matemática financeira

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Matemática Financeira 
Fernando Trindade 
 
I. Terminologia 
 
Em matemática financeira, alguns termos utilizados com 
freqüência são importantes: 
- capital: é qualquer quantia disponível, expressa em unidades 
monetárias; 
- capitalização: é o processo em que um determinado capital 
sofre uma valorização ou desvalorização; 
- período: é um intervalo de tempo em que ocorre um processo 
de capitalização, que pode ser utilizado como unidade de tempo 
em alguma análise financeira; 
- montante: é a quantidade de capital após um processo de 
capitalização; 
- rendimento (ou juro): é a diferença entre o capital inicial e o 
montante final de uma capitalização; 
- taxa de rendimento (ou taxa de juro): é a fração do capital 
acrescentada ao montante ao longo de um período no processo 
de capitalização. 
 
 
II. Juros simples, ou capitalização simples 
 
É o processo de capitalização em que a taxa de juros é aplicada 
somente ao capital inicial, ou capital principal. 
 
Exemplo Resolvido: 
Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros simples de 3% a.m. 
por 3 meses. Determine: 
a) o rendimento médio mensal; 
b) o rendimento no período; 
c) o montante final; 
d) a taxa de rendimento no período. 
 
Resolução: 
Para facilitar a resolução, montamos uma tabela: 
 
MÊS 
CAPITAL 
INICIAL 
TAXA RENDIMENTO MONTANTE 
1 R$ 2.000,00 3% R$ 60,00 R$ 2.060,00 
2 R$ 2.000,00 3% R$ 60,00 R$ 2.120,00 
3 R$ 2.000,00 3% R$ 60,00 R$ 2.180,00 
 
a) o rendimento mensal foi de: R$ 60,00 
b) o rendimento no período foi de: R$ 180,00 
c) o montante final é: R$ 2.180,00 
d) a taxa acumulada foi de: 9% 
 
Note-se que: 
2000 = 2000 + 0.0,03.2000 = 2000 + 0.60 
2060 = 2000 + 1.0,03.2000 = 2000 + 1.60 
2120 = 2000 + 2.0,03.2000 = 2000 + 2.60 
2180 = 2000 + 3.0,03.2000 = 2000 + 3.60 
 
Os montantes, numa aplicação a juros simples, formam uma 
progressão aritmética de razão R$ 60,00. Logo, sendo: 
 
Ci = capital inicial 
i = taxa de juros a cada período 
n = número de períodos 
M(n) = montante após n períodos 
 
Teremos então: ( ) ( )inCnM i += 1 
 
Obs.: podemos dizer então que no sistema de juros simples a taxa 
de rendimento é diretamente proporcional ao número de períodos. 
 
III. Juros compostos, ou capitalização composta 
 
É o processo de capitalização em que a taxa de juros é aplicada 
sobre o montante acumulado até o período imediatamente anterior. 
 
Exercício Resolvido: 
Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros compostos de 3% a.m. 
por 3 meses. Determine: 
a) o rendimento no período; 
b) o montante final; 
c) a taxa de rendimento no período. 
 
Resolução: 
Para facilitar a resolução, montamos uma tabela: 
 
MÊS 
CAPITAL 
INICIAL 
TAXA RENDIMENTO MONTANTE 
1 R$ 2.000,00 3% R$ 60,00 R$ 2.060,00 
2 R$ 2.060,00 3% R$ 61,80 R$ 2.121,80 
3 R$ 2.121,80 3% R$ 63,65 R$ 2.185,45 
 
a) o rendimento no período foi de: R$ 185,65 
b) o montante final é: R$ 2.185,45 
c) a taxa acumulada foi de: 9,27% 
 
Note-se que: 
2000 = 2000.(1,03)0 
2060 = 2000.(1,03)1 
2121,80 = 2000.(1,03)2 
2185,45 = 2000.(1,03)3 
 
Os montantes, numa aplicação a juros compostos, formam uma 
progressão geométrica de razão 1,03. Logo, sendo: 
 
Ci = capital inicial 
i = taxa de juros a cada período 
n = número de períodos 
M(n) = montante após n períodos 
 
Teremos então: ( ) ( )ni iCnM += 1 
 
OBS.: Note-se que os montantes da aplicação a juros simples e a 
juros compostos, no primeiro mês, são iguais. Ainda, se a taxa de 
juros for muito pequena, a aplicação a juros simples é muito próxima 
da aplicação a juros compostos. Isso ocorre porque, se x é muito 
pequeno, então (1 + x)n = 1 + nx. 
 
