6 - AS LEIS DE KIRCHHOFF

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INSTITUTO FEDERAL DE ALAGOAS - IFAL
CAMPUS PALMEIRA DOS ÍNDIOS - AL
CURSO BACHARELADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
CIRCUITOS ELÉTRICOS l
Prof. Dr. Leonaldo José Lyra do Nascimento
Período: 2020.1
AS LEIS DE KIRCHHOFF
AS LEIS DE KIRCHHOFF
As Leis de Kirchhoff foram criadas e
desenvolvidas pelo físico alemão Gustav Robert
Kirchhoff (1824-1887).
Existem essencialmente duas Leis que Kirchhoff
determinou: A Lei de Kirchhoff para Circuitos
Elétricos e a Lei de Kirchhoff para Espectroscopia.
A primeira foi criada para resolver problemas
de circuitos elétricos mais complexos.[1] Tais
problemas podem ser encontrados em circuitos
com mais de uma fonte de resistores estando tanto
em série quanto paralelo. Para criar a
Lei, Kirchhoff introduziu o conceito de nó (ou
junção) e malha, o que é extremamente importante
para o entendimentos das Leis.
Mais tecnicamente, a espectroscopia analisa a interação entre qualquer matéria e radiação. ... É
usada para analisar compostos em química, para determinar quais elementos diferentes compõem
algo, e também é usado em astronomia para obter percepções sobre a composição e velocidades
de corpos astronômicos.
Introdução
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gustav_Kirchhoff
https://pt.wikipedia.org/wiki/Circuito_el%C3%A9trico
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espectroscopia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Circuitos_el%C3%A9tricos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Leis_de_Kirchhoff#cite_note-1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Resistor
https://pt.wikipedia.org/wiki/Circuito_em_s%C3%A9rie
https://pt.wikipedia.org/wiki/Circuito_paralelo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gustav_Kirchhoff
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Introdução às leis de Kirchhoff.
Exemplo:
Nó: É um ponto do circuito onde se conectam no mínimo três elementos.
𝑹𝟓
𝑹𝟒 𝑹𝟑
𝑹𝟐𝑹𝟏
𝑭
𝑬
𝑫𝑪
𝑩
𝑨
+
−
+
−
𝑽𝟏
𝑽𝟐
Alguns conceitos básicos:
Nó C
Nó F
Não
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Ramo: É um trecho de um circuito compreendido entre dois nós
consecutivos.
𝑹𝟓
𝑹𝟒 𝑹𝟑
𝑹𝟐𝑹𝟏
𝑭
𝑬
𝑫𝑪
𝑩
𝑨
+
− +
−
𝑽𝟏
𝑽𝟐
Exemplo:
Ramo 3
Ramo 1
Ramo 2
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Malha: É um trecho de um circuito que forma uma trajetória
eletricamente fechada.
𝑹𝟓
𝑹𝟒 𝑹𝟑
𝑹𝟐𝑹𝟏
𝑭
𝑬
𝑫𝑪
𝑩
𝑨
+
− +
−
𝑽𝟏
𝑽𝟐
Exemplo:
𝑹𝟓
𝑹𝟒 𝑹𝟑
𝑹𝟐𝑹𝟏
𝑭
𝑬
𝑫𝑪
𝑩
𝑨
+
− +
−
𝑽𝟏
𝑽𝟐
Malha 1 Malha 2
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Malha: É um trecho de um circuito que forma uma trajetória
eletricamente fechada.
𝑹𝟓
𝑹𝟒 𝑹𝟑
𝑹𝟐𝑹𝟏
𝑭
𝑬
𝑫𝑪
𝑩
𝑨
+
− +
−
𝑽𝟏
𝑽𝟐
Exemplo: Malha 3
AS LEIS DE KIRCHHOFF
PRIMEIRA LEI DE KIRCHHOFF - LKC
A soma algébrica das correntes em um nó é sempre igual a zero.
Ou,
෍
𝒋=𝟏
𝒏
𝑰𝒋 = 𝟎
Observação:
Por convenção, considera-se as correntes que entram em um nó como
POSITIVAS e as que saem como NEGATIVAS.
