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Matemática Financeira Fernando Trindade I. Terminologia Em matemática financeira, alguns termos utilizados com freqüência são importantes: - capital: é qualquer quantia disponível, expressa em unidades monetárias; - capitalização: é o processo em que um determinado capital sofre uma valorização ou desvalorização; - período: é um intervalo de tempo em que ocorre um processo de capitalização, que pode ser utilizado como unidade de tempo em alguma análise financeira; - montante: é a quantidade de capital após um processo de capitalização; - rendimento (ou juro): é a diferença entre o capital inicial e o montante final de uma capitalização; - taxa de rendimento (ou taxa de juro): é a fração do capital acrescentada ao montante ao longo de um período no processo de capitalização. II. Juros simples, ou capitalização simples É o processo de capitalização em que a taxa de juros é aplicada somente ao capital inicial, ou capital principal. Exemplo Resolvido: Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros simples de 3% a.m. por 3 meses. Determine: a) o rendimento médio mensal; b) o rendimento no período; c) o montante final; d) a taxa de rendimento no período. Resolução: Para facilitar a resolução, montamos uma tabela: MÊS CAPITAL INICIAL TAXA RENDIMENTO MONTANTE 1 R$ 2.000,00 3% R$ 60,00 R$ 2.060,00 2 R$ 2.000,00 3% R$ 60,00 R$ 2.120,00 3 R$ 2.000,00 3% R$ 60,00 R$ 2.180,00 a) o rendimento mensal foi de: R$ 60,00 b) o rendimento no período foi de: R$ 180,00 c) o montante final é: R$ 2.180,00 d) a taxa acumulada foi de: 9% Note-se que: 2000 = 2000 + 0.0,03.2000 = 2000 + 0.60 2060 = 2000 + 1.0,03.2000 = 2000 + 1.60 2120 = 2000 + 2.0,03.2000 = 2000 + 2.60 2180 = 2000 + 3.0,03.2000 = 2000 + 3.60 Os montantes, numa aplicação a juros simples, formam uma progressão aritmética de razão R$ 60,00. Logo, sendo: Ci = capital inicial i = taxa de juros a cada período n = número de períodos M(n) = montante após n períodos Teremos então: ( ) ( )inCnM i += 1 Obs.: podemos dizer então que no sistema de juros simples a taxa de rendimento é diretamente proporcional ao número de períodos. III. Juros compostos, ou capitalização composta É o processo de capitalização em que a taxa de juros é aplicada sobre o montante acumulado até o período imediatamente anterior. Exercício Resolvido: Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros compostos de 3% a.m. por 3 meses. Determine: a) o rendimento no período; b) o montante final; c) a taxa de rendimento no período. Resolução: Para facilitar a resolução, montamos uma tabela: MÊS CAPITAL INICIAL TAXA RENDIMENTO MONTANTE 1 R$ 2.000,00 3% R$ 60,00 R$ 2.060,00 2 R$ 2.060,00 3% R$ 61,80 R$ 2.121,80 3 R$ 2.121,80 3% R$ 63,65 R$ 2.185,45 a) o rendimento no período foi de: R$ 185,65 b) o montante final é: R$ 2.185,45 c) a taxa acumulada foi de: 9,27% Note-se que: 2000 = 2000.(1,03)0 2060 = 2000.(1,03)1 2121,80 = 2000.(1,03)2 2185,45 = 2000.(1,03)3 Os montantes, numa aplicação a juros compostos, formam uma progressão geométrica de razão 1,03. Logo, sendo: Ci = capital inicial i = taxa de juros a cada período n = número de períodos M(n) = montante após n períodos Teremos então: ( ) ( )ni iCnM += 1 OBS.: Note-se que os montantes da aplicação a juros simples e a juros compostos, no primeiro mês, são iguais. Ainda, se a taxa de juros for muito pequena, a aplicação a juros simples é muito próxima da aplicação a juros compostos. Isso ocorre porque, se x é muito pequeno, então (1 + x)n = 1 + nx. IV. Exercícios 1. Uma pessoa emprestou a seu colega R$ 10.000,00 a juros simples por 7 meses, sendo a taxa de 24% ao ano. Qual o montante no vencimento da dívida? Qual a taxa de juro acumulada no período? 