 
IV. Exercícios 
 
1. Uma pessoa emprestou a seu colega R$ 10.000,00 a juros simples 
por 7 meses, sendo a taxa de 24% ao ano. Qual o montante no 
vencimento da dívida? Qual a taxa de juro acumulada no período? 
 
 
2. (FGV) Um capital aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% 
ao mês, triplica em: 
a) 75 meses 
b) 80 meses 
c) 85 meses 
d) 90 meses 
e) 95 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (FGV) Carlos adquiriu um aparelho de TV a cores pagando uma 
entrada de R$ 200,00 mais uma parcela de R$ 450,00 dois meses 
após a compra. Sabendo-se que o preço à vista do aparelho é de 
R$ 600,00: 
a) Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? 
b) Após quantos meses da compra deveria vencer a parcela de 
R$ 450,00 para que a taxa de juros simples do financiamento 
fosse de 2,5% ao mês? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. (FGV) Um vidro de perfume é vendido à vista por R$48,00 
ou a prazo, em dois pagamentos de R$25,00 cada um, o 
primeiro no ato da compra e o outro um mês depois. A taxa 
mensal de juros do financiamento é aproximadamente igual a: 
a) 6,7% 
b) 7,7% 
c) 8,7% 
d) 9,7% 
e) 10,7% 
 
 
 
 
 
 
 
5. (UNESP) O preço de tabela de um determinado produto é 
R$1000,00. O produto tem um desconto de 10% para 
pagamento à vista e um desconto de 7,2% para pagamento 
em 30 dias. Admitindo que o valor a ser desembolsado no 
pagamento à vista possa ser aplicado pelo comprador em 
uma aplicação de 30 dias, com um rendimento de 3%, 
determine: 
a) quanto o comprador teria ao final da aplicação; 
b) qual é a opção mais vantajosa para o comprador, pagar à 
vista ou aplicar o dinheiro e pagar em 30 dias (justifique 
matematicamente sua resposta). 
 
 
6. (UNESP 2008) Cássia aplicou o capital de R$ 15000,00 a juros 
compostos, pelo período de 10 meses e à taxa de 2% ao mês. 
Considerando a aproximação (1,02)10 = 1,1, Cássia computou o valor 
aproximado do montante a ser recebido ao final da aplicação. Esse 
valor é: 
a) R$ 18.750,00 
b) R$ 18.150,00 
c) R$ 17.250,00 
d) R$ 17.150,00 
e) R$ 16.500,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Suponha que R$ 10.000,00 tenham sido emprestados por 5 meses 
com uma taxa de juros compostos de 24% ao ano, com capitalização 
mensal. Qual o montante no vencimento da dívida? Qual a taxa de 
juro acumulada no período? 
Dados: 
1
121,24 1,018 , 
1
61,24 1,037 , 
1
41,24 1,055 , 
1
31,24 1,07 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. (FGV – 2003) Uma máquina de lavar roupa é vendida à vista por 
R$1.200,00, ou então a prazo com R$300,00 de entrada mais uma 
parcela de R$1.089,00 dois meses após a compra. A taxa mensal de 
juros compostos do financiamento é: 
a) 10% 
b) 11% 
c) 12% 
d) 13% 
e) 14% 
 
 
 
9. (FGV) O Sr. Alfredo costuma aplicar seu dinheiro num fundo de 
investimento que rende juros compostos. 
a) Quanto deverá aplicar hoje, para ter um montante de 
R$ 13.310,00 daqui a 3 anos, se a taxa de juros for de 10% ao 
ano? 
b) Se ele aplicar hoje R$ 8.000,00, qual a taxa anual de juros 
(constante) que o fundo deverá render para que ele possa sacar 
R$ 6.000,00 daqui a 1 ano e R$ 9.000,00 daqui a 2 anos, 
esgotando seu saldo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. (UNICAMP) O valor presente, Vp, de uma parcela de um 
financiamento, a ser paga daqui a n meses, é dado pela fórmula 
abaixo, em que r é o percentual mensal de juros ( 1000  r ) e p 
é o valor da parcela. 
np
r
p
V






+
=
100
1
 
a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas 
iguais de R$ 200,00, uma a ser paga à vista, e outra a ser paga 
em 30 dias (ou seja, 1 mês). Calcule o valor presente da 
mercadoria, Vp, supondo uma taxa de juros de 1% ao mês. 
b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, seja vendida em 
duas parcelas iguais a p, sem entrada, com o primeiro pagamento 
em 30 dias (ou seja, 1 mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 
meses). Supondo, novamente, que a taxa mensal de juros é igual 
a 1%, determine o valor presente da mercadoria, Vp, e o 
percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja 
vantajoso, para o cliente, comprar à vista. 
 