Eq. 1
AS LEIS DE KIRCHHOFF
PRIMEIRA LEI DE KIRCHHOFF - LKC
A soma das correntes que chegam em um nó é sempre igual à
soma das correntes que saem deste nó.
Ou,
෍
𝒋=𝟏
𝒏
𝑰𝒋𝑪𝒉𝒆𝒈𝒂𝒎 = ෍
𝒌=𝟏
𝒎
𝑰𝒌𝑺𝒂𝒆𝒎 Eq. 2
AS LEIS DE KIRCHHOFF
PRIMEIRA LEI DE KIRCHHOFF - LKC
𝑰𝟑
𝑰𝟐
𝑰𝟏
+
−
+−
+−
+
−
𝑨
𝑩
𝟒 𝜴
1 𝜴
𝟔 𝜴
𝟑 𝐕
𝟐 𝐕
𝟏𝟎 𝐕
𝟓 𝐕
3 𝜴
Exemplo:
LKC no nó A:
𝐼1 − 𝐼2 + 𝐼3 = 0
LKC no nó B:
−𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3 = 0
෍
𝑗=1
3
𝐼𝑗 = 0
෍
𝑘=1
3
𝐼𝑘 = 0
AS LEIS DE KIRCHHOFF
PRIMEIRA LEI DE KIRCHHOFF - LKC
Observação:
O número de equações independentes que se pode obter com a
aplicação da lei das correntes de Kirchhoff em um circuito elétrico é
igual ao número de nós menos um.
𝑵𝒆𝒊 = 𝒏 − 𝟏 Eq. 3
Onde: 𝑁𝑒𝑖 = Número de equações independentes obtidas com a
aplicação da lei das correntes, e
𝑛 = Número de nós do circuito.
AS LEIS DE KIRCHHOFF
SEGUNDA LEI DE KIRCHHOFF - LKT
A soma algébrica das tensões (f.e.m.s. e quedas de tensão) ao longo de
uma malha elétrica é igual a zero.
Ou,
Eq. 4෍
𝒋=𝟏
𝒏
𝑽𝒋 = 𝟎
AS LEIS DE KIRCHHOFF
SEGUNDA LEI DE KIRCHHOFF - LKT
−
−
−
−
+
+
+
+
𝑰𝟑
𝑰𝟐
𝑰𝟏
+
−
+−
+−
+
−
𝑨
𝑩
3 𝜴
3 𝜴
1 𝜴
𝟒 𝐕
𝟑 𝐕
6 𝐕
𝟓 𝐕
2 𝜴
Exemplo: LKT na malha 1:
෍
𝑗=1
5
𝑉𝑗 = 0
LKT na malha 2: ෍
𝑘=1
5
𝑉𝑘 = 0
LKT na malha 3: ෍
𝑚=1
6
𝑉𝑚 = 0
−6 − 1. 𝐼1 − 5 − 3. 𝐼2 − 3. 𝐼1 = 0
+3. 𝐼2 + 5 + 4 + 2. 𝐼3 − 3 = 0
−6− 1. 𝐼1 + 4 + 2. 𝐼3 − 3 − 3. 𝐼1 = 0
AS LEIS DE KIRCHHOFF
SEGUNDA LEI DE KIRCHHOFF - LKT
Observação:
O número de equações fornecida pela lei de Kirchhoff:
𝑵𝒆 = 𝒓 − 𝒏 + 𝟏 Eq. 5
Onde:
𝑁𝑒 = Número de equações fornecida pela de Kirchhoff;
𝑟 = Número de ramos nós do circuito elétrico, e
𝑛 = Número de nós do circuito elétrico.
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Exemplo:
Determine o número de ramos e de nós nos circuitos elétricos
abaixo.
𝟏𝟐 𝐕
10 𝐕
1 𝜴
6 𝐕
2 𝜴
5 𝜴
4 𝜴2 𝜴
3 𝜴
+
−
+
−
+
− +
−
5 𝜴
6 𝜴
𝟑 𝜴
8 𝜴
7 𝜴
𝟐 𝜴
10 𝐕
𝟐 𝜴
1 𝜴
(A) (B)
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Exemplo:
Determine o número de ramos e de nós nos circuitos elétricos
abaixo.