2. (FGV) Um capital aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% ao mês, triplica em: a) 75 meses b) 80 meses c) 85 meses d) 90 meses e) 95 meses 3. (FGV) Carlos adquiriu um aparelho de TV a cores pagando uma entrada de R$ 200,00 mais uma parcela de R$ 450,00 dois meses após a compra. Sabendo-se que o preço à vista do aparelho é de R$ 600,00: a) Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? b) Após quantos meses da compra deveria vencer a parcela de R$ 450,00 para que a taxa de juros simples do financiamento fosse de 2,5% ao mês? 4. (FGV) Um vidro de perfume é vendido à vista por R$48,00 ou a prazo, em dois pagamentos de R$25,00 cada um, o primeiro no ato da compra e o outro um mês depois. A taxa mensal de juros do financiamento é aproximadamente igual a: a) 6,7% b) 7,7% c) 8,7% d) 9,7% e) 10,7% 5. (UNESP) O preço de tabela de um determinado produto é R$1000,00. O produto tem um desconto de 10% para pagamento à vista e um desconto de 7,2% para pagamento em 30 dias. Admitindo que o valor a ser desembolsado no pagamento à vista possa ser aplicado pelo comprador em uma aplicação de 30 dias, com um rendimento de 3%, determine: a) quanto o comprador teria ao final da aplicação; b) qual é a opção mais vantajosa para o comprador, pagar à vista ou aplicar o dinheiro e pagar em 30 dias (justifique matematicamente sua resposta). 6. (UNESP 2008) Cássia aplicou o capital de R$ 15000,00 a juros compostos, pelo período de 10 meses e à taxa de 2% ao mês. Considerando a aproximação (1,02)10 = 1,1, Cássia computou o valor aproximado do montante a ser recebido ao final da aplicação. Esse valor é: a) R$ 18.750,00 b) R$ 18.150,00 c) R$ 17.250,00 d) R$ 17.150,00 e) R$ 16.500,00 7. Suponha que R$ 10.000,00 tenham sido emprestados por 5 meses com uma taxa de juros compostos de 24% ao ano, com capitalização mensal. Qual o montante no vencimento da dívida? Qual a taxa de juro acumulada no período? Dados: 1 121,24 1,018 , 1 61,24 1,037 , 1 41,24 1,055 , 1 31,24 1,07 8. (FGV – 2003) Uma máquina de lavar roupa é vendida à vista por R$1.200,00, ou então a prazo com R$300,00 de entrada mais uma parcela de R$1.089,00 dois meses após a compra. A taxa mensal de juros compostos do financiamento é: a) 10% b) 11% c) 12% d) 13% e) 14% 9. (FGV) O Sr. Alfredo costuma aplicar seu dinheiro num fundo de investimento que rende juros compostos. a) Quanto deverá aplicar hoje, para ter um montante de R$ 13.310,00 daqui a 3 anos, se a taxa de juros for de 10% ao ano? b) Se ele aplicar hoje R$ 8.000,00, qual a taxa anual de juros (constante) que o fundo deverá render para que ele possa sacar R$ 6.000,00 daqui a 1 ano e R$ 9.000,00 daqui a 2 anos, esgotando seu saldo? 10. (UNICAMP) O valor presente, Vp, de uma parcela de um financiamento, a ser paga daqui a n meses, é dado pela fórmula abaixo, em que r é o percentual mensal de juros ( 1000 r ) e p é o valor da parcela. np r p V + = 100 1 a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga à vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 mês). Calcule o valor presente da mercadoria, Vp, supondo uma taxa de juros de 1% ao mês. b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, seja vendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada, com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supondo, novamente, que