 
 
 
 
 
 V 
 
V. Tarefa parte 1 
1. (FUVEST) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista com 
30% de desconto sobre o preço da tabela ou no cartão de crédito com 10% de 
acréscimo sobre o preço de tabela.Um artigo que à vista sai por R$ 7.000,00, 
no cartão sairá por: 
a) R$ 13.000,00 b) R$ 11.000,00 c) R$ 10.000,00 
d) R$ 9.800,00 e) R$ 7.700,00 
 
2. (VUNESP) As promoções do tipo “leve 3 pague 2”, comuns no comércio, 
acenam com um desconto, sobre cada unidade vendida, de: 
a) %
3
50
 b) 20% c) 25% d) 30% e) %
3
100
 
 
3. (FUVEST) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda dos 
seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém, ele 
prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, 
porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. 
Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da 
tabela, de modo a não ter prejuízo? 
a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 36% 
4. (FUVEST) Sobre o preço de um carro importado incide um imposto de 
importação de 30%. Em função disso, o seu preço para o importador é de R$ 
19.500,00. Supondo que tal imposto passe de 30% para 60%, qual será, em 
reais, o novo preço do carro, para o importador? 
a) R$ 22.500,00 b) R$ 24.000,00 c) R$ 25.350,00 
d) R$ 31.000,00 e) R$ 39.000,00 
 
5. (UNICAMP) Suponha que todos os preços venham subindo 30% ao mês nos 
últimos meses e continuem assim nos próximos meses. Calcule: 
a) Quanto custará, daqui a 60 dias, um objeto que hoje custa R$27.300,00? 
b) Quanto custava esse mesmo objeto há um mês atrás? 
 
6. (FGV) Em 01/03/95, um artigo que custava R$ 250,00 teve seu preço 
diminuído em p% de seu valor. Em 01/04/95, o novo preço foi novamente 
diminuído em p% de sue valor, passando a custar R$ 211,60. O preço desse 
artigo em 31/03/95 era: 
a) R$ 225,80 b) R$ 228,00 c) R$ 229,00 d) R$ 230,00 e) R$ 230,80 
 
7. (UFPE) O preço de um aparelho de TV, quando comprado à vista, é de 
R$ 1.500,00. A loja financia o pagamento em três prestações mensais de 
R$ 575,00, sendo a primeira paga um mês após a compra. Quais os juros 
mensais simples embutidos no financiamento? 
a) 3,0% b) 3,5% c) 4,0% d) 4,5% e) 5,0% 
 
8. (UFRS) Uma loja avisa que, sobre o valor original de uma prestação que não 
for paga no dia do vencimento, incidirão multa de 10% mais 1% a cada dia de 
atraso. Uma pessoa que deveria pagar y reais de prestação e o fez com x dias 
de atraso, pagou a mais: 
a)  xy +10, reais b)  10+x reais c)  xy +10 reais 
d)  xy 01010 ,, + reais e)  xyy 01010 ,, + reais 
 
9. (FUVEST) O preço de uma mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 
100%. Supondo que o preço atual seja de R$ 100,00, daqui a três anos o preço 
será: 
a) R$ 300,00 b) R$ 400,00 c) R$ 600,00 d) R$ 800,00 e) R$ 1000,00 
 
10. (FGV) Carlos recebeu R$ 240 000,00 pela venda de um imóvel. Gastou 
metade dessa quantia na compra de um apartamento no litoral e investiu o 
dinheiro que restou em fundos de investimentos de três instituições financeiras: 
40% no Banco A, 30% no Banco B e 30% no Banco C. Após um ano, vendeu o 
apartamento do litoral por R$ 144 000,00 e resgatou as aplicações, cujos 
rendimentos anuais foram de + 20%, – 10% e + 30%, respectivamente, nos 
Bancos A, B e C. É correto afirmar que, em um ano, Carlos aumentou o capital 
de R$ 240 000,00, recebido inicialmente, em: 
a) 80% b) 36% c) 20% d) 18,50% e) 17% 
 
