Álgebra Linear e Vetorial Avaliação Final (Objetiva) Uniasselvi

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Disciplina: Álgebra Linear e Vetorial (MAD13) 
Avaliação: Avaliação Final (Objetiva) - Individual FLEX ( Cod.:661635) ( peso.:3,00) 
Nota da Prova: 8,00 
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Os problemas ligados ao conceito de autovalores permeiam muito mais do que estamos acostumados a 
verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico de uma transformação linear, mas sim o 
problema clássico de autovalores é absolutamente essencial para a compreensão e análise de estruturas 
simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., como também de sistemas estruturais mais 
complexos, dentre os quais podem ser citados os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de 
aço de telecomunicações e de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, 
edificações residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Acerca da soma dos autovalores da 
transformação exposta, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, 
assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
 a) V - F - F - F. 
 b) F - V - F - F. 
 c) F - F - V - F. 
 d) F - F - F - V. 
 
2. A discussão dos sistemas lineares consiste em analisar parâmetros dos coeficientes em relação ao 
determinante da matriz que representa os coeficientes das equações e, através desses parâmetros, 
classificar os sistemas quanto às suas soluções. Sendo assim, realizando a discussão do sistema 
apresentado, analise as sentenças a seguir: 
 
I- O sistema é impossível, para todo k real diferente de -21. 
II- O sistema é possível e indeterminado, para todo k real diferente de -63. 
III- O sistema é possível e determinado, para todo k real diferente de -21. 
IV- O sistema é possível e indeterminado, para todo k real diferente de -3. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 
 a) Somente a sentença I está correta. 
 b) Somente a sentença IV está correta. 
 c) Somente a sentença II está correta. 
 d) Somente a sentença III está correta. 
Anexos: 
Formulário - Álgebra Linear e Vetorial 
 
3. Considere o ponto A (1, 2). Sabe-se que o vetor OA, onde O é a origem do sistema cartesiano, e o vetor 
OB definem um paralelogramo. O vetor OB é obtido através de uma dilatação do vetor OA, no sentido 
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do mesmo, de fator 3/2, seguida por uma rotação de 30° no sentido horário. Determine a área aproximada 
do paralelogramo definido por esta rotação: 
 a) 2,23 u.a 
 b) 5,34 u.a 
 c) 3,37 u.a 
 d) 10,67 u.a 
 
4. As Transformações Lineares podem ser entendidas como sendo aplicações que transformam vetores em 
uma determinada dimensão em outros vetores em dimensão de ordem n. Isto é bastante utilizado na 
tecnologia de ação gráfica. Imagine que você você precise alterar ou diminuir o tamanho de um vetor v = 
(a,b) em 4 vezes e ainda alterar seu sentido. Assinale a alternativa CORRETA que determina a 
transformação a ser utilizada: 
 a) T(x,y) = ((1/4)y, (1/4)x) 
 b) T(x,y) = ((-1/4)y, (-1/4)x) 
 c) T(x,y) = ((1/4)x, (1/4)y) 
 d) T(x,y) = ((-1/4)x, (-1/4)y) 
 
5. Um dos primeiros tópicos que é analisado no estudo das matrizes é o da construção de matrizes, a partir 
de sua lei de formação. Com base nesta lei, os termos são calculados a partir da posição que ocupa nas 
linhas e colunas da matriz. Considerando a lei de formação de matriz dada por: A = (aij)2x2 definida por 
aij=3 i - j, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) O elemento a11 de A é 2. 
( ) O elemento a12 de A é 1. 
( ) O elemento a21 de A é 3. 
( ) O elemento a22 de A é 4. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - V - F - V. 
 b) F - F - V - V. 
 c) V - F - V - V. 
 d) F - V - F - F. 
 
6. A ortogonalidade entre dois vetores pode ser calculada. Trata-se de verificar se o ângulo formado entre 
dois vetores é 90º. Para isto, podemos nos apoiar nos conceitos de produto interno usual para auxiliar no 
processo. Com base nisso, analise as opções a seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
 
 a) As opções II, III e IV estão corretas. 
 b) As opções I, II e IV estão corretas. 
 c) As opções I, III e IV estão corretas. 
 d) As opções I, II e III estão corretas. 
 