a taxa mensal de juros é igual a 1%, determine o valor presente da mercadoria, Vp, e o percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar à vista. V V. Tarefa parte 1 1. (FUVEST) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista com 30% de desconto sobre o preço da tabela ou no cartão de crédito com 10% de acréscimo sobre o preço de tabela.Um artigo que à vista sai por R$ 7.000,00, no cartão sairá por: a) R$ 13.000,00 b) R$ 11.000,00 c) R$ 10.000,00 d) R$ 9.800,00 e) R$ 7.700,00 2. (VUNESP) As promoções do tipo “leve 3 pague 2”, comuns no comércio, acenam com um desconto, sobre cada unidade vendida, de: a) % 3 50 b) 20% c) 25% d) 30% e) % 3 100 3. (FUVEST) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda dos seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém, ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo? a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 36% 4. (FUVEST) Sobre o preço de um carro importado incide um imposto de importação de 30%. Em função disso, o seu preço para o importador é de R$ 19.500,00. Supondo que tal imposto passe de 30% para 60%, qual será, em reais, o novo preço do carro, para o importador? a) R$ 22.500,00 b) R$ 24.000,00 c) R$ 25.350,00 d) R$ 31.000,00 e) R$ 39.000,00 5. (UNICAMP) Suponha que todos os preços venham subindo 30% ao mês nos últimos meses e continuem assim nos próximos meses. Calcule: a) Quanto custará, daqui a 60 dias, um objeto que hoje custa R$27.300,00? b) Quanto custava esse mesmo objeto há um mês atrás? 6. (FGV) Em 01/03/95, um artigo que custava R$ 250,00 teve seu preço diminuído em p% de seu valor. Em 01/04/95, o novo preço foi novamente diminuído em p% de sue valor, passando a custar R$ 211,60. O preço desse artigo em 31/03/95 era: a) R$ 225,80 b) R$ 228,00 c) R$ 229,00 d) R$ 230,00 e) R$ 230,80 7. (UFPE) O preço de um aparelho de TV, quando comprado à vista, é de R$ 1.500,00. A loja financia o pagamento em três prestações mensais de R$ 575,00, sendo a primeira paga um mês após a compra. Quais os juros mensais simples embutidos no financiamento? a) 3,0% b) 3,5% c) 4,0% d) 4,5% e) 5,0% 8. (UFRS) Uma loja avisa que, sobre o valor original de uma prestação que não for paga no dia do vencimento, incidirão multa de 10% mais 1% a cada dia de atraso. Uma pessoa que deveria pagar y reais de prestação e o fez com x dias de atraso, pagou a mais: a) xy +10, reais b) 10+x reais c) xy +10 reais d) xy 01010 ,, + reais e) xyy 01010 ,, + reais 9. (FUVEST) O preço de uma mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100%. Supondo que o preço atual seja de R$ 100,00, daqui a três anos o preço será: a) R$ 300,00 b) R$ 400,00 c) R$ 600,00 d) R$ 800,00 e) R$ 1000,00 10. (FGV) Carlos recebeu R$ 240 000,00 pela venda de um imóvel. Gastou metade dessa quantia na compra de um apartamento no litoral e investiu o dinheiro que restou em fundos de investimentos de três instituições financeiras: 40% no Banco A, 30% no Banco B e 30% no Banco C. Após um ano, vendeu o apartamento do litoral por R$ 144 000,00 e resgatou as aplicações, cujos rendimentos anuais foram de + 20%, – 10% e + 30%, respectivamente, nos Bancos A, B e C. É correto afirmar que, em um ano, Carlos aumentou o capital de R$ 240 000,00, recebido inicialmente, em: a) 80% b) 36% c) 20% d) 18,50% e) 17% VI. Tarefa parte 2 1. (FGV – 2003) Augusto comprou dois terrenos pagando um total de R$ 45.000,00. O primeiro foi vendido com um lucro igual a 20% do preço de custo; já o segundo foi vendido