VI. Tarefa parte 2 
1. (FGV – 2003) Augusto comprou dois terrenos pagando um total de R$ 
45.000,00. O primeiro foi vendido com um lucro igual a 20% do preço de custo; 
já o segundo foi vendido com um prejuízo de 10% do preço de custo. Todavia, 
no total, Augusto acabou ainda lucrando R$ 3.000,00 em relação ao que pagou. 
A diferença (em valor absoluto) entre os preços pagos na compra foi de: 
a) R$ 3.500,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 4.500,00 
d) R$ 5.000,00 e) R$ 5.500,00 
 
2. (UFES) Um produto, cujo preço à vista é R$ 61,00, foi comprado com 
uma entrada à vista de R$ 25,00 e mais duas prestações mensais iguais de 
R$ 25,00 cada uma. 
A taxa percentual mensal de juros compostos praticada na venda do 
produto é 
a) 1400/61 b) 25 c) 1600/61 d) 27 e) 1800/61 
 
3. (FUVEST) Uma empresa vende uma mercadoria e vai receber o pagamento 
em duas prestações. A primeira no ato da venda e a segunda trinta dias após. 
Supondo que o preço à vista da mercadoria seja C cruzeiros, que o primeiro 
pagamento seja de C/3 cruzeiros e que a inflação nesses 30 dias seja de 25%, 
calcule o valor que deve ser cobrado no segundo pagamento de modo a 
compensar exatamente a inflação do período. 
 
4. (FGV) Um negociante de carros usados gasta 5% do preço de venda 
com anúncios e pequenos reparos. 
a) Qual foi o seu ganho líquido na venda por 10.000 reais de um carro que 
ele comprou por 8.000 reais? 
b) Ele comprou um carro por 9.500 reais e pretende obter um ganho líquido 
de 20% sobre o preço de compra. Por quanto deverá vender o carro? 
 
5. (FGV) Fábio recebeu um empréstimo bancário de R$10.000,00, para ser 
pago em duas parcelas anuais, a serem pagas respectivamente no final do 
primeiro ano e do segundo ano, sendo cobrados juros compostos à taxa de 
20% ao ano. Sabendo que o valor da 1ª parcela foi R$4.000,00, podemos 
concluir que o valor da 2ª foi de: 
a) R$ 8.800,00 b) R$ 9.000,00 c) R$ 9.200,00 d) R$ 9.400,00 e) R$ 
9.600,00 
 
6. (ITA) Um cliente deposita num fundo de investimento R$ 1.000,00 
anualmente, durante 5 anos. Seu capital, no final do ano, é acrescido de 
10%. No final de 5 anos seu capital acumulado será de R$: 
a) 6.715,00 b) 6.715,62 c) 6.715,60 d) 6.715,61 e) n.d.a. 
 
7. (FGV) Um aparelho de TV é vendido por R$1.000,00 em dois 
pagamentos iguais, sem acréscimo, sendo o 1º como entrada e o 2º um 
mês após a compra. Se o pagamento for feito à vista, há um desconto de 
4% sobre o preço de R$1.000,00. A taxa mensal de juros simples do 
financiamento é aproximadamente igual a: 
a) 8,7% b) 7,7% c) 6,7% d) 5,7% e) 4,7% 
 
8. (FGV) A rede Corcovado de hipermercados promove a venda de uma 
máquina fotográfica digital pela seguinte oferta: “Leve agora e pague daqui 
a 3 meses”. Caso o pagamento seja feito à vista, Corcovado oferece ao 
consumidor um desconto de 20%. Caso um consumidor prefira aproveitar a 
oferta, pagando no final do 3º mês após a compra, a taxa anual de juros 
simples que estará sendo aplicada no financiamento é de: 
a) 20% b) 50% c) 100% d) 80% e) 120% 
 
9. (FUVEST) Uma mercadoria cujo preço de tabela é R$ 8.000,00 é 
vendida, à vista, com desconto de x% ou em duas parcelas iguais de R$ 
4.000,00, sendo a primeira no ato da compra e a segunda um mês após a 
compra. Suponha que o comprador disponha do dinheiro necessário para 
pagar à vista e que ele sabe que a diferença entre o preço à vista e a 
primeira parcela pode ser aplicada no mercado financeiro a uma taxa de 
25% ao mês. Nessas condições: 
a) Se x = 15 será vantajosa para ele a compra a prazo? Explique. 
b) Qual é o valor de x que torna indiferente comprar à vista ou a prazo? 
Explique. 
 