7. O estudo das matrizes e determinantes possibilita uma série de regras que permitem o cálculo 
simplificado de várias situações. As propriedades operatórias destes conceitos podem, além de serem 
provadas por artifícios matemáticos formais, serem mostradas mediante exemplos numéricos. Sendo A, B 
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https://portaldoalunoead.uniasselvi.com.br/ava/notas/request_gabarito_n2.php#questao_7%20aria-label=
e C matrizes reais de ordem n, utilize exemplos numéricos para analisar as opções e classifique V para as 
sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) AB = BA. 
( ) A+B = B+A. 
( ) det (AB) = det (A) . det (B). 
( ) det (A+B) = det (A) + det (B). 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) V - F - F - V. 
 b) F - V - F - F. 
 c) F - V - V - F. 
 d) F - F - V - V. 
 
8. Ao falarmos do Produto Interno, podemos nos confundir, muitas vezes. Por exemplo, em física, em 
particular nas aplicações da teoria da Relatividade, o produto interno tem propriedades um pouco 
diferentes do que as usuais. Podemos ter equívocos quanto ao produto escalar, comumente usado na 
geometria euclidiana, que é um caso especial de produto interno. Portanto, quanto à necessidade de 
definirmos Produto Interno corretamente, analise as sentenças a seguir: 
 
I- O produto interno se faz necessário por facilitar e tornar mais coerente, num espaço vetorial qualquer, 
noções como comprimento e distância. 
II- O produto interno se faz necessário para a generalização dos conceitos de autovalor e autovetor. 
III- O produto interno se faz necessário porque facilita o cálculo do determinante. 
IV- O produto interno se faz necessário porque determina se a transformação linear é um operador linear. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a sentença IV está correta. 
 b) Somente a sentença I está correta. 
 c) Somente a sentença III está correta. 
 d) Somente a sentença II está correta. 
 
9. Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que 
preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também 
pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. Sobre a representação algébrica de uma 
transformação, analise as seguintes opções e assinale a alternativa CORRETA: 
 
 a) Somente a opção II está correta. 
 b) Somente a opção IV está correta. 
 c) Somente a opção I está correta. 
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 d) Somente a opção III está correta. 
 
10. A criação do Plano Cartesiano, por René Descartes, possibilitou o avanço de várias áreas da matemática. 
Uma delas foi trabalhar conceitos algébricos de maneira geométrica. Com isto, a Álgebra Vetorial 
transcendeu o campo abstrato para o campo prático. Numa visão concreta, qual das figuras a seguir é a 
representação do vetorv = (-1,2) no plano cartesiano? 
 
 a) Figura 2. 
 b) Figura 1. 
 c) Figura 3. 
 d) Figura 4. 
 
11. (ENADE, 2014) Para realizar seu trabalho cotidiano, um engenheiro civil precisa modelar 
matematicamente algumas tarefas. Em determinado projeto, uma situação problema, depois de modelada, 
recaiu em um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, para o qual a matriz dos 
coeficientes foi denominada M. 
 
Após a modelagem, o engenheiro descobriu que o posto da matriz ampliada do sistema (Pa) era igual ao 
posto da matriz dos coeficientes (Pc) e que ambos, (pa) e (Pc), têm valor equivalente ao número de 
incógnitas do sistema, ou seja, Pa = Pc = n. 
 
Admitindo que o modelo construído pelo engenheiro está matematicamente correto, avalie as afirmações 
que se seguem. 
 
I- A matriz M é singular. 
II- O sistema de equações lineares modelado admite uma única solução. 
III- É impossível encontrar a solução do problema utilizando o sistema conforme modelado. 
IV- O valor de Pc é calculado obtendo-se a maior ordem possível das submatrizes quadradas de M que 
tenham determinantes não nulos. 
 
É correto apenas o que se afirma em: 
 a) I e III. 
 b) II. 
 c) II e IV. 
 d) I. 
 
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12. (ENADE, 2005) A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta grande interesse. 
Questionam-se, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, o elevado custo do empreendimento 
relativamente à população beneficiada e a quantidade de água a 
ser retirada, o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 m3/s. 
 
Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de matemática propôs a 
seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos do Ministério da Integração Nacional. 
 
Considere que o projeto prevê a retirada de x m3/s de água. 
Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais, e por z o número, em milhões, de 
habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se essas quantidades, obtém-se o sistema de 
equações lineares AX = B, em que: 
 
 a) Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o que pode provocar 
sérios danos ambientais. 
 b) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes. 
 c) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais. 
 d) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A) = 0 
 
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