Trabalho Técnicas de Integração

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UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA
CASSIANO LEANDRO MARTINS
RANGEL PAES GONÇALVES
TRABALHO EM UM CAMPO ELÉTRICO
TUBARÃO
2020
CASSIANO LEANDRO MARTINS
RANGEL PAES GONÇALVES
TRABALHO EM UM CAMPO ELÉTRICO
CÁLCULO DO TRABALHO REALIZADO EM UM CAMPO ELÉTRICO
Trabalho de avaliação 3 apresentado à disciplina de Técnicas de Integração e aplicações ao Curso de Engenharia Elétrica da Universidade do Sul de Santa Catarina como requisito parcial à obtenção de nota para aprovação.
Prof. Mário Selhorst
TUBARÃO
2020
sumário
1	introdução	3
2	campo elétrico	4
3	energia	5
4	energia gasta na movimentação de uma carga pontual em um campo elétrico	6
5	Exemplo prático	7
6	conclusão	12
REFERÊNCIAS	13
introdução
No contexto da Física, Trabalho é a medida das transformações de energia causadas por uma força sobre um determinado sistema. Embora não se tenha um conceito preciso para energia, podemos dizer que a presença de energia num dado sistema físico cria a possibilidade que se produza movimento. Por exemplo: a energia armazenada por uma pessoa, a partir dos alimentos, permite que ela se movimente e realize diversas atividades.
Podemos levar essa ideia para outros campos da Física, como por exemplo, para o Eletromagnetismo. Um campo elétrico criado por uma partícula carregada pode realizar Trabalho sobre uma segunda partícula carregada que esteja presente neste campo elétrico em questão. 
O objetivo deste trabalho é provar que o trabalho não depende da trajetória que a partícula descreve, e sim dos seus pontos inicial e final.
campo elétrico
Para familiarizar-se com a ideia de campo, pegamos por exemplo uma sala de aula. A temperatura tem um valor definido em todos os pontos da sala. Para medir a temperatura em um ponto ou em uma série de pontos, basta utilizar um termômetro. A distribuição resultante é chamada de campo de temperatura. Analogamente, podemos definir um campo de pressão para a atmosfera, constituído pela distribuição de valores de pressão de ar, um para cada ponto da atmosfera. Os campos de temperatura e pressão são campos escalares, já que temperatura e pressão são grandezas escalares.
O campo elétrico é um campo vetorial, já que consiste em uma distribuição de vetores, um para cada ponto de uma região em torno de um objeto eletricamente carregado.
A equação que descreve a ação de um campo elétrico sobre uma carga é:
A unidade de campo elétrico no SI é o Newton por Coulomb (N/C).
A força que age na carga de prova evidencia a existência de um campo de força associado a carga que originou o campo elétrico.
energia
Para ANJOS (2015), o conceito de energia é, na verdade, algo intuitivo, pois não existe uma definição específica para esse fenômeno físico. 
Podemos sentir os efeitos desses fenômenos físicos, como o calor que sentimos com a queima de uma fogueira, a luz emitida pela chama de uma vela, entre outros.
A ideia de associar energia com movimento é chamada de energia cinética, pois é associada ao corpo em movimento.
Havendo energia cinética, o corpo realiza trabalho, ou seja, ocorre uma transferência de energia de um corpo para outro.
Para interações entre partículas pontuais, a energia potencial elétrica é a energia associada a uma partícula qualquer com carga elétrica situada a uma dada distância. Se as cargas têm mesmo sinal, se repelem. Caso as cargas possuam sinais opostos, se atraem.
energia gasta na movimentação de uma carga pontual em um campo elétrico
A intensidade de campo elétrico é definida como a força em uma carga unitária de teste no ponto onde desejamos calcular o valor do campo vetorial relacionado. Segundo HAYT e BUCK (2013), se tentarmos mover uma carga de teste contra o campo elétrico, temos que exercer uma força igual e oposta àquela exercida pelo campo, ao passo que ao tentarmos mover uma carga na direção do campo, nosso gasto de energia se torna negativo, e não realizamos trabalho: o campo o faz.
Suponha que desejemos mover uma carga Q por uma distância dL em um campo elétrico E. A força em Q devido ao campo elétrico é:
A força que devemos aplicar é o produto da força pela distância. Isto é, o trabalho diferencial realizado por uma fonte externa movendo a carga Q é: 
O trabalho necessário para mover a carga por uma distância finita deve ser determinado por integração:
E o caminho deve ser especificado antes que a integral possa ser calculada.
Exemplo prático
Dado o campo elétrico não uniforme
Devemos determinar o trabalho realizado para deslocar 2 C de B(1,0,1) até A(0,8, 0,6, 1) ao longo do arco mais curto do círculo
 
Usamos , onde E não é necessariamente constante (ou uniforme). Trabalhando em coordenadas cartesianas, o caminho diferencial dL é , e a integral se torna:
Os limites das integrais foram escolhidos de forma a corresponder aos valores inicial e final da variável de integração apropriada. Detalhe para o termo da integral em z, pois como não há um deslocamento efetivo no eixo z, a integral acaba se anulando. Utilizando a equação do caminho circular (e selecionando o sinal da raiz que for correto para o quadrante envolvido), temos:
Para x:
	Para y:
Resolvendo a integral por substituição trigonométrica:
Primeiro caso: 
Simplificando o integrando:
Usando a regra do arco duplo:
Pela regra da substituição trigonométrica, temos que:
Então:
Fazendo para a variável y, chegamos no mesmo resultado, apenas trocando a variável de integração. Logo, o resultado da integral:
Agora, calculando novamente o trabalho necessário para deslocar 2 C de B até A no mesmo campo, mas dessa vez utilizando como caminho a linha reta que une B a A.
Começamos determinando as equações da linha reta. Quaisquer duas das seguintes três equações para planos que passam pela reta são suficientes para definir a reta
Substituindo os valores na equação pelos valores dos pontos A e B, tempos para primeira equação: 
Temos para x:
E da segunda obtemos
Logo, 
Essa é a mesma resposta que encontramos utilizando o caminho circular entre os mesmos dois pontos, e isso novamente demonstra a afirmação de que o trabalho realizado é independente do caminho tomado, em qualquer campo eletrostático.
conclusão
Como pudemos ver, energia e trabalho estão intimamente ligados de forma que não podemos dar um significado a um sem mencionar o outro. Mesmo o conceito de energia não ser um conceito muito exato, podemos perceber seus efeitos e sua interferência num sistema matematicamente.
REFERÊNCIAS
HAYT JR, Willian H. Eletromagnetismo. 8 ed (Traduzido por Schroeder, Marco Aurélio de Oliveira) Porto Alegre: AMGH, 2013.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Fundamentos de Física: Eletromagnetismo. 9 ed. (Traduzido por Biasi, Ronaldo Sérgio de.) Rio de Janeiro: LTC, 2012.
ANJOS, Talita Alves Dos. "Energia"; Brasil Escola. Disponível em <http://www.brasilescola.com/fisica/energia-1.htm>. Acesso em 26 de novembro de 2015.