𝟏𝟐 𝐕
10 𝐕
1 𝜴
6 𝐕
2 𝜴
5 𝜴
4 𝜴2 𝜴
3 𝜴
+
−
+
−
+
−
(A)
Solução:
𝑛 =2
𝑟 = 3
Nó 1
Nó 2
Ramo 2
Ramo 1
Ramo 3
1): 𝑵𝒆𝒄 = 𝒏 − 𝟏
= 𝟐 − 𝟏
𝑵𝒆𝒄= 𝟏
2): 𝑵𝒆𝒕 = 𝒓 − 𝒏 + 𝟏
= 𝟑 − 𝟐 + 𝟏
𝑵𝒆𝒕 = 𝟐
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Conclusão:
Determine o número de ramos e de nós nos circuitos elétricos abaixo.
𝟏𝟐 𝐕
10 𝐕
1 𝜴
6 𝐕
2 𝜴
5 𝜴
4 𝜴2 𝜴
3 𝜴
+
−
+
−
+
−
𝑵𝒆𝒄= 𝟏 𝑵𝒆𝒕 = 𝟐
Preciso de :
UMA equação para a corrente e
DUAS equações para a tensão.
e
Nó 1
Malha 2
Malha 1
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Exemplo:
Determine o número de ramos e de nós nos circuitos elétricos abaixo.
+
−
5 𝜴
6 𝜴
𝟑 𝜴
8 𝜴
7 𝜴
𝟐 𝜴
10 𝐕
𝟐 𝜴
1 𝜴
(B)
Solução:
𝑛 = 4
𝑟 = 6
Nó 1 Ramo 1
1): 𝑵𝒆𝒄 = 𝒏 − 𝟏
= 𝟒 − 𝟏
𝑵𝒆𝒄= 𝟑
2): 𝑵𝒆𝒕 = 𝒓 − 𝒏 + 𝟏
= 𝟔 − 𝟒 + 𝟏
𝑵𝒆𝒕 = 𝟑
Nó 2
Nó 3
Nó 4
Ramo 2
Ramo 3
Ramo 5
Ramo 6
Ramo 4
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Exemplo:
Determine o número de ramos e de nós nos circuitos elétricos abaixo.
+
−
5 𝜴
6 𝜴
𝟑 𝜴
8 𝜴
7 𝜴
𝟐 𝜴
10 𝐕
𝟐 𝜴
1 𝜴 Conclusão:
𝑵𝒆𝒄= 𝟑 𝑵𝒆𝒕 = 𝟑
Preciso de :
TRÊS equações para a corrente
e TRÊS equações para a tensão.
e
Nó 1
Nó 2
Nó 3
Malha 1
Malha 2
Malha 3
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Procedimento para aplicação das leis de Kirchhoff
1) Identificar os nós, ramos e malhas do circuito elétrico;
2) Atribuir para cada ramo do circuito um sentido para a corrente
elétrica;
3) Polarizar as fontes de tensão;
4) Polarizar as quedas de tensão nos resistores de acordo com o sentido
adotado para a corrente;
5) Havendo nós, aplicar a primeira dei de Kirchhoff, obtendo-se
;𝑵𝒆𝒄 = 𝒏 − 𝟏
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Procedimento para aplicação das leis de Kirchhoff
6) Se o número de equações ainda não for suficiente para resolver o
circuito, aplicar a segunda lei de Kirchhoff, onde o número de equações é
dado por ;𝑵𝒆𝒕 = 𝒓 − 𝒏 + 𝟏
7) Escolher um ponto de partida e adotar um sentido de percurso para
analisar a(s) malha(s);
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Exemplo 01:
Calcule os valores de 𝑰𝟏, 𝑰𝟐 e 𝑰𝟑 a partir dos valores das f.e.m.s. e das
resistências elétricas usando obrigatoriamente as leis de Kirchhoff.