10. (FGV) Alberto tomou um empréstimo de R$ 20.000,00 à taxa de juro 
simples de 10% ao ano. Algum tempo depois, considerando que o valor dos 
juros era muito alto, obteve um outro empréstimo de R$ 30.000,00, à taxa 
de juros simples de 8% ao ano. Liquidou a dívida do primeiro empréstimo, 
pagando também os juros e ainda restou algum dinheiro. Dezoito meses 
depois da data do primeiro empréstimo liquidou o débito, inclusive juros, do 
segundo empréstimo. Determine os prazos dos dois empréstimos, em 
meses, sabendo que Alberto pagou R$ 3.500,00 de juros totais nos dois 
empréstimos. 
 
11. (UNICAMP) O IPVA de um carro cujo valor é de R$ 8.400,00 é de 3% 
do valor do carro e pode ser pago de uma das seguintes formas: 
a) À vista, no dia 15/01/96, com um desconto de 5%. Qual o valor a ser 
pago nesse caso? 
b) Em 3 parcelas iguais (sem desconto), sendo a primeira no dia 15/01/96, 
a segunda no dia 14/02/96 e a terceira no dia 14/03/96. Qual o valor de 
cada parcela nesse caso? 
c) Suponha que o contribuinte disponha da importância para o pagamento à 
vista (com desconto) e que nos períodosde 15/01/96 a 14/02/96 e 14/02/96 
a 14/03/96 o dinheiro disponível possa ser aplicado a uma taxa de 4% em 
cada um desses períodos. Qual a forma de pagamento mais vantajosa para 
o contribuinte? Apresente os cálculos que justificam sua resposta. 
 
12. (FGV) Paulo tem R$ 150.000,00 aplicados num fundo de investimentos, 
à taxa de juro composto de 20% ao ano e quer comprar um apartamento de 
R$ 200.000,00 à vista. Para adquirir o imóvel, Pedro está diante de duas 
possibilidades: 
I Comprar a prazo, mediante o seguinte plano de financiamento proposto 
pelo vendedor: R$ 80.000,00 de entrada, R$ 84.000,00 no final de 1 ano e 
R$ 83.500,00 no final de 2 anos. 
II Comprar à vista, obtendo um empréstimo de R$ 50.000,00 à taxa de juro 
composto de 30% ao ano, a ser pago no final de 2 anos. Por qual dos dois 
planos Paulo deveria optar? Justifique! 
 
13. (FUVEST 2008) No próximo dia 08/12, Maria, terá um saldo de 2300 
euros em sua conta corrente, e uma prestação a pagar no valor de 3500 
euros, com vencimento nesse dia. O salário dela é suficiente para saldar tal 
prestação, mas será depositado nessa conta corrente apenas no dia 10/12. 
Maria está considerando duas opções para pagar a prestação: 
1. Pagar no dia 8. Nesse caso, o banco cobrará juros de 2% ao dia 
sobre o saldo negativo diário em sua conta corrente, por dois dias; 
2. Pagar no dia 10. Nesse caso, ela deverá pagar uma multa de 2% 
sobre o valor total da prestação. 
Suponha que não haja outras movimentações em sua conta corrente. Se 
Maria escolher a opção 2, ela terá, em relação à opção 1: 
a) desvantagem de 22,50 euros. b) vantagem de 22,50 euros. 
c) desvantagem de 21,52 euros. d) vantagem de 21,52 euros. 
e) vantagem de 20,48 euros. 
 
VI. Gabarito 
Tarefa mínima 
1. B 
2. E 
3. C 
4. B 
5. a) R$ 46.137,00 b) R$ 21.000,00 
6. D 
7. E 
8. E 
9. D 
10. E 
 
Tarefa complementar 
1. D 
2. E 
3. 5/6.C 
4. a) 1.500 reais b) 12.000 reais 
5. E 
6. D 
7. A 
8. C 
9. a) não é vantajoso comprar a prazo; b) x = 10 
10. 1º empréstimo: 3 meses, 2º empréstimo: 15 meses 
11. a) R$ 239,40 b) R$ 84,00 
c) pagamento à vista, pois o valor futuro das parcelas no pagamento a prazo é 
menor do que o valor futuro no pagamento a vista. 
12. O plano I será mais vantajoso, pois no plano II o valor futuro da dívida será 
de R$ 84.500,00, enquanto que no plano I esse valor será exatamente o valor 
da última parcela (R$ 83.500,00), pois a diferença entre o dinheiro que o 
comprador possui e o valor da primeira parcela, aplicado a 20% ao ano, 
corresponderá ao valor da segunda parcela. 
13. C