com um prejuízo de 10% do preço de custo. Todavia, no total, Augusto acabou ainda lucrando R$ 3.000,00 em relação ao que pagou. A diferença (em valor absoluto) entre os preços pagos na compra foi de: a) R$ 3.500,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 4.500,00 d) R$ 5.000,00 e) R$ 5.500,00 2. (UFES) Um produto, cujo preço à vista é R$ 61,00, foi comprado com uma entrada à vista de R$ 25,00 e mais duas prestações mensais iguais de R$ 25,00 cada uma. A taxa percentual mensal de juros compostos praticada na venda do produto é a) 1400/61 b) 25 c) 1600/61 d) 27 e) 1800/61 3. (FUVEST) Uma empresa vende uma mercadoria e vai receber o pagamento em duas prestações. A primeira no ato da venda e a segunda trinta dias após. Supondo que o preço à vista da mercadoria seja C cruzeiros, que o primeiro pagamento seja de C/3 cruzeiros e que a inflação nesses 30 dias seja de 25%, calcule o valor que deve ser cobrado no segundo pagamento de modo a compensar exatamente a inflação do período. 4. (FGV) Um negociante de carros usados gasta 5% do preço de venda com anúncios e pequenos reparos. a) Qual foi o seu ganho líquido na venda por 10.000 reais de um carro que ele comprou por 8.000 reais? b) Ele comprou um carro por 9.500 reais e pretende obter um ganho líquido de 20% sobre o preço de compra. Por quanto deverá vender o carro? 5. (FGV) Fábio recebeu um empréstimo bancário de R$10.000,00, para ser pago em duas parcelas anuais, a serem pagas respectivamente no final do primeiro ano e do segundo ano, sendo cobrados juros compostos à taxa de 20% ao ano. Sabendo que o valor da 1ª parcela foi R$4.000,00, podemos concluir que o valor da 2ª foi de: a) R$ 8.800,00 b) R$ 9.000,00 c) R$ 9.200,00 d) R$ 9.400,00 e) R$ 9.600,00 6. (ITA) Um cliente deposita num fundo de investimento R$ 1.000,00 anualmente, durante 5 anos. Seu capital, no final do ano, é acrescido de 10%. No final de 5 anos seu capital acumulado será de R$: a) 6.715,00 b) 6.715,62 c) 6.715,60 d) 6.715,61 e) n.d.a. 7. (FGV) Um aparelho de TV é vendido por R$1.000,00 em dois pagamentos iguais, sem acréscimo, sendo o 1º como entrada e o 2º um mês após a compra. Se o pagamento for feito à vista, há um desconto de 4% sobre o preço de R$1.000,00. A taxa mensal de juros simples do financiamento é aproximadamente igual a: a) 8,7% b) 7,7% c) 6,7% d) 5,7% e) 4,7% 8. (FGV) A rede Corcovado de hipermercados promove a venda de uma máquina fotográfica digital pela seguinte oferta: “Leve agora e pague daqui a 3 meses”. Caso o pagamento seja feito à vista, Corcovado oferece ao consumidor um desconto de 20%. Caso um consumidor prefira aproveitar a oferta, pagando no final do 3º mês após a compra, a taxa anual de juros simples que estará sendo aplicada no financiamento é de: a) 20% b) 50% c) 100% d) 80% e) 120% 9. (FUVEST) Uma mercadoria cujo preço de tabela é R$ 8.000,00 é vendida, à vista, com desconto de x% ou em duas parcelas iguais de R$ 4.000,00, sendo a primeira no ato da compra e a segunda um mês após a compra. Suponha que o comprador disponha do dinheiro necessário para pagar à vista e que ele sabe que a diferença entre o preço à vista e a primeira parcela pode ser aplicada no mercado financeiro a uma taxa de 25% ao mês. Nessas condições: a) Se x = 15 será vantajosa para ele a compra a prazo? Explique. b) Qual é o valor de x que torna indiferente comprar à vista ou a prazo? Explique. 