+
−
+−
4 𝜴
𝟏𝟐 𝐕
36 𝐕 3,3 𝜴
2,7 𝜴
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Solução:
+
−
+−
4 𝜴
𝟏𝟐 𝐕
36 𝐕 3,3 𝜴
2,7 𝜴
Observando o circuito elétrico abaixo, temos: 2 nós, 3 ramos e 3 malhas
fechadas. Nó 1
Malha 1
Nó 2
Malha 2
Malha 3
Ramo 2
Ramo 1
Ramo 3
Logo:
1): 𝑵𝒆𝒄 = 𝒏 − 𝟏
= 𝟐 − 𝟏
𝑵𝒆𝒄= 𝟏
2): 𝑵𝒆𝒕 = 𝒓 − 𝒏 + 𝟏
= 𝟑 − 𝟐 + 𝟏
𝑵𝒆𝒕 = 𝟐
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff no ponto A, temos:
Escolhendo as correntes, nó e malhas no circuito abaixo, tem-se:
+
−
+−
4 𝜴
𝟏𝟐 𝐕
36 𝐕 3,3 𝜴
2,7 𝜴
𝑴𝟏 𝑴𝟐𝑰𝟏
𝑰𝟐𝑰𝟑
−
−
− +
++
+
−
+−
4 𝜴
𝟏𝟐 𝐕
36 𝐕3,3 𝜴
2,7 𝜴
A
෍
𝑗=1
3
𝐼𝑗 = 0 → 𝐼3 − 𝐼1 − 𝐼2 = 0 → Eq. 1a𝑰𝟑 = 𝑰𝟏 + 𝑰𝟐
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Aplicando a segunda lei de Kirchhoff na malha 𝑴𝟏, temos:
𝑴𝟏 𝑴𝟐𝑰𝟏
𝑰𝟐𝑰𝟑
−
−
− +
++
+
−
+−
4 𝜴
𝟏𝟐 𝐕
36 𝐕 3,3 𝜴
2,7 𝜴
A
36 − 4. 𝐼1 − 12 = 0
Eq. 1b
Aplicando a segunda lei de Kirchhoff na malha 𝑴𝟐, temos:
4. 𝐼1 − 3,3. 𝐼2 − 2,7. 𝐼2 = 0 → Eq. 1c4. 𝐼1 − 6. 𝐼2 = 0
24 − 4. 𝐼1 = 0
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Formando um sistema de equações com Eq. 1a, Eq. 1b e Eq. 1c, temos:
𝑰𝟑 = 𝑰𝟏 + 𝑰𝟐
𝟒. 𝑰𝟏 − 𝟔. 𝑰𝟐 = 𝟎
𝟐𝟒 − 𝟒. 𝑰𝟏 = 𝟎
𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3 = 0
4. 𝐼1 + 0. 𝐼2 + 0. 𝐼3 = 24
4. 𝐼1 − 6. 𝐼2 + 0. 𝐼3 = 0
Eq. 1d
Eq. 1e
Eq. 1f
Da Eq. 1e, tem-se:
4. 𝐼1 = 24 → 𝐼1 =
24
4
→ Eq. 1g𝐼1 = 6 𝐴
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Substituindo a Eq. 1g na Eq. 1f, temos:
4𝑥6 − 6. 𝐼2 = 0
→
6. 𝐼2 = 24 → 𝐼2 =
24
6
→ 𝐼2 = 4 𝐴 Eq. 1h
Substituindo a Eq. 1g e a Eq. 1f na Eq. 1d, temos:
𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3 = 0 6 + 4 − 𝐼3 = 0
→
→ 𝐼3 = 10 𝐴 Eq. 1i
Conclusão:
Como os valores das correntes calculadas foram todas POSITIVAS,
então seus sentidos foram arbitrados corretamente. Logo, a resposta é:
𝑰𝟏 = 𝟔 𝑨 𝑰𝟐 = 𝟒 𝑨 𝑰𝟑 = 𝟏𝟎 𝑨
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Exemplo 02:
Determine a potência no resistor de 12 Ω no circuito elétrico abaixo.
