que 20 e 5 são correspondentes, 
percebe-se que a razão constante é 4. Logo, 
os elementos da primeira sucessão são 4 
vezes maior que os da segunda. 
Assim, a vale 12 e b vale 8:3. 
Exemplo 2: Os irmãos João Victor, Gabriela 
e Matheus têm 16 anos, 14 anos e 10 anos, 
respectivamente. Se o pai deles distribuir R$ 
240,00 entre eles, em partes diretamente 
proporcionais às idades, quanto receberá 
cada um? 
Resposta: sendo k a constante de 
proporcionalidade, a parte de cada um será 
k vezes a respectiva idade, ou seja, as partes 
serão 16 k para João, 14k para Gabriela e 
10k para Matheus. 
16k + 14 k + 10 k = 240 
40k = 240 
K = 240: 40= 6. 
Logo: 
João = 16*6 = R$ 96 
Gabriela: 14*6 = R$ 84 
Matheus: 10* 6 = 60 
Nota: como as partes recebidas devem ser 
diretamente proporcionais às idades, quanto 
mais velho o irmão for, mais dinheiro 
receberá. 
Agora, observe outras duas sequências: 
1-) (1:2, 1:6, 1:4, 1:10) 
2-) (6, 18, 12, 30). 
Perceba que elas crescem ou decrescem na 
razão inversa, ou seja, quando dado elemento 
de uma delas triplica, o correspondente dele 
na outra sequência reduz-se a sua terça 
parte. 
Assim, os números da 1ª são inversamente 
proporcionais aos da 2ª. 
Em geral, diz-se que os números de uma 
sequência são inversamente proporcionais aos 
de outra quando os números de uma delas 
forem, respectivamente, diretamente 
proporcionais aos inversos da outra. 
Aqui, a constante k indica o produto (não 
mais a razão) entre os respectivos elementos 
das sequencias. 
Exemplo 1: Se (a, 8, b) e (3, c, 5) são 
inversamente proporcionais e têm coeficiente 
de proporcionalidade igual a 120, calcule a, 
b e c. 
Resolução: a * 3 = 8 * c = b*5 = 120 
Temos: 3a = 120 (40), 8c = 120 (15) e 
5b = 120 (24). 
Assim, a vale 40, c vale 15 e b vale 24. 
Exemplo 2: Os funcionários de uma fábrica, 
Lucas, Raquel e Elias, no mês de maio, 
faltaram ao serviço por 8 dias, 5 dias e 2 
dias, respectivamente. Se o diretor financeiro 
dessa fábrica dividir R$ 396,00 entre os 
citados funcionários, em partes inversamente 
proporcionais às faltas, quanto receberá 
cada um? 
Resolução: Tendo que as partes procuradas 
devem ser inversamente proporcionais às 
faltas, temos: 
1:8, 1:5 e 1:2, respectivamente. 
Sendo k a constante de proporcionalidade, 
as partes são: 1:8 * k (Lucas), 1:5 * k 
(Raquel) e 1:2 * k (Elias). 
𝑘
8
+ 
𝑘
5
+ 
𝑘
2
= 396 
Por MMC, encontraremos que K = 480. 
Assim: 
Para Lucas: 1/8 * 480 = R$ 60 
Para Raquel: 1/5 * 480 = R$ 96 
Para Elias: ½ * 48-0 = R$ 240 
Nota: quem faltou mais recebe menos, pois as 
partes são inversamente proporcionais. 
Exemplo: Rafaela, Arthur e Matheus têm 14, 
12 e 9 anos e tiraram notas iguais a 7, 9 e 6, 
respectivamente, numa prova. Se o pai deles 
repartir 92 reais em partes inversamente 
proporcionais às idades e diretamente 
proporcionais às notas entre eles, quando irá 
receber cada um? 
Resolução: 
 1
14 
∗ 7 ∗ 𝑘 = 
𝑘
2
 (𝑅𝑎𝑓𝑎𝑒𝑙𝑎) 
1
12
∗ 9 ∗ 𝑘 = 
3𝑘
4
 (𝐴𝑟𝑡ℎ𝑢𝑟) 
1
9
∗ 6 ∗ 𝑘 = 
2𝑘
3
 (𝑀𝑎𝑡ℎ𝑒𝑢𝑠) 
Daí: 
𝑘 
2
+ 
3𝑘
4
+ 
2𝑘
3
= 92 
Achamos que K vale 48. 
Assim, temos que: 
Se Rafaela vai receber K/2, ela receberá 
48/2, ou seja, R$ 24. 
Se Arthur receberá 3K/4, ele receberá 
144/4, ou seja, R$ 36. 
Se Matheus receberá 2K/3, ele receberá 
96/3, ou seja R$32. 
Exemplo: As grandezas X e Y são 
diretamente proporcionais. Quando X vale 
28, tem-se Y valendo 12. Assim, se Y = 15, 
quanto vale X? 
Devemos ter X/Y, onde k é a constante. 
Exemplo: Duas grandezas V e W são 
inversamente proporcionais. Quando V fale 
18, tem-se W valendo 20. Assim, se W vale 
24/7, quanto vale V? 
Só deve ser usada com grandezas, ou seja, 
que podem ser medidas e que, assim, 
possibilitam a existência de informações 
numéricas. 
Regra de 3 simples: multiplicação cruzada. 
Regra de 3 simples com grandezas inversas: 
multiplicação horizontal. 
Regra de 3 composta: processos e produtos. 
Processos: tudo que fará parte para gerar 
um resultado. 
Produtos: resultado.