10. (FGV) Alberto tomou um empréstimo de R$ 20.000,00 à taxa de juro simples de 10% ao ano. Algum tempo depois, considerando que o valor dos juros era muito alto, obteve um outro empréstimo de R$ 30.000,00, à taxa de juros simples de 8% ao ano. Liquidou a dívida do primeiro empréstimo, pagando também os juros e ainda restou algum dinheiro. Dezoito meses depois da data do primeiro empréstimo liquidou o débito, inclusive juros, do segundo empréstimo. Determine os prazos dos dois empréstimos, em meses, sabendo que Alberto pagou R$ 3.500,00 de juros totais nos dois empréstimos. 11. (UNICAMP) O IPVA de um carro cujo valor é de R$ 8.400,00 é de 3% do valor do carro e pode ser pago de uma das seguintes formas: a) À vista, no dia 15/01/96, com um desconto de 5%. Qual o valor a ser pago nesse caso? b) Em 3 parcelas iguais (sem desconto), sendo a primeira no dia 15/01/96, a segunda no dia 14/02/96 e a terceira no dia 14/03/96. Qual o valor de cada parcela nesse caso? c) Suponha que o contribuinte disponha da importância para o pagamento à vista (com desconto) e que nos períodosde 15/01/96 a 14/02/96 e 14/02/96 a 14/03/96 o dinheiro disponível possa ser aplicado a uma taxa de 4% em cada um desses períodos. Qual a forma de pagamento mais vantajosa para o contribuinte? Apresente os cálculos que justificam sua resposta. 12. (FGV) Paulo tem R$ 150.000,00 aplicados num fundo de investimentos, à taxa de juro composto de 20% ao ano e quer comprar um apartamento de R$ 200.000,00 à vista. Para adquirir o imóvel, Pedro está diante de duas possibilidades: I Comprar a prazo, mediante o seguinte plano de financiamento proposto pelo vendedor: R$ 80.000,00 de entrada, R$ 84.000,00 no final de 1 ano e R$ 83.500,00 no final de 2 anos. II Comprar à vista, obtendo um empréstimo de R$ 50.000,00 à taxa de juro composto de 30% ao ano, a ser pago no final de 2 anos. Por qual dos dois planos Paulo deveria optar? Justifique! 13. (FUVEST 2008) No próximo dia 08/12, Maria, terá um saldo de 2300 euros em sua conta corrente, e uma prestação a pagar no valor de 3500 euros, com vencimento nesse dia. O salário dela é suficiente para saldar tal prestação, mas será depositado nessa conta corrente apenas no dia 10/12. Maria está considerando duas opções para pagar a prestação: 1. Pagar no dia 8. Nesse caso, o banco cobrará juros de 2% ao dia sobre o saldo negativo diário em sua conta corrente, por dois dias; 2. Pagar no dia 10. Nesse caso, ela deverá pagar uma multa de 2% sobre o valor total da prestação. Suponha que não haja outras movimentações em sua conta corrente. Se Maria escolher a opção 2, ela terá, em relação à opção 1: a) desvantagem de 22,50 euros. b) vantagem de 22,50 euros. c) desvantagem de 21,52 euros. d) vantagem de 21,52 euros. e) vantagem de 20,48 euros. VI. Gabarito Tarefa mínima 1. B 2. E 3. C 4. B 5. a) R$ 46.137,00 b) R$ 21.000,00 6. D 7. E 8. E 9. D 10. E Tarefa complementar 1. D 2. E 3. 5/6.C 4. a) 1.500 reais b) 12.000 reais 5. E 6. D 7. A 8. C 9. a) não é vantajoso comprar a prazo; b) x = 10 10. 1º empréstimo: 3 meses, 2º empréstimo: 15 meses 11. a) R$ 239,40 b) R$ 84,00 c) pagamento à vista, pois o valor futuro das parcelas no pagamento a prazo é menor do que o valor futuro no pagamento a vista. 12. O plano I será mais vantajoso, pois no plano II o valor futuro da dívida será de R$ 84.500,00, enquanto que no plano I esse valor será exatamente o valor da última parcela (R$ 83.500,00), pois a diferença entre o dinheiro que o comprador possui e o valor da primeira parcela, aplicado a 20% ao ano, corresponderá ao valor da segunda parcela. 13. C
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