6 𝜴
+
−
−
+
+
−
4 𝜴
4𝑽𝑿
50 𝐕
12 𝜴
𝑽𝑿
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Solução:
TÉCNICA
Transformar as dependências das fontes em grandezas dependentes das
incógnitas do circuito.
6 𝜴
+
−
−
+
+
−
4 𝜴
4𝑽𝑿
50 𝐕
12 𝜴
𝑽𝑿
Fonte
dependente!
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Solução:
Observando o circuito elétrico abaixo, temos: 2 nós, 3 ramos e 3 malhas
fechadas.
6 𝜴
+
−
−
+
+
−
4 𝜴
4𝑽𝑿
50 𝐕
12 𝜴
𝑽𝑿
Malha 1
Nó 2
Malha 2
Malha 3
Ramo 2
Ramo 1
Ramo 3
Logo:
1): 𝑵𝒆𝒄 = 𝒏 − 𝟏
= 𝟐 − 𝟏
𝑵𝒆𝒄= 𝟏
2): 𝑵𝒆𝒕 = 𝒓 − 𝒏 + 𝟏
= 𝟑 − 𝟐 + 𝟏
𝑵𝒆𝒕 = 𝟐
Nó 1
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff no ponto B, temos:
Escolhendo as correntes, nó e malhas no circuito abaixo, tem-se:
෍
𝑗=1
3
𝐼𝑗 = 0 → 𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼𝑋 = 0 → Eq. 2a𝑰𝑿 = 𝑰𝟏 + 𝑰𝟐
6 𝜴
+
−
−
+
+
−
4 𝜴
4𝑽𝑿
50 𝐕
12 𝜴
𝑽𝑿 6 𝜴
+
−
−
+
+
−
4 𝜴
4𝑽𝑿
50 𝐕
12 𝜴
𝑽𝑿
𝑰𝑿
𝑰𝟐𝑰𝟏
B
𝑴𝟐𝑴𝟏
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Aplicando a segunda lei de Kirchhoff na malha 𝑴𝟏, temos:
50 − 4. 𝐼1 − 𝑉𝑋 = 0
Eq. 2b
Aplicando a segunda lei de Kirchhoff na malha 𝑴𝟐, temos:
→ Eq. 2c𝑉𝑋 + 12. 𝐼2 − 4. 𝑉𝑋 = 0
6 𝜴
+
−
−
+
+
−
4 𝜴
4𝑽𝑿
50 𝐕
12 𝜴
𝑽𝑿
𝑰𝑿
𝑰𝟐𝑰𝟏
B
𝑴𝟐𝑴𝟏
50 − 4. 𝐼1 − 𝑉𝑋 = 0
12. 𝐼2 − 3. 𝑉𝑋 = 0
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Formando um sistema de equações com Eq. 2a, Eq. 2b e Eq. 2c, temos:
𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼𝑋 = 0
4. 𝐼1 + 0. 𝐼2 + 𝑉𝑋 = 50
0. 𝐼1 + 12. 𝐼2 − 3. 𝑉𝑋 = 0
Eq. 2d
Eq. 2e
Eq. 2f
Observe que as Eq. 2e e Eq. 2f, estão em função de 𝑉𝑋. Aplicando a
TÉCNICA citada acima, tem-se:
Eq. 2g
𝑰𝑿 = 𝑰𝟏 + 𝑰𝟐
𝟓𝟎 − 𝟒. 𝑰𝟏 − 𝑽𝑿 = 𝟎
𝟏𝟐. 𝑰𝟐 − 𝟑. 𝑽𝑿 = 𝟎
𝑉𝑋 = 6. 𝑉𝑋
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Substituindo a Eq. 2g nas Eq. 2f e Eq. , temos:
𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼𝑋 = 0
4. 𝐼1 + 0. 𝐼2 + (6. 𝐼𝑋) = 50
0. 𝐼1 + 12. 𝐼2 − 3. (6. 𝐼𝑋) = 0 Eq. 2h
𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼𝑋 = 0
4. 𝐼1 + 0. 𝐼2 + 6. 𝐼𝑋 = 50
0. 𝐼1 + 12. 𝐼2 − 18. 𝐼𝑋 ) = 0
Resolução de Eq. 2h por matrizes.
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Cálculos de 𝑰𝟏, 𝑰𝟐 e 𝑰𝑿.
Transformando a Eq. 2h em matrizes, temos:
𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼𝑋 = 0
4. 𝐼1 + 0. 𝐼2 + 6. 𝐼𝑋 = 50
0. 𝐼1 + 12. 𝐼2 − 18. 𝐼𝑋 ) = 0
1 1 −1
4 0 6
0 12 −18
.
𝐼1
𝐼2
𝐼𝑋
=
0
50
0
Eq. 2i
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Seja, 𝐷 =
1 1 −1
4 0 6
0 12 −18
. Eq. 2j
Cálculo de det D.
det 𝐷 =
1 1 −1
4 0 6
0 12 −18
1 1
4 0
0 12
= 0 + 0 − 48 − (0 + 72 − 72) = −48
Eq. 2ldet 𝐷 = −48
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Cálculo de det 𝐷𝐼1.
det 𝐷𝐼1 =
0 1 −1
50 0 6
0 12 −18
0 1
50 0
0 12
= 0 + 0 − 600 − (0 + 0 − 900) = 300
Eq. 2mdet 𝐷𝐼1 = 300
Cálculo de det 𝐷𝐼2.
det 𝐷𝐼2 =
1 0 −1
4 50 6
0 0 −18
1 0
4 50
0 0
= −900 + 0 + 0 − (0 = 0 + 0) = −900
Eq. 2ndet 𝐷𝐼2 = 300
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Cálculo de det 𝐷𝐼𝑋.
det 𝐷𝐼𝑋 =
1 1 0
4 0 50
0 12 0
1 1
4 0
0 12
= 0 + 0 + 0 − (0 + 600 + 0) = −600
Eq. 2odet 𝐷𝐼𝑋 = −600
Cálculo de 𝐼1:
𝐼1 =
𝐷𝐼1
𝐷
=
300
−48
= −6,25 → 𝑰𝟏 = −𝟔,𝟐𝟓 𝑨 Eq. 2p.
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Cálculo de 𝑰𝟐:
𝐼2 =
det 𝐷𝐼2
det 𝐷
=
−900
−48
= 18,75 𝐴 → 𝑰𝟐 = 𝟏𝟖, 𝟕𝟓 𝑨 Eq. 2q.
Cálculo de 𝑰𝒙:
𝐼𝑋 =
det 𝐷𝐼𝑋
det 𝐷
=
−600
−48
= 12,50 𝐴 → 𝑰𝟐 = 𝟏𝟐, 𝟓𝟎 𝑨 Eq. 2r.
AS LEIS DE KIRCHHOFF
Cálculo de 𝑷𝟏𝟐 Ω:
𝑃12Ω = 12 Ω . 𝐼12Ω
2
6 𝜴
+
−
−
+
+
−
4 𝜴
4𝑽𝑿
50 𝐕
12 𝜴
𝑽𝑿
𝑰𝑿
𝑰𝟐𝑰𝟏
B
𝑴𝟐𝑴𝟏
= 12 𝑥 18,752
= 4.218,75𝑊
𝑷𝟏𝟐𝜴 =4.218,75 W Eq. 2s.
Finalmente, corrigindo o sentido de 𝐈𝟏(negativo) no circuito elétrico, temos:
6 𝜴
+
−
−
+
+
−
4 𝜴
4𝑽𝑿
50 𝐕
12 𝜴
𝑽𝑿
𝑰𝑿
𝑰𝟐𝑰𝟏
B
𝑴𝟐𝑴𝟏
6 𝜴
+
−
−
+
+
−
4 𝜴
4𝑽𝑿
50 𝐕
12 𝜴
𝑽𝑿
𝑰𝑿
𝑰𝟐𝑰𝟏
B
𝑴𝟐𝑴𝟏
Bibliografia:
 Livro texto:
 Apostilas da internet:
 Site da internet:
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